Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G. Przyk lad 2.2. Centrum grupy. Zbiór Z(G) = {a G : a g = g a dla kadego g G} nazywamy centrum grupy G. Pokażemy, że Z(G) jest grupy G. Ponieważ dla każdego g G jest g e = e g = g, wiec e Z(G). Niech h Z(G). Wtedy dla każdego g G jest h g = g h, skad g = h 1 gh oraz h 1 g = g h 1, a wiec h 1 Z(G). Weźmy dowolne h 1, h 2 Z(G). Wtedy dla dowolnego g G, (h 1 h 2 )g = h 1 (h 2 g) = h 1 (gh 2 ) = (h 1 g)h 2 = (gh 1 )h 2 = g(h 1 h 2 ), skad h 1 h 2 Z(G). Zatem Z(G) jest grupy G. Zauważmy jeszcze, że grupa G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy G = Z(G). Z Definicji 2.1 mamy od razu, że każda podgrupa H grupy (G,, e) tworzy grupe ze wzgledu na ograniczenie do H dzia lania. Na odwrót, niech (G,, e) bedzie i niech H bedzie takim podzbiorem G, że H tworzy grupe ze wzgledu na ograniczenie do H dzia lania. Wtedy istnieje f H bed ace elementem neutralnym grupy H. Zatem f f =f, skad po skróceniu przez f, f = e, czyli e H. Ponadto z za lożenia h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Niech h H. Wtedy istnieje x H takie, że h x = = x h = e. Ale h, x G, wiec x = h 1, skad h 1 H. Wobec tego H jest podgrupa grupy G. W ten sposób udowodniliśmy nastepuj ace Stwierdzenie 2.3. Niech (G,, e) bedzie grupa. Podzbiór H G jest grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy H tworzy grupe ze wzgledu na ograniczenie do H dzia lania. Przyk lad 2.4. Ze stwierdzenia 2.3 wynika od razu, że G i {e} sa podgrupami grupy (G,, e). Pierwsza z nich nazywamy niew laściwa, zaś druga trywialna. Z definicji podgrupy wynika też, że podgrupa trywialna jest jedyna jednoelementowa grupy G. Stwierdzenie 2.5. Niepusty podzbiór H G jest grupy (G,, e) wtedy i tylko wtedy, gdy h 1 h 1 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Dowód. Niech H bedzie grupy (G,, e). Weźmy dowolne h 1, h 2 H. Wtedy h 1 2 H, skad h 1 h 1 2 H. Na odwrót, niech H bedzie niepustym podzbiorem zbioru G takim, że h 1 h 1 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Wtedy istnieje x H, skad e = x x 1 H, czyli e H. Weźmy 1

dowolne h H. Wtedy h 1 = e h 1 H, wiec h 1 H. W końcu dla dowolnych h 1, h 2 H mamy, że h 1 h 2 = h 1 (h 1 2 ) 1 H, czyli h 1 h 2 H. Zatem H jest podgrupa grupy G. Przyk lad 2.6. Podgrupa cykliczna. Niech (G,, e) bedzie i niech a G. Udowodnimy, że podzbiór a = {a k : k Z} jest najmniejsza (w sensie inkluzji) grupy G zawierajac a element a. Ponieważ a = a 1, wiec a a. W szczególności a. Weźmy dowolne h 1, h 2 a. Wtedy istnieja liczby ca lkowite k 1, k 2 takie, że h 1 = a k 1 i h 2 = a k 2. Zatem h 1 h 1 2 = a k1 (ak 2 ) 1 = a k1 a k 2 = a k 1 k 2 a. Zatem ze Stwierdzenia 2.5, a jest grupy G oraz dodatkowo a a. Niech H bedzie dowolna grupy G taka, że a H. Wtedy ze Stwierdzenia 2.3 mamy, że a k H dla każdego k Z, czyli a H. Zatem a jest najmniejsza grupy G zawierajac a element a. Nazywamy ja cykliczna generowana przez element a. Natomiast a nazywamy generatorem podgrupy a. Definicja 2.7. Powiemy, że grupa G jest cykliczna, jeżeli istnieje element a G (zwany generatorem tej grupy) taki, że G = a, tzn. G = {a k : k Z}. Stwierdzenie 2.8. Każda grupa cykliczna jest abelowa. Dowód. Niech G bedzie cykliczna o generatorze a. Wtedy G = {a k : k Z}. Weźmy dowolne x, y G. Wtedy istnieja k, l Z takie, że x = a k oraz y = a l. Zatem x y = a k a l = a k+l = a l+k = a l a k = y x, czyli grupa G jest abelowa. Twierdzenie 2.9. Niech H bedzie grupy skończonej G. dzielnikiem G. Dowód. Dla dowolnego g G niech Wtedy H jest gh = {g h : h H}. Ponieważ g = g e i e H, wiec g gh, skad G = g G gh. (1) Z prawa skracania równości w grupie wynika, że odwzorowanie h g h dla h H jest bijekcja H na gh, czyli H = gh dla każdego g G. (2) Niech a, b G bed a takie, że ah bh. Wtedy istnieja h 1, h 2 H takie, że a h 1 = b h 2. Zatem b = ah 1 h 1 2 oraz dla dowolnego h H, b h = a (h 1 h 1 2 h) ah, gdyż h 1 h 1 2 h H. Stad bh ah. Ale zbiory ah i bh sa skończone, wiec z (2), 2

bh = ah. Stad i z (1) oraz ze skończoności grupy G wynika, że istnieja a 1, a 2,..., a k G takie, że zbiory a 1 H, a 2 H,..., a k H sa parami roz l aczne oraz G = G = k a i H = k H, czyli H dzieli G. i=1 k a i H. i=1 Zatem Stwierdzenie 2.10. Niech H G bedzie skończonym niepustym podzbiorem grupy (G,, e). Wówczas H jest grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Dowód. Jeśli H jest grupy G, to h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Na odwrót, za lóżmy, że h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Ponieważ H, wiec istnieje x H. Wtedy x 2 = x x H i jeśli dla pewnego naturalnego n, x n H, to także x n+1 = x n x H. Zatem {x, x 2, x 3,...} H i zbiór H jest skończony, wiec istnieja liczby naturalne m > n takie, że x m = x n. Stad x m n = e i m n N, wiec e H. Ponadto z tego rozumowania wynika, że dla każdego h H istnieje n N takie, że h n = e oraz n > 1. Zatem h 1 = h n 1 H. Stad ostatecznie mamy, że H jest podgrupa grupy G. Wniosek 2.11. Jeżeli rzad grupy G jest liczba pierwsza, to grupa G jest cykliczna (a wiec jest abelowa). Dowód. Niech liczba pierwsza p bedzie rzedem grupy G. Ponieważ p > 1, wiec istnieje a G, a e. Zatem podgrupa a ma co najmniej dwa różne elementy: e i a oraz z Twierdzenia 2.9, a dzieli liczb pierwsza p. Zatem a = p, czyli a = G, skad G = a i grupa G jest cykliczna. Zatem ze Stwierdzenia 2.8 grupa G jest abelowa. Uwaga 2.12. Z dowodu Wniosku 2.11 wynika, że jeśli rzad grupy G jest liczba pierwsza, to G = a dla każdego a G \ {e} (tzn. każdy element a e tej grupy jest jej generatorem). Stwierdzenie 2.13. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podgrup grupy G jest grupy G. Dowód. Niech {H t } t T bedzie dowolna niepusta rodzina podgrup grupy (G,, e). Wtedy e H t dla każdego t T, wiec e H t. Niech h 1, h 2 H t. Wtedy t T t T h 1, h 2 H t dla każdego t T. Zatem ze Stwierdzenia 2.5, h 1 h 1 2 H t dla każdego t T. Stad h 1 h 1 2 H t. Zatem ze Stwierdzenia 2.5, H t jest grupy G. t T t T Przyk lad 2.14. Podgrupa generowana przez podzbiór grupy. Niech (G,, e) bedzie i niech X bedzie dowolnym podzbiorem zbioru G. Oznaczmy przez X 3

rodzine wszystkich podgrup grupy G zawierajacych zbiór X. Ponieważ G X, wiec rodzina X jest niepusta. Zatem ze Stwierdzenia 2.13, X = H jest grupy G zawierajac a zbiór X. Ponadto z określenia X wynika, że jeśli H jest grupy G zawierajac a zbiór X, to H X oraz X H. Zatem X jest najmniejsza (w sensie inkluzji) grupy G zawierajac a zbiór X. Nazywamy ja generowana przez podzbiór X i oznaczamy przez X. Natomiast X nazywamy zbiorem generatorów podgrupy X. Wobec tego: H X X G i X X i H G (X H X H). (3) Oczywiście = {e}, bo {e} jest najmniejsza grupy G. Jeśli zbiór X jest skończony i X = {x 1,..., x n }, to zamiast {x 1,..., x n } bedziemy pisali x 1,..., x n. Stwierdzenie 2.15. Niech X bedzie niepustym podzbiorem grupy G. Wówczas najmniejsza w sensie inkluzji podgrupa X grupy G zawierajaca zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów postaci x k 1 1 x k 2 2... x kn n, gdzie x 1,..., x n X, k 1,..., k n {1, 1} oraz n N. Dowód. Oznaczmy przez H zbiór wszystkich elementów postaci x k 1 1 x k 2 2... x kn n, gdzie x 1,..., x n X, k 1,..., k n {1, 1} oraz n N. Weźmy dowolne x X. Wtedy x H, bo wystarczy wziać n = 1, k 1 = 1, x 1 = x. Zatem X H. Ale X, wiec też H. Weźmy dowolne a, b H. Wtedy istnieja n, m N, x 1,..., x n, y 1,..., y m X oraz k 1,..., k n, l 1,..., l m {1, 1} takie, że a = x k 1 1 x k 2 2... x kn n i b = y l 1 1 y l 2 2... ym lm. Stad a b 1 = x k 1 1 x k 2 2... x kn n ym lm... y l 2 2 y l 1 1 X, bo l i {1, 1} dla każdego i = 1, 2,..., m. Zatem H jest grupy G i X H. Niech teraz K bedzie dowolna grupy G taka, że X K. Weźmy dowolne x 1,..., x n X i dowolne k 1,..., k n {1, 1}. Wówczas x 1,..., x n K, skad x 1 1,..., x 1 n K, wiec x k 1 1,..., x kn n K. Zatem ze Stwierdzenia 2.3, x k 1 1... x kn n K. Wobec tego H K. Zatem H jest najmniejsza w sensie inkluzji grupy G zawierajac a zbiór X, czyli H = X. Stwierdzenie 2.16. Jeżeli a jest elementem grupy (G,, e) i n jest najmniejsza liczba naturalna taka, że a n = e, to podgrupa a ma dok ladnie n elementów oraz a = {e, a, a 2,..., a n 1 }. Dowód. Oczywiście {e, a,..., a n 1 } a. Niech h a. Wtedy h = a k dla pewnego k Z. Dzielac z reszta liczbe k przez liczbe n uzyskamy, że k = qn + r dla pewnych q, r Z takich, że r {0, 1,..., n 1}. Zatem h = a qn+r = a qn a r = (a n ) q a r = = e q a r = a r {e, a,..., a n 1 }. Stad a {e, a,..., a n 1 } i ostatecznie a = {e, a,..., a n 1 }. Gdyby podgrupa a nie mia la dok ladnie n elementów, to istnia lyby liczby ca lkowite k, s takie, że 0 k < s < n oraz a s = a k. Ale wtedy a s k = e i s k N 4

oraz s k < n, wiec otrzymalibyśmy sprzeczność z minimalnościa liczby n. Kończy to dowód naszego stwierdzenia. Stwierdzenie 2.17. Niech n N i niech a bedzie elementem grupy (G,, e) takim, że podgrupa a ma dok ladnie n elementów. Wówczas a n = e oraz a k e dla dowolnej liczby naturalnej k < n. Dowód. Z dowodu Stwierdzenia 2.10 wynika, że istnieje najmniejsza liczba naturalna s taka, że a s = e. Wtedy ze Stwierdzenia 2.16 podgrupa a ma dok ladnie s elementów, skad s = n i nasze stwierdzenie jest udowodnione. Stwierdzenie 2.18. Jeżeli a 2 = e dla każdego elementu a grupy (G,, e), to grupa G jest abelowa. Dowód. Weźmy dowolne a, b G. Wtedy (ab) 2 = e, a 2 = e i b 2 = e. Zatem abab = aabb, skad z praw skracania równości w grupie, ba = ab. Zatem grupa G jest abelowa. Stwierdzenie 2.19. Niech (G,, e) bedzie i H G. Wówczas równoważne sa warunki: (i) H jest rzedu 4 grupy G, (ii) H = {e, a, a 2, a 3 } dla pewnego elementu a G takiego, że a 2 e i a 4 = e lub H = {e, a, b, ab} dla pewnych a, b G takich, że a b, a e, b e, ab = ba i a 2 = b 2 = e. Dowód. Niech H bedzie rzedu 4 grupy G. Za lóżmy, że g 2 = e dla każdego g H. Wtedy ze Stwierdzenia 2.18 grupa H jest abelowa. Istnieje a H takie, że a e i istnieje b H takie, że b a i b e. Wtedy a 2 = b 2 = e i ab = ba, przy czym ab H. Jeśli ab = e, to po pomnożeniu obu stron tej równości z prawej strony przez b i uwzglednieniu tego, że b 2 = e uzyskamy, że a = b wbrew za lożeniu. Zatem ab e. Jeśli ab = a, to po skróceniu przez a otrzymamy b = e, co prowadzi do sprzeczności. Zatem ab a. Jeśli ab = b, to po skróceniu przez b uzyskamy, że a = e, wbrew za lożeniu. Zatem ab b. Wobec tego e, a, b, ab sa czterema różnymi elementami grupy H i H = 4, wiec H = {e, a, b, ab}. Teraz za lóżmy, że istnieje c H takie, że c 2 e. Wtedy c e i c 2 c. Jeśli c 3 = e, to ze Stwierdzenia 2.16 mamy, że {e, c, c 2 } jest trzyelementowa grupy czteroelementowej H, co przeczy Twierdzeniu 2.9. Zatem c 3 e i {e, c, c 2, c 3 } jest czteroelementowym podzbiorem zbioru czteroelementowego H, skad H = {e, c, c 2, c 3 }. Stad na mocy Stwierdzenia 2.17, c 4 = e. Na odwrót, niech H = {e, a, a 2, a 3 } dla pewnego a G takiego, że a 2 e i a 4 = e. Jeśli a 3 = e, to a 4 = a 3, skad po skróceniu przez a 3 otrzymamy, że a = e, a wiec a 2 = e wbrew za lożeniu. Zatem a 3 e i ze Stwierdzenia 2.16 H = {e, a, a 2, a 3 } jest czteroelementowa grupy G. W końcu, za lóżmy, że H = {e, a, b, ab} dla pewnych a, b G takich, że a b, a e, b e, ab = ba, a 2 = b 2 = e. Jeśli ab = e, to po pomnożeniu z prawej strony tej równości przez b uzyskamy, że ab 2 = b, skad ae = b i a = b, co prowadzi do sprzeczności. Zatem ab e. Jeśli ab = a, to po skróceniu przez a uzyskamy, że b = e, 5

wbrew za lożeniu. Zatem ab a. Jeśli ab = b, to po skróceniu przez b otrzymamy, że a = e, wbrew za lożeniu. Zatem ab b i wobec tego elementy e, a, b, ab sa parami różne. Dalej, a(ab) = a 2 b = eb = b, ba = ab, b(ab) = b(ba) = b 2 a = eb = b, (ab)a = (ba)a = ba 2 be = b, (ab)b = ab 2 = ae = a, (ab)(ab) = (ab)(ba) = ab 2 a = aea = a 2 = e. Wobec tego x y H dla dowolnych x, y H = {e, a, b, ab} i na mocy Stwierdzenia 2.10, H G. Stad H jest rzedu 4 grupy G. Stwierdzenie 2.20. Każda skończona grupa nieabelowa ma rzad wiekszy niż 5. Dowód. Niech G bedzie rzedu co najwyżej 5. Wtedy G {1, 2, 3, 4, 5}. Jeśli G = 1, to G = {e}, wiec G jest abelowa. Jeśli G {2, 3, 5}, to z Wniosku 2.11 grupa G też jest abelowa. Niech dalej G = 4. Jeśli istnieje w G element a taki, że a = G, to grupa G jest abelowa (bo jest cykliczna). Za lóżmy zatem, że a G dla każdego a G. Weźmy dowolne a G, a e. Wtedy podgrupa a ma co najmniej 2 różne elementy: e, a i jest różna od G, wiec z Twierdzenia 2.9, a = 2. Zatem ze Stwierdzenia 2.17, a 2 = e. Ponieważ dodatkowo e 2 = e, wiec x 2 = e dla każdego x G. Zatem ze Stwierdzenia 2.18 grupa G jest abelowa i nasze stwierdzenie zosta lo udowodnione. Przyk lad 2.21. Udowodnimy, że wszystkimi różnymi podgrupami grupy Kleina K sa: {e}, {e, S a }, {e, S b }, {e, S O }, K. Rzeczywiście, jeśli H jest grupy K, to na mocy Twierdzenia 2.9, H jest dzielnikiem K = 4, skad H = 1 lub H = 2 lub H = 4. Jeśli H = 1, to H = {e}. Jeśli H = 4, to H = K. Niech H = 2. Wtedy z Wniosku 2.11, H = x dla pewnego x K. Wtedy ze Stwierdzenia 2.17, x e i x 2 = e. Z tabelki grupy K odczytujemy, że x {S a, S b, S O } i na mocy Stwierdzenia 2.16 wszystkimi podgrupami rzedu 2 grupy K sa: {e, S a }, {e, S b }, {e, S O }. Przyk lad 2.22. Udowodnimy, że wszystkimi różnymi podgrupami grupy D 3 izometrii w lasnych trójkata równobocznego sa: {e}, {e, S a }, {e, S b }, {e, S c }, {e, O 1,O 2 }, D 3. Rzeczywiście, jeśli H jest grupy D 3, to na mocy Twierdzenia 2.9, H jest dzielnikiem D 3 = 6, skad H = 1 lub H = 2 lub H = 3 lub H = 6. Jeśli H = 1, to H = {e}. Jeśli H = 6, to H = D 3. Niech H = 2. Wtedy z Wniosku 2.11, H = x dla pewnego x D 3. Zatem ze Stwierdzenia 2.17, x e i x 2 = e. Z tabelki grupy D 3 odczytujemy, że x {S a, S b, S c } i na mocy Stwierdzenia 2.16 wszystkimi podgrupami rzedu 2 grupy D 3 sa: {e, S a }, {e, S b }, {e, S c }. Niech H = 3. Wtedy z Wniosku 2.11, H = x dla pewnego x D 3. Zatem ze Stwierdzenia 2.17, x e, x 2 e i x 3 = e. Z tabelki grupy D 3 odczytujemy, że x {O 1, O 2 }. Ale O 2 = O 1 = {e, O 1, O 2 }, wiec {e, O 1, O 2 } jest jedyna rzedu 3 grupy D 3. Nazywamy ja obrotów. Przyk lad 2.23. Udowodnimy, że wszystkimi różnymi podgrupami grupy D 4 izometrii w lasnych kwadratu sa: {e}, {e, S 1 }, {e, S 2 }, {e, S 3 }, {e, S 4 }, {e, O 2 }, {e, O 1, O 2, O 3 }, {e, S 1, S 2, O 2 }, {e, S 3, S 4, O 2 }, D 4. 6

Rzeczywiście, jeśli H jest grupy D 4, to na mocy Twierdzenia 2.9, H jest dzielnikiem D 4 = 8, skad H = 1 lub H = 2 lub H = 4 lub H = 8. Jeśli H = 1, to H = {e}. Jeśli H = 8, to H = D 4. Niech H = 2. Wtedy z Wniosku 2.11, H = a dla pewnego a D 4. Zatem ze Stwierdzenia 2.17, a e i a 2 = e. Z tabelki grupy D 4 odczytujemy, że a {S 1, S 2, S 3, S 4, O 2 } i na mocy Stwierdzenia 2.16 wszystkimi podgrupami rzedu 2 grupy D 4 sa: {e, S 1 }, {e, S 2 }, {e, S 3 }, {e, S 4 }, {e, O 2 }. Podgrupy H rzedu 4 wyznaczymy w oparciu o Stwierdzenie 2.19. Jeśli H = {e, a, a 2, a 3 } = a, gdzie a D 4, a 2 e i a 4 = e, to z tabelki grupy D 4 odczytujemy, że a {O 1, O 3 }. Ale O 1 = O 3 = {e, O 1, O 2, O 3 }, wiec jedyna rzedu 4 jest {e, O 1, O 2, O 3 }. Teraz pozostaje wyznaczyć podgrupy H rzedu 4 postaci H = {e, a, b, ab}, gdzie a, b e, a b, a 2 = b 2 = e i ab = ba. Z tabelki grupy D 4 odczytujemy, że a, b {S 1, S 2, S 3, S 4, O 2 }. Jeśli a = S 1, to z tabelki grupy D 4 mamy, że b {S 2, O 2 }. Ale S 1 S 2 = O 2 i S 1 O 2 = S 2, wiec {e, S 1, O 2, S 1 O 2 } = {e, S 1, S 2, O 2 } i otrzymujemy podgrupe H = {e, S 1, S 2, O 2 }. Jeśli a = S 2, to z tabelki grupy D 4 mamy, że b {S 1, O 2 }. W obu przypadkach uzyskamy podgrupe H = {e, S 1, S 2, O 2 }. Jeśli a = S 3, to z tabelki grupy D 4 mamy, że b {S 4, O 2 }. W obu przypadkach uzyskamy podgrupe H = {e, S 3, S 4, O 2 }. Jeśli a = S 4, to uzyskamy podgrupe H = {e, S 3, S 4, O 2 }. Podobnie dla a = O 2 uzyskamy podgrupy {e, S 1, S 2, O 2 }, {e, S 3, S 4, O 2 }. Przyk lad 2.24. Udowodnimy, że wszystkimi różnymi podgrupami grupy kwaternionów Q 8 sa: {e}, {e, e}, {e, e, i, i}, {e, e, j, j}, {e, e, k, k}, Q 8. Rzeczywiście, jeśli H jest grupy Q 8, to na mocy Twierdzenia 2.9, H jest dzielnikiem Q 8 = 8, skad H = 1 lub H = 2 lub H = 4 lub H = 8. Jeśli H = 1, to H = {e}. Jeśli H = 8, to H = Q 8. Niech H = 2. Wtedy z Wniosku 2.11, H = a dla pewnego a Q 8. Zatem ze Stwierdzenia 2.17, a e i a 2 = e. Z tabelki grupy Q 8 odczytujemy, że a = e i na mocy Stwierdzenia 2.16 {e, e} jest jedyna podgrupa dwuelementowa grupy Q 8. Niech teraz H = 4. Ponieważ e jest jedynym elementem różnym od e grupy Q 8, wiec ze Stwierdzenia 2.19 mamy, że H = {e, a, a 2, a 3 } = a, gdzie a Q 8, a e, a 2 e i a 4 = e. Stad a {i, i, j, j, k, k}. Ale i = i = {e, e, i, i}, j = j = {e, e, j, j}, k = k = {e, e, k, k}, wiec wszystkimi różnymi podgrupami rzedu 4 grupy Q 8 sa: {e, e, i, i}, {e, e, j, j}, {e, e, k, k}. Przyk lad 2.25. Zauważmy, że grupa Kleina K nie jest cykliczna, gdyż ma rzad 4 i g 2 = e dla każdego g K. Zatem K g dla każdego g K. Ale K = S a, S b = S a, S O = S b, S O, bo S a S b = S O, S a S O = S b i S b S O = S a. Przyk lad 2.26. Zauważmy, że grupa D 3 nie jest cykliczna, bo D 3 nie jest abelowa. Zatem D 3 g dla każdego g D 3. Ale D 3 = S a, S b = S a, S c = S b, S c oraz D 3 = S a, O 1 = S a, O 2 = S b, O 1 = S b, O 2 = S c, O 1 = S c, O 2, gdyż w każdym przypadku generowana podgrupa ma postać H = x, y, gdzie x y y x oraz x y i 7

y x i x, y e, wiec H 4. Ale z Twierdzenia 2.9, H jest dzielnikiem D 3 = 6, wiec H = 6, skad H = D 3. Ponadto ze Stwierdzenia 2.16 mamy, że {e, O 1, O 2 } = O 1 = O 2 oraz {e, S x } = S x dla x = a, b, c. Przyk lad 2.27. Zauważmy, że grupa D 4 nie jest cykliczna, bo D 4 nie jest abelowa. Zatem D 4 g dla każdego g D 4. Ale D 4 = S 1, S 3 = S 1, S 4 = S 1, O 1 = S 1, O 3 oraz D 4 = S 2, S 3 = S 2, S 4 = S 2, O 1 = S 2, O 3 = S 3, O 1 = S 3, O 3 = S 4, O 1 = S 4, O 3, co w prosty sposób wynika z tabelki tej grupy i ze Stwierdzenia 2.15. Ponadto {e, O 1, O 2, O 3 } = O 1 = O 3, O 2 = {e, O 2 }, S 1, S 2 = S 1, O 2 = S 2, O 2 = {e, S 1, S 2, O 2, S 3, S 4 = S 3, O 2 = S 4, O 2 = {e, S 3, S 4, O 2 }. Przyk lad 2.28. Zauważmy, że grupa Q 8 nie jest cykliczna, bo Q 8 nie jest abelowa. Zatem Q 8 g dla każdego g Q 8. Ze Stwierdzenia 2.15 i z tabelki grupy Q 8 latwo można uzasadnić, że np. Q 8 = i, j = i, j = i, j = i, k = j, k oraz e = {e, e}, i = {e, e, i, i}. Zagadka 1. Niech H i K bed a podgrupami grupy G. Uzasadnij, że H K G (H K lub K H). Zagadka 2. Niech A i B bed a skończonymi podgrupami grupy G o wzglednie pierwszych rzedach. Pokazać, że wówczas A B = {e}. Zagadka 3. Niech p bedzie liczba pierwsza i niech A i B bed a różnymi podgrupami rzedu p grupy G. Pokazać, że wtedy A B = {e}. Zagadka 4. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Z 20. Zagadka 5. Udowodnij, że dla każdego cia la K i dla dowolnej liczby naturalnej n zbiór SL n (K) wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n nad cia lem K o wyznaczniku równym 1 jest grupy GL n (K). Zagadka 6. Niech K bedzie dowolnym cia lem takim, że K > 2. Udowodnij, że sa podgrupami grupy GL 2 (K) nastepuj ace podzbiory: {[ ] } {[ ] } a b a b (a) A = : a, c K \ {0}, b K, (b) B = : a K \ {0}, b K, 0 c 0 1 {[ ] } {[ ] } a b 1 b (c) C = : a K \ {0}, b K, (d) D = : b K. 0 a 0 1 Która z tych podgrup jest abelowa? Zagadka 7. Dla dowolnego cia la K wyznacz centrum grupy GL 2 (K). 8