Zadania o grupach Zadania zawieraja

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania o grupach Zadania zawieraja"

Transkrypt

1 Zadania o grupach Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49, PWN, Warszawa 1977 [KM] M Kargapolov, J Merzljakov, Podstawy teorii grup, PWN, Warszawa 1976 [BJ] M Bryński, J Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1 Obliczyć rze dy grup izometrii bry l platońskich 2 Obliczyć rza d grupy przekszta lceń kostki Rubika 3 Czy istnieje skończony uk lad generatorów grupy Q +? 4 Sprawdzić, że SL 2 (Z) jest generowana przez macierze A = ( ) 0 1, B = 1 0 ( ) Niech G 1 i G 2 be podgrupami pewnej ustalonej grupy Udowodnić G 1 G 2 G 1 G 2 = G 1 G 2 Uawaga: zbiór G 1 G 2 = {g 1 g 2 : g 1 G 1, g 2 G 2 } nie musi być grupa 6 Udowodnoć, że Q + nie zawiera podgrupy skończonego indeksu > 1 7 Znaleźć GL n (F q ), SL n (F q ) i Sp n (F q ), gdzie F q jest cia lem q-elementowym, a grupa Sp n (F ( ) q ) 0 I oznacza grupe macierzy 2n 2n spe lniaja cych warunek A T JA = J, a J jest macierza blokowa I 0 8 (pis) Centrum grupy to Z(G) = {g G : h G gh = hg} Znależć Z(GL n (F)) i Z(SL n (F)) 9 (pis) Niech φ(n) = ilość liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych z n i mniejszych od n (funkcja Möbiusa) Udowodnić, że dla każdej liczby a wzgle dnie pierwszej z n mamy a φ(n) 1 mod n To jest tw Eulera, udowodnić je z tw Lagrange a 10 Niech (G, +, 0) be przemienna Mówimy, że G jest podzielna, jeśli g G n N \ {0} h G nh = g Wykazać, że grupa podzienlna nie ma w laściwych podgrup skończonego indeksu 11 a) Niech G Q be dzie zbiorem u lamków, które w postaci nieskracalnej maja mianowniki be ce pote ga liczby p (Oznaczenie Z[1/p]) Czy Z[1/p] ma podgrupe skończonego indeksu? b) Niech G Q be dzie zbiorem u lamków, które w postaci nieskracalnej maja mianowniki wzgle dnie pierwsze z liczba p (Oznaczenie Z (p) ) Czy Z (p) ma podgrupe skończonego indeksu? Naste pne dwa zadania to przyk lady grup Coxetera, be dziemy je robić w drugiej kolejności 12 Niech G GL n (Z[t, t 1 ]) be przez permutacje wspó lrze dnych i macierze diagonalne Diag(t a 1, t a 2,, t an ), n i=1 a i = 0 Wykazać, że istnieje uk lad generatorów s 0, s 1, s n 1, spel lniaja cy s 2 i = 1, s i s j = s j s i dla i j ±1 mod n, (s i s i+1 ) 3 = 1 (i + 1 rozumiane modulo n) 1

2 13 Niech G GL n (Z), n 4 be przez permutacje wspó lrze dnych i macierze diagonalne D = Diag(±1, ±1,, ±1), det(d) = 1 Wykazać, że istnieje uk lad generatorów s 1, s 2, s n 1, s n 1, spe lniajacy s 2 i = 1, s 2 n 1 = 1 s i s j = s j s i dla i j 1, s i s n 1 = s n 1 s i dla i n 2, (s i s i+1 ) 3 = 1, (s n 2 s n 1 )3 = 1 14 (pis) Wykazać, że grupa wolna o 2 generatorach zawiera grupe wolna o przeliczalnie wielu generatorach 15 Niech A be przemienna, H Aut(A) Niech grupa G be permutacji zbioru A, przez H i przekszta lcenia T r a dla a A (definiujemy T r a (b) = a + b) Wykazać, że jako zbiory G = H A Opisać dzia lanie w G 16 Wykazać, że istnieje epimorfizm GL 2 (F 3 ) Σ 4 z ja drem {I, I} (tzn P GL 2 (F 3 ) Σ 4 ) 17 Czy grupa izometrii sześcianu zachowuja cych orientacje O 48 SO(3) jest izomorficzna z Σ 4? 18 Znaleźć epimorfizm Σ 4 Σ 3 19 Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna 20 H < G, N G to (NH)/N H/(N H) 21 (pis) Jesli G nieprzemienna, to G podzielona przez centrum G/Z(G) nie jest cykliczna 22 * Grupa automorfizmow grupy nieprzemiennej nie jest cykliczna (Wsk: z poprzedniego zadania) 23 Wykazać że jeśli liczba pierwsza p dzieli rza d grupy, to istnieje element rze du p 24 Przecie cie skończonej liczby podgrup normalnych skończonego indeksu ma skończony indeks 25 Niech H i K be dwiema podgrupami normalnymi w G, H K = {1} Udowodnić, że każdy element z H jest przemienny z każdym elementem w K 26 Podać klasyfikacje grup rze du Znaleźć wszystkie podgrupy normalne grupy O(3) macierzy 3 3 spe lniaja cych A T A = I 28 * Znaleźć wszystkie podgrupy skończone grupy O(3) macierzy 3 3 spe lniaja cych A T A = I 29 Każdy element komutanta może być przedstawiony w postaci a 1 a 2 a n a 1 1 a 1 2 a 1 n 30 Cykle d lugości 3 generuja A n 31 Opisać klasy sprze żoności elementów w Σ 5 i w A 5 2

3 32 Czy Inn(Σ n ) = Aut(Σ n ) dla n = 2, 3, 4, 5? Uwaga: wyja tkowo Inn(Σ 6 ) Aut(Σ 6 ) (Wiki: Automorphisms of the symmetric and alternating groups oraz [KM], str 30, gdzie omawia sie w lasność G Aut(G) nies lusznie nazwana doskona lościa Dla nas grupa doskona la, to taka, że G = [G, G]) 33 (pis) Jeśli G = pq (p i q liczby pierwsze), a) to G nie jest prosta, b) G jest produktem pó lprostym Z p i Z q 34 (pis) H/(N H) (H N)/N 35 (pis) Inn(G) Aut(G) 36 (pis) Ab(GL n (K)) =? 37 p liczba pierwsza Wykazać, że dowolna grupa rze du p k ma nietrywialne centrum 38 p liczba pierwsza G = p k, {1} N G to N Z(G) {1} 39 * Jeśli G = pqr (p, q i r liczby pierwsze), pokazać, że G nie jest prosta 40 p liczba pierwsza Pokazać, że Σ p jest generowana przez dowolny cykl d lugości p i dowolna transpozycje 41 (pis) Niech H < K < G oraz H G Wykazać H K i (G/H)/(K/H) G/K jako zbiory Jeśli ponadto K/H G/H to K G oraz (G/H)/(K/H) G/K jako grupy 42 (pis) a) Wskazać dwie nieizomorficzne nieprzemienne grupy rze du 125 b) Czy istnieje jeszcze trzecia grupa nieprzemienna, która jest nieizomorficzna ze wskazanymi w punkcie a)? 43 (pis) a) Wskazać podgrupe rze du 5 6 w Σ 25 b) Niech p be dzie liczba pierwsza, n N Wskazać p-podgrupe Sylowa w Σ n 44 * Niech H < G be dzie w laściwa skończonego indeksu Wykazać, że G g G ghg 1 45 Udowodnić G\X = 1 G X g g G 46 Niech H be prosta, H G, H 2 nie dzieli G Udowodnić, że H jest jedyna izomorficzna z H G 47 Niech G = [G, G] grupa doskona la, K G cykliczna podgrupa normalna Pokazać, że K < Z(G) 48 Niech A n < A be podgrupami grupy abelowej oraz n N A n = A Za lóżmy, że ( ) n A n A k = 0 k<n Wykazać, że A n N A n, tzn dla dowolnej rodziny homomorfizmów f n : A n B istnieje przekszta lcenie f : A B takie, że f An = f n (Uwaga: N można zasta pć zbiorem dowolnym indeksów, podać odpowiebnie sformu lowanie tezy) 3

4 49 Funkcja G G, g g 1 jest homomorfizmem wtady i tylko wtedy gdy G jest przemienna 50 Dla f, g Hom(G, H) określamy f g : G H, (f g)(x) = f(x) g(x) Wykazać, że gdy H jest abelowa, to f g jest homomorfizmem 51 Niech A, B, C, D be grupami abelowymi Mówimy, że cia g homomorfizmów A B C jest dok ladny w miejscu B, gdy im(a B) = ker(b C) Za lóżmy, że 0 A B C 0 jest dok ladny w miejscach A, B i C W którym z miejsc jest dok ladny oczywisty cia g 0 Hom(D, A) Hom(D, B) Hom(D, C) 0? 52 Za lożenia tjw W którym z miejsc jest dok ladny oczywisty cia g 0 Hom(C, D) Hom(B, D) Hom(A, D) 0? 53 Za lożenia tjw oraz za lóżmy dodadkowo A jest podzielna W którym z miejsc jest dok ladny oczywisty cia g 0 Hom(D, A) Hom(D, B) Hom(D, C) 0? 54 Podać przyk lad grupy abelowej beztorsyjnej A takiej, że istnieje epimorfizm p : B A z grupy abelowej B nie maja cy przekroju (tzn nie istnieje s : A B spe lniaja cego p s = id A ) 55 Niech A, B, C be grupami przemiennymi Za lóżmy, że 0 A f B g C 0 jest dok ladny w miejscach A, B i C Wykazać, że gdy istnieje h : B A, takie h f = id A, to B A C Czy wynikanie w odwrotna strone jest prawdziwe? Analogicznie rozważyć warunek: istnieje k : C B taki, że g k = id C 56 (pis) Dana grupa abelowa A = Z n /im(φ), gdzie φ : Z m Z n jest zadane wzorem ( m ) m m m φ(a 1, a 2,, a m ) = a i, i a i, i 2 a i, i n 1 a i i=1 i=1 i=1 i=1 Przedstawić A w postaci produktu grup cyklicznych 57 (pis) Czy każda grupa rze du 595 jest cykliczna? 58 (pis) Dla jakiego n istnieje grupa prosta rze du 3 n 7? 59 Niech grupa G dzia la na grupe H przez automorfizmy Podać wzór na centrum H G wyrażony za pomoca niezmienników G, H i dzia lania 60 Czy Q Q Q? 61 Udowodnić, że grupa Σ n ma przedstawienie: generatory: transpozycje s i = (i, i + 1) dla i = 1, s,, n 1 relacje: s 2 i = 1, s i s j = s j s i dla i j 1, (s i s i+1 ) 3 = 1 VERTE 4

5 We czwartek o g 15 jest kolokwium Zamiast ćwiczeń rano zrobimy konsultacje: jeśli ktoś be dzie mia l pytanie, to postaram sie odpowiedzieć Możemy też robić zadania 64, 67, 68, 69, 72, Podgrupa grupy nilpotentnej jest nilpotentna 63 Iloraz grupy nilpotentnej jest grupa nilpotentna 64 * W grupie nilpotentnej G, zbiór elementów torsyjnych tworzy podgrupe (Ewentualnie patrz [KM]) 65 Niech G be przez skończony zbiór A Przez g oznaczamy d lugość najkrótszego s lowa reprezentuja cego g Definiujemy d(g, h) = gh 1 Udowodnić, że d jest metryka (odleg lościa ), w szczególności spe lnia nierówność trójka ta 1 66 Grupa Heisenberga 0 1 ma wzrost r * Grupy nilpotentne maja wzrost wielomianowy 68 * SL 2 (Z) ma wzrost wyk ladniczy 69 * Niech A = E 1,2 (1) SL 2 (Z) be dzie macierza elementarna Udowodnić, że grupa generowana przez A i A T jest wolna 70 Niech Λ R n be dzie krata, tzn Λ jako podgrupa grupy R n jest generowana przez wektory stanowia ce baze R n Udowodnić, że Λ Z n (to chyba bardzo latwe) 71 Niech G O(n) be dzie skończona grupy izometrii przestrzeni R n Za lóżmy, że: (1) G zachowuje pewna krate Λ R n (2) G jest generowana przez odbicia (tzn symetrie prostopad le) s v wzge dem hiperp laszczyzn H v = v dla v A Λ Wykazać, że element s v s w dla v, w A może być rze du 1, 2, 3, 4 lub 6 72 (Rozk lad Bruhata) Niech B GL n (K) oznacza grupe macierzy górnotrójka tnych Dla w Σ n niech a w oznacza macierz permutacji Udowodnić, że GL n (K) jest suma roz la czna zbiorów X w = B a w B = {b 1 a w b 2 b 1, b 2 B} gdzie w przebiega Σ n 73 Znaleźć normalizator grupy macierzy górnotrójka tnych B GL n (F) 5

1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.

1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym. Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf

Bardziej szczegółowo

4. Dzia lanie grupy na zbiorze

4. Dzia lanie grupy na zbiorze 17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa

Bardziej szczegółowo

1. Zadania z Algebry I

1. Zadania z Algebry I 1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0

Bardziej szczegółowo

Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa

Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa

Bardziej szczegółowo

Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Bardziej szczegółowo

5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe

5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe 22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.

Bardziej szczegółowo

Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.

Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy 1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Algebra I. A. Bojanowska P. Traczyk

Algebra I. A. Bojanowska P. Traczyk Algebra I A Bojanowska P Traczyk 2 Istnieje bardzo dużo podre czników algebry o różnym stopniu zaawansowania Poniższy tekst powsta l dla bardzo prostej przyczyny: chcieliśmy dostarczyć studentom WMIM opracowanie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

7. Klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych

7. Klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych 32 7 Klasyfiacja sończenie generowanych grup przemiennych W tym rozdziale zajmiemy sie sończenie generowanymi grupami przemiennymi Zgodnie z tradycja be dziemy sie pos lugiwać zapisem addytywnym Dzia lanie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b

Bardziej szczegółowo

Algebra I B ALGEBRA I B. W ladys law Narkiewicz

Algebra I B ALGEBRA I B. W ladys law Narkiewicz ALGEBRA I B W ladys law Narkiewicz Notatki do wyk ladu dla II roku matematyki w semestrze zimowym 2005/2006 0 1 I. Poje cia wste pne 1.1. Dzia lania 1. Dzia laniem w niepustym zbiorze X nazywamy każde

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. x 1

FUNKCJE LICZBOWE. x 1 FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2

Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2 Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y

Bardziej szczegółowo

Zadania o pierścieniach

Zadania o pierścieniach Zadania o pierścieniach 18.1.2015 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wydań) [BB] A. Biaynicki-Birula, Zarys algebry,

Bardziej szczegółowo

GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne

GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 4 kwietnia 2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

sa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)

sa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński) Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

GAL, konspekt wyk ladów: Tensory

GAL, konspekt wyk ladów: Tensory GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 8.6.2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy

Bardziej szczegółowo

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1

Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów

Wyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek . Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda

Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato 2015 prof. Wojciech Gajda Zadanie 1. Znaleźć rzędy wszystkich elementów w grupie G jeżeli: (a) G=Z/16 (b) G=(Z/36) (c) G=Q 8 (d) G=D 5 (e) G=Z/2 Z/8 (f) G=S 4.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, 3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +

Bardziej szczegółowo

Literatura: Oznaczenia:

Literatura: Oznaczenia: Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja 19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G; 1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest

Bardziej szczegółowo

Wersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?

Wersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

GAL z aweber/zadania/gal2017gw/ Wersja

GAL z aweber/zadania/gal2017gw/ Wersja Przestrzenie rzutowe GAL z 27 http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/ Wersja 2627 Patrz osobny plik http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach:

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu. y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Dziedziny Euklidesowe

Dziedziny Euklidesowe Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

O centralizatorach skończonych podgrup

O centralizatorach skończonych podgrup O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe

Bardziej szczegółowo

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q). 1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1. Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c +

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań

Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, Wrocław 2016/17 1 Grupy Zadanie 1 Pokaż, że jeśli grupy G i H są abelowe, to grupa G H też jest abelowa. Zadanie 2 Niech X będzie niepustym

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ

WYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ WYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ II UNIWERSYTET w BIAŁYMSTOKU Instytut Matematyki Ryszard R. Andruszkiewicz WYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ II Białystok 2007 Copyright c Uniwersytet w Białymstoku, Białystok 2005 ISBN

Bardziej szczegółowo

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne

GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 5 kwietnia 2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta

Pierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu

Bardziej szczegółowo

GAL z Konspekt wyk ladów: Formy 2-liniowe [Kos roz.1 4], [Tor VII] 1 zadane wzorem φ # (w) = φ(, w). W bazach:

GAL z Konspekt wyk ladów: Formy 2-liniowe [Kos roz.1 4], [Tor VII] 1 zadane wzorem φ # (w) = φ(, w). W bazach: GAL z 2017 Konspekt wyk ladów: Formy 2-liniowe [Kos roz1 4], [Tor VII] 242017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH

2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.

Bardziej szczegółowo

5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej

5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A. Pilitowska i A. Romanowska jesień 2012 1 Iloczyny (produkty) proste 1. Znaleźć tabelke dodawania i mnożenia pierścienia Z 2 Z 3. 2. Które z naste puja cych par grup

Bardziej szczegółowo

GAL, konspekt wyk ladów: Tensory

GAL, konspekt wyk ladów: Tensory GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 15.6.2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Cia la i wielomiany Javier de Lucas

Cia la i wielomiany Javier de Lucas Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki

Bardziej szczegółowo

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q). 1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8 EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja

Bardziej szczegółowo