CHARAKTERYSTYKI W DZIEDZINIE CZASU I CZ STOTLIWO CI Podstawowe czªony dynamiczne Opis w dziedzinie czasu: Odpowied¹ impulsowa g(t) = L 1 [G(s)] odpowied¹ na pobudzenie delt Diraca δ(t) przy zerowych warunkach pocz tkowych, wªasno±ci delty Diraca δ(t): δ(t) = δ(t)dt = 1, { dla t = 0 0 dla t 0 L [δ(t)] = 1. 1 f(t)δ(t)dt = f(0)
2 Odpowied¹ skokowa [ ] G(s) h(t) = L 1 s odpowied¹ na pobudzenie jednostkow funkcj skokow (jedynk Haeviside'a) 1(t) przy zerowych warunkach pocz tkowych, wªasno±ci jedynki Haeviside'a 1(t): 1(t) = 1(t) = { 0 dla t < 0 1 dla t 0 t L [1(t)] = 1 s. δ(τ)dτ
Zwi zki z modelem (A, b, c, d) w przestrzeni stanu dla uproszczenia rozwa»amy ukªad skalarny (SISO - Single Input Single Output): gdzie ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) + du(t) x(t) R n, u(t), y(t) R, t A R n n, b, c R n, d R. Zachodzi zatem: g(t) = c T Φ(t)b + d τ h(t) = c T Φ(τ)dτb + d1(t) 0 Φ(t) = exp(at) = L 1 [Φ(s)] Φ(s) = L 1 [ (si n A) 1] 3
4 G(s) = L [g(t)] = c T Φ(s)b + d H(s) = L [h(t)] = G(s) s = ct Φ(s)b s + d s. Opis w dziedzinie cz stotliwo±ci: Charakterystyki cz stotliwo±ciowe: G(s) s=jω, ω R+ = { X(ω) + jy (ω) M(ω) e jϕ(ω) X(ω) cz ± rzeczywista, Y (ω) cz ± urojona, M(ω) charakterystyka amplitudowa (moduª), ϕ(ω) charakterystyka fazowa (faza).
5 M(ω) = X 2 (ω) + Y 2 (ω) ϕ(ω) = arctan Y (ω) X(ω) X(ω) = M(ω) cos ϕ(ω) Y (ω) = M(ω) sin ϕ(ω). ] X(ω) = Re [G(s) s=jω ] Y (ω) = Im [G(s) s=jω. Reprezentacje: reprezentacja M(ω) w ukªadzie kartezja«skim z osiami (log,db) oraz ϕ(ω) w ukªadzie kartezja«skim z osiami (log,deg) to charakterystyki Bodego (odpowiednio: amplitudowa oraz fazowa), reprezentacja M(ω) e jϕ(ω) w ukªadzie biegunowym z osiami (X(ω), Y (ω)) to charakterystyka amplitudowo-fazowa (hodograf ).
6 Podstawowe czªony dynamiczne Rysunek 1: Model wej±ciowo-wyj±ciowy czªonu dynamicznego. Y (s) = G(s) U(s), G(s) transmitancja podstawowego (prototypowego) czªonu dynamicznego. Czªon proporcjonalny: G(s) = k, H(s) = k /s g(t) = k δ(t), h(t) = k 1(t) X(ω) = k, Y (ω) = 0 M(ω) = k { 0 gdy k 0 ϕ(ω) = 180 gdy k < 0.
Czªon caªkuj cy: 7 G(s) = k /s, H(s) = k / s 2, k > 0 g(t) = k 1(t), h(t) = k t 1(t) X(ω) = 0, Y (ω) = k /ω M(ω) = k /ω, ϕ(ω) = 90. Model w przestrzeni stanu (dla: x(t) = y(t) oraz ẏ(t) = k u(t)): A = [0], b = [k], c = [1], d = [0]. Czªon ró»niczkuj cy: G(s) = k s, H(s) = k, k > 0 g(t) = k δ(t), h(t) = k 1(t) X(ω) = 0, Y (ω) = k ω M(ω) = k ω, ϕ(ω) = 90.
8 Czªon inercyjny: G(s) = k 1 + st k wzmocnienie statyczne k > 0, T staªa czasowa, T > 0. Odpowied¹ impulsowa: g(t) = L 1 [G(s)] = k T e t/t 1(t). Odpowied¹ skokowa: h(t) = L 1 [ G(s) s ] = k(1 e t/t ) 1(t). Czas ustalania T s odpowiedzi skokowej T s = {t : h(t) = k(1 )} 0 < 1, wynosi T s = T ln.
9 Rysunek 2: Znormalizowana odpowied¹ skokowa czªonu inercyjnego (k = 1). Zachodzi ponadto: h(t) t=t = (1 e 1 )k = 0.6321k h(t) t = k. Charakterystyka widmowa: G(s) s=jω = M(ω)e jϕ(ω) k = 2e j arctan ωt. 1 + ω2 T Pulsacja trzydecybelowego pasma: Czemu odpowiada ω 3dB = 1 /T. M(ω 3dB ) = k / 2 oraz ϕ(ω3db ) = 45.
10 Rysunek 3: Znormalizowane cz stotliwo±ciowe charakterystyki czªonu inercyjnego (k = 1). Model w przestrzeni stanu: kªad c { T ẏ(t) + y(t) = k u(t) y(t) = x(t) mamy A = [ 1 /T ], b = [k /T ], c = [1], d = [0].
Czªon oscylacyjny: ωn 2 G(s) = ωn 2 + 2ζω n s + s = 1 2 1 + 2ζτs + τ 2 s 2 (1) ζ wspóªczynnik tªumienia, 0 < ζ < 1, ω n = 1 /τ pulsacja naturalna (pulsacja drga«nietªumionych). Odpowied¹ impulsowa: ( ) g(t) = L 1 ω n [G(s)] = 1 ζ 2 e ζω nt sin ω 0 t 1(t), ω 0 = ω n 1 ζ2 = drga«tªumionych. Odpowied¹ skokowa: 1 ζ 2 τ [ ] G(s) h(t) = L 1 s [ ] = 1 e ζω nt sin (ω 0t + α) 1(t) 1 ζ 2 = [ 1 e ζω nt ( cos ω 0 t + 11 pulsacja )] ζ sin ω 0t 1(t) 1 ζ 2 1 ζ 2 α = arctan = arccos ζ. ζ
12 Znormalizowane przebiegi odpowiedzi skokowych dla ró»nych warto±ci wspóªczynnika tªumienia ξ: Rysunek 4: Znormalizowane odpowiedzi skokowe czªonu oscylacyjnego. Widmowa charakterystyka czªonu oscylacyjnego: G(s) s=jω = M(ω) e jϕ(ω) = ω 2 n (ω 2 n ω 2 ) 2 + (2ζω n ω) 2 e j arctan ( 2ζωnω ω 2 n ω 2 ).
Znormalizowane przebiegi funkcji M(ω) oraz ϕ(ω) dla ró»nych warto±ci wspóªczynnika tªumienia ζ : 13 Rysunek 5: Znormalizowane charakterystyki cz stotliwo±ciowe czªonu oscylacyjnego. Wska¹niki odpowiedzi skokowej h(t) (por. rys. 6): przeregulowanie gdzie κ = h max h( ) h( ) h max = max t 0 h(t), 100%
14 Rysunek 6: Denicja wska¹ników dotycz cych odpowiedzi skokowej oraz charakterystyki amplitudowej czªonu oscylacyjnego. czas osi gni cia maksimum (czas piku, czas maksimum) T κ = {t : h(t) = h max }, czas ustalania dla strefy kontrolnej o szeroko±ci 2 T s = arg max t 0 {t : h(t) h( ) = h( )}.
Wska¹niki charakterystyki amplitudowej M(ω) czªonu oscylacyjnego: wska¹nik oscylacyjno±ci gdzie M r = M max M(0) M max = sup M(ω), ω 0 pulsacja rezonansowa ω r = {ω : M(ω) = M max }, trzydecybelowe pasmo przenoszenia ω 3dB = { ω : M(ω 3dB ) = M(0) }. 2 15 Model w przestrzeni stanu: [ ẋ1 (t) ẋ 2 (t) ] = [ ] [ ] 0 1 x1 (t) ωn 2 + 2ζω n x 2 (t) ] + [0] u(t). y(t) = [ 1 0 ] [ x 1 (t) x 2 (t) [ 0 kω 2 n ] u(t)
16 Czªon oscylacyjny - wzory projektowe (0 < ζ < 1) Przeregulowanie κ oraz czas maksimum T κ zale» w nast puj cy sposób od parametrów ζ oraz τ: ( κ = exp ζπ 1 ζ 2 ) (2) T κ = πτ 1 ζ 2. Czas ustalania T s jest nieci gª funkcj wspóªczynnika tªumienia ζ, dla której mo»na poda nast puj c ci gª funkcj majoryzuj c T s T s = τ ln( 1 ζ 2 ). ζ
Dla typowych warto±ci = 0.02 i = 0.05 oraz przy dostatecznie ma- ªych ζ mamy: 17 T s2% = 4τ ζ oraz T s5% = 3τ ζ. Wska¹niki M r, ω r oraz ω 3dB amplitudowej charakterystyki M(ω) zwi zane s z parametrami ζ oraz τ formuªami: M r = 1 2ζ 1 ζ 2, ω r = dla 0 < ζ < 1 2, 1 2ζ 2 τ (3) 1 2ζ 2 + (1 2ζ 2 ) 2 + 1 ω 3dB =. τ Zachodzi ponadto 1 ζ = 2 1 M 2 2M r 1, M r 1. r
18 Korzystaj c ze wzoru (2) mo»na wyznaczy zale»no± przeregulowania κ od wska¹nika oscylacyjno±ci M r. Mamy ponadto ζ = ln κ π 2 + ln 2 κ, κ > 0. Zatem na podstawie wzoru (3) mo»na okre±li relacj odwrotn (rys. 7), to znaczy: zale»no± wska¹nika oscylacyjno±ci M r od przeregulowania κ. Rysunek 7: Zwi zek mi dzy wska¹nikiem oscylacyjno±ci a przeregulowaniem odpowiedzi skokowej czªonu oscylacyjnego.
Na kolejnych rysunkach zilustrowano zale»no± rozwa»anych wska¹ników od wspóªczynnika tªumienia ζ. 19 Rysunek 8: Wska¹niki dotycz ce odpowiedzi skokowej czªonu oscylacyjnego.
20 Rysunek 9: Wska¹niki dotycz ce charakterystyki amplitudowej czªonu oscylacyjnego. Uzupeªniaj ce informacje o czªonie oscylacyjnym Bieguny s 1,2 transmitancji operatorowej (1) dane s wzorem (por. rys. 10) s 1,2 = ω n ζ ± j ω n 1 ζ2.
21 Rysunek 10: Poªo»enie biegunów transmitancji czªonu oscylacyjnego. Z rysunku tego wynika, i» A zatem tan α = 1 ζ 2. ζ α = arctan 1 ζ 2 ζ = arccos ζ. Zaªó»my, i» (1) jest operatorow transmitancj pewnego zamkni tego ukªadu dynamicznego (rys. 11), gdzie G 0 (s) = k s(1 + T s)
22 jest transmitancj operatorow odpowiedniego ukªadu otwartego, za± k = 1 2ζτ oraz T = τ 2ζ. Rysunek 11: Schemat strukturalny równowa»nego ukªadu dynamicznego. Pulsacja odci cia ω gc amplitudowej charakterystyki transmitancji tego ukªadu otwartego zdeniowana jest wzorem G 0 (s) s=jωgc = 1 za± jej zwi zek z parametrami transmitancji (1) opisuje formuªa 4ζ4 + 1 2ζ 2 ω gc = τ.
Zapas fazy rozwa»anego ukªadu zamkni tego wyra»a si wzorem p = π + arg G 0 (s) s=jωgc 2ζ = arctan 4ζ4. + 1 2ζ 2 23 Przebieg funkcji ω gc (ζ) pokazano na rys. 12, za± funkcj p (ζ) ilustruje rys. 13. Rysunek 12: Pulsacja odci cia ω gc. Dalej podano jeszcze szereg formuª przydatnych przy projektowaniu prostych u- kªadów regulacji.
24 Rysunek 13: Zapas fazy p. ζ = tan p cos p 2 cos p ω gc = 1 2ζ 2 + (1 2ζ 2 ) 2 + 1 ω 3dB cos p 2ζ ω gc = = τ τ tan p 4ζ4 + 1 2ζ ω gc = 2 ω 1 2ζ 2 r, 0 < ζ < 1 2 6 8 ω gc, ω gc. T s5% tan p T s2% tan p
Identykacja czªonu inercyjnego z opó¹nieniem 25 Identykacja modelu obiektu dynamicznego - to przyporz dkowanie danym pomiarowym pewnego opisu (struktury i parametrów) badanego obiektu. Identykowany model Badany obiekt dynamiczny modelowany jest operatorow transmitancj G(s) = k 1 + T i s e T 0s. Identykacji podlegaj trzy parametry tej transmitancji: wzmocnienie statyczne k > 0, staªa czasowa T i > 0, opó¹nienie transportowe T 0 0.
26 Charakterystyki w dziedzinie czasu. Odpowied¹ skokowa obiektu opisanego transmitancj G(s) dana jest wzorem h(t) = L 1 [G(s)/s] ) = k (1 e (t T 0)/T i 1(t T 0 ). Zachodz przeto nast puj ce zwi zki, które mog by przydatne przy identykacji: h(t) = 0 dla t T 0 T 0 = max {t : h(t) = 0} lim h(t) = k t h(t) t=ti +T 0 = k(1 e 1 ) = 0.632 k d dt h(t) t=t 0 = k. T i
27 Rysunek 14: Odpowied¹ skokowa identykowanego modelu. Cz stotliwo±ciowe charakterystyki modelu (amplitudowa M(ω) oraz fazowa ϕ(ω)): G(s) s=jω = M(ω) e jϕ(ω) k M(ω) = 1 + ω2 Ti 2 ϕ(ω) = arctan(ωt i ) ωt 0. Zachodz przy tym nast puj ce zwi zki, mog ce stanowi podstaw prostych procedur identykacji: M(0) = k
28 M(ω) ω=t 1 i = k 2 ω 3dB = 1 T i T i = 1 ω 3dB ϕ(ω) ω=ω3db = π 4 T 0 T i ( T 0 = T i ϕ(ω 3dB ) + π ) 4. Rysunek 15: Charakterystyka Nyquista modelu z opó¹nieniem.
29 Rysunek 16: Amplitudowa charakterystyka Bodego modelu z opó¹nieniem. Rysunek 17: Fazowa charakterystyka Bodego modelu z opó¹nieniem. piotrjsuchomski