Zastosowanie dyskretnej transformaty Laplace a do modelowania przebiegu procesów przejœciowych w przemyœle

Transkrypt

1 AUTOMATYKA 2005 Tom 9 Zeszyt 3 Jerzy Zalewicz* Zastosowanie dyskretnej transformaty Laplace a do modelowania przebiegu procesów przejœciowych w przemyœle 1. Wstêp Przy analizie zjawisk dynamicznych zwi¹zanych z komputerowym sterowaniem procesów istnieje potrzeba opisu matematycznego procesów z opóÿnieniami. Stosowane s¹ przy tym ró ne podejœcia nie zawsze oddaj¹ce z dostateczn¹ precyzj¹ charakter tych opóÿnieñ. W mechanice odzwierciedla siê praktyczne w³asnoœci sterowanych obiektów wprowadzaj¹c do ich opisu tzw. czas martwy. Szczególne miejsce w tym wzglêdzie zajmuj¹ procesy transportu materia³ów sypkich lub p³ynów, a tak e ogrzewanie. Nale ¹ do nich wszelkiego rodzaju podajniki, ruroci¹gi i piece. Przyk³adowo mo na wymieniæ d³ugie regulacyjne podajniki wêgla wystêpuj¹ce w elektrowniach, py³oprzewody itp. instalacje. Zwykle po up³ywie wielu minut (zwi¹zane jest to z prêdkoœci¹ podajnika) nastêpuje zmiana strumienia paliwa do paleniska kot³a po jej uprzedniej zmianie. Jest to niekiedy groÿne zjawisko, gdy prowadzi do znacznego utrudnienia przy sterowaniu tego typu obiektów. Sytuacja komplikuje siê jeszcze bardziej w przypadku ruroci¹gów z p³ynami. W zakresie gor¹cej wody dostarczanej do wêz³ów cieplnych niekiedy musz¹ up³yn¹æ godziny (przy rozleg³ych sieciach cieplnych), aby dokonana w elektrowni zmiana temperatury tej wody dotar³a do odbiorców. Równie przy eksploatacji elektrycznych tzw. linii d³ugich mo na mówiæ o opóÿnieniach. Wreszcie w innej skali w nowoczesnej elektronice cyfrowej, sieciach komputerowych i œrodkach telekomunikacyjnych wystêpuj¹ opóÿnienia w przesyle informacji [2]. 2. Zarys podstaw teoretycznych Dla cz³onów z opóÿnieniem mo na podaæ zale noœæ ³¹cz¹c¹ sygna³ wyjœciowy z wejœciowym yt () = kxt ( T o ) (1) * Wydzia³ Informatyki i Zarz¹dzania, Wy sza Szko³a Humanistyczno-Ekonomiczna, ódÿ; zalewicz@wp.pl 505

2 506 Jerzy Zalewicz gdzie: y(t) sygna³ wyjœciowy, x(t T o ) sygna³ wejœciowy, k wspó³czynnik wzmocnienia, czas opóÿnienia (martwy). T o Dokonuj¹c transformaty Laplace a (1) mamy st () o () Y s = ke X s (2) Transmitancja operatora cz³onu opóÿniaj¹cego rozumiana jako stosunek transformaty Laplace a sygna³u na wyjœciu cz³onu do sygna³u na jego wejœciu bêdzie równa Ys () st Gs () = = ke o (3) X() s Transformata Laplace a odpowiedzi impulsowej bêdzie równa Gs () = ke st o (4) Transformata Laplace a odpowiedzi skokowej bêdzie równa st Gs () ke o H() s = = (5) S S W dziedzinie ró nicowej opóÿnienie sygna³u mo na opisaæ zale noœci¹ gdzie: T s czas impulsowania, n wskaÿnik 0 l. f( t nt s ) (6) Dyskretna transformata Laplace a dla powy szej zale noœci bêdzie mia³a przy T s = 1 s postaæ n ( ) = ( ) Z f t nt z F z s (7) Zwykle w procesach przemys³owych czyste opóÿnienie nie wystêpuje samoistnie. Zwi¹zane jest z bezw³adnoœci¹ elementów mechanicznych lub elektrycznych. Wówczas w modelu uwzglêdniæ nale y tak e w³aœciwoœci inercyjne, a niekiedy oscylacyjne obiektu sterowanego.

3 Zastosowanie dyskretnej transformaty Laplace a Przyk³ad okreœlenia modelu dynamicznego podajnika W celu pe³niejszego zapoznania z proponowanym sposobem opisu dynamiki podajnika podany zostanie przyk³ad. Niech dynamikê podajnika opisuje transmitancja operatora () G s nt s ke = ST + 1 (8) Jest ona rozumiana nieco inaczej jak poprzednio i bêdzie to stosunek transformaty Laplace a sygna³u na wyjœciu uk³adu sk³adaj¹cego siê z cz³onu inercyjnego i opóÿniaj¹cego do transformaty Laplace a sygna³u wejœciowego. Przyjmuj¹c k = 5, n = 10, T s = 1 s, T = 100 s, mamy () G s 10s 5e = 100s + 1 (9) Transmitancjê t¹ mo na rozbiæ na dwa cz³ony () () () G s = G1 s G2 s (10) gdzie: G 1 () s 5 = 100s + 1 (11) 2 () 10s G s = e (12) Przechodz¹c do dyskretnej transformaty Laplace a i stosuj¹c oprogramowanie MA- TLAB mamy dla G 1 (s): l = [] 5 (13) m = [ 100 1] Dla okresu impulsowania równego 1 s mamy [ ld, md] c2 dm( l, m,1,' zoh' ) = (14) st¹d: ld = 0 0,0498 md = 1,0000 0,9900

4 508 Jerzy Zalewicz a dyskretna transmitancja operatorowa tego cz³onu bêdzie mia³a postaæ 0, 0498 G1 ( z) = (15) z 0,99 Na rysunku 1 przedstawiono odpowiedÿ cz³onu inercyjnego na skok jednostkowy dla uk³adu opisowego transmitancj¹ operatorow¹ (11), czyli step(l, m) oraz odpowiedÿ cz³onu na skok jednostkowy dla uk³adu opisanego dyskretn¹ transmitancj¹ operatorow¹ (15), czyli dstep(ld, md). Rys. 1. OdpowiedŸ cz³onu inercyjnego na skok jednostkowy step(l, m) oraz dyskretnego cz³onu inercyjnego na skok dstep(ld, md) Dla G 2 (s) postêpuje siê inaczej. Nale y dokonaæ dyskretnej transformaty Laplace a funkcji jej odpowiadaj¹cej Wówczas mamy ( n 10T ) ( n 10 1) ( n 10) δ0 s =δ0 =δ0 (16) 10 ( ) G () z = Z δ n 10 = z 2 0 (17)

5 Zastosowanie dyskretnej transformaty Laplace a gdzie: δ 0 funkcja Kroneckera [1], Z oznaczenie dyskretnej transformaty Laplace a, przy czym: δ 0 (kt) = 1 dla k = 0 (18) Ostatecznie δ 0 (kt) = 0 dla k 0 lub 0, Gz ( ) = G1( zg ) 2( z) = z (19) z 0,99 Gz ( ) = 0, z 0,99z (20) Transmitancja ta mo e byæ zapisana inaczej 0,0498 Gz ( ) = z 0,99z (21) Wykorzystuj¹c oprogramowanie MATLAB mamy: ld = [ 0, 0498] (22) md = [ 1 0, ] OdpowiedŸ na skok jednostkowy dla transmitancji (21) przedstawiono na rysunku 2 dstep(ld, md). W oprogramowaniu MATLAB istnieje stosowna procedura w Control System Toolbox discretization pozwalaj¹ca poddaæ analizie wp³yw opóÿnienia na zachowanie siê uk³adu dynamicznego. Dla transmitancji operatorowej (9) mamy: ( [ ] ) h = tf 5, 100 1,' inputdelay ',10 ; ( ) hd = c2 d h,1.

6 510 Jerzy Zalewicz Transfer function 0, z ( 10) (23) z 0,99 sampling time:1 step h (,' ', hd,' ' ) Rys. 2. OdpowiedŸ dyskretnego uk³adu inercyjnego z opóÿnieniem na skok jednostkowy dstep(ld, md) oraz odpowiedÿ na skok jednostkowy dyskretnego uk³adu inercyjnego z opóÿnieniem wyznaczonego w Control System Toolbox, step(h, - -, hd, - ) OdpowiedŸ uk³adu na powy szy skok jednostkowy jest identyczna jak dla poprzednio rozwa onego przypadku i przedstawiono j¹ na rysunku 2. Procedura zwi¹zana z opisem matematycznym uk³adów z opóÿnieniem bêdzie polegaæ w oparciu o analizê: zdjêtych charakterystyk dynamicznych na: oszacowaniu opóÿnienia w jednostkach czasu (w przyk³adzie 10 s), okreœleniu wspó³czynnika wzmocnienia (w przyk³adzie równy 5), okreœleniu sta³ej czasowej (dla przypadku procesu inercyjnego, w przyk³adzie 100 s);

7 Zastosowanie dyskretnej transformaty Laplace a sta³ych czasowych i wspó³czynnika t³umienia (dla przypadku procesu oscylacyjnego) na: okreœleniu czasu impulsowania T s (w przyk³adzie 1 s), okreœleniu dyskretnej transformaty Laplace a zarówno opóÿnienia, jak i cz³onu inercyjnego, okreœleniu finalnej dyskretnej transformaty Laplace a uk³adu sk³adaj¹cego siê z cz³onu opóÿniaj¹cego oraz inercyjnego (lub innego). 4. Wnioski Dla obiektów poddawanych sterowaniu lub automatycznej regulacji zwi¹zanych z opóÿnieniami transportowymi celowe jest wykorzystanie metod cyfrowej analizy ich w³aœciwoœci w szczególnoœci dyskretnej transformaty Laplace a. Uzyskuje siê w ten sposób mo liwoœæ precyzyjnego opisu w dziedzinie ró nicowej zjawisk fizycznych, które ze swej natury s¹ trudne do analizy w dziedzinie ró niczkowej. Przedstawiona metodyka mo e znaleÿæ zastosowanie przy konstrukcji cyfrowych regulatorów steruj¹cych obiektami z opóÿnieniami o w³aœciwoœciach opisanych zale noœciami dyskretnymi lub przy analizie dynamicznych w³aœciwoœci konkretnych obiektów przemys³owych po poddaniu ich typowymi wymuszeniami. Literatura [1] Ogata K.: Discret Time Control Systems. Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall 1995 [2] Jacquot R.G.: Modern Digital Control Systems. New York, Marcel Dekker Inc 1995

8 512 Jerzy Zalewicz