analogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów:

Transkrypt

1 Cel projektu. Projekt składa się z dwóch podstawowych zadań, mających na celu zaprojektowanie dla danej transmitancji: G( s) = m 2 s 2 e + m s + sτ gdzie wartości m 2 = 27, m = 2, a τ = 4. G( s) = 27s 2 e + 2s + 4s analogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów: a) wykreślić charakterystyki częstotliwościowe i czasowe obiektu oraz pokazać rozkład biegunów i zer b) wyznaczyć wzmocnienie statyczne obiektu oraz jego zastępczą stałą czasową i zastępcze opóźnienie c) scharakteryzować właściwości obiektu 2. dobrać okres próbkowania obiektu podając uzasadnienie wyboru 3a) dla wybranego okresu próbkowania wyznaczyć zastępczą transmitancję dyskretną obiektu G( z b0 + b z + L ) = z 2 + a z + a z + L 2 κ "widzianą" przez regulator cyfrowy wypracowujący schodkowy sygnał sterujący 3b) wykreślić charakterystyki częstotliwościowe i czasowe obiektu dyskretnego oraz pokazać rozkład biegunów i zer 3c) scharakteryzować właściwości uzyskanego modelu dyskretnego 4. pokazać zmianę rozkładu biegunów i zer oraz omówić ew. zmianę właściwości modelu dyskretnego dla przypadków niedokładnego określenia współczynników licznika i mianownika jego transmitancji dyskretnej według zasady: 4a) współczynnik b 0 licznika określono w wysokości 20% rzeczywistej wartości 4b) współczynnik a mianownika określono w wysokości 80% rzeczywistej wartości 4c) wystąpiły równocześnie błędy określenia współczynników transmitancji modelu dyskretnego opisane w punktach 4a) i 4b) 5. pokazać zmianę rozkładu biegunów i zer oraz omówić ew. zmianę właściwości modelu dyskretnego dla przypadków innego doboru okresu próbkowania, według zasady: 5a) okres próbkowania wynosi 50% wartości dobranej w pkt. 2 5b) okres próbkowania wynosi 50% wartości dobranej w pkt. 2

2 Ad. Obiekt ciągły. a) Charakterystyki obiektu Charakterystyka czasowa odpowiedzi na skok jednostkowy i impuls Dirack a dla podanego niŝej układu: rys. odpowiedź układu na skok jednostkowy na wejściu. My uŝyliśmy tu programu Simulink, ale moŝna równie dobrze wpisać w programie Matlab, komendę step(transmitancja)

3 rys 2. odpowiedź na impuls Dirack a na wejściu W programie Matlab jest to komenda impulse(transmitancja)

4 Charakterystyki logarytmiczne: częstotliwościowa amplitudowa i częstotliwościowa fazowa (Bode) rys 3. Zobrazowane dwie charakterystyki Bode go W programie Matlab jest to komenda bode(transmitancja)

5 Charakterystyka amplitudowo- fazowa (Nyquist) rys 4. Charakterystyka Nyquista W programie Matlab uŝyliśmy komendy nyquist(transmitancja)

6 Charakterystyka przedstawiająca rozkład zer i biegunów rys 5. Jak widać na rysunku, rozkład odbywa się na osi rzeczywistej ujemnej. W programie Matlab jest to komenda pzmap(transmitancja)

7 Charakterystyka marginesu fazy i amplitudy do układu rys 6. Margines fazy i amplitudy przedstawiony graficznie. W programie Matlab korzystamy z funkcji margin(transmitancja) Kolejnym krokiem po zobrazowaniu przez nas marginesów było ich wyliczenie. W tym celu skorzystaliśmy z funkcji [Gm, Gp, wcg, wcp]=margin(transmitancja), otrzymując następujące wyniki: Margines amplitudy: G m =,7dB dla G=3,855 zgodnie ze wzorem: Gm = 20 log0 ( G) Margines fazy: G p =-80 dla ω cp =0,2989[rad/sek]

8 b) Wyznaczenie parametrów rys 7. przebieg czasowy do wyznaczenia parametrów. Na podstawie przebiegu czasowego odpowiedzi skokowej obiektu, wyznaczamy styczną do krzywej, a za jej pomocą z kolei, parametry: K s =; L=5.005; T=5.576; τ=.353; τ C =L+τ=6,358; c) Własności obiektu Brak oscylacji i przeregulowania, gdy podajemy na wejściu skok jednostkowy. Dla charakterystyki Nyquist a, zgodnie z tzw. regułą lewej dłoni, mijamy punkt -,j0 mając go po lewej stronie i nie przecinając go. W związku z tym, układ ten będzie stabilny. Dla wykresu przedstawiającego rozkład zer i biegunów odczytać moŝemy, iŝ układ będzie stabilny. Wynika to z tego, Ŝe jest przebieg odpowiedzi nieoscylacyjny (aperiodyczny) o wartości dąŝącej do zera dla t. Posiadamy takŝe w układzie odpowiedni zapas fazy i amplitudy, co

9 wynika z przeprowadzonych powyŝej obliczeń. Obiekt regulacji jest sterowalny, gdyŝ wyznacznik macierzy sterowalności W jest roŝny od zera i wynosi, co uwidoczniamy poniŝej. >> licznik=[] licznik = >> mianownik=[27 2 ] mianownik = 27 2 >> [A,B,C,D] = tf2ss(licznik,mianownik) A = B = 0 C = D = 0 >> Ab=A*B Ab = >> W=[B Ab] W = >> det(w) ans = Dodatkowo: >> ca=c*a ca = >> V=[C, ca] V = >> V=[C ca] V = >> V=[C; ca] V = >> det(v) ans = Układ opisany modelem przestrzeni stanu tak, jak powyŝej jest obserwowalny poniewaŝ wyznacznik macierzy obserwowalności V jest róŝny od zera.

10 Ad 2. Dobranie okresu próbkowania obiektu Spośród wielu metod doboru okresu próbkowania, wybraliśmy metodę opartą na doborze Tp na podstawie zastępczego opóźnienia. o Zgodnie ze wzorami na obliczenie czasu próbkowania T PP T rys 8. charakterystyka, z której korzystamy podczas wyliczania T PP oraz T 95. = 8,954 = 2 P T PP czyli: T P = 8,954 = 0,746 2 o Zgodnie z zaleŝnością na stałą czasową uzyskaną z 95% odpowiedzi na skok jednostkowy podany na wejście T 95 =34,6 T T P P = 9 = T T czyli uogólniając: T P = T95

11 U nas: T P = 34,6 = 3,46 0 o Zgodnie z zaleŝnością na zastępczy czas opóźnienia i zastępczą stałą czasową: τ C 0,,0 T TP (,2 0, ) τ C = 35 lub: τ C,0 0 T TP ( 0,35 0, ) τ C = 2 gdzie u nas: τ C T 6,358 = 0,408 5,457 rys 9. Charakterystyka pomocnicza do wzorów. czyli korzystając z pierwszej zaleŝności: T T P P = 0,35 6,358 2,225 =,2 6,358 7,630 Tę zaleŝność wybieramy i u nas T P =2

12 Ad 3. Dyskretyzacja a) Wyznaczenie zastępczej transmitancji dyskretnej obiektu Korzystając z transmitancji G( s) 27s + 2s + T P =2, w programie Matlab wpisujemy komendę transmitancja_dyskretna=c2d(transmitancja_ciągła, czas_próbkowania), otrzymujemy: = 4s e 2 oraz czasu próbkowania 0,0556 z + 0,0436 G ( z) = z 2 z,34 z + 0,4 2 Dalej, korzystając z komendy set(gz, var, z^-), uzyskamy: 0, ,0436 z G ( z) = z 2,34 z 0,4 z 3

13 b) charakterystyki czasowe i częstotliwościowe obiektu dyskretnego Charakterystyka czasowa odpowiedzi na skok jednostkowy i impuls Dirack a: rys 0. odpowiedź układu dyskretnego na skok jednostkowy na wejściu.

14 rys. odpowiedź na impuls Dirack a na wejściu układu dyskretnego

15 Charakterystyki logarytmiczne: częstotliwościowa amplitudowa i częstotliwościowa fazowa (Bode) rys 2. wykresy Bode go dla naszego obiektu

16 Charakterystyka amplitudowo- fazowa (Nyquist) rys 3. Charakterystyka Nyquist a dla obiektu dyskretnego.

17 Rozkład zer i biegunów rys 4. charakterystyka przedstawiająca rozkład zer i biegunów dla obiektu dyskretnego

18 Charakterystyka marginesu fazy i amplitudy do układu W programie Matlab korzystamy z funkcji margin(transmitancja) Kolejnym krokiem po zobrazowaniu przez nas marginesów było ich wyliczenie. W tym celu skorzystaliśmy z funkcji [Gm, Gp, wcg, wcp]=margin(transmitancja), otrzymując następujące wyniki: Margines amplitudy: G m =0,3dB dla G=3,289 zgodnie ze wzorem: Gm = 20 log0 ( G) Margines fazy: G p =-80 dla ω cp =0,266[rad/sek]

19 c) właściwości obiektu po dyskretyzacji Badanie sterowalności: Z = P = K = 3 >> [A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K) A = B = 0 0 C = D =0 >> >> >> Ab=A*B Ab = 0 >> A2=A*A A2 = >> A2b=A2*B A2b = >> W=[B Ab A2b] W = >> det(w) ans = >> Badanie obserwowalności:

20 >> ca=c*a ca = >> A2=A*A A2 = >> ca2=c*a2 ca2 = >> V=[C;cA;cA2] V = >> det(v) ans = Uzyskany przez nas obiekt dyskretny: 0, ,0436 z G ( z) = z 2,34 z 0,4 z 3 jest sterowalny i obserwowalny, poniewaŝ zostały spełnione następujące warunki: o sterowalność det( W ) 0 o obserwowalność det( V ) 0 Z rysunku 5 wynika, Ŝe zera i bieguny naszego modelu dyskretnego leŝą wewnątrz koła jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, co oznacza, Ŝe uzyskany przez nas model jest minimalno-fazowy.

21 Ad 4. Zmiana zer i biegunów w przypadku niedokładności a) Zmiana do 20% dla b 0 G 2 0,0667 z + 0,0436 z 2 2 ( z) = z,34 z + 0,4 z rys 5. charakterystyka przedstawiająca rozkład zer i biegunów dla obiektu dyskretnego przy b 0 na poziomie 20% Zmiana współczynnika b 0 do wartości 20% początkowej, nie wpłynęła na zmianę charakteru obiektu. Nadal jest on obiektem minimalno-fazowym, sterowalnym i obserwowalnym. Sterowalność: W=[B Ab A2b] W = >> det(w) ans =

22 Obserwowalność: >> V=[C;cA;cA2] V = >> det(v) ans = b) zmiana do 80% dla a G 2 0,0556 z + 0,038 z 2 2 ( z) = z,05 z + 0,642 z rys 6. charakterystyka przedstawiająca rozkład zer i biegunów dla obiektu dyskretnego przy a na poziomie 80%

23 Zmiana współczynnika a na wartość 80% jego wartości początkowej nie wpłynęła na zmianę charakteru obiektu. Nadal jest on obiektem minimalnofazowym, sterowalnym i obserwowalnym. Sterowalność: W=[B Ab A2b] W = >> det(w) ans = Obserwowalność: >> V=[C;cA;cA2] V = >> det(v) ans =

24 c) równoczesna zmiana dla a oraz b 0 G 2 0,0667 z + 0,038 z 2 2 ( z) = z,05 z + 0,642 z rys 7. charakterystyka przedstawiająca rozkład zer i biegunów dla obiektu dyskretnego przy a na poziomie 80% oraz b 0 na poziomie 20% Sterowalność: W=[B Ab A2b] W = >> det(w) ans =

25 Obserwowalność: >> V=[C;cA;cA2] V = >> det(v) ans = Nawet jednoczesna zmiana tych współczynników nie spowodowała zmian we właściwościach naszego obiektu. Ad 5. Zmiana czasu próbkowania T P a) okres próbkowania wynoszący 50% T P pierwotnego G 2 0,060 z + 0,038 z 2 4 ( z) = z,6 z + 0,2636 z rys 8. charakterystyka przedstawiająca rozkład zer i biegunów dla obiektu dyskretnego przy T P na poziomie 50%

26 b) okres próbkowania wynoszący 50% T P pierwotnego G 2 3 0,0556 z + 0,79 z + 0, z 2 ( z) = z,084 z + 0,2636 z rys 9. charakterystyka przedstawiająca rozkład zer i biegunów dla obiektu dyskretnego przy T P na poziomie 50% c) wnioski z przeprowadzonych symulacji Przy zmianie czasu próbkowania do wartości 50% T P pierwotnego, obiekt zachowuje swoje oryginalne właściwości, a dokładnie nadal jest obiektem minimalno-fazowym (co przedstawia rysunek 9). Ponadto jest sterowalny i obserwowalny. PoniŜej przedstawiamy obliczenia w programie Matlab: > Z=[0.060, 0.038] Z = >> P=[, ] P = >> K=5 K = 5

27 >> [A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K) A = B = 0 0 C = D = 0 >> A2=A*A A2 = >> Ab=A*B Ab = 0 >> A2b=A2*B A2b = >> W=[B Ab A2b] W = >> det(w) ans = >> ca2=c*a2 ca2 = >> ca=c*a ca =

28 >> V=[C;cA;cA2] V = >> det(v) ans = Przy zmianie czasu próbkowania do wartości 50% T P pierwotnego, obiekt nie jest juŝ minimalno-fazowy, poniewaŝ jedno z zer leŝy poza obszarem koła jednostkowego na płaszczyźnie liczb zespolonych. Z wykonanych przez nas poniŝszych obliczeń wynika, Ŝe obiekt nadal jest sterowalny i obserwowalny. >> Z=[ ] Z = >> P=[, -.084, ] P = >> K=2 K = 2 >> [A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K) A = B = 0 C = D = 2 >> Ab=A*B Ab = >> A2=A*A A2 = >> A2b=A2*B

29 A2b = >> W=[B Ab A2b] W = >> det(w) ans = >> ca=c*a ca = >> ca2=c*a2 ca2 = >> V=[C;cA;cA2] V = >> det(v) ans =