Schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1).
|
|
- Elżbieta Biernacka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA SYNTEZY UKŠADÓW REGULACJI 1 Schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Rysunek 1: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Korekcja statyczna: regulator proporcjonalny Transmitancja regulatora G c (s) = k c. Poszukuje si takiego wzmocnienia k c, aby linie pierwiastkowe ukªadu zamkni tego znalazªy si w obszarze wyznaczonym przez specykacje projektu.
2 2 Uwagi: 1) Regulator proporcjonalny (regulator typu P) posiada tylko jeden stopie«swobody, co mo»e nie wystarcza dla speªnienia wszystkich wymaga«. W takiej sytuacji niezb dna jest korekcja ukªadu regulacji poprzez zastosowanie odpowiednich dynamicznych czªonów korekcyjnych. 2) W przypadku regulatora typu P mo»- na zatem mówi tylko o statycznej korekcji ukªadu sterowania. 3) Ograniczone mo»liwo±ci regulacji typu P wynikaj tak»e z faktu,»e na dynamiczne wªasno±ci ukªadu zamkni tego maj wpªyw równie» zera odpowiedniej operatorowej transmitancji tego ukªadu.
3 PRZYKŠAD 1 (REGULATOR P) 3 Obiekt o operatorowej transmitancji G p (s) = 3 + s s(5 + s)(6 + s)(2 + 2s + s 2 ) sterowany jest za pomoc regulatora typu P o transmitancji G c (s) = k c w ukªadzie zamkni tym z jednostkowym ujemnym sprz»eniem zwrotnym. Nale»y dobra wzmocnienie k c, przy którym odpowied¹ skokowa ukªadu zamkni tego posiada: przeregulowanie κ 0.15 oraz czas ustalania T s2% 8 s. Zauwa»my, i» specykacje (wymagania projektowe) podano w formie nierówno±ci co odpowiada cz sto stosowanej w praktyce zasadzie 'aby nie byªo gorzej ni»...'.
4 4 Rozwi zanie znaleziono, stosuj c przybli»on metod, opart na analizie obrazu linii pierwiastkowych zamkni tego ukªadu sterowania. Transmitancji ukªadu otwartego: G 0 (s) = k c G p (s), k c 0. Linii pierwiastkowe (uzyskane w rutynowym post powaniu) pokazano na rys. 2. Rysunek 2: Przykªad 1: linie pierwiastkowe ukªadu z regulatorem proporcjonalnym.
5 Bieguny oraz zero transmitancji G p (s): p 1 = 6, p 2 = 5, p 3,4 = 1±j1, p 5 = 0; z 1 = 3. Z rys. 2 wynika,»e istnieje taki przedziaª warto±ci wzmocnie«k c regulatora, któremu odpowiada stabilny ukªad zamkni ty. Krytyczn warto± k c = tego parametru, przy której ukªad sterowania znajduje si na 'granicy stabilno±ci', wyznaczono na podstawie algebraicznego kryterium Routha. Poszukuj c wzmocnienia k c < k c, przy którym odpowied¹ skokowa ukªadu zamkni tego speªnia postawione wymagania, posªu»ymy si uproszczon procedur, opart na nast puj cej hipotezie. 5
6 6 HIPOTEZA O DOMINUJ CEJ PARZE BIEGUNÓW ZESPOLONYCH: Zakªada si, i» o dynamicznych wªasno±ciach zamkni tego ukªadu sterowania decyduje para sprz»onych biegunów jego transmitancji, poªo»onych na pªaszczy¹nie zespolonej w obszarze okre±lonym wymaganiami projektowymi, dotycz cymi przede wszystkim stabilno±ci oraz szybko±ci procesów przej- ±ciowych. W przypadku wska¹ników κ i T s2% odpowiedzi skokowej, obszar taki deniuje si jako wspóln cz ± (rys. 2): póªpªaszczyzny le» cej na lewo od póªprostej s = σ 0 σ 0 = ζ T s T s = 3 T s5% = 4 T s2%
7 sto»ka wyznaczonego k tami ϕ κ i ϕ ( ) κ π ϕ κ = arctan = arccos (ζ) ln(κ) gdzie ln(κ) ζ = π 2 + ln 2 (κ) za± T s to unormowany czas ustalania odpowiedzi skokowej czªonu drugiego rz du o wspóªczynniku tªumienia ζ. Obliczenia numeryczne: κ = 0.15 oraz T s2% = 8 s ζ = oraz T s2% = σ 0 = oraz ϕ κ =
8 8 Przykªadowa warto± wzmocnienia regulatora, przy której wszystkie bieguny transmitancji ukªadu zamkni tego le-» w dopuszczalnym obszarze pªaszczyzny zespolonej (co potwierdza MATLAB): k c = Wska¹niki odpowiedzi skokowej ukªadu zamkni tego (symulacja): κ = < 0.15 oraz T s2% = 6.75 s < 8 s. Na rys. 3 pokazano t odpowied¹ oraz dla porównania odpowied¹ wzorcowego czªonu drugiego rz du o parametrach wynikaj cych z powy»szych rozwa»a«: ζ = oraz τ = T s2% T s2% = s.
9 9 Rysunek 3: Przykªad 1: odpowiedzi skokowe. MATLABowe funkcje wspomagaj ce projektowanie metod linii pierwiastkowych: rlocus(licznikgp, mianownikgp); % wykre±lanie linii pierwiastkowych; sgrid; % wykre±lanie 'siatki' staªych warto±ci wspóªczynnika tªumienia ζ oraz pulsacji naturalnej ω n = 1/τ; [k,bieguny]=rlocnd(licznikgp, mianownikgp); % funkcja wyznacza wzmocnienie kc oraz bieguny ukªadu zamkni tego, odpowiadaj ce wskazanemu punktowi pªaszczyzny zespolonej (wskazanie za pomoc myszy); [bieguny,zera]=pzmap(licznik,mianownik); % funkcja wyznacza bieguny i zera zadanej transmitancji wymiernej (licznik(s)/mianownik(s)).
10 10 Korekcja dynamiczna: ogólne zaªo»enia Rozwa»my bardziej zªo»one zadania syntezy ukªadu zamkni tego z rys. 1, w których zakªada si u»ycie dynamicznych regulatorów (korektorów) G c (s). W pierwszej kolejno±ci rozpatrzymy reguªy strojenia regulatorów o typowych (standardowych) postaciach. Takie wyró»nione postacie regulatorów maj swoje zakorzenione w tradycji nazwy, wywodz ce si z typu dynamicznej operacji wykonywanej na sygnale uchybu (sygnale ró»nicowym), b d¹ te» sposobu, w jaki dany regulator oddziaªuje na fazow charakterystyk otwartego ukªadu regulacji. Wska»emy na podstawowe cele (cz stkowe zadania sterowania), które mo»na zrealizowa, posªuguj c si owymi standar-
11 dowymi czªonami korekcyjnymi. Mowa tu przede wszystkim o: stabilizacji ukªadu zamkni tego, ksztaªtowaniu zadanej szybko±ci przej- ±ciowych procesów regulacji, d»eniu do zapewnienia po» danej statycznej dokªadno±ci regulacji. Na wst pie rozwa»ane b d regulatory o transmitancjach pierwszego rz du. W zale»no±ci od sposobu parametryzacji takich transmitancji, rozpatrywa b dziemy nast puj ce regulatory (korektory): G c (s) = a 0 + a 1 s 1 + b 1 s, b 1 0 G c (s) = z + s p + s, z < p < 0. W ka»dym przypadku zakªada si zatem stabilno± regulatora. 11
12 12 Rozwa»ane b d tak»e bardzo popularne regulatory z rodziny PID, to znaczy regulatory o dziaªaniu proporcjonalnocaªkuj co-ró»niczkuj cym (Proportional-Integral-Derivative). Idealizowana transmitancja takiego regulatora ma posta G c (s) = k p + k i s + k ds. Oprócz wymienionych atrybutów ukªadu zamkni tego, wyznaczaj cych podstawowe cele projektowania (doda tu nale»a- ªoby jeszcze postulat tªumienia wpªywu zakªóce«), rozwa»ymy tak»e praktycznie (implementacyjnie) istotne o- graniczenia realizacji wybranych sposobów (algorytmów) regulacji, polegaj ce przede wszystkim na konieczno±ci respektowania nierówno±ciowych ogranicze«na warto± sygnaªu steruj cego.
13 Po zapoznaniu si z wªasno±ciami podstawowych standardowych bloków (sekcji) szeregowych regulatorów (korektorów), mo»na przyst pi do rozwi zywania bardziej zªo»onych (wielokryterialnych) zada«syntezy regulatorów. 13 Najprostsze podej±cie do 'kompleksowego' problemu syntezy regulatora polega na takiej dekompozycji zadania projektowego, aby rozwi zania poszczególnych cz stkowych zada«mo»na byªo uzyska w kolejnych, wzgl dnie autonomicznych krokach, polegaj cych na wyznaczaniu ('strojeniu', 'nastawianiu') owych wyró»- nionych standardowych sekcji bardziej zªo»onego regulatora.
14 14 Korekcja dynamiczna: stabilizacja oraz ksztaªtowanie szybko±ci regulacji (rozwa»ania ogólne) Obiekt o modelu G p (s) sterowany jest w ukªadzie danym na rys. 4 za pomoc regulatora pierwszego rz du G c (s) = a 0 + a 1 s 1 + b 1 s. (1) Rysunek 4: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Parametry a 0, a 1 oraz b 1 tej transmitancji dobieramy w ten sposób, aby równanie charakterystyczne ukªadu zamkni tego posiadaªo par pierwiastków zespolonych sprz»onych o zadanej warto±ci (s, s ) (jest to warunek konieczny, ale nie wystarczaj cy sukcesu!).
15 Transmitancja ukªadu zamkni tego ma posta G rc (s) = G c(s)g p (s) 1 + G c (s)g p (s). Na tej podstawie zapisujemy równo± : 15 Niech 1 + G c (s)g p (s) s=s = 0. (2) s = s e jϕ oraz G p (s ) = G p (s ) e jϑ. Zakªadaj c,»e G p (s ) 0, ze wzoru (2) otrzymujemy, i» a 0 + a 1 s = 1 + b 1s G p (s ). Po przeksztaªceniach mamy a 0 + a 1 s (cos(ϕ ) + j sin(ϕ )) = cos(ϑ) j sin(ϑ) G p (s ) b 1 s (cos(ϕ ϑ) + j sin(ϕ ϑ)). G p (s )
16 16 Rozwa»aj c cz ± rzeczywist oraz urojon powy»szego wyra»enia, otrzymujemy dwa warunki, niezb dne do tego, aby zachodziªa relacja (2). Poniewa» transmitancja G c (s) okre±lona jest trzema niezale»nymi parametrami (a 0, a 1 oraz b 1 ), uzyskujemy w ten sposób rodzin rozwi za«, opisan pewnym wybranym (swobodnym) parametrem tej transmitancji. Przyjmuj c a 0 jako parametr swobodny (co okazuje si podej±ciem bardzo dogodnym), wyznaczamy nast puj cy u- kªad równa«liniowych na parametry a 1 (a 0 ) oraz b 1 (a 0 ) transmitancji rozwa-»anego regulatora gdzie A [ a1 b 1 ] = b
17 17 A = b(a 0 ) = [ s cos(ϕ ) s cos(ϕ ϑ) G p (s ) s sin(ϕ ) s sin(ϕ ϑ) G p (s ) [ ] a0 cos(ϑ) G p (s ) sin(ϑ). G p (s ) ] Rozwi zanie tego ukªadu (przy zaªo»eniu,»e det A 0) ma posta : a 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) sin(ϕ ϑ) + sin(ϕ ) s G p (s ) sin(ϑ) b 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) (sin ϕ ) sin(ϕ + ϑ) s sin(ϑ) gdzie, jak ju» powiedziano, a 0 peªni rol swobodnego parametru. Przypadek det A = 0 (co zachodzi dla sin(ϑ) = 0) ma mniejsze znaczenie praktyczne.
18 18 Par {s, s }, od której oczekuje si,»e b dzie peªniªa rol dominuj cych biegunów transmitancji ukªadu zamkni tego, wyznacza si na podstawie specykacji dotycz cych przede wszystkim: stabilno±ci ukªadu zamkni tego, szybko±ci procesów przej±ciowych. Po»adane stabilizuj ce oraz przyspieszaj ce dziaªanie stosowanego regulatora wi -»e si z wymaganiem (warunek niezb dno±ci regulatora przyspieszaj cego (forsuj cego) faz ) wprowadzenia przez transmitancj G c (s) tego regulatora odpowiedniego dodatniego przyczynku fazowego arg (G c (s )) > 0 do równania arg (G c (s )) + ϑ = π wynikaj cego ze wzoru (2).
19 KOMENTARZ: 19 1) Poniewa» dominuj cy biegun transmitancji ukªadu zamkni tego musi le»e w lewej otwartej póªpªaszczy¹nie (Re (s ) < 0), a zatem ϕ (90, 180 ] sin(ϕ ) 0. 2) Swobodny parametr a 0 okre±la statyczne wzmocnienie regulatora lim G c(s) = a 0 + a 1 s s b 1 s = a 0. s=0 Dalej przeto przyjmujemy,»e a 0 > 0. Wymaganie stabilno±ci regulatora (1) prowadzi do warunku b 1 0. daj c ponadto, aby G c (s) byªa transmitancj minimalnofazow (nie jest wskazane wprowadzanie do modelu odpowiedniego ukªadu otwartego zer le» cych w prawej póªpªaszczy¹nie), otrzymujemy kolejn ograniczaj c nierówno± a 1 > 0.
20 20 3) Kªad c zatem a 0 > 0, a 1 > 0, b 1 0 zauwa»amy,»e obowi zuje nast puj ce oszacowanie maksymalnej mo»liwej do uzyskania dodatniej korekty fazy arg (G c (s )) < 90. Na tej podstawie otrzymujemy istotny warunek wystarczalno±ci rozwa»anego regulatora G c (s): Mamy zatem: oraz ϑ ( 270, 180 ). sin(ϑ) > 0, sin(ϕ + ϑ) < 0 (ϕ ϑ) ( 90, 90 ).
21 Gdy powy»szy warunek wystarczalno±ci regulatora (1) jest speªniony, wówczas obowi zuje nast puj ce ograniczenie na wzajemne usytuowanie bieguna oraz zera transmitancji G c (s) tego regulatora: 1 b 1 < a 0 a 1 < 0 (co jest równowa»ne wymaganiu forsowania fazy arg (G c (s )) > 0). 4) danie stabilno±ci regulatora (b 1 0) prowadzi do oszacowania maksymalnej dopuszczalnej warto±ci swobodnego parametru a 0 jego transmitancji G c (s): a 0max = sin(ϕ + ϑ) G p (s ) sin(ϕ ). Dla a 0 = a 0max mamy b 1 = 0, co daje regulator PD o idealizowanej postaci. 21
22 22 5) Dla a 0 a 0max speªniona jest po» dana nierówno± : a 1 (a 0 ) > 0. 6) Pocz tkowa warto± u 0 = u(t) t=0 sygnaªu steruj cego u(t) przy jednostkowym pobudzeniu r(t) = 1(t) oraz zerowych warunkach pocz tkowych wynosi u 0 = lim s G ru (s) = lim s G c (s) 1 + G c (s)g p (s). Dla obiektu o ±ci±le wªa±ciwej transmitancji G p (s) mamy zatem u 0 = a 1 b 1. Na tej podstawie otrzymujemy u 0 (a 0 ) = a 0 G p (s ) sin(ϕ ϑ) + sin(ϕ ) G p (s ) [ a 0 G p (s ) sin(ϕ ) sin(ϕ + ϑ)]. Dobieraj c warto± parametru a 0, mo-»emy, do pewnego stopnia, ksztaªtowa posta sygnaªu steruj cego obiektem.
23 7) Zapewniaj c ukªadowi zamkni temu równanie charakterystyczne o pierwiastkach (s, s ), nie gwarantuje si, w ogólno±ci,»e dynamiczne wªasno±ci tego ukªadu b d zdeterminowane owymi pierwiastkami! Sytuacja, w której para (s, s ) nie okre- ±la dominuj cych biegunów ukªadu zamkni tego ±wiadczy zwykle o zbyt wygórowanych wymaganiach co do tempa regulacji, trudnych do speªnienia przy bardzo prostej strukturze regulatora: w projekcie optymistycznie kªadzie si zbyt maª warto± parametru τ skali czasu. 8) Parametr a 0 wpªywa na wzmocnienie u- kªadu otwartego w otoczeniu s = 0 co z kolei wi»e si z ustalonymi uchybami dla typowych wielomianowych sygnaªów odniesienia r(t). Ograniczenie a 0 < a 0max sprawia,»e regulator (1) mo»e nie wystarcza, gdy oczekujemy tak»e pewnej poprawy statycznej dokªadno±ci regulacji. 23
24 24 PRZYKŠAD 1 (REGULATOR PIERWSZEGO RZ DU) Obiekt o transmitancji G p (s) = 25 (1 + 6s)( s)( s)( s s 2 ) jest sterowany za pomoc regulatora o transmitancji (rys. 4) G c (s) = a 0 + a 1 s 1 + b 1 s, b 1 0. Oblicz parametry tego regulatora, przyjmuj c specykacje dotycz ce stabilno±ci, szybko±ci oraz kosztów regulacji: zapas fazy p = 60, czas ustalania odpowiedzi skokowej T s5% = 1.35 s, pocz tkowa warto± sygnaªu steruj - cego dla jednostkowego pobudzenia skokowego u 0 = u(0) 3.0.
25 Wyznaczamy par» danych pierwiastków (s, s ) równania charakterystycznego u- kªadu zamkni tego (zamierzamy par t uczyni dominuj cymi biegunami transmitancji ukªadu regulacji): s = α + jβ = ζ τ + j 1 ζ 2 gdzie ζ = tan( p) cos p 2 τ T s5% = 1.25 T s5% Zakªadaj c τ = 0.22 s τ = = s. (ze wzgl dów 'bezpiecze«stwa' przyj to τ < s), otrzymujemy: α = oraz β = s = oraz arg s =
26 26 Takiej warto±ci s odpowiadaj nast puj ce parametry transmitancji obiektu: G p (s ) = ϑ = arg G p (s ) = Pocz tkowa warto± sygnaªu steruj cego u 0 (a 0 ) = a a Przyjmuj c u 0 (a 0 ) = 3, uzyskujemy a 0 = Pozostaªe parametry regulatora: a 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) sin(ϕ ϑ) + sin(ϕ ) s G p (s ) sin(ϑ) = b 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) (sin ϕ ) sin(ϕ + ϑ) s sin(ϑ) =
27 Analiza ukªadu regulacji 27 Rysunek 5: Linie pierwiastkowe ukªadu regulacji: przed i po korekcji.
28 28 Charakterystyki ukªadu zamkni tego: zapas fazy p = 66, parametry odpowiedzi skokowej: T s5% = s oraz κ = KOMENTARZ: 1) Transmitancja regulatora ma posta G c (s) = s s. Zachodzi zatem arg G c (jω) > 0 ω > 0. Mamy do czynienia z regulatorem przyspieszaj cym faz (regulatorem typu lead). 2) Porównajmy wªasno±ci tak zaprojektowanego ukªadu regulacji z wªasno±ciami ukªadu, w którym u»yto prostszy regulator proporcjonalny (regulator typu P) G c (s) = k c.
29 Statyczne wzmocnienie k c tego regulatora dobiera si w ten sposób, aby zapewni ukªadowi» dany zapas stabilno±ci (przede wszystkim stabilno±!). Wzmocnienie k c uzyskamy (zob. przykªad 1 ), wyznaczaj c punkt przeci cia linii pierwiastkowych badanego u- kªadu z prost o nachyleniu arccos (ζ) = Mo»na te» skorzysta z odpowiednich funkcji MATLABa (patrz dalej)! Tak post puj c, obliczono k c = Ukªad z regulatorem typu P charakteryzuje si wska¹nikami: - zapas fazy p = 66.2, - parametry odpowiedzi skokowej: T s5% = s oraz κ =
30 30 3) Porównajmy statyczn dokªadno± o- bu badanych ukªadów regulacji (zauwa»- my jednak, i» jest to atrybut wynikowy, ta cecha ukªadu regulacji nie byªa bowiem przedmiotem projektu): statyczne wzmocnienie: regulator lead k lead p = a 0 G p (0) = regulator P k P p = k c G p (0) = ; ustalony bª d poªo»eniowy: regulator lead e lead p = regulator P e P p = k lead p k P p = =
31 WNIOSKI: 31 U»ycie dynamicznego regulatora przyspieszaj cego faz (korektora lead) znacz co poprawiªo wszystkie wªasno±ci projektowanego ukªadu regulacji (w stosunku do ukªadu, w którym stosuje si regulator proporcjonalny, nastawiony w ten sposób, aby zachowa zadany zapas fazy). W szczególno±ci, u»ycie dynamicznego regulatora do stabilizacji ukªadu regulacji zapewniªo tak»e pewien wzrost statycznego wzmocnienia ukªadu otwartego, w konsekwencji wzrosªa statyczna dokªadno± oraz poprawiªa si zdolno± ukªadu zamkni tego do przeciwdziaªania zakªóceniom oddziaªuj cym na o- biekt.
32 32 Zakªóceniowa transmitancja uchybowa G de (s) = E(s) D(s) = G c (s)g p (s). Dla krytycznego skokowego zakªócenia d(t) mamy oszacowanie ustalonego u- chybu, wywoªanego takim zakªóceniem e( ) = G c (0)G p (0). Zwi kszaj c statyczne wzmocnienie ukªadu otwartego, zmniejszamy warto± tego uchybu. W ukªadzie z regulatorem typu P zwi kszenie statycznej dokªadno±ci oraz popraw tªumienia wpªywu zakªóce«mo»na osi gn tylko kosztem zmniejszenia zapasu stabilno±ci tego ukªadu. Stosuj c regulator przyspieszaj cy faz, musimy jednak liczy si z konieczno±ci stosowania bardziej intensywnych sygna- ªów sterowania obiektem.
33 Rysunek 6: Porównanie wªasno±ci ukªadów sterowania: a) odpowiedzi skokowe, b) sygnaªy steruj ce. 33
34 34 Oto stosowne MATLABowe zakl cia. licz=25; % modelowanie obiektu; mian=conv(conv([6 1],[0.2 1]),[0.03 1]); mian=conv(mian,[ ]); % wykre±lanie linii pierwiastkowych; rlocus(licz,mian); % a wªa±ciwie tylko tego fragmentu, % który jest istotny ze wzgl du na synteze regulatora axis([ ]); % na wykres linii pierwiastkowych % 'nakªadana jest siatka' staªych ζ; sgrid; % na ekranie zaznaczamy wybrany punkt, % odpowiadaj cy ζ kc=rlocnd(licz,mian); Select a point in the graphics window selected_point = i %» dane wzmocnienie regulatora typu P; kc kc =
35 35 % wyznaczanie zapasów stabilno±ci; [Gm,Pm]=margin(kc*licz,mian) % zapas wzmocnienia (w decybelach); Gm = % zapas fazy (w stopniach); Pm = % zapas fazy (w stopniach); Rysunek 7: Ilustracja strojenia regulatora proporcjonalnego. % modelowanie regulatora typu lead; Gclicz=[ ]; Gcmian=[ ];
36 36 % modelowanie ukªadu otwartego z regulatorem typu lead [G0licz,G0mian]=series(Gclicz,Gcmian,licz,mian); % modelowanie ukªadu zamkni tego z regulatorem typu lead [liczz1,mianz1]=cloop(g0licz,g0mian); % modelowanie ukªadu zamkni tego z regulatorem typu P; [liczz0,mianz0]=cloop(kc*licz,mian); % wykre±lanie odpowiedzi skokowych ukªadów zamkni tych; [y,x,t]=step(liczz0,mianz0); step(liczz1,mianz1,t); axis([ ]); hold on plot(t,y,'.') % statyczne wzmocnienie otwartego ukªadu z regulatorem P; kp0=dcgain(kc*licz,mian) kp0 = % statyczne wzmocnienie otwartego % ukªadu ze regulatorem lead; kp1=dcgain(g0licz,g0mian)
37 37 kp1 = % ustalony bª d poªo»eniowy ukªadu z regulatorem P; e0=1/(1+kp0) e0 = % ustalony bª d poªo»eniowy ukªadu z regulatorem lead; e1=1/(1+kp1) e1 = % modelowanie transmitancji G ru (s); [liczu0,mianu0]=feedback(kc,1,licz,mian,-1); [liczu1,mianu1]=feedback(gclicz,gcmian,licz,mian,-1); % modelowanie sterowania u(t); [u0,y,t]=step(liczu0,mianu0); step(liczu0,mianu0); step(liczu1,mianu1,t); hold on; plot(t,u0,'.'); axis([ ]);
38 38 Korekcja dynamiczna: stabilizacja oraz ksztaªtowanie szybko±ci regulacji (uproszczona metoda) Rozwa»my uproszczon metod syntezy regulatora pierwszego rz du przyspieszaj cego faz. Zadanie stabilizacji ukªadu zamkni tego ª czy si tu z zadaniem przyspieszenia przej±ciowych procesów regulacji. Metod t zaprezentujemy na przykªadzie numerycznym. Obiekt opisany transmitancj G p (s) = 2 s(3 + s)(8 + s). jest sterowany w ukªadzie z ujemnym jednostkowym sprz»eniem zwrotnym za pomoc regulatora o transmitancji G c (s).
39 Dla G c (s) = 1 (regulacja bez korekcji), odpowied¹ skokowa ukªadu zamkni tego charakteryzuje si : przeregulowaniem κ = 0.0, czasem ustalania T s5% = 35 s. Wyznacz takie warto±ci nastawialnych parametrów k, T oraz α transmitancji regulatora przyspieszaj cego faz 1/T + s G c (s) = k 1/(αT ) + s, T > 0, 0 < α < 1 aby kosztem niewielkiego wzrostu warto±ci przeregulowania (κ 0.2) uzyska znaczne zwi kszenie szybko±ci regulacji (T s5% 1 s). Zakªada si,»e dynamiczne wªasno±ci u- kªadu zamkni tego zdeterminowane s par (s, s ) dominuj cych biegunów transmitancji tego ukªadu: s = α + jβ = ζ 1 ζ τ + j 2. τ 39
40 40 Warto±ci parametrów ζ oraz τ wynikaj z wymaga«wobec odpowiedzi skokowej: ζ = ln(κ) π 2 + ln 2 (κ) τ = T s5% T s5% = T s5% Biegun s ma zatem posta Z warunku = = s. s = j G c (s)g p (s) s=s = 0 wnioskujemy,»e: αt k = 1 G p (s ) s + 1 s + 1 T. (3) arg G c (s ) = ϑ c = 180 arg G p (s )
41 Przyjmuj c oznaczenia zgodnie z rysunkiem 41 Rysunek 8: Ilustracja strojenia regulatora przyspieszaj cego faz : przyczynki fazowe. stwierdzamy,»e arg G p (s ) = ϑ p1 ϑ p2 ϑ p3 gdzie ϑ p1 = , ϑ p2 = oraz ϑ p3 = s przyczynkami fazowymi wnoszonymi przez odpowiednie bieguny (p 1 = 8, p 2 = 3 oraz p 3 = 0) transmitancji obiektu.
42 42 Zachodzi zatem arg G p (s ) = Wynika st d warto± przesuni cia fazowego, które dla s = s powinna zapewnia transmitancja regulatora ϑ c = Poniewa» ϑ c > 0, zatem od regulatora wymaga si pewnego przyspieszenia ('forsowania') fazy. Mamy ϑ c = arctan ( β 1 T α ) arctan ( sk d otrzymujemy przydatn formuª β 1 αt α ) 1 αt = α + tan ( arctan β ( ) β 1/T α ϑ lead ). (4)
43 43 KOMENTARZ: 1) Nale»y podkre±li, i» opisana procedura doboru parametrów regulatora G c (s) o- piera si na zaªo»eniu dodatniej i niezbyt du»ej warto±ci k ta ϑ c 0 < ϑ c < 90. W przypadku, gdy warunek ten nie jest speªniony, niezb dna jest pewna wery- kacja wymaga«projektowych, wyra»onych w specykacji pary (s, s ) (chodzi tu zwªaszcza o korekt oczekiwa«co do szybko±ci regulacji). 2) Postawione zadanie syntezy regulatora G c (s) nie ma jednoznacznego rozwi zania: traktuj c T jako parametr swobodny, pozostaªe parametry tego regulatora (to znaczy k oraz α) wyznaczy mo»na ze wzorów (3) oraz (4).
44 44 3) Pewien praktyczny walor posiada nast puj ca reguªa tak zwanego kompensacyjnego strojenia rozwa»anego regulatora G c (s), wedªug której T równa si najwi kszej staªej czasowej obiektu. 4) Inny sposób racjonalnej parametryzacji transmitancji regulatora polega na takim wyborze T, aby iloczyn kα, istotny ze wzgl du na statyczn dokªadno± u- kªadu regulacji, przyjmowaª mo»liwie du-» warto± (mamy bowiem G c (0) = kα). 5) W obliczu ogranicze«na warto± sygnaªu steruj cego u(t), sformuªowa mo»- na, do pewnego stopnia przeciwstawn, reguª strojenia regulatora, nakazuj c stosowne zmniejszanie warto±ci parametru k. Pocz tkowa warto± sygnaªu steruj cego obiektem przy jednostkowym sygnale zadaj cym r(t) = 1(t) oraz zerowych warunkach pocz tkowych równa si bowiem u(0) = k.
45 KONTYNUACJA OBLICZE : Zakªadamy ±cisª kompensacj dominuj cej staªej czasowej obiektu T = 1/3 s co, zgodnie ze wzorami (3) oraz (4), prowadzi do: 3 + s G c (s) = s, α = Pocz tkowa warto± sygnaªu steruj cego obiektem wynosi u(0) = Zauwa»my ponadto, i» w rozwa»anym przypadku zastosowanie regulatora przyspieszaj cego faz zapewniªo tak»e pewne 'wynikowe' zwi kszenie statycznej dokªadno±ci regulacji (jednak nie zawsze tak musi by!): wzmocnienie pr dko±ciowe ukªadu regulacji przed i po korekcji wynosi bowiem, odpowiednio: oraz
46 46 Symulacja odpowiedzi skokowej ukªadu zamkni tego pozwala na oszacowanie: przeregulowania κ = czasu ustalania T s5% = 1.06 s. oraz Rysunek 9: Odpowiedzi skokowe. Widzimy tu tak»e przebieg odpowiedzi skokowej czªonu modelowanego wzorcow transmitancj drugiego rz du o wy»ej danych parametrach ζ oraz τ.
47 Porównuj c obie odpowiedzi, stwierdzamy, i» odpowied¹ 'rzeczywistego' ukªadu regulacji jest wolniejsza od odpowiedzi wzorcowej. W praktyce zaleca si zatem, aby do projektowych oblicze«przyjmowa 'nieco' mniejsz warto± parametru skali czasu τ w stosunku do warto±ci, która wynika ze wst pnych oszacowa«wywiedzionych z wymaga«(specykacji) odno±nie po-» danej szybko±ci przej±ciowych procesów regulacji lub pasma przenoszenia u- kªadu zamkni tego. 47
48 48 Korekcja dynamiczna: zwi kszanie statycznej dokªadno±ci regulacji Strukturalny schemat standardowego u- kªadu zamkni tego dano na rys. 10. Rysunek 10: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. O transmitancji G 0 (s) zakªada si, i» przy jednostkowej transmitancji G c (s) = 1 (brak dodatkowej korekcji) ukªad zamkni ty jest stabilny wewn trznie. Transmitancj G 0 (s) interpretuje si jako wypadkow transmitancj ukªadu o- twartego, uksztaªtowan (we wcze±niejszych etapach projektu) ze wzgl du na wymagania (specykacje) dotycz ce stabilno±ci oraz szybko±ci regulacji.
49 Rozwa»ymy mo»liwo± zwi kszenia statycznej dokªadno±ci regulacji. Stosujemy regulator (korektor) pierwszego rz du o transmitancji 49 G c (s) = z + s, z < p < 0. (5) p + s Jest to regulator opó¹niaj cy faz (lag) arg G c (jω) = arctan ( ω p ) arctan ( ω z ) Dla uproszczenia przyjmuje si,»e transmitancja G(s) ukªadu zamkni tego przy G c (s) = 1 ma posta < 0. G(s) = G 0(s) 1 + G 0 (s) = k m i=1 ( z i + s) n i=1 ( p i + s) gdzie p i < 0, i {1,..., n}, s rzeczywistymi biegunami tej transmitancji.
50 50 Takiej reprezentacji G(s) odpowiada transmitancja stosownego ukªadu otwartego G 0 (s) = G(s) 1 G(s) = m i=1 = k ( z i + s) n i=1 ( p i + s) k m i=1 ( z i + s). Ukªad o zerowym stopniu astatyzmu (ukªad statyczny, M = 0) O dokªadno±ci regulacji decyduje statyczne wzmocnienie ukªadu otwartego k 0 = lim G c (s) G 0 (s). Dla G c (s) = 1 s 0 m i=1 k 0 = k ( z i) n i=1 ( p i) k m i=1 ( z i). Wtedy ustalony uchyb dla poªo»eniowego sygnaªu zadaj cego r(t) = 1(t) wynosi m i=1 e( ) = 1 k ( z i) n i=1 ( p i).
51 Statyczne wzmocnienie ukªadu otwartego z regulatorem (5) k l 0 = k 0 z p > k 0. Mo»emy zatem zwi kszy warto± tego wzmocnienia. Ustalony bª d poªo»eniowy (zakªada si, i» ukªad po korekcji zachowuje stabilno±!) e l ( ) = k 0 z. p danie β-krotnego zwi kszenia statycznej dokªadno±ci, β > 1, prowadzi do warunku z p = β(1 + k 0) 1. k 0 W przypadku, w którym k 0 1, obowi zuje u»yteczna zale»no± z p β. 51
52 52 W jaki sposób dobiera parametry z oraz p regulatora lag? Projektowany regulator powinien: zwi ksza statyczn dokªadno± regulacji bez znacz cego obni»ania zapasu stabilno±ci (wzrostu przeregulowania) o- raz istotnego spadku szybko±ci przej- ±ciowych procesów regulacji (wzrostu czasu ustalania). Regulator typu lag, poprawiaj c dokªadno±, nie powinien zatem degradowa tych po» danych cech ukªadu regulacji (stabilno± + szybko± ), o które zadbano wcze±niej, ustalaj c transmitancj G 0 (s). Transmitancj G 0 (s) traktujemy tu bowiem jako transmitancj uprzednio u- ksztaªtowan, za pomoc np. korekcji typu P lub lead.
53 Przyjmijmy zatem, i» G 0 (s) uzyskano, stosuj c metod linii pierwiastkowych dla pary (s, s = α ± jβ ) dominuj cych biegunów transmitancji ukªadu zamkni tego. Parametry regulatora G c (s) nale»y dobiera w ten sposób, aby zapewni mo»liwie 'maªy wpªyw' G c (s) dla s = s : G c (s) s= α +jβ 1 arg G c (s) s= α +jβ 0. Nietrudno sprawdzi,»e: (α G c (s) s= α +jβ = + z) 2 + (β ) 2 (α + p) 2 + (β ) 2 arg G c (s) s= α +jβ = ( β ) (p z) arctan < 0. (α + p)(α + z) + (β ) 2 53
54 54 Speªnienie amplitudowego warunku G c (s) s= α +jβ 1 przy którym regulator G c (s) jest 'maªo' aktywny w obszarze, w którym rozgrywa si dramat walki o zachowanie zaªo»onego 'zapasu stabilno±ci' (czyli dla s = α + jβ ), uzyska mo»na, postuluj c α + z α α + p α. Co oznacza,»e para biegun-zero regulatora tpu lag powinna le»e w lewej póªpªaszczy¹nie zespolonej blisko pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. (KONFLIKT: uwaga na szybko± regulacji!)
55 Drugi warunek 'maªej' aktywno±ci regulatora dla s = α +jβ, czyli warunek fazowy arg G c (s) s= α +jβ 0 przyjmuje posta 55 arg G c (s) s= α +jβ ( β ) (p z) arctan (α ) 2 + (β ) 2 0. St d ograniczenie na biegun p regulatora p k 0 (1 + k 0 )(β 1) (α ) 2 + (β ) 2 β tan(δ p ) gdzie δ p < 0 jest parametrem (stopniem swobody) projektu, wyznaczaj cym pewn dopuszczaln i dostatecznie 'maª ' (co do moduªu) warto± k ta fazowego arg G c (s) s= α +jβ.
56 56 W przypadku, w którym k 0 1 oraz β 1 otrzymujemy prostsz formuª p (α ) 2 + (β ) 2 ββ tan(δ p ). Mamy zatem u»yteczne oszacowania minimalnej warto±ci 'nastawy' p regulatora typu lag (dopuszczalnej ze wzgl du na akceptowalne 'zaburzenie fazy' δ p u- kªadu otwartego). Przy ustalonej warto±ci bieguna p, zero z tego regulatora wyznacza si ze wzorów lub z = β(1 + k 0) 1 k 0 z β p. p
57 Ocena wpªywu regulatora lag na wska¹niki odpowiedzi skokowej (analiza uproszczona, por. skrypt z zadaniami) Wprowadzenie regulatora (korektora) typu lag podwy»sza stopie«(rz d) transmitancji ukªadu zamkni tego. Maªy biegun tego regulatora poªo»ony w pobli»u pocz tku ukªadu wspóªrz dnych stwarza pewne niebezpiecze«stwo wydªu»enia procesów regulacji. Oszacujmy wpªyw takiego 'paso»ytniczego' modu odpowiedzi skokowej h lag (t) u- kªadu zamkni tego z regulatorem lag h e pt. Niech h lag ( ) oznacza stan ustalony odpowiedzi skokowej, za± e( ) oraz e lag ( ) b d ustalonymi bª dami poªo»eniowymi w ukªadzie przed i po korekcji lag, odpowiednio. 57
58 58 Z faktu, i» e lag ( ) = 1 h lag ( ) = e( ) β wynika (dla 'maªych' e( ) ) nast puj ce oszacowanie bieguna p p β(1 e( )) β e( ) z. Šatwo spostrzegamy, i» przy β 1 p (1 e( )) z. Ponadto zachodzi ( h 1 z p ) (1 e( )).
59 WNIOSKI: 1) Wspóªczynnik udziaªu najwolniejszego modu h e pt odpowiedzi skokowej ma posta h (1 β) β e( ). Wynika st d, i» h mo»e przyjmowa wzgl dnie du»e warto±ci, co grozi wydªu»eniem czasu ustalania odpowiedzi skokowej. 2) Przybli»ony czas zaniku modu h e pt (w przypadku, gdy s h lag ( ) < h ) dany jest wzorem T σ s β e( ) βz(1 e( )) ln 59 s (β e( )) (1 β)e( ) gdzie 2 s h lag ( ) oznacza szeroko± strefy kontrolnej deniuj cej stan u- stalony procesu przej±ciowego.
60 60 3) Z zale»no±ci h e( ) (1 β)/β wynika,»e u»ycie regulatora lag (w przypadku, gdy e( ) > 0) mo»e prowadzi do pewnego spadku warto±ci przeregulowania κ odpowiedzi skokowej ukªadu zamkni tego (w stosunku do ukªadu, w którym nie stosuje si takiego regulatora G c (s) = 1). Ukªad o niezerowym stopniu astatyzmu (ukªad astatyczny, M > 0) W tym przypadku mamy z = β p. Poniewa» zachodzi teraz h lag ( ) = 1 (co oznacza zerowanie si ustalonego bª du poªo»eniowego), zatem obowi zuje nast puj ce oszacowanie p βp h βp.
61 Czas zaniku najwolniejszego wolnego modu h e pt wyznaczamy ze wzoru ln s h T σ s dla s < h. p Ponadto warto zna 'zgrubn ' ocen p z = β p. 61 WNIOSKI: 1) W przypadku astatycznego ukªadu regulacji mo»liwe jest uzyskanie odpowiedzi skokowej, której najwolniejszy mod h e pt b dzie miaª zaniedbywalny wpªyw na czas jej ustalania T s s (co zachodzi przy s > h ). 2) Analiza linii pierwiastkowych dla transmitancji ukªadu otwartego G c (s)g 0 (s) w otoczeniu pocz tku ukªadu wspóªrz dnych potwierdza zasadno± przybli»enia p z (por. rys. 11a dla M = 1 oraz rys. 11b dla M = 2).
62 62 3) W stosunku do ukªadu bez korekcji (G c (s) = 1), regulator typu lag u»yty w ukªadzie o astatyzmie pierwszego stopnia prowadzi do wzrostu przeregulowania odpowiedzi skokowej ( h > 0), za± zastosowany w ukªadzie o a- statyzmie drugiego stopnia zapewnia spadek przeregulowania tej odpowiedzi ( h < 0). 4) Krzepi cy wniosek 1, odnosz cy si do mo»liwo±ci unikni cia niekorzystnego wpªywu regulatora typu lag na czas ustalania odpowiedzi skokowej a- statycznego ukªadu zamkni tego, nie dotyczy niestety czasu ustalania odpowiedzi takiego ukªadu na wielomianowe sygnaªy zadaj ce wy»szego stopnia (N 1) r(t) = tn N!, t 0.
63 63 Rysunek 11: Obraz linii pierwiastkowych w otoczeniu pocz tku ukªadu wspóªrz dnych dla astatycznych ukªadów sterowania ze regulatoriem lag: a) astatyzm pierwszego stopnia, b) astatyzm drugiego stopnia.
64 64 Wspóªczynnik udziaªu h N najwolniejszego modu h N t N 1 exp( pt) takiej odpowiedzi opisuje wzór h N h p N. Jak widzimy, pomimo 'niewielkiego' h, moduªy wspóªczynników h N mog przyjmowa znaczne warto±ci. 5) Analiza stabilno±ci ukªadu zamkni tego prowadzi do formuªy przydatnej przy syntezie regulatora lag p (α ) 2 + (β ) 2 (β 1)β tan(δ p ). 6) W obliczu wymaga«odno±nie stabilno±ci, szybko±ci oraz dokªadno±ci si gamy po regulatory typu lead-lag. Zwykle musimy si te» zmierzy z konieczno±ci ograniczenia wpªywu zakªóce«. Synteza regulatorów to zatem problem wielokryterialny, a jego rozwi zania nosz cechy kompromisu.
65 Korekcja dynamiczna: regulator PID Obiekt o modelu G p (s) jest sterowany (rys. 12) za pomoc regulatora proporcjonalno-caªkuj co-ró»niczkuj cego (PID) o idealizowanej transmitancji G c (s) = k p + k i s + k ds. 65 Rysunek 12: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Podamy warunki, jakie musz speªnia nastawy k p ('wzmocnienie'), k i ('staªa zdwojenia') oraz k d ('staªa wyprzedzenia') tego regulatora, aby równanie charakterystyczne ukªadu zamkni tego posiadaªo zadan par pierwiastków zespolonych sprz»onych (s, s ).
66 66 Przyjmijmy nast puj ce oznaczenia: s = s e jϕ oraz G p (s ) = G p (s ) e jϑ. Poniewa» dla s = s zachodzi 1 + G c (s )G p (s ) = 0 zatem (pod warunkiem,»e G p (s ) > 0) mo»na zapisa równo± k p s + k i + k d (s ) 2 = s e jϑ G p (s ). Po przeksztaªceniach mamy k p s (cos(ϕ ) + j sin(ϕ )) + k i + k d s 2 (cos(2ϕ ) + j sin(2ϕ )) = = s G p (s ) (cos(ϕ ϑ) + j sin(ϕ ϑ)). Analizuj c cz ± rzeczywist i urojon tego wyra»enia, otrzymamy poszukiwane warunki na nastawy regulatora PID.
67 Regulator PID ma trzy stopnie swobody, zatem jedn z jego nastaw uczyni mo»na parametrem swobodnym, co pozwala na po» dan parametryzacj rodziny rozwi za«. Swobodnym parametrem dogodnie jest uczyni staª caªkowania k i, co prowadzi do ukªadu równa«liniowych na warto±ci nastaw k p (k i ) oraz k d (k i ): [ ] kp A = b gdzie A = b = k d [ ] s cos(ϕ ) s 2 cos(2ϕ ) s sin(ϕ ) s 2 sin(2ϕ ) [ ] ki s cos(ϕ ϑ) G p (s ) s sin(ϕ ϑ). G p (s ) det (A) = s 3 sin (ϕ ), zatem ukªad ten posiada jednoznaczne rozwi zanie przy s = 0 oraz ϕ r π, r = 0, ±1,
68 68 Sparametryzowana rodzina nastaw: k p (k i ) = 2k i s cos(ϕ ) sin(ϕ + ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) k d (k i ) = k i s + sin(ϑ) 2 s G p (s ) sin(ϕ ). Jak dobiera swobodn nastaw k i? Nastaw t dogodnie jest wyznacza na podstawie wymaganej statycznej dokªadno±ci regulacji. Zauwa»my,»e zastosowanie regulatora PID podwy»sza stopie«astatyzmu projektowanego ukªadu. Odpowiednie wymaganie przyjmuje zatem posta» dania okre±lonej warto±ci wzmocnienia pr dko±ciowego lub przyspieszeniowego ukªadu regulacji. Zachodzi bowiem lim sg c(s) = k i. s 0
69 Praktyczne aspekty strojenia regulatorów PID: intensywne dziaªanie ró»niczkuj ce regulatora mo»e by niewskazane w sytuacji, w której wyst puj szumowe (szerokopasmowe) zakªócenia w torze pomiarowym ukªadu regulacji; istotnym ograniczeniem procedury doboru nastawy toru ró»niczkuj cego regulatora PID jest dopuszczalna maksymalna warto± nominalnego sygna- ªu steruj cego obiektem. Podane formuªy nastawiania regulatora PID odnosz si do idealizowanej postaci jego transmitancji, w której wyst puje nierealizowalny czªon 'czystego' ró»niczkowania k d s. 69
70 70 Model realizowalnego czªonu ró»niczkuj cego ma posta k d s 1 + T D s = 1 T D k d s 1/T D + s, T D > 0 za± staªa czasowa T D tego czªonu dobierana jest w taki sposób, aby: speªni wymagania na dopuszczaln pocz tkow warto± sygnaªu steruj cego (wyj±cie sterownika) dla nominalnej skokowej zmiany wielko±ci zadaj cej, ograniczy wpªyw zakªóce«(szumów) pomiarowych. Ubocznym skutkiem wprowadzenia dodatkowego bieguna 1/T D do transmitancji ukªadu otwartego mo»e by pewne spowolnienie procesów regulacji, a tak»e obni»enie zapasu stabilno±ci ukªadu zamkni tego. Dlatego zwykle zaleca si stosowanie mo»liwie 'maªych' warto±ci parametru T D.
71 Rozwa»aj c transmitancj 71 G ru (s) U(s) R(s) = G c (s) 1 + G c (s)g p (s) otrzymujemy nast puj c formuª na pocz tkow warto± u(0) sterowania u(t) przy skokowym sygnale zadaj cym r(t) u(0) = lim s sg ru (s)r(s) = k p + k d T D. Wynika st d, i»» daj c aby u(0) u 0 max gdzie u 0 max > k p oznacza maksymaln dopuszczaln warto± sygnaªu sterowania, jako oszacowanie staªej czasowej T D toru ró»niczkowania nale»y przyj T D k d u 0 max k p.
72 72 W przypadku regulatora proporcjonalno-ró»niczkuj cego PD kªadziemy k i = 0. Co prowadzi do formuª: k p = sin(ϕ + ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) sin(ϑ) k d = s G p (s ) sin(ϕ ). W przypadku regulatora proporcjonalno-caªkuj cego PI nastaw k i uzyskuje si z warunku k d (k i ) = 0. Wtedy: k p = sin(ϕ ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) k i = s sin(ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) Rozwa»my przykªady syntezy! piotrjsuchomski
Mamy schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Zakªada si,»e wzmocnienie czªonu statycznego
LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA ANALIZY UKŠADÓW STEROWANIA 1 Mamy schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Rysunek 1: Podstawowy schemat strukturalny ukªadu sterowania. Zakªada
Bardziej szczegółowoPodstawowe czªony dynamiczne. Odpowied¹ impulsowa. odpowied¹ na pobudzenie delt Diraca δ(t) przy zerowych warunkach pocz tkowych, { dla t = 0
CHARAKTERYSTYKI W DZIEDZINIE CZASU I CZ STOTLIWO CI Podstawowe czªony dynamiczne Opis w dziedzinie czasu: Odpowied¹ impulsowa g(t) = L 1 [G(s)] odpowied¹ na pobudzenie delt Diraca δ(t) przy zerowych warunkach
Bardziej szczegółowoStabilno± ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Stabilno± ukªadów liniowych Autorzy: Bartªomiej Fajdek 1.1 Poj cia podstawowe Jednym z podstawowych wymogów stawianych ukªadom automatyki jest stabilno±. Istnieje wiele denicji stabilno±ci ukªadów
Bardziej szczegółowoPRZYKŠAD 1 KRYTERIUM ROUTHA-HURWITZA. Na podstawie kryterium Routha-Hurwitza, okre±l liczb pierwiastków równania
PRZYKŠAD 1 KRYTERIUM ROUTHA-HURWITZA 1 Na podstawie kryterium Routha-Hurwitza, okre±l liczb pierwiastków równania W (s) = 3 + 8s + s 2 + 2s 3 = 0 le» cych w prawej póªpªaszczy¹nie zespolonej. Tablica Routha
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (5)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (5) Dokładność Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 DOKŁAD 2 Uchyb Podstawowy strukturalny
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Bardziej szczegółowoZastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a. Przykªad 1 Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe. ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi
Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a Przykªad Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi y(0 + ) = a, ẏ(0 + ) = b. Rozwi zanie Dokonuj c transformacji
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoWst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Bardziej szczegółowoAnaliza obserwowalno±ci
Analiza obserwowalno±ci Niech ẋ(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t), x(0) R n gdzie A R n n oraz C R q n. Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna je»eli x(0) znajomo± funkcji y : [0, t f ] R q (wyj±cia obiektu)
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoprzewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn
do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)
Bardziej szczegółowoTeoria Sterowania. Warunki zaliczenia
Teoria Sterowania Warunki zaliczenia. Pytania. Tematy µ-projektów. 3.5 poprawne zaliczenie testu; Warunki zaliczenia 4 poprawne zaliczenie testu + poprawne rozwi zanie kilku zada«(pliki Alin, TS-skrypt1,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoKompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Kompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej Kształtujemy charakterystykę układu otwartego aby uzyskać: pożądane
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 8 - Regulator PID Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 29 Plan wykładu regulator PID 2 z 29 Kompensator wyprzedzająco-opóźniający
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowo1. Regulatory ciągłe liniowe.
Laboratorium Podstaw Inżynierii Sterowania Ćwiczenie: Regulacja ciągła PID 1. Regulatory ciągłe liniowe. Zadaniem regulatora w układzie regulacji automatycznej jest wytworzenie sygnału sterującego u(t),
Bardziej szczegółowoREGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia
REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ Y o (s) - E(s) B(s) /T I s K p U(s) Z(s) G o (s) Y(s) T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoKorekcja układów regulacji
Korekcja układów regulacji Powszechnym sposobem wpływania na jakość procesów regulacji jest wprowadzenie urządzeń (członów) korekcyjnych. W przeważającej większości przypadków niezbędne jest umieszczenie
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoSchematy blokowe ukªadów automatyki
Rozdziaª 1 Schematy blokowe ukªadów automatyki Autorzy: Marcin Stachura 1.1 Algebra schematów blokowych 1.1.1 Zasady przeksztaªcania schematów blokowych W celu uproszczenia wypadkowej transmitancji operatorowej
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoMODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH Urszula Fory± Zakªad Biomatematyki i Teorii Gier, Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydziaª
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoModelowanie ukªadów dynamicznych
1 Modelowanie ukªadów dynamicznych PRZYKŠAD 1 - Zbiornik Na rys. 1 pokazany jest schemat zbiornika przepªywowego. Rysunek 1: Schemat zbiornika przepªywowego. Zakªada si, i»: do zbiornika wpªywa i wypªywa
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoOptymalizacja wypukªa: wybrane zagadnienia i zastosowania
Optymalizacja wypukªa: wybrane zagadnienia i zastosowania 21 wrze±nia 2010 r. Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Ogólne zadanie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoUkład regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności
Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()
Bardziej szczegółowoK p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych
METODY DOBORU NASTAW 7.3.. Metody analityczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych 7.3.2 Metody doświadczalne 7.3.2.. Metoda Zieglera- Nicholsa 7.3.2.2. Wzmocnienie krytyczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych
Bardziej szczegółowoWst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
Bardziej szczegółowoJęzyki Modelowania i Symulacji
Języki Modelowania i Symulacji Projektowanie sterowników Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 4 stycznia 212 O czym będziemy mówili? 1 2 3 rlocus Wyznaczanie trajektorii
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoAnaliza sterowalno±ci
Analiza sterowalno±ci 1 Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdzie A R n n oraz B R n p. x(0) R n Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna je»eli x(0), 0 < t f < istnieje takie sterowanie u : [0, t f ] R p przy którym
Bardziej szczegółowoJan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowo4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji Wprowadzenie. Hs () Ys () Ws () Es () Go () s. Vs ()
4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji 4.1. Wprowadzenie Zu () s Zy ( s ) Ws () Es () Gr () s Us () Go () s Ys () Vs () Hs () Rys. 4.1. Schemat blokowy układu regulacji z funkcjami przejścia 1
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu
Bardziej szczegółowoRys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy
XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody III stopnia Rozwi zania zada«dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi zanie zadania Tzw. maªy zwis, a wi c cos. W zwi zku z tym mo»na przyj,»e Rys. N H (N cos N)
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoBadanie stabilności liniowych układów sterowania
Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny
Bardziej szczegółowoLXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
Za zadanie D mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Maj c do dyspozycji: LXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA generator napi cia o przebiegu sinusoidalnym o ustalonej amplitudzie
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowo4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego
4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoAutomatyka i sterowanie w gazownictwie. Regulatory w układach regulacji
Automatyka i sterowanie w gazownictwie Regulatory w układach regulacji Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH Ogólne zasady projektowania
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowo