Vajda Istva n Neumann Ja nos Informatika Kar O budai Egyetem / 3
Polinomok Felhaszna ljuk: Hatva nyfu ggve nyek differencia lha nyadosa. O sszeada sra, kivona sra e s konstanssal valo szorza sra vonatkozo differencia la si szaba lyok. Pe lda: (x + 3x + 6) (x ) + 3(x) + (6) x + 3 + 4x + 3 / 3
Polinomok Felhaszna ljuk: Hatva nyfu ggve nyek differencia lha nyadosa. O sszeada sra, kivona sra e s konstanssal valo szorza sra vonatkozo differencia la si szaba lyok. Pe lda: (x + 3x + 6) (x ) + 3(x) + (6) x + 3 + 4x + 3 / 3
To rtkitevo s hatva nyok p f (x) x, ahol p, Z e s >. p p x x f (x) f (x ) lim f (x ) lim x x x x x x x x p p p x x + x x +... + x x lim x x x x x + x x +... + x lim x x x x p +x +x p p x +... + x x +... + x p px x p p p p x x 3 / 3
To rtkitevo s hatva nyok p Teha t az f (x) x, ahol p, Z e s > fu ggve ny deriva ltfu ggve nye: p f (x) p x Megjegyze s: Vegyu k e szre, hogy formailag ugyanazt a szaba lyt kell alkalmaznunk, mint a pozitı v ege sz kitevo ju hatva nyok esete ben. Pe lda k: 5 5 5 5 5 Ha f (x) x 6, akkor f (x) x 6 x 6. 6 6 6x 6 A g (x) x felı rhato g (x) x alakban, ı gy deriva ltfu ggve nye g (x) x. x 4 / 3
Raciona lis to rtfu ggve nyek Ke t polinom ha nyadosake nt ı rhato k fel: r (x) r (x) Pe lda: Ha r (x) r (x) p(x) (x) p (x)(x) p(x) (x) (x) 3x +, akkor x + (3x + ) (x + ) (3x + )(x + ) (x + ) 3x x + 6 3(x + ) (3x + ) x (x + ) (x + ) 5 / 3
Trigonometrikus fu ggve nyek Kora bban ma r la ttuk, hogy (sin(x)) cos(x). Legyen most f (x) cos x. Ekkor f (x) f (x ) cos(x) cos(x ) lim x x x x x x sin x x sin x+x x + x sin x x lim sin x x sin(x ) x x x x f (x) lim x x Teha t f (x) sin(x). 6 / 3
Trigonometrikus fu ggve nyek (tg(x)) (ctg(x)) sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) (sin(x)) cos(x) (sin(x))(cos(x)) cos (x) cos (x) + sin (x) cos (x) cos (x) (cos(x)) sin(x) (cos(x))(sin(x)) sin (x) sin (x) cos (x) sin (x) sin (x) 7 / 3
Trigonometrikus fu ggve nyek (tg(x)) (ctg(x)) sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) (sin(x)) cos(x) (sin(x))(cos(x)) cos (x) cos (x) + sin (x) cos (x) cos (x) (cos(x)) sin(x) (cos(x))(sin(x)) sin (x) sin (x) cos (x) sin (x) sin (x) 7 / 3
Ciklometrikus fu ggve nyek Legyen f : Df π, π, f (x) sin(x). Mivel f monoton e s folytonos, tova bba az e rtelmeze si tartoma ny belso pontjaiban differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arcsin(x) fu ggve ny is differencia lhato a ], [ intervallumban e s (f ) (x ) (arcsin(x)) xx cos(arcsin(x )) f )(x ) x sin (arcsin(x )) (f 8 / 3
Ciklometrikus fu ggve nyek Teha t az f (x) arcsin(x) fu ggve ny deriva ltfu ggve nye az (f ) : Df ], [, (f ) (x) x fu ggve ny. Megjegyze sek: A fenti levezete sben a cos(arcsin(x )) kifejeze st jogosan helyettesı tettu k sin (arcsin(x ))-lal, mert π π arcsin(x ), ı gy cos(arcsin(x )) nem vehet fel negatı v e rte ket. Figyelju k meg, hogy az arcsin(x) fu ggve ny a e s pontokban nem differencia lhato, ba r ezekben a pontokban is e rtelmezett. 9 / 3
Ciklometrikus fu ggve nyek Teha t az f (x) arcsin(x) fu ggve ny deriva ltfu ggve nye az (f ) : Df ], [, (f ) (x) x fu ggve ny. Megjegyze sek: A fenti levezete sben a cos(arcsin(x )) kifejeze st jogosan helyettesı tettu k sin (arcsin(x ))-lal, mert π π arcsin(x ), ı gy cos(arcsin(x )) nem vehet fel negatı v e rte ket. Figyelju k meg, hogy az arcsin(x) fu ggve ny a e s pontokban nem differencia lhato, ba r ezekben a pontokban is e rtelmezett. 9 / 3
Ciklometrikus fu ggve nyek Legyen f : Df [, π], f (x) cos(x). Mivel f monoton e s folytonos, tova bba az e rtelmeze si tartoma ny belso pontjaiban differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arccos(x) fu ggve ny is differencia lhato a ], [ intervallumban e s (f ) (x ) (arccos(x)) xx sin(arccos(x )) (f f )(x ) p cos (arccos(x )) x Teha t (f ) (x) (arccos(x)) x / 3
Ciklometrikus fu ggve nyek h π πi Legyen f : Df,, f (x) tg(x). Mivel f monoton e s folytonos, tova bba az e rtelmeze si tartoma ny minden pontja ban differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arctg(x) fu ggve ny is differencia lhato a valo s sza mok halmaza n e s (f ) (x ) (arctg(x)) xx (f f )(x ) cos (arctg(x)) Teha t (f ) (x) (arctg(x)) cos (arctg(x)) + tg (arctg(x)) + x + x / 3
Ciklometrikus fu ggve nyek Legyen f : Df [, π], f (x) ctg(x). Mivel f monoton e s folytonos, tova bba az e rtelmeze si tartoma ny minden pontja ban differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arcctg(x) fu ggve ny is differencia lhato a valo s sza mok halmaza n e s (f ) (x ) (arcctg(x)) xx (f f )(x ) sin (arcctg(x)) sin (arcctg(x)) Teha t (f ) (x) (arcctg(x)) + ctg (arcctg(x)) + x + x / 3
Egy hata re rte k lim ln( + t) t, t mert lim+ ln( + t) lim ln + u u t t u ln(e), e s v u lim ln( + t) lim ln + lim ln v u u v t ln(e) ln e t 3 / 3
Exponencia lis fu ggve ny Legyen f (x) e x e s x. f (x ) (e x ) x (e x ) ex x x lim e x t jelo le ssel e x + t e s x ln( + t), ı gy: t lim t ln( + t) t f (x ) lim t lim ln( + t) t ln( + t) t Teha t az f (x) e x fu ggve ny deriva ltja a helyen. 4 / 3
Exponencia lis fu ggve ny Legyen f (x) e x. f (x ) (e x ) xx lim x x e x e x e x x lim e x x x x x x x x x h jelo le ssel: f (x ) lim e x h eh eh e x lim e x h h h Teha t az f (x) e x fu ggve ny deriva ltja ba rmely helyen megegyezik a helyettesı te si e rte ke vel, azaz (e x ) e x. 5 / 3
Exponencia lis fu ggve nyek Legyen f (x) ax, ahol a >. a esete n f konstans fu ggve ny, ı gy f (konstans ). Ha a 6, akkor feheszna lva az ax e ln(a) x (a ) e x ln(a) x e x ln(a) o sszefu gge st: e x ln(a) ln(a) ax ln(a) Megjegyze sek: A deriva la s sora n felhaszna ltuk az o sszetett fu ggve ny differencia la si szaba lya t. A kapott ax ln(a) eredme ny e rve nyes az a esetben is. 6 / 3
Exponencia lis fu ggve nyek Legyen f (x) ax, ahol a >. a esete n f konstans fu ggve ny, ı gy f (konstans ). Ha a 6, akkor feheszna lva az ax e ln(a) x (a ) e x ln(a) x e x ln(a) o sszefu gge st: e x ln(a) ln(a) ax ln(a) Megjegyze sek: A deriva la s sora n felhaszna ltuk az o sszetett fu ggve ny differencia la si szaba lya t. A kapott ax ln(a) eredme ny e rve nyes az a esetben is. 6 / 3
Logaritmus fu ggve nyek Legyen f (x) ax, ahol a > e s a 6. Ekkor f (x) loga x. Mivel f monoton e s folytonos, tova bba az e rtelmeze si tartoma ny minden pontja ban differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) loga x fu ggve ny is differencia lhato a pozitı v valo s sza mok halmaza n e s f (x) (x ) (loga x) xx (f f )(x ) x ln(a) ln(a) aloga x Megjegyze s: Az a e specia lis esetben az (ln(x)) o sszefu gge st x kapjuk. 7 / 3
Logaritmus fu ggve nyek Legyen f (x) ax, ahol a > e s a 6. Ekkor f (x) loga x. Mivel f monoton e s folytonos, tova bba az e rtelmeze si tartoma ny minden pontja ban differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) loga x fu ggve ny is differencia lhato a pozitı v valo s sza mok halmaza n e s f (x) (x ) (loga x) xx (f f )(x ) x ln(a) ln(a) aloga x Megjegyze s: Az a e specia lis esetben az (ln(x)) o sszefu gge st x kapjuk. 7 / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek Legyen f (x) sh(x). Ekkor f (x) (sh(x)) e x e x (e x ) (e x ) e x + e x ch(x) (e x ) + (e x ) e x e x sh(x) Legyen g (x) ch(x). Ekkor g (x) (ch(x)) e x + e x 8 / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek Legyen f (x) sh(x). Ekkor f (x) (sh(x)) e x e x (e x ) (e x ) e x + e x ch(x) (e x ) + (e x ) e x e x sh(x) Legyen g (x) ch(x). Ekkor g (x) (ch(x)) e x + e x 8 / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek Legyen f (x) th x. Ekkor f (x) (th(x)) sh(x) ch(x) (sh(x)) ch(x) (sh(x))(ch(x)) ch (x) ch (x) sh (x) ch (x) ch (x) Legyen g (x) cth(x). Ekkor g (x) (cth(x)) ch(x) sh(x) (ch(x)) sh x (ch(x))(sh(x)) sh (x) sh (x) ch (x) sh (x) sh (x) 9 / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek Legyen f (x) th x. Ekkor f (x) (th(x)) sh(x) ch(x) (sh(x)) ch(x) (sh(x))(ch(x)) ch (x) ch (x) sh (x) ch (x) ch (x) Legyen g (x) cth(x). Ekkor g (x) (cth(x)) ch(x) sh(x) (ch(x)) sh x (ch(x))(sh(x)) sh (x) sh (x) ch (x) sh (x) sh (x) 9 / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek inverzei Legyen f (x) sh(x), ekkor f (x) arsh(x). Mivel f monoton e s folytonos, tova bba az e rtelmeze si tartoma ny minden pontja ban differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arsh(x) fu ggve ny is differencia lhato a valo s sza mok halmaza n e s f (x) (x ) (arsh(x)) xx (f f )(x ) ch(arsh(x )) + x + sh (arsh(x )) Teha t (arsh(x)) + x / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek inverzei f (x) ch(x), ekkor f (x) arch(x). Legyen f : Df [, [, Mivel f monoton e s folytonos, tova bba a ], [ halmazon differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arch(x) fu ggve ny is differencia lhato az ], [ halmazon e s f (x) (x ) (arch(x)) xx (f f )(x ) sh(arch(x )) x ch (arch(x )) Teha t (arch(x)) x / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek inverzei Legyen f (x) th(x), ekkor f (x) arth(x). Mivel f monoton e s folytonos, tova bba mindenu tt differencia lhato e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arth x fu ggve ny is differencia lhato a ], [ intervallumon e s f (x) (x ) (arth(x)) ch (arth(x )) Teha t (arth(x)) xx (f f )(x ) ch (arth(x )) x th (arth(x )) x / 3
Hiperbolikus fu ggve nyek inverzei Legyen f (x) cth(x), ekkor f (x) arcth(x). Mivel f monoton e s folytonos a ], [ e s az ], [ intervallumok mindegyike n, tova bba mindenu tt differencia lhato is ezeken az intervallumokon e s a deriva ltja sehol sem, eze rt az inverz fu ggve ny differencia la si szaba lya szerint az f (x) arcth(x) fu ggve ny is differencia lhato a ], [ ], [ halmazon e s f (x) (x ) (arcth(x)) (f f )(x ) sh (arcth(x )) sh (arcth(x )) Teha t (arth(x)) xx x cth (arcth(x )) x 3 / 3