Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Fourier transzformáció
|
|
|
- Stanisław Kujawa
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Fourier transzformáció Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 31
2 Fourier transzformáció Példa Határozzuk meg a következő függvény Fourier transzformáltját! { 1, ha x [ 1 f (x) = 2, 1 ] 2 0, egyébként. Megoldás: Tudjuk, hogy F[f ](ω) = f (x)e iωx dx és e ix = cos(x) + i sin(x), továbbá a cos páros, a sin páratlan függvény, így e ix = cos(x) i sin(x). Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 2 / 31
3 Ebből f (t)e iωx dx = = 2 1/2 0 1/2 1/2 cos(ωx)dx i [ sin(ωx) cos(ωx)dx = 2 ω ] 1 2 1/2 1/2 sin(ωx)dx } {{ } =0 x=0 = 2 ω sin ( ω 2 ) Tehát F[f ](ω) = 2 ω sin ( ω 2 ) Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 3 / 31
4 Fourier transzformáció 1. feladat Határozzuk meg a következő függvények Fourier transzformáltját! { x, ha x [0, 1] 1 f (x) = 0, egyébként. { x, ha x [ 1, 1] 2 f (x) = 0, egyébként. { e x, ha x > 0 3 f (x) = 0, egyébként. 4 f (x) = e x, 1 + x, ha x [ 1, 0] 5 f (x) = 1 x, ha x [0, 1] 0, egyébként. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 4 / 31
5 Fourier transzformáció Példa. Határozzuk meg a következő függvény Fourier transzformáltját! { 1, ha x [2, 3] f (x) = 0, egyébként. Megoldás. Számolhatunk a definíció alapján, de használhatjuk az alábbi összefüggést is: ha az f Fourier-transzformáltja F, akkor Tudjuk, hogy ha akkor F[f (x x 0 )](ω) = e iωx 0 F (ω). g(x) = { 1, ha x [ 1 2, 1 ] 2 0, egyébként, F[g](ω) = 2 ω sin ( ω 2 ). Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 5 / 31
6 Mivel f (x) = g ( x 5 2), ezért [ ( F[f ](ω) = F g x 5 )] (ω) = e 5 2 iω 2 ( ω 2 ω sin 2 ( = cos 5ω 2 i sin 5ω ) 2 ( ω ) 2 ω sin. 2 ) 2. feladat Határozzuk meg a következő függvény Fourier transzformáltját! 1, ha x [ 1, 0] f (x) = 1, ha x ]0, 1] 0, egyébként. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 6 / 31
7 Fourier transzformáció Példa. Ha tudjuk, hogy az f (x) = e x függvény Fourier transzformáltja F[f ](ω) = 2, akkor határozzuk meg a g(x) = e 2x+3 Fourier 1+ω 2 transzformáltját. Megoldás. Ha az f Fourier-transzformáltja F és a 0, akkor [ ( F[f (x x 0 )](ω) = e iωx 0 x )] F (ω) és F f (ω) = a F[f ](aω). a Most g(x) = h(2x), ahol h(x) = e x+3 = f (x + 3), így F[g](ω) = F[h(2x)](ω) = 1 ( ω 2 F[h] = 1 ( ω 2 2 F[f (x + 3)] 2 = 1 ( 2 e 3 ω ) 2 iω F[f ] = e 3 2 iω ( ) ω 2 = e 3 2 iω ω 2. 2 ) ) Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 7 / 31
8 Fourier transzformáció 3. feladat Határozza meg az alábbi függvények Fourier transzformáltját. 1 g(x) = e 1 x 3 g(x) = 2e 3x 1 e x+2 2 g(x) = 5e x feladat Határozza meg a g függvény Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy az { e x, ha x > 0 f (x) = 0, egyébként. függvény Fourier transzformáltja F (ω) = 1 1+ωi. g(x) = { e 4x, ha x < 0 0, egyébként. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 8 / 31
9 Fourier transzformáció Példa. Határozzuk meg a g függvény Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy az f Fourier transzformáltja F (ω) = 2 (1 cos(ω)). Ábrázoljuk közös ábrán ω 2 az f és g függvényeket, egy másik ábrán a Fourier transzformáltakat. 1 + x, ha x [ 1, 0] f (x) = 1 x, ha x [0, 1] 0, egyébként. Megoldás. F[g](ω) = F 1 + x 2, ha x [ 2, 0] g(x) = 1 x 2, ha x [0, 2] 0, egyébként. [ ( x )] f (ω) = 2F[f ](2ω) = 1 (1 cos(2ω)). 2 ω2 Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 9 / 31
10 A függvények A Fourier transzformáltak 2 f g 2 F[f] F[g] Lassan változó jel keskeny frekvenciaspektrum Gyorsan változó jel széles frekvenciaspektrum Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 10 / 31
11 Fourier transzformáció 5. feladat Legyen a, b > 0, x 0 R adott és f az x 0 b 2 ponttól az x 0 + b 2 pontig terjedő a magasságú téglalap alakú impulzus. Határozzuk meg a Fourier transzformáltját a paraméterek függvényében! Hogyan változik a transzformált, ha változtatjuk a paramétereket? 6. feladat Tudjuk, hogy F következő függvényeknek? f (x) = 3e 2(x 3)2, g(x) = e x2 +2x, [ ] e x2 2 = 2πe ω2 2. Mi lesz a Fourier transzformáltja a Minek a Fourier transzformáltja F (ω) = 3e 2(ω 3)2? Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 11 / 31
12 Fourier transzformáció Példa Számítsuk ki Matlab segítségével az f (x) = e x Fourier transzformáltját, majd ábrázoljuk a függvényt és a transzformáltat. Megoldás: A fourier parancs segítségével számítsuk ki a Fourier transzformáltat! >> syms x >> f = exp(-abs(x)); >> F = fourier(f) F = 2/(w^2 + 1) Láthatjuk, hogy a korábban kiszámolt függvényt kaptuk. F (ω) = ω 2 Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 12 / 31
13 Ábrázoljuk a függvényt és a transzformáltat! figure; set(gcf,'units','points','position',[20,20,600,200]) subplot(1,2,1) fplot(f,'linewidth',2); axis([-4,4,-.5,2.5]); title('az f függvény'); ax=gca; ax.xaxislocation = 'origin'; ax.yaxislocation = 'origin'; subplot(1,2,2) fplot(f,'linewidth',2); axis([-4,4,-.5,2.5]); title('az f Fourier transzformáltja'); ax=gca; ax.xaxislocation = 'origin'; ax.yaxislocation = 'origin'; Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 13 / 31
14 Fourier transzformáció Az f függvény Az f Fourier transzformáltja Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 14 / 31
15 Fourier transzformáció 7. feladat Határozzuk meg Matlab segítségével az 1. feladatban szereplő függvények Fourier transzformáltját! Ábrázoljuk a függvényt, illetve egy másik ábrán a transzformált valós és képzetes részét! Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 15 / 31
16 Fourier transzformáció Példa Számítsuk ki Matlab segítségével az F (x) = e x2 inverz Fourier transzformáltját, majd ábrázoljuk a függvényt és a transzformáltat egy ábrán. Megoldás: Az ifourier parancs segítségével számítsuk ki az inverz Fourier transzformáltat! >> syms t x >> F = exp(-(x)^2); >> f = ifourier(f,x,t) Ábrázoljuk a függvényt és a transzformáltat közös ábrán közös ábrán! >> fplot([f F]) >> legend('f','f'); >> axis([-4,4,-.5,1.5]) >> ax = gca; >> ax.xaxislocation = 'origin'; ax.yaxislocation = 'origin'; Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 16 / 31
17 Fourier transzformáció f F Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 17 / 31
18 Diszkrét Fourier transzformáció (DFT ) Példa Határozzuk meg az x = [2, 3, 1, 1] 4-pontú jel DFT -jét kézzel! Megoldás: azaz F k = N 1 n=0 F k = f n e i 2π N kn, k = 0, 1,..., N 1, 3 f n e i 2π 4 kn, k = 0, 1, 2, 3. n=0 Így F 0 = = 5, F 1 = 2 + 3e i 2π 2π2 2π3 i i 4 e 4 + e 4 = 3 2i, 2π2 2π4 2π6 i i i F 2 = 2 + 3e 4 e 4 + e 4 = 3, F 4 = = 3 + 2i. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 18 / 31
19 DFT 1. feladat Határozzuk meg a következő vektorok DFT -jét! Írjuk fel a megoldást mátrixos alakban is! x = [20, 5]; x = [3, 2, 5, 1]. 2. feladat Egy 9-pontú jel DFT -jének páros koordinátái a következők [3.1, i, i, i, 5.5 8i] Határozza meg a hiányzó koordinátákat! Pótolja a következő DFT hiányzó adatait: [1 0i,?, 3 + 1i, 4 1i, 1 0i,?,?, 2 2i] Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 19 / 31
20 DFT 3. feladat Egy x jel DFT -je X = [10, 2 + 2i, 2, 2 2i] Számolja ki az y(t) = x(t + 1) jel DFT -jét! Ellenőrizze a megoldást géppel is. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 20 / 31
21 Inverz Diszkrét Fourier transzformáció (IDFT ) Példa Határozzuk meg az x = [5, 3 2i, 3, 3 + 2i] 4-pontú jel Inverz Diszkrét Fourier transzformáltját kézzel! Megoldás: azaz Így f k = 1 N N 1 n=0 f k = 1 4 F n e i 2π N kn, k = 0, 1,..., N 1, 3 F n e i 2π 4 kn, k = 0, 1, 2, 3. n=0 f 0 = 1 4 (5+3 2i 3+3+2i) = 2, f 1 = 1 4 (5+(3 2i)ei 2π 4 3e i 2π2 4 +(3+2i)e i 2π3 4 ) = 3, f 2 = = 1, f 3 = = 1. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 21 / 31
22 IDFT 1. feladat Határozzuk meg a következő vektorok Inverz Diszkrét Fourier transzformáltját! Írjuk fel a megoldást mátrixos alakban is! x = [2, 3, 1, 1]; x = [5, 3 2i, 3, 3 + 2i]. 2. feladat Kérjük le Matlabban az fft és az ifft parancsok helpjét. Ellenőrizzük a korábbi megoldásaink helyességét Matlabbal! Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 22 / 31
23 DFT vegyes Példa Szorozzunk össze polinomot! p(x) = 3x 4 2x 2 x + 5 q(x) = x 3 2x 2 p(x)q(x) =? Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 23 / 31
24 DFT vegyes Példa Megoldás: Kézzel: 3x 7 8x 5 7x 4 + 9x 3 + 6x 2 8x 10 a conv parancsot használva: >> p=[5, -1, -2, 0, 3]; q=[-2, -2, 0, 1]; conv(p, q) ans = a fft, ifft parancsokkal: >> Q=fft([q, [0, 0, 0, 0]]); >> P=fft([p, [0, 0, 0]]); >> ifft(p.* Q) ans = Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 24 / 31
25 DFT vegyes 1. Feladat Határozzuk meg Matlabbal a x x x 2 + x + 1 polinom négyzetét! Hasonĺıtsuk össze a conv és az fft alapú megoldások futási idejét! 2. Feladat Határozzuk meg Matlabbal a szám négyzetét! = Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 25 / 31
26 DFT vegyes Példa Vegyünk egy 7 elemű egyenletes mintát az f (t) = 2sin(t) + cos(2t) függvényre a [0, 2π] intervallumon. Vizsgáljuk meg a DFT és az f kapcsolatát! >> N=7; t=(0:(n-1))*2*pi/n; >> f=@(t) 2*sin(t)+cos(2*t); >> x=f(t); X=fft(x) X = i i i i i i i Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 26 / 31
Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę
MATEMATYKA Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1),
Analı zis elo ada sok
Vajda Istva n Neumann Ja nos Informatika Kar O budai Egyetem / 3 Polinomok Felhaszna ljuk: Hatva nyfu ggve nyek differencia lha nyadosa. O sszeada sra, kivona sra e s konstanssal valo szorza sra vonatkozo
TRANSFORMATA FOURIERA
TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)
(3) (e) sin( θ) sin θ cos( θ) cos θ sin(θ + π/) cos θ cos(θ + π/) sin θ sin(θ π/) cos θ cos(θ π/) sin θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ (f) cos x cos y (g) sin x sin
SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA
SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA Rozważmy ciag funkcji: 1, cos πx πx 2πx, sin, cos, sin 2πx,..., cos nπx, sin nπx,...}, gdzie jest pewną iczbą dodatnią. Zauważmy, że na przedziae , da dowonych dwóch
v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)
![v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)](/thumbs/95/125796041.jpg "v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)")
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i U = {X i } i=,n v T v = = v v n v n U x y z T X,Y,Z) v v v = 2 T A, ) b = 3 4 T B, ) c = + b b d = b c c d d 2 + 3b e b c = 5 3 T b d = 5 T c c = 34 d = 26 d
Matematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Wstęp do chemii kwantowej - laboratorium. Zadania
Wstęp do chemii kwantowej - laboratorium. Zadania 2 października 2012 1 Wstęp Używanie maximy jako kalkulatora Zadanie 1 1. Oblicz 2+2*2 2. Oblicz 18769 3. Oblicz 2 10 4. Oblicz 7/8 i 7.0/8.0 5. Oblicz
1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Lista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Ą Ą ć Ó Ó Ó Ś Ź Ź Ó ż Ź Ź Ś Ś ż Ę ĘŚ ń ń ć Ś Ą Ę ż ć Ś ć ć Ć Ó Ó ć ć Ó ć Ó ć ć ń ć Ą Ó Ó Ó Ą Ć ń ń Ź Ó ń ć Ó ć ć ć ń ż ć ć Ć Ć ć ż ć Ź Ó ć ć ć ć Ó ć ĘŚ ń ń ż ć Ś ć Ą Ó ń ć ć Ś ć Ę Ć Ę Ó Ó ń ż ź Ó Ó Ś ń
Ó ź ę ę ś Ą Ą Ę Ę Ł ę ę ź Ę ę ę ś ś Ł ę ś ś ę Ą ź ę ś ś ś ś ę ś ę ę ź ę ę ś ę ś ę ę ś Ś ś ę ę ś ś ę ę ę ś ę ę ę ę ś ę ź Ł Ą Ę Ł ę ś ź ść ś ę ę ę ę ę ę ś ś ś ę ę ś ę ę ś ę ź Ć ŚĆ ć ś ś ć ę ś ś ę ś ś ź ś
Ł Ą Ę Ń ć Ź ź ĘŚ ÓŁ Ę Ę ń ń ź Ę ń Ż ć ć ń ń ń Ę ń Ę ń ń Ę ń Ę ń ń ć ć ń Ę Ą Ś ń Ę Ą Ł ź ć Ś ć ć ć Ź Ł Ś ć ć ć ć ć Ł ć ć ź ń ń ń ń ń ń ń ź ź ć ń ć ć ć ź Ł ń Ę ÓŁ ń ź ź ź ń ć ć ć ń ń ń Ą ń ń ń ń ń Ś Ę
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Az ideális Bose-gáz termodinamikai mennyiségei
Az ideális Bose-gáz termodinamikai mennyiségei Kiegészítés III. éves BsC fizikusok számára Cserti József Eötvös Loránd udományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája anszék 016. február 1. Néhány alapvető
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )
![R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )](/thumbs/102/156200514.jpg "R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )")
5 Z N p ) a a + b)! b ) a!b! a a! b a b)!b! p n n k nn k) n ) n k) d n d n [n sin ] n nn k) sin ) n) k n nn ) n k + ) sin + lπ ) k d n d n [n sin ] n k ) n n ) n k) sin ) k) k n k ) n nn ) n k + ) sin
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Analiza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY
MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY Poszukiwanie znaczeń funkcji i skryptów funkcja help >> help % wypisuje linki do wszystkich plików pomocy >> help plot % wypisuje pomoc dotyczą funkcji plot Znaczenie
Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék február 17.
A kozmológiai távolságszámítás alapjai Dobos László Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék dobos@complex.elte.hu É 5.60 2015. február 17. A vöröseltolódás Spektrumvonalak abszorpciós és emissziós vonalaiból.
Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Języki Modelowania i Symulacji 2018 Podstawy Automatyki Wykład 4
Języki Modelowania i Symulacji 2018 Podstawy Automatyki Wykład 4 dr inż. Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki Wydział ETI, Politechnika Gdańska Języki Modelowania i Symulacji dr inż. Marcin Ciołek
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA LABORATORIUM CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Stopień, imię i nazwisko prowadzącego Imię oraz nazwisko słuchacza Grupa szkoleniowa Data wykonania ćwiczenia dr inż. Andrzej Wiśniewski
Analiza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Kinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Informacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Temat ćwiczenia. Analiza częstotliwościowa
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W YDZIAŁ RANSPORU emat ćwiczenia Analiza częstotliwościowa Analiza częstotliwościowa sygnałów. Wprowadzenie Analizę częstotliwościową stosuje się powszechnie w wielu dziedzinach techniki.
Analiza matematyczna 3
Analiza matematyczna 3 Pochodna funkcji pierwsza pochodna: x'[t] x [t] Derivative[][x][t] x (t) D[x[t], t] x (t) 7. pochodna: Derivative[7][x][t] x (7) (t) D[x[t], {t, 7}] x (7) (t) pochodne funkcji wielu
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
4.1. Lecture 4 & 5. Riemann. f(t)dt. a = t 0 <t 1 < <t n 1 <b= t n (4.1) , n [t i 1,t i ] t i t i 1 (i =1,...,n) f(ξ i )(t i t i 1 ) (4.
![4.1. Lecture 4 & 5. Riemann. f(t)dt. a = t 0 <t 1 < <t n 1 <b= t n (4.1) , n [t i 1,t i ] t i t i 1 (i =1,...,n) f(ξ i )(t i t i 1 ) (4.](/thumbs/99/139565186.jpg "4.1. Lecture 4 & 5. Riemann. f(t)dt. a = t 0 <t 1 < <t n 1 <b= t n (4.1) , n [t i 1,t i ] t i t i 1 (i =1,...,n) f(ξ i )(t i t i 1 ) (4.")
Lecture 4 & 5 4 4.1 Riemnn t f(t) [, b] (Riemnn ) f(t)dt [, b] n 1 t 1,...,t n 1 t 0
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Imię i nazwisko... suma punktów... ocena... Grupa 1
Imię i nazwisko suma punktów ocena Grupa 1 Logika Zbiory Funkcje Granice mon i ogr ciągów nr zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 B C Punktacja: nr zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 5 3 3 B
Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Szereg i transformata Fouriera
Analiza danych środowiskowych III rok OŚ Wykład 3 Andrzej Leśniak KGIS, GGiOŚ AGH Szereg i transformata Fouriera Cel wykładu: Wykrywanie i analiza okresowości w szeregach czasowych Przepływ wody w rzece
x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
7.1. Lecture 8 & 9. f(x)dx =lim f(x)dx (7.1) I = f(x)dx (7.3) f(z), z (0 argz π), zf(z) 0. f(z)dz = I R := f(z)dz = f(re iθ )ire iθ dθ (7.
Lecture 8 & 9 7, r f(x) =lim f(x) (7.) r r f(x) =lim f(x) +lim f(x) (7.) r r r 7. f(z) I = f(x) (7.) f(z), z ( argz π), zf(z) [ R, R], : z = R Jordan C f(z). C f(z)dz = R R f(x) + f(z)dz =πi i Res z=zi
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA
Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS
Dariusz Uciński. Wykład 4
Umiejętność modelowania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Wykład 4 Plan 1 2 Istotne pytania o przebiegu y(t) 1 Co dzieje się dla dużych t? 2 Co dzieje się dla małych
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
![3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B](/thumbs/73/69286698.jpg "3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B")
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.
![Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.](/thumbs/102/155632743.jpg "Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.")
Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali
ĆWICZENIE III ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH. ver.3
1 Zakład Elektrotechniki Teoretycznej ver.3 ĆWICZEIE III AALIZA WIDMOWA SYGAŁÓW DYSKRETYCH (00) Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej dyskretnych sygnałów okresowych przy zastosowaniu szybkiego
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Restauracja a poprawa jakości obrazów
Restauracja obrazów Zadaniem metod restauracji obrazu jest taie jego przeształcenie aby zmniejszyć (usunąć) znieształcenia obrazu powstające przy jego rejestracji. Suteczność metod restauracji obrazu zależy
Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0
Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0 Procesory Graficzne w Zastosowaniach Obliczeniowych Karol Opara Warszawa, 14 kwietnia 2010 Transformacja Fouriera Definicje i Intuicje Transformacja z dziedziny
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
16. Szeregi i transformaty Fouriera Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Maciej Trzebiński
1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze
CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
gnuplot - wprowadzenie
gnuplot - wprowadzenie Katarzyna Grzelak październik 2017 K.Grzelak (IFD UW) 1 / 22 Wprowadzenie Programy do opracowywania danych doświadczalnych (rysowanie funkcji, punktów z błędami, dopasowywanie zależności
Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Podstawy Informatyki 1. Laboratorium 1
Podstawy Informatyki 1 Laboratorium 1 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obsługą pakietu MATLAB. W ćwiczeniu wprowadzono opis podstawowych komend środowiska i funkcji matematycznych
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Analizowanie danych. Katarzyna Grzelak. listopad 2014. K.Grzelak (IFD UW) 1 / 24
Analizowanie danych Katarzyna Grzelak listopad 2014 K.Grzelak (IFD UW) 1 / 24 Wprowadzenie Programy do opracowywania danych doświadczalnych (rysowanie funkcji, punktów z błędami, dopasowywanie zależności