MATERIAŁY DO ZAJEĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Opracowanie: Aleksandra Wrońska MATERIAŁY DO ZAJEĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UJ Kraków, 010 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

2

3 Spis treści 1 Rachunek wektorowy Definicje Działania na wektorach Przykłady Ćwiczenia Liczby rzeczywiste 9.1 Definicje Działania na liczbach rzeczywistych Potęgowanie Pierwiastkowanie Wartość bezwzględna Logarytmowanie Wielomiany Działania na wielomianach Ćwiczenia Równania i nierówności Definicje Typy równań Metody rozwiązywania równań i nierówności Przykładowe schematy postępowania Ćwiczenia Trygonometria Definicje Ćwiczenia Funkcje Definicje Podstawowe własności funkcji

4 5.3 Funkcje podobne Elementy rachunku różniczkowego Ćwiczenia Ciagi Definicje Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Ćwiczenia Prawdopodobieństwo i kombinatoryka Definicje Kombinatoryka Schemat Bernoulliego Ćwiczenia Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

5 1 Rachunek wektorowy 1.1 Definicje Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Można też mówić o wektorze jako o odcinku skierowanym, czyli takim, dla którego wyróżniono początek i koniec. Wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy AB, często używa się też oznaczeń jednoliterowych, np. a. Dowolny wektor można scharakteryzować podając jego długość (zwaną także modułem), kierunek i zwrot. Długość wektora oznaczamy AB lub AB. Dwa wektory są równe, jeśli ich trzy powyższe cechy są identyczne, tzn. jeśli mają takie same długości, kierunki i zwroty. O wektorach przeciwnych zaś mówimy wtedy, gdy mają one takie same długości i kierunki, ale przeciwne zwroty. Wektor zerowy to taki, którego początek i koniec pokrywają się. Nie ma on określonego ani kierunku, ani zwrotu. Często do opisu wektora używa się jego reprezentacji w układzie współrzędnych. Jednym z najczęściej używanych jest kartezjański układ współrzędnych. W tym układzie wektor jest reprezentowany przez trzy liczby (bądź dwie, jeśli ograniczamy się do rozważań na płaszczyźnie) będące długościami rzutów wektora na każdą z osi: OX, OY i OZ. Zapisujemy wówczas a = (a x,a y,a z ), gdzie a x,a y,a z R. 1. Działania na wektorach Dodawanie wektorów przeprowadzamy algebraicznie (jeśli podane są ich współrzędne) lub graficznie. Suma dwóch wektorów a = (a x,a y,a z ) i b = (b x,b y,b z ) w kartezjańskim układzie współrzędnych to wektor a + b = (a x + b x,a y + b y,a z + b z ). Graficznie sumę dwóch wektorów konstruujemy najczęściej korzystając z tzw. metody trójkata. Dla powyższego przykładu uczynilibyśmy to nastę-

6 pująco: 1. konstruujemy wektor a,. konstruujemy wektor b tak, by jego początek pokrywał się z końcem wektora a, 3. sumę a + b tworzymy jako wektor zaczepiony w początku pierwszego wektora, o końcu w końcu drugiego wektora. Metodę tę stosować można także do dodawania większej liczby wektorów - wówczas suma tych wektorów jest zawsze wektorem o początku w początku pierwszego wektora w łańcuchu i końcu w końcu ostatniego wektora w łańcuchu. Istnieje też druga metoda graficznego dodawania wektorów, tzw. metoda równoległoboku. W tej metodzie konstruujemy równoległobok na bazie wektorów a i b, w taki sposób, by ich punkty zaczepienia pokrywały się. Wychodząca z tego punktu przekątna równoległoboku tworzy sumę a + b, której początkiem jest punkt zaczepienia wektorów składowych. Sumę wektorów często nazywa się wektorem wypadkowym. Dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym, tzn. a + b = b + a oraz łącznym, czyli a + ( b + c) = ( a + b) + c. Odejmowanie wektorów a + b realizujemy przez dodanie wektora przeciwnego a + ( b). Mnożenie wektora przez skalar (liczbę) k a polega na zwiększeniu długości wektora o zadany czynnik, przy zachowaniu jego kierunku. Dla k > 0 zachowany zostaje także zwrot wektora a, dla k < 0 zwrot a zmieniamy na przeciwny. Dla wektora w kartezjańskim układzie współrzędnych mnożenie przez skalar polega na wymnożeniu przez tę liczbę wszystkich składowych wektora: k a = (ka x,ka y,ka z ). Działanie mnożenia przez skalar jest rozdzielne względem dodawania: k( a + b) = k a + k b. Iloczyn skalarny to działanie na parze wektorów, którego wynikiem jest skalar (liczba). Zapisujemy je a b. Dla wektorów o znanych długościach i kierunkach a b = ab cos ( a, b), zaś dla wektorów o znanych współrzędnych kartezjańskich a b = a x b x + a y b y + a z b z. Jak widać na powyższych wzorach, działanie to jest przemienne. 6 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

7 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Z własności funkcji cos x widzimy, że dla wektorów prostopadłych iloczyn skalarny zeruje się. Własność tę możemy wykorzystać do badania prostopadłości (czyli ortogonalności) dwóch wektorów. Iloczyn skalarny posiada własność łaczności przy mnożeniu przez skalar k( a b) = (k a) b oraz rozdzielności a ( b + c) = a b + a c. 1.3 Przykłady Przykład 1 Dane sa trzy wektory: a = (1,0, 1), b = (, 1,3), c = (1,1,). Obliczyć długości tych wektorów oraz znaleźć wektor x = 3 a b + 4 c. Rozwiązanie: a = b = c = ( 1) = + ( 1) + 3 = = 6 x = ( , 3 0 ( 1) + 4 1, 3 ( 1) ) = (5,5,). Przykład Znaleźć wektor jednostkowy równoległy do wektora a = (3, 4,). Rozwiązanie: â = a a = a = 1 9 a. Przykład 3 Dane sa dwa wektory a = (3, 1, 5) i b = (1,, 3). Znaleźć wektor x = (x 1,x,x 3 ) prostopadły do osi OZ i spełniajacy warunki x a = 9, x b = 4. Rozwiązanie: Warunek prostopadłości do osi OZ oznacza, że x 3 = 0. Rozpisujemy na składowych pozostałe dwa warunki: 3x 1 1x + 5x 3 = 9 1x 1 + x 3x 3 = 4 Rozwiązując ten układ równań dostajemy x = (, 3, 0). Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 7

8 1.4 Ćwiczenia 1. Dane są dwa wektory a i b, takie że a + b = (11, 1,5) oraz a b = ( 5, 11, 9). Znaleźć: (a) wektory a i b, (b) kąt pomiędzy wektorami a i a + b oraz sprawdzić sumę kątów w trójkącie zbudowanym na wektorach a, b oraz ich sumie a + b.. Dane są wektory a = (,0), b = (0, ) oraz c = (1, ). Metodą graficzną znaleźć wektor u = a b + c. Wyznaczyć współrzędne wektora u dwiema metodami - graficzną oraz algebraiczną. 3. Wyznaczyć długość wektorów a = ( 1,1,1), b = (0,4, 3), a następnie znaleźć jednostkowe wektory â oraz ˆb takie, że â a, ˆb b. 4. Wykazać, że trójkąt o wierzchołkach A(3, ), B(6, 5), C(1, 10) jest prostokątny. 5. Dane są punkty A = (, 1), B = (1 + a,), C = (3, a). Dla jakiej wartości a wektory AB oraz AC są prostopadłe? 8 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

9 Liczby rzeczywiste.1 Definicje Liczbami wymiernymi nazywamy wszystkie liczby całkowite i ułamkowe, tzn. takie, które można przedstawić w postaci ilorazu dwóch innych liczb. Przykłady: 1, , 0, 98. Liczby niewymierne to dopełnienie zbioru liczb wymiernych tak, by pokrywały całą oś liczbową. Ich wprowadzenie pozwala na przyporządkowanie liczby każdemu punktowi na osi liczbowej, a zatem uciagla zbiór liczb. Liczbom niewymiernym odpowiadają nieskończone i nieokresowe ułamki dziesiętne. Przykłady:, 3 10, e,. Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Własności liczb rzeczywistych: 1. ich zbiór jest uporzadkowany, tzn. w każdej parze liczb, które nie są sobie równe można wskazać, która z liczb jest większa (np. 3 < 5, 5 < 0),. jest to zbiór ciagły, tzn. każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada pewna liczba rzeczywista, 3. w zbiorze liczb rzeczywistych określone są działania, które (poza kilkoma wyjątkami i zastrzeżeniami, o których poniżej) dają w wyniku określone liczby rzeczywiste. Te działania to: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie dwóch liczb, obliczanie potęg, obliczanie pierwiastków oraz logarytmów.. Działania na liczbach rzeczywistych..1 Potęgowanie Potęgowanie a c to działanie dwuargumentowe, wymaga podstawy potęgi a i wykładnika potęgi c. Dla każdego a 0: a 0 = 1.

10 Jeśli c jest liczbą naturalną dodatnią, to a c = a } a {{... a}. c czynników Jeśli c jest całkowite ujemne, to a c = 1, przy czym mamy tu ograniczenie, że a a 0. c Potęgi o wykładnikach niecałkowitych zdefiniowane są dla a 0. Jeśli wykładnik jest wymierny dodatni, to potęgę obliczamy następująco: a d c = d a c, a jeśli wymierny ujemny, to a d c = d 1, przy czym w tym drugim przypad- a c ku żądamy, aby a > 0. Potęgi o wykładnikach niewymiernych można obliczyć jako granice ciągów potęg o wykładnikach wymiernych. Potęgowanie ma następujące własności: a c a d = a c+d, ac a d = a c d, (a c ) d = a c d, (a b) c = a c b c, ( a b )c = ac b c. Uwaga! Potęgowanie jest rozdzielne względem mnożenia i dzielenia, ale nie względem dodawania czy odejmowania: (a + b) c a c + b c... Pierwiastkowanie Pierwiastkiem n tego stopnia z nieujemnej liczby a n a nazywamy taką nieujemną liczbę b, że b n = a. Z liczb ujemnych istnieją jedynie pierwiastki nieparzystych stopni zdefiniowane podobnie jak powyżej...3 Wartość bezwzględna Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest zdefiniowana jako { x dla x 0 x = x dla x < 0. Wartość bezwzględna to odległość punktu x od punktu 0 na osi liczbowej, jest więc nieujemna. Dla dwóch liczb x, y mamy następujące własności wartości bezwzględnej: x + y x + y, 10 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

11 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 x y x + y, x y = x y, dla y 0 x y = x y...4 Logarytmowanie Logarytmem o podstawie a z liczby b log a b nazywamy taką liczbę x, że a x = b. Podstawą logarytmu mogą być liczby a (0, ) \ {1}, zaś liczby logarytmowane b (0, ). Jeśli podstawa logarytmu nie jest jawnie wpisana, to przyjmujemy domyślną wartość 10. Natomiast symbol ln oznacza logarytm, którego podstawą jest liczba Eulera e. Przy spełnieniu odpowiednich założeń obowiązują następujące prawa działań na logarytmach: log a b + log a c = log a (b c), log a b log a c = log a ( b c ), log a b k = k log a b, log a b = log cb log c a, log a b = 1 log b a. Przykład 4 Obliczyć wartość wyrażenia [ 1, ( 1 )4 ] 1. Rozwiązanie: [ 1,6 10 ( ) 3 1 4] 1 = [ = 4 10 = 0, ] 1 = ( ) 1 = ( ) 1 = Przykład 5 Przepisać wyrażenie x x dla 1 < x < bez użycia symbolu wartości bezwzględnej. Rozwiązanie: Stwierdzamy, że w tym zakresie wartości x wartości wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi x 5 i 1 x są ujemne, w związku z czym powyższe wyrażenie możemy zapisać jako x [ (1 x)] = 6x + 1. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 11

12 Przykład 6 Obliczyć wartość wyrażenia 4 +log 47. Rozwiązanie: Korzystamy kolejno z własności potęg i logarytmów: 4 +log 47 = 4 4 log 47 = 16 7 = Wielomiany Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję postaci W(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a i są rzeczywistymi współczynnikami liczbowymi, a a n Działania na wielomianach Dwa wielomiany sa równe wtedy, gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe. Mnożenie wielomianu przez liczbę k polega na wymnożeniu przez tę liczbę każdego wyrazu wielomianu. Dodawanie wielomianów polega na dodaniu do siebie wyrazów podobnych. Odejmowanie wielomianów W(x) R(x) polega na dodaniu do W(x) wielomianu R(x) pomnożonego przez 1. Mnożenie wielomianów W(x) R(x) polega na wymnożeniu każdego wyrazu wielomianu W(x) przez każdy wyraz wielomianu R(x). Dzielenie wielomianów W(x)/R(x), gdzie R(x) 0 odbywa się analogicznie do dzielenia liczb rzeczywistych. Jego wynikiem jest inny wielomian oraz reszta z dzielenia (niekoniecznie zerowa). Istnieje szereg twierdzeń związanych z rozkładem wielomianów na czynniki. 1. Każdy wielomian jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.. Jeżeli liczba x 0 jest miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu P(x), to P(x) jest podzielny przez dwumian (x x 0 ). 3. Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków. Przykład 7 Rozłożyć na czynniki wielomian R(x) = x 4 + x 3 x i zidentyfikować jego miejsca zerowe. 1 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

13 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Rozwiązanie: Wyłączając z pierwszej i drugiej pary wspólne czynniki przed nawias i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dostajemy: x 4 +x 3 x = x 3 (x+) (x+) = (x+)(x 3 1) = (x+)(x 1)(x +x+1). Zatem wielomian ten ma dwa miejsca zerowe: i 1. Przykład 8 Określić dla jakich x ma sens liczbowy i doprowadzić do najprostszej postaci wyrażenie: x x 5 + x 5 x 7x Rozwiązanie: Sprawdzamy, dla jakich x mianowniki składników są niezerowe: x 5 oraz x 7x Drugi warunek upraszczamy, wyliczając kolejno wyróżnik tego trójmianu i jego pierwiastki: = ( 7) = 9, x 1 = (7 9)/ =, x = (7 + 9)/ = 5. Zatem podsumowując założenia: x R \ {, 5}. Następnie wyliczamy: x x 5 + x 5 x 7x + 10 = x x 5 x(x ) + x 5 + = = x 5 (x )(x 5) (x )(x 5) = x 5 (x 5)(x + 5) (x + 5) = = (x )(x 5) (x )(x 5) (x )..4 Ćwiczenia 1. Wyznaczyć A B, A B, A \ B oraz A jeśli: (a) A = (, i B = ( 3, 5, (b) A = (3, 7 i B = {3}.. Obliczyć wartości A, B i C, dla których prawdziwe jest równanie 6x x + 1 x 3 x = A x + B x 1 + C x + 1. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 13

14 3. Obliczyć wartości wyrażeń: (a) log 3 6,75 + log 3 4, (b) log 1000, (c) log 0,5 1, (d) log 5 0,04, (e) 5 log Dla x < 1 uprościć wyrażenie x + x x. 5. Wykonać działania: 1+a a 3 1 a 3+a a(1 a) 9 a. 6. Rozłożyć wielomiany na czynniki: (a) x x 4 x 3 10x, (b) 1x 6 3x, (c) x 4 16, (d) 9 x + xy y. 7. Obliczyć wartość wyrażenia: 3 : ,8 : 1,5 3 0,4 50 1: ,5 6 1+, Dla jakich liczb a i b wielomian x bx + 1 jest podzielnikiem wielomianu x 3 x + bx + a? 9. Wyznaczyć p i q tak, aby liczba 3 była podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x 3 5x + px + q. 10. Rozwiązać metodą wyznaczników i znaleźć, dla jakich wartości parametru z rozwiązaniem jest para liczb o różnych znakach { (z 1)x y = z x (z + 1)y =. 14 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

15 3 Równania i nierówności 3.1 Definicje Równaniem nazywamy równość dwóch funkcji tej samej zmiennej: f (x) = g(x). Rozwiazać równanie to znaleźć takie wartości niewiadomej x, dla których równość jest prawdziwa. Te wartości zmiennej x nazywają się rozwiązaniami lub pierwiastkami równania. Jeśli dane równanie jest spełnione dla wszystkich x, na których funkcje f (x) i g(x) są określone, to takie równanie nazywa sie tożsamościa. Nierówność to stwierdzenie, że dwa wyrażenia f i g połączone są relacją porządkującą, czyli można wskazać, które z nich ma większą wartość. Wyróżniamy nierówności słabe (nieostre), czyli takie, które dopuszczają równość wyrażeń f i g, np. f g, oraz nierówności mocne (ostre), np. f < g. Rozwiazać nierówność to znaleźć wszystkie wartości występujących w niej zmiennych, dla których ta nierówność jest prawdziwa. W przypadku nierówności z jedną zmienną jest to najczęściej przedział lub suma przedziałów na osi liczbowej, zaś dla nierówności z dwiema zmiennymi rozwiązaniem jest obszar w układzie współrzędnych. 3. Typy równań Równania algebraiczne to takie równania, w których funkcje f (x) i g(x) są funkcjami algebraicznymi zmiennej x. Funkcje te mogą być zarówno wymierne jak i niewymierne. Równaniem wykładniczym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma lub jej funkcja występuje jedynie w wykładnikach potęg o danych podstawach. Równanie logarytmiczne to takie, w którym niewiadoma lub jej funkcja występuje jako liczba logarytmowana w logarytmie o znanej podstawie. W równaniach trygonometrycznych niewiadoma x występuje tylko jako argument funkcji trygonometrycznych.

16 3.3 Metody rozwiazywania równań i nierówności Rozwiązywanie równań i nierówności rozpoczynamy od ustalenia zbioru, na którym są one określone, czyli wyrażenia występujące w równaniu czy nierówności mają sens liczbowy. W szczególności wypisujemy następujące założenia: 1. wyrażenia występujące w mianownikach wyrażeń wymiernych muszą być różne od zera,. wyrażenia występujące pod pierwiastkami muszą być nieujemne (tzn. 0), 3. wszystkie liczby logarytmowane muszą być dodatnie, 4. wszystkie podstawy logarytmów muszą być dodatnie i różne od 1, 5. w równaniach i nierównościach trygonometrycznych wyrażenia g występujące jako argument funkcji tangens muszą spełniać g / + k, zaś wyrażenia h występujące jako argument funkcji kotangens muszą spełniać h k, gdzie w obydwu przypadkach k jest dowolną liczbą całkowitą. Po wypisaniu i - w przypadku bardziej skomplikowanych założeń - rozwiązaniu założeń, przystępujemy do rozwiązywania samego równania lub nierówności. Polega to na przekształcaniu danego równania (nierówności) w równanie (nierówność) równoważną, to znaczy posiadającą takie same rozwiązania. W ogólności można powiedzieć, że na obie strony równania lub nierówności możemy zadziałać pewną funkcją, o ile funkcja ta nie jest stała i nie wyklucza żadnego z rozwiązań. Musimy pamiętać, że jeśli funkcja, którą działamy jest malejąca, to musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. W szczególności dopuszczalne są: 1. dodanie (lub odjęcie) dowolnego wyrażenia od obydwu stron równania (nierówności),. pomnożenie lub podzielenie obydwu stron równania (nierówności) przez to samo różne od zera wyrażenie; w przypadku nierówności, jeśli wyrażenie jest ujemne, musimy zmienić znak nierówności, 3. zlogarytmowanie obydwu stron równania (nierówności) logarytmem o tej samej podstawie; jeśli podstawa logarytmu a (0, 1), to ten logarytm jest funkcją malejącą i musimy zmienić znak nierówności, 4. podniesienie obydwu stron równania (nierówności) do tej samej potęgi, 5. wyliczenie wartości funkcji wykładniczej z obydwu stron równania (nierówności); jeśli podstawa potęgi a (0, 1), to taka funkcja jest również funkcją malejącą i musimy pamiętać o zmianie znaku nierówności. 16 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

17 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/ Przykładowe schematy postępowania Poniżej omówione są metody rozwiązywania równań każdego typu, a następnie różnice pojawiające się przy rozwiązywaniu nierówności. Przykład 9 Rozwiazać równanie x + 1 x x + 1 x 1 = 0. Rozwiązanie: Takie przypadki sprowadzamy przy pomocy metod podanych powyżej do postaci P(x) = 0, gdzie P(x) jest wielomianem zmiennej x. Wówczas najwygodniej jest rozłożyć wielomian P(x) na czynniki proste i argumentować, że iloczyn zeruje się, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. W pierwszym kroku czynimy założenia, dla jakich x wyrażenia w równaniu mają sens liczbowy: x 0 oraz x + 1 x 1 0. W świetle pierwszego założenia możemy drugie założenie pomnożyć obustronnie przez x, co daje x x Ponieważ wyróżnik lewej strony jest ujemny, drugie założenie jest spełnione dla wszystkich x 0. Następnie sprowadzamy równanie do postaci wielomianowej - rozszerzamy ułamek przez x i wymnażamy równanie obustronnie przez nowy mianownik: x x x + 1 = 0 (x x + 1) x = 0. Ponieważ lewa strona jest wielomianem stopnia trzeciego, można go rozłożyć na co najmniej dwa czynniki: (x + 1)(x x + 1) = 0. Wiemy już, że drugi czynnik nie zeruje się dla żadnej wartości x, zatem jedynym rozwiązaniem pozostaje x = 1, o którym upewniamy się, że jest zgodne z poczynionymi założeniami. Przykład 10 Rozwiazać nierówność x + 1 x > 0. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 17

18 Rozwiązanie: Taki typ nierówności rozwiązujemy przez opuszczenie wartości bezwzględnych. W tym celu czynimy odpowiednie założenia. W powyższym przykładzie każde z wyrażeń pod wartością bezwzględną może przyjmować wartości ujemne lub nieujemne, co daje do rozważenia cztery przypadki: 1. x x 0 x + 1 x > 0 x 1 x 0 1 > 0 x 0. x x < 0 x + 1 ( x) > 0 x 1 x < 0 x > 1 x ( 1,0) 3. x + 1 < 0 x 0 (x + 1) x > 0 x < 1 x 0 x > 1 x 18 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

19 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/ x + 1 < 0 x < 0 (x + 1) ( x) > 0 x < 1 x < 0 1 > 0 x Sumując rozwiązania z poszczególnych przypadków dostajemy x ( 1,+ ). Przykład 11 Rozwiazać równanie wykładnicze 0,5 0,5x(x 1) 0,75 = 4 0,5 6. Rozwiązanie: Obie strony powyższego równania możemy - po przekształceniu - przedstawić jako potęgi o podstawie 1 : [0,5x(x 1) 0,75] 1 = Dalej skorzystamy z różnowartościowości funkcji potęgowej (dwie potęgi o jednakowych podstawach są równe, gdy ich wykładniki są równe), co pozwoli nam przyrównać wykładniki i uzyskać równanie kwadratowe: x(x 1) 3 = 3 x(x 1) = 0 x = 0 lub x = 1. Przykład 1 Rozwiazać nierówność trygonometryczna dla 0 x. sin 3x > 1 4 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 19

20 Rozwiązanie: Powyższa nierówność jest równoważna: sin3x > 1. Następnie wykonujemy pomocniczy szkic wykresu funkcji y = sint i odczytujemy z niego rozwiązania Widzimy, że rozwiązania dla zmiennej 3x powtarzają się co, a więc możemy zapisać ogólnie: 6 + k < 3x < k, k = 0,1,,... Następnie wydzielamy wszystkie wyrażenia przez 3: 18 + k 3 < x < k 3 i wybieramy takie wartości k, dla których x mieści się w przedziale zadanym w treści zadania: k {0,1,,3,4,5}. Przykład 13 Rozwiazać równanie logarytmiczne log 1 3 x + 1 < 1 + log 13 4 x. Rozwiązanie: Najwygodniej rozwiązać to równanie sprowadzając obie jego strony do postaci logarytmów o tych samych podstawach i korzystając z różnowartościowości 0 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

21 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 funkcji logarytmicznej porównać liczby logarytmowane. Najpierw jednak wypisujemy założenia, pamiętając, że pierwiastki istnieją wyłącznie z liczb nieujemnych, a liczbami logarytmowanymi mogą być wyłącznie liczby dodatnie: { x + 1 > 0 4 x > 0. Założenia te są spełnione dla x ( 1,). Następnie korzystamy z tego, że 1 = log oraz z twierdzenia o dodawaniu logarytmów o tych samych podstawach. Otrzymujemy: 1 log 1 x + 1 < log 13 4 x 3 3, co możemy zapisać opuszczając logarytmy jako 1 x + 1 > 4 x 3, gdzie zauważamy zmieniony znak nierówności ze względu na to, że funkcja y = log 1 3 x jest malejąca. Strony nierówności podnosimy do kwadratu i dalej postępujemy jak w przypadku nierówności kwadratowej: x (, 9 61 x + 1 > 1 9 (4 x ) x + 9x + 5 > 0 ) ( ,+ To rozwiązanie, po uwzględnieniu założeń zawęża się do ( 9 + ) 61 x,. ). 3.5 Ćwiczenia 1. Rozwiązać równania i nierówności (pamiętając o poczynieniu stosownych założeń): (a) x+1 x+1 1 x = x x 1, Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 1

22 (b) x + 4 x = 3, (c) x 5 x 6x+8 < 1, (d) 4 x x x 1, (e) 7 < x 3 x x +, (f) e x = x, (g) 5 x + (5x 5)(5 x +5) 1 5 x > 0, (h) 3x x + 1 = 6, (i) (x + ) 8x + 3 x < 3x 1, (j) ( + 3) x + ( 3) x = 4, (k) 3 3 4x 5x+ 3, (l) x x = x x, (m) x x + x x 1 > 0, (n) x log x = 10.. Wykazać, że liczba r = log 3 4 spełnia równanie: 7 x = 3 x + ( 3) x Rozwiązać w zależności od wartości parametru p nierówność x + px + p 4 > Narysować zbiór wyznaczony na płaszczyźnie nierównościami: x y < x + y, x + y Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu { x y = m x y = m jest para liczb o przeciwnych znakach? 6. Zbadać zależność liczby pierwiastków równania (m 1)x + (m + 1)x + (m 1) = 0 od parametru m. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

23 4 Trygonometria 4.1 Definicje Niniejszy rozdział odnosi się do kątów. Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku. Kąt mierzymy w stopniach (1 = kąta pełnego) lub w radianach (kąt pełny to radianów). Związek pomiędzy tymi miarami to: 1 = 180 radianów. Jeśli rozważymy trójkąt prostokątny jak na rysunku poniżej, to możemy wypisać definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: Sinus sinα = a c, Kosinus cosα = b c, Tangens tgα = a b, Kotangens ctgα = b a. Warto zauważyć podstawowe związki między powyższymi funkcjami trygonometrycznymi. Pierwszy z nich często nazywany jest jedynką trygonometryczną: sin α + cos α = 1 tgα = sinα cosα a β c γ b α

24 0 30 ( 6 ) 45 ( 4 ) 60 ( 3 ) 90 ( ) 1 sinα 0 cosα 1 tgα 0 ctgα nie istnieje nie istnieje Tabela 4.1: Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów. ctgα = 1 tanα oraz szereg innych, takich jak wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego lub połówkowego kąta, które można znaleźć z każdych tablicach matematycznych. Zestawienie wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów przedstawia tabela 4.1. Wartości dla kątów 30 i 60 można z łatwością otrzymać rozważając połowę trójkąta równobocznego o boku 1, zaś wartości dla kąta 45 z rozważań trójkąta równoramiennego o długości ramion 1. Także w układzie współrzędnych możemy określić tzw. kat skierowany. Jest to kąt pomiędzy dodatnią częścią osi OX a wektorem wodzącym punktu A o współrzędnych (x, y), przy czym za zwrot dodatni uważamy ten liczony w stronę przeciwną do kierunku ruchu wskazówek zegara. Ilustruje to poniższy rysunek. y A(x,y) r α x W takiej sytuacji można rozszerzyć definicje funkcji trygonometrycznych także dla kątów większych od 180, dla których niemożliwe jest skorzystanie z definicji opartej o długości boków trójkąta. Mamy zatem: Sinus sinα = y r, 4 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

25 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Kosinus cosα = x r, Tangens tgα = y x, Kotangens ctgα = x y, gdzie r = x + y jest długością wektora wodzącego. Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta możemy wyliczyć znając wartości tych funkcji dla kątów ostrych (czyli z zakresu od 0 do ) oraz tzw. wzory redukcyjne. Znak funkcji dla kąta z danej ćwiartki układu współrzędnych ustalimy albo z powyższych definicji, albo pamiętając wyliczankę: W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus, w czwartej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus. Po ustaleniu znaku zapisujemy kąt jako sumę lub różnicę krotności i kąta ostrego (np. 40 = lub 40 = ). Jeśli pierwszy składnik tej sumy to 90 lub 70, to mówimy że funkcje przechodzą w kofunkcje, czyli sin(90 + x) cosx, cos(90 + x) sinx oraz analogicznie dla pary funkcji tangens i kotangens. Przykład 14 Obliczyć: cos10, sin5, tg315, ctg300. Rozwiązanie: Kolejno: rozpisujemy kąt w sposób podany powyżej, ustalamy znak funkcji w danej ćwiartce układu współrzędnych, sprawdzamy czy funkcja przechodzi w kofunkcję: cos10 = cos( ) = sin30 = 1, sin5 = sin( ) = sin45 =, tg315 = tg( ) = ctg45 = 1, 3 ctg300 = ctg( ) = ctg60 = 3. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 5

26 Funkcja Dziedzina Zbiór wartości Miejsca zerowe Okres Parzystość sin x R 1, 1 k nieparzysta cosx R 1,1 + k parzysta tgx R \ { + k} R k nieparzysta ctgx R \ {k} R + k nieparzysta sin(x) 3 cos(x) tg(x) 3 ctg(x) Rysunek 4.1: Wykresy funkcji trygonometrycznych. Niebieskimi liniami zaznaczone zostały asymptoty pionowe funkcji tgx i ctgx. 6 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

27 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) Rysunek 4.: Wykresy funkcji cyklometrycznych. Na rys. 4.1 pokazane są wykresy funkcji trygonometrycznych. Z wykresów tych (lub z definicji) można znależć własności funkcji trygonometrycznych: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, okres i parzystość. Własności te zebrane są w poniższej tabeli, gdzie k oznacza dowolną liczbę całkowitą. Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, zawężonych do odpowiednich przedziałów. Ich wykresy przedstawione są na rysunku 4.. W przeciwieństwie do funkcji trygonometrycznych, funkcje cyklometryczne są różnowartościowe. Mają one także ograniczoną dziedzinę (funkcje arcsinx i arccosx) oraz zbiór wartości (wszystkie). Przykład 15 Sprawdzić tożsamość 1 cosx = sinxtgx. cosx Rozwiązanie: Lewą stronę sprowadzamy na wspólną kreskę ułamkową: 1 cos x cosx = sinxtgx Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 7

28 i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin x cosx = sinxtgx. Przykład 16 Rozwiazać równanie tg 3 x + tg x 3tgx = 3. Rozwiązanie: Najpierw czynimy stosowne założenia: x + k. Następnie wprowadzamy zmienną pomocniczą t = tgx. Wówczas równanie przyjmuje postać t 3 +t 3t 3 = 0, gdzie wygodnie jest lewą stronę zapisać w postaci czynników: t (t + 1) 3(t + 1) = 0 (t + 1)(t 3) = 0 (t + 1)(t + 3)(t 3) = 0. Stąd możemy już odczytać rozwiązania na t: t 1 = 1, t = 3, t 3 = 3, i przetłumaczyć je na rozwiązania dla x: { x 4 + k, 3 + k, } 3 + k. Wszystkie te rozwiązania są zgodne z założeniami. Przykład 17 Rozwiazać nierówność sin x 1, dla x [0,]. Rozwiązanie: Powyższą nierówność można zapisać w postaci: sinx. 8 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

29 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Następnie na rysunku 4.1 sprawdzamy dla jakich wartości argumentów funkcja sinx przyjmuje wartości pomiędzy a. Wypisujemy rozwiązanie: [ x 0, ] [ 3 4 4, 5 ] [ ] 7 4 4,. 4. Ćwiczenia 1. Obliczyć: sin40, tan 60, ctg10, cos135.. Rozwiązać równanie tg 3 x = tgx. 3. Rozwiązać nierówności: (a) sinx < 1, (b) cosx. Sformułować odpowiedzi osobno dla x [0,] oraz dla x R. 4. Znaleźć wszystkie liczby x [ 3, 3] spełniające równanie sin x = Rozwiązać dla 0 x nierówność sin 3x > Rozwiązać poniższe równania i nierówności: (a) sinx = 3, (b) sin 4 x cos 4 x = 1, (c) log sinx (1 + cosx) =, (d) sinx > cosx, (e) cosx(sinx + 1) < Wykazać, że 1 + ctg x = 1 sinx. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 9

30 5 Funkcje 5.1 Definicje Funkcjami nazywamy pewną klasę przyporządkowań. Jeśli mamy dwa zbiory A i B, i każdemu elementowi ze zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją. Zwróćmy uwagę, że ten sam element ze zbioru B może zostać przyporządkowany różnym elementom ze zbioru A. O takiej funkcji mówimy, że nie jest funkcją różnowartościową. Dziedzina funkcji nazywamy zbiór A. Zbiorem wartości nazywamy zbiór B. Sposoby określenia. Funkcję możemy określić w dowolny sposób, który definiuje przyporządkowanie w sposób dokładny i jednoznaczny. W zależności od sytuacji, możemy skorzystać z następujących metod: opis słowny, tabelka, wykres, wzór. W dalszym ciągu zajmiemy się funkcjami, których dziedzina i zbiór wartości są zbiorami liczb. Dla takich funkcji najbardziej użyteczne jest określenie przez wzór lub wykres. 5. Podstawowe własności funkcji Parzystość Jeśli dla każdego argumentu funkcji spełnione jest f (x) = f ( x),

31 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 to taką funkcję nazywamy parzysta, zaś jeśli zachodzi f (x) = f ( x) to funkcję nazywamy nieparzysta. Jesli nie zachodzi żadne z powyższych, to mówimy, że funkcja nie ma określonej parzystości. Różnowartościowość Jeśli funkcja przyjmuje każdą wartość tylko dla jednego argumentu, to nazywamy ją różnowartościowa. Formalnie możemy zapisać, że dla każdej pary argumentów funkcji x 1, x musi zachodzić: x 1 x f (x 1 ) f (x ). Na wykresie funkcje różnowartościowe można rozpoznać po tym, że dowolna linia pozioma przecina wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie. Funkcje różnowartościowe są odwracalne. Monotoniczność Zbadanie monotoniczności to określenie, czy funkcja jest rosnaca, malejaca czy stała. Funkcję nazywamy rosnącą (słabo rosnącą), jeśli wraz ze wzrostem argumentów rosną (nie maleją) wartości funkcji, to znaczy dla każdej pary argumentów: x 1 < x f (x 1 ) < (x ) ( f (x 1 ) (x )). Funkcję nazywamy malejącą (słabo malejącą), jeśli wraz ze wzrostem argumentów maleją (nie rosną) wartości funkcji, to znaczy dla każdej pary argumentów: x 1 < x f (x 1 ) > (x ) ( f (x 1 ) (x )). Funkcję nazywamy stałą, jeśli przyjmuje tę samą wartość dla każdego argumentu. Najczęściej monotoniczność funkcji nie jest taka sama w całej dziedzinie. Wówczas podajemy przedziały, w których monotoniczność jest określona. Odczytujemy je z wykresu (jeśli dysponujemy wystarczająco precyzyjnym wykresem) lub badamy przy pomocy rachunku różniczkowego (patrz rozdział 5.4). Miejsce zerowe funkcji to wartość argumentu, dla której wartość funkcji wynosi zero. Funkcja może mieć więcej niż jedno miejsce zerowe. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 31

32 Ekstremum funkcji to wartość argumentu, dla którego wartość funkcji jest lokalnie najmniejsza (mówimy wtedy o minimum) lub największa (mówimy wtedy o maksimum). Okresowość Funkcję nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba T taka, że dla każdego argumentu funkcji zachodzi f (x 0 ) = f (x 0 + kt ), gdzie k jest liczbą całkowitą, a T nazywa się okresem funkcji. Ciagłość Funkcja jest ciągła w punkcie x 0, jeśli istnieją właściwe granice (prawoi lewostronna) funkcji w tym punkcie, i granice te są równe sobie i wartości funkcji w tym punkcie. lim x x + 0 = lim x x 0 = f (x 0 ). Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. W przedziale, w którym funkcja jest ciągła, jej wykres potrafimy narysować bez odrywania ołówka od kartki. Asymptoty Intuicyjnie: asymptota krzywej to prosta, do której coraz bardziej zbliża się wykres funkcji, gdy się wzdłuż niego przemieszczamy. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą. Funkcja f (x) ma asymptotę pionową w punkcie x = x 0, jeśli x 0 nie należy do dziedziny funkcji, a przynajmniej jedna z granic tej funkcji (prawolub lewostronna) w tym punkcie jest równa ±. Typowymi przykładami są funkcje wymierne, które mają asymptoty pionowe w miejscach zerowych mianownika. Funkcja f (x) ma asymptotę poziomą y = a, jeśli przynajmniej jedna z granic lim x ± = a. Niektóre funkcje, np. funkcje wymierne, w których stopień licznika jest o 1 wyższy niż stopień mianownika, posiadają asymptoty ukośne. Parametry asymptoty ukośnej y = ax + b wyliczamy z następujących wzorów: a = y(x) lim x x, b = lim (y(x) ax). x Rozwiązania przykładowych zadań z badania przebiegu zmienności funkcji, uwzględniające badanie własności opisanych w tej części, znajdują się na końcu części Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

33 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/ Funkcje podobne Zazwyczaj pamiętamy lub potrafimy skonstruować wykresy podstawowych funkcji: funkcji trygonometrycznych, wykładniczych f (x) = a x, lub logarytmicznych f (x) = log a x. Często jednak istnieje konieczność przeanalizowania funkcji podobnych do funkcji podstawowych, w których zmodyfikowany jest argument (np. f (x) = a x+1 ) lub wartość funkcji (np. f (x) = 3a x +1). Dlatego warto zapamiętać kilka prostych zasad umożliwiających konstrukcję wykresu funkcji podobnej na podstawie wykresu funkcji podstawowej. y = f (x a) przesunięcie wykresu f (x) w prawo o a, y = f (ax) ściśnięcie wykresu f (x) wzdłuż osi OX a-razy (jeśli a > 0), y = f ( x) odbicie wykresu f (x) względem osi OY, y = f (x) + a przesunięcie wykresu f (x) w górę o a, y = a f (x) rozciągnięcie wykresu f (x) wzdłuż osi OY a-razy (jeśli a > 0), y = f (x) odbicie wykresu f (x) względem osi OX, y = f (x) odbicie części wykresu f (x) leżącej poniżej osi OX względem tej osi. Zauważmy, że modyfikacja argumentu prowadzi do modyfikacji wykresu funkcji w kierunku poziomym, zaś modyfikacja wartości funkcji prowadzi do modyfikacji wykresu funkcji w kierunku pionowym. Przykład 18 Na podstawie wykresu funkcji f (x) = log x narysować wykres funkcji g(x) = log (x + 3) + 1. Rozwiązanie: Rysunek 5.1 przedstawia kolejne kroki przekształcania wykresu funkcji wyjściowej (A). Najpierw rysujemy wykres funkcji B(x) = log (x +3) (czerwony) przez przesunięcie wykresu A o 3 jednostki w lewo. Następnie odbijamy część wykresu funkcji B znajdującą się pod osią OX względem tej osi - powstaje wykres funkcji C(x) = log (x+3) (zielony). W ostatnim kroku ten wykres przesuwamy o jedną jednostkę w górę - powstaje poszukiwany wykres funkcji g(x) = log (x+3) +1 (D niebieski). Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 33

34 A 6 B C 6 D Rysunek 5.1: Przykład przekształceń wykresu funkcji. Opis w tekście. 5.4 Elementy rachunku różniczkowego Aby zdefiniować pojęcie pochodnej funkcji w punkcie x 0, trzeba najpierw zdefiniować pojęcie ilorazu różnicowego. Rozważmy argument funkcji x 0 i pewien jego przyrost x. Zmianie argumentu z x 0 do x 0 + x odpowiada zmiana wartości funkcji od f (x 0 ) do f (x 0 + x). Ilorazem różnicowym nazywamy iloraz przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu: u = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = f (x) x. Jeśli istnieje własciwa granica ilorazu różnicowego przy x 0, to granicę tę nazywamy pochodą funkcji w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ) lub d f (x) dx : f (x 0 ) = lim x 0 f (x 0 + x) f (x 0 ). x Mówimy wówczas, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie x 0, a obliczanie pochodnej funkcji nazywamy różniczkowaniem. 34 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

35 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Interpretacja geometryczna Wartość pochodnej funkcji w punkcie x 0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie (patrz rys. 5.), a zarazem tangensowi kąta, który ta styczna tworzy z osią OX. 6 4 tg α=f ( ) 1 α f(x) Rysunek 5.: Geometryczna ilustracja pochodnej funkcji w punkcie. Ponieważ pochodna przyjmuje określoną wartość w każdym punkcie dziedziny funkcji, w którym funkcja jest różniczkowalna, zatem pochodna także jest funkcją. Operacja różniczkowania ma następujące własności: 1. [ f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x),. [k f (x)] = k f (x) (k jest stałą), 3. [ f (x) g(x)] = f (x) g(x) + f (x) g (x), 4. [ f (x) g(x) ] = f (x) g(x) f (x) g (x), g (x) Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 35

36 5. d dx f (g(x)) = d f dg dg dx. Poniżej podane są wzory na pochodne podstawowych funkcji (k R): [ x k] = k x k 1, [k] = 0, [a x ] = a x lna, [log a x] = 1 x lna, [sinx] = cosx, [cosx] = sinx. Pochodne stosujemy do badania monotoniczności funkcji i szukania ich ekstremów. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym przedziale, to związek z wartościami pochodnej w tym przedziale jest następujący: 1. f (x) > 0 funkcja jest rosnaca w tym przedziale,. f (x) < 0 funkcja jest malejaca w tym przedziale, 3. f (x) = 0 funkcja jest stała w tym przedziale. Jeśli pochodna funkcji różniczkowalnej przyjmuje w jakimś punkcie x 0 wartość zero, a jej znak jest różny w prawym i lewym sąsiedztwie tego punktu, to funkcja ma w tym punkcie ekstremum. Rozróżniamy dwa przypadki: Minimum gdy miarę wzrostu argumentów, przy przechodzeniu przez x 0 pochodna funkcji zmienia znak z na +, Maksimum gdy miarę wzrostu argumentów, przy przechodzeniu przez x 0 pochodna funkcji zmienia znak z + na. Przykład 19 Podać równanie kierunkowe stycznej do wykresu funkcji f (x) = 3x 5 6x w punkcie x = 1. Rozwiązanie: Poszukiwanie równania stycznej y = ax + b sprowadza się do wyznaczenia jej parametrów a i b. Wiemy, że a-współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji w punkcie: a = f (1) = [ 15x 4 1x ] = 15 1 = 3. x=1 36 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

37 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Z kolei ponieważ ta prosta jest styczna do wykresu funkcji w tym punkcie, to musi zachodzić: y(1) = f (1) b = b = 6. Stąd szukane równanie prostej ma postać y = 3x 6. Przykład 0 Znaleźć największa i najmniejsza wartość funkcji f (x) = x sin(x) w przedziale,. Rozwiązanie: Największą i najmniejszą wartość w przedziale funkcja przyjmuje: albo na jednym z końców przedziału, albo w ekstremum, o ile istnieją ekstrema funkcji w tym przedziale. Wyliczmy najpierw wartości funkcji na końcach przedziału: ( f ) = sin( ) =, ( f = ) sin() =. Następnie szukamy ekstremów funkcji. W tym celu obliczamy pochodną funkcji: i szukamy jej miejsc zerowych: f (x) = 1 cosx f (x) = 0 1 cos(x) = 0 cos(x) = 1 x 1 = 6, x = 6. Możemy sprawdzić, czy są to ekstrema (zmiana znaku pochodnej), ale mniej czasochłonne będzie wyliczenie wartości funkcji w tych punktach: ( f = 6) ( ) 6 sin = 3 3 6, ( f ) = ( 6 6 sin ) = Widać zatem, że w tym przedziale największą wartością funkcji jest f ( ) =, zaś najmniejszą f ( ) =. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 37

38 Przykład 1 Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) = x x +. x 1 Rozwiązanie: Zbadanie przebiegu zmienności funkcji polega na podaniu jej własności (patrz rozdział 5.), podsumowaniu ich w tabeli i naszkicowaniu wykresu funkcji. 1. Własności ogólne. (a) Dziedzina funkcji. Jest to funkcja wymierna, zatem x R \ {1}. (b) Miejsca zerowe i punkt przecięcia z osia OY. x x + x 1 = 0 x x + = 0 = ( ) 4 1 < 0 zatem funkcja nie ma miejsc zerowych, a oś OY przecina dla (c) Parzystość, okresowość, ciagłość. y = f (0) =. f ( x) = x + x + x 1 f ( x) f (x) oraz f ( x) f (x), zatem funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Funkcja ta nie jest także okresowa. Funkcja jest ciągła w R z wyjątkiem x = 1. (d) Granice na końcach przedziałów określoności. lim f (x) x = x x + x + x lim = lim x x 1 x 1 1 =, x lim x 1 = gdyż licznik >0 zaś mianownik 0, lim x 1 + = gdyż licznik >0 zaś mianownik 0+, x x + x + x lim f (x) = lim = lim x x x 1 x 1 1 x =. 38 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

39 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010. Asymptoty. Analizując granice prawo- i lewostronną funkcji w x = 1 widzimy, że prosta x = 1 jest obustronną pionową asymptotą funkcji f (x). Ponieważ jednak jest to funkcja wymierna, której stopień licznika jest o 1 wyższy od stopnia mianownika, spodziewamy się, że funkcja ta ma również asymptotę ukośną. Obliczmy jej parametry: f (x) x + x a = lim = lim x x x x 1 b = lim x ( f (x) ax) = lim x 1 x = lim + x x 1 1 x ) ( x x + x x 1 = 1, = lim x x + x 1 = 1. Zatem równanie asymptoty ukośnej ma postać y = x Własności związane z pierwszą pochodną. (a) Pierwsza pochodna i jej dziedzina. f (x) = (x )(x 1) 1 (x x + ) (x 1) = x x (x 1), i dziedzina pokrywa się z dziedziną funkcji. (b) Przedziały monotoniczności i ekstrema. Badamy, gdzie pochodna przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. f (x) > 0 x x (x 1) > 0 (x x)(x 1) > 0 x(x )(x 1) > 0 i z poglądowego wykresu wielomianu będącego lewą stroną nierówności (rys. 5.3) odczytujemy, że: f (x) > 0 dla x (,0) (,+ ), f (x) < 0 dla x (0,1) (1,), f (x) = 0 dla x {0,}. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 39

40 f (x) x Rysunek 5.3: Wykres pomocniczej funkcji, który posłuży do badania monotoniczności badanej funkcji. Stwierdzamy zatem, że funkcja jest rosnąca w przedziałach (, 0) i (,+ ), malejąca w przedziałach (0,1) i (1,) oraz posiada następujące ekstrema: maksimum w x = 0 ( f (0) =, pochodna zmienia znak z + na ) oraz minimum w x = ( f () =, pochodna zmienia znak z na +). Przy analizie miejsc zerowych pochodnej odrzuciliśmy rozwiązanie x = 1 jako nienależące do dziedzieny pochodnej funkcji. 4. Tabela podsumowująca i wykres funkcji. x (, 0) 0 (0, 1) (1, ) (, ) f (x) f (x) max, min, Tabela 5.1: Tabela przebiegu funkcji badanej w przykładzie Ćwiczenia 1. Wykres funkcji y = log (x + m) + k, której dziedziną jest przedział (, + ), przechodzi przez punkt A = (, 1). Obliczyć wartości parametrów m i k oraz określić, dla jakich liczb x funkcja przyjmuje wartości ujemne. 40 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

41 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 f(x) x Rysunek 5.4: Wykres funkcji badanej w przykładzie 1.. Dla poniższych funkcji wyznaczyć dziedzinę funkcji, zbiór wartości, miejsca zerowe, asymptoty oraz przedyskutować monotoniczność i parzystość. (a) y 1 = x x 5x+4, (b) y = x 3 4x + 4x, (c) y 3 = x 1 x, (d) y 4 = log 0,5 ( x), (e) y 5 = x + 1, (f) y 6 = 1 x, (g) y 7 = x4 1 x Zbadać, czy funkcja y = 1 jest różnowartościowa na przedziałach: x +1 a) 0, + ), b) (, + ). 4. Obliczyć następujące granice funkcji: x (a) lim 3 +x 1 x +, 1 x ( 3 x (b) lim x + x + x + ) x. 5. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f danej wzorem f (x) = log 1 (1 + x) log 1 (8 x). Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 41

42 6. Wyznaczyć największą wartość funkcji f (x) = x + x 1 w przedziale 0 x. 7. Zbadać parzystość funkcji f (x)= (a) x sin(x), (b) x 3 sin(x), (c) x + 1, (d) e x, (e) e x +, (f) x + x 4, (g) x + + x. 8. Obliczyć pochodne funkcji: (a) f (x) = xcos 3 x, (b) f (x) = sinx x, (c) f (x) = x +x+1 x +, (d) f (x) = x3 + 3 x x+1, (e) f (x) = x 3 x 4, (f) f (x) = x ax x, gdzie a > Obliczyć współczynnik kierunkowy stycznej poprowadzonej do paraboli y = x w punkcie x =. 10. W którym punkcie styczna do paraboli y = 0,5x jest równoległa do prostej x y + 3 = 0? 11. Napisać równanie stycznej do funkcji f w zadanym punkcie: (a) f (x) = x + 3x + 1, (0,1), (b) f (x) = 3x+1 x 4, (, 5 ). 1. Suma długości krawędzi czworościanu prawidłowego (o podstawie trójkąta równobocznego i spodku wysokości w środku tego trójkąta) wynosi 4. Przy jakiej wysokości objętość tego czworościanu jest największa? 13. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: 4 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

43 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 (a) y 1 = x x 4, (b) y = 1 3 (x 4), (c) y 3 = (x+3)3 (d) y 4 = x (x+), x +x, (e) y 5 = ln(1 e x ), (f) y 6 = (x+1) x +1. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 43

44 6 Ciagi 6.1 Definicje Ciagiem nazywamy funkcję, będącą odwzorowaniem zbioru kolejnych liczb naturalnych dodatnich (skończonego lub nieskończonego) na zbiór wyrazów ciągu. Zatem ciągiem liczbowym nazwiemy zbiór liczb, z których każda zajmuje określone miejsce o zadanym numerze. Ciągi oznaczamy zwykle literą z indeksem: (a n ). Przykłady ciagów: liczbom naturalnym przyporządkowujemy ich kwadraty (ciąg liczbowy nieskończony), numerujemy kolejne tomy sagi lub encyklopedii (ciąg skończony), numerujemy liczby pierwsze (ciąg liczbowy nieskończony). W dajszej kolejności zajmiemy się wyłącznie ciągami liczbowymi. Ciągi liczbowe określamy zwykle przez: podanie przepisu słownego, podanie wzoru ogólnego, tzn. takiego, na podstawie którego znając n możemy wyliczyć a n, podanie wzoru rekurencyjnego, tzn. podanie pierwszego wyrazu oraz przepisu, jak wyliczyć a n+1 na podstawie a n. Granica właściwa ciagu jest liczba g wtedy, gdy w dowolnie małym otoczeniu liczby g (a więc w przedziale (g + ε,g ε), gdzie ε jest dowolnie małą liczbą dodatnią) znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu. Przez prawie wszystkie w matematyce rozumiemy wszystkie, z wyjątkiem skończonej liczby. Rachunek granic ciągów przeprowadza się tak, jak rachunek granic funkcji.

45 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Monotoniczność ciagu Ciąg nazywamy rosnacym, jeśli każdy jego wyraz (oprócz pierwszego) jest większy od poprzedniego, czyli Ciąg jest malejacy, gdy zachodzi a n+1 > a n dla n N +. a n+1 < a n dla n N +. Jeżeli w tych dwóch przypadkach nie zachodzą nierówności ostre, ale zachodzą nieostre, to mówimy w tych przypadkach odpowiednio o ciągu niemalejacym i nierosnacym. Ciąg nazwiemy stałym, jeśli wszystkie jego wyrazy są sobie równe. Przykład Ile ujemnych wyrazów ma ciag zadany wzorem ogólnym Podaj te wyrazy. a n = n 7n + 10? Rozwiązanie: Na początku rozważymy funkcję kwadratową, która jest przedłużeniem (a n ) dla liczb rzeczywistych y(x) = x 7x+10. Możemy łatwo (np. wyliczając wyróżnik wyrażenia x 7x + 10) znaleźć, że miejscami zerowymi tej funkcji są x 1 = i x = 5. Wykres tej funkcji ma ramiona skierowane ku górze, zatem wartości ujemne funkcja przyjmuje dla x (,5). Teraz korzystamy z tego, że ciąg jest określony wyłącznie dla liczb naturalnych dodatnich. Takie liczby w przedziale (,5) to 3 i 4, a więc są dwa takie wyrazy: a 3 = = i a 4 = =. 6. Ciag arytmetyczny Ciąg nazywamy arytmetycznym, jeżeli różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała i nie zależy od numerów wyrazów. Tę różnicę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego r. Zatem ciąg arytmetyczny możemy opisać podając jeden z jego wyrazów (zwykle pierwszy) oraz różnicę ciągu. Kilka podstawowych własności ciągu arytmetycznego: 1. Ciąg arytmetyczny jest rosnący gdy r > 0, malejący gdy r < 0 i stały dla r = 0, Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 45

46 . a n = a 1 + (n 1)r, 3. a n = a n+1+a n 1, 4. suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego S n = n a 1+a n n (a 1 + (n 1)r). 6.3 Ciag geometryczny = Ciąg nazywamy geometrycznym, jeżeli iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów ciągu jest stały i nie zależy od numerów wyrazów. Ten iloraz nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego q. Zatem ciąg geometryczny możemy opisać podając jeden z jego wyrazów (zwykle pierwszy) oraz iloraz ciągu. Kilka podstawowych własności ciągu geometrycznego: 1. ustalenie monotoniczności ciągu geometrycznego jest nieco bardziej skomplikowane niż w przypadku ciągu arytmetycznego, gdyż rozpatrzyć należy nie tylko iloraz ciągu, ale i pierwszy wyraz. Ciąg jest: rosnacy, jeśli (a 1 > 0 i q > 1) lub jeśli (a 1 < 0 i 0 < q < 1), malejacy, jeśli (a 1 > 0 i 0 < q < 1) lub jeśli (a 1 < 0 i q > 1), stały, w przypadku gdy a 1 =0 lub q = 1.. a n = a 1 q n 1, 3. a n = a n+1 a n 1, 4. suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego { n a1 dla q = 1, S n = 1 q a n 1 1 q dla q 1, 5. dla q < 1 istnieje i jest skończona suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i wynosi S = a q. Przykład 3 Dany jest ciag arytmetyczny: 5, 9, 13, 17,... Ile poczatkowych wyrazów należy wziać, aby ich suma była równa 10877? Rozwiązanie: Identyfikujemy, że w danym ciągu a 1 = 5 i r = Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

47 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 Do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu S n = n (a 1 + (n 1)r) podstawiamy dane i po uporządkowaniu dostajemy równanie kwadratowe na n: n + 3n = 0, które to równanie ma tylko jedno dodatnie rozwiązanie (a tylko takimi jesteśmy zainteresowani): n = 73 początkowe wyrazy ciągu sumują się do Przykład 4 W kwadrat wpisano koło, w to koło wpisano kwadrat, w który znowu wpisano koło, itd. Obliczyć sumę pól wszystkich tak otrzymanych kwadratów. Rozwiązanie: Niech pierwszy kwadrat ma bok długości a. Wpisane w niego koło będzie mieć taką samą średnicę, z kolei wpisany w nie kwadrat musi mieć taką przekątną, a więc długość jego boku będzie wynosić a. Można pokazać, że trzeci kwadrat będzie miał bok o długości a, a n-ty kwadrat bok o długości a ( 1 ) n 1. Zatem boki kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny (b n ): b 1 = a i q = 1, wobec czego pola tych kwadratów tworzą ciąg (p n ): p 1 = a i q = 1. Ponieważ spełnione są konieczne warunki ( q < 1), możemy zastosować wzór na sumę nieskończoną ciągu geometrycznego: 1 S = a 1 1 q, skąd po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy wartość a. Przykład 5 Obliczyć granicę ciagu zadanego przepisem ogólnym a n = n 4 n 3 4 n +5. Rozwiązanie: W takiej sytuacji wydzielimy licznik i mianownik przez 4 n i otrzymamy: lim n n 4 n 3 4 n + 5 = lim ( 4 )n 1 n = 1 3. n Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 47

48 6.4 Ćwiczenia 1. Ciąg (a n ) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, w którym a 3 = 18 i a 4 + a 5 = 16. (a) Podać wzór ogólny tego ciągu. (b) Który wyraz tego ciągu jest równy 39366? (c) Obliczyć sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu. (n > 1) jest ciągiem maleją-. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = n n! cym. 3. Dany jest ciąg geometryczny a n, którego pierwszym wyrazem jest 1 a drugim 1. Jaki ciąg powstanie z liczb lna n? 4. Logarytmy liczb, x 1, x + 3 tworzą ciąg arytmetyczny. Ile wynosi x? 5. Obliczyć sumę S n = 1 + a + 3a + 4a na n Udowodnić, że ciąg a n = 3 n+1 1 jest rosnący i ograniczony. 7. Obliczyć granice ciągów: (a) a n = n +1+ n n 3 n +8, (b) a n = n n, (c) a n = n n 5 n. 48 Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

49 7 Prawdopodobieństwo i kombinatoryka 7.1 Definicje Doświadczenie losowe to eksperyment, który można powtórzyć dowolną liczbę razy w identycznych warunkach (na przykład klasyczny rzut kostką do gry). Jego wynikiem, którego nie da się z góry przewidzieć jest zdarzenie elementarne (nie wiadomo czy wypadnie 1,, 3, 4, 5 czy 6 oczek). Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i zwykle oznaczamy przez Ω (tutaj wypadnięcie 1,, 3, 4, 5 oraz 6 oczek). Liczebność tego zbioru czyli jego moc oznaczamy przez Ω (6 możliwych wyników). Dowolny podzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym (np. to, że wypadnie lub 5). Zdarzenie elementarne a 1 sprzyjajace zdarzeniu losowemu A to zdarzenie należące do A (np. a 1 = wypadła dwójka ). Zdarzenie niemożliwe to, a zdarzenie pewne jest tożsame z Ω. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy różnicę Ω \ A (w naszym przykładzie: wypadnie 1, 3, 4 lub 6) - A jest dopełnieniem zbioru A do zbioru Ω. Istnieją dwie definicje prawdopodobieństwa. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo to funkcja, która każdemu zdarzeniu losowemu przyporządkowuje liczbę rzeczywistą P(A) spełniającą trzy aksjomaty prawdopodobieństwa: 1. P(A) 0,. A B = = P(A B) = P(A) + P(B), 3. P(Ω) = 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli Ω składa się z jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest ilorazem P(A) = A Ω.

50 Prawdopodobieństwo posiada następujące własności: 1. P( ) = 0,. prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P(A ) = 1 P(A), 3. prawdopodobieństwo zdarzenia B zawierającego się w zdarzeniu A: B A = P(B) P(A), 4. dla dowolnych zdarzeń zachodzi P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), 5. prawdopodobieństwo zajścia A pod warunkiem, że zaszło B P(A/B) = P(A B), P(B) 6. zdarzenia A i B są niezależne gdy zachodzi P(A B) = P(A) P(B), 7. jeżeli Ω podzielimy na rozłączne podzbiory A 1, A,..., to prawdziwy jest wzór na prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia B: P(B) = P(B/A 1 ) P(A 1 ) + P(B/A ) P(A ) Przykład 6 W pojemniku jest pięć kul białych i trzy czarne. Ciagniemy losowo trzy kule, jedna po drugiej. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia kuli czarnej za trzecim razem. Rozwiązanie: W przypadku zadań, w których czynności następują po sobie sekwencyjnie, a prawdopodobieństwo kolejnej zależy od tego, co stało się w poprzednim kroku, najlepiej narysować tzw. drzewko, czyli możliwe scenariusze wydarzeń. Takie scenariusze przedstawione są na rysunku 6, przy czym przy każdym kroku opisano, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi kolejny wynik. Ścieżki prowadzące do zdarzeń sprzyjających są pogrubione. Prawdopodobieństwa poszczególnych ścieżek musimy do siebie dodać, bo są to scenariusze rozłączne, a prawdopodobieństwo jednej ścieżki obliczamy wymnażając prawdopodobieństwa jej etapów : P = = Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

51 Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zajęć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 009/010 5b3c b 5/8 3/8 c 4b3c 5bc b c b c 4/7 3/7 5/7 /7 3b3c 4bc 4bc 5b1c c 3/6 c /6 c 4/6 c 1/6 7. Kombinatoryka Poniższe definicje i wzory są często pomocne w rozwiązywaniu zadań dotyczących prawdopodobieństwa. Permutacja zbioru A o n elementach nazywamy dowolny ciąg zbudowany z elementów tego zbioru. Liczba wszystkich permutacji P n = n!. Kombinacja k-elementową zbioru n-elementowego nazywamy dowolny podzbiór k-elementowy jego elementów. Liczba kombinacji C k n = ( n k ) = n! k!(n k)!. Wariacja bez powtórzeń k-wyrazową ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg powstały z elementów tego zbioru (przy czym dany element może być wykorzystany tylko raz). Liczba wariacji bez powtórzeń V k n = n! (n k)!. Wariacja z powtórzeniami k-wyrazową ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg powstały z elementów tego zbioru (przy czym każdy element może być wykorzystany wielokrotnie). Liczba wariacji z powtórzeniami Ṽ k n = n k. Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego 51

52 ile czy kolejność możliwość symbol liczba elementów? istotna? powtórzeń Permutacje n + P n ( n! n k) Kombinacje k Cn k Wariacje k + Vn k Wariacje k + + Ṽn k n k z powtórzeniami n! (n k)! W tabeli zamieszczone jest podsumowanie tych definicji. 7.3 Schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego stosujemy do obliczenia prawdopodobieństwa w bardzo szczególnych przypadkach, a mianowicie kiedy nasze doświadczenie składa się z n prób losowych, które można uznać za takie same, potrafimy określić, jaki wynik pojedynczej próby jest porażką a jaki sukcesem i znamy ich prawdopodobieństwa (q i p, gdzie oczywiście q = 1 p), poszukujemy prawdopodobieństwa uzyskania k sukcesów w n próbach. Wówczas to poszukiwane prawdopodobieństwo możemy wyliczyć z następującego wzoru: ( ) n P(k,n) = p k q n k. k Przykład 7 Obliczyć prawdopodobieństwo, że w dziesięciu rzutach kostka uzyskamy parzysta liczbę oczek więcej niż 8 razy. Rozwiązanie: Zadanie to możemy rozwiązać na kilka sposobów, z których jednym jest zastosowanie schematu Bernoulliego. Identyfikujemy wielkości: p = 0, 5, q = 0, 5, n = 10, k = 9 lub k = 10. Dwa ostatnie przypadki wykluczają się wzajemnie, a więc przyczynki od nich musimy do siebie dodać. P = ( 10 9 ) 0, ( ) 0, = Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego