Zginanie Proste Równomierne Belki

Zginanie Proste Równomierne Belki

Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie 7. Prykładowe adanie

Rokład naprężeń w prekroju belki Belka o długości (ropiętości) l, utwierdona lewym końcem, obciążona jest na końcu prawym dwoma równymi i preciwnie skierowanymi siłami P Leżą one w pionowej płascyźnie xy i tworą parę sił o ramieniu a, która w prekroju belki określanym współrędną x gdie 0 x a wywołuje dodatni moment gnący M g Pa. Siła T 0, a więc jest to ginanie równomierne, cyli cyste. Osie y, są głównymi centralnymi osiami bewładności prekroju i skoro wektor M g ma kierunek jednej nich, to nacy osi, jest to ginanie proste.

Zakłada się, że w prekroju normalnym belki występują naprężenia normalne σ, a w prekrojach równoległych do jej osi nie ma naprężeń. Belka może być atem traktowana jako wiąka włókien rociąganych lub ściskanych o prekroju da i długości l, które nie oddiałują na siebie mechanicnie.

Warunki równowagi Odcinek belki jest obciążony w lewym prekroju wektorem momentu gnącego M g, a w prawym diała układ elementarnych, wewnętrnych sił normalnych σ da. Roważana cęść belki najduje się w równowade pod diałaniem prestrennego układu sił równoległych do osi x, dla którego można napisać następujące równania równowagi σ da 0 σ da 0 σyda M g 0 A A A

Na skutek odkstałcenia belki jej sąsiednie prekroje obracają się wględem siebie wokół osi prostopadłej do płascyny rysunku i poostają pry tym płaskie. Jeżeli podielimy belkę na warstwy włókien, to nietrudno auważyć, że po stronie wklęsłej uległy one skróceniu, a po stronie wypukłej wydłużeniu. Wynika tego, że w belce musi istnieć warstwa, która nie ulega odkstałceniu. Warstwę tę naywa się warstwą obojętną, a ślad jej precięcia płascyną prekroju linią obojętną.

Pryjmijmy a priori, że linia obojętna prechodi pre środek ciężkości prekroju S, cyli jest nią oś, i jest równoległa do kierunku wektora momentu gnącego M g. Słusność tych ałożeń potwierdą dalse wywody.

Warunki geometrycne Roważmy element belki o długości pred odkstałceniem i po odkstałceniu. Pryjmijmy, że jego lewy prekrój jest nieruchomy, a prawy prekrój obrócił się o kąt d ϑ Jest to obrót w kierunku ujemnym od osi y do osi x.

Włókna w warstwie obojętnej ulegną akrywieniu, ale ich długość nie mieni się. Promień krywiny warstwy obojętnej (osi ugiętej belki) ρ ma wartość ujemną w pryjętym układie osi współrędnych, pry dodatnim momencie gnącym M g.

ε ( l + Włókna odległe od warstwy obojętnej o y, które pierwotnie miały długość po odkstałceniu, mają długość ), gdie jest wydłużeniem wględnym włókien. ε ε Operując bewględnymi wartościami (d ϑ), (-ρ),, (l + ε ) można ustalić następujące geometrycne wiąki pomiędy nimi skąd skąd (1 + ε ) ρ + y ρ y ε ( dϑ)( ρ) ρ 1 ρ dϑ

Zwiąek fiycny stanowi prawo Hooke'a Po wstawieniu ależności Zwiąek fiycny σ E ε (1 + ε ) ρ + y ρ do σ E ε uyskujemy σ ye ρ

W wyniku wprowadenia wiąku do równań równowagi σ ye ρ σ da 0 σ da 0 σyda M g 0 A A A uyskujemy wówcas kolejno E ρ yda 0 A. E ρ yda 0 A E ρ y da M g A 0 Powyżse warunki równowagi są równe ero wówcas gdy moment statycny prekroju i kierunek wektora momentu gnącego jest licony wględem osi prechodącej pre środek ciężkości prekroju. Udowadnia to słusność pryjętego wceśniej ałożenia.

Wobec tego, że moment bewładności prekroju poprecnego belki wględem linii obojętnej wynosi I A y da E g ρ, równanie y da M 0 A prowadi do następującego wiąku gdie: ρ 1 1 ρ M EI - krywina osi belki, g EI -stywność belki (pręta) na ginanie.

Po wprowadeniu wiąku 1 ρ M EI g do σ ye ρ uyskujemy formułę opisującą rokład naprężeń normalnych σ w prekroju belki, w prypadku ginania równomiernego prostego. Jest to jak widać na rysunkach rokład liniowy. σ M I g y

Naprężenia są proporcjonalne do odległości od linii obojętnej, na której uyskują wartość równą eru. Wartości ekstremalne osiągają naprężenia we włóknach skrajnych. Ich bewględne wartości i σ r max σ c max (rociągające) (ściskające) można wylicyć e worów.

dla ściskania dla rociagania σ c max M gec I M W g c σ r max M ger I M W g r gdie: e r, e c - odległość skrajnego włókna rociąganego ora ściskanego od środka ciężkościprekroju S; W r, W c -wskaźniki wytrymałości prekroju na ginanie e wględu na włókna rociągane ora ściskane w m, które można wylicyć e worów W r I W e c r e c I

Wskaźniki wytrymałości prekroju na ginanie Wskaźniki wytrymałości prekroju prostokątnego ora pierścieniowego na ginanie. Otrymujemy je e worów Po uwględnieniu ależności 4 4 πd 4 ( 1 α ) ( 1 α ) 1 πr I I i S 4 64 W I r I W e c r e c h I h + 1 bh da bd b 1 y A h h

gdie I S wynosi: R π R π π 4 4 4 4 4 ( ) ( ) IS ρ da πρ dp ρ R r D d A r r wskaźniki wytrymałości wynosą odpowiednio: -dla prekroju prostokątnego -dla prekroju pierścieniowego I W h bh 6 I R πr 4 4 ( 4 W (1 α ) 1 α ) πd

Prawo Hooke`a Podsumowanie σ E ε Naprężenia normalne podcas ginania prostego σ M I g y Wskaźniki wytrymałości prekroju dla na ginanie dla prkroju prostokątnego ora pierścieniowego I W h bh 6 W I R πr 4 4 (1 α ) πd ( 4 1 α )

Równanie osi ugiętej belki Prosta oś belki staje się po odkstałceniu krywą płaską opisaną równaniem v(x). Pryjmuje się pry tym, że premiescenie punktu osi następuje tylko w kierunku y, składowa premiescenia w kierunku x jest bowiem pomijalnie mała. x v(x) x y

Pry małych premiesceniach v(x), wanych ugięciami, achodą następujące prybliżone wiąki: dv d v dϑ v' tg ϑ ϑ, cyli ϑ( x) gdie: -kąt nachylenia stycnej do osi krywej v(x) w miere łukowej, -wany kątem ugięcia (równy kątowi obrotu prekroju belki).

Prypomnijmy, że 1 dϑ ρ ora 1 M g ρ EI wtedy dϑ M EI g Ponieważ dϑ d v Równanie różnickowe osi ugiętej: lub EI v'' M ( x) g v'' d v( x) M g EI ( x) d v( x) EI M ( ) g x

Po dwukrotnym scałkowaniu otrymujemy posukiwaną funkcję v(x): dv( x) Mg ( x) v' ϑ( x) + C EI Mg ( x) vx ( ) + Cx+ D EI gdie: C i D stałe całkowania, które wynaca się warunków bregowych.

Warunki bregowe Granica prediału Warunki bregowe Koniec utwierdony ϑ 0, v 0 Pregubowa podpora końcowa Pregubowa podpora środkowa Pregub Siła lub moment skupiony, granica obciążenia ciągłego v 0 ϑ ϑ, v 0, v 0 v l p l p l v p ϑ ϑ, v v l p l p

Równanie różnickowe osi ugiętej postać alternatywna d v( x) M g ( x) EI Różnickujemy dwukrotnie lewą i prawą stronę równania d d v( x) d M g ( x) EI

Wory te stanowią apis twierdenia Schwedlera T dm g q dt d M g

d Równanie różnickowe osi ugiętej d v EI q( x), 0 < x < l Warunki bregowe (dla x0 i xl): ugięcie vx ( ) kąt ugięcia dv ϑ( x) d v moment gnący Mg ( x) EI sila poprecna dm g d d v T( x) EI

Prykładowe adanie Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki predstawionej na rysunku.

Rowiaanie Warunki równowagi sił diałających na belkę są następujące Stąd P iy M ia R A P q M P a a + R 0 q B a a + R a B 0 8 R A qa 4 R B qa

Oblicenia podano w tabelce i na tej podstawie sporądono wykresy. Nr prediału Granice prediału Siła tnąca T Moment gnący Mg x Oblicenia T Mg 1 8 0 x a + R A + qa M + R qa A + x 8 qax x 1 0 x 1 0 x a 1 8 + 8 + qa qa qa + qa a x a + R A q P+ ( x a) qa q ( x a) M + R P 1 ( x a) q A x + ( x a) x a x 5 a x a + 0 4 qa qa + qa 8 + qa 9 (max) 0

Wykres sił tnących 8 + qa + qa x 5 a 4 qa

Wykres sił gnących + qa 8 + qa 9 qa

Koniec