( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E ( Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α β α + β Na ćwczeach w zadau. lczylśmy wartość oczewaą zmeej z rozładu Beta, wartość oczewaą oraz warację, czyl odpowedo perwszy momet zwyły, drug momet zwył drug momet cetraly. Porówaj róweŝ z aalogczym przyładem z zadaa.(z tą róŝcą, Ŝe lczylśmy momety rozładu Gamma. Metoda mometów polega a przyrówau mometów empryczych do teoretyczych rozwązau uładu rówań, ze względu a ezae parametry rozładu. To co jest apsae wyŝej to perwszy drug momet zwyły (teoretycze. W celu uzysaa estymatorów aleŝy przyrówać je do mometów empryczych (polczoych a podstawe próby. Perwszy momet zwyły polczoy a podstawe próby to oczywśce średa arytmetycza, drug momet zwyły to średa z wartośc realzacj zmeych losowych podesoych do wadratu. Po przyrówau aleŝy wyzaczyć szacowae metodą mometów parametry (alfa beta rozwązać uład rówań, ze względu a alfa beta. α α + β ( α + α ( α + β + ( α + β Z perwszego rówaa mamy: β α( I po podstaweu do drugego otrzymamy:

α Wtedy oszacowae drugego parametru wyese: ( ( β.. ( α β,,..., ~ Γ, α α β + α + + α β α β E e e β Γ α + β αγ α α Γ α Γ α β Γ α + Γ α β β Γ α + α + α Γ α α + α E e e + α + + β α β α + β Γ α Γ α β Γ α + Γ α β β α + α α α Var β β PowyŜej zajdują sę wyraŝea a wartość oczewaą warację zmeej losowej z rozładu Gamma (porówaj z zadaem. z ćwczeń. Podobe ja wyŝej przyrówujemy momety teoretycze do mometów empryczych. E Var α α β α β α β β β

..,,..., ~ Poss E Var ˆ ( ˆ Zarówo ja mogą być estymatoram parametru ˆ. Pamętajmy jaa hest róŝca mędzy mometam teoretyczym empryczym!!! Zazwyczaj średa polczoa a podstawe próby oraz waracja będą róŝe! Rówość dla rozładu Posso a zachodz jedye dla mometów teoretyczych!.. ( Γ(,,..., : f e ~, L e e... e e l L l + l d l L ˆ d W ogólym przypadu E( f ( f ( E( wobec tego aleŝy lcząc wartość oczewaą uzysaego estymatora wyzaczyć rozład y, a astępe wyzaczyć momety zmeej z. y ~ Γ(, Y Γ(, ɵ Y ( Y E( E E Y e dy Y e dy Y Y Γ Y Γ( + + Ostata cała jest rówa jede, pod waruem, Ŝe (->. WyraŜee podcałowej jest wtedy fucją gęstośc rozładu Γ(,.

W celu polczea waracj sorzystamy z wzoru: Var E E ɵ Y Y E E E Y e dy Y Y Y e dy + + Γ Γ Przy załoŝeu, Ŝe (-> oblczamy aalogcze ja w przypadu wartośc oczewaej. ɵ ɵ ɵ Var E E PowyŜsze wyraŝee moŝa oczywśce uproścć..5. Nech,... będą ezaleŝym zmeym losowym z tego samego rozładu o gęstośc f e θ θ dla (,. + Wyzaczyć estymator ajwęszej warogodośc parametru θ, wyzacz jego wartość oczewaą oraz warację. UWAGA, Treść zadaa zameszczoa a stroe zawerała błąd. Podaa fucja gęstośc e była fucją gęstośc. NaleŜało zameć 6 w maowu a. PowyŜej treść jest poprawa! Var Var Var E E E d L d L e e e e L Var E e f l l l l l..., ~,...,, + + Γ

Przy lczeu wartośc oczewaej waracj, sorzystalśmy z fatu, Ŝe aŝda ze zmeych ma detyczą wartość oczewaą oraz waracją dodatowo podczas lczea waracj sorzystalśmy z ezaleŝośc zmeych.6. [ ],,..., ~ U, ˆ ˆ F t t F P( Y Y P Y (. ˆ E F ( E Y E Y ˆ Var F Var Y Var Y VarY 6 6 Porówaj z rozwązaem zadaa. z ćwczeń!.7. + P( θ ( θ + l( θ l + lθ + l( θ l ( θ ( θ θ ˆ θ θ θ + Zmea losowa ozacza lczbę poraŝe zaobserwowaych do zajśca -tego sucesu. Uzysalśmy sesowy estymator prawdopodobeństwa sucesu: lczba zaobserwowaych sucesów podzeloa przez lczbę dośwadczeń (suma poraŝe sucesów..8. NaleŜy polczyć wartość oczewaą T. T ( Mamy do czyea z rozładem wyładczym czyl rozładem Gamma(,. Podobe ja w zadau. aleŝy zaleźć rozład ajperw y. ET E( (, EY Y Γ + + + Y ( + ( + Y ( + EY Y Y e dy Y e dy Γ Γ ( + Zowu mamy do czyea z przypadem edy całujemy fucję gęstośc rozładu Gamma po całej dzedze a tórej jest ezerowa, stąd cała upraszcza sę do jedy. 5

( + ( + ET tatystya T e jest oczywśce eobcąŝoym estymatorem podaego w treśc wyraŝea, poewaŝ jej wartość oczewaa e jest rówa szacowaemu wyraŝeu...,... P( e,,...! P( e P( e e ZauwaŜmy róweŝ, Ŝe: F( P( + P( F( P( F( F( P( e W zadau. poazalśmy Ŝe dystrybuata emprycza jest eobcąŝoym estymatorem dystrybuaty teoretyczej, t.j. E( F ( t F( t. E( F ( F ( E( F ( E( F ( F( F( P( e Dlatego wyraŝee F ( F ( moŝemy zastosować jao eobcąŝoy estymator e. F( F( ( ( (.* a Poazać, Ŝe ( ˆ P F( t ( F( t ( F( t dla,,,...,. ˆ P( F( t P( ( t P( ( t Zdarzee ( t ozacza, Ŝe dołade razy (spośród prób wylosowao zmeą losową o wartośc e węszej od lczby t. Prawdopodobeństwo wylosowae w pojedyczej próbe wartośc zmeej losowej e węszej od t, jest tae samo dla aŝdej ze zmeych wyos P( t F( t. Łatwo zauwaŝyć, Ŝe moŝemy zastosować schemat Beroulego gdze przez suces uzamy wylosowae lczby e węszej od t, wyoamy 6

ezaleŝych dośwadczeń losowych, tóre ończą sę sucesem z prawdopodobeństwem rówym F( t. Węc otrzymujemy ( t ~ B(, F( t, czyl: ( ˆ P F( t P( ( t ( F( t ( F( t b Poazać, Ŝe dystrybuata gęstość zmeej losowej : wyoszą odpowedo P( : t ( F( t ( F ( t f ( t f ( t( F( t ( F( t : Zdarzee : t ozacza, Ŝe wylosowao przyajmej, spośród zmeych losowych, tach, tóre są e węsze od t. Podobe ja w poprzedm podpuce moŝemy zastosować schemat Beroulego, z tym, Ŝe tym teresuje as prawdopodobeństwo uzysaa sucesu przyajmej razy. + P( : t P( ( t ( F( t ( F( t ( F( t ( F( t... + + + F t F t W celu wyzaczee fucj gęstośc aleŝy polczyć pochodą dystrybuaty ze względu a t. F : ( t ( ( F( t ( F( t ( ( F( t ( F( t [ ( F( t f ( t( F( t ( F( t ( ( F( t ( f ( t ] + F t f t F t ( F( t ( f ( t( F( t I II Osobo wyzaczymy I II wyraŝee. I ( F( t f ( t( F( t ( F( t f ( t( F( t + + ( + ( F( t f ( t( F( t + ( + ( F( t f ( t( F( t +... + + + ( F ( t f ( t ( F ( t! {ZauwaŜamy, Ŝe ( + (!( +! ( + +!!! (!(!( (, ( + (!( +! ( + (!( +! ( ( + + td. } ( F ( t f ( t ( F ( t + ( ( F ( t f ( t ( F ( t + 7

+ ( ( F( t f ( t( F( t +... + + F t f t F t ( ( II ( F( t ( f ( t( F( t ( f ( t( F( t ( F( t + + ( f ( t( F( t ( F( t +... + ( f ( t( F( t ( F( t + ZauwaŜamy, Ŝe drug wyraz z I sróc sę z perwszym z II, trzec wyraz z I sróc sę z drugm z II, td.. Czyl ostatecze zostae tylo perwszy wyraz z wyraŝea I oraz ostat z wyraŝea II. JedaŜe ostat wyraz w wyraŝeu II jest rówy. Otrzymujemy węc: F : ( t! ( F ( t f ( t ( F ( t!(! F t f t F t ( F( t f ( t( F( t ( F( t f ( t( F( t (! (!(! c ZałóŜmy, Ŝe,... są ezaleŝym zmeym losowym z rozładu jedostajego a przedzale [,]. Na podstawe wyu z podputu b poazać, Ŝe : ~ Beta(, +. Dystrybuata rozładu jedostajego a przedzale [,], to F( t t, atomast gęstość f ( t (dla t [,]. Podstawamy te fucje do ogólego wzoru a gęstość rozładu zmeej losowej : uzysaego w podpuce a: F : ( t t ( t t ( t t ( t! Γ ( + (!(! Γ( Γ ( + otrzymujemy gęstość rozładu Beta(, +..* Nech,..., będze próbą losową z rozładu 8 N ( µ, σ. Nech oraz. Czy statystya T jest estymatorem eobcąŝoym µ dla wyraŝea σ? tatysty są ezaleŝe dla modelu ormalego, czyl: E EE µ E., NaleŜy węc wyzaczyć 8 E. Wemy, Ŝe T ~ χ8 ~ Γ (,. Przeształcając powyŝszy wzór σ otrzymujemy: ( T σ. 8 σ T ( ( ( σ T σ σ Γ( σ Γ( t,5 E E E T t t e dt t e dt t 8

Γ(,5,5,5 t Γ(,5 σ Γ( Γ (,5 t e dt σ, gdze sorzystalśmy z fatu, Ŝ pod całą zajdowała sę gęstość zmeej losowej o rozładze Γ (,5;. Γ(,5,5,5 Γ,5,5 σ σ σ σ co ozacza, Ŝ zapropooway estymator jest obcąŝoy..* Nech L( θ będze fucją cągła, tóra ma perwszą drugą pochodą cągłą dla θ ( a, b ( a, b R; w szczególośc moŝe to być esończoość. Poadto załadamy, Ŝe lm L( θ lm L( θ są sończoe oraz L( θ > dla aŝdego θ ( a, b. Poazać, Ŝe θ a θ b ˆ θ ( a, b jest masmum dla L( θ, wtedy tylo wtedy, gdy jest masmum dla l L( θ. ɵθ jest argumetem masymalzującym wartość fucj warogodośc L( θ. Wtedy mus zachodzć: L '( ɵ θ L ''( ɵ θ < (l L( θ ' L '( θ L( θ Dla θ ɵ θ mamy: ɵ l( L( θ ' L'( ɵ θ oczywste, patrz wyŝej. L( θ L ''( θ L( θ L '( θ L '( θ L ''( θ L( θ L '( θ (l L( θ '' ( L '( θ ' L( θ L( θ L( θ Dla θ ɵ θ mamy: ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ L''( θ L( θ L'( θ L''( θ L( θ L''( ɵ θ L( ɵ θ ɵ ɵ L( θ l( L( θ '' <, bo L''( θ < > ɵ ɵ ɵ ɵ L( θ L( θ L( θ L( θ Poazalśmy, Ŝe pochoda fucj warogodośc zeruje sę zawsze wtedy, edy logarytm tej fucj. Druge pochode tych fucj mają ta sam za w puce zerowae sę pochodej. JeŜel ɵ θ jest argumetem masymalzującym fucję warogodośc to masymalzuje róweŝ jej logarytm odwrote!.* Zmea losowa ma rozład geometryczy z parametrem θ : Pθ ( θ ( θ, dla,,,.... Oblcz wartość oczewaą zmeej losowej.

( [( + ( + ( +...] E θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ [( + ( + ( +...] θ + θ + θ + θ [...] θ [ + ( +...] Dość łopotlwą sumę z perwszej lj moŝemy rozbć a sumy o postac zacze ułatwającej sumowae. To co apsao w olejych werszach począwszy od drugego zsumowae da w wyu wyraŝee z wersza perwszego. Poadto, aŝde wyraŝee w olejych werszach (od drugego to sumy esończoej lośc wyrazów cągu geometryczego o postępe geometryczym rówym θ. KaŜde z wyraŝeń róŝ sę jedye początowym elemetem, od tórego zaczyamy sumowae. Załadając, Ŝe θ co dowartośc bezwzględej jest e węsze od jedy moŝemy oreślć wy powyŝszych sumowań wyorzystując wzór a sumę esończoej lośc wyrazów cągu geometryczego. θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( θ θ [( + ( + ( +... ( ( ( θ[ + ( θ + ( θ +... θ( θ θ( θ ( θ ( θ θ θ[ + ( θ +... θ( θ θ( θ ( θ ( θ θ oro szuaa suma to suma powyŝszych werszy to wystarczy zsumować wy sumowaa aŝdego z tych werszy. ZauwaŜymy, Ŝe sumowae wyrazy to zomu oleje wyrazy cągu geometryczego o postępe θ perwszym wyraze θ. ( θ E θ ( θ ( θ ( θ θ