ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę umożlwaącą weryfacę hpotezy zerowe. W zależośc od e postac od rodzau przeprowadzaego esperymetu ależy wybrać odpowed test. Poże przedstawoe zostały wybrae testy statystycze oraz waru w ach ależy ch użyć. Test t est srótem od azwy test t Studeta. Testy t stosue sę do sprawdzaa hpotez dotyczących wartośc oczewae rozładów ormalych. W zależośc od rodzau daych wyróża sę: test t dla ede próby test t dla prób epowązaych (ezależych) oraz test t dla prób powązaych (zależych). Test t dla ede próby stosue sę dla próby losowe z populac geerale tóre cecha ma rozład ormaly o ezae warac. Hpoteza zerowa est postac H 0 : µ = µ 0 hpoteza alteratywa H : µ µ 0 est to węc test dwustroy. Statystya testowa est postac ( ) µ T = 0 S gdze est średą arytmetyczą badae cechy est lczbą obserwac S est odchyleem stadardowym cechy z próby. Obszar rytyczy (obszar odrzucea) testu est postac gdze t est wartoścą statysty T t --/ ozacza waty rozładu t rzędu -/ o - stopach swobody est pozomem stotośc. Test t dla prób epowązaych stosue sę dla dwóch ezależych prób losowych z dwóch populac geeralych o rozładach ormalych o te same ezae warac. Hpoteza zerowa est postac H 0 : µ = µ hpoteza alteratywa H : µ µ gdze µ est wartoścą oczewaą cechy w perwsze populac µ est wartoścą oczewaą cechy w druge populac. Statystya testowa est postac T ( ) S + ( ) ( + ) S + = gdze są średm arytmetyczym badae cechy w próbe perwsze druge S S są waracam cechy w próbe perwsze druge są lczeboścam prób. Obszar rytyczy testu est postac + gdze t est wartoścą statysty T t + / ozacza waty rozładu t rzędu -/ o + - stopach swobody est pozomem stotośc.

2 Test t dla prób powązaych stosue sę dla zestawów par wązaych Y gdze D = Y oraz D ma rozład ormaly o średe µ D ezae warac. Hpoteza zerowa est postac H 0 : µ = µ Y hpoteza alteratywa H : µ µ Y. Statystya testowa est postac gdze postac D T = D = S D D = S D = ( D D ) = est lczbą obserwac. Obszar rytyczy testu est gdze t est wartoścą statysty T t --/ ozacza waty rozładu t rzędu -/ o - stopach swobody est pozomem stotośc. Test (test Maa-Whteya) stosue sę do sprawdzea hpotezy że dwe ezależe próby pochodzą z tego samego rozładu typu cągłego (e mus to być rozład ormaly). Hpoteza zerowa est postac H 0 : F = F Y hpoteza alteratywa H : F F Y lub H : F F Y ale F F Y gdze F est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba F Y est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba Y. Statystya testowa est postac = m( ) = gdy > Y gdze = = = 0 gdy Y = gdze = = = 0 Obszar rytyczy testu est postac gdy gdy < Y Y K = u : u < lub u > gdze est watylem rzędu / rozładu statysty. Jeżel to do sprawdzea hpotezy zerowe stosuemy statystyę testową Z = ( + + ) tóra przy założeu że hpoteza zerowa est prawdzwa przy ma rozład N(0). Obszar rytyczy est wówczas postac K = z : z > z gdze z est watylem rzędu -/ rozładu ormalego N(0).

3 Test Wlcoxoa (test sumy rag Wlcoxoa) stosue sę dla zestawów par wązaych Y gdze D = Y oraz D ma rozład ezay. Jest to test rówoważy testow ale służy do aalzy prób zależych. Hpoteza zerowa est postac H 0 : F = F Y hpoteza alteratywa H : F F Y lub H : F F Y ale F F Y gdze F est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba F Y est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba Y. Statystya testowa est postac gdze gdze N = W m r r = = r est sumą rag zwaą statystyą Wlcoxoa. Obszar rytyczy testu est postac K = w : w < W lub w > W W est watylem rzędu / rozładu statysty W. Jeżel lczba aalzowaych par przeracza 5 wówczas do sprawdzea hpotezy zerowe stosuemy statystyę testową N( N + ) W Z = 4 N( N + )( N + ) 4 tóra przy założeu że hpoteza zerowa est prawdzwa przy ma rozład N(0). Obszar rytyczy est wówczas postac gdze K = z : z > z z est watylem rzędu -/ rozładu ormalego N(0). Test Krusala Wallsa stosoway est do porówywaa welu populac a podstawe ezależych prób pochodzących po ede z ażde populac tóra ma rozład cągły. Służy do sprawdzea hpotezy że ezależe pobrae próby pochodzą z te same populac. Test te est uogóleem testu Maa Whteya. Jeżel mamy prób ezależych to hpoteza zerowa est postac H 0 : F = F = = F hpoteza alteratywa H : stee co ame eda para ( = ) taa że F F lub F F ale F F. Statystya testowa est postac gdze = R T = = ( + ) = 3 ( + ) est lczeboścą -te próby R est sumą rag dla -te próby. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe rozład statysty T przy est rozładem χ z - stopam swobody. Obszar rytyczy est postac { t t > } K = : h gdze est pozomem stotośc swobody. h est watylem rzędu - rozładu χ o - stopach

4 Testy χ (testy ch wadrat) służą do sprawdzaa hpotezy o edaowym rozładze zmeych losowych typu dysretego. Ze względu a lość ryterów lasyfac daych wyróża sę test χ dla lasyfac edoczyowe oraz test χ dla lasyfac dwuczyowe. Aalzowae dae są aczęśce w postac częstośc wystąpeń obserwac ależące do dae ategor. Test χ dla lasyfac edoczyowe odos sę do daych podzeloych ze względu a ede czy. Hpoteza zerowa est postac H 0 : częstośc wystąpeń badae cechy są tae same we wszystch grupach (podzeloych ze względu a ede czy) hpoteza alteratywa H : przyame w ede parze grup częstotlwośc wystąpea badae cechy różą sę mędzy sobą. Statystya testowa est postac = ( ) χ = gdze est lczbą grup est lczbą elemetów -te grupy est średą lczbą elemetów wszystch grup. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe statystya testowa ma rozład χ o - stopach swobody. Obszar odrzucea est postac { t t > χ } K = : gdze est pozomem stotośc χ est watylem rzędu - rozładu χ o - stopach swobody. Test χ dla lasyfac dwuczyowe odos sę do daych podzeloych ze względu a dwa czy. Hpoteza zerowa est postac H 0 : częstośc wystąpeń badae cechy są tae same we wszystch grupach (podzeloych ze względu a dwa czy) hpoteza alteratywa H : przyame w ede parze grup częstotlwośc wystąpea badae cechy różą sę mędzy sobą. Statystya testowa est postac m.. = = m χ = m = = =. =. gdze est lczbą grup otrzymaych przez lasyfacę ze względu a perwszy czy m est lczbą grup otrzymaych przez lasyfacę ze względu a drug czy est lczbą elemetów -te -te grupy. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe statystya testowa ma rozład χ o -m- stopach swobody. Obszar odrzucea est postac { t t > χ } K = : m gdze est pozomem stotośc stopach swobody. χ est watylem rzędu - rozładu χ o -m- m

5 Test F (test F Sedecora) stosue sę do testowaa stotośc zależośc zmee zależe y od zmee ezależe x opsae wzorem y = β 0 +β x. Hpoteza zerowa est postac H 0 : zmea y e zależy od zmee x hpoteza alteratywa H : zmea y zależy od zmee x. Statystya testowa est postac F = = = ( yˆ y) ( yˆ y) gdze est lczbą obserwac ozacza progozę zmee zależe otrzymaą z wzoru yˆ = β + β x est lczbą współczyów (β) w rówau. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe ˆ0 ˆ statystya testowa ma rozład F --. Obszar odrzucea est postac K { F F > } F --- ozacza waty rzędu - rozładu F o -- stopach swobody. = : F gdze Zadae do wyoaa. Odłowoo zważoo 8 sro w Bałymstou 6 sro w Glwcach. Podać azwy wszystch zaych testów dla ustalea czy sro z tych dwóch mast różą sę cężarem wedząc że cężar sro ma rozład ormaly. Zapsać postawoe hpotezy.. Pewe włośca ze Słom upł od rańca z Żytomerza 400 a przepóre apońsch płacąc za e po 45 groszy. raec gwaratował śred wylęg a w 80%. Jam testem moża sprawdzć uczcwość rańca? Ilość a z tórych wylęgły sę pslęta ma rozład ormaly. Zapsać postawoe hpotezy. 3. Pewe badacz mał za zadae ustalć ae est stężee metal cężch w taach rośl rosących wzdłuż 80 m autostrady dące z półocy a połude. W tym celu postaowł pobrać rówolcze próby w 0 różych mescach. Jaego testu ależy użyć aby porówać stężee metal cężch w próbach zebraych a perwszych 0 m pozostałych 60 m autostrady? Jaego testu ależy użyć aby porówać stężee metal cężch w zebraych próbach? Zapsać postawoe hpotezy. 4. Na 0 staowsach badawczych w oolcy budowy przyszłe zapory oreśloo lczbę wszystch gatuów chrząszczy a astępe badaa te powtórzoo po apełeu zbora wodą. Jam testem moża sprawdzć czy budowa zapory e zmay tóre w tym czase astąpły spowodowały stote zmeszee lub zwęszee lczby gatuów chrząszczy? Zapsać postawoe hpotezy. 5. Aby ustalć zmeszee sę lośc wtamy C w zemaach z upływem czasu wybrao 8 zemaów zaraz po zborze oreśloo w ch lość wtamy C w mg a 00 g zemaa. W mesąc po zborze wybrao losowo 7 zemaów zbadao e w ta sam sposób. Jam testem moża ustalć czy po mesącu lość wtamy C w zemaach zmesza sę. Zapsać postawoe hpotezy. 6. Podać przyłady esperymetów w tórym zastosowae zalazłby ażdy z opsaych powyże testów. Źródła: Łomc A. Wprowadzee do statysty dla przyrodów PWN Warszawa 007 Magera R. Modele metody statysty matematycze GS Wrocław 00