Konspekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 2007/2008 Strona 1

Transkrypt

1 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa Języ prawdopodobeństwo jego rozład Pojęce rozładu prawdopodobeństwa lczby z totolota jao zmee losowe o rozładze sretym zmea losowa częstoścowa defcja rozładu prawdopodobeństwa warue uormowaa prawdopodobeństw cyfry z umerów telefoów wypad erowców lońsch autobusów przyład zmeej losowej o esończoej lczbe moŝlwych wartośc strybuata sreta zmea losowa rozład jedostajy cągła zmea losowa ostrucja gęstośc przez podwóje przejśce gracze uormowae, strybuata rysue rozładu terpretacja grafcza przyład: cągły rozpad czas oczewaa a metro rozład, strybuata, rysu przyład: prawo rozpadu jąder promeotwórczych rozład, strybuata, rysu Uład pewów rachuu prawdopodobeństwa Zadae Cztery osoby, opatrzoe umeram, 3, sadają przypadowo a trzech rzesłach ozaczoych tym samym umeram Wypsz postać wszystch zdarzeń elemetarych Zajdź prawdopodobeństwo P, Ŝe lczba,,,3 osób usądze a swoch rzesłach Przyła przestrze zdarzeń elemetarych: rzucając jedorote moetą (e oecze rzetelą), moŝemy otrzymać bądź orła bądź reszę mamy do czyea z dwoma zdarzeam elemetarym oe budują całą przestrzeń Jeśl wyoamy dwa oleje rzuty, przestrzeń rozrasta sę do czterech elemetów, będących param zdarzeń: (orzeł, orzeł), (orzeł, resza), (resza, orzeł) (resza, resza); losując z Rocza Statystyczego dowola lczbę wyberając jej perwszą cyfrę, przestrzeń Ω zdefowaa jest przez dzewęć elemetów, zwaych,,, 9; wyberając dowolą cyfrę z sąŝ telefoczej, poruszamy sę w przestrze Ω dzesęcu zdarzeń elemetarych; w losowau szczęślwych umerów totolota, aŝda szósta lczb spośród czterdzestu dzewęcu staow zdarzee elemetare Przestrzeń ta słada sę z elemetów dom w czase burzy moŝe być trafoy przez poru jede, dwa, trzy, razy, ja róweŝ moŝe omąć go to wydarzee Przestrzeń zdarzeń elemetarych słada sę ze zdarzeń zadających rotość ścągęca wyładowaa atmosferyczego a wybray bue Choć trudo am sobe wyobrazć, Ŝe dom zostae trafoy esończoa lczbę razy, to jeda moŝemy sobe wyobrazć, Ŝe astąp to p razy, a jeśl dopuścmy trafeń, to a pewo zgodzmy sę a, td ; lczba lat Ŝyca, jae ma przed sobą aŝ oworode, moŝe przyjmować wartośc,,, 3, KaŜda z tych lczb opsuje zdarzee elemetare przestrzeń zdarzeń, jach dośwadczamy oczeując a tasówę KaŜ z jej elemetów ma postać cągu, w tórym występuje pewa lczba (taŝe będąca zerem) zdarzeń esprzyjających, zaończoych jem zdarzeem sprzyjającym we pary małŝoów opsujemy parą lczb (,j), gdze to lczba lat przeŝytych przez ą, a j to lczba lat przeŝytych przez ego Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest tu sreta dwuwymarowa; czas oczewaa a wyśwetlee stroy WWW moŝe być dowolą lczbą dodatą KaŜda taa lczba prezetuje sobą zdarzee elemetare, a zdarzeń tych mamy esończoą lczbę e są oe srete; przy grze w strzał, zdarzeem elemetarym jest trafee w tarczę aŝde tae zdarzee moŝemy opsać przy pomocy pary lczb p przez podae współrzęch artezjańsch (,y), ale teŝ promea r ąta azymutalego ϕ w wybraym uładze odesea Zdarzea losowe: ostruujemy przy pomocy operacj teoromogoścowych, tj praw: przemeośc: A B B A, A B B A, łączośc:, A B C A B C A B C A B C A B C A B C, de Morgaa: A B A B, A B A B, rozdzelośc: A ( B C) ( A B) ( A C), A ( B C) ( A B) ( A C) Zdarzea losowe: pewe emoŝlwe Pew KaŜdemu zdarzeu losowemu A przypsujemy lczbę P(A), zwaą prawdopodobeństwem tego zdarzea, tóra jest eujemą mejszą bądź rówą jedośc: P(A) Pew Prawdopodobeństwo zdarzea pewego jest rówe jedośc: P(Ω) Pew 3 Prawdopodobeństwo u esluzywych zdarzeń losowych A oraz B, czyl tach, dla tórych A B, jest rówe sume prawdopodobeństw tych zdarzeń: P(A B) P(A) + P(B) P A P A (bo: A (e A) Ω) Prawo dodawaa prawdopodobeństw:

2 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa Prawdopodobeństwo sumy zdarzeń erozłączych: P ( A B) P ( A) + P ( B) P ( A B) ( ) Ω A A B B A A B A A B A B A B A B A B Koleje zdarzea są rozłącze, węc: P ( A B) + P ( A B) + P ( A B) + P ( A B) a poewaŝ: A A Ω A ( B B) ( A B) ( A B), czyl: P ( A) P ( A B) + P ( A B) P ( A B) P ( A) P ( A B) Podobe: B Ω B ( A A) B ( A B) ( A B) czyl: P ( B) P ( A B) + P ( A B) P ( A B) P ( B) P ( A B) Dalej aleŝy podstawć sorzystać z: P ( A B) P ( A B) P ( A B) Asjomatycze podejśce e mów ja wygląda przestrzeń zdarzeń elemetarych le wyoszą prawdopodobeństwa te trzeba oreślć samemu Prawdopodobeństwo waruowe Problem te zaczyam od omówea trzech typów zdarzeń: Wzmacae prawdopodobeństwa przez warue: (przyjdę a wyład moje og w sal wyładowej w godze wyładu); (blo błęte oczy), ( 6 parzysta lczba ocze), (ra płuc palacz paperosów) Osłabae prawdopodobeństwa przez warue: (bruet błęte oczy), (obeta uczeca techum samochodowego) Neutralość waruu: (ja łamę ogę studet łame ogę), ( 6 a ostce poedzałe), Rysuję ratę moŝlwośc: wszyscy ludze (w lczbe N) to: męŝczyź (w lczbe M) daltośc (w lczbe M D ) bez tej przypadłośc (w lczbe M N ) oraz obety (w lczbe K) daltost (w lczbe K D ) obety bez tej przypadłośc (w lczbe K N ), astępe borę studeta aŝę mu apsać dowoly wybray przez ego stosue dwóch lczb zterpretować go jao prawdopodobeństwo Zwracam uwagę a rozróŝee mędzy: losowo wybraa osoba jest, a losowo wybraa obeta jest Defcja prawdopodobeństwa waruowego: P(A B) P(A B)P(B) Zadae Grupa studetów zdaje egzam z matematy ze statysty Matematyę zdało (zdarzee M) 75% zaś statystyę (zdarzee S) 7% studetów Wadomo taŝe, Ŝe oba egzamy zdało 6% studetów Wyzacz prawdopodobeństwa zdarzeń: P(M S) - studet zdał matematyę, jeśl zdał statystyę, P(S M) - studet zdał statystyę, jeśl zdał matematyę, 3 P(e M S) - studet e zdał matematy, jeśl zdał statystyę, 4 P(e S M) - studet e zdał statysty, jeśl zdał matematyę, 5 P(M e S) - studet zdał matematyę, jeśl e zdał statysty, 6 P(S e M) - studet zdał statystyę, jeśl e zdał matematy, 7 P(e S e M) - studet e zdał statysty, jeśl e zdał matematy, 8 P(e M e S) - studet e zdał matematy, jeśl e zdał statysty Rozwązae P ( M S ),6 6 P ( M S ), P S,7 7 P ( S M ) ( S ) P ( M ) P M,6 4,,75 5 6, 7 7 P S M 4, P ( M S ) P ( M S ) 4 P ( S M ) P M S P S M P M S P ( S ) P ( S ) ( ) P ( S ) P M S P S M P M P S M P M,8, 75,5,7,3 6 7 P M S P M S P S P M S P S 7,, 75, 5 5 P ( M ) P ( S ) P ( M ) P ( S ) ( ) P ( M ) P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,3,3

3 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 3 P S M P ( M ) P ( M ) P M S P M S, 75, 7 +, 6,5 3,5,5 5 Prawo moŝea prawdopodobeństw: P ( A B) P ( A B) P ( B) P ( B A) P ( A) Twerdzee Bayesa Wzór a prawdopodobeństwo całowte wyweść formułę odwołując sę do zboru zdarzeń rozłączych wyczerpujących: P ( A) P ( A B ) P ( B ) Zadae N zdarzee: adao bt, N zdarzee: adao bt, O zdarzee: odebrao bt, O zdarzee: odebrao bt Prawdopodobeństwo zeształcea: ε ( P(O N ) P(O N )), prawdopodobeństwo p ( P(N )) wysył btu Ile wyos prawdopodobeństwo poprawego odboru? Ile wyos prawdopodobeństwo P(O ) odboru btu? Twerdzee Bayesa Zadae Jede z testów obecośc w rw wrusa HIV wyazuje pozytywy rezultat w 97% przypadów osób zaraŝoych tą chorobą myle wsazuje a jego obecość w rw osób zdrowych w,4% przypadów Jae jest prawdopodobeństwo, Ŝe osoba u tórej wyryto tym testem obecość wrusa HIV jest fatycze chora, jeśl wadomo Ŝe,5% populacja cerp a tę chorobę? Rozwązae Nech: P(C) ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest chora P(C),5, P(Z) ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest zdrowa: P(Z) - P(C), P(+) ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe test daje wy pozytywy, P(+ C) prawdopodobeństwo waruowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ C),97, P(+ Z) prawdopodobeństwo waruowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ Z),4, Poszuujemy P(C +), czyl prawdopodobeństwo waruowe, Ŝe osoba u tórej test dał pozytywą odpowedź jest fatycze chora Z twerdzea Bayesa mamy: P P C + ( + C) P( C) P ( + ) P( + C) P( C), 97, 5 ( + ) + ( + ), 97, 5 +, 4 (, 5) P C P C P Z P Z P Twerdzee Bayesa w pełej forme ( A B ) P ( B ) P B A j ( j ) P ( B j ) P A B, 55 Zdarzea ezaleŝe Zadae Oto (jaoby prawdzwa) hstoryja Dwóch studetów w przeddzeń olowum z rachuu prawdopodobeństwa utracło umar zabawało sę zbyt długo a mpreze suto zaprawaej aloholem PoewaŜ zaspal e stawl sę a olowum, astępego da usprawedlwal sę przed wyładowcą, tłumacząc, Ŝe e zdąŝyl dojechać, gŝ ch samochód złapał gumę Wyładowca zgodzł sę urządzć m wduale olowum Ozaczoego da posadzł ch w róŝych poojach aŝdemu z ch wręczył artę z zadaam Na artce było tylo jedo pytae: tóre oło mało gumę? Ile wyos prawdopodobeństwo zgodej odpowedz studetów? ezaleŝość statystycza zdarzeń prawdopodobeństwo loczyu zdarzeń ezaleŝych Zadae Day jest zbór lczb całowtych,,3,, Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez 3? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez 7? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela zarówo przez 3 ja przez 7? Czy zdarzee: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez 3 jest statystycze ezaleŝe od zdarzea: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez 7? RozwaŜ to samo zadae, g zbór lczb rozszerzymy o lczbę Zdarzea rozłącze to zdarzea statystycze zaleŝe!!! prawdopodobeństwo sumy ezaleŝych statystycze zdarzeń Zadae Prawdopodobeństwo p zestrzelea samolotu jem strzałem z jedego dzała wyos, Zajdź prawdopodobeństwo zestrzelea salwą ze stu ezaleŝe jedocześe strzelających dzał Rozła fucj zmeych losowych przeształcee jedozacze Zadae

4 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 4 Dysreta zmea losowa opsaa jest rozładem: P( ) ¼, P( ) /8, P( ) /8 P( ) ½ Podaj rozład zmeej losowej m Zmea cągła Zadae Oblcz całę: s d Rozład prędośc cząstecze gazu dosoałego (rozład Mawella): 3 m m 4π ep, f π T < T Jaą ma postać rozład eerg E etyczej tych cząstecze? Wypszmy wyraŝee a strybuatę tego rozładu wyraźmy ją przez eerge etyczą 3 v 3 v m m e F ( v) P ( v) f ( ) d 4π ep d e m ; ; d de π T T m me sąd: E E m e e e 4π ep de e ep de P ( e E) F ( E ), π T m T me 3 π T g E Ogóle formale sąd ( T ) 3 ( T ) df E E E ep de π T Do domu: udowodć uormowae!!! h ( u) z y w( z) y dh ( ) ( ), F z f d u h w f h u du g u du P u y F y du dh w( ) y d du du co często zapsujemy proścej jeśl przeształcee zapszemy w forme ( y) df dh g ( y) f ( h ( y) ), d g y f y, Zadae Day jest uład wadratów o bou, tóry ma rozład jedostajy w przedzale [; ] Zajdź rozład powerzch S tych wadratów Naszcuj te rozład Zmea zadaa przez strybuatę y F h y F y oraz Nech, gdze F ( ) jest strybuatą pewego rozładu f ( ), wte d df g ( y) f ( ( y) ) f ( ( y) ) f ( ( y) ) f ( ( y) ) df f ( ( y) ) d F ( y) Nech f ( ) λ ep( λ) Wte y F ( ) λ ep ( λ ') d ' ep( λ) Ta węc, jeśl zmea ma rozład wyładczy, to zmea y ma rozład jedostajy, a tym samym odwrote, jeśl zmea y ma rozład jedostajy, to zmea l ( y ) λ będze mała rozład wyładczy oreśloy parametrem λ Zasadz przy zamae zmeej ujema pochoda ejedozaczość rozwązań Przyład d Oblcz całę ( )

5 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 5 Rozwązae y + ( ) d y ( y) y ( y) y y y d Przyład Day jest rozład f ( ), < a a a ( ) Wyzacz rozład zmeej y a Rozwązae d g ( y) f ( ( y) ), a y ay <, co zapsujemy w postac d g ( y) f ( ( y) ), y a ay < + + Przyład Dysreta zmea losowa opsaa jest rozładem: P( ) ¼, P( ) /8, P( ) /8 P( ) ½ Podaj rozład zmeej losowe m Przyład Rozład Gaussa N(; µ, σ), parametry, uormowae Wprowadzć pojęce rozładu stadaryzowaego: N(z;, ) Wyzaczamy rozład zmeej losowej y dla rozładu stadaryzowaego N(;, ) Odwracae zaleŝośc y prowadz as do dwóch wyraŝeń: y, g jest ujeme, oraz y, g jest dodate G zmea jest ujema, fucja rozładu przeształca sę wg formuły: d g ( y) N ( ( y) ;,) N ( y;, ), y y < co odwracając grace, zapszemy jao g ( y) N ( y;, ), y < y Dla obszaru dodatch wartośc mamy bez omplacj: g ( y) N ( y;, ), y < y Ostateczy wy otrzymujemy sumując: g ( y) N ( y;, ) + N ( y;, ) ( N ( y;, ) + N ( y;, )) N ( y;,) y y y y Otrzymalśmy tzw rozład χ o jem stopu swobo Wzór ogóly: d d d g ( y) f ( ( y) ) + f ( ( y) ) + + f ( ( y) ) gdze ( y ) to oleje rozwązaa rówaa y h ( ) Wartość oczewaa średa wartość oczewaa średa zmeej sretej przyład z lczbą dzec przejśce gracze Zadae Koło rulet w Las Vegas ma 38 pól poumerowaych,,,,, 36 Jeśl grający postaw dolara a jedą z 36 lczb ta lczba wypade, otrzymuje zwrot swego dolara, ja róweŝ dodatowo 35 dolarów, w przecwym raze trac postawoego dolara Ile wyos oczewaa wygraa w tam systeme? wartość oczewaa sretej zmeej losowej z rozładu jedostajego - wartość oczewaa e mus być lczbą całowtą! (przyład - oczewaa lczba ocze a ostce) wartość oczewaa zmeej losowej z rozładu dwumaowego wartość oczewaa średa cągłej zmeej losowej przejśce gracze wartość oczewaa cągłej zmeej losowej z rozładu jedostajego wartość oczewaa zmeej losowej z rozładu Gaussa wartość oczewaa fucj w() zmeej losowej Dygresja matematycza ja róŝczujemy fucję odwrotą: Nech y h (), le wyos pochoda /d dh ()/d?

6 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 6 dh h h lm lm lm d y y h ( y ) h ( y) dh ( y) h ( ) h ( ) y y Przyład: y h () tg () arctg(), czyl h(y) tg(y) d arctg ( ) cos ( y) arctg d y d tg + ( y) + tg y y arctg( ) cos y arctg y arctg y Nech podlega rozładow f() Wprowadzamy zmeą y daą zwązem y w() h - (), czyl h(y), dh sąd zajdujemy rozład g ( y) f h ( y) y poszuujemy wartośc oczewaej z defcj: dh dh yg ( y) yf ( h ( y) ) y w( ), h ( y), d d dh d dh w f d w f d w ( ) dh wartość oczewaa pola wadratów a dwa sposoby Pomar pola S µ powerzch wadratu o dołam bou µ Rezultat pomaru:, przy czym µ Nech podlega rozładow jedostajemu f ( ), µ µ + Wyzaczamy pole wadratu Ŝ Ile wyos wartość oczewaa Ŝ ta wyzaczoego pola powerzch? Wyzaczmy ajperw fucję rozładu g(s) pola powerzch d g ( S ) f ( ( S )), ds S 4 S oblczmy wartość oczewaą Sˆ A teraz bezpośredo ( µ + ) ( µ + ) S ( µ + ) 3 3 ds SdS S S ( µ ) ( µ ) µ 4 S µ 6 3 ( µ ) ( µ ) + + µ + µ + ˆ 3 S d µ + 6 µ 3 µ defcja ezaleŝośc statystyczej zmeych losowych wartość oczewaa ombacj lowej zmeych losowych: z a + by + c: <z> a<> + b<y> + c defcja pojęca prób prostej wartość średa z prób prostej jao estymator wartośc oczewaej µ µ µ wartość oczewaa dzwej średej arytmetyczej ɶ statysty, estymatory estymaty medaa wartość oczewaa y h ( ) medaa moda jao mary cetralośc Waracja, spersja epewość stadardowa σ defcja waracj spersj cągłej sretej zmeej erówość Czebyszewa P c µ εh ε alteratywa postać: V() - waracja zmeej losowej z rozładu dwumaowego

7 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 7!! m p p p ( p)!! ( )!( )! m + ( )! m m ( m) m m m p m + p p p + p p +!! a stąd: ( ) ( ( ) ) ( ) V p p + p p p + p p p waracja cągłej zmeej losowej z rozładu jedostajego waracja zmeej losowej z rozładu Gaussa Ja całować? Wsazówa z postac rozładu mamy: π di I ( α ) ep( α ) d, gdze α, a stąd: ep ( ) d α σ α dα waracja ombacj lowej ezaleŝych statystycze zmeych losowych waracja średej arytmetyczej waracja dzwej średej arytmetyczej wartość oczewaa wadratu odchylea stadardowego estymator eobcąŝoy obcąŝoy przypomeć przyład z wartoścą oczewaą pola wadratu, gresja o welośc S ( ) V ( ) 4 3 s V ( ) ( ) średa waŝoa przypomee zgodość statystycza pomarów (cału turyńs) Momety fucj zmeych losowych pomary złoŝoe złoŝoa epewość stadardowa przypade jedej fucj jedej zmeej rozwęce do wyrazów lowych Merzymy welość fzyczą µ W rezultace pomaru otrzymujemy zmeą losową o rozładze f(), wartośc µ g µ ocey waracj tej welośc oczewaej µ oraz waracj V() Poszuujemy ocey welośc RozwaŜmy fucję g(), tórą rozwemy woół putu µ do wyrazów lowych włącze dg g ( ) g ( µ ) + ( µ ) g ( µ ) + g '( µ )( µ ) d µ oblczmy wartość oczewaą obu stro g g µ + g ' µ µ g µ ( ) ( ) ( ) Wdzmy, Ŝe poszuwaa welość µ g ( µ ) wyos µ g ( µ ) g ( ) W dośwadczeu: Oblczymy teraz warację W dośwadczeu: ˆ µ g ( '( µ )) ( µ ) '( µ ) ( ) ( ( )( )) V ˆ µ g g g µ + g ' µ µ g µ g ' µ µ ( ) g g V ( µ ) ˆ ( µ ) Dˆ V s g s ˆ ˆ ˆ µ ' złoŝoa epewość stadardowa przypade jedej fucj statystycze ezaleŝych zmeych Kowecje dotyczące zapsu ˆ µ ± s reguły cytowaa wyów V ( s ) V V ( ) 3 V 3 s Dla rozładu Gaussa ( ) σ 3 4 σ 4 V 3 3 σ σ 3 3 V s ( ) ( ) PoewaŜ, dla y, D(y) <>D(), węc D(s ) σd(s ), sąd D(s ) D(s )/(σ), czyl

8 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 8 D s σ σ σ σ ( ) e mary rozproszea odchylee średe, odstęp mędzywartylowy, FWHM Rozład dwumaowy próba Beroullego schemat Beroullego rozład ujemy dwumaowy bądź dwumaowy postać rozładu dwumaowego przyład z lczbą studete wśród studetów przyład z lczbą chłopców w rodzach welodzetych Zmea ˆ p u l B l p + ( ) l ( p) l + l ( p) p własośc rozładu dwumaowego ormalzacja, moda, ształt Pewa la lotcza stwerdzwszy, Ŝe 96% upujących blety pojawa sę a lotsu, przyjęła poltyę polegającą a sprzedaŝy stu bletów a samolot, tóry ma tylo 98 mejsc Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wszyscy, tórzy przyjdą a lotso, zajdą mejsce w samoloce? Rozwązae Lczba 96% podpowada am, Ŝe losowo wybray let tej frmy staw sę a lotsu z prawdopodobeństwem p,96 Sto sprzedaych bletów to lczba prób, jae podejme stu pasaŝerów Tym samym, lczba osób, tóre przybędą a lotso, oreśloa jest rozładem dwumaowym, o ta właśe oreśloych parametrach Wszyscy, tórzy pojawą sę a lotsu, odlecą, o le chętych będze co ajwyŝej tylu, le jest mejsc w samoloce Prawdopodobeństwo taego zdarzea oreśloa jest przez 98! 99! P ( 98 ) B (, p) B 99 (, p) B (, p) p ( p) p, 93 99!!!! Poltya przyjęta przez le lotczą ozacza śwadome godzee sę a to, Ŝe w przyblŝeu raz a rejsów, jej przedstawcel a lotsu będze musał przepraszać rozserdzoego pasaŝera, przy czym raz a ooło 6 rejsów będze to dwóch wyprowadzoych z rówowag pasaŝerów własośc rozładu dwumaowego estymacja parametru p momety wartość oczewaa spersja ułame lczby studetów epalących, ułame lczby głosujących, estymator parametru p: pˆ / estymator s waracj V() p( p) zmeej losowej z rozładu dwumaowego Spróbujmy ( ) s pˆ pˆ oblczmy wartość oczewaą ˆ ( ˆ ) ( ˆ ˆ s p p p p ) p p ( V ( ) p ) + p ( p ( p) + p ) p ( p) p p p + p p p stąd: s ˆ ( ˆ p p) s ˆ ˆ ˆ p p p przyład czy steje uprzywlejoway erue obrotu wru wodego w wae; P 35 65, 998 estymator waracj estymatora p test 3σ: ( ) postace gracze rozładu dwumaowego rozład Gaussa Possoa bez wyprowadzea Rozład wyładczy czas oczewaa a przejazd samochodu przyład wyprowadzee postac rozładu wyładczego z rozładu geometryczego parametr λ oraz τ t W rozładze geometryczym: P ( > ) ( p), jeśl jeda p λ t λ, to; λt λ P P t e E t; λ λe λt t ( > ) ( t > ), a stąd strybuata F t e λt, a węc rozład przyład z rozpadem promeotwórczym wyprowadzee ze szolego prawa rozpadu Czas oczewaa w ocy a wezwae aret pogotowa a pogotowu ratuowym rządzoy jest rozładem wyładczym, przy czym typowy odstęp czasowy medzy olejym wezwaam wyos jedą godzę Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe pełący Ŝur learz pogotowa będze sę mógł ceszyć przyajmej

9 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 9 dwema godzam su bez przerwy? (Odpowedź:,353) wartość oczewaa spersja przypomeć (były wyprowadzoe) estymator parametru τ bra pamęc w rozładze wyładczym przypomeć było przy prawdopodobeństwach waruowych P (( t > t + T ) ( t > T )) P ( t > t + T ) ep( λ ( t + T )) P ( t > t + T t > T ) ep( λt) P ( t > t) P t > T P t > T ep λt co jest rówowaŝe rówau fucyjemu f( + y) f()f(y) wyresy przeŝywalośc rót ometarz Rozład Possoa rozład lczby przejeŝdŝających samochodów w zadaym przedzale czasu oczewaa Podstawowa własość rozładu Possoa (bez dowodu): jeśl czas oczewaa a zdarzee podlega rozładow wyładczemu z parametrem tesywośc λ, to lczba zdarzeń w zadaym czase t oreśloa jest rozładem Possoa z parametrem λt wyprowadzee postac rozładu Possoa z rozładu dwumaowego przez przejśce gracze Prawdopodobeństwo dołade zdarzeń:! B (, p) p ( p) ( )( )( + ) p ( p)!!! t Nech: p λ, wte: (, ) B + λt λt p λt! Przejśce gracze dostarcza rozładu Possoa Iterpretacja parametru λ (ja w rozładze wyładczym) przyład z rozpadem promeotwórczym esperymet Rutherforda Gegera u l! P µ l µ µ ( ) zmea wartość oczewaa spersja przypomeć (były wyprowadzoe) estymatory wartośc oczewaej waracj wymusć odwołując sę do astępego zadaa Zadae Przy zlczau bałych całe rw pod mrosopem, w polu wdzea typowo zajdujemy 4 tach całe w rw zdrowego człowea W jedej z próbe rw zalezoo 3 całe Czy moŝemy tae odstępstwo potratować jao flutuację statystyczą? Zadae W pewym meśce lmat jest a tyle ustablzoway, Ŝe prawdopodobeństwo uderzea porua w loaly drapacz chmur e zaleŝy od da rou Operator w w tym drapaczu zauwaŝył, Ŝe pewego rou było łącze 34 d, w tórych bue e był trafoy przez poru Ile, wg Twojej ocey, było d, w tórych poru trafł bue węcej Ŝ jede raz? Jaa jest epewość tej ocey? Rozwązae Przyjmemy model rozładu Possoa z parametrem µ oreślającym przecętą lczbę trafeń porua w bue Prawdopodobeństwo brau trafea przez poru daego da dae jest wyraŝeem: P bg µ ep b µ g, a estymator tej welośc day jest przez: pˆ ep ( ˆ µ ) ˆ µ l l, Nepewość: d ˆ µ pˆ s ˆ ˆ ( ˆ µ s p p p),68,7 dpˆ pˆ pˆ Stąd prawdopodobeństwo uderzea przez poru dwurote węsze: µ Pb > g epb µ g Pbg µ Pbg µ e e e, 64! Daje am to lczbę m d w rou, e były dwa lub węcej uderzea porua: ˆ µ ˆ µ mˆ e ˆ µ e, epewość tej welośc mˆ 9 ˆ µ smˆ s ˆ µ rozład Gaussa jao postać gracza rozładu Possoa (bez wyprowadzea) Rozład Gaussa wyprowadzee rozładu z modelu małych błędów Laplace a

10 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa W wyu pomaru otrzymamy zamast welośc µ, jedą z welość oreśloych rówaem: µ + b + g ε, gdze:,,,,,, Prawdopodobeństwo aŝdej z tych wartośc jest zadae przez rozład dwumaowy z parametrem p ½: Wartość oczewaa zmeej wyos: a jej waracja, to:! B F b, p, 5g!! HGI K J b g F I µ b gε µ c h ε µ HG K J ε µ, bg b + g bg F I ε 4ε 4ε HG K J ε, V V V Wemy, Ŝe dla duŝej wartośc lczby, prawdopodobeństwo B ma zachowae gracze: ( p) ( ) µ ε ( ) µ B (, p) ep ep { } ep + πpq pq π ε 4 π ε ε Gbyśmy teraz chcel zmejszyć wartość ε do zera, przy zachowau pozycj, to aby uzysać sesowy lmt, musmy zaŝądać, aby welośc oraz dąŝyły do esończoośc, ale ta, by welość ε dąŝyła do wartośc stałej: ε σ cost Pozostae jedaŝe czy ε przed fucją wyładczą, tóry zepsuje całe przejśce gracze Jasym jest jeda, Ŝe przejśce z wartoścą zaburzea ε do zera ozacza przejśce do zmeej cągłej, a węc oczeujemy, Ŝe zamast prawdopodobeństw B (,p) zmeej sretej, powśmy uŝywać gęstośc prawdopodobeństwa ZauwaŜmy rówocześe, Ŝe poszczególe welośc oddzeloe są od sebe o ε, stąd aturalą rzeczą będze wprowadzee gęstośc, dzeląc prawdopodobeństwa B (,p) przez ów przedzał ε, rozmazując ejao prawdopodobeństwo sojarzoe z putem po całym tam przedzale: B, p, R U F b 5g ep S b µ g I V N ;, ep b g, T W H G b µ g µ σ K J ε ε π ε ε πσ σ Otrzymalśmy rozład Gaussa cągłej zmeej losowej własośc rozładu ormalzacja wymary parametrów rozładu ształt szeroość w połowe wysoośc momety wartość oczewaa spersja przypomeć, były oblczae Kwatyle (azać studetom oblczyć całę z rozładu Gaussa) zrobć rysue P(µ σ µ + σ) P(µ σ µ + σ) µ P < z p σ z p,687,5,675,9,8,9545,9,645,95,64 3,9973,95,96,99,35 4,9999,99,576,999 3,9 Kombacja lowa postac a zmeych losowych z rozładu Gaussa G( ;µ,σ ) ma rozład G( ;µ,σ ), gdze a, a µ µ σ σ cetrale twerdzee gracze przyład d Agostego sformułowae cetralego twerdzea graczego geerator zmeej losowej o rozładze Gaussa z D ajprostszy wybór to Metoda mometów Przyład: Day jest rozład, ( ) D

11 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa f ( ; a, b), a b, a < b, b a Wemy, Ŝe ( a + b), V ( ) ( b a), sąd mamy dwa rówaa a ocey parametrów a oraz b: ˆ ˆ aˆ + b, s ˆ b a ocey tych parametrów: aˆ s, bˆ + s Iy przyład Daa jest próba prosta,,,, z rozładu Possoa P (µ) Wemy, Ŝe wartość oczewaa zmeej losowej z rozładu Possoa daa jest parametrem µ, dlatego moŝemy zapropoować estymator ˆ µ, a poewaŝ waracja tego rozładu taŝe zadaa jest parametrem µ, węc średa jest jedocześe estymatorem waracj JedaŜe estymatorem waracj jest wadrat epewośc pojeczego pomaru ˆ µ s, co daje am drug estymator waracj RozwaŜmy waracje obu estymatorów µ V ( ˆ µ ) V ( ) V ( ), ( 4 3 ˆ ) V µ V s V PoewaŜ dla rozładu Possoa 4 3µ + µ, węc 3 ( ) ˆ V µ µ + µ µ µ µ µ µ µ + + Zbadajmy stosue waracj estymatorów V ( ˆ µ ) µ + + µ V ˆ µ Wdzmy, Ŝe estymator zaday wadratem epewośc ma zawsze węszą warację jest mej efetywy własośc estymatorów: bra obcąŝea efetywość (zgodość, dostateczość, ) twerdzee Cramera-Rao: Vm ( θ ), V m ( θ ), P f ( ; θ ) l f ( ; θ ) l P d θ θ θ θ V m ( θ ) L( ; θ ) l L ( ; θ ) d θ, V ( θ ) θ m L ( ; θ ) l L ( ; θ ) RozwaŜmy próbę złoŝoą z elemetów z rozładu Possoa P (µ) o wartośc oczewaej µ Wyzaczmy mmalą warację Cramera-Rao Logarytm rozładu Possoa to: µ µ l P ( µ ) l e l µ µ l!! Perwsza pochoda wyos l P ( µ ) ( l µ µ l! ) µ µ µ Druga pochoda l P ( µ ) µ µ Ostatecze, mmala waracja Rao-Cramera zadaa jest przez

12 Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa µ µ µ Vm ( µ ) µ P ( µ ) l P ( µ ) P ( µ ) µ Metoda ajwęszej warogodośc sformułowae zasa uczyńmy dae ajbardzej prawdopodobym wr wo rozład dwumaowy przyła zastosowaa Wr wo 57 sucesów a prób, sąsad 8 sucesów w próbach trasparecja: wyres fucj warogodośc rozładu dwumaowego rozład wyładczy wyzaczyć ocey parametrów λ oraz τ, oceę waracj zbadać efetywość rozład Gaussa własośc estymatorów meto ajwęszej warogodośc współzmecze oraz asymptotycze: eobcąŝoe, efetywe ormale epewość estymatorów z meto ajwęszej warygodośc ˆ ( θ ) ll ˆV θ θ ˆ θ asymptotycze gaussows ształt fucj warogodośc Lczba dzec mej Ŝ 3 dzec 3 dzec 4 dzec 5 dzec węcej Ŝ 5 dzec Lczba rodz Oczewaa lczba rodz 6,6 3,8 3,,9,7 lustracja wyzaczae parametru µ rozładu Possoa rozład lczby dzec, ˆ µ 4,7 ±,45