Politechnika Poznańska
|
|
- Amelia Sobczyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor: dr Tomasz Strę Pozań 004 3
2 Aradusz Atcza Sps treśc Sps treśc... 3 Streszczee... 5 Summary... 6 Wstęp... 7 RóŜczowe rówaa ruchu Rówaa Lagrage a II rodzaju.... Kaocze rówaa Hamltoa... 3 Ułady o jedym stopu swobody Stope swobody Prosty oscylator harmoczy Pozostałe przyłady uładów o jedym stopu swobody Metody umerycze rozwązywaa rówań róŝczowych Metoda Eulera Metoda Ruge-Kutta Błędy metod Metody weryfowaa rozwązań Wpływ waruów początowych Precyzja, doładość, sala Arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych Metoda oloacj Weryfacja metody Metoda Taylora Wy umerycze z wosam Prosty oscylator harmoczy Drgaa tłumoe Wahadło elowe Załącz... 5 Załącz... 5 Załącz Bblografa
3 Aradusz Atcza Streszczee Praca ma a celu zweryfowae umeryczych rozwązań róŝczowych rówań ruchu uładów o jedym stopu swobody. Przedstawa zae powszeche wyorzystywae metody rozwązywaa rówań róŝczowych oraz metody ch weryfacj. W pracy zamplemetowao efetywe, lecz rzado stosowae, metody oloacj Taylora. Oblczea zostały wyoae z wyorzystaem arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych. Programy wyorzystae a potrzeby ejszej pracy zostały apsae w całośc w programe Mathematca. W pracy zawarte zostały podstawy teoretycze dotyczące ruchu. Wyprowadzoo rówaa ruchu z defcj rówań Lagrage a II rodzaju oraz rówaa aocze Hamltoa. Następe zdefowao pojęce stop swobody przedstawoo przyłady uładów mechaczych spełających temat pracy. Koleja cześć pracy to prezetacja popularych ajczęścej wyorzystywaych metod umeryczych rozwązywaa rówań róŝczowych (metoda Eulera, Ruge- Kutty) oraz weryfacja ch doładośc. Dalsze rozdzały to prezetacja sposobów weryfowaa rozwązań umeryczych (arytmetya terwałowa, arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych, wpływ waruów początowych) oraz ops alteratywych metod rozwązywaa rówań róŝczowych (metoda oloacj metoda Taylora). Na ońcu pracy zaprezetowao wy oblczeń umeryczych (tabele, wyresy), ch porówaa, ja róweŝ wos z ch wypływające. Do pracy załączoo poadto ody źródłowe metod wyorzystaych do oblczeń (metoda oloacj metoda Taylora). 5
4 Aradusz Atcza Summary I ths paper we wll valdate umercal soluto of umercal euato of moto systems wth oe degree of freedom. Methods used ths paper are well ow ad most popular umerc calculatos for ODEs (ordary dfferetal euatos). Ths paper cota mplemetato of effectve but rarely used collocatos methods ad Taylor model. Calculatos were made wth use of bg float arthmetc model. All preseted programs were wrtte wth the ad of Mathematca. Ths paper cota theoretcal bass of moto defto. Euato of moto was derved from defto ad Lagrage euatos. Also we dervate Hamltoa s euatos. Next we defe degrees of freedom, ad show examples of mechacal systems wth oe degree of freedom. I followg we preset the most popular ad most freuetly used umercal methods for solvg ODEs. (Euler s method, Ruge-Kutta method) ad them valdato. Further chapters cota ways of valdatos of results of solvg ODEs (Iterval arthmetc, sgfcace arthmetc, fluece of tal codtos) ad descrpto of alteratve methods for solvg ODE (Collocatos methods for ODEs, Taylor model). At the ed all umercal results were put together ad compared. From ths was made coclusos. To ths paper has bee attached a source code for used methods (Collocatos methods for ODEs, Taylor model). 6
5 Aradusz Atcza Wstęp Celem ejszej pracy jest zweryfowae umeryczych rozwązań róŝczowych rówań ruchu uładów o jedym stopu swobody [,8]. W pracy zaprezetowao dotychczas zae populare wyorzystywae metody rozwązywaa rówań róŝczowych oraz metody ch weryfacj. Wszyste oblczea wyoywae a potrzeby tej pracy zostały uzysae przy pomocy programu Mathematca [6], będącego sle rozbudowaym arzędzem pozwalającym a eograczoe dzałaa programstycze oraz posadającym ogroma lość fucj wbudowaych. Lcze przyłady potwerdzają oeczość weryfowaa rezultatów oblczeń, a przyład poprzez powtórzee oblczeń z uŝycem ej metody, poprzez zwęszee precyzj oblczeń lub wyoae oblczeń a ej maszye (omputerze) []. Drug rozdzał staow wprowadzee do pracy, a maowce jest pośwęcoy a wyprowadzee róŝczowych rówań ruchu. Począwszy od prostych rówań wyprowadzaych z defcj ruchu, poprzez rówaa ruchu wyprowadzae z rówań Lagrage a II-go rodzaju, a sończywszy a uładach o stałej eerg rówaach aoczych Hamltoa[,7]. Następe w pracy poruszoy zostaje problem stop swobody. W rozdzale drugm, poza defcją stop swobody, zostały przedstawoe główe przyłady uładów wymeoych w temace pracy (prosty oscylator harmoczy, wahadło matematycze torsyje tp.), dla tórych wyprowadzoa rówaa ruchu. Kolejy rozdzał to prezetacja ajpopularejszych metod umeryczych rozwązywaa rówań róŝczowych zwyczajych. NaleŜą do ch metoda Euler a metoda Ruge-Kutty [3]. Rozdzał przedstawa teoretycze podstawy aŝdej z metod oraz uwypula ch edosoałośc podczas rozwązywaa rówań róŝczowych. Zazaczają sę oe w rozbeŝoścach pomędzy rozwązaam umeryczym a doładym omawaych przyładów. 7
6 Aradusz Atcza Pąty rozdzał to zapropoowae metod weryfacj rozwązań umeryczych. Wyorzystae do oblczeń programu Mathematca umoŝlwło wyorzystae tach elemetów ja zwęszae doładośc oblczeń z typu doubleprecso do wartośc, ograczoych jedye mocą oblczeową omputera, rzędu 800 mejsc po przecu, lub arytmetya terwałowa [0] a stałe zamplemetowaa w Mathematc ę pod postacą arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych ( Sgfcace Arthmetc ) [5,9]. Rozdzał szósty to prezetacja metody oloacj rozwązywaa rówań róŝczowych. Zajdują sę tu jej podstawy teoretycze, poazao jej wady zalety oraz przyłady oblczeń wyoaych przy jej uŝycu. Kolejy, sódmy, rozdzał to róte wprowadzee do powszeche zaej metody Taylora rozwązywaa rówań róŝczowych []. Rozdzał ostat prezetuje oblczea umerycze wyoae a przyładach opsaych w poprzedch rozdzałach. Do oblczeń posłuŝyła główe metoda oloacj, tórą wyorzystao jao ryterum weryfacyje umeryczych rozwązań rówań róŝczowych uzysaych we wcześejszych rozdzałach. Jedye dla elowych rówań róŝczowych dodatowo wyorzystao metodę Taylora dla duŝych czasów, dla tórych zostały wyoywae oblczea. W rozdzale zawarte są zawarte wos asuwające sę po dooau wszystch oblczeń. Do pracy zostały dołączoe róweŝ, w postac załączów, ody źródłowe wyorzystaych metod umeryczych (metoda oloacj metoda Taylora). 8
7 Aradusz Atcza RóŜczowe rówaa ruchu Ruch to zjawso polegające a zmae w czase połoŝea tego cała, względem ego cała, tóre umowe przyjmuje sę jao eruchome (pozostające w spoczyu) []. Rys. W płasej przestrze Euldesowej, w prawosrętym uładze współrzędych Oxyz (Rys.), tóry tratujemy jao eruchomy, poło- Ŝee poruszającego sę putu moŝa oreślć przez zmaę współrzędych x,y,z w czase t, czyl są oe pewym fucjam czasu t: xf(t) yf(t) (.) zf3(t) Rówaa (.) azywa sę rówaam ruchu putu. JeŜel eruchomy począte uładu współrzędych O połączymy z ruchomym putem A za pomocą wetora r OA, azywaego wetorem połoŝea, to wetor te zaleŝy od czasu jest pewą fucją wetorową: r r(t) (.) Sładowe taego wetora są rówe: rxx(t), ryy(t), rzz(t). PowyŜszy wetor moŝa teŝ przedstawć za pomocą sumy geometryczej: r x(t) + j y(t) + z(t) Zając fucje x(t), y(t) z(t), mamy wszyste formacje o ruchu putu (tor, prędość, przyspeszee). 9
8 Aradusz Atcza Prędość Mając dwa puty A B aleŝące do tego samego toru, putow A przypsay jest wetor r(ta), putow B wetor r(tb) to prędość jest gracą lorazu róŝcowego[8]: df r( tb ) r( t A ) dr v lm tb ta t t dt RóŜczując rówae ruchu otrzymujemy wetor prędośc: v v + v j + v x y z dx( t) dy( t) dz( t) gdze v x x& ( t), v y y& ( t), v z z& ( t). dt dt dt B A Przyspeszee Prędość z jaą porusza sę oec wetora v po hodografe azy- df dv d r wa sę przyspeszeem: a. dt dt Czyl: a a + a j + a, x y z dv d x dv x y d y dv z d z gdze a x, a y, a z. dt dt dt dt dt dt PoewaŜ wetory a v a ogół e są rówoległe to przyspeszee posada dwe sładowe: a a t dv τ styczą do toru, dt v gdze τ - wetor styczy, - wetor ormaly, ρ - promeń rzywzy. ormalą, ρ dr ds 0
9 Aradusz Atcza. Rówaa Lagrage a II rodzaju W tej częśc wyprowadzmy rówaa ruchu uładu materalego eswobodego we współrzędych uogóloych ezaleŝych[]. Weźmy pod uwagę uład o stopach swobody, srępoway węzam holoomczym, dwustroym dosoałym, tórego ofgurację w aŝdej chwl t opsują współrzęde uogóloe,,. Cetrale rówae Lagrage a we współrzędych uogóloych przyjmuje postać. + Q E p t d d δ δ δ (..) Na mocy zwązu N j j j j N j j j j E p & & & v m v v v m mamy N j j j j N j j j j E p & & & v m v v v m (..) oraz ( ) t E E & K & K,,,,,,, a węc + E E E & & δ δ. W zwązu z powyŝszym wzór (..) moŝa zapsać + + Q E E E t d d δ δ δ δ & &. Po zróŝczowau lewej stroy rówośc przestaweu symbol waracj δ róŝcz ) d (d d δ δ [] otrzymujemy: 0 d d Q E E t δ & (..3) Z załoŝea, Ŝe węzy są holoomcze współrzęde,, są ezaleŝe, wya fat, Ŝe δ δ,, K teŝ są ezaleŝe. W zwązu z powyŝszym Q E E t,,, d d K & (..4) Zwąz (..4) azywae są rówaam Lagrage a II rodzaju dla uładów holoomczych we współrzędych uogóloych. Lczba tych zwązów rówa jest lczbe swobody.
10 Aradusz Atcza Gdy sły są potecjale, wyorzystujemy cetrale rówae Lagrage a w postac d dt p δ δl oraz borąc pod uwagę: p L,, K (..5) &, poewaŝ E E ( t,, K, ) ja wyŝej dostajemy: d L dt & e zaleŝy od p p & ( σ K,, ), rozumując L 0,, K, (..6) Zwąz (..6) staową rówaa Lagrage a II rodzaju dla uładów holoomczych, dla sł potecjalych.. Kaocze rówaa Hamltoa Pędy uogóloe polczoe przy pomocy wzorów (..), wyorzystując ogóly wzór a eergę etyczą [] E E K j, & & j (..) j ( t,,, ) + B ( t,, K, ) & + A ( t,, K ) przyjmuje postać: E p j A & j j + B j, j, K, & j j (..) Dla eosoblwej macerzy współczyów { A j } steje przeształcee odwrote: j & j aj p j + b j, j, K, (..3) Zmee ( t,,, p, K, p ) ( t,, ), p K to zmee aocze (zmee Hamltoa). Przestrzeń zmeych ( t,, p) to przestrzeń staów, a przestrzeń (, p) - przestrzeń fazowa. RozwaŜmy welość wyraŝoą wzorem: K p & E ( t,, K,, &, K, & ), (..4)
11 Aradusz Atcza Zastępując prędośc uogóloe ze wzoru (..4) zwązam (..3) dostajemy fucję zmeych ( t,, p) : K( t,, p) p ~ & p ~ & E ~ E ( t,, K,, ~ &, K, ~ & ) ( t,, K,, p, K, p ) (..5) ozaczea ~ & (, σ K ) E ~ wsazują Ŝ prędośc uogóloe zastąpoo lub aleŝy zastąpć pędam uogóloym (..3) Dla sł dzałających a uład posadających eergę potecjalą postac E E ( t,, K, ) p wprowadzamy dodatową welość H oreśloą wzorem: p H K + E p p & E + E p & L, (..6) p L E + E p to fucja Lagrage a. Fucja H to fucja Hamltoa (hamltoa). Zastępując prędośc uogóloe we wzorze (..6) pędam uogóloym za pomocą (..3) otrzymujemy fucję Hamltoa jao fucję zmeych ( t,, p) : H ( t,, p) p & L, (..7) JeŜel hamltoa wyraŝoy jest w zmeych aoczych wtedy ~ H( t,, p) E + E E cost, (..8) p opsuje zasadę zachowaa całowtej eerg mechaczej uładu w zmeych aoczych. Rówaa ruchu uładów holoomczych w zmeych aoczych opsae są zwązam (szczegółowe wyprowadzee moŝa zaleźć w [] str. 44): d dt K dp K ~, + Q,, K (..9) p dt, Dla sł uogóloych posadających eergę potecjalą w postac p p ( t,, K ) E E, mamy 3
12 Aradusz Atcza 4 p E E Q Q p p,, 0,, ~ K (..0) Rówaa (..9) wyglądają astępująco: ( ) ( ) E K t p p E K t p p,,, d d, d d K + + (..) Na mocy wzoru (..6) rówaa te przyjmują ostateczą postać: H t p p H t,,, d d, d d K (..) Rówaa (..) oszą azwę aoczych rówań Hamltoa dla uładów holoomczych.
13 Aradusz Atcza 3 Ułady o jedym stopu swobody 3. Stope swobody RozwaŜmy cało sztywe (odległość pomędzy poszczególym putam e ulega zmae) zajmujące w pewej chwl względem przyjętego eruchomego uładu odesea Oxyz połoŝee przedstawoe a rysuu Rys. 3. []. PołoŜee to moŝa oreślć podając połoŝee trzech dowolych putów tego cała e aleŝących do jedej prostej. Rys. 3. PołoŜee putów A, B C moŝa oreślć za pomocą współrzędych tych putów w prostoątym uładze współrzędych Oxyz. Współrzęde te ozaczoe jao x A, y A, z A, x B, y B, z B oraz x C, y C, z C muszą spełć zaleŝośc, tóre wyają ze sztywośc cała, tz. odległośc rozwaŝaych putów są stałe, ezaleŝe od połoŝea cała w przestrze: ( x A xb ) + ( ya yb ) + ( z A zb ) r ( x A xc ) + ( ya yc ) + ( z A zc ) r ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) r B C gdze r AB, AC B C B C r, r ozaczają długośc odców AB, AC, BC. BC AB AC BC (3..) W zwązu z tym, Ŝe dzewęć współrzędych oreślających poło- Ŝee putów A, B C mus spełać trzy rówaa (3..), dlatego tyl- 5
14 Aradusz Atcza o sześć współrzędych przyjąć moŝa dowole, a trzy pozostałe trzeba wyzaczyć z wyŝej wymeoych rówań. Wya stąd węc, Ŝe dla oreślea w przestrzee dowolego swobodego cała sztywego potrzeba sześć ezaleŝych parametrów. Lczbę tych ezaleŝych parametrów ezbędych dla oreślea chwlowego połoŝea cała w przestrze azywa sę lczbą stop swobody cała. PowyŜsze rozwaŝaa prowadza do wosu, Ŝe aby opsać uład o jedym stopu swobody wystarczy jeda współrzęda ezaleŝa. 3. Prosty oscylator harmoczy Oscylatorem harmoczym azywamy uład dla tórego eergę etyczą moŝa wyrazć za pomocą wzorów p E, V a ( ) c, gdze a c są stałym. Dla taego uładu fucję Hamltoa zapszemy w postac: (3..) p H + c a, (3..) Podstawając fucję Hamltoa (3..) do rówaa (..) otrzymujemy: p &, p& c, (3..3) a Gdy otrzymae rówae podzelmy stroam uzysamy rówae róŝczowe trajetor fazowej. Rozdzelając zmee całując dp ac d p otrzymujemy p ac + C. Dla oscylatora harmoczego trajetore fazowe przyjmują postać elps. Stablym połoŝeem rówowag oscylatora jest począte uładu współrzędych, poewaŝ fucja Hamltoa w tym puce przyjmuje ajmejsza wartość (Rys. 3.) [8]. 6
15 Aradusz Atcza Rys. 3. Z uładu rówań (3..3) wya, Ŝe a & + c 0, (3..4) lub && + 0, c a (3..5) Ruch oscylatora harmoczego opsay jest rówaem róŝczowym lowym drugego rzędu o stałych współczyach. Rówae ruchu (3..5) da sę otrzymać tworząc potecjał etyczy Lagrage a: L & ( a c ) podstawając L do rówaa Lagrage a (..6) (3..6) WyaŜmy, Ŝe uład ja a Rys. 3.3 sładający sę z masy m spręŝyy o stałej c [N/m] jest przyładem oscylatora harmoczego. Rys. 3.3 JeŜel będze wychyleem uładu z połoŝea rówowag to eerga spręŝysta sumulowaa w spręŝye przy tym wychyleu wyese V c, (3..7) 7
16 Aradusz Atcza a eerga etycza E m & (3..8) Pęd uogóloy p m& (3..9) Z wzoru c wyzaczamy podstawamy do wzoru b otrzymujemy: p E (3..0) m Ja wdać uład jest oscylatorem harmoczym, poewaŝ c m są stałe. Wyprowadźmy teraz rówae róŝczowe ruchu dla wahadła matematyczego, tóre jest ajpopularejszym przyładem uładu o jedym stopu swobody (Rys. 3.4). Rys. 3.4 Eerga etycza wyos E & ml (3..) gdze ąt oreślający połoŝee wahadła. Eergę potecjalą uładu przedstawć moŝa jao ( cos ) V mgl (3..) 8
17 Aradusz Atcza Podstawając potecjał etyczy Lagrage a z powyŝszych rówań do..6 otrzymamy & & + mgl s 0 (3..3) PowyŜsze rówae jest rówaem elowym jest słusze dla pełego zaresu wychyleń wahadła. Aby otrzymać jego lowe przyblŝee (rówae obowązujące dla małych drgań), rozwemy fucję V() w szereg: V mgl + + K mgl (3..4) Przeprowadzając poowe przeształcea ( ) zameając wzór (3..) wyraŝeem (3..4) otrzymamy lowe rówae wahadła & & + mgl 0 (3..5) Wyzaczmy teraz rówae róŝczowe ruchu uładu sładającego sę z pręta spręŝystego, sztywo utwerdzoego a jedym ońcu, z masą m o momece bezwładośc J zamocowaą a drugm ońcu (Rys. 3.5) [8]. Masa moŝe wyoywać ruch doooła os pręta (wahadło torsyje). Rys
18 Aradusz Atcza Eerga potecjala zaumulowaa w sręcaym pręce wyese V c, gdze jest ątem obrotu bryły, c stałą zaleŝą od wymarów geometryczych oraz od wymarów pręta wyos GI 0 c, G moduł l spręŝystośc postacowej, I 0 geometryczy beguowy momet bezwładośc poprzeczego ołowego przeroju pręta, l - długość pręta. Bryła zajdująca sę w ruchu posada eergę etycza o wartośc E p J J&. Rówaem róŝczowym ruchu bryły jest węc rówae (3..5) w tórym c J. W poazaych wyŝej przyładach pojawło sę rówae róŝczowe oscylatora harmoczego & & + mgl s 0. Rozwązaem tego rówaa jest ( t ) ( 0) cos( t ) ( 0) & + s( t) (3..7) gdze ( 0) ( 0) w chwl t 0. & to olejo wychylee z połoŝea rówowag prędość Dołade wyprowadzee rówaa (3..7) zaleźć moŝa w [8] str Pozostałe przyłady uładów o jedym stopu swobody Wyzaczmy rówae ruchu drgań swobodych tłumoych oporem ośroda uładu ja a Rys. 3.6 [7], (opór ośroda schematycze ozaczoo tłumem). ZałóŜmy, Ŝe opór jest wprost proporcjoaly do prędośc R &. RozwaŜay uład róŝ sę od omawaych powyŝej, występowaem sły ezachowawczej. Sutem tego jest pojawee sę 0
19 Aradusz Atcza Rys. 3.6 po prawej stroe rówaa Lagrage a II rodzaju sły Q &. Dyamcze róŝczowe rówae ruchu będze postac m & + & + c 0 (3.3.) gdze jest stałą tłumea, c stałą spręŝyy, a m masa
20 Aradusz Atcza 4 Metody umerycze rozwązywaa rówań róŝczowych 4. Metoda Eulera RozwaŜmy przedzał a, b w tórym chcemy zaleźć rozwązae zagadea początowego y f ( t, y) y( a) y0 [3]. Ne zajdujemy fucj róŝczowalej spełającej zagadee początowe. W zama tworzymy zbór putów {( )} t, wyorzystujemy je do przyblŝea (tj. y y( t ) y ). Na początu wyberamy odcęte puów. Aby ułatwć sobe zadae dzelmy przedzał a, b a rówych podprzedzałów b a t a + h, h,, K, gdze h azywamy roem. Teraz otrzymujemy wartośc przyblŝoe ( t, y) w przedzale t0, t, z y( t0 ) y0 (4..) y f (4..) Załadamy, Ŝe y ( t ), y ( t ) y ( t) Taylor a do rozwęca fucj ( t ) są cągłe wyorzystujemy twerdzee y woół putu t t0. Dla aŝdej wartośc t steje wartość c, tóra leŝy pomędzy t 0 t ta Ŝe: y ( t ) y( t ) + y ( t )( t t ) ( c )( t t ) y (4..3) Kedy y ( t ) f ( t y( )) 0 0, t0 h t t0 otrzymujemy wyraŝee dla y ( t ): y ( t ) y( t ) + hf ( t, y( t )) podstawamy do rówaa (4..3), ( c ) y h (4..4) JeŜel h jest dostatecze małe, moŝemy pomąć sład drugego stopa otrzymujemy y ( c ) y h y0 + hf ( t0, y0 ) +, (4..5) co staow przyblŝee Eulera. Proces jest powtarzay tworząc cąg putów, tóre przyblŝają rzywą rozwązaa y y( t ). Ogóly ro dla metody Eulera
21 Aradusz Atcza ( t, y ),,, t + t + h, y + y + hf K (4..6) 4. Metoda Ruge-Kutta Metoda Ruge-Kutta jest jedą z ajczęścej wyorzystywaych umeryczych metod rozwązywaa rówań róŝczowych [3]. Występuje oa w welu odmaach zaleŝych od stopa metody. Najpopularejszą z ch jest metoda Ruge-Kutta 4-go stopa. Staow oa dobry wybór poewaŝ jest dosyć dołada, stabla łatwa do zamplemetowaa. Metoda oparta jest a oblczau y + według schematu: ( f + f + f + f ) h 3 4 y + y + (4..) 6 gdze f, f, f 3 f 4 przyjmują postać f f f f 3 4 f ( t, y ), h h hf t +, y + f, h h hf t +, y + f, hf ( t + h, y + hf ), 3 (4..) gdze h jest roem całowaa. Metoda startuje z waruu początowego ( t,y 0 0 ) Iym przyładem metody RK jest ejawa (uwłaa) metoda IRK (Implct Ruge-Kutta). Metoda IRK -go stopa jest zdefowaa astępująco y y y + y + h s j + h α f s j j β f ( t + γ H, y ), j ( t + γ H, y ) j j j j,0,, Ks, gdze h ro całowaa obejmuje wartośc średe t,,,s, oraz (4..3) α L j t j 0 L ( t ) dt, β L ( t ) j 0 ( t )- weloma Lagrage' a w putach γ 0, K, γ s dt, (4..4) 3
22 Aradusz Atcza 4.3 Błędy metod Aby wyazać edosoałość wyŝej opsaych metod, rozwaŝmy rówae róŝczowe perwszego rzędu [4]: y y t 0y e ( 0) t 0,3 (4.3.) Dołade rozwązae powyŝszego zagadea wyos y e t *. Numerycze rozwązae zostało przeprowadzoe przy uŝycu programu Mathematca [6] wyorzystując omputer lasy PC. Do rozwązaa przedstawoego a Rys.4. wyorzystao trzy metody: automatyczą (program automatycze wybera metodę pomędzy Adams lub BDF ), Eulera Ruge-Kutta, z podwóją precyzją..5.5 auto 0.5 Euler -0.5 RK y Rys 4. Wy przedstawoo róweŝ w tabel poŝej. Ja moŝa zauwaŝyć Ŝada z metod e daje dobrego rozwązaa dla t > 4
23 Aradusz Atcza t Auto Euler RK y*(rozwązae dołade) 0 0,5 0, , , , ,5 0, , , , ,75 0,4746 0,4590 0, , ,3690 0, , ,367879,5 0, ,688 0,8663 0,86505,5 0,3970-3,7847 0,445 0,33,75,3959-9,704 0, , , ,4 0,3349 0,35335,5 306, ,9, ,05399,5 3735, ,94 0,08085, ,6-6,3767x ,7 0, ,756 x ,66 0, Podobe przedstawa sę sytuacja podczas rozwązywaa rówaa wahadła matematyczego (3..3) w postac y y ( t) + 0s( y( t )) ( 0), y( 0) 0 0 (4.3.) Rozwązae zostało przedstawoe w postac wyresów y(t) wyresów przestrze fazowej: Metoda automatycza t 0, t p@td Rys 4. Rys 4.3 5
24 Aradusz Atcza Metoda Eulera t 0, p@td t Rys 4.4 Rys 4.5 Metoda RK t 0, t p@td Rys 4.6 Rys 4.7 Ja wdać a powyŝszych wyresach, Ŝada z metod umeryczych e daje rozwązaa doładego. Dla duŝych t rozwązae rozjeŝdŝa sę od wyu rzeczywstego, tórym ja dla uładów hamltoowsch powa być elpsa. Przy czym ajgorsze rezultaty uzysao przy uŝycu metody Eulera (Rys 4.4 Rys 4.5). RozwaŜmy teraz rówae róŝczowe drugego rzędu [] y y 4s y( 0) y (0) ( t) + 5cos( t ) (4.3.3) Doładym rozwązaem tego rówaa jest fucja ( t ) cos( t ) y* s. 6
25 Aradusz Atcza 6 4 auto Euler ERK - y t Rys 4.8 Na rysuu 4.8 poazao wyresy rozwązaa doładego rezultatów oblczeń umeryczych. MoŜa zaobserwować, Ŝe dla ońcowego przedzału czasu uzysae wy zacze róŝą sę pomędzy sobą e porywają sę z rozwązaem doładym. PowyŜsze przyłady potwerdzają oeczość weryfowaa rezultatów oblczeń, a przyład poprzez powtórzee oblczeń z uŝycem ej metody, poprzez zwęszee precyzj oblczeń lub wyoae oblczeń a ej maszye (omputerze). 7
26 Aradusz Atcza 5 Metody weryfowaa rozwązań 5. Wpływ waruów początowych Numerycze rozwązae rówaa róŝczowego w Ŝade sposób e jest eomyle. Rówae róŝczowe często jest bardzo wraŝlwe a waru początowe, błędy zaorągleń czy teŝ błędy metod. Dlatego trzeba zachować duŝą ostroŝość rozwązując tae rówae. Rozwązae moŝe być oczewae dla małych t, ale często awet dla średch t, uŝywając stadardowych maszyowych precyzj (przewaŝe 6 cyfr, lczba rzeczywsta typu double) są oe ewystarczające do uzysaa marodajego rozwązaa. Dobrym przyładem jest rówae Duffga [5]: y y 3 ( t ) + 0,5y ( t) y( t ) + y( t ) 0,3 cos( t) ( 0), y( 0), t 0, 00, (5..) Isteje wele tucyjych metod sprawdzea czy oblczea są poprawe (przelczee ze zwęszoą precyzją lub a ym omputerze), aczolwe właścwe podejśce do problemu wymaga podstawowego zrozumea ja dzała metoda. Procedury umerycze zazwyczaj przebegają ro za roem, ale w sposób adaptacyjy, starając sę w aŝdym rou spełć pewą tolerację błędu. NDSolve (wbudowaa fucja programu Mathematca ), a przyład, sprawdza tą toleracje dla 6-cyfrowej precyzj w aŝdym rou. Te typ błędu os azwę błędu obcęca. Teraz edy wy z perwszego rou ma doładość do 6 cyfr, edoładość moŝe rosąć edopuszczale przez awet tysące olejych roów. Łatwym sposobem sprawdzea powyŝszego jest zaburzee waruu początowego p.: o (5..) dla t 00: ( 0) y( t ) y -0, ( 0) + 0 y -, Rozwązae rówaa 8
27 Aradusz Atcza PowaŜa ezgodość wsazuje, Ŝe róŝca rzędu 6 0 moŝe prowadzć do radyale róŝych wyów. Wyres przedstawoy a Rys. 5. wsazuje, Ŝe rozwązae jest dobre dla wszystch t do t Rys. 5. Ne załócoe rozwązae jest poazae grubą szarą lą [5] Zaburzee rzędu 6 0 prowadz do rozwązaa y ( 00) 0, Jest ta poewaŝ zaburzee jest pomjale w stosuu do loalego błędu obcęca, węc jest sutecze zguboe. Aby test mał ses, zaburzee mus być tego samego lub węszego stopa co loaly błąd z obcaa. W programe Mathematca moŝemy zmeć loaly błąd algorytmu poprzez zmaę doładośc (AccuracyGoal). Zwęszee doładośc do 0 cyfr, powoduje wydajejsze dzałae algorytmu, co uwdacza sę w zgodośc rozwązań do t 80, ja przedstawa Rys Rys. 5. Zwęszoa doładość prowadz do zgodośc rozwązań do t 80 [5] Podobe zachowuje sę przyład z rozdzału czwartego (4.3.3). Poowe rozwązae tego przyładu dla waruów początowych za- 9
28 Aradusz Atcza łócoych wartoścą rzędu zaobserwować moŝa a wyrese y@td 6 0, prowadz do pogorszea wyów, co 6 4 auto Euler ERK - y t Rys. 5.3 Załócee zmejsza przedzał doładego rozwązaa [5] 5. Precyzja, doładość, sala Mathematca jest w stae zaorąglć lczę rzeczywstą do dowolej lczby zaów [6]. Ogóle, precyzja lczby rzeczywstej to lczba cyfr dzesętych, tóre są tratowae jao zaczące w oblczeach. Doładość to lczba cyfr, tóra pojawa sę a prawo od zau (rop, przeca) dzesętego. Sala, to lczba cyfr zajmująca mejsce z lewej stroy zau dzesętego. Budowę lczby obrazowo prezetuje Rys. 5.3 õúúúúúúúúúúúúúúúú úúúúúúúúúùúúúúúúúúúúúúúúúú úúúúúúúû x x x s Æ.x s+ x s+ x s+a Æ Sala Precyzja Rys. 5.3 Doładość PrzyblŜoa lczba rzeczywsta zawsze ese ze sobą epewość co do jej wartośc, zwązaą z lczbam poza tym zaym. Precyzja ustala 30
29 Aradusz Atcza marę względego rozmaru tej epewośc. Doładość daje marę bezwzględego jej rozmaru. Program Mathematca został ta stworzoy, Ŝe jeŝel pewa lczba x posada epewość ρ, wtedy jej prawdzwa wartość moŝe leŝeć w terwale o rozmarze ρ od x ρ do x + ρ. Gdy lczbę przyblŝamy z doładoścą a to jej epewość jest rzędu a 0, podczas gdy ezerowe przyblŝee lczby z precyzją p, posada epewość zdefowaą jao x p 0. Wya stąd, Ŝe wszele oblczee wyoywae w Mathematc e, dla zadaych precyzj lub doładośc lczb wyoywae są w arytmetyce terwałowej. Zbór terwałów a os lczb rzeczywstych jest zdefoway jao {[ a] [ a a] a, a R a a} IR,, [0]. JeŜel a a wtedy [ ] wtedy [ a ] jest eujemy ([ ] 0 a jest terwałem putowym; jeŝel a 0 a ); jeŝel a a a jest symetryczy. Dwa terwały [ a ] [ b ] są rówe jeŝel Nech [ a ] [ b] IR, o { +,,*,/ } zdefowae [0] jao: [ ] o [ b] { x o y x [ a], y [ b] }, 0 [ b] gdy o / wtedy [ ] a b a b.. Operacje arytmety terwałowej są a (5..) co moŝe być zapsae za pomocą rówowaŝych wzorów (pomjamy o w zapse) [ a ] [ b] [ a + b, a + b], + (5..) [ a] [ b] [ a b, a b], (5..3) a b [ m ab, ab, ab, ab,max ab, ab, ab, ab ], (5..4) [ ][ ] { } { } [ a] [ b] [ a, a][ / b, / b], 0 [ b] /. (5..5) Defcja (5..) wzory ( ) mogą być rozszerzoe a wetory macerze. JeŜel sładowe wetora lub macerzy są terwałam to mamy wetor lub macerz terwałową. Za pomocą symbol ozaczamy zwyczaje zawerae zborów (luzje). Mamy luzje terwałów 3
30 Aradusz Atcza [ a] [ b] a b a b odpowedo [ a ] [ b] a > b a < b (5..6) (5..7) Zdefujmy jeszcze oleje welośc dla terwałów [0] - szeroość w( [ a] ) a a, - put środowy [ a] - moduł [ ] max{, }, (5..8) ( ) ( a a) /, m + (5..9) a a a (5..0) Dzałaa w arytmetyce terwałowej są włącze mootocze. To jest, dla terwałów rzeczywstych [ a ], [ a ], [ b ] [ b ] ta Ŝe, [ a] [ ] [ b] [ b ], [ a] o [ b] [ ] o [ ], { +,,*,/ } a b o (5..) Mmo Ŝe, dodawae moŝee terwałów jest łącze, prawo rozdzelośc a ogół e utrzymuje sę. To jest, łatwo moŝemy aleźć trzy terwały [ a ], [ b ] [ c ] dla tórych [ a ]([ b] [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c ] +. Jaolwe, dla aŝdych trzech terwałów [ a ], [ b ] [ c ], prawo subdystrybucj [ a ]([ b] [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c ] + utrzymuje sę. Poadto, steją szczególe przypad, w tórych prawo rozdzelośc [ a ]([ b] + [ c ]) [ a][ b] + [ a][ c] utrzymuje sę w mocy. Na przyład, dla [ b ][ c ] 0, gdy [ ] a a jest terwałem putowym, lub gdy [ b ] [ c ] są symetrycze. W szczególośc, dla α R, tóre moŝe być terpretowae jao terwał putowy [ α, α ] terwałów [ b ] [ c ], mamy α ([ b] [ c] ) α[ b] + α[ c] Arytmetya duŝych lczb zmeoprzecowych Model arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych w Mathematce ( Sgfcace Arthmetc ) jest odmaą arytmety terwałowej, gdze pojedycza lczba zmeoprzecowa jest wyorzystaa do oreślea błędu [9]. Kedy lczba cyfr zaczących e jest za 3
31 Aradusz Atcza mała, te model dołade odpowada arytmetyce terwałowej, podczas gdy jego wydajość jest węsza. Model te moŝe być uŝyty do sprawdzea uwaruowaa algorytmów dlatego daje dobre wsazaa, le cyfr rozwązaa jest godych zaufaa. Te mechazm posada waŝe zaczee, szczególe w doładym oreśleu rozchodzea sę błędu zaorąglea w oblczeach umeryczych. Model uŝyty dla arytmety duŝych lczb zmeoprzecowych jest astępujący Precyzja[x] Sala[x] + Doładość[x] Ja juŝ wspomao w poprzedm podrozdzale, aŝda duŝa lczba zmeoprzecowa w rzeczywstośc jest pseudo-terwałem z błędem a 0, gdze a to Doładość. W te sposób doładość jest ujemą wartoścą rozmaru błędu. Doładość Precyzja reprezetują bezwzględą względą salę błędu. Błąd bezwzględy to log err, a błąd względy err log x. Od edy doładość precyzja są właścwe całem w struturze duŝych lczb, sala moŝe być od razu stwerdzoa jao róŝca obydwu welośc. Wartość precyzj jaej moŝemy sę spodzewać w wyu, róŝ sę dla aŝdej fucj. Netóre fucje mogą podeść wartość precyzj. Sposób w ja błąd sę propaguje, moŝe być zlustroway za pomocą lorazu róŝczowego, tóry moŝemy zapsać jao [9] ( z ) f ( z ) z f (5.3.) gdze reprezetuje operator róŝcowy. Iloraz róŝczowy jest lową aprosymacją szacującą warację fucj. Jao przyład, fucja błędu Erf potraf dać wy, tóry jest bardzej precyzyjy Ŝ wartość wejścowa z N[0,0] Erf[z]
32 Aradusz Atcza Sala błędu wyos 9. Główym celem Sgfcace Arthmetc jest prawdłowe oszacowae lczby poprawych cyfr w wyu. Te model arytmety dzała poprawe dbając jedocześe, aby długość przedzału reprezetującego błąd była stosuowo mejsza do rozmaru reprezetowaej lczby. W tym paragrafe przedstawoo ogóly zarys arytmety w Mathematce, ze względu a jej duŝą złoŝoość. Węcej formacj a temat SgfcaceArthmetc moŝa zaleźć w [6] oraz w [9]. 34
33 Aradusz Atcza 6 Metoda oloacj Metoda oloacj jest zaa od bardzo dawa, a jej schemat wygląda astępująco [4]. RozwaŜmy zagadee początowe (6.) '( t ) f ( t, y( t) ) ( ), y y t 0 y 0, m m [ t b] R R f : 0, (6.) Dla ułatwea opsu metody załadamy, Ŝe m. Wartość jest dobraa ta, aby wartośc t0, t,,t- zalazły sę w dzedze całowaa. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe perwszy put zajduje sę a początu przedzału czasowego, ale t- e oecze zajduje sę a jego ońcu. W zwązu z powyŝszym przyblŝoe rozwązae y(t) jest oblczae jao weloma P ( t ) spełający (6.) w aŝdym puce t0, t,,t-. To jest ( t ) f ( t, P ( t )) ( ), P P t 0 y 0, 0,, K, JeŜel weloma P ( t ) jest zdefoway jao: (6.) P t) a t + a t + K + a t + a, (6.3) ( 0 Wtedy jego współczy są oblczae jao uład + rówań (6.). Uład te jest lowy lub elowy w zaleŝośc od tego czy fucja ( t y( t )) f, jest lowa lub elowa. UŜywając poŝszych ozaczeń: U t t t 0 M ( ) ( ) ( a a, a ) T 0,, M t t 0 ( ) t K t K K t t M 0 A K, uład (6.) moŝa zapsać jao: U A P 0 ( t ) f y, 0 f ( t, P ( t )) o ( t, P ( t )) M o M (6.4) (6.5) Rozwązae uładu (6.5) daje współczy a przyblŝaego welomau. Drug elemet uładu wymaga wylczeń fucj f ( t, y) 35
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA NR 3. loga. i nosi nazwę entropii informacyjnej źródła informacji. p. oznacza, Ŝe to co po im występuje naleŝy sumować biorąc za i
ZAJĘCIA NR Dzsaj omówmy o etro, redudacj, średej długośc słowa odowego o algorytme Huffmaa zajdowaa odu otymalego (od ewym względam; aby dowedzeć sę jam doczeaj do ońca). etro JeŜel źródło moŝe adawać
Bardziej szczegółowoi = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI
Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz
Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle
Bardziej szczegółowoSPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI
SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowoAnaliza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI
Bardziej szczegółowoBajki kombinatoryczne
Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoINSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14)
INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY Załad Teletrasmsj Tech Optyczych (Z-4) Aalza badaa efetów zachodzących w śwatłowodowym medum trasmsyjym degradujących jaość trasmsj w systemach DWDM o dużej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoElementy arytmetyki komputerowej
Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoModele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoReprezentacja krzywych...
Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa Wzory
tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:
Bardziej szczegółowoMetoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1
Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoR j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.
c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoMh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Bardziej szczegółowoT. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem.
. Hofma Wyłady z ermodyam techczej chemczej Wydzał Chemczy PW erue: echologa chemcza sem.3 215/216 WYKŁAD 3-4. D. Blase reatorów chemczych E. II zasada termodyam F. Kosewecje zasad termodyam D. BILANE
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
Bardziej szczegółowoFINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.
ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
WYKŁAD 3 DYNAIKA UKŁADU PUNKTÓW ATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW ATERIALNYCH zbór skończoej lczby puktów materalych o zadaej kofguracj przestrzeej. Obłok Oorta Pas Kupera Pluto Neptu Ura Satur Jowsz Plaetody
Bardziej szczegółowodev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?
Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoTeoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoTyp może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest
Bardziej szczegółowoKier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboratorum Ćw. Analza statystyczna grafczna danych pomarowych. Wprowadzene MATLAB dysponuje weloma funcjam umożlwającym przeprowadzene analzy statystycznej pomarów, czy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowo11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:
//4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoPomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowo