Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji 1 Cel ćwiczeia rachkweg Pdczas ćwiczeia prszae będą astępjące zagadieia: liearzacja rówań pisjącch zachwaie się ieliiweg eleet atatczej reglacji; wzaczeie charakterstki statczej kład atatczej reglacji. Cele ćwiczeia jest zdbcie iejętści praktczej realizacji pwższch zagadień. Wagaia wstępe Przed rzpczęcie ćwiczeń stdet zbwiąza jest d zapzaia się z treścią iiejszej istrkcji. W szczególści istte jest psiadaie wiedz teretczej z zakres prszaeg pdczas ćwiczeia rachkweg. Padt stdet zbwiąza jest prześledzić ze zrzieie wszstkie zaieszcze przkład ab wiedzieć w jaki spsób rzpcząć rzwiązwaie zadań pdczas ćwiczeń. W przpadk psiadaia wątpliwści p zapzai się z treścią istrkcji w cel ich wjaśieia zaleca się ksltacje się z prwadząc przed terie ćwiczeń rachkwch. 3 Wiadści góle Ab dkać aaliz eleetów i kładów atatki ależ je scharakterzwać za pcą dstępch etd pisw aalitczie graiczie itp. W t cel ależ pisać zjawiska izcze zachdzące w aalizwa kładzie raz jeg właściwści. Jedak zazwczaj kład rzeczwiste są bardz złże i kreśleie góle wszstkich właściwści że bć trde lb awet ieżliwe. W taki przpadk ależ pczić różeg rdzaj załżeia praszczające czli ależ stalić które eleet kład jakie zjawiska i paraetr raz jakie ich zakres są istte z pkt widzeia sterwaia. Opracwa w te spsób pis zachwaia się pjedczch eleetów lb całch kładów atatki azwa dele ateatcz eleet lb kład atatki. Mdele te gą bć przedstawie za pcą: rówań lb kładów rówań algebraiczch różiczkwch różicwch całkwch itp.; trasitacji peratrwej i widwej; del kład w przestrzei staów; charakterstk czaswch i częsttliwściwch; charakterstk statczch i daiczch. Charakterstką statczą kład azwa zależść sgał wjściweg w kcji sgał wejściweg w staie stal tz. gd pchde ziech (współrzędch kład względe czas są rówe zer (p zaikięci prces przejściweg dla t. Liearzjąc kład złże ależ rzpatrzć charakterstki statcze pszczególch eleetów kład. Liearzacja jest prcese twrzeia del liiweg któr aprkswałb del ieliiw. Tak więc liearzacja plega a zaleziei takich Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji rówań liiwch które z pew przbliżeie pisją własści aalizwaeg kład dla iewielkich zia sgałów wkół ich wartści stalej. Pdczas ćwiczeń ówie zstaą dwie etd liearzacji: 1. liearzacja statcza która dtcz kładów atatki pisach ieliiwi rówaiai algebraiczi;. liearzacja daicza dtcząca kładów atatki pisach ieliiwi rówaiai różiczkwi. 4 Wkrzstaie szereg Talra w prcesie liearzacji Niech kład izcz sgale wejściw i sgale wjściw będzie pisa rówaie różiczkw ieliiw pstaci:...... (1 gdzie: ( d ( d d dt ( dt dt ( ( d ( dt Jeśli przjie pkt prac a charakterstkach: D (... (... ( Rzwiięcie kcji w szereg Talra w tczei pkt prac a pstać: ( (.................. R ( gdzie: itd. - pchde cząstkwe w pkcie rówwagi; itd. - przrst sgałów i ich pchdch względe czas licze w diesiei d pkt rówwagi zaczeg wie przez : R reszta ieliiwa rówa sie wrazów szereg Talra zawierającch pchde cząstkwe rzęd drgieg. Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 3
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 4 Gd rzważ zachwaie się eleet prz iewielki dchlei d płżeia rówwagi t przrst sgałów i ich pchdch są iewielkie dlateg w przbliżei ża piąć wraz zawierające ilcz przrstów raz te przrst w ptęgach drgiej i wższej a zate ża przjąć że R =. ( (........................ (3 W te spsób trzaliś zliearzwaą pstać ieliiwej kcji w tczei daiczeg pkt prac D. Szczegól przpadkie liearzacji daiczej jest liearzacja statcza (a charakterstce statczej. Liearzacji dkje przez aalgicze rzwiięcie kcji w szereg Talra wkół statczeg pkt prac S....... ( ( ( S.................. (4 5 Liearzacja statcza Niech daa będzie zależść =(. Graicz braz tej zależści przedstawia rs.1. Prces liearzacja plega a: przeiesiei kład współrzędch d pkt prac; zastąpiei sgałów w pisie ateatcz dchleiai tch wartści w pkcie prac; zastąpiei krzwej reprezetjącej zależść =( stczą d iej w pkcie prac. W przpadk kilk sgałów wejściwch a przkład =( 1 wted: 1 1 1 1 1 (5
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Aalgiczie gd =( 1 wted:...... 1 1 1... (6 1 1 Rs.1. Liearzacja statcza kcji 5.1 Przkład 1. Charakterstkę eleet piswaeg kcją Y=X przedstawia rs.. Zakładając że zakres zieści sgałów wkół pkt prac X i Y i jest ał rówaie ieliiwe zastępje się przbliż rówaie liiw zskjąc za ceę wprwadzeia przbliżeg pis ateatczeg żliwść zastswaia terii kładów liiwch. Rs.. Liearzacja kcji Y=X Jak pkaza a rs. wbiera pkt prac (X i Y i i rsje stczą d krzwej w t pkcie. Rzpatrjąc te pkt trza: Y Y Y (7 i Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 5 i
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji dy - achleie w pkcie (Xi Y i (8 dx i stąd: zate: X X dy d i (9 dx dx i i Y Y X (1 i i Częst przeswa pczątek kład współrzędch d pkt prac (płżeia rówwagi kreśleg przez współrzęde (X i Y i. 6 Liearzacja daicza Jedą z etd sprwadzaia rówań ieliiwch d pstaci rówań liiwch jest etda liearzacji daiczej która plega a zapisai rówaia ieliiweg kład szeregie Talra w tczei pkt prac. Pkte t jest sta stal (rówwagi. Prz załżei że dchleie d pkt prac jest iewielkie ża w szereg Talra piąć część ieliiwą (wraz w którch wstępją wższe pchde jak dstateczie ałą. Otrzae rówaie jest rówaie liiw które pisje daikę kład w pkcie prac raz w jeg iewielki tczei pieważ ieliiwe charakterstki statcze zastąpiliś stczi d ich w pktach prac. Częst charakterstki statcze wstępją w pstaci rdzi charakterstk wted gd charakterstka jest kcją wiel ziech p. et brtw silika elektrczeg jest kcją dwóch pdstawwch wielkści a iawicie apięcia sterjąceg pracą silika raz jeg prędkści brtwej M=(U. Liearzjąc kład złże ależ rzpatrzć charakterstki statcze pszczególch eleetów kład. M M(U U 6 U 3 U 4 U 5 U 1 U Rs.3. Rdzia charakterstk statczch dwazweg silika elektrczeg M(U. Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 6
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Jeżeli kład jest stacjar t w pkcie prac dpwiadając pktwi rówwagi pchde cząstkwe wstępjące w rówai ( są stałe: a b a 1 b1...... a b Wówczas rówaie ( przjje pstać: a a1... a b b... b R 1 (11 6.1 Przkład. Opisać daikę kład asa tłik - spręża przedstawi a rs.4. Na rsk t przedstawi rówież charakterstki statcze sił bezwładści tłika i spręż. Sgałe wejściw jest siła (t a sgałe wjściw płżeie as (t. (t b c c b (t Δ Δ b Δ Δ c Rs.4. Układ asa tłik spręża i jeg charakterstki statcze. Opis kład a pdstawie zasad d Alaberta a pstać: gdzie: siła bezwładści; b siła wtwrza przez tłik; c siła spręż. t (1 b c Rzpatrjąc charakterstki statcze kład że zapisać że kcja jest ieliiwą zależścią (ieliiw rówaie różiczkw drgieg rzęd: b c t (13 Rówaie (13 jest gólą pstacią rówaia (1. W cel przeprwadzeia liearzacji tej kcji przjje pkt prac współrzędch: = (t = tj. sta stal w kładzie ( gdzie płżeie as wika z działaia sił (w staie stal rówaie (1 a pstać c =. Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 7
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Rzwijając ieliiwą kcję w szereg Talra w tczei przjęteg pkt prac ( trza: (14 1 1 1!!! R gdzie: - pchde cząstkwe w pkcie prac; - dchleia sgałów d pkt prac; R ieliiwa część rzwiięcia kcji w szereg Talra. Z rówaia (13 wika że lewa stra rówaia (14 jest rówa zer. Pijając ieliiwą część szereg Talra R jak dstateczie ałą trza rówaie różiczkwe liiwe pstaci: (15 Pdae wżej rzważaia ża łatw gólić a przpadek kład dwlej liczbie wejść i pisaeg rówaie dwleg rzęd. W t przpadk bliczając pchde cząstkwe pprzez różiczkwaie rówaia (1 raz wkreślając stcze w pkcie prac d charakterstk statczch (rs.4 trza: d d db b d dc c d d d 1 b c (16 gdzie: asa kład w t przpadk jest a stała i dlateg charakterstka ( jest liia prstą; b współczik tłieia tłika w pkcie =; c współczik spręż w pkcie =. Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 8
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji W rówaiach (16 pchde cząstkwe zastąpiliś pchdi d d pieważ kcje i (t są kcjai jedej zieej. b c Wprwadzając pwższe zaczeia trza zliearzwae rówaia różiczkwe pisjące daikę kład asa tłik spręża w pstaci: d d gdzie: i dchleia ziech i d pkt prac. b c (17 dt dt W awia przkładzie liearzację ża przeprwadzić prściej liearzjąc klej wraz rówaia (1 t zacz kcje. Rzpisjąc pwższe b c kcje w szereg Talra i pijając ieliiwą część teg szereg trza bezpśredi: d d d dt db d b b d dt dc c c d d t d (18 Pdstawiając rówaie (18 d rówaia (1 trza rówaie zliearzwae pstaci: d d b c (19 dt dt czli taką saą pstać jak w pprzedi awiaej etdzie (rówaie 17. 6. Przkład 3. Jak przkład a liearzację kład ieliiweg iech psłż zbirik w wpłwe swbd ciecz. Scheat piswaeg eleet pkaza a rs.3.3 gdzie sgałai wejściwi są: Q 1 atężeie dpłw ciecz d zbirika raz pwierzchia przepłw przez zawór sgałe wjściw jest h pzi ciecz w zbirik. W staach iestalch zia pzi ciecz w zbirik ża pisać za pcą rówaia: Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 9
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji dh A Q Q gdzie: A pwierzchia przekrj pprzeczeg zbirika; 1 dt ( Rówaie t ówi że ziaa ilści ciecz w zbirik jest rówa różic atężeia dpłw Q 1 i atężeia wpłw Q ciecz ze zbirika. Q 1 A 1 1 h Q Rs.5. Zbirik z wpłwe swbd ciecz. Jeśli rzpatrz rówaie Berlieg dla przekrjów 1-1 i -: V1 p1 V p h g g (1 przjjąc prędkść V 1 = raz p 1 = p (ciśieie atsercze trza: pieważ: V gh ( Wstawiając rówaie (3 d rówaia ( trza; Q V gh (3 dh A Q gh 1 dt (4 Rówaie (4 kreślające zachwaie awiaeg kład jest rówaie różiczkw ieliiw które ależ zliearzwać. Przjij współrzęde pkt prac h Q 1 w tczei któreg przeprwadzi liearzację. Współrzęde pkt prac wikają z rówaia kreślająceg sta stal w kładzie. Sta stal w t przpadk jest kreśl stałścią pzi ciecz w zbirik dh/dt=. Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 1
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Stąd z rówaia (4 wika że rówaie pisjące sta stal a pstać: Q1 gh (5 Z wagań stawiach prjektwai kład pdae będzie p. że pzi ciecz w zbirik wsi h a atężeie dpłw ciecz d zbirika wsi Q 1. Z rówaia (5 że kreślić pwierzchię przepłw przez zawór : Q 1 (6 Przeprwadzając liearzację rówaia (4 wkół pkt prac zastępje rzeczwiste wielkści wstępjące w rówai ich przrstai stąd trza: gh dh A Q1 Q (7 dt W rówai t ieliiwść krta jest w Q wbec czeg wstarcz zliearzwać tlk tę część rówaia. Ab zliearzwać kład rzpisze ieliiwą kcję kreślającą atężeie wpłw ciecz Q =Q (h w szereg Talra: Q Q 1 Q 1 Q Q h h h... h hh hh! h! h R (8 gdzie: R ieliiwa część szereg Talra że bć piięta ile jest dstateczie ała. Przjjąc: Q h a Q a 1 hh hh (9 i wstawiając rówaie (8 i (9 d rówaia (7 trza zliearzwae rówaie pisjące zachwaie kład: dh A a1 h Q1 a (3 dt W rówai ależ wzaczć wartści współczików a 1 a które ża przeprwadzić dwa etdai: 1. Pieważ za rówaie kreślające kcję Q = Q ( h że pliczć bezpśredi wartści tch współczików bliczając wartści dpwiedich pchdch cząstkwch w pkcie prac: Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 11
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Q a1 h a Q hh hh g h gh (31. Gdb kcja Q = Q ( h ie błab zaa t ależ przeprwadzić dpwiedie piar ające a cel kreśleie zależści Q d raz h. Przkładwe wiki piarów przedstawie są a rs.6 i rs.7. P zliearzwai tz. zastąpiei dpwiedich krzwch a rs.6 i rs.7 stczi d ich w pkcie prac raz kreślei ich achleia trza: Q a1 h hh Q h a Q hh Q Rs.6. Charakterstka statcza zawr Q =Q (h. Rs.7. Charakterstka statcza zawr Q =Q (. Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 1
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji 6.3 Przkład 4. Wzaczć zliearzwae rówaie pisjące zachwaie dwazweg silika elektrczeg iebciążeg ete zewętrz ecie bezwładści wirika rów I. Rdzia charakterstk statczch teg silika pdaa jest a rs.8. Rs.8. Charakterstki statcze silika dwazweg. Rówaie pisjące zachwaie się takieg silika wika z prawa d Aleberta: I M U (3 gdzie: M et brtw silika; U - apięcie zasilające będące wielkścią wejściwą; prędkść brtwa silika będąca wielkścią wejściwą; Rówaie (3 jest rówaie różiczkw ieliiw (ieliiwe charakterstki statcze rs.8 które ależ zliearzwać. Przjje pkt prac A współrzędch i U pieważ w rówai (3 ieliiwa jest kcja M(U rzpisje ją w szereg Talra: M M M ( U U R U U U U U (33 Przechdząc a przrst wielkści d pkt prac i przjjąc że R ieliiwa część szereg Talra jest rówa zer trza zliearzwae rówaie pisjące zachwaie awiaeg silika dwazweg w pstaci: M M I U U U U U U (34 Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 13
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Odpwiedi prządkjąc rówaie (4 trza: M M I U U U U U U (35 a dzieląc strai przez M UU trza: T k U (36 I gdzie: T ; M M k U M Wartść pchdch cząstkwch wstępjącch we wzrze (33 kreśla z charakterstk statczch silika rs.8. Np. przjjąc pkt prac = 8 V = 5 rad/s raz I = 1-6 Ns trza: M M UU UU 3 MU 61 15 1 U 4 3 M 1 1 41 U 3 NV 4 1 6 Ns Stąd: 6 4 1 15 1 T 5 s; k 375V s 6 6 41 41 1 1 Pdstawiając blicze wartści d rówaia (34 trza stateczą pstać zliearzwaeg rówaia pisjąceg awia kład: d 5 375 U dt 6.4 Przkład 5. Da jest bwód elektrcz (rezstr + cewka z rdzeie przedstawi a rs.9. L R d i(t (t Y R Rs.8. Scheat bwd elektrczeg. Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 14
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Strień agetcz dławika wsi: Rówaie kład ża zapisać: Pdstawiając za Y(t trza: k i(t di(t dψ(t Rówaie (38 zapisze w gólej pstaci: dt dt Ψ(t = k i(t k=cst + (R d + Ri(t = (t (37 + (R d + Ri(t = (t (38 [i(t i (t (t] = (39 Przjje pkt stalej prac prz apięci i prądzie i. Następie zajdje pchde cząstkwe względe czas w pkcie prac: ( i = (R + R d k(i 4 i 3 = R + R d b (i = ( = k i i raz ( = 1 Rzwijając lewą strę rówaia (39 w szereg Talra w tczei pkt prac stalej = i i=i trzje p piięci reszt ieliiwej: ( i i + ( i + ( = i (4 P pdstawiei pchdch cząstkwch w pkcie prac trza: (R + R d i + k Przjjąc i=i raz = zskje: k i i = (41 i i + (R + R d i = (4 6.5 Przkład 6. Dkać liearzacji rówaia różiczkweg (43 w pkcie prac = 5 d /dt=1 d /dt =4. 3 d3 dt 3 + 4 ( d dt d dt + 3 (d dt + d dt = 3 d dt + (43 Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 15
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Rzwija kcję p lewej strie rówaia (43 w szereg Talra raz pijając ieliiwą część teg rzwiięcia trzje rówaie: ( + ( = ( + ( + ( = Obliczając pchde cząstkwe w pkcie prac trzje: + ( (44 ( = 8 + 3 = 8 5 1 4 + 3 (4 = 8 ( = 8 + 1 = 8 (5 1 4 + 1 = 18 ( = 4 + 6 = 4 (5 1 + 6 5 4 = ( = 1 ( = 1 ( = 3 Pdstawiając pwższe zależści d rówaia (44 trzje zliearzwae rówaie (43 w przjęt pkcie prac: 8 + 18 + + 3 = + 3 (45 6.6 Przkład 7. Rówaie (46 pisje pewie kład z jed wejście i jed wjście. Należ przeprwadzić liearzację teg rówaia wkół pkt prac współrzędej =1. 1 (46 Pwższe rówaie stawi kcję dwóch ziech ( spełiającą zależść: ( 1 (47 Pkt prac jest więc kreśl przez dwie współrzęde. Pdstawiając współrzędą =1 d rówaia (46 trzje: 1 (48 Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 16
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Pdstaw atatki ZAiUL WML WAT 17 P bliczei drgiej współrzędej pkt prac ża przstąpić d liearzacji tz. zastąpieia krzwej pisaej rówaie (46 stczą d iej w pkcie prac (. W t cel rzwija się kcję ( w szereg Talra wkół pkt ( i pija wraz ieliiwe teg rzwiięcia: ( ( Pieważ pkt ( spełia rówaie (47 więc ( =. Stąd pwższe rówaie przjje pstać: ( P wzaczei pchdch cząstkwch w pkcie prac ( raz ziaie ziech =- i =- c dpwiada przesięci kład współrzędch d pkt prac zskje się zliearzwae rówaie wiążące przrst ziech i słsze w iewielki tczei pkt ( : 5 7 Literatra 1. Zbigiew WAŁACH Cberetka techicza. Część I Eksplatacja sprzęt Wdział Wdawicz WAT Warszawa 1983. Jasz KOWAL Pdstaw atatki T1 Uczeliae Wdawictwa Nakw- Ddaktcze AGH Kraków 4. 3. Michał BOGACKI Maciej CHOROWSKI Ewa ŚLIIRSKA Zbiór zadań z pdstaw atatki Wdawictw Plitechiki Wrcławskiej Wrcław 1988.