Analiza matematyczna ISIM I

Aliz mtemtycz ISIM I Ryszrd Szwrc Spis treści Ciągi liczbowe. Zbieżość ciągów......................... 3. Liczb e.............................. 0 Szeregi liczbowe 3. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej......... Możeie Cuchy ego szeregów.................. 4 3 Fukcje i grice 6 3. Wż gric........................... 8 3. Grice jedostroe....................... 9 3.3 Grice iewłściwe i grice w puktch iewłściwych... 30 3.4 Dziłi gricch...................... 3 3.5 Fukcje ciągłe........................... 3 3.6 Ścisłe wprowdzeie fukcji wykłdiczej............ 39 4 Ciągi i szeregi fukcyje 4 5 Pochode 5 5. Zpis Leibiz........................... 57 5. Mxim i miim......................... 60 5.3 Metod zjdowi wrtości jwiększej i jmiejszej fukcji ciągłej przedzile [, b]................... 6 5.4 Wyższe pochode......................... 64 Wykłd prowdzoy w semestrze zimowym 03/04 podstwie ottek Mgdley Świczewskiej z 005-006, oprcowy podstwie ottek Mteusz Wsylkiewicz

Aliz mtemtycz ISIM I 5.5 Różiczkowie iejwe..................... 65 5.6 Relted rtes........................... 67 5.7 Aproksymcj z pomocą styczej................ 68 5.8 Reguł de l Hospitl....................... 68 5.9 Pochod ciągu i szeregu fukcyjego.............. 7 5.0 Wzory Tylor i McLuri................... 77 6 Cłk Riem 86 6. Zsdicze twierdzeie rchuku różiczkowego i cłkowego. 98 6. Wzory Wllis i Stirlig..................... 06 6.3 Cłk ieozczo........................ 0 6.4 Cłkowie fukcji wymierych................. 3 6.5 Podstwieie wykłdicze i trygoometrycze......... 7 6.6 Zstosowie cłek ozczoych do obliczi wielkości fizyczych................................ 0 6.7 Przybliżoe obliczie cłek................... 3 7 Twierdzeie Weierstrss i wielomiy Berstei 35 Ciągi liczbowe Będziemy rozwżli ciągi złożoe z liczb rzeczywistych. Liczby rzeczywiste R mją włsość ciągłości, z której wielokrotie będziemy korzystć. Podzbiór A R zywmy ogriczoym z góry jeśli x dl pewej liczby orz dl wszystkich liczb x z A. Njmiejszą liczbę ogriczjącą zbiór A z góry zywmy kresem górym (supremum) i ozczmy symbolem sup A. Podobie określmy kres doly (ifimum) i ozczmy przez if A. Włsość ciągłości liczb rzeczywstych ozcz, że kżdy ogriczoy podzbiór A R posid kresy doly i góry. Przykłd. Zbiór liczb wymierych Q ie m włsości ciągłości. Rozwżmy A = {x Q : x < } = {x Q : < x < }. Defiicj.. Ciągiem { } zywmy odwzorowie liczb turlych w liczby rzeczywiste. Liczby,, 3,... zywmy wyrzmi ciągu. Przykłdy.

Ciągi liczbowe 3 (),, 3, 4, 5,.... (b), 4, 6, 8, 0,.... (c) = 5 + 3, b = +. (d) =, + = ( + ). (e), 3, 5, 7,,..., - ciąg liczb pierwszych. Ciąg { } zywmy rosącym (ściśle rosącym) jeśli + ( < + ) dl wszystkich. Podobie określmy ciągi mlejące i ściśle mlejące. Przykłd. Ciąg z przykłdu (d) jest ściśle mlejący. Rzeczywiście, pokżemy jpierw, że > dl wszystkich. Mmy = >. Dlej + = ( + ) = + = ( ). Jeśli >, to + >. Dlej + = ( + ) = ( ) < 0, bo >.. Zbieżość ciągów Przykłdy. () Wyrzy ciągu = zbliżją się do zer, gdy rośie. (b) Dl b = ( ) + wyrzy o umerch przystych zbliżją się do, te o umerch ieprzystych do. Defiicj. (ituicyj). Mówimy, że ciąg jest zbieży do liczby g jeśli wyrzy ciągu leżą corz bliżej liczby g dl dużych wskźików. Tz. jeśli chcemy, by liczb zlzł się odpowiedio blisko g, to wskźik powiie być odpowiedio duży. Stosujemy zpis lim = g.

4 Aliz mtemtycz ISIM I Defiicj.3 (ścisł). Dl dowolej liczby ε > 0 (któr określ, jk blisko gricy mją zjdowć się wyrzy ciągu) istieje liczb N (próg określjący jk duży powiie być wskźik ciągu) tk, że dl > N mmy g < ε. Ostti wruek ozcz, że dl > N wyrzy ciągu leżą w przedzile (g ε, g +ε), tz. w przedzile tym leżą prwie wszystkie wyrzy ciągu { }. Przykłdy. () = =. Mmy =. Widć, że ciąg jest zbieży do podstwie ituicyjej defiicji. Przećwiczymy ścisłą defiicję. Ustlmy liczbę ε > 0. Niech N = [ ] ε. Wtedy dl > N otrzymmy >. Ztem < ε. ε (b) = ( ). Jeśli dąży do g, to wyrzy o dużych umerch powiy leżeć blisko siebie. Ale + =. Twierdzeie.4. Zbieży ciąg posid tylko jedą gricę. Dowód. Złóżmy ie wprost, że lim = g, lim = g, orz g < g. Określmy ε = (g g)/. Przedziły (g ε, g + ε) orz (g ε, g + ε) są wtedy rozłącze. Nie jest możliwe więc, by prwie wszystkie wyrzy leżły zrówo w pierwszym jk i drugim przedzile. Twierdzeie.5. Kżdy ciąg mootoiczy (rosący lub mlejący) i ogriczoy jest zbieży. Dowód. Złóżmy, że jest rosący orz iech g = sup. Pokżemy, że liczb g jest gricą ciągu. Ustlmy liczbę ε > 0. Liczb g ε ie ogricz ciągu od góry. Tz. N > g ε dl pewego wskźik N. Wtedy dl > N mmy g ε < N g < g + ε. Twierdzeie.6. Złóżmy, że lim = g orz lim b = h. Wtedy ciągi po lewej stroie wzorów poiżej są zbieże orz: () lim ( + b ) = lim + lim b. (b) lim ( b ) = lim lim b.

Ciągi liczbowe 5 (c) lim = lim, o ile lim b lim b b 0. Dowód. Udowodimy tylko (c). Zcziemy od wersji lim b = lim b. Ozczmy ε = h /. Z złożei istieje próg N tki, że dl > N mmy b h < h /. Stąd b > h /. Dl > N otrzymujemy ztem b h = b h h b Ustlmy ε > 0. Istieje próg N tki, że dl > N mmy < b h h. (.) b h < h ε. (.) Niech > mx(n, N). Wtedy z (.) i (.) uzyskmy Z (b) mmy wtedy b h < ε. lim = lim = lim lim = lim. b b b lim b Uwg: Przy dowodzie (b) moż skorzystć ze wzoru b gh = ( g)(b h) + ( g)h + g(b h). Wiosek.7. Jeśli lim = g, to lim c = c g. Twierdzeie.8. Jeśli ciągi i b są zbieże, to () lim = lim. (b) Jeśli 0, to lim 0.

6 Aliz mtemtycz ISIM I (c) Jeśli b, to lim lim b. (d) (twierdzeie o trzech ciągch) Jeśli c b orz lim = lim b, to ciąg c jest zbieży orz lim c = lim. Dowód. () Ozczmy lim = g. Wtedy tez wyik tychmist z ierówości g g. (d) Z złożei mmy Dlej 0 c b. (.3) lim (b ) = lim b + lim ( ) = lim b lim = 0. Ustlmy liczbę ε > 0. Istieje próg N tki, że dl > N mmy 0 b < ε. Wtedy z (.3) 0 c < ε, dl > N. Stąd lim (c ) = 0. Ciąg c jest zbieży jko sum ciągów c orz. Podto lim c = lim. Defiicj.9. Dl ciągu { } i ściśle rosącego cigu liczb turlych m ciąg { m } zywmy podcigiem. Przykłdy.,!, p, gdzie p jest -tą liczb pierwszą. Dl rosącego ciągu m liczb turlych mmy m. Twierdzeie.0. Podciąg ciągu zbieżego jest zbieży do tej smej liczby co peły ciąg. Dowód. Ozczmy g = lim. Dl liczby ε > 0 rozwżmy przedził (g ε, g + ε). Z złożei prwie wszystkie wyrzy ciągu zjdują się w tym przedzile. Tym brdziej prwie wszystkie wyrzy podciągu m tm się zjdują. Uwg. Prwdziwe jest twierdzeie odwrote: jeśli kżdy podciąg ciągu zwier podciąg zbieży do liczby g, to cły ciąg jest zbieży do g.

Ciągi liczbowe 7 Twierdzeie. (Bolzo, Weierstrss). Kżdy ciąg ogriczoy zwier podciąg zbieży. Dowód. Złóżmy, że wyrzy ciągu c zjdują się w przedzile [, b ]. Będziemy kostruowć podciąg d ciągu c. Niech d := c. Przyjmiej jede z przedziłow [, ( +b )/], [( +b )/, b ] zwier ieskończeie wyrzów ciągu c. Ozczmy te przedził przez [, b ]. Niech m ozcz jmiejszy wskźik, większy iż, dl którego c m =: d leży w [, b ]. Dlej jede z przedziłów [, ( +b )/], [( +b )/, b ] zwier ieskończeie wyrzów ciągu c. Końce tego przedziłu ozczmy przez 3 i b 3. Podobie jk wcześiej wybiermy jmiejszy wskźik m 3 > m, dl którego c m3 =: d 3 leży w [ 3, b 3 ]. Postępując tk dlej otrzymmy ieskończoy ciąg przedziłów [, b ] orz podciąg d := c m o włsościch Mmy d [, b ] [, b ], b = (b ). b b b. Ciąg jest rosący i ogriczoy, tomist ciąg b jest mlejący i też ogriczoy. Ztem ciągi te są zbieże. Z rówości b = (b ) wyik lim (b ) = 0. Ztem lim b = lim. Poiewż d b, to z twierdzei o trzech ciągch otrzymujemy, że ciąg d jest zbieży. Czsmi chcemy rozpozć, czy dy ciąg jest zbieży, le ie potrfimy wskzć gricy. Wtedy możemy użyć wruku Cuchy ego. Defiicj.. Mówimy, że ciąg spełi wruek Cuchy ego jeśli dl dużych wskźików wyrzy ciągu leżą blisko siebie. Ściśle: dl dowolej liczby ε > 0 istieje próg N tki, że dl m, > N mmy m < ε. Przykłdy. () = + + 3 +... +.

8 Aliz mtemtycz ISIM I Złóżmy, że > m. Wtedy: = m = (m + ) + (m + ) +... + < m(m + ) + (m + )(m + ) +... + ( ( ( m m + ) + m + m + ) +...+ ( ) ) = m < m. Chcemy, by /m < ε. Niech N = [/ε]. Wtedy dl > m > N mmy /m < ε, ztem 0 < m < m < ε. (b) b = + + 3 +... +. Obliczmy b b = + + + +... + + +... + = }{{ }. skłdików Ztem wruek Cuchy ego ie jest spełioy. Twierdzeie.3. Ciąg jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy spełi wruek Cuchy ego. Dowód. ( = ) Niech g = lim. Wtedy m = ( g) ( m g) g + m g. Z złożei dl liczby ε > 0 istieje próg N, dl którego k g < ε k > N. Niech, m > N. Wtedy dl m < ε. ( =) Pokżemy, że ciąg jest ogriczoy. Dl ε = istieje próg N (liczb turl) tki, że m < dl, m > N. Niech M = mx{,,..., N, N+ + }. Wtedy M dl wszystkich. Rzeczywiście:

Ciągi liczbowe 9 () Dl =,,..., N mmy M w oczywisty sposób. () Dl > N mmy N+ < ztem = ( N+ ) + N+ N+ + N+ < + N+ M. Z twierdzei Bolzo-Weierstrss ciąg posid podciąg zbieży. Niech g = lim m. Pokżemy, że lim = g. Ustlmy liczbę ε > 0. Istieje próg N tki, że m < ε dl, m > N. Dlej istieje próg N tki, że dl > N mmy m g < ε. Określmy N = mx(n, N ). Wtedy dl > N otrzymujemy m > N, ztem g = ( m ) + ( m g) m + m g < ε + ε = ε. Defiicj.4. Mówimy, że ciąg jest rozbieży do ieskończoości ( ) jeśli dl dowolej liczby M istieje próg N tki, że dl > N mmy > M, tz. w przedzile (M, ) zjdują się prwie wszystkie wyrzy ciągu. Przykłd. b = + + 3 +... +. Wiemy, że b b >. Ztem b = (b b ) + (b b ) +... + (b b ) + b +. Dl liczby turlej k mmy k < + dl pewej wrtości. Wtedy + > log k orz b k b + + > log k. Defiicj.5. Liczbę α zywmy puktem skupiei ciągu jeśli moż zleźć podciąg k zbieży do α. Uwg. Zbieży ciąg posid tylko jede pukt skupiei.

0 Aliz mtemtycz ISIM I Przykłdy. () = ( ). Wtedy = i + =. (b) = si. Zbiór puktów skupiei jest rówy [, ]. (c) Rozwżmy ciąg,,,, 3,,, 3, 4,.... Wtedy zbiór puktów skupiei jest rówy {0,,, 3,...}. Twierdzeie.6. Dl ogriczoego ciągu istieją jmiejszy i jwiększy pukt skupiei zywe gricą dolą i górą ciągu i ozcze symbolmi lim if orz lim sup. Dl ciągu z przykłdu (c) gric dol wyosi 0, gór. Uwg. Moż udowodić, że. Liczb e Rozwżmy dw ciągi lim if = sup x = Mmy x < y. Obliczmy x + x = if m, m lim sup = if ( + ) (, y = + ) +. ( ) + + ( + ( ) + + ) ( ( + ) = + ( + ) ( = ( + ) ) + ( + ) ( sup m. m ) + ( + ) ( + ) ) ( + ) =. W osttiej liii skorzystliśmy z ierówości Beroulli ego (+x) +x dl x >. Udowodiliśmy, że ciąg x jest rosący. Dlej y y = ( + ( + ) + ) + = + ( ) + = ( + )( ) ( + ) + ( + ) =.

Ciągi liczbowe Ztem y jest ciągiem mlejącym. Mmy ztem = x x... x y... y y = 4. Ob ciągi są więc zbieże. Ozczmy e = lim x = lim ( + ). Wtedy ( y = x + ) e. Zjdziemy terz ią przydtą postć liczby e. Mmy x = ( + ) = k=0 ( ) k k = + k= ( )(... ( k + ) k! Ustlmy liczbę turlą m. Dl > m mmy x = ( + ) + m k= ( )(... ( k + ) k k! m = + k= ( ) ( Przechodzimy z do ieskończoości i otrzymujemy Resumując mmy Ztem e + m k= ( + ) + k!. k= k! e. )... ( e = lim +! +! + 3! +... + ).! Twierdzeie.7. Liczb e m przedstwieie gdzie 0 < θ() <. e = +! +! + 3! +... +! + θ()!, + k ( k k= k! ) k!

Aliz mtemtycz ISIM I Dowód. Dl m > mmy c m := +! +! + 3! +... +! + ( + )! +... + m! = c + [ + ] ( + )! + + ( + )( + 3) +... + ( + )( + 3)... m [ < c + + ] ( + )! + + ( + ) +... + ( + ) m = c + (+) m ( + )! + Przechodząc do gricy, gdy m otrzymujemy < c + + ( + )! + +! +! + 3! +... +! < e +! +! + 3! +... +! + ( + )! ( + ). Ztem 0 < e ( +! +! + 3! +... + ) ( + )!! ( + ) <!. Stąd otrzymujemy tezę twierdzei. Wiosek.8. Liczb e jest iewymier. Dowód. Symbolem {x} ozczmy część ułmkową liczby x. Gdyby e = p, q dl liczby turlych p i q, to {q!e} = 0. Ale z poprzediego twierdzei mmy { } θ() {!e} = 0. Wiemy, że ( + ) ( < e < + ) +. Zstosujmy logrytm przy podstwie e do ierówości. Otrzymmy ( + < log + ) <. (.4)

Szeregi liczbowe 3 Rozwżmy ciąg Mmy u = + +... + log( + ). u u = log( + ) + log = ( log + ) > 0, podstwie pierwszej ierówości w (.4). Rozwżmy iy ciąg v = + +... + log. Mmy v + v = log( + ) + log = ( + + log + ) podstwie drugiej ierówości w (.4). Dl > otrzymujemy u < u < v < v. < 0, Ztem ob ciągi są zbieże jko ciągi mootoicze i ogriczoe. Poiewż v = u +, to grice obu ciągów są rówe. Ozczmy symbolem c tę gricę. Wtedy 0 < log = u < c < v =. Resumując ( + +... + ) log = c, 0 < c <. (.5) Liczbę c zywmy stłą Euler. Szeregi liczbowe Dl ciągu określmy ciąg sum częściowych s wzorem s = + +... +. W szczególości s 5 = + + 3 + 4 + 5. Jeśli ciąg s jest zbieży (do gricy s), to mówimy, że szereg jest zbieży i zpisujemy Przykłdy. = s. =

4 Aliz mtemtycz ISIM I () Rozwżmy ciąg geometryczy = q dl q <. Wtedy bo q s = q + q +... + q = q q+ q 0, dl q <. Ztem q = = q q. q q, (b) Rozwżmy szereg hrmoiczy o wyrzch =. Wiemy, że s = + +... + > log. Szereg = jest rozbieży (do ieskończoości). Twierdzeie. (Wruek Cuchy ego dl szeregu). Szereg jest = zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy spełi wruek, że dl dowolej liczby ε > 0 istieje próg N tki, że dl > m > N mmy Dowód. Dl > m mmy m+ + m+ +... + < ε. s s m = m+ + m+ +... + < ε. To ozcz, że wruek w twierdzeiu jest idetyczy z wrukiem Cuchy ego dl ciągu s. Twierdzeie.. Jeśli szereg jest zbieży, to lim = 0. = Dowód. Mmy = s s. Ozczmy s = lim. Wtedy lim = lim s lim s = s s = 0. Wystrczy pokzć q 0, czyli rozwżć 0 < q <. Niech /q = +, dl > 0. Wtedy /q = ( + ) > +. Czyli 0 < q < /( + ).

Szeregi liczbowe 5 Uwg. Wruek w tezie ie wystrcz do zbieżości szeregu. N przykłd szereg o wyrzch,,, 3, 3, 3,... ie jest zbieży. Ile wyosi wyrz szeregu o umerze 04? Które umery mją wyrzy szeregu o wrtości /04? Twierdzeie.3. Dl kżdego szeregu zbieżego ciąg sum częściowych jest ogriczoy. Dowód. Ciąg s spełi wruek Cuchy ego więc jest ogriczoy. Twierdzeie.4. Złóżmy, że szeregi i b są zbieże. Wtedy zbieże są szeregi ( ± b ) i λ orz = = = = ( ± b ) = ± b, = = = λ = λ. = = Defiicj.5. Szereg jest bezwzględie zbieży jeśli szereg jest = = zbieży. Twierdzeie.6. Szereg bezwzględie zbieży jest zbieży. Dowód. Tez wyik z ierówości dl > m m+ + m+ +... + m+ + m+ +... +. Ztem wruek Cuchy ego dl szeregu szeregu. = pociąg te wruek dl = Uwg. Zbieży szereg ie musi być bezwzględie zbieży. N przykłd szereg o wyrzch,, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6,...

6 Aliz mtemtycz ISIM I jest zbieży do liczby 0, le ie jest zbieży bezwględie. Uwg. Zbieżość ciągu i szeregu ie zleży od zchowi się = skończoej liczby początkowych wyrzów. Tz. jeśłi = b dl > N to ciągi i b są jedocześie zbieże lub jedocześie rozbieże. To smo dotyczy szeregów i b. = = Twierdzeie.7 (Kryterium Dirichlet). Złóżmy, że ciąg jest mlejący orz 0. Złóżmy rówież, że sumy częściowe ciągu b są ogriczoe (tz. ciąg o wyrzch s = b + b +... + b jest ogriczoy). Wtedy szereg b jest zbieży. = Dowód. Sprwdzimy wruek Cuchy ego. Z złożei s M. Niech > m. Wtedy m+ b m+ + m+ b m+ +... + b = m+ (s m+ s m ) + m+ (s m+ s m+ ) +... + (s s ) = m+ s m +( m+ m+ )s m+ +( m+ m+3 )s m+ +...+( )s + s m+ s m +( m+ m+ ) s m+ +( m+ m+3 ) s m+ +...+( ) s + s M [ m+ + ( m+ m+ ) + ( m+ m+3 ) +... + ( ) + ] = M m+. Dl ε > 0 istieje liczb turl m 0 tk, że m0 < mmy ε M. Wtedy dl m m 0 m+ b m+ + m+ b m+ +... + b M m+ M m0 < ε. Przykłd. Rozwżmy szereg = si x. Dl x = kπ szereg jest zbieży, bo kżdy wyrz się zeruje. Złóżmy, że x kπ. Przyjmujemy = orz b = si x. Będziemy korzystć ze wzoru trygoometryczego cos α cos β = si β α si β+α.

Szeregi liczbowe 7 Bdmy sumy częściowe ciągu b. si x + si x +... + si x = si x = [( cos x si x cos 3x ( si x si x + si x si x +... + si x si x) ) ( + cos 3x cos ) ( )] 5x +... + cos ( )x cos (+)x = si x ( cos x ) (+)x si x cos = si (+)x si x. Otrzymujemy si x + si x +... + si x si x. Wiosek.8 (kryterium Leibiz o szeregu przemieym). Jeśli ciąg jest mlejący orz 0, to szereg ( ) + jest zbieży. Dowód. Przyjmujemy b = ( ) +. Wtedy sumy częściowe ciągu b mją postć s = 0 i s + =. Ztem szereg jest zbieży. ( ) + Przykłd Szereg jest zbieży z kryterium Leibiz. Ze wzoru = (.5) moż wykzć, że szereg jest zbieży do liczby log. Wiosek.9. Jeśli jest zbieżym ciągiem mootoiczym szereg b = jest zbieży, to zbieży jest szereg b. = Dowód. Możemy złożyć, że ciąg jest mlejący. Ozczmy = lim. Wtedy 0. Z twierdzei Dirichlet szereg ( )b jest zbieży. = Ale b = ( ) + b, ztem szereg b jest zbieży. = =

8 Aliz mtemtycz ISIM I Twierdzeie.0 (Kryterium porówwcze). Złóżmy, że 0 b. Jeśli szereg b jest zbieży, to zbieży jest szereg. = Wiosek.. Jeśli 0 b orz szereg jest rozbieży, to szereg = b też jest rozbieży. = Przykłd. Bdmy szereg Wiemy, że = 4 + 8 5 + + 4. = 4 + 8 5 + + 4 4 5 + 5 + 4 5 = 7. =, więc bdy szereg jest rozbieży. Twierdzeie. (Kryterium Cuchy ego). Złóżmy, że = lim. (i) Jeśli <, to szereg (ii) Jeśli >, to szereg jest bezwględie zbieży. = jest rozbieży. = Uwg. Kryterium ie rozstrzyg zbieżości, gdy =. Dl szeregów mmy =. Pierwszy z szeregów jest zbieży drugi rozbieży. Dowód. (i) <. Niech r = +. Wtedy < r <. Istieje próg N tki, że dl > N mmy < r. Ztem < r dl N +. Z kryterium porówwczego szereg jest zbieży. = (ii) >. Dl r = + istieje próg N tki, że dl > N mmy > r >. Tz. > r dl > N, czyli jest rozbieży do ieskończoości.

Szeregi liczbowe 9 Twierdzeie.3 (Kryterium d Alembert). Złóżmy, że lim + =. (i) Jeśli <, to szereg (ii) Jeśli >, to szereg jest bezwględie zbieży. = jest rozbieży. = Dowód. Zstosujemy ozczei z dowodu kryterium Cuchy ego. (i) Istieje N tkie, że dl > N mmy + < r. Wtedy =... N+ N+ N+ < r N N+ = N+ r N+ r. (.) Z kryterium porówwczego szereg jest zbieży. = (ii). Istieje N tkie, że dl > N mmy + > r >. Ze wzoru (.) otrzymujemy wtedy > N+ r N+ r. Ztem. Uwg. Moż udowodić, że z istiei gricy lim + wyik lim + = lim. Wiosek.4. Jeśli ciąg spełi złożei kryterium Cuchy ego lub d Alembert, to dl < ciąg te jest zbieży do zer, dl > wrtości bezwzględe wyrzów dążą do ieskończoości. Przykłdy.

0 Aliz mtemtycz ISIM I () =. Stosujemy kryterium d Alembert! + = + ( + )!! = + 0. (b) = k, dl k N. Używmy kryterium Cuchy ego. 3 k 3 = 3 ( ) k 3. (c) =!. Wygodiej będzie użyć kryterium d Alembert. + = ( + )! ( + ) +! = Ztem szereg jest zbieży. ( + ) = ( + ) e <. Twierdzeie.5 (Cuchy ego o zgęszcziu). Złóżmy, że ciąg jest mlejący orz 0. Szereg jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy zbieży jest szereg. = =

Szeregi liczbowe Przykłdy. () Rozwżmy szereg =, dl α > 0. Szereg zgęszczoy m postć α = α = = ( ). α Szereg te jest zbieży tylko jeśli α >, czyli dl α >. (b) Niech = log α, dl orz α > 0. Wtedy = = = (log ) α = Ztem szereg jest zbieży tylko dl α >. (c) Moż pokzć, że szereg o wyrzch = jest zbieży tylko dl α >. = log (log log ) α, Dowód twierdzei o zgęszcziu. ( ) Mmy α log α. k k = + 4 + 4 8 +... + k= + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ) +... + ( + +... + ) k k =: s. k= k= Ztem k k s. To ozcz, że sumy częściowe szeregu k k k= k= są ogriczoe od góry. Stąd szereg jest zbieży, bo sumy częściowe tworzą ciąg rosący.

Aliz mtemtycz ISIM I ( ) Obliczmy k k k= k= = + ( + 3 ) + ( 4 + 5 + 6 + 7 ) +... + ( +... + ) + + 4 4 +... + + k k =: s. k= Sumy częściowe szeregu są ogriczoe przez s, ztem szereg jest = zbieży. Dl zbieżego szeregu s = r = k. Mmy k=+ = określmy ciąg -tych ogoów wzorem s + r = s, r = s s, ztem lim r = lim (s s ) = 0.. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej Jeśli szereg jest zbieży, to zbieży jest szereg postci = ( + +... + ) + ( + + + +... + ) Sumy częściowe szeregu (.) mją postć +... + ( k + + k + +... + k+ ) +... (.) s, s,..., s k,..., ztem ciąg s k jest podciągiem ciągu s. Uwg. Wyikie odwrote ie jest spełioe. Szereg (.) po otworzeiu wisów może być rozbieży: ( + ) + ( + ) +... + ( + ) +...

Szeregi liczbowe 3 Jeśli w kżdym wisie szeregu wyrzy mją te sm zk i szereg (.) jest zbieży (do s), to szereg bez wisów też jest zbieży. Rzeczywiście, zuwżmy, że jeśli k < < k+, to sum s leży pomiędzy s k i s k+. Dl dużych wskźików k liczby s k i s k+ leżą blisko liczby s. Wtedy wielkości s dl k < < k+ rówież leżą blisko s. Permutcją zbioru liczb turlych zywmy ciąg σ, σ,..., σ,... złożoy z liczb turlych, w którym kżd liczb występuje dokłdie rz, p.,, 4, 3,...,,,... Twierdzeie.6. Jeśli szereg jest bezwględie zbieży, to szereg = jest zbieży dl dowolej premutcji σ orz σ = = σ. = = Uwg. Złożeie bezwzględej zbieżości jest istote. Rozwżmy szereg ( ) +. Mmy = + ( 3 4 ) ( 5 6 7)... < + 3 + 3 ( + 5 + 7 ) ( +... + }{{ 8 } 4 3 + 4 ) +... > + 3. }{{} > 0 > 0 Dowód. Ozczmy s =. Ustlmy liczbę ε > 0. Istieje liczb turl = N, dl której < ε. Rozwżmy permutcję {σ }. Istieje liczb turl M tk, że wśród liczb σ, σ,..., σm występują wszystkie wyrzy =N+,,..., N. Niech > M. Wtedy ( m m ) N σk s = σk k k. k= k= k= k=n+

4 Aliz mtemtycz ISIM I W wisie wyrzy się uproszczą i pozostą tylko wyrzy o umerch większych od N. Ztem m m σk s N σk k + k k < ε. k= k= k= k=n+ k=n+ Twierdzeie.7 (Riem). Jeśli szereg jest zbieży wrukowo, tz. jest zbieży, le =, to poprzez zmię kolejości wyrzów moż uzyskć szereg zbieży do z góry ustloej liczby, rozbieży do, + lub szereg rozbieży.. Możeie Cuchy ego szeregów. Rozwżmy dw wielomiy x orz b x (zkłdmy, że = b = =0 =0 0 dl dużych ). Możymy te wielomiy i grupujemy wyrzy z tą smą potęgą przy x: ( 0 + x + x +... + x +...)(b 0 + b x + b x +... + b x +...) = 0 b 0 + ( b 0 + 0 b )x + ( b 0 + b + 0 b )x +... ( ) + ( b 0 + b +... + b + 0 b )x +... = k b k x. =0 k=0 Podstwmy x = by otrzymć b = k b k. (.3) =0 =0 =0 k=0

Szeregi liczbowe 5 Wzór (.3) moż uzsdić w iy sposób. Chcemy pomożyć i b. =0 =0 Tworzymy tbelę możei b 0 b b... b b... 0 0 b 0 0 b 0 b 0 b b 0 b b b 0.... b b 0. Nstępie sumujemy wyrzy przekątych i wyiki dodjemy. Twierdzeie.8. Jeśli szeregi i b s zbieże, przy czym cojmiej jede z ich bezwzględie, to szereg o wyrzch c = k b k jest =0 =0 k=0 zbieży orz b = c. =0 =0 =0 Uwg. Złożeie bezwględej zbieżości jest istote. Niech 0 = b 0 = 0 orz = b = ( ),. Wtedy c = ( ) ( k)k. k= k= Korzystjąc z ierówości b + b otrzymmy ( k) + k ( k)k =. Ztem ( ) c =. ( k)k To ozcz, że ciąg c ie jest zbieży do 0, czyli szereg o wyrzch c ie może być zbieży.

6 Aliz mtemtycz ISIM I 3 Fukcje i grice Jeśli kżdej liczbie z pewego podzbioru E R przyporządkow jest jkś liczb rzeczywist, to mmy do czyiei z fukcją. Fukcj skłd się z dziedziy E orz przepisu, który mówi jkie liczby leży przyporządkowć liczbom z E. Zwykle przepis pody jest wzorem y = f(x). Przykłdy. () E = (0, ), f(x) = x. (b) E = (0, ), f(x) = x. si x < x < 0, (c) E = (, ), f(x) = 5 x = 0,. x 0 < x <. Defiicj 3. (ituicyj). Złóżmy, że fukcj f(x) jest określo wokół puktu (le iekoieczie w pukcie ). Mówimy, że liczb g jest gricą fukcji f(x) w pukcie, jeśli wrtości f(x) leżą corz bliżej liczby g dl rgumetów x leżących corz bliżej liczby, le x. Piszemy wtedy lim x f(x) = g. Powyższ defiicj wystrcz do obliczei większości gric. Uściślei tej defiicji moż wykoć dw sposoby. Defiicj 3. (Heie). Złóżmy, że fukcj f(x) jest określo wokół puktu (le iekoieczie w pukcie ). Mówimy, że liczb g jest gricą fukcji f(x) w pukcie jeśli dl kżdego ciągu x zbieżego do, le x, ciąg f(x ) jest zbieży do liczby g. Przykłdy. () E = R, f(x) = x. Wtedy lim x 0 x = 0. Rzeczywiście, iech x 0, x 0. Wtedy x 0. (b) E = (, 0) (0, ), f(x) = x x x + x x x + = Gdy x 0, to f(x ).. Ile wyosi lim x 0 f(x)? x + x x + = x x x + ( x + + ) = x + ( x + + ).

Fukcje i grice 7 Defiicj 3.3 (Cuchy). Mówimy, że liczb g jest gricą fukcji f(x) w pukcie jeśli dl dowolej liczby ε > 0 istieje liczb δ > 0 tk, że jeśli 0 < x < δ, to f(x) g < ε. Uwg. Defiicj Cuchy ego odpowid defiicji ituicyjej. Osob wątpiąc, że f(x) może zleźć się blisko g, wyrż żądie, by odległość f(x) i g był miejsz iż ε, p. dl ε = 0, 000. Nszym zdiem jest wskzie liczby δ > 0, któr zgwrtuje, że jeśli odległość rgumetu x od jest miejsz iż δ, to fktyczie odległość f(x) od g będzie miejsz iż ε. Po wykoiu zdi osob wątpiąc może zmiejszyć wrtość ε p. do 0,0000. Wtedy my musimy zleźć ową (zwykle zczie miejszą) wrtość dl liczby δ, by zspokoić żądie. Jeśli potrfimy to zrobić dl dowolej wrtości ε, to fktyczie gric fukcji w pukcie jest rów liczbie g. Przykłd. f(x) = Cuchy ego. Mmy f(x) = w wyosi. Mmy x. Chcemy obliczyć gricę w pukcie z defiicji x f(x) = x + = x ( x + ) x +. Z defiicji ituicyjej widć, że gric x = ( x + ) x. Dl liczby ε > 0 iech δ = ε. Wtedy dl 0 < x < ε mmy f(x) x < ε. Uwg. Zpis kwtyfiktorowy defiicji Cuchy ego m postć ε > 0 δ > 0 x { 0 < x < δ = f(x) g < ε }. Twierdzeie 3.4. Defiicje gricy według Cuchy ego i Heiego są rówowże. Dowód. Udowodimy tylko implikcję (H) = (C). Złóżmy ie wprost, że liczb g ie jest gricą fucji f(x) w pukcie w sesie Cuchy ego. To ozcz, że istieje liczb ε > 0 tk, że dl dowolej liczby δ > 0 moż zleźć rgumet x spełijący 0 < x < δ, le f(x) g ε. Przyjmijmy δ = i iech x ozcz rgumet odpowidjcy liczbie δ. Otrzymujemy 0 < x < orz f(x ) g ε. Wtedy x, le f(x ) g.

8 Aliz mtemtycz ISIM I Co zrobić, gdy ie widć kdydt wrtość gricy fukcji? Do tego służy wruek Cuchy ego. Ituicyjie ozcz o, że jeśli dw rgumety x i x leżą blisko liczby, le x, x, to wrtości f(x) i f(x ) leżą blisko siebie. Ścisłe określeie zjduje się w stępym twierdzeiu. Twierdzeie 3.5 (Wruek Cuchy ego). Fukcj f(x) posid gricę w pukcie wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolej liczby ε > 0 moż zleźć liczbę δ > 0 tką, że 0 < x, x < δ = f(x) f(x ) < ε. (3.) Dowód. Udowodimy tylko implikcję ( ). Niech x, le x. Wtedy ciąg f(x ) spełi wruek Cuchy ego dl ciągów. Rzeczywiście, dl ε > 0 istieje δ spełijąc (3.). Poiewż x, to 0 < x < δ dl dużych wrtości, p. dl > N. Wtedy dl, m > N podstwie (3.) otrzymmy f(x ) f(x m ) < ε. Ztem cig f(x ) jest zbieży. Ozczmy g = lim f(x ). Wtedy lim f(x) = g w sesie Heiego. Rzeczywiście, iech x x i x. Z poprzediego rozumowi wiemy, że ciąg f(x ) jest zbieży, p. do liczby g. Rozwżmy owy ciąg postci x, x, x, x,..., x, x,... Te ciąg dąży do. Ztem odpowidjący ciąg wrtości fukcji f(x ), f(x ), f(x ), f(x ),..., f(x ), f(x ),... jest zbieży. To jest możliwe tylko dl g = g. 3. Wż gric Twierdzeie 3.6. si x lim x 0 x =. Dowód. Dl kąt 0 < x < π rozwżmy trójkąt prostokąty o kącie x i przyprostokątej długości przy tym kącie. Trójkąt te zwier w sobie wyciek koł o kącie x i promieiu, który z kolei zwier trójkąt rówormiey o kącie wierzchołkowym x i rmioch długości. Porówując pol figur otrzymmy ierówość si x < x < tg x.

Fukcje i grice 9 Ztem si x < x < si x cos x. Z drugiej ierówości otrzymujemy [ si x > x cos x = x si x ] > x Uzyskujemy więc Z ierówości wyik, że [ ( x ) ] = x x3. x x3 < si x < x, 0 < x < π. (3.) si x lim x 0 + x =. Z przystości fukcji si x otrzymujemy tezę. x 3. Grice jedostroe Przykłd. Z wysokości 0 m upuszczmy kmień. Chcemy zleźć prędkość kmiei w chwili uderzei w ziemię. Przed uderzeiem wysokość wyosi h(t) = 0 gt. Przyjmijmy g = 0 m/s. Wtedy h(t) = 0 5t. Kmień spdie po sekudch. Średi prędkość kmiei od mometu t < do mometu uderzei w ziemię wyosi h(t) h() t = 0 5t t (t )(t + ) = 5 t Prędkość chwilow w momecie uderzei wyosi ztem h(t) h() lim t t t< = 0 m/s. = 5(t + ). Defiicj 3.7. Złóżmy, że fukcj f(x) jest określo w pewym przedzile < x < + η ( prwo od puktu ). Mówimy, że fukcj f(x) m gricę lewostroą w pukcie rówą liczbie g, jeśli dl kżdego ciągu x, x <, mmy f(x ) g. Rówowżie ε > 0 δ > 0 x { δ < x < = f(x) g < ε }.

30 Aliz mtemtycz ISIM I Podobie określ się gricę prwostroą. Twierdzeie 3.8. Gric x lim f(x) istieje wtedy i tylko wtedy, gdy istieją grice jedostroe lim f(x) i lim f(x) i są sobie rówe. x + x Dowód. ( ) Złóżmy, że lim f(x) = lim f(x) = g. Dl liczby ε > 0 istieją x x + liczby δ, δ > 0 spełijące wruek: dl δ < x < lub < x < + δ mmy f(x) g < ε. Przyjmijmy δ = mi(δ, δ ). Wtedy jeśli 0 < x < δ to lbo δ δ < x < lbo < x < +δ +δ. W obu przypdkch uzyskujemy f(x) g < ε. Przykłd. f(x) = x x <, x x 3 x >. ( ) lim f(x) = lim x x x = 0, lim f(x) = lim x + x (x x3 ) = 0. 3.3 Grice iewłściwe i grice w puktch iewłściwych Defiicj 3.9. Fukcj f(x) m gricę w pukcie jeśli dl kżdego ciągu x, x, mmy f(x ). Rówowżie, dl dowolej liczby M istieje liczb δ > 0, dl której wruek 0 < x < δ pociąg f(x) > M. Defiicj 3.0. Złóżmy, że fukcj f(x) jest określo w przedzile (, ). Mówimy, że liczb g jest gricą fukcji f(x) w jeśli dl dowolego ciągu x mmy f(x ) g. Rówowżie ε > 0 M x { x > M = f(x) g < ε }. Podobie określ się gricę i gricę w.

Fukcje i grice 3 3.4 Dziłi gricch Twierdzeie 3.. Złóżmy, że lim x f(x) = A orz lim x g(x) = B. Wtedy (i) lim x [f(x) ± g(x)] = A ± B. (ii) lim x f(x)g(x) = AB. f(x) (iii) x lim g(x) = A, o ile B 0. B Dowód. Tez wyik z odpowiediego twierdzei o ciągch. Uwg. Twierdzeie jest prwdziwe dl gric jedostroych i gric w puktch iewłściwych. Twierdzeie 3. (Reguł podstwiei). Jeśli x lim f(x) = b, lim g(y) = c, y b orz fukcj f(x) ie przyjmuje wrtości b w pobliżu puktu, to x lim g(f(x)) = c. Dowód. Niech x, x. Wiemy, że f(x) b w pewym przedzile ( η, + η) \ {}. Wtedy x leży w tym przedzile dl dużych wrtości, p. dl > N. Ztem y := f(x ) b dl > N orz y = f(x ) b. Otrzymujemy g(f(x )) = g(y ) c. Uwg. Przy zstosowiu reguły podstwiei posługujemy sie zpisem lim g(f(x)) = x y=f(x) lim g(y) = c. y b Przykłd. lim x x + x. Przyjmujemy f(x) = x + x, g(y) = y. Wtedy b = 5 orz c = 5. W iym zpisie mmy lim x x + x = y=x+ x 5 lim y = y 5.

3 Aliz mtemtycz ISIM I Trzeb się upewić, że x + x 5, gdy x i x leży blisko. Rówie x + x = 5 = + m dw rozwiązi x = i x =. Dl 0 < x < mmy więc x+ x 5. 3.5 Fukcje ciągłe Defiicj 3.3. Mówimy, że fukcj f(x) jest ciągł w pukcie, jeśli f(x) jest określo w pewym przedzile wokół puktu, włączie z puktem, orz () istieje gric lim x f(x), () lim x f(x) = f(). Przy zstosowiu defiicji Cuchy ego gricy fukcji, ciągłość w zpisie kwtyfiktorowym m postć ε > 0 δ > 0 x { x < δ = f(x) f() < ε }. Moż pomiąć wruek 0 < x, bo dl x = mmy f(x) f() = 0 < ε. Przykłdy. () (b) si x f(x) = x, x 0, x = 0. si x lim f(x) = lim x 0 x 0 x = = f(0). x si f(x) =, x 0, x 0 x = 0. lim f(x) = 0 = f(0), bo x si x. x 0 x

Fukcje i grice 33 (c) si f(x) =, x 0, x 0 x = 0. Gric w pukcie 0 ie istieje. Niech x = orz π x =. π+ π Wtedy f(x ) = 0 orz f(x ) =. Twierdzeie 3.4. Jeśli fukcje f(x) i g(x) są ciągłe w pukcie, to fukcje f(x) ± g(x), f(x)g(x) i f(x) s rówież ciągłe w, przy czym w osttim g(x) przypdku zkłdmy, że g() 0. Uwg. Jeśli g() 0, to z ciągłości wyik, że g(x) 0 dl x w pobliżu puktu. Rzeczywiście, przyjmijmy ε = g(). Wtedy istieje liczb δ > 0 tk, że dl x < δ mmy g(x) g() < g(). Dlej Ztem g(x) > g(). Przykłdy. g() g(x) g(x) g() < g(). () Kżdy wielomi jest fukcją ciągłą w kżdym pukcie. (b) Ilorz dwu wielomiów jest fukcją ciągłą poz miejscmi zerowymi miowik. Twierdzeie 3.5. Jeśli fukcj f(x) jest ciągł w pukcie, fukcj g(x) jest ciągł w pukcie b = f(), to fukcj złożo g(f(x)) jest ciągł w pukcie. Dowód. Niech x. Wtedy y := f(x ) f() = b. Ztem g(y ) g(b). To ozcz, że g(f(x )) g(f()). Przykłd. Złóżmy, że f : (0, ) R orz lim x f(x) istieje dl wszystkich puktów 0 < <. Określmy f(x) = lim x f(x). Czy fukcj f jest ciągł w kżdym pukcie przedziłu (0, )?

34 Aliz mtemtycz ISIM I Defiicj 3.6. Mówimy, że fukcj f(x) jest cigł w przedzile (, b), jeśli jest cigł w kżdym pukcie tego przedziłu. Mówimy, że fukcj f(x) jest cigł w przedzile [, b], jeśli dodtkowo lim f(x) = f() orz lim f(x) = x + x b f(b). Przykłdy. () f(x) = x( x), 0 < x <. (b) h(y) = y, y 0. Sprwdzeie: dl y 0 > 0 mmy y y 0 = y y 0 y + y0 y0 y y 0. Dl y 0 = 0 i ε > 0 iech 0 y < ε. Wtedy y < ε. (c) f(x) = x( x), 0 x. Twierdzeie 3.7 (Jedostj ciągłość fukcji). Fukcj f(x) ciągł przedzile domkiętym [, b] jest jedostjie ciągł, tz. dl dowolej liczby ε > 0 istieje liczb δ > 0 tk, że dl x, x z [, b], jeśli x x < δ, to f(x) f(x ) < ε. Uwg. Zpis kwtyfiktorowy ciągłości jedostjej m postć ε > 0 δ > 0 x [, b] x [, b] { x x < δ = f(x) f(x ) < ε }. Dl porówi zpis kwtyfiktorowy ciągłości w kżdym pukcie x przedziłu [, b] m postć ε > 0 x [, b] δ > 0 x [, b] { x x < δ = f(x) f(x ) < ε }. Przy jedostjej ciągłości liczb δ > 0 jest uiwersl dl wszystkich puktów x [, b], gdy przy ciągłości puktowej t liczb jest dobier idywidulie dl kżdego puktu x [, b]. Ituicyjie jedostj ciągłość ozcz, że jeśli dw rgumety fukcji leżą blisko siebie, to odpowidjące im wrtości fukcji są rówież położoe blisko siebie, iezleżie od położei tych rgumetów.

Fukcje i grice 35 Dowód. (ie wprost). Złóżmy, że wruek jedostjej ciągłości ie jest spełioy. Tz., że istieje liczb ε > 0 tk, że dl dowolego wyboru liczby δ > 0 zjdą się pukty x, x w przedzile [, b] tkie, że x x < δ orz f(x) f(x ) ε. W szczególości dl δ = istieją pukty x, x w przedzile [, b] spełijące x x <, f(x ) f(x ) ε. (3.3) Z twierdzei Bolzo-Weierstrss z ciągu x moż wybrć zbieży podciąg x k. Ozczmy x = lim x k. Z pierwszego wruku w (3.3) mmy k x k k < x k < x k + k. Z twierdzei o trzech ciągch wioskujemy, że x = lim x k k. Z ciągłości w pukcie x otrzymujemy f(x k ) f(x) i f(x k k ) f(x). To ozcz, że k f(x k ) f(x k ) k 0, co stoi w sprzeczości z drugim wrukiem w (3.3). Przykłdy. () Domkiętość przedziłu jest istot. Rozwżmy f(x) = przedzile x (0, ]. Dl x = i x = mmy f(x ) =, f(x ) =. Ztem x x 0, f(x ) f(x ). (b) Fukcj w poprzedim przykłdzie był ieogriczo. Rozwżmy f(x) = si przedzile (0, ]. Dl x x = i π x = (+/)π mmy x x 0, f(x ) f(x ) =. (c) Jeśli chyleie wykresu fukcji jest ogriczoe, tz. f(x ) f(x ) x x L, x x, to fukcj jest jedostjie ciągł. Istotie mmy wtedy f(x ) f(x ) L x x. Np. f(x) = x jest jedostjie ciągł cłej prostej. Z kolei f(x) = x ie jest jedostjie ciągł cłej prostej, bo dl x = +, x = mmy x x 0 orz f(x ) f(x ).

36 Aliz mtemtycz ISIM I (d) Ogriczoe chyleie wykresu ie jest wrukiem koieczym dl jedostjej ciągłości. Np. fukcj f(x) = x jest jedostjie ciągł cłej prostej mimo, że chyleie wykresu w pobliżu puktu 0 jest ieogriczoe. Twierdzeie 3.8 (Weierstrss). Fukcj ciągł f(x) przedzile domkiętym [, b] jest ogriczo orz osiąg swoje kresy góry M i doly m. Tz. istieją pukty c i d w przedzile [, b] tkie, że f(c) = m i f(d) = M. Uwg. m = if f(x), x b M = sup f(x). x b Dowód. Dl liczby ε = istieje liczb δ > 0 tk, że jeśli x x < δ, to f(x) f(x ) <. Wybierzmy liczbę turlą tk, by b < δ. Np. iech = [ b ] +. Dzielimy przedził [, b] rówych części puktmi δ k = + b k dl k = 0,,.... Ozczmy C = mx{ f( ) +, f( ) +,..., f( ) + }. Niech x b. Wtedy k x k dl pewej liczby k =,,...,. Ztem x k k k = b < δ. Wtedy f(x) f( k ) f(x) f( k ) <. Otrzymujemy więc f(x) < f( k ) + C, czyli fukcj f jest ogriczo. Złóżmy, ie wprost, że f(x) < M dl wszystkich x b. Rozwżmy fukcję g(x) =. Fukcj g(x) jest ciągł przedzile [, b]. Z M f(x) pierwszej części dowodu wyik, że g jest ogriczo z góry, tz. M f(x) = g(x) N, dl pewej stłej N. Po przeksztłceiu otrzymmy M f(x) N, czyli f(x) M N.

Fukcje i grice 37 Dlej co dje sprzeczość. M = sup f(x) M x b N, Twierdzeie 3.9 (Włsość Drboux). Fukcj ciągł przedzile [, b] przyjmuje wszystkie wrtości pośredie, tz. wrtości pomiędzy liczbmi f() i f(b). Dowód. Rozwżymy przypdek f() < f(b). Niech f() < l < f(b). Chcemy udowodić, że f(x 0 ) = l dl pewego puktu x 0 w [, b]. Złóżmy, ie wprost, że f(x) l dl wszystkich x. Rozwżymy fukcję g(x) = Z twierdzei Weierstrss mmy dl pewej stłej N. Ztem f(x) l f(x) l. = g(x) N, f(x) l, x b. (3.4) N Z jedostjej ciągłości dl ε = N moż zleźć liczbę δ, dl której x x < δ = f(x) f(x ) < N. Dzielimy przedził rówych części puktmi k = + b k tk, by b < δ. Ztem f( k ) f( k < N. Mmy f( 0) < l < f( ). Niech k będzie jmiejszym wskźikiem, dl którego l < f( k ). Wtedy f( k ) < l < f( k ). Poiewż f( k ) f( k < N, to f( k) l < N. Otrzymujemy sprzeczość z (3.4). Wiosek 3.0. Fukcj ciągł przedzile domkiętym przyjmuje wszystkie wrtości pomiędzy swoimi kresmi dolym i górym.

38 Aliz mtemtycz ISIM I Dowód. Z twierdzei Weierstrss istieją pukty c i d tkie, że f(c) = m i f(d) = M. Z włsości Drboux zstosowej do przedziłu pomiędzy c i d fukcj przyjmuje wszystkie wrtości pomiędzy m i M. Przykłdy. () Chcemy rozwiązć rówie (b) w(x) := x 3 + x + x 3 = 0. Mmy w(0) = 3 i w() =. Z włsości Drboux w(x 0 ) = 0 dl pewego puktu x 0 pomiędzy 0 i. Poiewż w( ) < 0, to moż zleźć rozwiązie pomiędzy i. si 0 < x, x f(x) = 0, x = 0. Fukcj m włsość Drboux mimo, że ie jest ciągł w pukcie 0. Twierdzeie 3.. Fukcj mootoicz w przedzile [, b] jest ciągł wtedy i tylko wtedy, gdy m włsość Drboux. Lemt 3.. Fukcj mootoicz posid grice jedostroe w kżdym pukcie. Dowód. Pokżemy, że lim f(x) = if f(x) x c + x>c dl dowolej fukcji rosącej. Dl x > c mmy f(x) f(c), ztem α := if f(x) f(c). Dl liczby ε > 0 istieje rgumet x 0 > c spełijący x>c f(x 0 ) < α + ε. Wtedy dl c < x < x 0 mmy α f(x) f(x 0 ) < α + ε. Ztem f(x) α < ε. Dowód twierdzei. Rozwżmy fukcję rosącą f(x) i pukt c wewątrz [, b]. Nieciągłość ozcz, że przyjmiej jed z ierówości lim f(x) f(c) lim f(x) x c x c + jest ostr. W kżdym przypdku fukcj ie miłby wtedy włsości Drboux.

Fukcje i grice 39 Defiicj 3.3. Mówimy, że fukcj f(x) jest różowrtościow podzbiorze E R, jeśli dl dwu rgumetów x x z E mmy f(x ) f(x ). Niech F = {f(x) : x E} dl fukcji różowrtościowej. Wtedy dl wrtości y F istieje jedyy elemet x E tki, że f(x) = y. Możemy określić g(y) = x. Wtedy g(f(x)) = x orz f(g(y)) = y. Twierdzeie 3.4. Fukcj ciągł i różowrtościow jest mootoicz. Dowód. Złóżmy, że f ie jest mootoicz. To ozcz, że moż zleźć trzy rgumety x < x < x 3 spełijące f(x ) < f(x ) > f(x 3 ) lbo f(x ) > f(x ) < f(x 3 ). Tz. f(x ) ie leży pomiędzy f(x ) i f(x 3 ). Rozwżmy przypdek f(x ) < f(x ) > f(x 3 ). Ozczmy α = mx{f(x ), f(x )}. Z włsości Drboux wrtości z przedziłu [α, f(x )] są przyjęte dwukrotie przez fukcję f, rz w przedzile (x, x ) i drugi rz w przedzile (x, x 3 ). Twierdzeie 3.5 (o fukcji odwrotej). Jeśli fukcj f(x) jest ciągł i różowrtościow przedzile [, b], to fukcj odwrot g(y) jest ciągł przedzile [m, M], gdzie m = if f(x) orz M = sup f(x). x b x b Dowód. Wiemy, że f(x) jest ściśle mootoicz. Przyjmijmy, że f(x) jest rosąc. Wtedy fukcj odwrot też jest rosąc przedzile [m, M]. Dl ciągłości wystrczy ztem pokzć włsość Drboux. Niech y < y orz g(y ) < c < g(y ). Trzeb zleźć rgumet y tki, że g(y) = c. Nkłdmy ierówość fukcję f i otrzymujemy Dlej g(y) = g(f(c)) = c. y = f(g(y )) < f(c) < f(g(y )) = y. }{{} y Przykłd. Dl fukcji f(x) = x, 0 x M fukcją odwrotą jest g(y) = y, 0 y M. Poiewż M jest dowolą dodtią liczbą, to g(y) = y jest ciągł [0, ). 3.6 Ścisłe wprowdzeie fukcji wykłdiczej Ustlmy liczbę >. Dl liczb wymierych w Q określmy w = ( p ) q, jeśli w = p, q N, p Z. q Wyik ie zleży od przedstwiei liczby w tej postci.

40 Aliz mtemtycz ISIM I Defiicj 3.6. Podzbiór E R zywmy gęstym jeśli dl dowolej liczby x R istieje ciąg liczb E zbieży do x. Zbiór liczby wymierych jest gęsty w R. Rzeczywiście, dl x R mmy x < [x] x. Ztem x < [x] x. To ozcz, że [x] x. Lemt 3.7. Jeśli fukcje g(x) i h(x) są ciągłe R orz g() = h() dl puktów z gęstego podzbioru E R, to g(x) h(x). Dowód. Dl x R bierzemy ciąg puktów z E zbieży do x. Wtedy g(x) = lim g( ) = lim h( ) = h(x). Określmy F (x) = sup w. w Q w<x Wtedy F (x) jest fukcją ściśle rosącą. Istotie, iech x < x. Moż zleźć liczby wymiere w, w tkie, że x < w < w < x. Wtedy F (x ) w < w F (x ). Zbdmy ciągłość fukcji F (x). Dl liczby x 0 istieje ciąg liczb wymierych w spełijący w < x 0 < w +. Np. w = [x 0]. Obliczmy lim F (x) = lim F (w + ) = lim x x + w+ 0 Lemt 3.8. F (x + y) = F (x)f (y). = lim w lim ( ) = lim w = lim x x 0 F (x).

Ciągi i szeregi fukcyje 4 Dowód. Niech w x, v y, gdzie w, v Q. Wtedy F (x + y) = lim F (w + v ) = lim w+v = lim w v = lim w lim v = lim F (w ) lim F (v ) = F (x)f (y). F (x) zywmy fukcją wykłdiczą. Fukcj wykłdicz m stępujące włsości (dl > ). () F (x + y) = F (x)f (y). () F (x) < F (y), dl x < y. (3) F () =. (4) F (x) jest ciągł. Moż udowodić, że powyższe włsości określją fukcję wykłdiczą w sposób jedozczy. Przyjmujemy ozczeie F (x) = x. Mmy lim x x =, lim x x = lim x = 0. x Fukcję odwrotą, określoą półprostej (0, ) zywmy logrytmem przy podstwie i ozczmy symbolem log x. 4 Ciągi i szeregi fukcyje Defiicj 4.. Niech f będzie ciągiem fukcji określoych A R, p. A = [, b], [, ), (, b). Mówimy, że ciąg f jest zbieży puktowo do fukcji f, jeśli dl kżdego puktu x ze zbioru A mmy f (x) f(x). W zpisie kwtyfiktorowym defiicj przybier postć ε > 0 x A N > N { f (x) f(x) < ε }. Próg N zleży od puktu x i od ε.

4 Aliz mtemtycz ISIM I Defiicj 4.. Mówimy, że ciąg f jest zbieży jedostjie do fukcji f zbiorze A, jeśli ε > 0 N x A > N { f (x) f(x) < ε }. Używmy zpisu f f. Tym rzem próg N ie zleży od x, jest uiwersly dl wszystkich puktów ze zbioru A. Co ozcz wruek Po przeksztłceiu otrzymmy x A > N { f (x) f(x) < ε }? x A > N {f(x) ε < f (x) < f(x) + ε}. Tz. od pewego miejsc (dl > N) wykresy fukcji f (x) leżą w psie o promieiu ε wokół wykresu fukcji f(x). Przykłd. f (x) = x, 0 x. lim x 0 0 x <, = =: f(x)., x =. Czy możliw jest zbieżość jedostj? Niech ε =. W psie o promieiu 3 wokół wykresu fukcji f ie m wykresu żdej fukcji ciągłej. 3 Niech f (x) = x, 0 x <. Wtedy ciąg f jest jedostjie zbieży do 0. Rzeczywiście, dl ε > 0 istieje liczb turl N, dl której N ε. Wtedy dl > N i 0 x mmy Przykłd. 0 f (x) = x < N ε. x 0 x, f (x) = x x, x. 0 Mmy f (x) 0 dl 0 x. Nie m jedk zbieżości jedostjej, bo f ( ) =. W psie o promieiu wokół zer ie m wykresu żdej z fukcji f.

Ciągi i szeregi fukcyje 43 Twierdzeie 4.3. Gric jedostjie zbieżego ciągu fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Dowód. Złóżmy, że ciąg f (x) jest zbieży jedostjie do fukcji f(x). Sprwdzmy ciągłość fukcji f w pukcie x 0. Ustlmy liczbę ε > 0. Z złożei istieje próg N, tki, że dl > N mmy f (x) f(x) < ε 3. W szczególości f N+ (x) f(x) < ε 3. Z ciągłości fukcji f N+ istieje liczb δ > 0 tk, że dl x x 0 < δ mmy Ztem dl x x 0 < δ otrzymujemy f N+ (x) f N+ (x 0 ) < ε 3. f(x) f(x 0 ) f(x) f N+ (x) + f N+ (x) f N+ (x 0 ) + f N+ (x 0 ) f N+ (x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Wiosek 4.4. Jeśli ciąg fukcji ciągłych f jest zbieży puktowo do fukcji f, le f ie jest ciągł, to ciąg f ie jest zbieży jedostjie. Przykłd. f(x) = x, 0 x. Gric puktow ie jest fukcją ciągłą. Twierdzeie 4.5. Złóżmy, że istieje ciąg liczb > 0 tki, że 0 orz f (x) f(x), x A. Wtedy ciąg f jest zbieży do fukcji f jedostjie zbiorze A. Przykłdy. () f (x) = x + x, x 0. Mmy f (0) = 0. Dl x > 0 szcujemy f (x) x x =. Ztem 0 f (x), x 0.

44 Aliz mtemtycz ISIM I (b) f (x) = x x +, 0 x. Dl 0 x mmy Z kolei dl x 0 f (x) = x ( x) x ( ). 0 f (x) = x ( x) x. Ztem dl 0 x uzyskujemy 0 f (x) ( ) + 0, bo ( ) = [ ( ) ]. Twierdzeie 4.6 (wruek Cuchy ego zbieżości jedostjej). Ciąg fukcji f (x) jest jedostjie zbieży zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy ε > 0 N x A, m > N { f (x) f m (x) < ε }. Uwg. Ituicyjie ozcz to, że jeśli i m są duże, to wykresy fukcji f i f m leżą blisko siebie. Dowód. ( ). Z złożei dl kżdego puktu x z A ciąg liczbowy f (x) spełi wruek Cuchy ego. Ztem f (x) jest zbieży. Ozczmy f(x) = lim f (x). Chcemy pokzć, że f f. Niech ε > 0. Z złożei istieje próg N tki, że dl, m > N mmy Wtedy dl > N otrzymujemy f (x) f m (x) < ε, x A. f (x) f(x) = lim m f (x) f m (x) ε < ε. Twierdzeie 4.7 (Dii). Niech f (x) będzie mootoiczym ciągiem fukcji cigłych określoych przedzile [, b], tz. spełioy jest jede z dwu wruków:

Ciągi i szeregi fukcyje 45 () f (x) f + (x) dl x b, N. (b) f (x) f + (x) dl x b, N. Złóżmy, że f jest zbieży puktowo do fukcji f ciągłej [, b]. Wtedy zbieżość f do f jest jedostj. Dowód. Złóżmy, że f (x) g (x) 0. Trzeb pokzć, że g f(x). Ozczmy g (x) = f(x) f (x). Wtedy 0. Złóżmy ie wprost, że g To ozcz, że istieje liczb ε > 0 tk, że dl dowolego wyboru liczby turlej N istieje liczb turl > N orz pukt x N w [, b] tkie, że g (x N ) ε. Wtedy g N+ (x N ) g (x N ) ε, dl > N. N podstwie twierdzei Bolzo-Weierstrss możemy wybrć podciąg zbieży x Nk. Ozczmy x 0 = lim x Nk. Wtedy dl m N k otrzymujemy k g m (x Nk ) g Nk +(x Nk ) ε. Przechodzimy do gricy, gdy k by uzyskć g m (x 0 ) = lim k g m (x Nk ) ε. Ale g m (x 0 ) m 0, co dje sprzeczość. Defiicj 4.8. Mówimy, że szereg f (x) jest jedostjie zbieży dl = x A, jeśli ciąg sum częściowych s (x) = f k (x) jest jedostjie zbieży. k= Przykłd. x, 0 x. Mmy = 0. s (x) = k= x k = x x+ x x x. Sprwdzmy zbieżość jedostją s (x) x x = x+ x + = 0.

46 Aliz mtemtycz ISIM I Twierdzeie 4.9 (Wruek Cuchy ego). Szereg f (x) jest jedostjie zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy ε > 0 N x A > m > N { f m+ (x) + f m+ (x) +... + f (x) < ε }. Dowód. s (x) s m (x) = f m+ (x) + f m+ (x) +... + f (x). = Twierdzeie 4.0 (kryterium Weierstrss o mjoryzcji). Jeśli szereg liczbowy o wyrzch ieujemych jest zbieży orz f (x) dl x A, = to szereg f (x) jest zbieży jedostjie i bezwzględie dl x A. = Dowód. Sprwdzmy wruek Cuchy ego. Dl > m mmy f m+ (x) + f m+ (x) +... + f (x) f m+ (x) + f m+ (x) +... + f (x) m+ + m+ +... +. Tezę uzyskujemy z wruku Cuchy ego dl szeregu. = Twierdzeie 4.. Jeśli fukcje f (x) są ciągłe orz szereg f (x) jest = zbieży jedostjie A, to sum szeregu s(x) = f (x) jest fukcją = ciągłą A. x Przykłd.. Szereg jest zbieży dl wszystkich wrtości x p. z kryterium d Alembert. Rozwżmy x. Wtedy x =0!!!. Z kryterium Weierstrss szereg jest zbieży jedostjie i bezwzględie w przedzile [, ]. Sum szeregu reprezetuje więc fukcję ciągłą R, bo jest dowolą dodtią liczbą. Ozczmy x exp(x) = =0!.

Ciągi i szeregi fukcyje 47 Wtedy exp(0) = orz exp() = +! +! + 3! +... +! +... = e. Korzystjąc z możei szeregów metodą Cuchy ego otrzymmy x exp(x) exp(y) = =0! =0 =! =0 y! = k=0 x k y k ( k)! k! x k y k (x + y) =! =0 k=0 ) ( k =0 = exp(x + y). W oprciu o podrozdził 3.6 z włsości fukcji exp(x) wyik, że exp(x) = e x. Udowodiliśmy więc, że e x x = =0!. Przykłdy. () f(x) = = si x, x R. Ztem f(x) jest fukcją ciągłą. si x. si x (b) g(x) =, x R. Szereg jest zbieży dl x R z kryterium = Dirichlet. Moż pokzć lizując dowód twierdzei Dirichlet i pierwszy przykłd po tym twierdzeiu, że zbieżość jest jedostj dl x kπ ε > 0. Defiicj 4.. Szeregi postci x zywmy potęgowymi. =0 Przykłd. Szereg x jest zbieży tylko dl x <. Mówimy wtedy, że = liczb jest promieiem zbieżości tego szeregu.

48 Aliz mtemtycz ISIM I Defiicj 4.3. Promieiem zbieżości szeregu x zywmy kres góry wrtości bezwględych liczb x, dl których szereg jest =0 zbieży. () (b) ( ) + x. Zjdziemy promień zbieżości z kryterium d Alembert. = ( ) + x + + ( ) + x ( = + ) x x. Dl x < szereg jest bezwzględie zbieży dl x > jest rozbieży. Promień zbieżości wyosi. =0 x. Promień zbieżości wyosi.! (c)!x. Promień zbieżości wyosi 0. =0 Twierdzeie 4.4. Jeśli R > 0 jest promieiem zbieżości szeregu x, =0 to szereg jest zbieży dl x < R i rozbieży dl x > R. Podto zbieżość jest jedostj w kżdym przedzile [ r, r] dl 0 < r < R. Dowód. Z określei liczby R szereg jest rozbieży dl x > R. Kżd liczb x < R leży w pewym przedzile [ r, r] dl r < R, (p. r = x ). Z określei promiei zbieżości istieje liczb x 0 spełijąc r < x 0 < R orz szereg x 0 jest zbieży. Wtedy x 0 0. Ztem x 0 M =0 dl pewej dodtiej liczby M. Niech Niech x r. Wtedy ( ) x = x x r 0 M. x 0 x 0 Ale r x 0 <. Ztem z kryterium Weierstrss uzyskujemy jedostją i bezwzględą zbieżość w przedzile [ r, r]. Uwg. Z dowodu wyik, że { } R = sup x : x jest zbieży =0 = sup{ x : x jest ogriczoy} (4.)

Ciągi i szeregi fukcyje 49 Twierdzeie 4.5. (i) R =, o ile gric wyrżei w mi- lim owiku istieje. (ii) R =, o ile gric wyrżei w miowiku istieje. + lim W obu przypdkch dopuszczmy gricę rówą 0 lub. Wtedy R = lub R = 0, odpowiedio. Przykłdy. () (b) = x 0. Mmy lim =0 x =. 0. Wtedy 04 = 0. Nie możemy zstosowć poprzediego twierdzei. Stosujemy kryterium Cuchy ego x = x 0 x <, x =, x >. (c) Ztem R =. =0 x!. Z kryterium d Alembert! x (+)!! ( + )! x! = x! + 0 x, x >. Uwg. Moż udowodić, że R =. Rzeczywiście, iech A = lim sup { x : x jest ogriczoy}. Dl x A mmy x M dl pewej liczby M > 0. Ztem x M /. /

50 Aliz mtemtycz ISIM I Niech α ozcz jwiększy pukt skupiei ciągu /. Wtedy k / k k α dl pewego podciągu liczb turlych k. Ztem x N podstwie (4.) otrzymujemy Z kolei jeśli M / k k / k k α. R α = lim sup /. x > lim sup /, to lim sup x / >. To ozcz, że ciąg x ie jest ogriczoy. Twierdzeie 4.6. Sum szeregu s(x) = x jest fukcją ciągłą w =0 przedzile ( R, R). Dowód. s (x) = k x k jest fukcją ciągłą. Wiemy, że s (x) s(x) dl k=0 r x r dl dowolej liczby 0 < r < R. Stąd otrzymujemy tezę. Twierdzeie 4.7 (Abel). Jeśli szereg f(x) = x jest zbieży dl x =, to fukcj f(x) jest lewostroie ciągł w pukcie x = jeśli > 0 i prwostroie ciągł, jeśli < 0. Dowód. Wystrczy rozwżyć przypdek =. Chcemy udowodić, że lim f(x) = f() =. x =0 Ozczmy s = k i s =. Wtedy (przyjmując s = 0 otrzymujemy k=0 =0 k x k = (s k s k )x k k=0 k=0 = s k x k s k x k+ = ( x) s k x k + s x +. k=0 k=0 k=0 =0

Pochode 5 Dl 0 < x < przechodzimy do gricy w podkreśloych wyrżeich. Poiewż ciąg s jest ogriczoy, to s x + 0. Ztem Dlej f(x) = x = ( x) s x. =0 =0 f(x) f() = ( x) s x s =0 = ( x) s x ( x) sx = ( x) (s s)x. =0 =0 =0 Otrzymujemy więc N f(x) f() ( x) s s x + ( x) s s x. =0 =N+ Dl ε > 0 istieje liczb turl N tk, że s s < ε/. Ciąg s jest ogriczoy więc s M dl pewej liczby M > 0. Wtedy f(x) f() M( x) Jeśli x < 5 Pochode N =0 x + ε ( x) ε, to f(x) f() < ε. 4M(N+) x =0 M(N + )( x) + ε. Przez pukt P i Q P okręgu przeprowdzmy sieczą. Gdy pukt Q zbliż się do puktu P, to przyjmujemy, że gricze położeie sieczych określ położeie styczej do okręgu w pukcie P. Będziemy zjmowć się styczymi do wykresów fukcji y = f(x). Chcemy zleźć styczą do wykresu w pukcie (, f()). Wybierzmy iy pukt wykresu (x, f(x)). Nchyleie (współczyik kierukowy) sieczej przechodzącej przez pukty (, f()) i (x, f(x)) wyosi f(x) f(). x

5 Aliz mtemtycz ISIM I Ztem chyleie styczej wyrż się wzorem lim x f(x) f(). x Wyrżeie pod gricą zywmy ilorzem różicowym. Obiekt porusz się po liii pioowej i jego wysokość w chwili t wyosi h(t). Chcemy obliczyć prędkość w chwili t =. Wybiermy momet czsu t blisko, le t (p. t > ). Średi prędkość w przedzile czsu od do t wyosi h(t) h(). t Prędkość chwilow określo jest wzorem h(t) h() lim. t t Defiicj 5.. Mówimy, że fukcj f(x) określo w pewym przedzile wokół puktu m pochodą w tym pukcie, jeśli istieje gric f f(x) f() () = lim. x x Uwg. Liczb f () określ chwilowe tempo zmiy wrtości fukcji w pukcie. Jeśli f () istieje, to rówie styczej do wykresu fukcji y = f(x) w pukcie (, f()) m postć y f() = f ()(x ). Przykłd. Chcemy zleźć rówie styczej do wykresu y = x w pukcie (, ). Mmy x x = x ( x )( x + ) = x + x. Rówie styczej to y = (x ).

Pochode 53 Defiicj 5.. Jeżeli fukcj f(x) jest określo w przedzile [, + δ) (lub ( δ, ]) orz istieje gric f +() = lim x + f(x) f() x ( ) lub f () f(x) f() = lim, x x to mówimy, że istieje pochod prwostro (lub lewostro) w pukcie. Przykłd. Zrzucmy kmień z wysokości 0m. Jk jest prędkość kmiei w chwili uderzei w ziemię? Mmy Trzeb obliczyć h (). h h(t) h() () = lim t t Oczywiście h +() = 0. 0 5t 0 t, h(t) = 0 t >. 0 5t = lim t t 5( t )(t + ) = lim t t 0. Twierdzeie 5.3. Jeśli fukcj f(x) m pochodą w pukcie, to jest w tym pukcie ciągł. Dowód. f(x) f() = f(x) f() x }{{} f () (x ) }{{} 0 0. x Twierdzeie 5.4. Złóżmy, że f () i g () istieją. Wtedy (i) (f ± g) () = f () ± g (). (ii) (fg) () = f ()g() + f()g (). (iii) ( ) f () = f ()g() f()g (), o ile g() 0. g g()

54 Aliz mtemtycz ISIM I Dowód. (iii) = f(x) g(x) f() g() x g(x)g() f(x)g() f()g(x) = g(x)g()(x ) [f(x) f()]g() f()[g(x) g()] x f ()g() f()g (). x g() Przykłdy. () f(x) c. f () = 0. (b) f (x) = x,. f () x = x lim x (c) g (x) = x = f (x), x 0. g (x) = = lim x (x +x ++ x 3 +...+ x+ ) ( ) = f (x) f (x) f (x) = + +... + =. }{{} skłdików = x x = x. Uwg. Przykłdy (b) i (c) dją (x ) = x dl Z. Czsmi stosuje się iy zpis dl pochodej. Przyjmując h = x mmy f f( + h) f() () = lim. h 0 h Ile wyosi lim [ f( + ) f() ]? To wyrżeie jest rówe lim f( + ) f() = f ().