5. Relacja prawostronnie jednoznaczna (jednoznaczna, inaczej: jest funkcją), jeżeli

Podobne dokumenty
Sterowanie rozmyte. mgr inż. Piotr Fiertek p. 544

Analiza matematyczna 1

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Zbiory, relacje i funkcje

14. Grupy, pierścienie i ciała.

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Relacje. Relacje / strona 1 z 18

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

RELACJE I ODWZOROWANIA

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Topologia I Wykład 4.

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Elementy logiki matematycznej

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

Logika matematyczna w informatyce

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

Pytania i polecenia podstawowe

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Rozdział 7 Relacje równoważności

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory

Warsztat pracy matematyka

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7

III. Funkcje rzeczywiste

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Funkcja. Poj cie funkcji i podstawowe wªasno±ci. Dziedzina

Relacje. Zdania opisujące stosunki dwuczłonowe mają ogólny wzór budowy: xry, co czytamy: x pozostaje w relacji R do y.

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Równania różniczkowe cząstkowe

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

MATEMATYKA DYSKRETNA. doc. dr hab. inż. Marek Libura

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Równania różniczkowe cząstkowe

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne

Wykładowcy. Podstawy matematyki dla informatyków. Różne książki dla dociekliwych. Materiały. Books in English. Zaliczenie. Klasówka.

Działanie grupy na zbiorze

Jak należy się spodziewać, mamy. Zauważmy jednak, że nie zachodzi równość

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

IVa. Relacje - abstrakcyjne własności

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Analiza funkcjonalna 1.

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Przekształcenia liniowe

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

Pochodna funkcji wykład 5

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

Systemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

Transkrypt:

ELJE EF. elacją w produkcie podzbiór n. n (relacją n-argumentową) zwam dowoln EF. elację zbioru. EF. elację zwam relacją międz elementami zbioru a elementami 2 zwam relacją w () zbiorze. EF. la dowolnej 2-argumentowej określam zbior. ziedzi relacji 2. Przeciwdziedzi relacji * 4. Pole relacji P 5. elacja prawostronnie jednozcz (jednozcz iczej jest unkcją) jeżeli z z z Jeżeli jest unkcją to zwam zbiorem jej argumentów zaś * zbiorem jej wartości. Jeżeli argumentowi unkcja przporządkowuje wartość to mówim że jest wartością unkcji dla argumentu i zapisujem to w postaci (zamiast zwkle użwam ozczenia ). 6. elacja jest lewostronnie jednozcz (odwrotnie jednozcz) jeżeli z z z 7. elacja która jest lewostronnie i prawostronnie jednozcz jest unkcją wzajemnie jednozczną

LGE ELJI Niech U. Na relacjach określam stępujące działania opełopełne Iloczn uma tak jak dla zbiorów elacja odwrot do relacji Mam oraz uperpozcja (złożenie) relacji i z z z PW algebr relacji

YPY ELJI W ZIOZE Niech. Notacja Piszem zamiast Piszem. zamiast n n EF. elacja identczności w zbiorze I I Nazwa tpu einicja wierdzenie ( ) Zwrot metrcz I Przechodnia ( z ) z z Przeciwzwrot ( ) Przeciwsmetrcz ( ) ntsmetrcz ( ) pój łabospój I I I 2 2

FUNKJE EF. Funkcją zwam dowoln podzbiór taki że dla dowolnch i 2 2 2. Jeżeli to argument unkcji wartość unkcji. Zamiast. piszem ziedzi unkcji (zbiór argumentów) Przeciwdziedzi unkcji (zbiór wartości) W EF. Jeżeli i W Y to mówim że jest unkcją określoną zbiorze i o wartościach w zbiorze Y. Piszem w zbiór Y. Y. Mówim też że unkcja przekształca zbiór odzaje unkcji. Y jest (surjekcja) jeżeli W Y. Piszem Y Fakt W 2. Y jest różnowartościowa (injekcja) jeżeli 2 2 2 2 2 2 Piszem Y 3. Y jest wzajemnie jednozcz (bijekcja) jeżeli Y. Fakt la unkcji różnowartościowej. W

Złożenie unkcji EF. Złożeniem (superpozcją) unkcji i g zwam unkcję stępująco g z W z g g zdeiniowaną Fakt. g g 2. z g g g 3. g g g z Własności. Jeżeli i g są unkcjami to g jest unkcją. 2. g i * g * g 3. Jeżeli i g to g. 4. Jeżeli i g to g. Jeżeli unkcje i g są różnowartościowe to g jest różnowartościowa. 5. Jeżeli i g to g. 6. Jeżeli i g to g. 7. Jeżeli to.

Funkcja odwrot EF. Jeżeli jest unkcja różnowartościową to zbiór jest też unkcją (różnowartościową). Funkcję tę zwam unkcją odwrotną unkcji i ozczam. Fakt. W W 2. la dowolnch i W czli i 3. Funkcje wzajemnie odwrotne są smetrczne względem prostej =.

OZY WYZNZONE PZEZ FUNKJĘ Y Y Y () Własności obrazu wzczonego przez unkcję 2 - różnowartościowa 3 - różnowartościowa 4

PZEIWOZY WYZNZONE PZEZ FUNKJĘ Y Y Y Własności przeciwobrazu 2 3 4 5 6 - różnowartościowa

ELJ ÓWNOWŻNOŚI Na wielkie zczenie tch relacji w różnch dziedzich matematki pierwsz zwrócił uwagę G.Frege (8884 r.) elację zwam relacją równoważności w zbiorze jeżeli jest relacją zwrotną smetrczną i przechodnią tzn. jeżeli spełnione są stępujące warunki 2 3 ( z ) z z Niech będzie dowolną relacją równoważności w i czli. Zbior dla zwam klasami równoważności w lub klasami abstrakcji relacji w. Niech będzie dowolną relacją równoważności w zbiorze to 2 3 Zasada abstrakcji (zasada identikacji elementów równoważnch) owol relacja równoważności w zbiorze ustala podział tego zbioru rozłączne i niepuste podzbior mianowicie klas równoważności tej relacji w taki sposób że dwa element zbioru leżą do tej samej klas równoważności wted i tlko wted gd (). Prz przejściu od elementów zbioru do klas równoważności relacja równoważności zostaje zamienio relację równości. Z metod identikacji elementów równoważnch korzsta się w matematce bardzo często szczególnie wted gd zachodzi potrzeba wprowadzenia nowch tworów matematcznch.

ELJE POZĄKUJĄE. elacja porządkująca (częściowo-porządkująca) elację zwam porządkującą (częściowo porządkującą) zbiór jeżeli jest zwrot przechodnia i antsmetrcz czli jeżeli spełnia stępujące warunki a) b) ( z z ) z c) ( ) 2. elacja quasi-porządkująca elację zwam quasi-porządkującą zbiór jeżeli jest zwrot i przechodnia czli a) b) z z z 3. elacja liniowo-porządkująca elację dwuczłonową w porządkującą zbiór zwam liniowo-porządkującą jeżeli spełnia warunek spójności