ELJE EF. elacją w produkcie podzbiór n. n (relacją n-argumentową) zwam dowoln EF. elację zbioru. EF. elację zwam relacją międz elementami zbioru a elementami 2 zwam relacją w () zbiorze. EF. la dowolnej 2-argumentowej określam zbior. ziedzi relacji 2. Przeciwdziedzi relacji * 4. Pole relacji P 5. elacja prawostronnie jednozcz (jednozcz iczej jest unkcją) jeżeli z z z Jeżeli jest unkcją to zwam zbiorem jej argumentów zaś * zbiorem jej wartości. Jeżeli argumentowi unkcja przporządkowuje wartość to mówim że jest wartością unkcji dla argumentu i zapisujem to w postaci (zamiast zwkle użwam ozczenia ). 6. elacja jest lewostronnie jednozcz (odwrotnie jednozcz) jeżeli z z z 7. elacja która jest lewostronnie i prawostronnie jednozcz jest unkcją wzajemnie jednozczną
LGE ELJI Niech U. Na relacjach określam stępujące działania opełopełne Iloczn uma tak jak dla zbiorów elacja odwrot do relacji Mam oraz uperpozcja (złożenie) relacji i z z z PW algebr relacji
YPY ELJI W ZIOZE Niech. Notacja Piszem zamiast Piszem. zamiast n n EF. elacja identczności w zbiorze I I Nazwa tpu einicja wierdzenie ( ) Zwrot metrcz I Przechodnia ( z ) z z Przeciwzwrot ( ) Przeciwsmetrcz ( ) ntsmetrcz ( ) pój łabospój I I I 2 2
FUNKJE EF. Funkcją zwam dowoln podzbiór taki że dla dowolnch i 2 2 2. Jeżeli to argument unkcji wartość unkcji. Zamiast. piszem ziedzi unkcji (zbiór argumentów) Przeciwdziedzi unkcji (zbiór wartości) W EF. Jeżeli i W Y to mówim że jest unkcją określoną zbiorze i o wartościach w zbiorze Y. Piszem w zbiór Y. Y. Mówim też że unkcja przekształca zbiór odzaje unkcji. Y jest (surjekcja) jeżeli W Y. Piszem Y Fakt W 2. Y jest różnowartościowa (injekcja) jeżeli 2 2 2 2 2 2 Piszem Y 3. Y jest wzajemnie jednozcz (bijekcja) jeżeli Y. Fakt la unkcji różnowartościowej. W
Złożenie unkcji EF. Złożeniem (superpozcją) unkcji i g zwam unkcję stępująco g z W z g g zdeiniowaną Fakt. g g 2. z g g g 3. g g g z Własności. Jeżeli i g są unkcjami to g jest unkcją. 2. g i * g * g 3. Jeżeli i g to g. 4. Jeżeli i g to g. Jeżeli unkcje i g są różnowartościowe to g jest różnowartościowa. 5. Jeżeli i g to g. 6. Jeżeli i g to g. 7. Jeżeli to.
Funkcja odwrot EF. Jeżeli jest unkcja różnowartościową to zbiór jest też unkcją (różnowartościową). Funkcję tę zwam unkcją odwrotną unkcji i ozczam. Fakt. W W 2. la dowolnch i W czli i 3. Funkcje wzajemnie odwrotne są smetrczne względem prostej =.
OZY WYZNZONE PZEZ FUNKJĘ Y Y Y () Własności obrazu wzczonego przez unkcję 2 - różnowartościowa 3 - różnowartościowa 4
PZEIWOZY WYZNZONE PZEZ FUNKJĘ Y Y Y Własności przeciwobrazu 2 3 4 5 6 - różnowartościowa
ELJ ÓWNOWŻNOŚI Na wielkie zczenie tch relacji w różnch dziedzich matematki pierwsz zwrócił uwagę G.Frege (8884 r.) elację zwam relacją równoważności w zbiorze jeżeli jest relacją zwrotną smetrczną i przechodnią tzn. jeżeli spełnione są stępujące warunki 2 3 ( z ) z z Niech będzie dowolną relacją równoważności w i czli. Zbior dla zwam klasami równoważności w lub klasami abstrakcji relacji w. Niech będzie dowolną relacją równoważności w zbiorze to 2 3 Zasada abstrakcji (zasada identikacji elementów równoważnch) owol relacja równoważności w zbiorze ustala podział tego zbioru rozłączne i niepuste podzbior mianowicie klas równoważności tej relacji w taki sposób że dwa element zbioru leżą do tej samej klas równoważności wted i tlko wted gd (). Prz przejściu od elementów zbioru do klas równoważności relacja równoważności zostaje zamienio relację równości. Z metod identikacji elementów równoważnch korzsta się w matematce bardzo często szczególnie wted gd zachodzi potrzeba wprowadzenia nowch tworów matematcznch.
ELJE POZĄKUJĄE. elacja porządkująca (częściowo-porządkująca) elację zwam porządkującą (częściowo porządkującą) zbiór jeżeli jest zwrot przechodnia i antsmetrcz czli jeżeli spełnia stępujące warunki a) b) ( z z ) z c) ( ) 2. elacja quasi-porządkująca elację zwam quasi-porządkującą zbiór jeżeli jest zwrot i przechodnia czli a) b) z z z 3. elacja liniowo-porządkująca elację dwuczłonową w porządkującą zbiór zwam liniowo-porządkującą jeżeli spełnia warunek spójności