Relacje. Zdania opisujące stosunki dwuczłonowe mają ogólny wzór budowy: xry, co czytamy: x pozostaje w relacji R do y.

Transkrypt

1 Zdania stwierdzające relację Pewne wyrazy i wyraŝenia wskazują na stosunki, czyli relacje, jakie zachodzą między róŝnymi przedmiotami. Do takich wyrazów naleŝą m. in. wyrazy: nad, pod, za, przy, braterstwo, mniejszość, itp.. Stosunki między przedmiotami opisujemy w takich zdaniach, jak Jan jest bratem Piotra, Paweł jest starszy od Piotra, itp..

2 Ograniczymy nasze rozwaŝania do relacji dwuczłonowych opisywanych w zdaniach, w których mowa jest o dwóch obiektach powiązanych owym stosunkiem. Jednak w rzeczywistości moŝemy takŝe wyróŝnić relacje trój-, czwór- i więcej - członowe. Relacja pośredniczenia między podmiotami w sprawie nabycia nieruchomości jest przykładem relacji czwórczłonowej, zachodzącej pomiędzy sprzedającym, kupującym, pośrednikiem i nieruchomością.

3 Zdania opisujące stosunki dwuczłonowe mają ogólny wzór budowy: xry, co czytamy: x pozostaje w relacji R do y. Gdy istnieje przedmiot y, do którego przedmiot x pozostaje w określonej relacji R, wtedy x nazywamy poprzednikiem relacji R. Gdy istnieje x, który pozostaje w relacji R do przedmiotu y, wtedy y jest następnikiem tej relacji.

4 Na przykład, jeśli weźmiemy stosunek jest potomkiem, to jakieś niemowlę moŝe być poprzednikiem tego stosunku, gdyŝ moŝna powiedzieć: To niemowlę jest potomkiem tego a tego ; nie moŝe być jednak następnikiem tej relacji, bo nie moŝna o nikim powiedzieć, Ŝe jest potomkiem jakiegoś niemowlęcia, które właśnie oglądamy.

5 Zbiór desygnatów uniwersum, które są poprzednikami, nazywamy dziedziną relacji (dominium). Te, które są następnikami, tworzą przeciwdziedzinę relacji (condominium). Suma dziedziny i przeciwdziedziny relacji stanowi jej pole (campus).

6 Formalnie zapisywać będziemy to tak: dziedzinę oznaczamy przez D(R) i określamy { D ( R ) = x : xry }. D(R) { D( R) = y : xry}. przeciwdziedzinę oznaczamy i określamy pole relacji oznaczamy symbolem P(R) i definiujemy P( R) = D( R) D( R) y x

7 Rozpatrując określoną relację R, czasami ograniczamy zbiór przedmiotów mogących być elementami jej dziedziny lub przeciwdziedziny. Mówimy wówczas, Ŝe relacja ta jest ograniczona w dziedzinie lub przeciwdziedzinie. Na przykład relację bycia ojcem moŝemy ograniczyć w dziedzinie do osób obecnieŝyjących.

8 W przypadku niektórych relacji występuje sytuacja polegająca na tym, Ŝe wystąpieniu określonego stosunku R zachodzącego pomiędzy x a y, towarzyszy zawsze wystąpienie innego stosunku Q pomiędzy y a x. Chodzi przy tym o sytuację, w której określonej jednej relacji x a y, odpowiada dokładnie jedna relacja występująca pomiędzy y a x.

9 Mówimy wówczas, Ŝe relacja Q jest konwersem relacji R. Dla przykładu konwersem relacji bycia wyŝszym jest bycie niŝszym, bycia starszym bycie młodszym, bycia mądrzejszym bycie głupszym. Formalnie zapisujemy to tak: x, [ xry yqx] y

10 Własności relacji Zwrotność, Antyzwrotność, Symetryczność, Asymetryczność, Quasi-asymertyczność, Nonsymetryczność, Przechodniość (tranzytywność), Spójność.

11 Stosunki porządkujące i równowaŝnościowe (ekwiwaletne) w danej klasie przedmiotów: Relację porządkującą nazywamy relację asymetryczną, przechodnią i spójną (liniowy porządek). Bez spójności mamy do czynienia z relacją słabo porządkującą. Przykładem relacji mocno porządkującej jest relacja bycia wyŝszym.

12 Relacją równowaŝności nazywamy relację, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Przykładami takich relacji są relacje równoliczności zbiorów, równoległości prostych, czy teŝ relacja bycia rówieśnikiem. Relacja równowaŝnościowa ma w logice istotne znaczenie, stanowi bowiem podstawę podziału logicznego.

13 Pozwala ona bowiem dzielić określony zbiór na tzw. klasy abstrakcji, to znaczy klasy przedmiotów pozostających w stosunku równowaŝnościowym do określonego elementu tej klasy.

14 JeŜeli relacja R jest skończona, tzn. jej dziedzina i przeciwdziedzina są zbiorami skończonymi, to taką relację moŝna przedstawić graficznie za pomocą grafu lub macierzy relacji.

15 Grafem relacji R nazywamy parę uporządkowaną ( P(R); R ), gdzie pole relacji stanowi zbiór wierzchołków tego grafu, natomiast sama relacja R określa zbiór krawędzi w ten sposób, Ŝe wierzchołek x jest połączony z wierzchołkiem y, o ile tylko xry.

16 Macierzą relacji R pomiędzy elementami skończonych zbiorów = { x x } D R),,..., ( 1 2 { y, y } D R) =,..., ( 1 2 x n y m nazywamy układ nxm liczb danych zaleŝnością v(xry) i zestawionych w n poziomych wierszach i m pionowych kolumnach.

17 Przykład Niech P(S)={Jan, Edek, Arek, Marek}. Wiemy, Ŝe Jan lubi Arka i Marka, Edek lubi Jana, Arek lubi Marka oraz Marek lubi Jana i Edka. Relację sympatii pomiędzy tymi panami moŝna przedstawić za pomocą zbioru S={(J,A), (J,M), (E,J), (A,M), (M,J), (M, E)}

18 Macierz i graf tej relacji maja postać: S = J A E M