ELEKTRYK 4 Zeszy 4 3 Rok LX Drsz PŁEK Polechk Śląsk w Glwcch O JEDNOZNCZNOŚCI ROZWIĄZŃ RÓWNŃ POL ELEKTROMGNETYCZNEGO W OBZRZE NIZOTROPOWYM I NIETCJONRNYM reszczee. rykł prezeje rozwż eoreycze, doyczące jedozczośc rozwązń rówń różczkowych cząskowych drgego rzęd orz rówń Mxwell w środowskch zoropowych escjorych. łow klczowe: rozwązywlość rówń różczkowych cząskowych orz rówń Mxwell w środowskch zoropowych escjorych ON UNIQUENE OF OLUTION OF ELECTROMGNETIC FIELD EQUTION IN NIOTROPIC ND NONTTIONRY REGION mmry. The pper preses heorecl lyss of qeess for solo of secod order prl dfferel eqos d of Mxwell eqos soropc d osory rego. Keywords: qe solo of some prl dfferel eqos d of Mxwell eqos of elecromgec feld soropc d osory rego. WPROWDZENIE Wele zgdeń echczych w ym elekroechk jes opsych rówm różczkowym cząskowym drgego rzęd, km jk rówe: dyfzj, flowe, flowe z dyfzją, Helmholz podpk. Zgde eor pol elekromgeyczego opsją rów Mxwell prowdzą róweż do rówń różczkowych cząskowych drgego rzęd podpk 3. Zpewee jedozczośc rozwązń rówń wymg zd odpowedch wrków brzegowych począkowych [, 5, 9,, ]. Defow różych posc wrków brzegowych orz określ przypdków, w kórych e moż zpewć jedozczośc dl rozwązń, pośwęcoe są lzy eoreycze przedswoe w ejszym rykle. W przypdk rówń Mxwell podpk 3 dokoo róweż ogóle rozwżń obszry zoropowe escjore, w kórych prmery środowskowe zleżą od czs, p. ε = ε, d.
8 D. płek. TWIERDZENIE O JEDNOZNCZNEJ ROZWIĄZYWLNOŚCI RÓWNŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄTKOWYCH RZĘDU Nech de jes rówe w obszrze spójym, gdze jes fkcją w ogólośc zespoloą klsy C, = dl rów flowego ze skłdkem dyfzyjym, współczyk są ejeme słe w rozwżym obszrze. Rys.. Obszr pol opsego rówem zdy wrek brzegowy Fg.. Feld descrbed by eqo d bodry codo gve Nech seją dw rozwąz p. merycze orz, kóre e są ożsmoścowo rówe. Różc ob rozwązń Δ = speł rówe:, gdze jes fkcją zespoloą sklrą klsy C. Z werdze o jedokroym cłkow przez częśc 3 d d grd d grd grd, 3 po względe prowdz do ożsmośc 4 d d grd grd. 4 Jedozczość rozwąz rozwżo zose dl dwóch posc rów cząskowego: Dl rów flowo-dyfzyjego ze skłdkem lowym = w dzedze czs opsjącego fkcję sklrą rzeczywsą, słych współczykch przy podswe = / zchodz 5 d d grd.5
O jedozczośc rozwązń 9 Jeżel speło jes w kżdej chwl czs > kżdym pkce brzegowym erówość 6 d, 6 o scłkowe po czse ϵ [, ] rów 5 przy względe spełe wrk począkowego przez ob rozwąz czyl Δ = prowdz do erówośc 7 grd d d, 7 w kórej Δ = Δ,. Pod cłką po lewej sroe 7 wszyske skłdk są ejeme, zem wyrżee podcłkowe ms zkć 8 grd d, 8 jedocześe zgode z rówoścą 5 erówość 6 przechodz ylko w rówość erówość osr e zchodz. Jeżel jedocześe wszyske współczyk zkją, z., rówe jes rówem Lplce, o zgode z 8 obydw rozwąz różą sę o słą Δ = = cos. W ym przypdk jedozczość rozwąz jes zpewo, gdy frgmece brzeg zdy jes wrek Drchle lb/ Hkel, co prowdz do wyzcze słej cos. Jeżel jed sł w jes ezerow, z. o zgode z 8 zchodz 9, 9, grd co ozcz w kżdym przypdk, że Δ =, czyl rozwąze jes jedozcze. Złożoy wrek w posc erówośc 6 przy wrk 8 jes w szczególośc spełoy, gdy zdo go w kżdym pkce brzegowym, jes spełoy jede z poższych wrków f pew fkcj: I Drchle f D D, II Nem N f N,
D. płek III Hkel formle zwer wrk I orz II 3 fh, 3 przy jedkowych zkch współczyków słych w czse, j. αα >; wedy wrek 6 jes spełoy, gdyż podswee 3 do 6 prowdz do prwdzwej erówośc H 4 d I elowy formle zwer wrk I, II orz III. 4 5 k f y x m H N 5 lb 6 k f y x m H N, 6 osowy, poewż spełoy jes wrek 6. Mowce, zchodz erówość Δx Δy, kór jes speło p. dl fkcj y = yx = kx m + h przy k orz m eprzysym [] lb, ogóle, dl fkcj y = yx mooocze mlejących []. Przykłd. Rówe dyfzj dl pol emperry T w środowsk zoropowym m posć [4, 8] cp T 7 T, 7 gdze cp cepło włścwe przy słym cśe, ρ gęsość ośrodk, λ przewodość cepl, zem zchodz cp 8, 8 co ozcz, że rówe pol emperry m jedozcze rozwąze. Przykłd. Rówe flowo-dyfzyje pol elekromgeyczego m posć dodek D3 zem, 9 v 9, v co ozcz, że rówe flowo-dyfzyje m jedozcze rozwąze. B Dl rów Helmholz = w posc,
O jedozczośc rozwązń podswe 4 dl = Δ * zchodz * * grd grd d * d, gdze jes fkcją zespoloą klsy C p. zespolo skłdow wekorowego poecjł mgeyczego. Współczyk λ jes sły w rozwżym obszrze. Jeżel zde zosą wrk brzegowe I, II lb III, o rówe przyjmje posć 3 grd d d, 3 gdze H jes frgmeem brzeg, kórym zdo III wrek brzegowy Hkel = D N H w posc 3 z ogóle zespoloym współczykm α orz α. Wydzeljąc część rzeczywsą rojoą 3, orzymje sę rów: 4 grd Re{ } d 5 Im{ } d H H Re{ } d, 4 H Im{ } d, 5 kóre pozwlją woskowć w poższych przypdkch o jedozczośc rozwąz. - Jeżel λ = rówe Lplce, o podswe częśc rzeczywsych sro rów 3 zchodzć ms 6 grd d H d, 6 co ozcz, że grdδ = w cłym obszrze, czyl ob rozwąz mogą różć sę o słą. Gdy dodkowo frgme brzeg z I lb III wrkem brzegowym e zk czyl D H, o sł okzje sę być rów zero. Noms gdy = N, o obydw rozwąz rówe Lplce różą sę o słą. - Jeżel λ, orz zchodz, 7 7 Re{ } Re{ } o podswe rów 4 zchodz Δ = rozwąze jes jedozcze. - Jeżel λ, orz zchodz 8 Im{ } Im{ }, 8 o podswe rów 5 zchodz Δ = rozwąze jes jedozcze. - W ych przypdkch podswe powyższego rozmow e moż woskowć o jedozczośc rozwąz. Przykłd. Rówe Helmholz w ośrodk jedorodym m posć rozdzł 3 gdze jγωμ ω μ, zem 9 3 Re{ }, 9 ω μ, Im{ } γωμ. 3
D. płek Jeżel Im{λ } < orz Im{ }>, o rówe Helmholz m jedozcze rozwąze. zgode z erówoścą 8. Jeżel Im{λ } =, o podswe 7 e moż woskowć o jedozczośc rozwąz rów Helmholz. Wpros przecwe, dl fl elekromgeyczej emowej z brzeg zchodz / j e są spełoe wrk 7. Rówe flowo-dyfzyje, kóre jes w ym przypdk rówem ylko flowym, może meć cąg różych rozwązń o chrkerze rezosowym dl ω > [, 3, 4, 5, 6,, 3]. 3. TWIERDZENIE O JEDNOZNCZNYM ROZWIĄZNIU RÓWNŃ MXWELL W OBZRCH NIZOTROPOWYCH I NIETCJONRNYCH Nech dy jes ośrodek: lowy ze względ prmery środowskowe orz w ogólośc zoropowy rys. : 3 D ˆ E, 3 3 B ˆ H, 3 33 j j ˆ o E, 33 b przy czym mcerze współczyków środowskowych ˆ, ˆ, ˆ są symerycze dodo określoe, c mcerz ˆ jes soe dodo określo orz co jmej jed z mcerzyˆ lb ˆ jes soe dodo określo, d mcerze pochodych po czse ˆ, ˆ ˆ 34 ˆ ˆ, ˆ, 34 są określoe jeme, e rozkłdy przesrzee pól E H są zde w chwl =, wedy, o le seje rozwąze rówń Mxwell, o yle przy powyższych złożech rozwąze o jes jedozcze. Rys.. Obszr pol elekromgeyczego lowe zleżośc kosyywe Fg.. Elecromgec feld rego d ler bodry codo
O jedozczośc rozwązń 3 Dowód Złóżmy przecwe, że seją dw rozwąz ozczoe deksm orz spełjące rów Mxwell: B 35 roe 35 orz D 36 roh j. 36 Odejmjąc srom powyższe rów dl rozwązń orz defjąc pol różcowe: 37 E E E, 37 38 H H H, 38 orzymje sę: B 39 ro E, 39 D 4 ro H j. 4 Nsępe, dl pól różcowych, moż zpsć 4 dv E H H roe E roh, 4 zem 4 H E dv E H Hˆ E ˆ E Eˆ, 4 sąd ˆ ˆ 43 dv E H H ˆ H E ˆ E H H E E E ˆ E. 43 Twerdzee Gss, zsosowe dl obszr pol elekromgeyczego o brzeg, prowdz do relcj 44 E H d e e d E ˆEd H ˆ H E ˆ μ ε E d, 44 gdze wprowdzoo ozcze 34 orz: 45 H ˆ H eμ, E ˆ E eε. 45 Rozkłdjąc wekory różcowe po prwej sroe 44 sycze ormle do powerzch brzegowej : 46 H H H, H H, 46
4 D. płek orz podobe dl pol elekryczego, orzymjemy 47 E H d E H d, 47 gdyż ylko loczy skłdowych syczych e jes prosopdły do kerk ormlej. Rówość 44 przyjmje zem posć 48 E d d ˆ d ˆ ˆ H eμ eε E E HH E Ed. 48 Zdjąc wrek brzegowy skłdową syczą ęże pol elekryczego lb mgeyczego dl kżdego, czyl orz rozkłd począkowy w chwl ob pól, zchodz 49 E lb H, 49 5 e Cłkowe 48 względem czs od do prowdz do relcj gdze cłk I e. 5, 5 5 e d ˆ μ eε E Edd I d o ˆ ˆ. 5 5 I H H E Ed Cłk po prwej sroe 5 jes edod, gdyż mocy złoże d mcerze ˆ, ˆ są jeme określoe, zem I jes edode. Wobec złoże b mcerz ˆ jes dodo określo, zem zchodz relcj 53 e d εd ˆ μ e E Edd o 53 dl kżdego. Poewż mcerze ˆ, ˆ są dodo określoe, węc podo złożee c, gdy: - mcerze ˆ, ˆ są soe dodo określoe, o z 53 wyk, że dl pól klsy C : 54 H, 54 55 E, 55 lb - mcerze ˆ, ˆ są soe dodo określoe, o z 53 wyk, że 56 H, 56 gdyż ˆ jes soe dodo określo, wobec ego, że ˆ jes soe dodo określo, o
O jedozczośc rozwązń 5 co jes możlwe wedy ylko wedy, gdy 57 e d E ˆEdd, 57 wobec złożoej soej dodośc mcerzy kodkywośc ˆ. o 58 E 58 Uwg. W przypdk b, gdy mcerz ˆ jes ylko dodo określo, o moż woskowć podswe prwej sroy 53 jedye, że e ˆ ε EE. Powyższe werdzee orzek o jedozczośc rozwąz rówń Mxwell w sch esloych, zkłdjąc, że przyjmej jedo ke rozwąze seje. Jeżel jes o dokłde jedo rozwąze, o jes o rozwąze jedozcze werdzee jes prwdzwe. Jeżel seje przypszczee, że rozwązń jes węcej ż jedo, o mocy werdze mszą oe być wzjeme ożsme. Twerdzee doyczy w ogólośc sów esloych. W przypdk sów sloych w obszrch eprzewodzących γ =, werdzee może e meć zsosow espełoe jes złożee b. N przykłd, w flowodch bądź rezoorch o dele przewodzących śckch pojwć sę może cąg dozwoloych rozwązń pól elekromgeyczych o różych dłgoścch fl różych częsolwoścch. Tk cąg rozwązń speł e sme wrk brzegowe, le zmeość w obszrze delekryczym, eprzewodzącym kżdego z rozwązń jes. 4. PODUMOWNIE Defowe różych posc wrków brzegowych orz wyróżee przypdków, w kórych e moż zpewć jedozczośc dl rozwązń rówń, pośwęcoe są lzy eoreycze przedswoe w ejszym rykle. rykł prezeje rozwż, doyczące jedozczośc rozwąz rówń różczkowych cząskowych drgego rzęd, p. rów: dyfzj, flowego, flowego z dyfzją, Helmholz podpk. W podpkce 3 przedswoo rozwż doyczące jedozczośc rozwąz zgdeń eor pol elekromgeyczego kłd rówń Mxwell w odese do obszrów zoropowych escjorych. BIBLIOGRFI. Bs K.J, Lwreso P.J., Trowbrdge C.W.: The lycl d mercl solo of elecrc d mgec felds. Joh Wley & os, 99.. Ld L.D., Lfszyc E.M.: Teor pol. PWN, Wrszw 98.
6 D. płek 3. Ld L.D., Lfszyc E.M.: Elekrodymk ośrodków cągłych. PWN, Wrszw 96. 4. McLchl N.W.: Rów różczkowe zwyczje w fzyce kch echczych. PWN, Wrszw 964. 5. Rw H.: Elekryczość mgeyzm w echce. PWN, Wrszw 994. 6. kor R.: Teor pol elekromgeyczego. Wydwcw Nkowo-Techcze, Wrszw 998. 7. płek D.: Mxwell eqos for geerlzed lgrg fcol. IEE Proceedgs cece, Mesreme d Techology 996, ol. 43, No., p. 99-. 8. płek D.: The emperre dsrbo d he rsfer soropc elecromechcl coverer. He & Mss Trsfer 999, ol. 4, p. 363-364. 9. płek D.: Thrd bodry codo formlo for elecromgec feld problems. Jorl of Techcl Physcs 999, ol. XL, No., p. 9-.. płek D.: Forh bodry codo for elecromgec feld problems. Jorl of Techcl Physcs, ol. XLI, No., p. 9-44.. ow M., płek D.: Noler bodry codo elecromgec heory lycl scheme of formlo. rchves of Elecrcl Egeerg 3, ol. 6, Isse, p. 63-77.. płek D.: Meody merycze w zgdech elekroechk lze pol elekromgeyczego. Wydwcwo Prcow Komperowej Jck klmerskego, Glwce 4. 3. Tmm I.E.: Podswy eor elekryczośc. WNT, Wrszw 965. Prof. dr hb. ż. Drsz PŁEK Polechk Śląsk Wydzł Elekryczy, Isy Elekroechk Iformyk l. kdemck 44- Glwce e-ml: Drsz.plek@polsl.pl