Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa

Podobne dokumenty
1 Przekształcenie Laplace a

Rozdziaª 1. Przeksztaªcenie Laplace'a. 1.1 Poj cia podstawowe. Autorzy: Marcin Stachura

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a. Przykªad 1 Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe. ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi

1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Ekstremalnie fajne równania

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Macierze i Wyznaczniki

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Funkcje wielu zmiennych

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

Indeksowane rodziny zbiorów

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Funkcje wielu zmiennych

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Macierze i Wyznaczniki

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Spis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Przekroje Dedekinda 1

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

a) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

Wyra»enia logicznie równowa»ne

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Funkcje wielu zmiennych

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

r = x x2 2 + x2 3.

Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Informacje pomocnicze:

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Algebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak

Geometria Algebraiczna

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:

Zbiory i odwzorowania

Matematyka dyskretna

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego

Analiza Matematyczna MAT1317

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Opis matematyczny ukªadów liniowych

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Spis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3

Podstawy matematyki dla informatyków

gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Metody dowodzenia twierdze«

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Równania ró»niczkowe rz du pierwszego

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

5 Równania ró»niczkowe cz stkowe liniowe drugiego

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi

Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,

Matematyka dyskretna dla informatyków

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Interpolacja funkcjami sklejanymi

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Algorytmiczna teoria grafów

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Matematyka dyskretna dla informatyków

Funkcje wielu zmiennych

Zadania. 4 grudnia k=1

8 Równanie przewodnictwa cieplnego

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

7 Ukªady równa«ró»niczkowych zwyczajnych liniowych. Równania ró»niczkowe zwyczajne liniowe wy»szych rz dów

Transkrypt:

Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e t dt. Funkcje, dla których powy»za caªka niewªa±ciwa jet dobrze okre±lona i zbie»na nazywamy oryginaªami. Formalna denicja jet nat puj ca: Oryginaªem nazywamy funkcj f : R R peªniaj c warunki:. f(t) = dla t <, 2. na ka»dym przedziale [, T ] funkcja f ma ko«czon liczb punktów nieci gªo±ci pierwzego rodzaju, 3. itniej taªe C R oraz M > takie,»e dla ka»dego t zachodzi f(t) Me Ct. Uwaga. W niniejzym wykªadzie b dziemy i poªugiwa wyªacznie oryginaªami. Przykªadowo, nawet piz c f(t) = in t, b dziemy mie na my±li funkcj, która dla t nieujemnych jet równa in t, a dla ujemnych przyjmuje warto±. 2. Zauwa»my,»e otani warunek w denicji oryginaªu zapewnia nam zbie»no± caªki niewªa±ciwej f(t)e t dt dla > C. Zachodzi f(t) e t = f(t) e Ct e (C )t Me Ct e Ct e (C )t = Me (C )t, a poniewa» C < zatem e (C )t dt jet zbie»na, a z kryterium porównanczego wniokujemy,»e bezwzgl dnie zbie»na jet caªka f(t)e t dt. Dla funkcji f b d cej oryginaªem deniujemy funkcj L[ f ] wzorem L[ f ]() = f(t)e t dt. Caªka ta jet dobrze okre±lona dla > C, gdzie C jet taª z denicji oryginaªu. Tranformata Laplace'a to przyporz dkowanie f L[ f ].

Uwaga B dziemy pia L[ f(t) ](), zamiat L[ f ](), gdy b dziemy chcieli i odnie± do przekztaªce«na argumencie oryginaªu albo gdy b dziemy zapiywa wzór funkcji explicite, np. L[ in t ](). Przykªady. Obliczymy tranformat Laplace'a funkcji Heaviide'a (t) = L[ (t) ]() = e t dt = lim 2. Podobnie, dla f(t) = e αt mamy 3. Dla f(t) = t mamy L[ t ]() = L[ e αt ]() = Tranformaty wa»nych funkcji T T e t dt = lim T [ te te t t dt = lim T f(t) ] T [ e t {, gdy t,, gdy t <. t= e (α )t dt = α, > α. =, >. ] T + e t 2 = 2, >. L[ f ]() (t), > e αt α, > α t n n! n+ β in βt 2 + β 2 co βt 2 + β 2 t n e αt n! ( α) n+ Twierdzenie Tranformata Laplace'a ma nat puj ce wªano±ci:. L[ f + g ]() = L[ f ]() + L[g]() oraz L[cf]() = cl[ f ]() (liniowo± ), 2. je±li g(t) = f(αt), to L[ g ]() = ( ) α L[ f ] (kalowanie), α co b dziemy te» zapiywa jako L[ f(αt) ]() = ( ) α L[ f(t) ], α 3. L[ e at f(t) ]() = L[ f(t) ]( a) (przeuni cie argumentu obrazu), 2

4. L[ f(t τ) ]() = e τ L[ f(t) ]() (przeuni cie argumentu oryginaªu), 5. L[ t n f(t) ]() = ( ) n (L[ f ]) (n) () (ró»niczkowanie obrazu), Przykªad Niech f(t) = te t. Wtedy L[ te t ]() = ( L[ e t ] ) () = ( Twierdzenie (o jednoznaczno±ci tranformaty) ) = ( ) 2. Je±li funkcje ci gªe f i g maj takie ame tranformaty, to obie równe. Przykªad Wyznaczy funkcj, dla której tranformat Laplace'a jet funkcja 9 2 + 9. L[ f(t) ]() = 9 2 + 9 = 2 + 9 3 3 2 = L[ co 3t ]() 3L[ in 3t ]() = L[ co 3t 3 in 3t ](). + 9 St d f(t) = co 3t 3 in 3t. Metoda operatorowa Wa»nym przykªadem zatoowaniem tranformaty Laplace'a równania ró»niczkowe. Niech f(+) = lim f(t). Wtedy zachodzi nat puj ca wªano± dotycz ca pochodnej tranformaty: t + L[ f ]() = L[ f ]() f(+) L[ f ]() = 2 L[ f ]() f(+) f (+) L[ f ]() = 3 L[ f ]() 2 f(+) f (+) f (+). L[ f (n) ]() = n L[ f ]() n n k f (k ) (+) k= Metoda operatorowa polega na wykorzytaniu tego wzoru do przekztaªcenia równania ró»niczkowego w zwykªe równanie algebraiczne, rozwi zania tego równania i wyznaczenia tranformaty Laplace'a, a nat pnie na odzyfrowaniu tranformaty celem otrzymania rozwi zania równania ró»niczkowego. Przykªady Rozwi za podane równiania ró»niczkowe:. y + y = in t, z warunkiem pocz tkowym y() =. Je±li obie trony równania równe, to równie» ich tranformaty równe. Oznaczmy przez Y () = L[y]() tranformat funkcji y. Wtedy L[y + y]() = L[in t]() L[y ]() + L[y]() = Y () + Y () = 2 +. 3

St d Y () = ( + )( 2 + ) = ( 2 2 + 2 + + ), + a poniewa» L[ in t ] = 2, L[ co t ] = + 2 +, L[ e t ] = +, t d z jednoznaczno±ci tranformaty Laplace'a otrzymujemy y(t) = 2 ( in t co t + e t ). 2. y + y = z warunkiem pocz tkowym y() = y () =. Analogicznie jak poprzednio, mamy 2 Y () y() y () + Y () = 2 Y () + Y () =, Y () = + 2 + = 2 + + 2 +. St d L[ y(t) ] = L[ co t ] + L[ in t ] = L[ co t + in t ], zatem y(t) = co t + in t. Tranformacja Laplace'a plotu funkcji Splotem funkcji nazywamy caªk (f g)(x) = f(t)g(x t) dt. Fakt Dla funkcji ci gªych plot jet operacj. przemienn, tzn. f g = g f, 2. ª czn, tzn. (f g) h = f (g h), 3. rozdzieln wzgl dem dodawania, tzn. f (g + h) = f g + f h. Uwaga Zauwa»my,»e je±li f i g oryginaªami, to dla t < mamy f(t) = g(t) =, zatem zachodzi x (f g)(x) = f(t)g(x t) dt. Twierdzenie L[ f g ]() = L[ f ]() L[ g ]() 4

Przykªad Niech L[ f(t) ]() = 2 ( + 2) = 2 + 2. Poniewa» 2 = L[ t ]() oraz + 2 = L[e 2t ](), zatem t f(t) = t e 2t = u e 2(t u) du = u e 2(t u) du = 4 (2t ) + 4 e 2t. 5