Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów
|
|
- Maksymilian Czajkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112
2 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright; Matematyka dyskretna. 4 M. Sysªo, N. Deo; Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo Pascalu. 5 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. I: Kombinatoryka. 6 M. Libura, J. Sikorski; Wykªady z matematyki dyskretnej. Cz. II: Teoria grafów. 7 J. Kurose, K. Ross; Sieci komputerowe. Od ogóªu do szczegóªu z Internetem w tle. 8 J. Harris, J. Hirst, M. Mossingho; Combinatorics and Graph Theory. 9 D. Medhi, K. Ramasamy; Network Routing: Algorithms, Protocols and Architectures. 10 D. Jungnickel, Graphs; Networks and Algorithms. 11 B. Korte, J. Vygen; Combinatorial optimization. 2 / 112
3 grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporz dkowan trójk : G = V, E, γ gdzie: V niepusty zbiór wierzchoªków grafu G, E zbiór kraw dzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V. 3 / 112
4 grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporz dkowan trójk : G = V, E, γ gdzie: V niepusty zbiór wierzchoªków grafu G, E zbiór kraw dzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V. Je»eli e E oraz γ (e) = {v 1, v 2}, to elementy v 1 i v 2 nazywamy ko«cami kraw dzi e. 4 / 112
5 Przykªad W praktyce cz sto wykorzystujemy graczn reprezentacj grafu 1 a d b c 3 m l k 2 f 8 4 h 5 6 g 7 5 / 112
6 Przykªad W praktyce cz sto wykorzystujemy graczn reprezentacj grafu 1 a d b c 3 m l k 2 f 8 4 Niech G = V, E, γ, gdzie: h 5 6 g 7 V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m}, 6 / 112
7 Przykªad W praktyce cz sto wykorzystujemy graczn reprezentacj grafu 1 a d b c 3 m l k 2 f 8 4 Niech G = V, E, γ, gdzie: h 5 6 g 7 V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m}, za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc tabeli e a b c d f g h γ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6} k l m {2, 5} {1, 5} {1, 5} 7 / 112
8 Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli γ (e) = {v, v} = {v}, to kraw d¹ e nazywamy p tl. 8 / 112
9 Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli γ (e) = {v, v} = {v}, to kraw d¹ e nazywamy p tl. Na rysunku p tlami s kraw dzie b i d, poniewa» γ (b) = {2} i γ (d) = {4}. 9 / 112
10 Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli kraw dzie e i f s ró»ne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je kraw dziami wielokrotnymi (równolegªymi) 10 / 112
11 Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli kraw dzie e i f s ró»ne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je kraw dziami wielokrotnymi (równolegªymi) Na rysunku kraw dziami wielokrotnymi s kraw dzie m i l, bowiem γ (l) = γ (m) = {1, 5} 11 / 112
12 Kraw dzie grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli kraw dzie e i f s ró»ne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je kraw dziami wielokrotnymi (równolegªymi) Na rysunku kraw dziami wielokrotnymi s kraw dzie m i l, bowiem γ (l) = γ (m) = {1, 5} Uwaga W przypadku, gdy nie ma w grae G kraw dzi wielokrotnych, to funkcja γ jest ró»nowarto±ciowa. 12 / 112
13 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 13 / 112
14 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 14 / 112
15 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 2 Wierzchoªki x, y (oraz y i z) s wierzchoªkami s siednimi. 15 / 112
16 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 2 Wierzchoªki x, y (oraz y i z) s wierzchoªkami s siednimi. 3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw dzi a (jest ko«cem tej kraw dzi) 16 / 112
17 Graf prosty Graf bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafem prostym. 17 / 112
18 Graf prosty Graf bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafem prostym. Przykªadem grafu prostego jest graf G przedstawiony na rysunku 3 f b a d 4 e c / 112
19 W przypadku grafów bez kraw dzi wielokrotnych (w szczególno±ci w przypadku grafów prostych) denicja grafu sprowadza si do podania zbioru wierzchoªków V i kraw dzi w postaci {p, q}, gdzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisa γ (a) = {1, 3} b dziemy pisa a = {1, 3}. 19 / 112
20 W przypadku grafów bez kraw dzi wielokrotnych (w szczególno±ci w przypadku grafów prostych) denicja grafu sprowadza si do podania zbioru wierzchoªków V i kraw dzi w postaci {p, q}, gdzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisa γ (a) = {1, 3} b dziemy pisa a = {1, 3}. Uwaga W dalszej cz ±ci graf bez kraw dzi wielokrotnych (w szczególno±ci graf prosty) b dziemy zapisywali jako G = V, E pami taj c,»e E = {{p, q} : p, q V }. 20 / 112
21 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). 21 / 112
22 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G). 22 / 112
23 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G). Dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). 23 / 112
24 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G). Dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). Stopniem grafu G nazywamy liczb (G) := max deg (v). v V Stopie«grafu jest wi c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków. 24 / 112
25 Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym. 25 / 112
26 Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym. Wierzchoªek stopnia pierwszego nazywamy wierzchoªkiem ko«cowym lub wisz cym. 26 / 112
27 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 27 / 112
28 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 28 / 112
29 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 29 / 112
30 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 30 / 112
31 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 ponadto deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 31 / 112
32 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 ponadto deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 4 ci g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast puj cy (2, 2, 1, 1, 1, 1) 32 / 112
33 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 ponadto deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 4 ci g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast puj cy (2, 2, 1, 1, 1, 1) 5 stopie«tego grafu wynosi wi c (G) = 5 33 / 112
34 Kraw dzie szeregowe Mówimy,»e dwie nierównolegªe kraw dzie s kraw dziami szeregowymi, je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego. 34 / 112
35 Kraw dzie szeregowe Mówimy,»e dwie nierównolegªe kraw dzie s kraw dziami szeregowymi, je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego. f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 35 / 112
36 Kraw dzie szeregowe Mówimy,»e dwie nierównolegªe kraw dzie s kraw dziami szeregowymi, je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego. f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 W grae kraw dzie a i b s szeregowe, natomiast kraw dzie b i c s przylegªe ale nie s poª czone szeregowo, bowiem ich wspólny wierzchoªek jest stopnia trzeciego. 36 / 112
37 Izomorzm grafów Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez kraw dzi wielokrotnych). 37 / 112
38 Izomorzm grafów Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez kraw dzi wielokrotnych). Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istnieje wzajemnie jednoznaczne przeksztaªcenie α : V 1 V 2 takie,»e kraw d¹ {u, v} jest kraw dzi grafu G 1 ({u, v} E 1) wtedy i tylko wtedy, gdy 38 / 112
39 Izomorzm grafów Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez kraw dzi wielokrotnych). Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istnieje wzajemnie jednoznaczne przeksztaªcenie α : V 1 V 2 takie,»e kraw d¹ {u, v} jest kraw dzi grafu G 1 ({u, v} E 1) wtedy i tylko wtedy, gdy {α (u), α (v)} jest kraw dzi grafu G 2 ({α (u), α (v)} E 2). 39 / 112
40 Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje 40 / 112
41 Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istniej przeksztaªcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jednoznaczne, takie,»e kraw d¹ e E 1 ª czy wierzchoªki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, 41 / 112
42 Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istniej przeksztaªcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jednoznaczne, takie,»e kraw d¹ e E 1 ª czy wierzchoªki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj ca jej kraw d¹ β (e) E 2 ª czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn. γ 2 (β (e)) = {α (u), α (v)}. 42 / 112
43 Izomorzm grafów Dla grafów z kraw dziami wielokrotnymi sytuacja nieco si komplikuje Niech dane b d grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy,»e grafy G 1 i G 2 s izomorczne, je»eli istniej przeksztaªcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jednoznaczne, takie,»e kraw d¹ e E 1 ª czy wierzchoªki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj ca jej kraw d¹ β (e) E 2 ª czy wierzchoªki α (u) i α (v) tzn. γ 2 (β (e)) = {α (u), α (v)}. Zapis G 1 G 2 czytamy: grafy G 1 i G 2 s izomorczne. 43 / 112
44 Izomorzm grafów 44 / 112
45 Izomorzm grafów 45 / 112
46 Niezmienniki izomorzmu grafów Z denicji izomorzmu wynika,»e grafy izomorczne musz mie 1 t sam liczb wierzchoªków 2 t sam liczb kraw dzi 3 t sam liczb p tli 4 t sam liczb wierzchoªków ko«cowych 5 t sam liczb wierzchoªków izolowanych 6 równ liczb wierzchoªków tego samego stopnia 7 ten sam ci g stopni wierzchoªków (D 0 (G), D 1 (G),...) Powy»sze warunkami s warunkami koniecznymi izomorzmu dwu grafów, ale nie s warunkami wystarczaj cymi. 46 / 112
47 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. 47 / 112
48 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to 48 / 112
49 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku 49 / 112
50 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku 50 / 112
51 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e 51 / 112
52 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q 52 / 112
53 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q 53 / 112
54 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q ªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q 54 / 112
55 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. 55 / 112
56 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. Je»eli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw dzie e i k nazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi. 56 / 112
57 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. Je»eli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw dzie e i k nazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi. Je»eli G jest grafem prostym (bez p tli i kraw dzi równolegªych), to przeksztaªcenie γ jest ró»nowarto±ciowe a graf G mo»emy oznacza jako G = V, E. 57 / 112
58 Przykªad We¹my graf G = V, E, γ, w którym dane s zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchoªków, E = {(a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m} zbiór ªuków 58 / 112
59 Przykªad We¹my graf G = V, E, γ, w którym dane s zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchoªków, E = {(a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m} zbiór ªuków oraz funkcja γ postaci: e a b c d e f g γ(e) (x, y) (z, y) (z, y) (u, y) (u, x) (z, u) (x, z) h k l m (y, y) (z, w) (w, x) (x, w) 59 / 112
60 Przykªad We¹my graf G = V, E, γ, w którym dane s zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchoªków, E = {(a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m} zbiór ªuków oraz funkcja γ postaci: e a b c d e f g γ(e) (x, y) (z, y) (z, y) (u, y) (u, x) (z, u) (x, z) h k l m (y, y) (z, w) (w, x) (x, w) w k z m g f c b l e u d x a y h 60 / 112
61 Przykªad w k z m g f c b l e u d x a y h kraw d¹ h jest p tl 61 / 112
62 Przykªad w k z m g f c b l e u d x a y h kraw d¹ h jest p tl kraw dzie c i b s wielokrotne (równolegªe) 62 / 112
63 Przykªad w k z m g f c b l e u d x a y h kraw d¹ h jest p tl kraw dzie c i b s wielokrotne (równolegªe) kraw dzie l i m nie s wielokrotne (równolegªe) 63 / 112
64 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z Liczb kraw dzi skierowanych g wychodz cych z wierzchoªka x m nazywamy stopniem wyj±ciowym l tego wierzchoªka i oznaczamy degout(x). x a e f u c d b y h 64 / 112
65 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z Liczb kraw dzi skierowanych g wychodz cych z wierzchoªka x m nazywamy stopniem wyj±ciowym l tego wierzchoªka i oznaczamy degout(x). x a e f u c d b y h degout(x) = 3, degout(u) = 2, degout(z) = 4, degout(w) = 1, degout(y) = 1, 65 / 112
66 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z m g f c b l e u d x a y h Liczb ªuków wchodz cych do wierzchoªka x nazywamy stopniem wej±ciowym wierzchoªka x i oznaczamy degin(x). degout(x) = 3, degout(u) = 2, degout(z) = 4, degout(w) = 1, degout(y) = 1, 66 / 112
67 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z m g f c b l e u d x a y h Liczb ªuków wchodz cych do wierzchoªka x nazywamy stopniem wej±ciowym wierzchoªka x i oznaczamy degin(x). degout(x) = 3, degin(x) = 2, degout(u) = 2, degin(u) = 1, degout(z) = 4, i degin(z) = 1, degout(w) = 1, degin(w) = 2, degout(y) = 1, degin(y) = 5, 67 / 112
68 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae skierowanym Stopniem wierzchoªka deg(x) w grae skierowanym nazywamy sum stopni wej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x. deg(x) = degout(x) + degin(x) 68 / 112
69 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae skierowanym Stopniem wierzchoªka deg(x) w grae skierowanym nazywamy sum stopni wej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x. deg(x) = degout(x) + degin(x) Stopie«grafu (G) okre±lamy jako maksymalny stopie«wierzchoªka w tym grae, czyli (G) = max u V deg(u) 69 / 112
70 ródªo i uj±cie w grae skierowanym W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które nie wyst puj w grafach nieskierowanych, s to ¹ródªa i uj±cia. 70 / 112
71 ródªo i uj±cie w grae skierowanym W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które nie wyst puj w grafach nieskierowanych, s to ¹ródªa i uj±cia. ródªem w digrae nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego nie wchodzi»aden ªuk. Wierzchoªek u jest w digrae ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy degin(u) = 0 degout(u) > 0 71 / 112
72 ródªo i uj±cie w grae skierowanym W digrafach wyró»niamy szczególnie dwa typy wierzchoªków, które nie wyst puj w grafach nieskierowanych, s to ¹ródªa i uj±cia. ródªem w digrae nazywamy nieizolowany wierzchoªek, do którego nie wchodzi»aden ªuk. Wierzchoªek u jest w digrae ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy degin(u) = 0 degout(u) > 0 Nieizolowany wierzchoªek digrafu, który nie jest pocz tkiem»adnego ªuku nazywamy uj±ciem. Wierzchoªek t jest uj±ciem wtedy i tylko wtedy, gdy degout(t) = 0 degin(u) > 0 72 / 112
73 Przykªad a b c d e 73 / 112
74 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : 74 / 112
75 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 75 / 112
76 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 76 / 112
77 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 77 / 112
78 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 78 / 112
79 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 79 / 112
80 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 Stopie«grafu wynosi: (G) = max u V deg(u) = 3 80 / 112
81 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 ródªem w grae G s wierzchoªki a i c. Stopie«grafu wynosi: (G) = max u V deg(u) = 3 81 / 112
82 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz : deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 Stopie«grafu wynosi: ródªem w grae G s wierzchoªki a i c. Uj±ciem jest wierzchoªek e. (G) = max u V deg(u) = 3 82 / 112
83 Grafy wa»one, sieci Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw dzi przyporz dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwana wag tej kraw dzi. 83 / 112
84 Grafy wa»one, sieci Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw dzi przyporz dkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwana wag tej kraw dzi / 112
85 Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. 85 / 112
86 Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. 86 / 112
87 Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. W sieci, któr wykorzystujemy do rozwi zywania problemów praktycznych waga kraw dzi mo»e oznacza dªugo± odcinka drogi, czas przejazdu, koszt budowy tego odcinka drogi, przepustowo± (w sieci gazowej lub wodoci gowej), prawdopodobie«stwo przej±cia sygnaªów, niezawodno± poª czenia (w sieci telekomunikacyjnej lub komputerowej) albo dowoln inn cech mierzaln ilo±ciowo przyporz dkowan danej kraw dzi. 87 / 112
88 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 88 / 112
89 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G 89 / 112
90 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 90 / 112
91 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 91 / 112
92 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G jest to droga dªugo±ci 5, od wierzchoªka x 5 do wierzchoªka x 3 Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 92 / 112
93 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G jest to droga dªugo±ci 5, od wierzchoªka x 5 do wierzchoªka x 3 γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. Wierzchoªek x 1 nazywamy wierzchoªkiem pocz tkowym, x n+1 - wierzchoªkiem ko«cowym drogi. 93 / 112
94 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 droga efkhk jest drog w grae G jest to droga dªugo±ci 5, od wierzchoªka x 5 do wierzchoªka x 3 x 5 jest wierzchoªkiem pocz tkowym, x 3 jest wierzchoªkiem ko«cowym γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. Wierzchoªek x 1 nazywamy wierzchoªkiem pocz tkowym, x n+1 - wierzchoªkiem ko«cowym drogi. 94 / 112
95 Droga w grae e x 5 d f c g k b x 4 h x 3 Drog w grae G nazywamy sko«czony ci g kraw dzi e 1e 2...e n taki,»e e i E, i = 1,..., n oraz istniej wierzchoªki x 1x 2...x n+1 takie,»e γ(e i ) = {x i, x i+1 } dla i = 1,..., n. x 1 x a 2 Ci g kraw dzi ec nie jest drog w grae G, poniewa» γ(e) = {x 5, x 5} a γ(c) = {x 1, x 3} Mówimy,»e droga e 1e 2...e n jest drog dªugo±ci n od wierzchoªka x 1 do wierzchoªka x n+1. Wierzchoªek x 1 nazywamy wierzchoªkiem pocz tkowym, x n+1 - wierzchoªkiem ko«cowym drogi. 95 / 112
96 Droga w grae Je»eli w drodze wierzchoªek pocz tkowy pokrywa si z wierzchoªkiem ko«cowym, to tak drog nazywamy drog zamkni t. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 96 / 112
97 Droga w grae Je»eli w drodze wierzchoªek pocz tkowy pokrywa si z wierzchoªkiem ko«cowym, to tak drog nazywamy drog zamkni t. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Droga degba jest drog zamkni t. Droga zaczyna si i ko«czy w wierzchoªku x / 112
98 Droga prosta (±cie»ka) Drog prost lub ±cie»k nazywamy drog, w której wszystkie kraw dzie s ró»ne. 98 / 112
99 Droga prosta (±cie»ka) Drog prost lub ±cie»k nazywamy drog, w której wszystkie kraw dzie s ró»ne. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Droga degbac jest drog prost x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1, x 3 99 / 112
100 Droga prosta (±cie»ka) Drog prost lub ±cie»k nazywamy drog, w której wszystkie kraw dzie s ró»ne. e f g k x 4 h e f g k x 4 h x 5 x 3 x 5 x 3 d c b d c b x 1 x a 2 x 1 x a 2 Droga degbac jest drog prost x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1, x 3 Droga fkhkc nie jest drog prost, poniewa» kraw d¹ k powtarza si dwa razy. 100 / 112
101 Cykl w grae Zamkni t drog prost, której odpowiada ci g wierzchoªków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x 1x 2...x n s ró»ne. 101 / 112
102 Cykl w grae Zamkni t drog prost, której odpowiada ci g wierzchoªków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x 1x 2...x n s ró»ne. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Droga dgba jest drog prost, zamkni t. Ci g wierzchoªków, które jej odpowiadaj jest postaci x 1, x 5, x 3, x 2, x 1, a wi c wszystkie wierzchoªki x 1, x 5, x 3, x 2 s ró»ne. 102 / 112
103 Cykl w grae Zamkni t drog prost, której odpowiada ci g wierzchoªków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem je±li wszystkie wierzchoªki x 1x 2...x n s ró»ne. e f g k x 4 h e f g k x 4 h x 5 x 3 x 5 x 3 d c b d c b x 1 x a 2 x 1 x a 2 Droga dgba jest drog prost, zamkni t. Ci g wierzchoªków, które jej odpowiadaj jest postaci x 1, x 5, x 3, x 2, x 1, a wi c wszystkie wierzchoªki x 1, x 5, x 3, x 2 s ró»ne. Droga degba nie jest cyklem, chocia» jest drog prost, zamkni t, poniewa» w ci gu wierzchoªków, odpowiadaj cych tej drodze x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1 wierzchoªek x 5 powtarza si. 103 / 112
104 Graf acykliczny Graf nie zawieraj cy cykli nazywamy grafem acyklicznym. 104 / 112
105 Graf acykliczny Graf nie zawieraj cy cykli nazywamy grafem acyklicznym. Graf acykliczny. 105 / 112
106 Graf acykliczny Graf nie zawieraj cy cykli nazywamy grafem acyklicznym. e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Graf acykliczny. Graf posiada cykle np. fgh, acb itd. 106 / 112
107 Odlegªo± wierzchoªków Odlegªo±ci pomi dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamy dªugo± najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j symbolem d(u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a / 112
108 Odlegªo± wierzchoªków Odlegªo±ci pomi dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamy dªugo± najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j symbolem d(u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Odlegªo± pomi dzy wierzchoªkami x 2 i x 4 wynosi d(x 2, x 4) = / 112
109 Odlegªo± wierzchoªków Odlegªo±ci pomi dzy wierzchoªkiem u i wierzchoªkiem v nazywamy dªugo± najkrótszej drogi od u do v i oznaczamy j symbolem d(u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 d c b x 1 x a 2 Odlegªo± pomi dzy wierzchoªkami x 2 i x 4 wynosi d(x 2, x 4) = 2. Ka»da inna droga ª cz ca te wierzchoªki ma dªugo± wi ksz ni» 2 np. droga x 2x 3x 1x 5x 4 ma dªugo± / 112
110 Graf spójny Graf G nazywamy spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy, ka»da para jego ró»nych wierzchoªków jest poª czona drog w tym grae. 110 / 112
111 Drzewo Graf spójny i acykliczny nazywamy drzewem. w u t v m s k l y x z n 111 / 112
112 Dzi kuj za uwag!!! 112 / 112
Teoria grafów i sieci 1 / 58
Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Bardziej szczegółowoWykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykła 1. Wprowazenie o teorii grafów 1 / 111 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka la programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowazenie o algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright;
Bardziej szczegółowoMosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Bardziej szczegółowo10a: Wprowadzenie do grafów
10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.
1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoPodstawowepojęciateorii grafów
7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoDrzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.
Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i sieci 1 / 188
Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje
9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych
Bardziej szczegółowo12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowo1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoGrafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska
Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoNotatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoPrawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 6: Najkrótsze ±cie»ki. c Marcin Sydow. Najkrótsze cie»ki. Warianty. Relaksacja DAG. Algorytm Dijkstry.
6: ±cie»ki Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3: dowolny graf () ±cie»ki dla wszystkich
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoNajkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie
Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.
11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoUogólnione drzewa Humana
czyli ang. lopsided trees Seminarium Algorytmika 2009/2010 Plan prezentacji Sformuªowanie 1 Sformuªowanie problemów Wyj±ciowy problem Problem uogólniony 2 3 Modykacje problemu Zastosowania Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013
Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie
4: Przeszukiwanie Grafów (, i zastosowania) Spis zagadnie«przeszukiwanie grafów (rola, schemat ogólny, zastosowania) realizacje (kolejka, stos, rekurencja) przeszukiwanie wszerz zastosowania przeszukiwanie
Bardziej szczegółowoNajkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoBiedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.
Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoHotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Bardziej szczegółowoTeoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Wykªad 8 - Wst p do obrazów 2D Marcin Wo¹niak, Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 27 Plan wykªadu 1 Informacje wstepne 2 Przetwarzanie obrazu 3 Wizja komputerowa
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoWstp. Warto przepływu to
177 Maksymalny przepływ Załoenia: sie przepływow (np. przepływ cieczy, prdu, danych w sieci itp.) bdziemy modelowa za pomoc grafów skierowanych łuki grafu odpowiadaj kanałom wierzchołki to miejsca połcze
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze« dr Hanna Furma«czyk. 7 pa¹dziernika 2013
Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze«7 pa¹dziernika 2013 Zasady zaliczenia 1 wiczenia (ocena): kolokwium, zadania dodatkowe (implementacje algorytmów), praca na wiczeniach. 2 Wykªad (zal): zaliczone
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo