Modelowanie przepłwu ciecz przez ośrodi porowate Wład X Worzstanie funcji potencjału zespolonego filtracji do rozwiązwania zagadnień dwuwiarowch przepłwu filtracjnego. Rozwiązwanie płasich zagadnień etodą analitczną bło w czasach, gd oputer nie iał powszechnego zasięgu, a ich zdolności obliczeniowe bł ograniczone, jedną etodą uzsania rozwiązań zagadnień filtracji pozwalającch na wonwanie obliczeń inżniersich w onretnch zagadnieniach budownictwa wodnego, ochron środowisa i hdrogeologii inżniersiej. Obecnie istnieją przjazne dla użtownia progra oputerowe, tóre pozwalają na nawet doow sprzęcie oputerow rozwiązwać złożone zagadnienia brzegowe. Metoda rozwiązań przedstawionch w t podrozdziale nic nie straciła jednaże na swojej wartości. Uzsane przedstawioni poniżej etodai rozwiązania pozwalają dobrze zrozuieć sens fizczn otrzanch w rozwiązaniu funcji oraz przeprowadzić pełną analizę uzsanch rozwiązań, co jest ożliwe tlo w ograniczon zaresie w przpadu rozwiązań etodai nuerczni. Wiele prezentowanch poniżej rozwiązań, stanowiącch istotną część podręczniów aadeicich i publiacji oraz onografii poświęconch teorii filtracji, zawdzięcza [Połubarinovej-Koczinie, 1977], i szole rosjsiej w t taże uczon: [Aravinowowi i innch, 1953], [Filczaovowi, 196] oraz w Polsce [Rebezie, 1984, 199, 1998]. Uzsane tą etodą rozwiązania służą iędz inni do testowania prograów obliczeń płasich zagadnień przepłwu etodai nuerczni. Zajie się przładai zastosowań powższej etod do zagadnień istotnch z puntu widzenia budownictwa wodnego. Przedstawi na początu rozwiązania zagadnień ze zwierciadłe swobodn ające swoje zastosowanie przede wszsti w analizie przepłwów przez przepuszczalne grodze ziene, wał przeciwpowodziowe. Następnie oówi sposób znajdowania funcji potencjału zespolonego Ω dla przpadu opłwu fundaentu budowli piętrzącch, ściane szczelnch, oraz opłwu budowli piętrzącej ze współdziałającą ścianą szczelną i drenaże. W rozwiązaniach tch, uzsanch przez innch autorów, przedstawi poszerzoną analizę uzsanch wniów oraz dodatowo przedstawi obliczenia potencjału sił asowch filtracji oraz przewidwanej stref upłnnienia gruntu po przeroczeniu warunu granicznego stateczności filtracjnej. 9.1 Rozwiązania zagadnień brzegowch ze zwierciadłe swobodn. 9.1.1 Szczelina drenażowa w warstwie nieprzepuszczalnej (Parabola Liasset a).. Rozważ półprzestrzeń wpełnioną ośrodie porowat o współcznniu filtracji, tóra jest ograniczona od dołu granicą nieprzepuszczalną (rs.45) Rs. 45 Scheat zadania dotczącego dopłwu do szczelin drenażowej.
Wzdłuż granic nieprzepuszczalnej na odcinu o długości równej d pracuje dren pozio wształcon w forie wąsiej szczelin drenażowej. Wsute działania drenu w obszarze półprzestrzeni wtwarza się strefa wód gruntowch oddzielona od stref aeracji powierzchnią swobodną. Poszuuje taiej funcji Ω, ab został spełnione waruni brzegowe wzdłuż drenu, wzdłuż warstw nieprzepuszczalnej oraz wzdłuż linii powierzchni swobodnej wód gruntowch. Na powierzchni swobodnej, gd poija ciśnienie powietrza i nie uwzględnia wstępowanie wód apilarnch, uszą bć spełnione następujące waruni brzegowe: I Φ + =, (1.1) Ψ = Ψ, (1.) gdzie Ψ stała odpowiadająca wartości funcji prądu dla powierzchni swobodnej. Wzdłuż granic nieprzepuszczalnej [ = ; ] (patrz rs. 7.35), usi bć spełnion warune: Ψ =. (1.3) Wzdłuż granic przepuszczalnej [ = ; ] (patrz rs. 7.35), warune brzegow a postać: Wbiera olejne funcje z f ( ) Φ =. (1.4) = Ω, pocznając od funcji liniowej. Funcja liniowa, ja łatwo sprawdzić, nie spełnia warunów brzegowch. Rozpatrz następnie funcję wadratową. Ponieważ w t przpadu dla dowolnego puntu obszaru filtracji: z A = Ω. (1.5) sprawdzi, cz funcja ta oże ieć powierzchnię swobodną, spełniającą waruni brzegowe. Dla powierzchni swobodnej a waruni brzegowe (1.1) i (1.), a więc wstawiając je do równania (1.5) otrzuje: ( + ) + i = A i. (1.6) Ψ Po wonaniu prostch przeształceń oże zapisać: ( + AΨ ) = A + AΨ + i, stąd dostaje: ( Ψ ) = A (1.7) oraz AΨ =. (1.8) Z równania (1.8) otrzuje bezpośrednio wartość stałej A: 1 = Ψ A (1.9) Podstawiając wartość stałej A z (1.9) do równania (1.7) otrzuje funcję opisującą ształt linii zwierciadła swobodnego spełniającą nałożone na tę linię waruni brzegowe:
Ψ = +. (1.1) Ψ Krzwa oreślona powższ równanie jest nazwana w nietórch anglosasich podręczniach aadeicich (np. Castan ego []) parabolą Liasseta. Oznaczając wierzchołe paraboli przez d, z Q = Ψ a równania (1.1) oże oreślić relację poiędz wdatie dopłwając do drenu odciętą d: Przład liczbow. Q = d. (1.11) Przjując różne wartości d otrzuje rzwe zwierciadła swobodnego. Przjując =, 1 / s i oznaczając przez L = 1 przjęt przez nas zasięg leja depresji ierzon od początu uładu współrzędnch, oznacz przebieg rzwej zwierciadła swobodnego dla ilu przjętch wartości d: d d =,1 =, 1 Q =., L s d d = 1, =, 1 Q =., L s d d =, =, Q =.4. L s Na rs. 45 przedstawiono ształt rzwej depresji dla podanch wżej danch w bezwiarow uładzie współrzędnch: Q Q = + L L L L. (1.1)
Rs. 46. Krzwa zwierciadła swobodnego w zależności od odciętej d [d=,1,,5, 1, ];(obliczenia progra Maple8). Kładąc: a: Znając stałą A, funcję potencjału zespolonego Ω ożna zapisać w postaci: 1 Ψ z = Ω. (1.13) Ω = Φ + i Ψ, 1 + i = i Ψ ( Φ + Ψ). Po prostch przeształceniach dostaje: 1 = Ψ ΦΨ = ( Φ Ψ ), (1.14). (1.15) Ψ Sprawdzi obecnie, cz są spełnione założone waruni brzegowe na pozostałch brzegach. Wie, że wzdłuż granic nieprzepuszczalnej (ujena półoś ) powinien bć spełnion warune Ψ =. Wstawia Ψ = do wrażeń (1.14) i (1.15). Otrza: Φ = Ψ ; =. (1.16) Φ <, równania (1.16) są równaniai ujenej półosi. Φ =. Ponieważ dla dowolnej Wzdłuż granic przepuszczalnej (szczelin drenażowej) winien bć spełnion warune Podstawiając Φ = do wrażeń (1.14) i (1.15) otrza: ponieważ dla dowolnego na odcinu Ψ = Ψ ; =, (1.17) Ψ > równania (1.17) są równaniai opisująci dodatnią półoś Ψ < <. Można, więc stwierdzić, że przjęta funcja potencjału zespolonego Ω spełnia wszstie założone waruni brzegowe zadania. Ab wznaczć linię prądu dla Ψ = const przeształci, wrażenia (1.14) i (1.15). Z wrażenia (1.15) wznacz Φ : Ψ Φ = Ψ. (1.18)
i podstawiając do wrażenia (1.14) dostaje: Ψ Ψ = + Ψ Ψ. (1.19) Rs. 47 Linie prądu w zadaniu ze szczeliną drenażową. Podstawiając pod Ψ olejne wartości z przedziału (, ) Ψ otrza olejne linie prądu (rs. 47). Ja to wnia ze wzoru (1.19), wszstie linie prądu opisują równania parabol, tórch wierzchołi znajdują się na dodatniej półosi na odcinu Ψ < (rs. 47). Równania powierzchni ewipotencjalnch otrza obliczając z równania (1.15) Ψ : Ψ = Ψ Φ (1.) i podstawiając (1.) do równania (1.14) dostaje równania linii ewipotencjalnch w postaci: Ψ Φ Φ Ψ, (1.1) = tóre stanowią dla przjętch wartości stałch Φ rodzinę parabol o wierzchołach na ujenej półosi. Siatę hdrodnaiczną dla rozpatrwanego przpadu przedstawiono na rs. 48. Wiedząc, że Q = Ψ oże obliczć wdate dla całego obszaru filtracji: Q = Ψ. (1.) 9.1. Szczelina drenażowa w warstwie przepuszczalnej.
Rs. 49. Scheat zadania szczelin drenażowej w warstwie przepuszczalnej. Przpade ten różni się od poprzedniego t, że zaiast warstw nieprzepuszczalnej a przłączoną do obszaru przepłwu półprzestrzeń przepuszczalną (rs.49). Nie będzie szczegółowo analizowali tego przpadu, gdż sposób postępowania jest identczn ja w poprzedni podrozdziale. Rs. 5. Siata hdrodnaiczna przepłwu dla przpadu szczeln drenażowej w warstwie przepuszczalnej. Wszstie linie prądu są współognisowi parabolai o równaniach uzsanch w podrozdziale VII.4.3.1.1. z tą różnicą, że dla Ψ należ jedna przjować wartości od Ψ do. Siatę hdrodnaiczną przepłwu dla tego przpadu przedstawiono na rs. 5. Zajie się za to onstrucją izobar (linii jednaowego ciśnienia), izotach (linii jednaowej prędości), izolin (linii, wzdłuż tórch wetor prędości posiada jednaow ierune). Konstrucja Izobar. W celu oreślenia rodzin rzwch izobarcznch przpoina zależności iędz potencjałe prędości, a ciśnienie: P Φ = γ w +. Zależność tę ożna napisać w postaci:
P Φ = +. γ w Stąd widać, że ając oreśloną siatę hdrodnaiczną przepłwu ożna znaleźć izobar etodą graficznego dodawania (rs. 51). Rs. 51. Siata izobar uzsana etodą graficznego dodawania. Przjuje dla przładu, że w obszarze filtracji a oreślone linie jednaowej wsoości hdraulicznej Wreśla linię pozioą o równaniach: H Φ = = 1;;3;4 K. (rs.51). N = 1, =, = 3, K =. p γ = 1 = W przecięciu linii = 1 z linią H = +1 dostaje 1, z linią H = + 1 1 itd. Oreśla w ten sposób punt, w tórch p γ w p γ w w p γ w = = we wszstich puntach ta uzsanej rzwoliniowej siati. Łącz a taą saą wartość i dostaje izobar dla p γ w =1, p γ w = itd.. Dla rozpatrwanego zagadnienia nietrudno znaleźć równanie izobar. W t celu wstarcz włączć Ψ z równania (1.15) i po podstawieniu do (1.14) rozwiązać to równanie względe Φ. Otrza równanie czwartego stopnia: 1 4 Ψ Φ + Φ Ψ =. (1.3) Przrównując Φ + do stałej C otrza dla izobar równanie czwartego stopnia: [ + Ψ ] ( C ) ( C ) Ψ =. (1.4) Rodzina izotach i izolin. Oreślenie siati izotach i izolin jest ważne wted, gd istnieje niebezpieczeństwo sufozji rozrzedzania gruntu itp., na przład pod zaporai wodni. Izotach i izolin znaoicie ułatwiają na analizę stateczności filtracjnej gruntu w obszarze budowli wodnch.
Wonaj operację obliczenia logartu prędości zespolonej filtracji i rozdziel część rzeczwistą i urojoną: Stąd dostaje: ln w = ln w + i arg w. (1.5) w = ln v + iϑ v gdzie: wartość bezwzględna wetora prędości ϑ - ąt iędz wetore a osią odciętch. Ponieważ ln w jest funcją analitczną, więc linie ln = v cons i ϑ = ln, (1.6) cons tworzą rodzin rzwch wzajenie ortogonalnch. W rozpatrwan przez nas przpadu szczelin drenażowej w warstwie przepuszczalnej, oże więc uzsać równanie izotach i izolin w postaci zaniętej. Istotnie na podstawie (1.13) a: Stąd: w Ω = Ψ z. (1.7) dω = dz z Ψ =. (1.8) Logart prędości zespolonej równ jest: w 1 z i tg ln = ln Ψ z = ln + arg. (1.9) Rs.5 Rodzina izotach i izolin. Widać stąd, że izotach stanowią oncentrczne oła o proieniu r = const i środu w ognisu parabol (,), natoiast izolin są to proienie, wchodzące z ognisa (rs. 5). Wielość prędości
równa jest współcznniowi filtracji wzdłuż oręgu, tór jest stczn do swobodnej powierzchni (w iejscu stu tej powierzchni ze szczelina drenażową). Pole wetorowe prędości filtracji. Wchodząc z równania (1.3), otrzuje funcję potencjału prędości Φ. Rozwiązując równanie dwuwadratowe: Φ + Ψ Φ Ψ =, 4 z tórego dostaje funcję potencjału prędości w postaci: ( ) Φ = ± Ψ + +. (1.3) Różniczując funcję potencjału prędości po filtracji v r : i dostanie bezpośrednio sładowe prędości v + + Φ d L L L = = L + L L (1.31) oraz v + + d L L L =, (1.3) L + L L gdzie uwzględniono, że Ψ = d. Wartości sładowej v są zawsze dodatnie bez względu na obszar filtracji (pod i nad osią ), natoiast sładowa zależ od znau osi nad osią zna jest ujen, a pod osią dodatni. Na rs. 53 przedstawiono wres sładowej spadu hdraulicznego = dla różnch pozioów ziennej. W przpadu dodatnich wartości rzędnch wres a i v swój sens tlo w obszarze przepłwu ograniczon zwierciadłe swobodn przepłwu.
Rs. 53 Wres sładowej prędości v v w zależności od poziou a) / L =.1, b) / L =.1, c) / L =.5, d) / 1. i : L =, e) / L =.. Worzstując wzór (1.3), otrzuje wres sładowej prędosci filtracji wartości rzędnej (rs. 54-I) i ujench wartości rzędnch (rs. 54b-II). v dla dodatnich I II Rs. 54 Wres sładowej v w zależności od poziou i : a) / L =.1, b) / L =.1, c) / L =.5, d) / L = 1., e) / L =.. Znając funcje potencjału prędości Φ oże oreślić funcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepłwu filtracjnego z pole sił ciężości cząste gruntu dla dodatniej półosi (dla ujenej półosi nie zna oddziałwania od ciężaru naziou): ρg R = Φ (1.33) otrzuje dla rozpatrwanego przpadu:
ρ gdzie ρ os ( 1 f )) Ψ ( ) R = ± g + +, (1.34) = oreśla ciężar objętościow gruntu z uwzględnienie wporu. Różniczując potencjał sił asowch R po ziennch i dostaje sładowe sił asowch działającch na szielet ośroda porowatego S r : S + + R d L L L = = ρg L + L L (1.35) i S + + d L L L = ρ g L + L L. (1.36) Przładowo przedstawi wpłw filtracji na wielość sił asowch oddziałującch na szielet ośroda (rs. 55 i 56). Na pierwsz z rsunów przedstawiono pole wetorowe sił asowch S r dla przpadu, gd a do cznienia z niewieli wdatie Q =,, co odpowiada srajnej odciętej linii s zwierciadła swobodnego d =,1 prz przjęciu zasięgu leja depresji L = 1, Rs. 55. Pole sił asowch dla Q, =. Dla porównania poazano pole sił asowch, gd a do cznienia z dziesięciorotnie więsz d =. wdatie, co odpowiada odciętej 1, s
Rs. 56. Pole sił asowch dla Q, =. Z porównania obdwu rsunów wnia, ja znaczn wpłw ają sił unoszenia filtracji na wielość wpadowch sił asowch oddziałwującch na szielet ośroda. Na rs. 56 daje się zauważć wetor sierowane w przeciwn ierunu do sił ciężości, co oże powodować loalne upłnnienie gruntu. Szczególnie niebezpieczne dla stateczności filtracjnej są w t przpadu sładowe pozioe sił asowch w oolice drenu. Korzstając ze wzoru (4.646) i upraszczając nieco nasze zagadnienie, oblicz zasięg stref granicznej uwzględniając jednie sładową pozioą filtracji S. Warune stanu granicznego filtracji dla rozpatrwanego przpadu a postać: s d L + + L L L + L L tg ρg ( ϕ ), (1.37) gdzie ϕ at tarcia wewnętrznego ośroda. Powższ warune prowadzi do oreślenia rzwej granicznej obejującej obszar, w tór spełnion jest warune (7.1) czli sładowe pozioe prędości przeraczają wartości dopuszczalne, ab nie nastąpiło upłnnienie ośroda porowatego. Oczwiście zgodnie z przjęti w rozdziale IV założeniai, załada, że ośrode nie posiada spójności, czli c =, Pa. Wzór na rzwą graniczną a w t przpadu postać: 1 1 1 = + + 1 4A L L A L A A L, (1.38) prz cz g A = KG ( ) ( ρg ) tg ϕ d L ρ os = 165 oraz g 3 3. Krzwe graniczne dla ilu wartości d L (załadając, że ϕ =, ρ = 1 KG ) przedstawiono na rs. 57.
Rs. 57. Zasięg rzwch granicznch dla różnch wartości d=, 1,.5,,1. Powższe zależności został otrzane bez uwzględnienia sił tarcia wniającch z obciążenia ciężare ośroda znajdującego się w strefie filtracji, ają więc jednie znaczenie poglądowe. Uwzględnienie tch sił jest w t przpadu nieożliwe, gdż nie załadaliś oreślonej wsoości nadładu. Oczwiście znając tę wartość, bez trudu oże oreślić rzeczwist przebieg rzwch granicznch dla ażdego z rozważanch przpadów. 9.1.3 Przepłw przez grodzę zieną posadowioną na podłożu o nieograniczonej iąższości. Rozważ przepłw przez grodzę zieną przepuszczalną dla wod, przedstawioną scheatcznie w przeroju na rs. 7.48. Rozwiązanie tego zagadnienia zostało szczegółowo oówione w prac [Reebez, 1998], i w inn ujęciu w prac [Strzeleciego, Kosteciego, 6a]. Powtarzając za Rebezą to postępowania, przeprowadzi następnie szczegółową analizę uzsanego rozwiązania. Rs. 58. Scheat zagadnienia brzegowego. W przpadu zagadnień ze swobodn zwierciadłe wod nie zna ształtu zwierciadła swobodnego. Jest to więc zadanie z nieznan brzegie i nie oże bezpośrednio worzstać wzoru Christoffela-Schwarza. Ab ożna bło jednaże rozwiązać ten proble, została opracowana etoda dodatowego odwzorowania poprzez funcję potencjału Żuowsiego [Połubarinova-Koczina, 1977]. Potencjał Żuowsiego wraża się prz pooc zespolonego potencjału Ω wzore: i θ = z Ω = θ1 + iθ. (1.39)
Stosuje się taże inne postaci potencjału Żuowsiego, np. θ = z + iω / lub θ = Ω iz. Podstawiając pod z = + i, dostaje część rzeczwistą i urojoną potencjału Żuowsiego: Ψ Φ θ1 = + oraz θ =. (1.4) Dla przjętego uładu odniesienia ja na rs. 58 oże przedstawić scheat obliczeniow naszego zagadnienia na płaszczźnie potencjału zespolonego i na płaszczźnie potencjału Żuowsiego rs. 7.49. Na płaszczźnie potencjału zespolonego Ω zna wartości potencjału w puntach: A Ω = oraz θ =, B Ω = H oraz θ = L, ψ c C Ω = H + iψ c oraz θ = L +, D Ω = H + i oraz θ =, (1.41) gdzie H oznacza różnicę wsoości hdraulicznej przed i za grodzą zieną. Rs. 59. Scheat obliczeniow zagadnienia brzegowego grodz zienej. Analiza wzoru Christoffela-Schwarza i scheatu obliczeniowego na rs. 59 poazuje, że do uwzględnienia we wzorze: są dwa punt oraz podstawienie: t dt z M N = + 1 1 1 1 ( 1) α ( ) α...( ) α n t a t a t a π π n π π A a1 = ; α1 = ; π B a = L; α = ; z zastapi przez Ω, t zastapi przez θ,, (1.4) co pozwala zapisać wzór Christoffela-Schwarza dla naszego zagadnienia w postaci:
Po pocałowaniu dostaje: θ dθ Ω = M + N 1 1 θ. (1.43) ( θ L) im arcsin L θ Ω = + N L. (1.44) Znając wartości potencjału zespolonego w puntach A i B, oże wznaczć stałe M i N z uładu równań: π i M + N =, π i M + N = H. (1.45) Dostaje: M H i π = oraz H N =. Ostatecznie zależność poiędz potencjałe zespolon Ω oraz potencjałe Żuowsiego a postać: H L θ Ω = arccos π L. (1.46) Po prostch przeształceniach wzór (1.46) ożna zapisać w postaci: Ω L πω z + i = 1 cos H. (1.47) Uwzględniając, że z = + i oraz Ω = Φ + iψ, dostanie po wonaniu przeształceń algebraicznch: oraz H Ψ % L = + 1 cos( Φ) cosh ( Ψ% ) π H Φ % L = + sin Φ Ψ π ( ) sinh ( % ) % (1.48) %, (1.49) gdzie π Φ % = Φ i H π Ψ % = Ψ. H Oreśl linię zwierciadła swobodnego podstawiając we wzorach (1.48) i (1.49): Ψ % = oraz Φ % = π. (1.5) H
Ostatecznie dostaje równanie zwierciadła swobodnego: H 1 arcsin L π L L =. (1.51) H Przjując =,5;1;1,5, rzwą zwierciadła swobodnego przedstawiono na rs. 6. L Rs. 6 Kształt zwierciadła swobodnego w zależności od H bezwiarowch u = L oraz = L. b L dla ziennch Oblicz następnie wartość funcji prądu dla ciecz dopłwającej do puntu C. Korzstając ze wzoru (1.48) oraz z warunu, jai powinien bć spełnion w puncie C (warune estreu funcji): dostaje: dz = dω, (1.5) H H Ψ C = arcsin h π π L. (1.53) Korzstając ze wzorów (1.49) i (1.5), oże obliczć równania linii prądu dla postaci: % w Ψ = const
Ψ% H 1 + H π arccos L L = + L π L cosh Ψ% Ψ% H 1 4 + 1 π + 1 L L shψ%, cosh Ψ% (1.54) gdzie Ψ% oraz powierzchni ewipotencjalnch dla Φ = const % : H Φ% H arcsin π = h L L + L π L sin Φ% Φ 1 H % π + 1 cos Φ % 1 + L L, sin Φ% (1.55) gdzie %. Φ π Obliczając linie prądu i powierzchnie ewipotencjalne dla rozpatrwanego zagadnienie, na podstawie wzorów (1.54) i (1.55) dostaje siatę hdrodnaiczną przepłwu, tórą prezentuje na rs. 7.51, przjując dla Φ % wartości:,.5*π /,.5* π /,.75* π /, 1.* π /, 1.5*π /, 1.5* π /. Rs. 7.51. Siata hdrodnaiczna przepłwu prz filtracji przez grodzę zieną posadowioną na nieograniczonej warstwie przepuszczalnej dla H L = 1..
L L Często dla celów pratcznch istotna jest długość cznna drenażu pozioego, czli odległość, gdzie, zgodnie ze scheate przedstawion na rs. 58, L oreśla odciętą puntu C. Znając wartość funcji prądu dla linii prądu przechodzącej przez punt C wzór (1.53) oże obliczć odciętą L na podstawie wzoru (1.48): i L πψ L + ih = ( H + iψ C ) + 1 cos π + i H Z równania (1.56) oblicz wartość odciętej L : C. (1.56) L H H H L = 1 + cosh arcsin h arcsin h π L π π L. (1.57) Wartość odległości BC oznacz przez d i na podstawie wzoru (1.57) oblicz: L H H H d = L L = 1 cosh arcsin arcsin h + π L π π L. (1.58) Przładowo oblicz względną wartość długości odcina CB d / L w zależności od H L H dla wartości, co przedstawiono na rs. 6 L Rs. 6. Długość cznna drenu w zależności od h = H L. Oblicz następnie wdate dopłwając do drenu na odcinu BCB, tór uwzględniając dopłw od gór i od dołu wniesie: H H Q = Ψ = L arcsin h L π L. (1.59) Załadając, że 3 = 1 s oraz L 1, = wartość wdatu dopłwające na długości d do drenu wnosi w zależności od H L, dla wartości co przedstawiono na rs. 63. L Oczwiście jest to wdate na jednostę długości grodz (przjie w nasz przpadu na 1b grodz). H
Rs. 63. Funcja wdatu Q 3 / s dopłwającego do drenu w zależności od h = H L. Przejdź następnie do obliczenia pola wetorowego prędości v r. Wchodząc z równania (7.9): Ω L πω z + i = 1 cos H zróżniczuje je po dz. Otrza związe poiędz prędością przepłwu i funcją potencjału zespolonego Ω w postaci: w = π L Ωπ i + sin H H,, (1.6) gdzie w - oznacza prędość zespoloną filtracji. Po odpowiednich przeształceniach dostaje następującą postać sładowch prędości filtracji v i v : π L sin Φ% cosh Ψ% v = H π L π 1+ cosφ% sinh Ψ % L + sin Φ% cosh Ψ% H H π L 1+ ( cosφ% ) sinh Ψ% H v =. π L π cos Φ% sinh Ψ % L + 1 + sin Φ% cosh Ψ% H H, (1.61) Ja widać, powższe wzor nie pozwalają na bezpośrednie obliczenie wartości sładowch prędości w obszarze filtracji, gdż nie a ożliwości bezpośredniego oreślenia wartości Φ % i Ψ % jao funcji i, gdż równania (1.54) i (1.55) są równaniai uwiłani. W pośredni sposób oże jednaże oreślić wartości sładowch, obliczając dla oreślonch wartości Φ % i Ψ % współrzędne puntów, w tórch te wartości wstępują, a następnie obliczć sładowe prędości filtracji v r. Dla przładu oże policzć sładowe prędości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego filtracji. Wie, że w t przpadu:
π Ψ % = i Φ % =. (1.6) H Uwzględniając, że równanie rzwej zwierciadła swobodnego a postać: H 1 arcsin L π L L =, oblicz sładowe prędości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego: π L sin arcsin π L H L, 1+ sin arcsin H H L 1. π L π L + H H L v = H π L π L v = 1 sin arcsin (1.63) Dla zobrazowania tch wzorów wona obliczenia przjując L / H = i oblicz wielości v / v, odnosząc te wielości względe zwierciadła swobodnego wrażonego rzwą (1.51). oraz / Odpowiednie wres przedstawiono na rs. 64. Rs. 64 Wres v i v wzdłuż linii zwierciadła swobodnego. Korzstając ze wzorów (1.61), oże oreślić wielość sładowch prędości filtracji wzdłuż brzegu BCE. Wstawiając do powższch wzorów wartości % dostaje: Φ = π
v v = 1 = π L πψ 1+ sinh H H. (1.64) Rozważ warune stateczności filtracjnej wzdłuż linii CE. Wetor prędości filtracji a ierune przeciwn do sił ciężości. Jeżeli sładowa sił asowch S spełnia warune: S v = ρg +, (1.65) to dla obszaru, w tór ten warune jest spełnion, następuje proces upłnnienia gruntu. Interesować nas będzie obszar (oreślon zienną ) znajdując się poza zasięgie grodz zienej. W obszarze grodz należałob uwzględnić dodatowo rozład sił asowch pochodzącch od ciężaru grodz. Uwzględniając drugi ze wzorów (1.64) w warunu (1.65) oże obliczć graniczną wartość, powżej tórej zachodzi upłnnienie gruntu: H + ρg Ψ gr = arcsin h π L %. (1.66) Ab znaleźć zares odciętej, dla tórej wstępuje proces upłnnienia gruntu, należ poszuać, dla jaiej wartości odciętej odpowiada wartość Ψ %. W t celu worzsta równanie (1.54), przjując = i dostaje równanie: gr Ψ% rh +,5 H π arccos L L + π L cosh Ψ% r Ψ% r H 4 +,5 π +,5sinh ( Ψ% ) 1 L L r =. cosh Ψ% r (1.67) Oreślenie bezpośrednie odciętej jest trudne, gdż powższe równanie jest równanie uwiłan. Jedną z etod oże bć etoda polegająca na poszuiwaniu przecięcia się dwóch funcji uzsanch z przeniesienia jednego z członów równania na drugą stronę równania i oreśleniu ażdej ze stron jao oddzielnej funcji od. Przjując, że funcje te ają postać: F1 ( ) Ψ% rh +,5 L π L = cosh Ψ% r 4 + Ψ% H,5 π r L π ( ) = cos sinh ( Ψ ) 1 L L F % r. H cosh Ψ% r H L równego 1,5 i,5: Poniżej przedstawiono dwa rozwiązania równania tą etodą dla (1.68)
a) b) Rs. 65 Rozwiązanie równania uwiłanego a) dla Ja widać z rs. 65, dla H L =1,5; b) dla H L =,5. H L =1,5 nie zachodzi zjawiso upłnnienia, natoiast dla H L =,5 punt graniczn a w przbliżeniu wartość 1,5, więc w obszarze wpłwu wod po stronie odpowietrznej oże nastąpić zjawiso upłnnienia gruntu i jego wporu. W prac Rebez [Rebeza, 1998] przedstawił rozwiązanie dla przpadu grodz posadowionej na gruncie o ograniczonej iąższości. Zadanie to a jedna postać znacznie bardziej sopliowaną niż przedstawione wżej. Z puntu widzenia inżniersiego wsazane jest w zadaniach bardziej złożonch orzstać z etod nuercznch, tóre oówione zostaną w rozdziale IX niniejszej onografii.