Podstawowe ozaczeia Fukcja wyk ladicza, logarytmy, sius i kosius zbiór wszystkich liczb rzeczywistych zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,, 3,...; zbiór wszystkich liczb aturalych dodatich, tj. liczb,,... zbiór wszystkich liczb ca lkowitych, tj. liczb 0,,,,,... zbiór wszystkich liczb wymierych, tj. takich, które moża zapisać w postaci ilorazu dwu liczb ca lkowitych. [a, b] przedzia l domkie ty, tz. [a, b] = {x : a x b}, czyli [a, b] to zbiór z lożoy z tych wszystkich liczb rzeczywistych, które sa jedocześie wie ksze lub rówe a i miejsze lub rówe b. [a, b) = {x IR: a, b) = {x IR: a, b] = {x IR: a x < b} przedzia l domkie to otwarty. a < x < b} przedzia l otwarty. a < x b} przedzia l otwarto domkie ty. lub + te symbol ozacza ieskończoość, to ie liczba, ale dodatkowy symbol. te symbol ozacza mius ieskończoość, to ie liczba, ale dodatkowy symbol. Przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi ierówość < x < oraz że x + = ; x = ; x = ; x = ; + = ; ) + ) = ; = ) ) = ; ) = ) = ; jeśli x > 0, to x = i x ) = ; jeśli x < 0, to x = i x ) = ; x = i x = 0 ; jeśli 0 < x <, to x = 0 i x =. x == x = 0 ; jeśli x >, to Iych dzia lań z udzia lem symboli ieskończoych ie defiiujemy, bo jak sie późiej okaże ie mia loby to sesu, p. ie defiiujemy, 0,,, 0 0. Końcem przedzia lu może być symbol ieskończoy. Jeśli jede z końców jest ieskończoy, to przedzia l azyway jest pó lprosta ; jeśli oba końce sa ieskończoe prosta. Uwaga Niektóre z ozaczeń odbiegaja od stosowaych w polskich liceach, ale ie mamy wyjścia, musimy stosować ozaczeie przyje te a ca lym świecie, bo a ich stosowaie poza szko lami w RP polscy specjaliści od dydaktyki wp lywu ie maja, wie c świat sie do ich ie dostosuje, a auka jest mie dzyarodowa. Przypomijmy teraz, że jeśli jest liczba aturala parzysta, x jest liczba ieujema, to istieje dok ladie jeda liczba ieujema y stopia z liczby x i ozaczamy symbolem dla każdej liczby x taka, że y = x. Nazywamy ja pierwiastkiem x. Jeśli jest liczba aturala ieparzysta, to istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista y taka, że x = y. Nazywamy ja pierwiastkiem stopia z liczby x i ozaczamy symbolem x. Jeśli stopień pierwiastka rówy jest, to piszemy x, zamiast x. Np. 96 = 4, 5 3 = itd. Defiiujemy pote ge o wyk ladiku wymierym w aste puja cy sposób a k/l = l ak. Bez trudu sprawdzić moża, że jeśli a > 0, to dla dowolych liczb wymierych u, v zachodzi rówość a u+v = a u a v. Przypomijmy, że
a 0 = dla dowolej liczby a 0. Jeśli a > i u > v, to a u > a v. Jeśli atomiast 0 < a < i u > v, to a u < a v. Jeśli a > 0, to defiiujemy pote ge o wyk ladiku rzeczywistym. Opiszemy jak to moża zrobić. Dla ustaleia uwagi zak ladać be dziemy w dalszym cia gu, że a >. Zauważmy po pierwsze, że dla dowolej liczby b > zachodzi ierówość b < +b, bo +b b = b) > 0. Sta d wyika, że 4 b < + b < + +b = + 4 + b 4. Aalogiczie 8 b < + 4 b < + + 4 + b 4 = + 4 + 8 + b 8. Kotyuuja c dochodzimy do ierówości b < + 4 + 8 + + + b = + b. Widzimy wie c, że jeśli u < x < v i v u < dla pewej liczby aturalej >, u, v, to 0 < a v a u = a u a v u ) < a u a / ) = a u ) a < au a. Jeśli ustalimy liczbe x i wybierzemy liczbe aturala k > x+, to otrzymamy ierówość 0 < a v a u =< a Wyika z iej, że jeśli ε > 0, to moża zaleźć liczbe aturala u a < a a k. m taka, że a k a m < ε. Jeśli m oraz u < x < v i v u <, to 0 < a v a u =< a u a < a k a a k a m < ε. Przed zdefiiowaiem pote gi o wyk ladiku iewymierym sformu lujemy jedo twierdzeie, którego dowodu podawać ie be dziemy. Lemat o przedzia lach zste puja cych Jeśli [a, b ] [a, b ] [a 3, b 3 ]..., to istieje liczba x taka, że dla każdego a x b.* zachodzi Dowodu ie możemy podać, bo jest o zbyt bliski podstawom teorii liczb rzeczywistych, których w ogóle ie omawiamy. Stwierdzić jedak wypada, że chodzi w tym lemacie wyraźie o przedzia ly domkie te. Przyk ladowo 0, ] 0, ] 0, 3 ]..., ale cze ścia wspóla wszystkich przedzia lów 0, ], 0, ], 0, 3 ],... jest zbiór pusty. Przedzia ly domkie te [0, ], [0 ], [0, 3 ],... maja dok ladie jede wspóly elemet: 0. Twierdzeie o istieiu pote gi o wyk ladiku rzeczywistym Niech a, x, a >. Istieje wtedy dok ladie jeda liczba rzeczywista y taka, że jeśli u < x < v, u, v, to a u < y < a v. Dowód. Niech u, u,..., v, v,... be da liczbami wymierymi takimi, że + + x < u < u + < x < v + < v < + + x dla =,, 3,.... Mamy zatem a u < a u+ < a v+ < a v a v. Wobec tego [a u, b v ] [a u, b v ] [a u3, b v3 ]... Istieje wie c liczba y, która jest elemetem każdego przedzia lu [a u, b v ], =,, 3,.... Poieważ 0 < v u <, wie c 0 < a v a u < a v a. Za lóżmy, że dla każdego =,, 3,... zachodzi ierówość a u < y < z < a v, tz. zak ladamy, że liczby y, z sa elemetami wspólymi wszystkich * Iymi s lowy: istieje pukt ależa cych do wszystkich przedzia lów.
rozpatrywaych przedzia lów, przy czym y < z. Wtedy dla każdej liczby =,, 3,... mamy 0 < z y < a v a, co ie jest możliwe, bo po odpowiedim wybraiu otrzymujemy ierówość z y < a v a, przeciwa do poprzediej. Dowód zosta l zakończoy. Teraz możemy podać defiicje pote gi o dowolym wyk ladiku i dowolej dodatiej podstawie. Defiicja pote gi o wyk ladiku dowolym Jeśli a >, x, to a x jest jedya liczba taka, że dla każdej pary liczb wymierych u, v takich, że u < x < y zachodzi ierówość a u < a x < a y. Jeśli 0 < a <, x, to a x = a ) x. Na pote gi o dowolym wyk ladiku przeosza sie w lasości pote gowaia, o których wspomialiśmy w kotekście wyk ladików wymierych i dodatiej podstawy. Prócz tego dochodza owe. Twierdzeie o w lasościach fukcji wyk ladiczej Jeśli a > 0, to 0. dla każdej liczby x zachodzi x = ;. dla dowolych x, y zachodzi a x+y = a x a y ;. dla dowolych x, y zachodzi a x y = ax a y ; 3. a 0 =, a = a ; 4. dla dowolych x, y zachodzi a x) y = a xy ; 5. dla dowolej liczby x zachodzi a x = a x ; 6. dla dowolych b, x, b > 0 zachodzi ab) x = a x b x ; 7. jeśli a >, x, y i x < y, to a x < a y fukcja wyk ladicza o podstawie wie kszej iż jest ściśle rosa ca); 8. jeśli 0 < a <, x, y i x < y, to a x > a y fukcja wyk ladicza o podstawie dodatiej, miejszej iż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y > 0 i dla każdej liczby dodatiej a istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista x taka, że y = a x. Dowód tego twierdzeie pomijamy, wie ksza jego cze ść powia być zaa ze szko ly. Niektóre w lasości fukcji wyk ladiczej wymieioe w twierdzeiu sa latwe do uzasadieia lub wyikaja latwo z pozosta lych umieszczoych a tej liście dowody iych wymagaja pewej pracy. Defiicja logarytmu Logarytmem liczby y > 0 przy podstawie a > 0, a azywamy taka liczbe x, że y = a x. Piszemy y = log a x. Z twierdzeia o w lasościach fukcji wyk ladiczej, pukt 9 wyika, że ta defiicja ma ses, tz. każda liczba dodatia ma logarytm przy dowolej podstawie dodatiej, różej od. Zachodzi wie c rówość a log a x = x. Przypomijmy, że fukcja wyk ladicza o podstawie a to fukcja przypisuja ca liczbie x liczbe a x. Argumetem jest w tym przypadku wyk ladik pote gi, a wartościa pote ga. 3
Fukcja logarytmicza o podstawie a to fukcja odwrota do fukcji wyk ladiczej o podstawie a, czyli fukcja, która liczbie y przypisuje wartość wyk ladika x w taki sposób, ze podstawa podiesioa do pote gi x daje liczbe logarytmowaa y. Fukcja pote gowa o wyk ladiku α azywamy fukcje, która liczbie x > 0 przypisuje liczbe x α. Logarytmów liczb ujemych ie defiiujemy, bo ie sa am potrzebe i w ie moża ich dobrze zdefiiować w zbiorze liczb rzeczywistych. Sytuacja ulegie pewej zmiaie po rozszerzeiu aszego zapasu liczb tz. gdy zacziemy zajmować sie liczbami zespoloymi). Wtedy be dziemy w staie zdefiiować logarytmy liczb ujemych i iych ale ie logarytm 0), ale ie be dziemy sie tymi kwestiami itesywie zajmować. Przyk lady log 8 =, bo 3 = 8 ; log 0 0000 = 4, bo 0 4 = 0000 ; log 0 0000 = 4, bo 0 4 = 0000 ; log 0 0 =, bo 0/ = 0 ; log 0 000 = 3, bo 0 3/ = 0 3 = 000. Poieważ fukcja logarytmicza jest fukcja odwrota do wyk ladiczej, wie c w lasościom fukcji wyk ladiczej odpowiadaja w lasości fukcji logarytmiczej. Twierdzeie o w lasościach fukcji logarytmiczej Jeśli a > 0, to. dla dowolych x, y > 0 zachodzi log a xy) = log a x + log a y ;. dla dowolych x, y > 0 zachodzi log a x y = log a x log a y ; 3. log a = 0 i log a a = ; 4. dla dowolych x, y, x > 0 zachodzi log a x y ) = y log a x ; 5. dla dowolej liczby x > 0 zachodzi log a x = log a x ; 4. jeśli b, x > 0 i b, to log a x = log b x log b a, czyli log b a log a x = log b x ; 7. jeśli a >, x, y i 0 < x < y, to log a x < log a y fukcja logarytmicza o podstawie wie kszej iż jest ściśle rosa ca); 8. jeśli 0 < a <, x, y i 0 < x < y, to log a x > log a y fukcja wyk ladicza o podstawie dodatiej, miejszej iż jest ściśle maleja ca); 9. dla każdej liczby rzeczywistej y i dla każdej liczby dodatiej a istieje dok ladie jeda liczba rzeczywista x taka, że y = log a x. Dziwa umeracja spowodowaa jest tym, że w lasości logarytmów odpowiadaja pewym w lasościom pote g, wyraźie wskazujemy które którym. W lasość 4 to twierdzeie zae ze szko ly zapewe) pod azwa twierdzeie o zmiaie podstawy logarytmu. Jest oo bezpośredim wioskiem z w lasości 4 fukcji wyk ladiczej. Wyika z iego, że zaja c logarytmy przy podstawie b moża zaleźć logarytmy przy owej podstawie a. Warto powiedzieć, że logarytmy zosta ly wyalezioe przez astroomów, bo ludzie obserwuja cy iebo w ocy przeprowadzali wiele obliczeń, a w przeciwieństwie do obecie żyja cych ie mieli 4
do dyspozycji urza dzeń elektroiczych. Możeie liczb pochodza cych z obserwacji by lo trudo a ogó l ie by ly to ma le liczby aturale), wie c usi lowao zasta pić możeie zaczie miej pracoch loym dodawaiem. Pocza tkowo używao do tego tablic trygoometryczych i wzorów typu si α + si β = si α+β cos α β, a późiej stworzoo tablice logarytmów* i używao w lasości : zajdowao logarytmy możoych liczb x, y w tablicach, sumowao je i za pomoca tablic zajdowao liczbe, której logarytmem by la liczba log a x + log a y. Podobie pierwiastkowao i podoszoo do pote gi lx y ) = y l x ). Tak by lo do pocza tku lat osiemdziesia tych XX wieku, czyli do mometu, w którym komputery osobiste sta ly sie powszeche. Dziś do re czych obliczeń logarytmy ie sa używae, tym iemiej sa, i zapewe be da, stosowae róże skale logarytmicze. W chemii używaa jest wielkość ph, która jest rówa mius logarytmowi o podstawie 0 ) ze ste żeia joów wodorowych w roztworze, chemicy mówia ujemy logarytm... maja c a myśli liczbe przeciwa do logarytmu. W czystej wodzie ste żeie joów wodorowych wyosi oko lo 0, 000000 = 0 7, zatem ph czystej wody jest rówe 7. Chodzi o to, by operować miejszymi liczbami, co w przypadku jedokrotego użycia zaczeia ie ma, ale ph jest używae przez bardzo wielu ludzi wielokrotie, wie c prostota defiicji ma duże zaczeie. Iym przyk ladem jest p. skala Richtera trze sień Ziemi: trze sieie o jede stopień siliejsze ma dziesie ciokrotie wie ksza eergie. Podobie jest jest z ate żeiem dźwie ku, rówież w tym przypadku skala jest logarytmicza. Podobie skala jasości gwiazd. Sa oe użytecze, bo ich użycie sp laszcza skale. Zilustrujemy to a przyk ladzie log 0 0, 000000 = 7, log 0 0, 00000 = 6, log 0 0, 0000 = 5, log 0 0, 000 = 4, log 0 0, 00 = 3, log 0 0, 0 =, log 0 0, =, log 0 =, log 0 0 =, log 0 00 =, log 0 000 = 3, log 0 0000 = 4, log 0 00000 = 5, log 0 000000 = 6, log 0 0000000 = 7. Chodzi o to, że trudo jest ogla dać te zera w dużych ilościach, a czasem mamy do czyieia z wielkościami, jak wspomiae wyżej, które zmieiaja sie w szerokim zakresie. Wtedy wygodiej jest je zlogarytmować, bo wtedy latwiej moża sie porozumiewać mówia c lub pisza c o ich, zw laszcza jeśli to zrobioe zostaje, jak w podaych przyk ladach a sta le. Fukcje trygoometrycze Przypomimy teraz zae ze szko ly defiicje fukcji trygoometryczych. Rozpoczijmy od tego, że dosyć powszechie stosowaa jedostka miary ka ta stopień jest dosyć sztucza i ie wsze dzie stosowaa. Na statkach stosowao rumby rumb to ka ta pe lego), po 789 r Rewolucja 3 we Fracji) ustaloo owy system miar, ka ty mia ly być mierzoe w gradusach ka t prosty mia l mieć 00 gradusów), ta miara jest gdzieś stosowaa do dziś, bo iektóre kalkulatory moża przestawić a gradusy. W rozważaiach teoretyczych ajważiejsza jedostka miary ka ta to radia. Za lóżmy, że * Tablice logarytmów stworzoo w XVII wieku J.Napier). Pierwsza podstawa by la liczba e,7, o której be dzie mowa późiej, a po oko lo 0 latach przeliczoo J.Briggs) logarytmy aturale czyli o podstawie e ) a logarytmy o podstawie 0, czyli dziesie te. 5
rozważamy ka ty o wierzcho lku w pocza tku uk ladu wspó lrze dych, których pierwszym ramieiem jest dodatia pó loś pozioma, czyli zbiór wszystkich puktów postaci x, 0), gdzie x 0. Ka ty odmierzamy w kieruku przeciwym do ruchu wskazówek zegara. Ka t ma t radiaów, jeśli drugie ramie przecia okra g C o środku w pukcie 0, 0) i promieiu, w pukcie P takim, że d lugość luku okre gu C zaczyaja cego sie w pukcie, 0) i kończa cego sie w pukcie P jest rówa t. Ka t prosty 90 ma wie c miare rówa 4 d lugości okre gu o promieiu, czyli 4 π = π. Ka t pó lpe ly 80 ), rówy dwóm ka tom prostym, ma miare π = π. Ka t o mierze π, to rówież ka t prosty, lecz odmierzoy w kieruku zgodym z ruchem wskazówek zegara, tj. oparty a luku o końcach, 0) i 0, ). Rozważamy tu, jak widać, ka ty zorietowae, tz. wiadomo, które ramie jest pierwsze, a które drugie, jeśli od pierwszego ramieia do drugiego poruszamy sie w kieruku przeciwym do ruchu wskazówek zegara, to mówimy o ka cie dodatim, jeśli w kieruku zgodym z ruchem wskazówek zegara o ka cie ujemym. Moża mówić o ka tach wie kszych od pe lego, p. ka t o mierze 9π 4 powstaje w wyiku przejścia w kieruku przeciwym do ruchu wskazówek zegara ajpierw ca lego okre gu, a potem jeszcze 5π okre gu; ka t o mierze to ka t odmierzoy w kieruku 8 zgodym z ruchem wskazówek zegara, ajpierw obchodzimy ca ly okra g, potem jeszcze ćwiartke, ca ly czas w kieruku zgodym z ruchem wskazówek zegara. Za lóżmy teraz, że odmierzyliśmy luk o mierze t od puktu, 0) do puktu P. Wtedy wspó lrze dymi puktu P sa cos t i si t to defiicja kosiusa i siusa ka ta t, p. cos π = 0, si π =, cos 3π = 0, si 3π π =, cos 4 = π, si 4 = si t cos t. Wiemy też, że tg t = cos t, ctg t = si t.* Wprowadzae sa rówież sekas i kosekas: sec t = cos t, csc t = si t. My be dziemy używać g lówie fukcji kosius, sius i tages. Przypomimy kilka podstawowych w lasości fukcji sius i kosius. T. Dla każdej liczby t zachodzi wzór si t + cos t =. T. Dla dowolych liczb rzeczywistych t, s zachodzi wzór sis + t) = si s cos t + si t cos s. T3. Dla dowolych liczb rzeczywistych t, s zachodzi wzór coss + t) = cos s cos t si s si t. T4. Dla każdej liczby rzeczywistej t zachodza wzory cos t) = cos t oraz si t) = si t wzory te wyikaja z tego, że pukty cos t, si t), cos t), si t)) leża symetryczie wzgle - dem poziomej osi uk ladu wspó lrze dych. T5. Dla każdej liczby rzeczywistej t zachodza wzory cost + π ) = si t i sit + π ) = cos t te wzory wyikaja atychmiast z tego, że przy obrocie o ka t π wokó l puktu 0, 0) pukt x, y) przekszta lcay jest a pukt y, x), moża je też wyprowadzić z wzorów T i T3 oraz cos π = 0, si π =. T6. Dla każdej liczby rzeczywistej t zachodza wzory cost + π) = cos t oraz sit + π) = si t * W iektórych krajach używae sa skróty ta tages) i cot kotages) 6
te wzory wyikaja od razu z tego, że obrót o ka t π jest przekszta lceiem tożsamościowym: pukt x, y) przekszta lcay jest a te sam pukt x, y) ; moża też je wyprowadzić stosuja c czterokrotie wzory T5.** T7. Dla dowolych liczb rzeczywistych s, t zachodza wzory: si s±si t = si s±t cos t = cos s+t s t cos oraz cos s cos t = si s t s+t si te cztery wzory wyikaja latwo z wzorów T, T3 i T4. T8. Jeżeli 0 < t < π, to 0 < si t < t < tg t. cos s t, cos s+ Podamy dowód tej ierówości. Niech O = 0, 0), A =, 0 ), P = cos t, si t), Q =, tg t). Trójka t P OA jest zawarty w wyciku ko la P OA, a te wyciek ko la w trójka cie prostoka tym QOA. Wobec tego pole trójka ta P OA jest miejsze iż pole wycika ko lowego P OA, a to pole jest miejsze od pola trójka ta QOA. Obliczaja c te pola za pomoca wzorów zaych ze szko ly podstawowej otrzymujemy ierówość podwója rówoważa ierówości, która dowodzimy. Nierówość si t < t zachodzi dla każdego dodatiego t, bo dla t π si t < t π π < tg t, która jest prawdziwa jest ierówość t > si t. Poieważ si t) = si t, wie c dla t 0 mamy si t < t. Wobec tego mamy si s si t = si s t s+t cos s t = s t dla dowolych liczb rzeczywistych s, t. Aalogiczie dowodzimy, że cos s cos t s t. Udowodiliśmy wie c, że T9. Dla dowolych liczb rzeczywistych s, t zachodza ierówości si s si t s t oraz cos s cos t s t. T0. Jeśli lim t = t, to lim si t = si t oraz lim cos t = cos t, czyli sius i kosius sa fukcjami cia g lymi dowód wyika z twierdzeia o trzech cia gach i w lasości T9. T. Jeśli lim t si t = 0 i t 0 dla każdego, to lim =. t Udowodimy to stwierdzeie. Poieważ si t) t = si t t, wie c moża zak ladać, iż t > 0 dla każdego. Poieważ lim t = 0, wie c dla dostateczie dużych mamy t <, co w po la czeiu z za lożeiem t > 0 daje 0 < t <. Dla takich liczb t, dzie ki w lasości T8, możemy apisać t t ) < t si t) = t cos t < t cos t < si t < t, zatem t t 3 < si t < t i wobec tego t < si t t Dowód zosta l zakończoy. <. Teraz w lasość T wyika z twierdzeia o trzech cia gach. Poday wyżej dowód moża ieco skrócić: z T8 wyika, że cos t < si t t <, a poieważ lim cos t = cos 0 =, wie c teza wyika z twierdzeia o trzech cia gach. Podaliśmy dowód jedyie ieco wyd lużoy po to, by uzyskać kokrete oszacowaie b le du w cze sto stosowaej ** Reszty wzorów redukcyjych wypisywać ie be dziemy, zache camy czytelików do wyprowadzaia ich w razie potrzeby z rysuku, albo z wzorów T4, T5. Zapamie tywać ich ie ma potrzeby, bo wyprowadzeia sa bardzo proste. Wa tpliwej jakości utwory poetyckie maja ce u latwić zapamie tywaie wzorów redukcyjych powiy ulec szybkiemu zapomieiu, pomimo rozpowszechiaia ich przez tych autorów i auczycieli, którzy sa przekoai o tym, że ucziowie i studeci ie sa w staie przeprowadzać samodzielie jedoliijkowych rozumowań. 7
rówości przybliżoej si t t dla t 0. To szacowaie ie jest ajlepsze. Późiej be dziemy w staie latwo wykazać, że t t3 6 < si t dla t > 0, ale to już iewiele zmiei. Jeśli p. 0 < t < 0,, to 0 < t si t < t 3 < 0, 0 t, wobec tego w tym przypadku b la d, który pope liamy zaste puja c liczbe si t liczba t jest miejszy iż % liczby t w rzeczywistości < 6 % ). Jest wie c ca lkiem przyzwoita dok ladość, a pamie tać ależy, że ka ty sa tu wyrażae w radiaach 0, radiaa to poad 5 ), sa to wielkości wyste puja ce w optyce, przy ruchu d lugiego wahad la matematyczego, czy też przy strzelaiach z armat do w miare odleg lych celów. W szkolych podre czikach do fizyki zajduje sie twierdzeie mówia ce, że okres wahań wahad la matematyczego jest iezależy od amplitudy. Ma lo kto zwraca uwage a za lożeie: amplituda musi być dostateczie ma la, po to by rówość przybliżoa si t t dawa la dobra dok ladość. Bez trudu każdy może stwierdzić, że jeśli zacziemy wychylać wahad lo daleko od dolego pioowego po lożeia to okres wzrośie w zauważaly sposób. Jeśli jedak rozważamy dostateczie ma le amplitudy, to wtedy różice albo sa iemierzale, bo miejsze od dok ladości pomiaru, albo trudo mierzale. Jest to koleje ostrzeżeie dotycza ce rówości przybliżoych. Na ogó l wolo je stosować w określoych zakresach poza dopuszczalym zakresem ie ma to a ogó l sesu. Wie cej powiemy o tym zjawisku w końcu drugiego semestru, gdy zajmiemy sie rówaiami różiczkowymi. W wielu sytuacjach pojawia sie kwestia przybliżaia różych wielkości. Podstawowym arze dziem w matematyce pozwalaja cym a aalizowaie takich problemów jest graica cia gu, fukcji).. W wielu sytuacjach rozpatrywae sa tzw. cia gi liczbowe. Jeśli p. chcemy zdefiiować pole ko la, to moża rozważać p. wieloka ty foreme wpisae w to ko lo o coraz wie kszej liczbie boków i mówić, że pole ko la jest liczba, która moża przybliżać polami tych wieloka tów, przy czym przybliżeie jest tym dok ladiejsze im wie ksza jest liczba boków wieloka ta. Mamy tu wie c do czyieia z cia giem pól wieloka tów wpisaych w dae ko lo, co ozacza, że liczbom aturalym pocza wszy od 3 przypisae zosta ly pewe liczby rzeczywiste. Te ostatie azywamy wyrazami cia gu i ozaczamy a ogó l symbolem a.. Iy przyk lad by l rozważay przez Zeoa 490-430 p..e) z Elei. Twierdzi l o miaowicie, że zay w starożytości biegacz Achilles ie jest w staie dogoić żó lwia. Rozważaia te przedstawimy oczywiście używaja c wspó lczesego je zyka i stosuja c wspó lczese ozaczeia. Przyjmijmy a przyk lad, że pocza tkowa odleg lość mie dzy Achillesem i żó lwiem rówa jest 00 m. Dla prostoty przyjmiemy, że pre dkość Achillesa jest dziesie ciokrotie wie ksza iż pre dkość uciekaja cego żó lwia. W jakimś czasie Achilles przebiegie 00 m. W tym samym czasie żó lw przesuie sie o 0 m, wie c a razie przyajmiej ie zostaie z lapay. Po 0 tego czasu Achilles przebiegie 0 m, jedak zów ie dogoi żó lwia, który oddali sie o aste py metr. Achilles przebiegie metr, a żó lw oddali 8
sie o 0 cm itd. Proces te moża kotyuować. Prowadzi to do rozpatrywaia coraz d luższych odcików przebytych przez Achillesa, czyli liczb: 00 ; 0 ; ;, ;... czyli cia gu, którego wyraz o umerze jest day za pomoca wzoru a = 00 + 0 + +... + 00 =,... 0 przy czym w zapisie dziesie tym tej liczby wyste puje jedyek. Zeo po prostu ie potrafi l zsumować ieskończeie wielu sk ladików. Nie operowa l poje ciem sumy ieskończoej, ie umiao wtedy takiego poje cia zdefiiować. Tego rodzaju problemy aalizowao już wtedy, ale ścis le defiicje matematycze pojawi ly sie dopiero w pierwszej po lowie XIX wieku Gauss, Cauchy, Bolzao). Oczywiście moża latwo odpowiedzieć a pytaie po przebiegie ciu jakiego dystasu Achilles z lapie żó lwia:,... = 000. Na wszelki wypadek podamy formale rozumowaie, które moża by lo 9 zastosować rówież w starożytości, jedak bez jawego użycia poje cia sumy ieskończoej, a wie c omijaja c istoty problem matematyczo-filozoficzy.* Ozaczmy dystas przebyty przez żó lwia do mometu zakończeia pogoi przez x. Achilles w tym samym czasie przebieg l odleg lość 0x. Różica tych wielkości to 9x = 00. Sta d atychmiast wyika, że x = 00 000, zatem 0x =. Oczywiście 9 9 problemem istotym by lo tu obliczeie tzw. graicy cia gu, czym zajmiemy sie iebawem. 3. Rozważymy jeszcze iy przyk lad. Za lóżmy, że mamy do czyieia z pewa ilościa pierwiastka promieiotwórczego. Niech m ozacza jego mase. Fizycy twierdza, że ubytek masy pierwiastka promieiotwórczego jest proporcjoaly do czasu i masy substacji. Ozaczmy wspó lczyik proporcjoalości przez µ i zastaówmy sie jaka ilość tego pierwiastka be dziemy mieć po czasie t. Na tzw. zdrowy rozum masa w czasie t powia sie zmiejszyć o µ t m. Jedak substacja promieiuje bez przerwy. Moglibyśmy wie c rozumować w te sam sposób mysla c o czasie dwukrotie krótszym, t t czyli. Wtedy masa zmiejszy laby sie o µ m. Wobec tego po czasie t masa by laby rówa m µ t m = m µ t ). Ta masa zmiejsza laby sie w dalszym cia gu zgodie z tym samym prawem, wie c po czasie t masa pierwiastka by laby rówa m µ t ) µ t m µ t ) = m µ t ). Mamy wie c dwa wyiki µ t ), jeśli czas dzielimy a pó l oraz µ t, jeśli ie dzielimy. Te wyiki sa róże, wie c poday opis ie może być dobry. Na domiar z lego, jeśli czas podzielimy ie a dwie rówe cze ści, to wyik be dzie jeszcze iy: przy podziale t = t 3 + t 3 + t 3 wywioskujemy, że po czasie t masa rówa jest m µ t 4 )3, przy podziale t = t 4 + t 4 + t 4 + t 4 wyik to m µ t 4 )4. Oczywiście rezultat ie może zależeć od tego, w jaki sposób opisujemy zjawisko. Moża wie c przypuścić, że zacytowae prawo fizyki dzia la w przypadku dostateczie krótkiego czasu z b le dem miejszym iż dok ladość pomiaru. Matematyka obliguje to do zadaia pytaia: czy liczby * By ly ie paradoksy zwia zae z problemem dzieleia w ieskończoość a cze ści, p. pukt ie ma d lugości, odciek sk lada sie z puktów i ma d lugość, poruszaja cy sie obiekt w ieskończeie krótkim czasie ie przebywa żadej odleg lości, a jedak sie porusza. Przekoamy sie, że dzie ki poje ciu graicy daje sie w sesowy sposób mówić o tego rodzaju kwestiach ie dochodza c do pozorych sprzeczości. 9
m µ t), m µ t ), m µ t 3 )3, m µ t 4 )4,... przybliżaja z coraz wie ksza dok ladościa pewa liczbe, która mog laby być wtedy uważaa za prawdziwy wyik? Pytaie okazuje sie tym ważiejsze, że do tego samego pytaia prowadzi aaliza oprocetowaego wk ladu bakowego albo p. wyd lużaia sie p. szy kolejowych w wyiku wzrostu temperatury lub ich skracaia sie w wyiku spadku temperatury. To prawo fizycze jest zae każdemu, kto by l przytomy w czasie lekcji fizyki w szóstej klasie szko ly podstawowej. Nieliczi jedak ucziowie zauważaja problem, który opisaliśmy wyżej. Stosowaie tego prawa w sposób opisay w podre czikach szkoly prowadzi do różych wyików w zależości od tego czy temperatura zmieia sie p. o 0, czy też o 0 + 0, co oczywiście ie może być prawda, bowiem wzrost temperatury ie jest skokowy, lecz odbywa sie stopiowo. Podsumujmy: opisae wyżej zagadieia prowadza do rozpatrywaia cia gu o wyrazie + x ), w przypadku masy substacji promieiotwórczej x = µ t. Powyższe rozważaia sugeruja, że wzrost liczby aturalej powiie powodować wzrost wyrażeia + x ) przyajmiej w przypadku x 0. W istocie rzeczy latwo moża sie przekoać o tym, że > x wzrost taki ma miejsce, wykażemy to iebawem. 4. Iym rodzajem cia gu jest tzw. cia g geometryczy: a = a 0 q, gdzie a 0 i q sa dowolymi liczbami rzeczywistymi. Liczba q jest zwaa ilorazem cia gu geometryczego, bo w przypadku q 0 jest rówa ilorazowi dwóch kolejych wyrazów cia gu. Do rozpatrywaia tego cia gu prowadza opisae poprzedio zagadieia, jeśli ie zmiejszamy odcików czasu lub temperatury, p. obliczamy ile be dzie pieie dzy a aszym kocie, jeśli wyp lat moża dokoywać po ustaloym okresie czasu, a oprocetowaie jest sta le w czasie. Wtedy a 0 ozacza wyjściowa kwote, a kwote zajduja ca sie a rachuku po up lywie jedego okresu, a po up lywie dwóch okresów itd. Liczba ludzi w daym kraju w przypadku sta lego przyrostu aturalego zachowuje sie jak cia g geometryczy o ilorazie dosyć bliskim jedości dodati przyrost aturaly ozacza, że iloraz jest wie kszy iż zaś ujemy przyrost aturaly że iloraz jest miejszy iż. 5. Jeszcze iym rodzajem cia gu jest cia g arytmetyczy: a = a 0 +d, gdzie a 0 oraz d ozaczaja dowole liczby rzeczywiste. Liczba d zwaa jest różica cia gu arytmetyczego, jest oa rówa różicy dwóch kolejych wyrazów cia gu. W XIX wieku zaobserwowao, że ilość zboża zachowuje sie jak wyraz cia gu arytmetyczego jest umerem roku). Oczywiście tego rodzaju obserwacje sa przybliżoe, bowiem co jakiś czas zdarzaja sie powodzie, susze i wtedy proces wzrostu ulega zak lóceiu. Bywaja też zak lóceia iego rodzaju, p. w XIX zauważoo, że stosowaie saletry chilijskiej awozy azotowe) zwie ksza w istoty sposób ploy. By ly też ie zak lóceia aturalego tempa wzrostu ilości zbóż. 6. W re kopisie z 8 r Leoarda z Pizy, zwaego Fiboaccim, zajduje sie aste puja ce zadaie: Ile par królików może być sp lodzoych przez pare p lodych królików i jej potomstwo w cia gu roku, jeśli każda para daje w cia gu miesia ca żywot jedej parze, para staje sie p loda po miesia cu, króliki ie zdychaja w cia gu tego roku. Jase jest, że po miesia cu mamy już dwie pary przy czym jeda z 0
ich jest p loda, a druga jeszcze ie. Wobec tego po dwóch miesia cach żyja już trzy pary królików: dwie p lode, jeda jeszcze ie. Po trzech miesia cach żyje już pie ć par królików: trzy p lode, dwie jeszcze ie. Po czterech miesia cach jest już 8 = 5 + 3 par królików. Kotyuuja c to poste powaie stwierdzamy po iezbyt d lugim czasie, że po roku żyje już 377 = 33 + 44 par królików. Naturalym problemem jest: zaleźć wzór a liczbe a, jeśli a 0 =, a = i a = a + a dla =, 3, 4,.... Wzór taki zosta l zalezioy dopiero po kilkuset latach od apisaia ksia żki przez Fiboacci ego i wygla da tak: a = + ) + 5 ) + 5. 5 Dowód prawdziwości tego wzoru jest prosty i ie wykracza poza program liceum latwa idukcja. Jedak pozostaje pytaie, jak w ogóle moża tego rodzaju hipoteze sformu lować. Jest to pytaie zaczie ważiejsze od wykazaia prawdziwości tego wzoru, jedak a razie ie be dziemy sie tym zajmować. Za kilka miesie cy staie sie jase w jaki sposób do takiego dziwego rezultatu moża dojść. 7. Przejdziemy teraz do ścis lego zdefiiowaia cia gu. Defiicja cia gu Cia giem azywamy dowola fukcje określoa a zbiorze z lożoym ze wszystkich tych liczb ca lkowitych, które sa wie ksze lub rówe pewej liczbie ca lkowitej 0. Wartość tej fukcji pukcie azywamy -tym wyrazem cia gu. Stosujemy ozaczeie a ) dla ozaczeia cia gu, którego -tym wyrazem jest a. W pukcie ajmiejszym umerem wyrazu cia gu jest liczba 0 = 3 zaczyamy wie c od a 3 ), w puktach i 3 mamy 0 = teraz od a ), aste pe trzy cia gi rozpocze liśmy od 0 = 0. Oczywiście moża rozpoczyać umeracje od dowolej liczby ca lkowitej, rówież ujemej. Termiy cia g arytmetyczy, cia g geometryczy używae be da ie tylko w przypadku cia gów rozpoczyaja cych sie od wyrazu a 0, rówież w tym przypadku 0 może być dowola liczba ca lkowita. Chodzi jedyie o to, by by ly prawdziwe rówości a = a + d lub w przypadku cia gu geometryczego a = a q dla wszystkich liczb ca lkowitych 0. Zazwyczaj jedak umeracje be dziemy rozpoczyać od 0 lub od. Jeśli ie zazaczymy tego wyraźie, symbol ozaczać be dzie liczbe ca lkowita ieujema, czyli aturala.* 8. Przejdziemy teraz do zdefiiowaia graicy cia gu poje cia zasygalizowaego przy okazji omawiaia paradoksu Zeoa zob. pukt.) * Cze ść matematyków uważa, że liczby aturale to,,... Ii uważaja, że zaczyać ależy od 0. W momecie pisaia tego tekstu autor przychyli l sie do tej drugiej kocepcji: liczby aturale s luża przede wszystkim do ustalaia liczby elemetów daego zbioru skończoego, poieważ rozważamy iejedokrotie zbiór pusty, wie c liczbe 0 uważać be dziemy za aturala.
Defiicja graicy cia gu a. Liczba g azywaa jest graica cia gu a ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolej liczby dodatiej ε > 0 istieje liczba ca lkowita ε, taka że jeśli > ε, to a g < ε. b. + czytaj: plus ieskończoość) jest graica cia gu a ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba ca lkowita m taka, że jeśli > M, to a > M. c. czytaj: mius ieskończoość) jest graica cia gu a ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba ca lkowita m taka, że jeśli > M, to a < M. d. Jeśli g jest graica cia gu a ), skończoa lub ie, to piszemy g = lim a lub a g. Moża też pisać a g, gdy lub krótko a g. Mówimy, że cia g jest zbieży, jeśli jego graica jest skończoa. Skometujemy po pierwsze cze ść a. Chodzi tam o to, że wyrazy cia gu, których umery sa dostateczie duże > ε ) przybliżaja graice g z dopuszczala dok ladościa a g < ε ). Stwierdzimy tu wyraźie, że przejście do aste pego wyrazu ie musi zwie kszyć dok ladości przybliżeia, przeciwie chwilowo może sie ta dok ladość zmiejszyć, dopiero dostateczie duży wzrost umeru wyrazu musi zwie kszyć dok ladość przybliżeia jeśli cia g jest sta ly, p. a = 33 dla każdej liczby aturalej, to b la d jest zerowy zawsze, iezależie od umeru wyrazu, wie c dok ladość ie może być poprawioa). O liczbie ε myśleć ależy jako o ma lej liczbie dodatiej chodzi o to, że jeśli dla ma lego ε umiemy wskazać momet, od którego b la d jest miejszy iż ε, to od tego mometu ierówość jest rówież spe lioa z wie kszym ε ). Pamie tajmy rówież o tym, że liczba x y może być traktowaa jako odleg lość dwóch puktów prostej. Wobec tego ierówość a g < ε ozacza, że pukt a zajduje sie w przedziale o d lugości ε i środku g. W szczególości cia g, którego wszystkie wyrazy sa takie same lub awet ie wszystkie, tylko wszystkie od pewego mometu, tj. dla dostateczie dużych sa idetycze), jest zbieży, przy czym graica takiego cia gu jest wspóla wartość jego wyrazów. Cze sto zamiast mówić istieje ε, takie że dla > ε zachodzi... be dziemy mówić, że dla dostateczie dużych zachodzi... lub że dla prawie wszystkich zachodzi.... Tak wie c dla prawie wszystkich... ozacza dla wszystkich, z wyja tkiem skończeie wielu.... Podobie moża iterpretować cze ść b defiicji graicy. Tym razem wyraz cia gu, którego umer jest dostateczie duży > M ) powiie być blisko plus ieskończoości, wie c ma być duża liczba dodatia a > M ). Iterpretacje cze ści c pozostawiamy czytelikom jest oa w pe li aalogicza do cze ści b. Niektórzy autorzy używaja termiu cia g jest rozbieży do +, a ii mówia, że cia g jest zbieży do +. My be dziemy stosować raczej pierwsza termiologie. 9. Przyk lady a. 0 = lim. Aby przekoać sie o prawdziwości tej tezy wystarczy przyja ć, że ε jest dowola liczba ca lkowita wie ksza iż ε. Moża wie c przyja ć p. =, / = 3, 0,4 = 3, ale
moża też powie kszyć iektóre z tych liczb lub awet wszystkie i przyja ć = 0, / = 07, 0,4 = 3. Mamy wie c możliwość wyboru: liczbe ε moża zawsze zasta pić wie ksza. b. = lim +3 4. Wykażemy, że wzór te jest prawdziwy. Bez trudu stwierdzamy, że ierówość +3 7 = 7 zachodzi dla dowolej liczby ca lkowitej. Wystarczy wie c, 4 4 ) 6 by ε > 7 6ε. To zdaie ozacza, że dla tak dobraego ε i > ε prawdziwa jest ierówość +3 < ε ie zaczy to jedak, że tylko dla tych liczb ca lkowitych ierówość ta 4 miejsce! Nie musieliśmy rozwia zywać ierówości, choć w tym przypadku by lo to możliwe wystarczy lo udowodić, że ierówość ma miejsce dla wszystkich dostateczie dużych liczb aturalych. c. Jeśli d > 0, to + = lim a 0 + d). Postaramy sie wykazać, że rówość ta ma miejsce. Jeśli M jest dowola liczba rzeczywista, ε > M a0 d i > ε, to > M a0 d, zatem a = a 0 + d > M, co dowodzi prawdziwości rówości, która dowodzimy. 0. Nierówość Beroulli ego Wykażemy teraz bardzo użytecza ierówość. Za lóżmy, że jest liczba ca lkowita dodatia zaś a > liczba rzeczywista. Wtedy + a) + a przy czym rówość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub gdy =. Jeśli =, to oczywiście iezależie od wyboru liczby a ma miejsce rówość. Poieważ +a) = +a+a +a, przy czym rówość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a=0, wie c teza zachodzi dla = i wszystkich liczb rzeczywistych a ie tylko a > ). Otrzymaa ierówość + a) + a możemy pomożyć stroami przez liczbe dodatia + a) tu korzystamy z za lożeia a >. W wyiku otrzymujemy +a) 3 +a)+a) = +3a+a +3a. Także w tym przypadku jest widocze, że dla a 0 otrzymujemy ierówość ostra. Z tej ierówości w taki sam sposób wyika, że + a) 4 + 3a) + a) + 4a + 3a + 4a. Teraz w te sam sposób wioskujemy prawdziwość twierdzeia dla = 5 i wszystkich a >, potem dla = 6 itd. Ogólie jeśli teza twierdzeia zachodzi dla wszystkich liczb a > przy ustaloym, to + a) + + a) + a) = + + )a + a + + )a i zów bez trudu stwierdzamy, że rówość ma miejsce jedyie dla a = 0. Oczywiście jest to latwe rozumowaie idukcyje, azwy ie użyto wcześiej, by ie odstraszać tych, którzy jeszcze boja sie idukcji.. Graica cia gu geometryczego Niech a = q. Cia g te ma graice 0, jeśli q <, ma graice, jeśli q =, ma graice +, jeśli q >. Jeśli q, to cia g graicy ie ma. Wykażemy to twierdzeie. W przypadku q = 0 oraz q = teza jest oczywista, bo cia g jest sta ly jego wyrazy ie zależa od umeru). Za lóżmy teraz, że 0 < q <. Niech ε > 0 be dzie liczba 3
rzeczywista. Jeśli ε > ε q q = + jest liczba ca lkowita i > ε, to ) ) ) q + q > + ε = ε. Z otrzymaej ierówości wyika, że dla > ε zachodzi q że lim q = 0. > ε, czyli q < ε, a to ozacza, Kolejy przypadek to q >. Mamy teraz q = + q )) + q ). Wobec tego, jeśli > M i M > M q, to q > + M ) = M. Jase jest wie c, że lim q = +. Pozosta l przypadek ostati: q. W tym przypadku mamy q dla każdej liczby ca lkowitej ieparzystej oraz q dla każdej liczby ca lkowitej parzystej. Gdyby istia la skończoa graica g, to wyrazy cia gu o dostateczie dużych umerach leża lyby w odleg lości miejszej iż od graicy g to atychmiastowa kosekwecja istieia graicy skończoej. Jeśli jedak odleg lości q i q + od graicy g sa miejsze od, to odleg lość mie dzy imi jest miejsza iż + =, co ozacza, że q q + <. To jedak ie jest możliwe, bowiem jeda z liczb q, q + jest miejsza lub rówa, a druga wie ksza lub rówa. Sta d zaś wyika, że odleg lość mie dzy q i q + ie jest miejsza iż ) = *. Otrzymaliśmy sprzeczość, wie c cia g graicy skończoej ie ma. + graica tego cia gu też ie jest, bowiem wtedy wyrazy cia gu o dostateczie dużych umerach musia lyby być wie ksze od 0 przyjmujemy M = 0 ), a tak ie jest, bo te, których umery sa ieparzyste, sa ujeme. Aalogiczie ie jest graica tego cia gu, bo wyrazy o umerach parzystych sa dodatie, co wyklucza to, że wyrazy o dostateczie dużych umerach sa ujeme i w tym przypadku przyjmujemy M = 0 ). Wykazaliśmy wie c, że cia g ie ma ai graicy skończoej ai - ieskończoej, co kończy badaie graicy cia gu geometryczego.. Cia gi mootoicze i ściśle mootoicze, cia gi ograiczoe Defiicja cia gów mootoiczych Cia g a ) azywamy iemaleja cym rosa cym) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego umeru zachodzi ierówość a a + dla każdego umeru zachodzi ierówość a a + a < a + ). Podobie cia g ierosa cy maleja cy) to taki, że a > a + ). Cia gi iemaleja ce i ierosa ce maja wspóla azwe : cia gi mootoicze. Cia gi rosa ce i maleja ce azywamy cia gami ściśle mootoiczymi. W iektórych podre czikach stosowaa jest ieco ia termiologia: cia gi iemaleja ce zwae sa tam rosa cymi, a rosa ce ściśle rosa cymi. Jest oczywiście oboje te, która z dwu kocepcji jest stosowaa, jeśli tylko jest to robioe kosekwetie. Moża też, dla uikie cia ieporozumień, mówić o cia gach iemaleja cych i ściśle rosa cych. Cia g geometryczy zaczyaja cy sie od wyrazu a = q jest mootoiczy w przypadku q 0 : Nie używamy tu logarytmu, bo chcemy pokazać, że jakieś kokrete oszacowaia moża uzyskać bardzo elemetarie. Gdybyśmy jedak zechcieli go użyć, to moglibyśmy apisać ε>log 0 ε)/log 0 q ), przyp. log 0 q <0. * Moża to rozumowaie zapisać wzorami: q q + q g + g q + <+= dla dostateczie dużych. 4
dla q = 0 oraz dla q = cia g geometryczy jest sta ly, wie c iemaleja cy i jedocześie ierosa cy. W przypadku 0 < q < jest o maleja cy, dla q > jest o rosa cy. Cia g arytmetyczy jest rosa cy, gdy jego różica d jest dodatia, maleja cy gdy d < 0, sta ly wie c jedocześie iemaleja cy i ierosa cy), gdy d = 0. Defiicja cia gów ograiczoych Cia g a ) azyway jest ograiczoym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczba rzeczywista M, taka że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość: a M. Aalogiczie a ) jest ograiczoy z do lu wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczba rzeczywista m taka, że dla każdego zachodzi ierówość a m. Cia g ograiczoy z góry i z do lu azywamy ograiczoym. Cia giem ieograiczoym azywamy każdy cia g, który ie jest ograiczoy. Cia g ) jest ograiczoy z do lu p. przez 3 lub 0, ale ie jest ograiczoy z góry, wie c jest ieograiczoy. Cia g ) przez, ale rówież przez 3. jest ograiczoy z góry p. przez lub przez 000 oraz z do lu, p Cia g a ) jest ograiczoy wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczba ieujema M, taka że a M dla każdego. Jest oczywisty wiosek z defiicji cia gu ograiczoego: M musi być tak duże, by liczba M by la ograiczeiem dolym cia gu a ) i jedocześie liczba M by la jego ograiczeiem, górym. 3. Cia g + x )) Wypiszmy przybliżeia dziesie ciu pierwszych wyrazów cia gu w przypadku x = : oraz w przypadku x = 4 : ) + ) = + 4 = 3 ) + = 9 4 =, 5 ) + 4 = ) + 3 3 = 64 7, 37 ) + 4 3 3 = 7 0, 37 ) + 4 4 = 65 56, 44 ) + 4 4 4 = 0 ) + 5 5 = 7776 35, 49 ) + 4 5 5 = 35 0, 0003 ) + 6 6 = 7649 46656, 5 ) + 4 6 6 = 79 0, 004 ) + 7 7 = 0975 83543, 55 ) + 4 7 7 = 87 83543 0, 007 ) + 8 8 = 430467 67776, 56 ) + 4 8 8 = 56 0, 0039 ) + 9 9 = 000000000 38740489, 58 ) + 4 9 9 = 9535 38740489 0, 0050 ) + 0 0 = 59374460 0000000000, 59 ) + 4 0 0 = 59049 976565 0, 0060 Latwo moża przekoać sie, że cia g o wyrazie a = + x ) ie jest ai geometryczy, ai arytmetyczy z wyja tkiem jedego przypadku: x = 0. Wykażemy, że jeśli > x 0, to a + > a, czyli że cia g te jest rosa cy od pewego mometu. W przypadku x > 0 jest rosa cy, gdy x < 0, to może sie zdarzyć, że pocza tkowe wyrazy zmieiaja zak, wie c o mootoiczości ie może być awet mowy. Jeśli jedak wszystkie wyrazy cia gu sa dodatie, to jest iemaleja cy. Wypada to wykazać. Z ierówości > x wyika od razu ierówość + > x. 5
Z pierwszej z ich wioskujemy, że + x x > 0, a z drugiej że + + > 0. Nierówość ) + a < a + rówoważa jest ierówości + x < + +) x, a ta dzie ki temu, że + x > 0 ierówości + x ) + + + > x + ) = x +x. Skorzystamy teraz z ierówości Beroulli ego pukt 0.), by udowodić, że ostatia ierówość ma miejsce dla > x. Mamy ) + ) + = x +x)+) + ) x +x)+) = +x = x +x. Dla jasości + x + + x ależy jeszcze zauważyć, że liczba x +x)+), pe lia ca role a w ierówości Beroulli ego, jest wie ksza od jest to oczywiste w przypadku x 0, bo w tym przypadku jest oa ieujema, zaś dla x > 0 jej wartość bezwzgle da, czyli x +x)+) jest miejsza od + <. Wykazaliśmy wie c, że od mometu, w którym wyrażeie + x ) staje sie dodatie, cia g zaczya rosa ć gdy x = 0 jest sta ly). Dodajmy jeszcze, że jeśli x > 0, to wyrazy cia gu sa dodatie, jeśli zaś x < 0, to sa oe dodatie dla parzystego oraz dla ieparzystego, o ile > x. Pozostaje pytaie: czy w przypadku x > 0 wzrost wyrazu cia gu + x )) jest ieograiczoy, czy też dla ustaloego x zaleźć moża liczbe wie ksza od wszystkich wyrazów tego cia gu. Wykażemy, że cia g + x )) jest ograiczoy z góry dla dowolej liczby rzeczywistej x. Dla ujemych x tak jest, bo od pewego miejsca, jak to stwierdziliśmy wcześiej, wyrazy cia gu sa dodatie i miejsze od. Jeśli > x > 0, to + x ) = x ) ) < x ). Wyrażeie x x ) maleje wraz ze wzrostem gdy rozpatrujemy > x ), bo liczik ie zmieia sie, a miaowik jak to wykazaliśmy wcześiej rośie. Wyika sta d, że jeśli x) jest ajmiejsza liczba ca lkowita wie ksza od x, to wszystkie wyrazy cia gu sa miejsze iż ) x) = x x) x) x) x). Np. ) =, zatem wszystkie wyrazy cia gu + ) sa miejsze iż ) = 4. W przypadku x = 4 wszystkie wyrazy cia gu pocza wszy od pia tego sa dodatie i miejsze od, rozważywszy cztery pierwsze przekoujemy sie o tym, że ajwie kszym wyrazem cia gu jest wyraz drugi, rówy, a ajmiejszym pierwszy, rówy 3. W istocie rzeczy z tego, co zosta lo apisae wyika, że dla każdej liczby aturalej k x) liczba ) k k = x k ) k k x jest ograiczeiem górym cia gu + x ) zache camy do samodzielego uzasadieia tego prostego stwierdzeia. 4. Graica cia gu mootoiczego Wykażemy teraz aste pujace, zapewe zae ze szko ly Twierdzeie o istieiu graicy cia gu mootoiczego Każdy cia g mootoiczy ma graice. Dowód. 6
Za lóżmy, że cia g a ) jest iemaleja cy, tz. dla każdego zachodzi ierówość a a +. Jeśli cia g ie jest ograiczoy z góry, to dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba aturala M że a M M. Wtedy dla każdej liczby aturalej M zachodzi ierówość a a M M. Wobec tego taka, lim a = +. Za lóżmy teraz, że cia g a ) jest ograiczoy z góry przez liczbe b 0. Dla każdej liczby aturalej 0 mamy wie c a 0 a b 0. Jeśli w przedziale a 0+b 0, b 0 ], zajduja sie jakiekolwiek wyrazy cia gu a ), to przyjmujemy c = a0+b0 i b = b 0. Jeśli w przedziale a0+b 0 ], b 0 wyrazów cia gu a ) ie ma, to przyjmujemy c = a 0 i b = a0+b0. W obu przypadkach otrzymujemy przedzia l [c, b ] [a 0, b 0 ] dwa razy krótszy od przedzia lu [a 0, b 0 ] zawieraja cy prawie wszystkie wyrazy cia gu a ). W taki sam sposób otrzymujemy przedzia l [c, b ] [c, b ] dwa razy krótszy od przedzia lu [c, b ], czyli cztery razy krótszy od przedzia lu [a 0, b 0 ] zawieraja cy prawie wszystkie wyrazy cia gu a ). Powtarzaja c te kostrukcje wielokrotie określamy zste puja cy cia g przedzia lów domkie tych [c, b ] ) taki, że każdy przedzia l [c, b ] jest dwa razy krótszy od swego poprzedika i jest w im zawarty). Niech g be dzie puktem wspólym wszystkich przedzia lów [c, b ], =,,.... Jase jest, że ta cze ść wspóla sk lada sie z tylko jedej liczby jeśli g g, to dla dostateczie dużych liczb aturalych zachodzi ierówość g g > b0 a0 = b c ). Wykażemy, że lim a = g. Niech ε > 0. Istieje liczba aturala m taka, że b m c m < ε. Niech a [c m, b m ]. Wtedy rówież a +, a +, a +3,... [c m, b m ] i oczywiście g [c m, b m ]. Każde dwa pukty przedzia lu [c m, b m ] sa odleg le o ie wie cej iż b m c m < ε, w szczególości odleg lość g od każdego z puktów a, a +, a +, a +3,... jest miejsza iż ε. Ozacza to, że lim a = g. Jeśli cia g a ) jest ierosa cy, to moża już udowodioa cze ść twierdzeia zastosować do cia gu a ), który jest iemaleja cy. Ma o zatem jaka ś graice g. Bez trudu wykazujemy, że lim a = g. Te dowód zosta l zamieszczoy po to, by studetom by lo latwiej poja ć jak moża przeprowadzać rozumowaia matematycze. Nie ależy uczyć sie go a pamie ć, warto go zrozumieć. Zauważmy jedyie, że gdybyśmy ograiczyli sie do liczb wymierych, tj. u lamków o ca lkowitych liczikach i miaowikach, to twierdzeie ie by loby prawdziwe istieja bowiem cia gi liczb wymierych, których graice sa iewymiere. Twierdzeie to podaje wie c istota iformacje o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Chodzi o to miaowicie, że ie ma w im dziur, geometryczie jest to ca la prosta. Wyprowadziliśmy to twierdzeie z lematu o przedzia lach zste puja cych, bo by l o jedyym do tej pory twierdzeiem mówia cym w istocie rzeczy, że mie dzy liczbami rzeczywistymi żadych luk ie ma w odróżieiu od dziurawego zbioru liczb wymierych. Mie dzy każdymi dwiema różymi liczbami wymierymi c i d zajduje sie liczba iewymiera, p. c+ d c jej iewymierość wyika latwo z tego, że > jest liczba iewymiera, zaś c d sa wymiere. Jest też jase, że leży oa mie dzy c i d od puktu c przesuwamy sie w kieruku puktu d o wektor d c, którego d lugość jest miejsza iż odleg lość c d puktów c i d. Z twierdzeia tego wyika p. od razu, że cia g geometryczy, którego zbieżość zbadaliśmy 7
wcześiej ma graice w przypadku q 0. Nie wyika atomiast istieie tej graicy w przypadku q < 0, bo w przypadku ujemego ilorazu cia g geometryczy ie jest mootoiczy. Z tego twierdzeia wyika rówież, że dla każdej liczby rzeczywistej x cia g + x )) ma graice ie zawsze jest o mootoiczy, ale zawsze jest mootoiczy od pewego mometu, co w oczywisty sposób rówież wystarcza, bowiem zmiaa skończeie wielu wyrazów cia gu ie ma wp lywu a istieie lub wartość graicy, bowiem w defiicji graicy mowa jest jedyie o wyrazach cia gu, których umery sa dostateczie duże, zatem zmiaa skończeie wielu wyrazów cia gu może jedyie mieć wp lyw a zaczeie s lów dostateczie duże. Ozaczeie expx) ozaczać be dzie w dalszym cia gu graice cia gu + x )), tz. expx) = lim + x. ) Wobec tego symbol exp ozacza fukcje, która jest określoa a zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, jej wartościa w pukcie x jest liczba dodatia + ) x. lim 6. Obliczaie graic i stwierdzaie zbieżości cia gu podstawowe twierdzeia Sformu lujemy teraz kilka twierdzeń, które u latwiaja obliczaie graic, ich szacowaie lub stwierdzaie ich istieia. Potem pokażemy jak moża je stosować. W końcu udowodimy cze ść z ich, tak by wyjaśić mechaizm dowodzeia. Twierdzeie o arytmetyczych w lasościach graicy A. Jeśli istieja graice lim a, lim b i określoa jest ich suma, to istieje graica lim a +b ) i zachodzi wzór: lim a + b ) = lim a + lim b. A. Jeśli istieja graice lim a, lim b i określoa jest ich różica, to istieje graica lim a b ) i zachodzi wzór: lim a b ) = lim a lim b. A3. Jeśli istieja graice lim a, lim b i określoy jest ich iloczy, to istieje graica lim a b ) i zachodzi wzór: lim a b ) = lim a lim b. A4. Jeśli istieja graice lim a, a lim a i zachodzi wzór lim = b lim b lim b i określoy jest ich iloraz, to istieje graica lim. Zaim udowodimy to twierdzeie, sformu lujemy aste pe. Twierdzeie o szacowaiu N. Jeśli C < lim a, to dla dostateczie dużych zachodzi ierówość C < a. N. Jeśli C > lim a, to dla dostateczie dużych zachodzi ierówość C > a. N3. Jeśli lim b < lim a, to dla dostateczie dużych zachodzi ierówość b < a. N4. Jeśli b a dla dostateczie dużych, to zachodzi ierówość lim b lim a. 8 a b
Wiosek z twierdzeia o szacowaiu jedozaczość graicy N5 Cia g ma co ajwyżej jeda graice. Dowód. Gdyby mia l dwie p. g < g, to wybrać moglibyśmy liczbe C leża ca mie dzy g i g : g < C < g. Wtedy dla dostateczie dużych by loby jedocześie a < C zob. N) oraz a > C zob. N), co oczywiście ie jest możliwe. Wiosek z twierdzeia o szacowaiu ograiczoość cia gu o graicy skończoej N6. Jeśli graica lim a jest skończoa, to istieja liczby rzeczywiste C, D takie, że dla wszystkich zachodzi ierówość C < a < D, czyli cia g a ) jest ograiczoy z do lu liczba C zaś z góry liczba D. Twierdzeie o trzech cia gach N7. Jeśli a b c dla dostateczie dużych i cia gi a ) oraz c ) maja rówe graice, to cia g b ) też ma graice i zachodzi wzór Defiicja podcia gu lim a = lim b = lim c. Jeśli k ) jest ściśle rosa cym cia giem liczb aturalych, to cia g a k ) azyway jest podcia giem cia gu a ). Na przyk lad cia g a, a 4 a 6,..., czyli cia g a k ) jest podcia giem cia gu a ) w tym przypadku k = k. Cia g a, a 3, a 5, a 7, a,... jest podcia giem cia gu a ) w tym przypadku k jest k ta liczba pierwsza. Przyk lady moża możyć, ale zapewe starczy powiedzieć, że chodzi o wybraie ieskończeie wielu wyrazów wyjściowego cia gu bez zmiay kolejości w jakiej wyste powa ly. Jest jase, że jeśli g jest graica cia gu, to jest rówież graica każdego jego podcia gu, wyika to od razu z defiicji graicy i defiicji podcia gu. Latwe w dowodzie jest też twierdzeie pozwalaja ce a zbadaie skończeie wielu podcia gów daego cia gu, w laściwie wybraych, i wioskowaie istieia graicy z istieia wspólej graicy wybraych podcia gów. Twierdzeie o scalaiu* Za lóżmy, że z cia gu a ) moża wybrać dwa podcia gi a k ) i a l ) zbieże do tej samej graicy g, przy czym każdy wyraz cia gu a ) jest wyrazem co ajmiej jedego z tych podcia gów, tz. dla każdego istieje m, takie że = k m lub = l m. Wtedy ta wspóla graica obu tych podcia gów jest graica cia gu a ) : lim a = g. Sformu lujemy teraz bardzo waże twierdzeie, które be dzie wielokrotie stosowae w dowodach. Twierdzeie Bolzao Weierstrassa Z każdego cia gu moża wybrać podcia g, który ma graice skończoa lub ie). * Ta azwa to pomys l autora, który ma adzieje, że ie jest to ca lkiem g lupi termi. 9
Wiosek z twierdzeia Bolzao Weierstrassa Cia g ma graice wtedy i tylko wtedy, gdy graice wszystkich tych jego podcia gów, które maja graice, sa rówe. Naste pe twierdzeie, w zasadzie już cze ściowo udowodioe, wykaza l A.Cauchy, jede z twórców aalizy matematyczej. Twierdzeie Cia g a ) ma graice skończoa wtedy i tylko wtedy, gdy spe lioy jest aste puja cy waruek Cauchy ego: dla każdego ε > 0 istieje liczba aturala ε taka, że jeśli k, l > ε, to a k a l < ε. wc) Twierdzeie to, podobie jak twierdzeie o istieiu graicy cia gu mootoiczego, pozwala czasem stwierdzić istieie graicy bez ustalaia jej wartości, co jest bardzo waże w liczych przypadkach. Pozwala oo też wykazywać ieistieie graic w istocie rzeczy wykazuja c, że cia g geometryczy o ilorazie q ie ma graicy, wykazywaliśmy, że ie spe lia o waruku Cauchy ego, role ε pe li la tam liczba. 7. Przyk lady i kometarze Teraz pokażemy jak moża stosować twierdzeia z poprzediego puktu. Przyk lady d,e,f,g sa waże, wyiki tam opisae be da późiej wykorzystywae. a. Rozpocziemy od przyk ladu już omówioego, ale teraz cia g zbadamy iaczej. Zajmiemy sie ) miaowicie cia giem zob. pukt 9b.). Udowodiliśmy poprzedio, że graica cia gu jest liczba +3 4 ie wyjaśiaja c, ska d wiedzieliśmy, że akurat ta liczba ma być graica. Zauważmy, że zarówo liczik jak i miaowik maja graice, miaowicie +. Jesteśmy wie c w sytuacji iedobrej: +. W tym przypadku moża jedak bez trudu przekszta lcić wyrażeie określaja ce + wyraz cia gu: +3 4 = + 3 4. Teraz możemy zastosować twierdzeie o graicy sumy cia gów A), potem o graicy różicy cia gów A), by stwierdzić, że lim + 3 ) = + lim = +0 = oraz zatem lim 4 ) = 4 lim 3 lim = 3 lim = 4 0 = 4 wiemy już przecież, że lim 3 = 0 zob. 9a), = 3 0 = 0. Teraz mamy do czyieia z ilorazem, którego liczik ma graice, zaś miaowik graice 4, wie c róża od 0, co umożliwia skorzystaie z twierdzeia o graicy ilorazu A4). Z iego wyika od razu, że graica jest 4 =. Oczywiście ic wie cej już robić ie trzeba, bo twierdzeie o arytmetyczych w lasościach graicy gwaratuje zarówo istieie graic, jak i odpowiedie rówości. b. Rozważymy aste py prosty przyk lad: lim 5 00 4 333978). Wykażemy miaowicie, ze cia g te ma graice +. Czytelik zechce zwrócić uwage a to, że a pewo pierwszych 00 wyrazów to liczby ujeme ie twierdzimy wcale, że tylko 00, ale 5 00 4 = 4 00) 0 0