Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki - Dyfrakcja różne reżimy - Obliczanie elementów dyfrakcyjnych
Elementy dyfrakcyjne - idea d1 Wiązka padająca Ψ i ( x,y ) DOE (diffractive optical element) d Oczekiwany obraz dyfrakcyjny Ψo ( x,y ) t ( x,y ) Transmitancja amplitudowa cienkiego elementu dyfrakcyjnego Projektowanie (duże uproszczenie): Ψ i ( x,y ) d1 Ψ ' i ( x,y ) Ψo ' ( x,y ) t ( x,y ) Ψo' Ψi ' d Ψo ( x,y ) =A( x,y ) exp(i k0 n d (x,y ))
Cienkie elementy DOE - idea d1 Ψ i ( x,y ) d Ψ ' i ( x,y ) DOE t ( x,y ) Problemy: Ψo ' ( x,y ) Ψo' Ψi ' Ψo ( x,y ) =A( x,y ) exp(i k0 n d (x,y )) - zależność t(x,y) od długości fali - zakres wartości t(x,y) oraz osobliwości i nieciągłości fazy - dyspersja transmitancji niebinarnych DOE - ograniczona dziedzina kodowania - ograniczona rozdzielczość i apertura - ograniczona liczba stopni swobody (liczba pikseli) - znaczenie kształtu i regularnego ułożenia pikseli - dowolność rozkładu fazy w obrazie (niejednoznaczność definicji) - symetria odpowiedzi impulsowej np. dla kodowania amplitudowego -ograniczenia modelu polaryzacja, częściowa koherencja, uproszczony obraz wpływu elementu na zmianę kształtu frontu falowego
Jak obliczyć postać DOE Modelowanie propagacji: 1. Przez bezpośrednie obliczenie całki np. Rayleigha-Sommerfelda (Dwuwymiarowe całkowanie dla każdego punktu na wyjściu). Przez obliczenie całki splotowej dyfrakcja Rayleigha-Sommerfelda, lub Fresnela (3 dwuwymiarowe transformaty Fouriera) 3. Przez obliczenie transformaty Fouriera dyfrakcja Fraunhoffera, lub Fresnela 4. Przez bezpośrednie rozwiązanie r. propagacji (np. wektorowego r. falowego, r.helmholtza, r. propagacji wiązki) Kodowanie elementu dyfrakcyjnego: - techniki optymalizacji dostosowane do materiału (alg. Gerhberg-Saxon / IFTA Iterowanej transformaty Fouriera), symulowane wyżarzanie itp. - CGH (hologrmy generowane komputerowo) - zapis przy uzyciu binarnych apertur - surface relief holography zapis elementu dyfrakcyjnego przy użyciu siatek dyfrakcyjnych
Różne reżimy dyfrakcji Pole dalekie (płaskie fronty falowe) d λ Pole bliskie (parabolicznee fronty falowe) Pole ewanescentne (fala powierzchniowa) d <λ d λ - elementy dyfrakcyjne - kryształy fotoniczne, (DOE), siatki dyfrakcyjne, DBR, siatki odbiciowe hologramy - dyfrakcja fal ewanescentnych - nadzwyczajna transmisja - plazmonika Dyfr. Fraunhofera, Dyfr. Fresnela, Dyfr. Rayleigha-Sommerfelda, Równ. Maxwella Opis skalarny Opis wektorowy
Filtracja liniowa (+niezmienniczość przestrzenna, w dwóch wymiarach) Płaszczyzn a wyjściowa Dziedzina przestrzenna: FT SYSTEM LINIOWY Odpowiedź impulsowa Płaszczyzna wejściowa splot f ( x, y)=h (x, y) g (x, y) IFT Dziedzina częstości przestrzennych Funkcja przenoszenia ^ ^ f^ ( v x, v y )= H(v x, v y ) g (v x,v y ) mnożenie
Znaczenie fazy w widmie przestrzennym Obraz: amplituda TF Rekonstrukcja na podstawie: amplitudy TF fazy TF faza TF zbinaryzowanej fazy TF kodowanej fazowo {-1, 1} amplitudowo {0, 1}
Funkcja przenoszenia Opis układu: Interpretacja: g r ' = H r ', r f r d r H ( r ', r 0)= H ( r ', r) δ( r r 0 ) d r odpowiedź impulsowa układu Dla układu niezmienniczego ze względu na przesunięcie: H ( r ', r )=h ( r ' r) g( r ' )= h ( r ' r ) f ( r ) d r=[ h f ] r ' T.F. ^ ^f ]v ' g^ ( v ' )=[ h Funkcja przenoszenia układu
Odpowiedź impulsowa układu liniowego Opis układu: Interpretacja: g( r ' )= H ( r ', r ) f ( r ) d r H ( r ', r 0)= H ( r ', r) δ( r r 0 ) d r odpowiedź impulsowa układu
Związek między funkcją przenoszenia a odpowiedzią impulsową Odpowiedź impulsową i f. przenoszenia łączy -wym Transformata ^ (k, k )exp (i (k x + k y )) dk dk Fouriera H (x, y )=( π) H x y x y x y FT IFT ^ (k, k )= H( x, y)exp ( i (k x+ k y ))dx dy H x y x y Dla układów o symetrii obrotowej TF sprowadza się do T. FourieraBessela (Hankela) H (ρ)= π 0 H^ (k ρ ) J0 (ρ k ρ )k ρ dk ρ HT IHT ^ H (k ρ )= 0 H(ρ) J0 (ρ k ρ )ρd ρ k ρ = k x +k y ρ= x + y
Dyfrakcja w przestrzeni swobodnej Rozkład pola na częstości przestrzenne: E^ (k t, z ) d r t E (r t, z ) exp( i k t r t ) Oznaczenia: [] Ex E= E y Ez [] r t= x y exp i k r E x x,y k t =[ k x, k y ]= π [ v x, v y ]
Funkcja przenoszenia przestrzeni swobodnej Rozkład pola na częstości przestrzenne: E^ (k t, z ) d r t E (r t, z ) exp( i k t r t ) Rozkład pola na fale płaskie: E (r t, z)= d k t E^ (k t, z =0 ) exp (i k r )= [ ] Związek dyspersyjny (z równ. Helmholtza): = d k t E^ (k t, z=0 ) exp (i β z) exp(i k t r t ) Funkcja przenoszenia ( k=[ k x, k y, β ] k x + k y +β =n k 0 =( π n / λ) ^h =exp ( i β z )=exp ±i z ( k n ) k k =exp (± π i z ( n /λ ) v v ) z 0 x y x y ) Dyfrakcja Rayleigha-Sommerfelda
Dyfrakcja Rayleigha-Sommerfelda 1. Rozkład pola na częstości przestrzenne: ^ (k, z =0 )= d r E(r, z =0 ) exp ( i k r ) E t t t t t. Filtracja przestrzenna E^ (k t, z =d )= E^ (k t, z=0) h^ d (k t ) h^ z=exp ( i z k 0 n k x k y ) 3. Rekonstrukcja pola ^ k, z =d ) exp (+i k r ) E (r t, z=d ) d k t E( t t t
Przybliżenie Fresnela (Dyfrakcja w bliskim polu) Funkcja przenoszenia dla przestrzeni swobodnej: [ h^ z ( v)= exp ( π i z n / λ v x v y ) ] Przybliżenie Fresnela: [ h^ z ( v)= exp ( π i z n / λ v v x y )] ( n λ n / λ v v λ 1 v + v ( x y) n x y [ ( π v exp ( i k 0 n z ) exp n/ i λ z Odpowiedź impulsowa: )] IFT (-wym): [ ( )] π r t exp (i k 0 n z) h z ( r t )= exp i λ z/ n i λ z/n Warunek stosowalności przybliżenia Fresnela: N F n r t / 4 z 1 Liczba Fresnela: N F =r t / λ z )
Związek dyfrakcji Fresnela z transformatą Fouriera Odpowiedź impulsowa przestrzeni swobodnej (przybliżenie Fresnela): [ ( )] ik n z π r t e h z ( r t )= exp i λ z /n i λ z/ n 0 Rozkład pola w obrazie dyfrakcyjnym: (Splot pola wejściowego z odpowiedzią impulsową) E ( r t ', z )= E( r t, z=0) h z ( r t ' r t ) d r t = [ ( ik n z π ( r t r t ' ) e = E( r t, z =0) exp i λ z/n i λ z /n 0 ( ) [ )] ( d rt = )] ( ) ik n z π r t ' π r t π i r t r t ' e = exp E( r t, z =0) exp exp d rt i λ z/n i λ z/n i λ z/ n λ z/ n 0 E (v t ', z)= i k0 n z e i π λ z / n vt ' e i λ z/n [ E ( r t, z =0) exp ( π r t i λ z/ n )] exp ( π i r t v t ' ) d r t vt ' = Jądro transformaty Fouriera rt ' λ z/n
Przybliżenie(Dyfrakcja Fraunhofera w dalekim polu) Dyfrakcja Fresnela: E (v t ', z)= i k0 n z e i π λ z / n vt ' e i λ z/n [ E( r t, z=0) exp ( )] π r t i λ z/ n exp ( π i r t v t ' ) d r t r t / λ z 1 (Przybliżenie Fraunhofera dalekiego pola) Dyfrakcja Fraunhofera: E (v t ', z)= vt ' = i k0 n z e i π λ z / n vt ' e i λ z /n E (r t, z=0) exp ( π i rt v t ' ) d r t rt' λ z/n Warunek stosowalności przybliżenia Fraunhofera: N F =r t / λ z 1 + N F n r t / 4 z 1
Dyskretna transformata Fouriera Ciągła transformata Fouriera: h^ ( v ' ) h( r ) exp ( π i r v) d r Dyskretyzacja (przyp. 1-wymiarowy): h l (mod N )=h (l Δ x) ^h k (mod N ) =h^ ( k Δ v )= h^ ( k ) Δ x N Dyskretna transformata Fouriera : Zapis w postaci sumy: h^k N 1 l =0 ^ h=f h Zapis macierzowy: Δ v= 1 N Δ r h l exp ( π i k l / N ) [F ]k,l exp( π i k n / N ) Szybka transformata Fouriera (FFT): F=F1 F F lg N Fi są macierzami rzadkimi (po N elementów) Liczba mnożeń: N N lg N
Dyskretna transformata Fouriera Ciągła transformata Fouriera: h^ ( v ' ) h( r ) exp ( π i r v) d r Dyskretna transformata Fouriera : Zapis w postaci h^k sumy: Δ v Δ r =N 1 N 1 l =0 h l exp ( π i k l / N ) (N Δ v) ( N Δ r )= N
Holografia cyfrowa (CGH) DOE obliczony przy użyciu IFT: IFT Ψo ( x,y ) t ( x,y )=A ( x,y ) exp( i ϕ( x,y )) Zapis fazowy t faz ( x,y )=exp(i ϕ ( x,y )) (pominięcie informacji amplitudowej) Zapis amplitudowy t ampl ( x,y ) ℝ+ (kodowanie informacji fazowej w amplitudzie) -Metody Lohmana, Lee itd. -Amplitudowe kodowanie fazy: exp(i ϕ (x,y )) 1+ i ϕ(x,y ) ϕ( x,y ) A ( x,y ) t ampl ( x,y ) ϕ( x,y )
IFTA algorytm iterowanej transformaty Fouriera Element DOE Obraz dyfrakcyjny
Symulowane wyżarzanie Wyznaczanie DOE jako problem optymalizacji
CGH -metoda Lohmana K. Gniadek, Optyczne przetwarzanie informacji, PWN, Warszawa, 199 (Obraz powstaje w 1 rzędzie ugięcia)
CGH-metoda Lee Amplitudę zespolona w każdym punkcie zapisujemy jako sumę 4 amplitud o argumentach zespolonych 0,pi/,pi,3/4pi i do każdej stosujemy metodę Lohmana.
Ćwiczenia Zadanie - optymalizacja elementu dyfrakcyjnego metody iteracyjne Napisać program optymalizujący fazowy element dyfrakcyjny o N poziomach fazy, jedną z następujących metod:, algorytmem genetycznym, algorytmem iterowanej Transformaty Fouriera (IFTA) (ew. metodą przeszukiwania przestrzeni (direct binary search), lub jakąś metodą optymalizacji np. algorytmem genetycznym czy metodą symulowanego wyżarzania.) - zakodować zadany obraz - zakodować soczewkę dyfrakcyjną Zadania na 5 : Napisać program do zaprojektowania hologramu przeznaczonego do kształtowania (prawie) trójwymiarowego rozkładu pola za pomocą binarnego układu mikrozwierciadełek DMD oświetlanego wiązką lasera. Można to uzyskać w ten sposób, że zadajemy rozkłady natężenia w kilku płaszczyznach o różnej odległości od hologramu. Następnie, iteracyjnie nakładamy warunek na natężenie pola w tych płaszczyznach i na binarną dziedzinę kodowania hologramu. Należy zacząć od losowego rozkładu fazy w odtworzeniu hologramu.
Tw. o przesunięciu Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim Szum numeryczny związany z dyskretyzacją (symetria obrotowa!) f r r 0 exp i r 0 v F v circ( r ) J 1(π v )/ v
Tw. o przesunięciu Apertura Pole dalekie część rzeczywista
Tw. o przesunięciu dla dyskretnej T.F. Apertura Pole dalekie natężenie
Tw. o skalowaniu Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim f ( r /s) s n F(s v ) f ( x / sx,y /sy ) sx sy F( sx v x,sy v y )
Tw. o skalowaniu (1. wymiar) Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim f ( x / sx,y /sy ) sx sy F( sx v x,sy v y )
Symetria Apertura Rozkład natężenia w polu dalekim - T.F. Funkcji rzeczywistej jest hermitowska (rozkład natężenia ma symetrię środkową ) f ( r) ℝ F (v )=F ( v ) - obrót apertury obraca obraz dyfrakcyjny - wąsy (wysokie cz. przestrzenne) w kierunku prostopadłym do brzegów apertury
Tw. o splocie Apertura Kształt piksela Rozkład natężenia w polu dalekim f ( r)=f 1( r ) f ( r )= f 1(r ' ) f ( r r ' ) d r ' F (v )=F 1(v ) F (v ) Kształt obwiedni
DOE znaczenie kształtu pikseli f 1 r = r r0 r r0 f r =rect x rect y f r =circ r Apertura Kształt piksela Rozkład natężenia w polu dalekim π i v r 0 F 1(v )=e +π i v r 0 +e =cos( π v r 0) F ( x,y )=sinc( x ) sinc(y ) sin( π x ) sin(π y ) = πx πy F (v )= F (v )=F 1(v ) F (v ) J 1(π v ) v
Siatka sinusoidalna f 1 r =cos r v 0 f r =rect x rect y f r =circ r Kształt apertury Funkcja rozmycia F 1(v )= δ(v v 0)+δ( v +v 0) F (x,y )=sinc( x ) sinc(y ) F (v )= F (v )=F 1(v ) F (v ) J 1(π v ) v
Siatka sinusoidalna f 1 r =cos r v 0 f r =rect x rect y f r =circ r Kształt apertury Funkcja rozmycia F 1(v )= δ(v v 0)+δ( v +v 0) F (x,y )=sinc( x ) sinc(y ) F (v )= F (v )=F 1(v ) F (v ) J 1(π v ) v
Rodzaje siatek dyfrakcyjnych f ( r )=exp( π i r v 0) f ( r )=cos(π r v 0) Binarna fazowa Binarna Sinusoidalna Fazowa f ( r )=H (cos(π r v 0)) f ( r )=sgn( cos( π r v 0)) f (r)= an exp(π i nr v 0) n= v 0 =1/ Λ - -1 +1 +1 - -1-1 0 +1 +1 + F (v )=δ( v v 0) F (v )= δ(v v 0)+δ( v + v 0) F (v)= an δ(v v 0) n= +
Gęstość próbkowania i aliasing x Apertura 18x18 x'= x N ' /N 51x51 x ' = x 51x51 Gęstsze próbkowanie zanurzenie w macierzy zer Szerszy zakres widma Gęstsze próbkowanie widma Δv Δ v '= N '/N Rozkład natężenia w polu dalekim Aliasing! Aliasing! Δ v= 1 N Δ x Δ v '=Δ v