Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Transkrypt

1 Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera Omówione w ramach niniejszego ćwiczenia właściwości dotyczą m.in. DFT, DTFT i FFT. iech w dalszej części instrukcji zapis X =FT{x } oznacza przekształcenie Fouriera (np. X [m]= mn i n=0 x [n]e ), natomiast zapis x =FT 1 {X } odwrotne przekształcenie Fouriera (np. x[n]= 1 m=0 X [m]e i 2 mn ). W niniejszym ćwiczeniu może być pomocne, że podczas wykonywania ćwiczenia 3. (FFT) można było zauważyć symetrię wykresów części rzeczywistej i urojonej transformaty Fouriera, rysowanych dla m 0, 1. Wykres części rzeczywistej charakteryzował się symetrią osiową względem prostej m= 2 m, Im {X } = 2, 0., natomiast wykres części urojonej symetrią środkową względem punktu 1.1. Homogeniczność Przekształcenie Fouriera jest homogeniczne, tzn. k-krotna zmiana amplitudy sygnału spowoduje k-krotną zmianę amplitudy transformaty: k X =FT {k x}. Podobną zależnością charakteryzuje się przekształcenie odwrotne: k x=ft 1 {k X } Addytywność Przekształcenie Fouriera jest addytywne, tzn. transformata sumy sygnałów jest równa sumie transformat tych sygnałów: 1

2 FT {x 1 x 2 } FT {x 2 }. Addytywne jest również odwrotne przekształcenie Fouriera: FT 1 {X 1 X 2 }=FT 1 {X 1 } FT 1 {X 2 }. Homogeniczność i addytywność świadczą o liniowości przekształcenia Fouriera, a można je udowodnić, korzystając bezpośrednio z definicji, pamiętając przy tym m.in. o tym, że ka n =k a n dla k=const C oraz że a n b n = a n b n Kompresja i ekspansja sygnału Kompresja sygnału w jednej dziedzinie powoduje jego ekspansję w drugiej dziedzinie, np. zwężenie sygnału w dziedzinie czasu ( przyspieszenie ) spowoduje poszerzenie widma częstotliwościowego (wystąpienie większych częstotliwości). Dla k=const C możemy zapisać: FT { x[kn] }= 1 k X [ m k ] Właściwości fazowe przekształcenia Fouriera Wpływ przesunięcia sygnału w dziedzinie czasu na fazę transformaty Przesunięcie sygnału w czasie nie zmienia amplitudy jego transformaty. Ma natomiast wpływ na jej fazę jeśli sygnał zostanie w dziedzinie czasu przesunięty o s próbek, faza transformaty zmieni się o 2 s f : x 2 [n]= x 1 [n s] {X 2 }= {X 1 } 2 s f, gdzie f 0; 0,5 jest częstotliwością podaną jako ułamek częstotliwości próbkowania, tzn. f = m (m numer składowej, liczba składowych transformaty) Rozwinięcie fazy Kąt fazowy liczby zespolonej jest liczbą z przedziału ; (albo 0; 2 ). iemniej przy wykreślaniu fazy transformaty Fouriera przydatne jest często, aby ze względu na zachowanie ciągłości wykresu przeciwdziedzina była zbiorem większym. W tym celu stosuje się rozwijanie fazy (ang. phase unwrapping), polegające na dodawaniu całkowitych wielokrotności 2 do obliczonych kątów. Dąży się przy tym do tego, żeby różnica fazy między kolejnymi punktami transformaty była jak najmniejsza (co zapewnia ciągłość wykresu) Przeciek widma Dla dyskretnego przekształcenia Fouriera dany sygnał x[n] (złożony z próbek) jest zarówno w dziedzinie czasu, jak i w dziedzinie częstotliwości sygnałem okresowym o okresie. Jeśli więc analizujemy sygnał okresowy o okresie mniejszym niż, prawidłowe wyniki uzyskamy wówczas, gdy w badanym fragmencie sygnału ( n 0, 1 ) wystąpi całkowita liczba jego okresów. Jeśli analizowany sygnał rozpocznie się lub będzie zakończony niepełnym okresem, w widmie X[m] 2

3 wystąpią dodatkowe niezerowe składowe, które nie charakteryzują badanego sygnału, a jedynie zaburzają interpretację wyników. Zjawisko to nazywamy przeciekiem widma. azwa ta związana jest z wyciekiem energii sygnału, określanej przez właściwą składową widma, do innych składowych Modulacja amplitudowa mnożenie sygnałów Splot Splotem sygnałów nazywamy działanie, którego argumentami są dwa sygnały i które zdefiniowane jest dla sygnałów ciągłych następującym wzorem: s t =x 1 t x 2 t = x 1 u x 2 t u d u. Dla sygnałów dyskretnych x 1 i x 2 operację wyznaczania n-tej próbki splotu zapisać można następująco: 1 1 s[n]= x 1 x 2 [n]= x 1 [k] x 2 [n k ]. k =0 Jeżeli liczba próbek sygnału x 1 jest równa 1, a sygnał x 2 ma 2 próbek, przy czym 1 > 2, liczba próbek wyniku operacji splotu wynosi Przy obliczaniu splotu należy zwrócić uwagę na to, aby indeksy zmiennych nie wykraczały poza dostępny zakres. W przypadku pracy z Octave em oznacza to spełnienie zależności: 1 n ( ), 1 k 1, 1 n k Mnożenie sygnałów a przekształcenie Fouriera Transformata splotu sygnałów jest iloczynem transformat tych sygnałów: FT {x 1 x 2 } FT {x 2 }, natomiast transformata iloczynu sygnałów jest splotem ich transformat: FT {x 1 x 2 } FT {x 2 }. Mnożenie dwóch sygnałów jest wykorzystywane m.in. przy modulacji amplitudowej oraz filtrowaniu sygnałów. Istotą modulacji amplitudowej jest przeniesienie widma sygnału w wyższe częstotliwości przez zastosowanie sygnału nośnego x c o pewnej częstotliwości f c dużo wyższej od maksymalnej częstotliwości f x sygnału niosącego informację x. Operacja mnożenia sygnałów (splotu transformat) powoduje, że widmo sygnału x zostaje przesunięte w dziedzinie częstotliwości w stronę prążka częstotliwości nośnej. Powstałe widmo sygnału zmodulowanego składa się z prążka częstotliwości nośnej f c oraz dwu wstęg bocznych, które to wstęgi są symetryczne względem prążka f c i mają kształt taki sam jak widmo sygnału niezmodulowanego. Istotne jest, aby częstotliwość sygnału nośnego była większa niż największa częstotliwość składowa sygnału informacyjnego. 3

4 2. Zadania do realizacji a zajęciach laboratoryjnych należy rozwiązać 5 podanych poniżej zadań. Za każde zadanie można otrzymać jeden punkt pod warunkiem, że zostanie ono całkowicie poprawnie zrealizowane. Warto przypomnieć, że w zadaniach wskazane jest wykorzystywać funkcje napisane podczas wcześniejszych ćwiczeń. Zadanie nr 1 W zadaniu pierwszym należy napisać dwie funkcje. Pierwszą postaci: function [t, xr]=sin_t(t, c, ) generującą sinusoidę x r o częstotliwości c herców w przedziale czasowym 0, t, zadanym w sekundach i wykorzystującą do jej przedstawienia próbek. Do wektora t powinny zapisać się punkty na osi czasu, dla których obliczona została wartość sinusoidy. Druga funkcja powinna mieć postać: function [fx]=freq_d(t, ) i zwracać wektor f x częstotliwości składowych transformaty, jeśli sygnał wejściowy miał długość t sekund i po spróbkowaniu ma próbek. Zadanie nr 2 W zadaniu drugim należy napisać funkcję następującej postaci: function [zr, zi]=sig_mul(xr, xi, yr, yi) wykonującą mnożenie dwóch sygnałów zespolonych ( n 0, 1 z[n]= x[n] y[n] ). 4

5 Zadanie nr 3 Zadanie trzecie polega na napisaniu funkcji następującej: function [uw_fi]=unwrap_phase(fi) która będzie realizować rozwinięcie fazy. Zadanie nr 4 W zadaniu czwartym należy napisać funkcję następującej postaci: function [zr, zi]=sig_conv(xr, xi, yr, yi) która będzie realizować splot sygnałów x[n] i y[n]. Zadanie nr 5 Do dyspozycji jest sygnał dźwiękowy Wroclaw.wav, który można wczytać do Octave a za pomocą wbudowanej funkcji wavread(). Częstotliwość próbkowania tego sygnału wynosi 16 khz. W ramach zadania 5. należy wykonać prawidłową modulację amplitudową z sygnałem Wroclaw.wav jako sygnałem informacyjnym. Do zaliczenia zadania potrzebne jest wyświetlenie transformaty Fouriera z prawidłową skalą częstotliwości. Pytania na kartkówkę 1. Jak wyjaśnisz wspomniane w punkcie 1 symetrie wykresów Re{X[m]} i Im{X[m]}? 2. apisz funkcję przesuwającą zespolony sygnał x[n] o s próbek. Przyjmij, że po próbce x[ 1] kolejną w prawo jest próbka x[0]. 3. Zaproponuj algorytm rozwijania fazy i napisz funkcję go realizującą. 4. Ile wynosi częstotliwość próbkowania, jeśli sygnał o próbkach zawiera dokładnie k okresów sygnału o częstotliwości f? 5. apisz funkcję realizującą splot zespolonych sygnałów x[n] i y[n]. 5