Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki

Transkrypt

1 Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Metoda propagacji wiązki BPM cd wyznaczanie modów metodą urojonej długości i korelacyjną operowanie efektywnym współczynnikiem załamania metoda FT-BPM metoda split-step dla nieliniowego r. Schödingera trójwymiarowa metoda ADI-BPM szerokokątowa trójwymiarowa metoda BPM

2 Równanie BPM Równanie Helmholtza: Rozwiązanie zapisujemy jako: r =A r exp i k z n k 0 =0 k=n k0 Fala nośna Amplituda zespolona A ℂ / z k n k 0 i k / z A=0 Przybliżenie paraboliczne (wolnozmiennej obwiedni) A/ z k / z, k A Podstawowe równanie metody propagacji wiązki (BPM- beam propagation method): A 1 = ( k n k 0) A z i k

3 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) z=i z ' R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000) A x, y,i z ' = m cm m x, y exp n m n k 0 z ' 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku iz', zaczynając od rozkładu losowego. Amplituda modu podstawowego wzrasta wykładniczo najszybciej i w krótkim czasie pozostałe mody stają się zaniedbywalne z' A x, y, i z ' c1 exp n1 n k 0 z ' 1 x, y c1 z ' n1 n ln A x, y,i z ' z ' A x, y, i z ' / k0 z ' Dokładność można podwyższyć przez kilkukrotnie powtarzanie procedury, za każdym razem przyjmując, że: n 1 n

4 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) Wyższe mody znajdujemy tak samo, zaczynając od rozkładu losowego, ale ortogonalnego do modów już znalezionych (ze względu na kumulację błędów w trakcie propagacji wskazane jest powtarzanie ortogonalizacji co jakiś czas) Ortogonalizacja (w pętli po wyznaczonych modach):

5 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)

6 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy FFT Piki korelacyjne wyznaczają wartości stałych propagacji 3. Odfiltrowujemy pola modów L m x, y = 0 x, y, z exp i m z dz R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)

7 Mod podstawowy falowodu Rdzeń Płaszcz 1.0 Natężenie A x Amplituda A x Mod podstawowy zawsze istnieje

8 Pierwszy mod wyższego rzędu Pierwszy mod nieparzysty Mody wyższego rzędu istnieją powyżej kolejnych częstości odcięcia

9 Pierwszy mod wyższego rzędu

10 Pierwszy mod wyższego rzędu

11 Mody płaszczowe

12 Metoda efektywnego współczynnika załamania Idea: fragment falowodu, w którym występuje mikrostruktura, zastępujemy w obliczeniach materiałem jednorodnym o pewnej efektywnej wartości współczynnika załamania, który trzeba najpierw wyznaczyć. W rezultacie dochodzimy do prostszego niż pierwotny problemu obliczeniowego, czasem o znanych rozwiązaniach, lub o niższej wymiarowości. Wynik jest jednak przybliżony. Przykłady: 1. Falowody planarne z wieloma cienkimi warstwami można zredukować liczbę warstw w obliczeniach i np. sprowadzić obliczenia do falowodu trójwarstwowego o znanym związku dyspersyjnym. Falowody paskowe (np. grzebieniowe) można sprowadzić do falowodu planarnego '. Układy planarne o naprawdę skończonej wysokości można analizować jako układy dwuwymiarowe 3. Światłowody fotoniczne (ale nie wykorzystujące przerwy wzbronionej do prowadzenia) można sprowadzić do światłowodu skokowego

13 Metoda efektywnego współczynnika załamania 1. Falowody planarne z cienkimi warstwami z x d i λ Homogenizacja: ϵ eff y =ϵ ϵ eff x = ( eff z = d 1 ϵ1 + d ϵ d 1+ d 1 d 1 ϵ d ϵ d 1+ d ) 1 Uwaga: polaryzacje TE i TM widzą różne składowe tensora przenikalności elektrycznej = ϵ eff n eff TM = ϵ x n eff TE eff y

14 Metoda efektywnego współczynnika załamania M. Karpierz, E. Weinert-Rączka, Nieliniowa Optyka Światłowodowa, WNT 009

15 Metoda efektywnego współczynnika załamania jako sposób na redukcję wymiarowości problemu. Falowody paskowe Embedded strip (pol. grzebieniowy) Strip Rib/ ridge Strip loaded

16 Metoda efektywnego współczynnika załamania jako sposób na redukcję wymiarowości problemu

17

18 Fourier Transform BPM A 1 ^ S^ ) A = ( k n k 0) ( D+ z i k i ^ D= k where n= n + Δ n Δ n 1 S^ = i k Δ n założenie, że oba operatory nie zależą od z ^ S^ dz ) A(x, y, z ) exp ( D dz ^ A( x, y, z + dz)=exp ( D+ ) exp ( S^ dz ) A(x, y, z )

19 Fourier Transform BPM ^ A( x, y, z + dz) exp ( S^ dz ) exp ( D dz ) A(x, y, z) Krok iteracyjny dla metody FT-BPM: A(x, y, z + dz)=e i k Δ n( x, y) dz IFT exp (i dz (k x + k y )/( k )) FT A(x, y, z)

20 Nieliniowe równanie Schrödingera Równanie na obwiednię impulsu w ośrodku o współczynniku dyspersji β i nieliniowości Kerra γ ma strukturę przypominającą równanie BPM: A i β A ^ N^ ) A = + i γ A A=( D+ z t Metoda split step polega na naprzemiennym rozwiązywaniu dwóch równań dla kolejnych warstw wzdłuż z: AN AD i β A ^ ^ =i γ A A= N A = A= D A z z t

21

22 3-wymiarowy BPM (ADI -Alternate Direction Implicit) Równanie BPM na zespoloną amplitudę pola A: A 1 = ( k n k 0 ) A z i k wprowadzamy operatory pomocnicze Lx, Ly: i k 1. w kierunku z: 1 1 z = L x L y A Li = k =k 0 n n k 0 k xi A kj, l A k,l, j z Dyskretyzacja: A k 0 = / i k Lx L x 1 A j 1 A j z x j 1 y j A z r= L y A L L A = j 1 L y A = 1 j 1 = 1 i k L x L x 1 L y A j j L y A r 4 4 L x L y A j 1 A j 3

23 3-wymiarowy BPM (ADI) Alternate Directions Implicit: Równanie: 1 L x 1 L y A j 1= 1 L x 1 L y A j Zastępujemy przez: r r j 1 1 L y A = 1 L x A j 1 / 1 r L x A j 1/ = 1 r L y A j Warstwa pomocnicza (niefizyczna) Wykazanie równoważności : 1 L x 1 L y A j 1 = 1 L x 1 L x A j 1 / = = 1 L x 1 L x A j 1 / = 1 L x 1 Przez pomnożenie obu równań stronami dostajemy równanie wyjściowe L y A j

24 3-wymiarowy BPM (ADI) Rozwiązanie ADI polega na rozwiązywaniu obu równań na przemian 1 1 L y A j 1 L x A j 1/ = 1 = 1 L x A j 1 / L y A j Dyskretyzacja po x i y z użyciem centralnego ilorazu różnicowego Równanie 1: 1 k r n k 0 j 1 A = 1 y n k 0 k j 1/ A x r r j 1 j 1/ j 1 j 1 j 1 / j 1/ j 1 / j 1 / r Ak, l 1 r n k, l k 0 k A k, l r Ak, l 1 = r A k 1,l r n k, l k 0 k A k, l r Ak 1,l Równanie : j 1 / r Ak 1,l r r k r n k 0 r n k 0 k j 1/ 1 A = 1 A j x y r j 1 / j 1 / j j 1 / j j k 0 k A k, l r Ak 1,l = r Ak, l 1 r n k,l k 0 k Ak,l r Ak,l 1 j 1/ n k, l Dla obu równań -> seria układów trójdiagonalnych

25 Nieprzyosiowy ADI-BPM -na podst. art. C. Ma and E. Van Keuren, "A simple three dimensional wide-angle beam propagation method," Opt. Express 14, 4668 (006) Równanie Helmholtza: n k 0 E =0 E r = r exp i k 0 n 0 z SVEA (slowly varying envelope approximation) + paraxial approximation Podstawowe równanie metody propagacji wiązki (BPM): ADI W poprzednich oznaczeniach to równanie miało następującą postać: równania 1-wym A 1 = ( k n k 0 ) A z i k

26 1. Dyskretyzacja w kierunku z l m, j = m x, j y, l z

27 Szerokokątowy BPM -Oznaczenia zgodne z artykułem C. Ma and E. Van Keuren, "A simple three dimensional wide-angle beam propagation method," Opt. Express 14, 4668 (006) Równanie Helmholtza: n k 0 E =0 E r = r exp i k 0 n 0 z SVEA (slowly varying envelope approximation) W szerokokątowym BPM zostawiamy ten wyraz

28 1. Dyskretyzacja w kierunku z

29 Szerokokątowy BPM Ostateczna postać dla obu kroków algorytmu (po rozpisaniu na poszczególne elementy obu trójdiagonalnych macierzy): l m, j = m x, j y, l z

30 C. Ma and E. Van Keuren, "A simple three dimensional wide-angle beam propagation method," Opt. Express 14, 4668 (006)

31 Ćwiczenia Zadanie 1. Użyć metody propagacji w urojonym kierunku w falowodzie do wyznaczania: modu podstawowego w falowodzie (rozkład pola oraz efektywny współczynnik załamania) najniższego modu parzystego i nieparzystego w falowodzie charakteryzującym się parzystym rozkładem współczynnika załamania. Zadanie. Dla zadanego falowodu, wyznaczyć wszystkie mody prowadzone (metoda BPM + urojony kierunek propagacji+ortogonalizacja). Zadania na 5 : Zrealizować metodę BPM dla struktur trójwymiarowych (ADI). Napisać funkcje do wyznaczania struktury modowej dla falowodów lub włókien światłowodowych (o przekroju dwuwymiarowym). Napisać funkcje do wyznaczania struktury modowej metodą korelacyjną.