A.W. Spiwakowskij. Algebra liniowa. z zastosowaniem technologii informacyjnych

AW Spiwakowskij Algebra liiowa z zastosowaiem techologii iformacyjych

WSTĘP Książka ta jest pomocą aukową z zakresu kursu algebry liiowej Może być wykorzystaa podczas auczaia stosowego rozdziału algebry w uiwersytetach i uiwersytetach pedagogiczych, a także a kursie matematyki wyższej uiwersytetów techiczych Krąg użytkowików polecaej pomocy aukowej jest szeroki, poieważ algebra liiowa jest jedym z ważiejszych rozdziałów matematyki oraz dla wielu stosowych teorii i auk jest jedą z podstawowych dyscypli matematyczych Wystarczy przypomieć, że ajważiejsze modele matematyczo-ekoomicze oraz metody są w istocie liiowe Dlatego algebra liiowa wchodzi w zakres programu auczaia wielu specjalości Pomoc aukowa służy do metodyczego zabezpieczeia procesu auczaia, w którym zajęcia praktycze z algebry liiowej odbywają się z zastosowaiem techiki komputerowej Specjalie w tym celu w katedrze techologii iformacyjych Państwowego Uiwersytetu Chersońskiego opracowao pedagogicze środowisko programistycze Świat algebry liiowej, w którym podstawowe zadaia z algebry liiowej są rozwiązywae przez użytkowika krokowo Każdy krok ozacza wykoaie jedego z przekształceń Używaie środowiska programistyczego jest możliwe tylko przy waruku zaia przez ucziów algorytmów rozwiązywaia zadań z algebry liiowej Program tylko zwalia użytkowika z rutyowych obliczeń Środowisko programistycze zawiera w sobie rówież system Ekspert, do którego moża zwracać się w trudych sytuacjach, w celu otrzymaia kosultacji Oprócz tego, Ekspert może krok po kroku zademostrować ucziowi przebieg rozwiązaia zadaia, zaczyając w dowolym momecie, aż do otrzymaia odpowiedzi Kończąc rozwiązaie zadaia samodzielie i zapisując odpowiedź, użytkowik może zwrócić się do Eksperta w celu potwierdzeia prawidłowości otrzymaego wyiku Iterfejs użytkowika jest maksymalie zbliżoy do zwykłego: zamiast otowaia w zeszycie, specjale oko, które zostało podzieloe a dwie części Brudopis i Czystopis Wszystkie kroki rozwiązaia odbywają się w Brudopisie Tutaj użytkowik ma możliwość woszeia zmia Wyik rozwiązaia i jego pewe waże etapy uczeń może skopiować do Czystopisu Doskoale wiadomo, że rozwiązaie zadań z algebry liiowej jest związae z dużą liczbą stadardowych obliczeń arytmetyczych Realizacja tych obliczeń wymaga posiadaia dostateczego zapasu czasu i odwleka studetów od ważych mometów algorytmów rozwiązaia zadaia Zastosowaie pedagogiczego środowiska programistyczego Świat algebry liiowej podczas zajęć praktyczych z algebry liiowej daje umożliwia studetom skupieie się a stroie ideowej badaego materiału, pozwala mu rozwiązać większą liczbę zadań daego typu w ograiczoym czasie, co z kolei, będzie sprzyjać szybszemu i trwalszemu opaowaiu metod i awyków rozwiązywaia zadań Oprócz tego, środowisko pomoże wykładowcy bardziej efektywie kotrolować pracę ucziów i rozszerzyć możliwości idywidualego podejścia do każdego z ich Jak wiadomo, praktycze ajbardziej wygodą i efektywą metodą rozwiązaia zadań z algebry liiowej jest metoda rugowaia zmieych, która azywa się metodą Gaussa Każdy etap przekształceia macierzy metodą Gaussa może się odbyć przy pomocy pomożeia tej macierzy z lewej i prawej przez macierz elemetarą Te system działań środowiska zawiera w sobie astępujące poleceia pracy a macierzach: Dodaj dwa wiersze macierzy, Pomóż wiersz przez liczbę, Dodaj do daego wiersza iy wiersz, pomożoy przez pewą liczbę, Zamień dwa wiersze miejscami, Wstaw dodatkowy wiersz zerowy, Usuń wiersz, Pomóż macierz itd Niektóre z pokazaych działań przewidziao także dla kolum macierzy Skrócoy wariat polecaej pomocy aukowej (w języku ukraińskim) oraz prototyp środowiska Świat algebry liiowej (zrealizoway w MS DOS) a przestrzei wielu lat był stosoway w auczaiu algebry liiowej w Państwowym Chersońskim Uiwersytecie Pedagogiczym (PCUP) i pokazał swoją efektywość Polecay wariat podręczika jest zaczie rozszerzoy i zmodyfikoway Oprócz tego, zostały do iego dołączoe przykłady przestrzei wektorowych, przykłady operatorów liiowych, ćwiczeia o charakterze teoretyczym oraz układ zadań praktyczych z przykładowymi rozwiązaiami Zawartość podręczika odpowiada programowi algebry oraz teorii liczb dla uiwersytetów oraz uiwersytetów pedagogiczych i techiczych W owej wersji środowiska pedagogiczego Świat algebry liiowej (pod Widows) doświadczeie z jego eksploatacji i wykorzystao wszystkie zalety współczesych techologii iterfejsu graficzego, co powoduje, że jest jeszcze bardziej doskoałym pedagogiczym środowiskiem programowym służącym wspomagaiu zajęć praktyczych z algebry liiowej Jest jase, że pierwsze zadaie a dzień dzisiejszy może być rozwiązae tylko przez auczyciela i komputer w tym przypadku będzie pełił rolę istrumetu do wspomagaia kreowaia owej wiedzy

Oczywiste jest rówież i to, że przekazując komputerowi kierowaie rozwiązaia drugiego zadaia, ależy ściśle określać, że produkt programowy powiie w pełi podkreślać ideologię kursu teoretyczego Iterfejs pedagogiczego środowiska programistyczego Świat algebry liiowej został utworzoy a podstawie astępujących zasad: użytkowik powiie pracować z realymi obiektami daego obszaru przedmiotowego (macierzami, układami rówań liiowych itp), a teksty i pytaia pojawiają się a ekraie tylko w ajbardziej koieczych przypadkach; użytkowik powiie pracować tylko w rzeczywistym systemie operacyjym, który jest jedozaczie określoy w obszarze przedmiotowym (a przykład dla macierzy: dodać dwa wiersze, pomożyć wiersz przez liczbę, zamieić dwa wiersze miejscami, pomożyć macierze itp); iterfejs użytkowika powiie być maksymalie zbliżoy do zwykłego (pisaie a kartce zostaie zastąpioe okem a ekraie, przy tym dobrze jest mieć brudopis, którego ikt ie widzi oraz czystopis dla auczyciela; w okie lub okach zajduje się historia rozwiązaia użytkowika w postaci ciągu realych obiektów auczaego kursu, według których moża poruszać się do przodu lub do tyłu; jeśli pewe obliczeia liczbowe ie posiadają odiesieia do zawartości zadaia, to program bierze je a siebie); program powiie dawać użytkowikowi szerokie możliwości działaia w ramach obszaru przedmiotowego (a przykład a macierzy moża dokoywać przekształceń elemetarych w dowolej kolejości, główie zaleźć jej rząd), to zaczy użytkowik ie powiie zajdować się pod brzemieiem algorytmu rozwiązaia, określoego w stadium apisaia środowiska programowo-pedagogiczego (ŚPP) Przy tym użytkowik powiie mieć możliwość przemieszczaia się po swoich działaiach, wstawiając pomiędzy ie owe Użytkowik powiie zawsze mieć wyjście z kłopotliwego położeia, w ŚPP może być zrealizowae przez tak zwaego eksperta, który będzie umiał teoretyczie wyjaśić każdy krok, rozpoczyając od tego, w którym zajduje się użytkowik, oraz stosując tylko określoe środowisko operacyje, pokazując w postaci filmu aimowaego rozwiązaie postawioego zadaia Przy tym moża mu, w odróżieiu od auczyciela, w dowolym momecie przerwać i kotyuować rozwiązaie samodzielie; historia pracy użytkowika powia być przedstawioa w postaci kolejości jego działań, a przy chęci zakończeia pracy może pojawić się iformacja, która aalizowałaby wyiki jego działań

Rozdział Układy rówań liiowych Wiadomości wstępe OKREŚLENIE Układem rówań liiowych ad ciałem F ze zmieymi x, x,, x azywa się układ rówań postaci: ax + a x + + a x b () amx + am x + + am x bm OKREŚLENIE Rozwiązaiem układu rówań liiowych () azywa się uporządkoway zbiór elemetów ciała F ( λ, λ,, λ ) F, których podstawieie zamiast zmieych w rówaiu układu przekształca wszystkie rówaia tego układu w rówości Zatem, jeśli ( λ, λ,, λ ) rozwiązaia układu (), to spełioe są rówości: ai λ + aiλ+ + aiλ bi, і,,, m Elemety ciała F przyjęto azywać skalarami lub liczbami, a uporządkowae zbiory skalarów wektorami UWAGA W rozdziale określimy ogóle pojęcie przestrzei wektorowej jako zbioru wektorów, który spełia określoe własości aksjomaty przestrzei wektorowej Podamy rówież przykłady kokretych przestrzei wektorowych Jedą z ich jest tak zwaa arytmetycza przestrzeń wektorowa Elemetami tej przestrzei są uporządkowae zbiory skalarów OKREŚLENIE Układ rówań liiowych azywa się ozaczoym, jeśli posiada jedo rozwiązaie Układ rówań liiowych azywa się sprzeczym jeśli ie posiada rozwiązaia OKREŚLENIE 4 Dwa układy rówań liiowych azywa się rówoważymi, jeśli każde rozwiązaie jedego z ich jest rozwiązaiem drugiego, to zaczy, gdy w zbiorze D oba rówaia mają te same rozwiązaia Wiele praktyczych zadań sprowadza się do rozwiązaia układów rówań liiowych Metody rozwiązywaia układów rówań liiowych z dwoma i trzema zmieymi były auczae w trakcie kursów geometrii aalityczej Obecie rozszerzymy te metody a dowole układy rówań liiowych Przekształceia rówoważe układów rówań liiowych Rozwiązując rówaia lub układy rówań, zwykle stosuje się tak zwae przekształceia rówoważe, to zaczy takie przekształceia rówaia lub układu rówań, które ie zmieiają zbioru rozwiązań Cel przekształceń polega a tym, aby uprościć rówaie lub układ rówań Dla układów rówań liiowych moża wskazać trzy typy takich przekształceń: przestawieie (permutacja) rówań, przekształceia elemetare rówań, możeie rówań przez iezerowy skalar a x + a x + + a x b aix+ aix+ + aix bi a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b j j j j m m m m ax + a x + + ax b aix+ aix+ + aix bi ~ () ajx+ ajx+ + ajx bj amx+ amx+ + amx bm Przestawieie P ij rówań układu to zamiaa miejscami i-go i j-go rówań w układzie ()

LEMAT Przestawieie rówań układu jest rówoważe z przekształceiem tego układu ax + a x + + ax b a x + a x + + ax b aix+ aix+ + aix b ' ' ' ' i aix+ aix+ + aix bi ~ () ajx+ ajx+ + ajx b j ajx+ ajx+ + ajx bj amx+ amx+ + amx bm amx+ amx+ + amx bm Przekształceiem elemetarym F (λ) układu azywa się przekształceie i-tego rówaia tego układu według wzorów: ' a a + λ a LEMAT ik ik jk, ij b b + λ b, k,,,, i j (4) ' i i j Jeśli i j, to elemetare przekształceie F (λ) układu rówań liiowych jest przekształceiem rówoważym tego układu Dowód ij Rozpatrzymy dowole rozwiązaie ( λ, λ,, λ ) układu lewej części przekształceia () Podstawimy te wektor do prawej części przekształceia () Poieważ w tej części zmieiło się tylko i-te rówaie, wystarczy wykazać, że rówaie te, rówież przekształciło się w rówość ' aik xk ( aik λ ajk ) xk aik xk λ ajk xk k k k k + + ' i + λ jk k i + λ j i k b a x b b b W taki sposób moża dowieść, że dowole rozwiązaie układu prawej części przekształceia jest rówież rozwiązaiem układu lewej części przekształceia () a x + a x + + a x b ax i + ax i + + ax i bi a x + a x + + a x b m m m m LEMAT ax + ax + + ax b ~ (5) λaix+ λaix+ + λaix λbi amx+ amx+ + amx bm Pomożeie M i ( λ ) i-go rówaia układu przez iezerowy skalar jest rówoważe przekształceiu tego układu UWAGA Dla każdego z przekształceń rówoważych, które określiliśmy, łatwo moża utworzyć przekształceie odwrote do daego W te sposób, kolejych przekształceń rówoważych moża dokoywać w tym lub odwrotym kieruku Algorytm rugowaia zmieych Przy pomocy przekształceń rówoważych układu moża przejść do układu, w którym jeda ze zmieych, a przykład x, będzie tylko w pierwszym rówaiu układu W te sposób, po przekształceiu układ rówań liiowych będzie miał postać

' ' ' x+ ax + + a x b ' ' ' ax + + ax b a x + + a x b ' ' ' m m m W tym celu ależy: Zaleźć w układzie () rówaie, które zawiera zmieą x i przestawić go a pierwsze miejsce (6) Pomożyć pierwsze rówaie układu () przez skalar a, przekształcając, w te sposób, współczyik przy x a W wyiku otrzymamy pierwsze rozwiązaie układu (6) Każde z rówań, zaczyając od drugiego, przekształcimy w taki sposób, aby wykluczyć z iego zmieą x przy pomocy przekształceia elemetarego F ( λ ) Dla i-go rówaia układu ależy dokoać przekształceia Fi ( ai ) Wzory (4) pokazują, że dla λ i ai współczyiki zmieej x w rówaiach od drugiego do -go wyoszą zero i i ' ai przy Algorytm wykluczeia zmieej sprowadza zadaie rozwiązaia początkowego m układu rówań liiowych do zadaia rozwiązaia układu z m- rówaiami z - zmieymi Istotie, jeśli otrzyma się rozwiązaia układu rówań: ' ' ' ax + + ax b a x + + a x b ' ' ' m m m (7) to wartość zmieej x moża obliczyć z pierwszego rówaia: ' ' ' x bax a x (8) x,, Kotyuując rugowaie zmieych x, jeśli to możliwe, przejdziemy do układu rówoważego, który posiada prostszą postać, iż układ () Układ taki jest już wystarczająco prosty w rozwiązaiu, jak i badaiu go a zbieżość Macierz układu rówań liiowych Poieważ kokrete azwy zmieych układu rówań liiowych ie pełią żadej roli, to układowi moża przyporządkować odpowiedio, prostokątą tablicę składającą się ze współczyików tego układu, w taki sposób, że: ax + ax + + ax b ax + ax + + ax b a x + a x + + a x b m m m m a a a b a a a b am am ambm (9) Takie prostokąte tablice w matematyce azywa się macierzami Dlatego będziemy mówić o macierzy (9) układu () Przy tym ależy rozróżiać podstawową część macierzy układu, która zawiera współczyiki przy zmieych układu oraz ostatią kolumę macierzy, która zawiera wyrazy wole układu: A a a a a a a am am am B b b bm

Macierz А azywa się podstawową macierzą układu, В kolumą wyrazów wolych Macierz (9) układu, azywa się rozszerzoą macierzą układu Macierz rozszerzoą U otrzymuje się z А, oraz dodaia do iej kolumy wyrazów wolych В 4 Przekształceia macierzy Każdemu z rówoważych przekształceń układu rówań liiowych moża przypisać odpowiedie przekształceie macierzy U, które wykouje się a jej wierszach W tym celu ależy tylko przypisać każdemu wierszowi macierzy odpowiedie rówaie układu i przetłumaczyć określeie przekształceń rówoważych a język przekształceń wierszy macierzy rozszerzoej układu Przestawieie rówań układu odpowiada przestawieiu wierszy macierzy U Elemetare przekształceie rówań układu zgodie ze wzorami (4) odpowiada elemetaremu przekształceiu wierszy macierzy U z tymi samymi wzorami Pomożeie rówaia przez iezerowy skalar (elemet po elemecie), odpowiada pomożeiu wiersza przez te skalar (patrz: (5)) Algorytm wykluczeia (rugowaia) zmieych z układu rówań liiowych, w istocie jest algorytmem przekształceia macierzy U postaci: U a a a a a b a a a a b a a a b r r+ r r+ ' rr r r+ r r arr+ ar br b b Macierz U została otrzymaa w wyiku wykluczeia r zmieych, przy czym dalsze stosowaie algorytmu wykluczeia zmieej jest iemożliwe Przyczya leży w tym, że wiersze macierzy podstawowej z U są zerowe, to zaczy, że ie moża wykoać puktu algorytmu zalezieia iezerowego współczyika przy zmieej Aalizując macierz U, moża wysuąć wioski o zbieżości układu () i liczbie rozwiązań OKREŚLENIE 5 Liczba r iezerowych wierszy macierzy podstawowej A macierzy U azywa się rzędem układu rówań liiowych () TWIERDZENIE Jeśli rząd układu jest rówy liczbie jego zmieych, to układ posiada jedo rozwiązaie W tym przypadku wartość zmieych moża obliczyć, rozpoczyając od ostatiego rówaia i zmieej x TWIERDZENIE Jeśli rząd układu jest miejszy od liczby jego zmieych, a przyajmiej dla jedego z wierszy macierzy U o umerach r+,, m elemet kolumy wyrazów wolych b j ie jest rówy zero, to układ () jest ieozaczoy r+ m

Dowód Jeśli j-ty wiersz macierzy U ma postać b j, przy czym bj, to ozacza, że jedo z rówań układu przekształciło się w rówość sprzeczą bj, dlatego i układ () jest sprzeczy, to zaczy ieozaczoy TWIERDZENIE Jeśli rząd układu jest miejszy od liczby jego zmieych i wszystkie wiersze o umerach r+,, m są zerowe, (to zaczy b b ) to układ () posiada wiele rozwiązań r+ m Dowód tego twierdzeia przedstawioo iżej (twierdzeie 7) WNIOSEK Zerowe wiersze macierzy U moża wydzielić z tej macierzy W rzeczy samej wiersz zerowy odpowiada rówaiu, które jest tożsamością 5 Jedorode układy rówań liiowych OKREŚLENIE 6 Układ rówań liiowych azywa się jedorodym, jeśli wyrazy wole wszystkich jego rówań są rówe zeru Stąd jedorody układ rówań liiowych ma astępującą postać: ax + a x + + a x amx + amx + + amx Jedorody układ rówań liiowych zawsze jest ozaczoy, poieważ posiada rozwiązaie: X k, k,, Rozwiązaie to azywa się zerowym lub trywialym TWIERDZENIE 6 Zbiór rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych spełia astępujące właściwości; Jeśli ( α,, α ) i (,, ) ( α + β,, α + β ) także rozwiązaie tego układu Jeśli (,, ) () β β dwa dowole wektory rozwiązaia układu (), to α α dowoly wektor rozwiązaie układu (), і γ dowoly elemet ciała skalarów F, to γ a ( γ α,, γ α) także rozwiązaie tego układu Dowód Podstawimy do dowolego (i-go) rówaia układu zamiast wektora zmieych wektor ( α + β,, α + β ) i otworzymy awiasy: a ( α + β ) a α + a β ij j j ij j ij j j j j Poieważ wektory ( α,, α ), ( β,, β ) są rozwiązaiami układu, obie sumy rówe zeru Zatem, a α, a β są ij j ij j j j aij ( α j + β j ) j Dowód absolutie aalogiczy do poprzediego Wcześiej defiiowaliśmy pojęcie elemetarego przekształcaia układu rówań liiowych i możeia rówaia liiowego przez liczbę Przekształceia te moża zdefiiować przy pomocy

operacji dodawaia rówań poszczególymi człoami oraz możeia rówaia przez skalar Przekształceiem rówoważym układu rówań odpowiadają przekształceia wierszy macierzy, składającej się ze współczyików rówań liiowych Przekształceia te ależy aturalie także traktować jako operacje dodawaia wektorów-wierszy oraz możeia wektora-wiersza przez liczbę W końcu, w twierdzeiu 6 określoo własości, które moża rówież sformułować jako termiy operacji dodawaia i możeia przez skalar wektorów-rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych Zatem, zdefiiujemy a zbiorze wektorów z F dwa działaia algebraicze operacje dodawaia i możeia przez skalar: jeśli (,, ), b ( β,, β ), to zgodie z defiicją a α α a+ b ( α + β,, α + β ) γ a ( γ α,, γ α ) Twierdzeie 6 moża teraz sformułować astępująco: Zbiór rozwiązań układu jedorodych rówań liiowych jest zamkięty względem operacji dodawaia i możeia przez skalar WNIOSEK Jeśli a,, a k dowole wektory-rozwiązaia układu () i α,, α k dowole skalary, to wektor b α a + + αk ak rówież jest rozwiązaiem układu () OKREŚLENIE 7 Wektor b α a + + αk ak azywa się liiową kombiacją wektorów a,, a k To zaczy, że dowola liiowa kombiacja wektorów-rozwiązań układu () a,, ak także jest rozwiązaiem () Dla układu () utworzymy jego macierz podstawową (macierz współczyików) i zastosujemy w iej algorytm rugowaia zmieych UWAGA Poieważ koluma wyrazów wolych układu () jest zerowa, to moża ie włączać jej do macierzy, dlatego tworzymy macierz ie rozszerzoą, a podstawową Poprzez przestawieie kolum macierzy, które ozacza przestawieie azw zmieych układu rówań liiowych, moża doprowadzić macierz do postaci: a a r a r+ a ar ar a + () arr+ ar Takie macierze azywa się stopiowaymi Elemety macierzy stopiowaych, zajdujące się pod główą przekątą (diagoalą) wyoszą zero Dokoamy jeszcze jedego przekształceia tej macierzy Naszym celem będzie otrzymaie zer rówież poad przekątą Algorytm doprowadzeia macierzy do postaci diagoalej Używając ostatiego wiersza (k r), tak jak robiliśmy to w pkt algorytmu rugowaia zmieych, wykluczymy z rówań o umerach k-,, zmieą x k, to zaczy, przekształcimy elemety k-tej kolumy w zera: ar r arr a r Aalogiczie zrobimy z iymi wierszami, przekształcając kolejo w zera wszystkie elemety macierzy zajdujące się poad główą przekątą W rezultacie otrzymamy macierz postaci:

a r+ a ar a + () arr+ ar Układ, który odpowiada tej macierzy, ma postać: x+ a r+ xr+ + + a x () xr + arr+ xr+ + + arx Dla wygody aalizy przeiesiemy w każdym rówaiu wyrazy ze zmieymi x r+,, x do prawej części rówań Otrzymamy: x a r+ xr+ a x ( ) xr arr+ xr+ arx Zwróćmy uwagę, że aby otrzymać rozwiązaie układu (), to zmieym x r+, x moża przypisać dowole wartości Wtedy wartość zmieych x,, x r moża obliczyć z () dla wartości x r+, x TWIERDZENIE 7 Jeśli rząd układu () r jest rówy liczbie jego zmieych, to układ posiada tylko jedo rozwiązaie zerowe Jeśli r <, to układ () posiada także rozwiązaia iezerowe W szczególości, jeśli pole skalarów F jest ieskończoe, układ posiada ieskończoą liczbę rozwiązań Przeaalizujemy teraz przypadek, gdy r <, bardziej szczegółowo OKREŚLENIE8 Zmiee x r+, x azywają się iezależymi Zmiee x, x r azywają się zależymi (od x r+, x ) OKREŚLENIE9 Rozwiązaie jedorodego układu rówań liiowych (), które otrzymao dla wartości zmieych iezależych x r+,, x j-, x j, x j+,, x azywa się fudametalym Iymi słowy, fudametale rozwiązaie układu () moża otrzymać, jeśli doprowadzi się jedą z iezależych zmieych do rówości z, a pozostałe zmiee iezależe będą zerami W te sposób, układ () posiada komplet -r rozwiązań fudametalych Będziemy go azywać układem rozwiązań fudametalych Z defiicji wyika, że każde rozwiązaie fudametale układu jest iezerowe TWIERDZENIE 8 Wektor y jest rozwiązaiem układu () wtedy i tylko wtedy, gdy moża go przedstawić w postaci liiowej kombiacji wektorów fudametalych rozwiązań układu () y αxr+ + + αrx (4) Dowód Rozpatrzymy układ rozwiązań fudametalych x,, x -r układu () Wybierzemy -r skalarów α,, α -r i zestawimy kombiację liiową y α x + + α -r x -r Wykażemy, że y jest rozwiązaiem () Poieważ układ () jest rówoważy układowi (), tym samym zostaie wykazae, że y jest rozwiązaiem () Zasadiczo dowód będziemy przeprowadzać metodą idukcji matematyczej zgodie z liczbą rozwiązań fudametalych Baza idukcji (-r ) Zgodie z twierdzeiem 6: jeśli x rozwiązaie (), to także α x rówież rozwiązaie () Krok idukcji (-r m+)

Jeśli y α x + + α -r x m rozwiązaie (), i y α x + + α -r x m + α m+ x m+, to y y + α m+ x m+ Poieważ x m+ rozwiązaie (), to rówież y α m+ x m+ rozwiązaie tego układu Dlatego y y + y zgodie z twierdzeiem 6 y także jest rozwiązaiem () Wykażemy teraz, że dla dowolego rozwiązaia y układu () istieją takie skalary α,, α -r, że y αx + + α x r+ Zakładamy y ( β,, β ) i podstawiamy te wartości do układu ( ) β a r+ βr+ aβ βr arr+ βr+ arβ Z drugiej stroy, obliczymy wektory rozwiązaia fudametale: x ( a,, a,,,,) r+ r+ rr+ (5) x ( a,, a,,,,) r Otóż, ietrudo zauważyć, że wzór (4) jest aktualy, jeśli założyć,, α β α β r+ r UWAGA Porówując wzory (5) oraz macierz diagoalą (), moża zauważyć, że układ rozwiązań fudametalych () w istocie jest zapisay w ostatich r kolumach tej macierzy Dlatego algorytm diagoalizacji jest w istocie, algorytmem poszukiwaia fudametalego układu rozwiązań układu jedorodego, który jest przedstawioy w postaci macierzy trójkątej () Dlatego ogóly algorytm tworzeia układu rozwiązań fudametalych jedorodego układu rówań liiowych () polega a utworzeiu macierzy () ajpierw przy pomocy algorytmu rugowaia zmieych, a potem algorytmu diagoalizacji 6 Ogóle rozwiązaie układu rówań liiowych TWIERDZENIE 9 Niech x ( λ, λ,, λ ), x ( μ, μ,, μ ) - dwa rozwiązaia układu () Wówczas x x ( λ μ, λ μ,, λ μ ) będzie rozwiązaiem układu jedorodego (67) Zgodie z defiicją rozwiązywaia rówań liiowych TWIERDZENIE Jeśli x ( λ, λ,, λ ) rozwiązaie układu (), a y ( γ, γ,, γ ) rozwiązaie układu (), to x+ y ( λ+ γ, λ + γ,, λ + γ ) będzie rozwiązaiem układu jedorodego () Dowód Zgodie z defiicją rozwiązywaia rówań liiowych WNIOSEK Z ostatich dwóch twierdzeń wyika, że rozwiązaie układu rówań liiowych () moża otrzymać jako sumę dowolego rozwiązaia tego układu oraz dowolego rozwiązaia odpowiediego układu jedorodego () Algorytm rozwiązaia układu rówań liiowych Utworzyć macierz rozszerzoą U układu rówań liiowych Przy pomocy algorytmu rugowaia zmieych utworzyć macierz trójkątą U Określić ozaczoość układu Jeśli układ jest ieozaczoy, to zakończyć rozwiązywaie zadaia 4 Jeżeli układ jest ozaczoy, to określić liczbę jego rozwiązań

5 Jeżeli układ posiada jedo rozwiązaie, to sprowadzić macierz U do postaci diagoalej U Wartość elemetów ostatiej kolumy jest rozwiązaiem układu 6 Jeśli układ posiada więcej rozwiązań, to ależy: wykluczyć z macierzy U zerowe wiersze (jeśli istieją); sprowadzić macierz U do postaci diagoalej U Wartość elemetów ostatiej kolumy jest cząstkowym rozwiązaiem układu y ; Określić rząd r układu Wartość elemetów -r kolum prostokątej części macierzy U zastosować do utworzeia fudametalego układu rozwiązań odpowiediego układu jedorodego x,, x r; Przedstawić główe rozwiązaie układu w postaci z ieokreśloymi współczyikami UWAGI KOŃCOWE X y+ α x + + α x α,, α r r r Wiele zadań praktyczych algebry liiowej sprowadza się do rozwiązaia układów rówań liiowych Dlatego też, praktycze metody, przedstawioe w tym rozdziale, są iezbęde w dalszej pracy Ćwiczeia a zastosowaie algorytmów tego rozdziału zawarte są w końcowym rozdziale Z drugiej stroy, w rozdziale 6 rozpatrujemy jeszcze raz układy rówań liiowych, formułując wyiki o strukturze ich rozwiązaia językiem przestrzei wektorowych W tym rozdziale posługiwaliśmy się termiami algebry liiowej: skalar, wektor, macierz, kombiacja liiowa i ie Defiicje tych pojęć zostaą przytoczoe w dalszej części

Rozdział Przestrzeie wektorowe Współczese podejście do określeia przestrzei wektorowej, jak i do praktyczie wszystkich współczesych pojęć matematyczych, jest abstrakcyje Przestrzeie wektorowe są określoe własymi właściwościami Te właściwości w istocie są aksjomatami Teoria przestrzei wektorowych opiera się tylko a tych właściwościach aksjomatyczych W praktyce oczywiście (to zaczy podczas rozwiązywaia zadań praktyczych), matematyk ma do czyieia z kokretymi realizacjami pojęć abstrakcyjych (aksjomatyczych) Dla algebry liiowej ozacza to, że zadaia praktycze ależy rozwiązywać pracując z kokretymi przykładami przestrzei wektorowych Określeie przestrzei wektorowej Niech dae jest ciało F i iepusty zbiór V Elemety ciała F będziemy ozaczać literami greckimi α, β, γ,, oraz azywać skalarami Elemety zbioru V będziemy azywać wektorami i ozaczać małymi literami łacińskimi z kreską (strzałką) u góry: abc,,, Przypuśćmy, że a zbiorze V określoo działaie (operację) dodawaia wektorów, to zaczy dla każdej pary wektorów a V, b V istieje trzeci wektor c V, który azywa się sumą wektorów a i b Operację dodawaia będziemy ozaczać symbolem "+" i zapisywać wyik dodawaia w postaci: c a+ b Przypuśćmy także, że określoo działaie możeia skalarów ciała F przez wektory zbioru V tak, że otrzymay w wyiku możeia elemet poowie ależy do V, to zaczy, jest wektorem Jeśli α F, a V, to iloczy α i wektora a będziemy zapisywać w postaci α * a lub αa OKREŚLENIE Niepusty zbiór V z określoymi powyżej działaiami dodawaia wektorów i możeia wektorów przez skalary ciała F azywa się przestrzeią wektorową (liiową) ad ciałem F, jeśli spełioe są astępujące waruki: ) a+ b b+ a; ) ( a+ b) + c a+ ( b+ c) ; ) w zbiorze V istieje wektor zerowy, który ozacza się jako i który posiada astępującą własość: dla dowolego wektora a V, a+ a; 4) dla każdego wektora a V istieje przeciwy wektor, który ozacza się poprzez ( a ), i który w sumie z wektorem a daje wektor zerowy: a 5) α( a+ b) αa+ αb; 6) ( α + β) a αa+ βa; 7) αβ ( a) ( αβ) a ; + ( a) ; 8) a a, dla dowolego wektora a V Waruki 4 ozaczają, że przestrzeń wektorowa V jest grupą przemieą (abelową) względem działaia dodawaia wektorów Sumę wektora a i wektora przeciwie skierowaego do wektora b, będziemy azywać różicą wektorów a i b, i ozaczać a b Właściwości przestrzei wektorowych ) Jeśli a+ b c, to a c b (składiki moża przeosić z jedej stroy a drugą ze zakiem przeciwym) a+ b c, dlatego ( a+ b) + ( b) c+ ( b), a+ ( b+ ( b)) cb, a+ c b, a c b a ) ( a) a + ( a), stąd ( a) + a, więc a jest wektorem przeciwie skierowaym do wektora a, to zaczy a ( a) ) a dla dowolego a V

a a (a skutek waruku 8 określeia ) Dlatego a a ( + ) a a+ a a+ a, stąd a a+ a, lub a+ ( a) a, a 4) ( α) a ( αa ); w szczególości ( ) a a a (wł); stąd a ( α + ( α )) a αa + ( α ) a, ozacza, że ( α) a ( αa ) 5) ( α β) a αaβa ( α β) a ( α + ( β)) a αa+ ( β) a αa+ ( βa) αa βa 6) α( ) α b b α( b) α(( ) b) (( ) α) b ( α) b αb 7) α( a b) αa αb α( a b) α( a+ ( b)) αa+ α( b) αa αb 8) α dla dowolego α F α α( a a) αa+ α( a) αa αa 9) Jeśli αa, to albo α, albo a Jeżeli α, to a ciele F istieje odwroty skalar α Dlatego α ( αa) ( α α) a a a, z drugiej stroy α, to zaczy a ) Metodą idukcji matematyczej łatwo udowodić, że α( a + a + a+ + a) αa + αa + αa+ + αa ; ( α + α + α+ + α) a αa+ αa+ αa+ + αa Przykłady przestrzei wektorowych Przykład Warstwy Niech Q ciało liczb wymierych i X (x, x,, x ) uporządkoway zbiór zmieych Warstwą azywa się wyrażeie postaci α x + α x + +α x, gdzie α i dowole liczby wymiere (to zaczy α I Q), a x i X Przez W ozaczymy zbiór wszystkich warstw o współczyikach z ciała Q: W { α x + α x + + α x α i Q, x i X} W zbiorze W określimy działaia dodawaia warstw i możeia warstwy przez skalar liczbę z ciała Q w astępujący sposób: Jeśli L α x + α x + + α x, L β x + β x + + β x to L + L (α + β )x + (α + β ) x + + (α + β )x (dodawaie) γ * L (γ *α )x + (γ *α )x + + (γ *α )x (możeie przez skalar) Ozaczeia te moża sformułować jako zasady obliczaia w astępujący sposób: Aby dodać dwie warstwy, ależy dodać współczyiki tych warstw przy odpowiedich zmieych Aby pomożyć warstwę przez skalar, ależy pomożyć wszystkie współczyiki tej warstwy przez skalar

Aby się upewić, że zbiór W z określoymi działaiami dodawaia warstw oraz możeiem warstwy przez skalar, jest przestrzeią wektorową, ależy sprawdzić, czy wszystkie rówości określeia są tożsamościami w zbiorze W ) Przemieość operacji dodawaia jest astępstwem przemieości operacji dodawaia liczb wymierych ) Łączość operacji dodawaia jest skutkiem łączości operacji dodawaia liczb wymierych ) Istieie wektora zerowego Oczywiście, wektorem zerowym jest warstwa z zerowymi współczyikami: L *x + *x + + *x 4) Istieie wektora przeciwego Przeciwą warstwą do warstwy L α x + α x + + α x jest warstwa L - (-α )x +(-α )x + + (-α )x, której współczyiki są przeciwe do odpowiedich współczyików warstwy L Własości ) 5) pokazują, że zbiór W jest grupą abelową względem operacji dodawaia warstw Następe własości odoszą się do działaia możeia warstwy przez skalar 5) Własość α(l + L ) αl + αl azywa się rozdzielym prawem możeia przez skalar względem dodawaia Rozdzielość możeia przez skalar względem dodawaia jest rówież prostym astępstwem rozdzielości a ciele liczb wymierych Istotie, wykażemy ją dla i-tych wyrazów warstw L i L gdzie i dowoly umer: α(α i x i + β i x i ) α(α i + βi)x i (α*α і + α*β i )x i (α*α i )xi+ (α*β i )x i 6) Własość (α+β)l αl + βl azywa się prawem rozdzielości możeia przez skalar względem dodawaia skalarów Dowód tej własości jest w pełi aalogiczy do poprzediego 7) Własość α(βl) (αβ)l azywa się łączością możeia przez skalar Dowód tej własości także jest aalogiczy do dowodu7) 8) Na koiec, własość Q *L L ozacza, że jedostka ciała Q jest eutralym elemetem operacji możeia przez skalar Przykład Odciki skierowae a płaszczyźie Niech R ciało liczb rzeczywistych Zazaczymy a płaszczyźie geometryczej Π pukt Р Rozpatrzymy zbiór S wszystkich odcików skierowaych tej płaszczyzy w postaci РМ, gdzie Р zazaczoy pukt, a М dowoly pukt płaszczyzy S {РM M Π} W zbiorze S określimy działaia dodawaia odcików skierowaych oraz możeia odcika skierowaego przez skalar liczbę z ciała R w astępujący sposób: Jeżeli s PM, s PM to s s + s PM + PM odciek skieroway РМ, który jest przekątą rówoległoboku, utworzoego a odcikach РМ i РМ jako bokach, które wychodzą z puktu Р (reguła rówoległoboku) М Р Rys Reguła rówoległoboku dodawaia odcików skierowaych М М Jeżeli s PM, s αs αpm to odciek skieroway РМ, rozciągięty α razy w porówaiu z odcikiem РМ Kieruek РМ pokrywa się z kierukiem РМ, jeśli α > i przeciwe do kieruku РМ, jeżeli α < Р М М PM α * PM, α > PM α * PM, α < М Р М

Rys Reguła możeia odcika skierowaego przez liczbę rzeczywistą Tak samo jak w pierwszym przykładzie, aby upewić się, że zbiór S z zazaczoymi działaiami dodawaia odcików skierowaych i możeia odcika skierowaego przez skalar jest przestrzeią wektorową, ależy sprawdzić, czy wszystkie rówości określeia są spełioe Ćwiczeie to polecamy czytelikowi Przykład Trójwymiarowa przestrzeń arytmetycza Niech R ciało liczb rzeczywistych Wektorem trójwymiarowej przestrzei arytmetyczej azwiemy uporządkowaą trójkę liczb rzeczywistych (α, β, γ) Przez R ozaczymy zbiór wektorów arytmetyczej przestrzei trójwymiarowej R { (α, β, γ) α, β, γ R } Określimy w zbiorze R działaia dodawaia wektorów i możeia wektora przez liczbę w astępujący sposób: dla dowolych wektorów a (α, β, γ ), a (α, β, γ ) i liczby rzeczywistej δ a + a (α +α, β +β, γ +γ ) δ*a (δ*α, δ*β, δ*γ ) Aby udowodić, że określoe w taki sposób działaia przekształcają zbiór R w przestrzeń wektorową, ależy sprawdzić, czy spełioe są właściwości ) 8) określeia przestrzei wektorowej 4 Ćwiczeia Określimy zbiór W jako populację wszystkich trójmiaów ze współczyikami rzeczywistymi, które posiadają pierwiastek x W { p(x) a*x + b*x + c a, b, c R, p() } Na zbiorze W założoo zwykłe działaia dodawaia i możeia wielomiaów przez liczbę rzeczywistą Udowodić, że W jest przestrzeią wektorową a ciele liczb rzeczywistych Które z astępujących trójmiaów ależą do przestrzei wektorowej W? x - *x + ; *x 5*x + ; -x +x-; x -; *x 4*x + 5 Sformułuj waruek przyależości trójmiau do przestrzei wektorowej zależie od współczyików a, b, c Określimy zbiór V jako grupę jedorodych biarych form dwóch zmieych ze współczyikami rzeczywistymi: V {a*x + b*xy + c*y a, b, c R } Na zbiorze V założoo zwykłe działaia dodawaia i możeia form biarych przez liczbę rzeczywistą Udowodić, że V jest przestrzeią wektorową ad ciałem liczb rzeczywistych Ozaczymy zbiór W jako zbiór wszystkich ciągów podstawowych (fudametalych) z wyrazami wymierymi W { A { α } A podstawowy} i i W zbiorze W założoo zwykłe działaia dodawaia ciągów (dodawaie wyrazów) i możeia przez liczbę rzeczywistą (możeie wyrazów) Udowodić, że W jest przestrzeią wektorową ad ciałem liczb wymierych 4 Ozaczymy zbiór F jako zbiór wszystkich fukcji rosących a osi liczbowej R Rozpatrzyć a zbiorze F działaia dodawaia fukcji i możeia fukcji przez liczbę rzeczywistą Czy zbiór F jest przestrzeią wektorową? Jeżeli ie to, jaka właściwość określająca przestrzeń wektorową ie jest spełioa? 5 Ozaczymy przez zbiór W populację wszystkich trójmiaów ze współczyikami rzeczywistymi, które spełiają zależość a *b+*c

W { p(x) a*x + b*x + c a, b, c R, a *b + *c } Na zbiorze W zadao zwykłe działaia dodawaia i możeia wielomiaów przez liczbę rzeczywistą Czy W jest przestrzeią wektorową ad ciałem liczb rzeczywistych? 6 Ozaczymy przez zbiór W rzeszę wszystkich trójmiaów ze współczyikami rzeczywistymi, które spełiają zależość b 4*a*c W { p(x) a*x + b*x + c a, b, c R, b 4*a*c } W zbiorze W dae są zwykłe działaia dodawaia i możeia wielomiaów przez liczbę rzeczywistą Czy W jest przestrzeią wektorową ad ciałem liczb rzeczywistych? 7 Rozpatrzyć populację S wektorów trójwymiarowej przestrzei arytmetyczej (patrz: przykład ) takich, że: α + β + γ S { (α, β, γ) α, β, γ R, α + β + γ } Czy S jest przestrzeią wektorową ad ciałem liczb rzeczywistych? 8 Rozpatrzyć zbiór S wektorów trójwymiarowej przestrzei arytmetyczej (patrz: przykład ) takich, że α + β γ S { (α, β, γ) α, β, γ R, α + β γ } Czy S jest przestrzeią wektorową ad ciałem liczb rzeczywistych? 9 Rozpatrzyć grupę S wektorów trójwymiarowej przestrzei arytmetyczej (patrz: przykład ) takich, że: f(α, β, γ) S { (α, β, γ) α, β, γ R, f(α, β, γ) } Jaką powia być fukcja f, aby zbiór S obrazował przestrzeń wektorową? 5 Zależość liiowa wektorów OKREŚLENIE a, a, a,, a ( ) azywa się liiowo zależym, jeżeli istieje układ skalarów α, α, α,, α, z których, przyajmiej, jede ie rówa się zero i dla których prawdziwa jest rówość: α a + α a + α a + + α a () Układ wektorów { } Wyrażeie α a + α a + α a + + α a a, a, a,, a a skalary α, α, α,, α będziemy azywać kombiacją liiową wektorów współczyikami tej kombiacji liiowej Jeśli kombiacja liiowa układu wektorów rówa się, to azywa się ją zerową kombiacją liiową Wyróżimy ajprostsze własości układów wektorów liiowo zależych: ) Układ wektorów, który zawiera tylko jede wektor a, jest liiowo zależy wtedy i tylko wtedy, gdy a Jeżeli a, to dla α mamy: a, to zaczy otrzymaliśmy zerową kombiację liiową, w której jest iezerowy współczyik; zatem day układ jest liiowo zależy Przypuśćmy, że układ { a } jest liiowo zależy, to zaczy αa, przy czym α Wtedy, zgodie z własością 9 przestrzei wektorowych a ) Układ wektorów { a, a,, a} dla > jest liiowo zależy wtedy i tylko wtedy, gdy przyajmiej jede z tych wektorów jest kombiacją liiową iych Jeśli jede z wektorów daego układu, a przykład a, rówa się kombiacji liiowej pozostałych, to a β a + β a + + β a Stąd a + ( β) a + ( β) a+ + ( β ) a, przy czym współczyik przy a rówa się jedości, czyli jest róży od zera

a, a, a,, a jest Zatem, day układ jest liiowo zależy Załóżmy teraz, że układ wektorów { } liiowo zależy, to zaczy, że αa + αa + αa+ + α a współczyików α j, a przykład α, ie jest rówy ; α, (), przy czym przyajmiej jede ze Z rówości () otrzymujemy: α a ( α ) a + ( α ) a + + ( α ) a Pomożywszy tę współzależość przez α otrzymujemy rówość: a ( ) a + ( ) a + + ( ) a (α ), αα αα αα To zaczy, że a jest kombiacją liiową wektorów a, a, a,, a ) Jeśli pewy iepusty podukład daego układu wektorów jest liiowo zależy, to i cały układ jest liiowo zależy a, a, a,, a i przypuśćmy, że pewie jego podukład m wektorów jest liiowo zależy (<m<) Day układ wektorów moża w razie potrzeby przeumerować tak, aby i jego podukład z pierwszymi m wektorami był liiowo zależy W te sposób, αa+ αa + αa+ + αmam, przy czym, przyajmiej jede ze współczyików α j (a przykład α ) Założywszy, że α m+ α m+ α otrzymujemy, że αa + αa + αa+ + αmam + αm+ am+ + + αa przy czym α To zaczy, że day układ wektorów jest liiowo zależy OKREŚLENIE Niech day jest układ wektorów { } a, a, a,, a, ( > ) azywa się liiowo zależym, jeśli z rówości αa+ αa+ αa+ + α a wyika, że α α α W te sposób, kombiacja liiowa liiowo iezależego układu wektorów jest zerowa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej współczyiki rówają się UWAGA Kombiacja liiowa dowolego układu wektorów, w którym wszystkie współczyiki rówają się jest zerowa Jeżeli układ ie posiada iych zerowych kombiacji liiowych, to jest liiowo iezależy Układ liiowo zależy posiada jeszcze ie zerowe kombiacje liiowe 6 Własości układów wektorów liiowo iezależych ) Liiowo iezależy układ wektorów ie zawiera wektora zerowego Jeśli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to jego podukład, który składa się z jedego wektora zerowego jest liiowo iezależy (własość układów liiowo iezależych), a to zaczy, że także cały układ jest liiowo iezależy (własość układów liiowo iezależych) Otrzymao sprzeczość ) Jeśli układ wektorów jest liiowo iezależy, to dowoly jego podukład rówież jest liiowo iezależy Dowód wyika z własości układów liiowo zależych 7 Przykłady Przykład 4 Rozpatrzmy przestrzeń wektorową W wszystkich warstw zmieych x, y, z ad ciałem liczb rzeczywistych (patrz: przykład ): W { αx + βy + γz α, β, γ Q } Postawmy pytaie o iezależość liiową układu wektorów (form liiowych): L x + y 4z, L -x + 4y 5z, L -x + 6y + z Rozwiązaie Ułożymy kombiację liiową L, L, L ze (ieokreśloymi) współczyikami A, B, C: A*L + B*L + C*L Podstawiając wartości L, L, L, otrzymujemy: Układ wektorów { }

A*(x + y 4z) + B*(-x + 4y 5z) + C*(-x + 6y + z) Przekształcimy otrzymaą rówość, otworzywszy awiasy i określiwszy współczyiki przy zmieych x, y, z Otrzymujemy: (A - B - C)*x + (A + 4B + 6C)*y + (-4A 5B + C)*z Zauważmy, że w prawej części rówości ozacza zerową warstwę liiową, to zaczy warstwę z zerowymi współczyikami Dlatego każde z wyrażeń przy zmieych x, y, z moża przyrówać do zera Otrzymamy układ rówań liiowych względem współczyików A, B, C jako iezaych: A - B C A + 4B + 6C -4A 5B + C Pytaie o iezależość liiową układu wektorów sprowadza się do pytaia, czy istieje iezerowe rozwiązaie daego układu, to zaczy takie rozwiązaie, w którym przyajmiej jede czło byłby róży od zera Jeśli tak to układ wektorów jest liiowo zależy Jeśli ie, to układ wektorów jest liiowo iezależy Ogólą teorię układów rówań liiowych przedstawioo w rozdziale Rozwiązawszy układ otrzymujemy: A, B, C Zgodie z określeiem iezależości liiowej, układ wektorów (form liiowych) zadaia jest liiowo iezależy Przykład 5 Rozpatrzmy arytmetyczą przestrzeń wektorową R ad ciałem liczb rzeczywistych (patrz: Przykład ): Wybierzemy w tej przestrzei trzy wektory Należy określić, czy te układ jest liiowo iezależy Rozwiązaie R { (α, β, γ) α, β, γ R } a (,, 4), a (-, 4, 5), a (6,, ) Kolejość działań będzie dokładie taka sama jak w poprzedim przykładzie: Ułożymy kombiację liiową wektorów o ieokreśloych współczyikach А, В С A*a + B*a + C*a Podstawimy do iej wartości wektorów a, a, a : A*(,, 4) + B*(-, 4, -5) + C*(6,, ) Przy pomocy przekształceń określimy wektor kombiację liiową lewej części rówości: (A - B + 6C, A + 4B + C, 4A - 5B + C) Zerowy wektor przestrzei R to wektor (,, ) Dlatego: (A - B + 6C, A + 4B + C, 4A - 5B + C) (,, ) Porówując wyrazami lewą i prawą części rówości, otrzymujemy układ rówań liiowych: A - B + 6C, A + 4B + C, 4A - 5B + C Rozwiązujemy te układ metodą przekształceń elemetarych Otrzymujemy układ: A - B + 6C, B - C, -B + C lub: A - B + 6C, B - C, Rówość moża wyłączyć z układu A - B + 6C, B - C Układ posiada zbiór rozwiązań Jedo z ich moża otrzymać, jeśli przyjąć С Wtedy В, А - To zaczy, że układ wektorów a, a, a jest liiowo zależy Moża wskazać wartości iezerowe А, В, С, przy których odpowiedia kombiacja liiowa jest zerowa:

UWAGA -*a + *a + *a Po rozwiązaiu zadaia otrzymaliśmy układ rówań liiowych, który posiada zbiór rozwiązań Ogóle metody rozwiązywaia takich układów przedstawioo w rozdziale Jedak w aszym przypadku trzecie rówaie okazało się rówością rówoważą, dlatego rozwiązaia szukaliśmy, używając tylko pierwszych dwóch rówań Wywód o istieiu zbioru rozwiązań zrobiliśmy, dlatego że zmieej С moża przypisywać dowole wartości, a astępie obliczać wartości iych zmieych Przykład Ozaczymy przestrzeń wektorową W jako populację wszystkich trójmiaów o współczyikach rzeczywistych W { p(x) a*x + b*x + c a, b, c R} oraz działaiami dodawaia trójmiaów i możeiem trójmiau przez liczbę rzeczywistą Rozpatrzymy trzy wektory: p x - *x +, p x -, p x 4*x + W zadaiu trzeba określić, czy moża wyrazić liiowo wektor p poprzez p, p? Rozwiązaie Tak jak w poprzedich przykładach, ułożymy szukaą rówość o ieokreśloych współczyikach: A*p + B*p p Jeśli podstawić do tej rówości wartości p, p, p i przyjąć, że wektorem zerowym jest trójmia o zerowych współczyikach, to otrzymamy układ rówań liiowych: A + B // przyrówujemy współczyiki przy x -A -4 // przyrówujemy współczyiki przy x A - B // przyrówujemy wyrazy wole Rozwiązując te układ, otrzymujemy: A 4/, B -/ Zatem, p 4/*p /*p Uwaga Otrzymay układ posiada trzy rówaia z dwoma zmieymi Przy rozwiązaiu wartości А, В wyikają z pierwszych dwóch rówań, a trzecie rówaie przekształciło się w rówość Przykład 6 Rozpatrzymy układ wektorów arytmetyczej przestrzei trójwymiarowej: a (, -, ), a (,, -), a (, -4, 4) Rozwiązaie W zadaiu ależy określić, czy moża przedstawić liiowo wektor a poprzez a, a? Ułożymy kombiację liiową o ieokreśloych współczyikach: A*a + B*a a Jeśli podstawi się do tej rówości wartości a, a, a oraz przyjmie, że wektorem zerowym jest wektor (,, ), to otrzymamy układ rówań liiowych: A + B -A -4 A - B 4 Rozwiązując te układ, otrzymamy z dwóch pierwszych rówań: A 4/, B -/ Jedak przy podstawiaiu tych wartości do trzeciego rówaia otrzymamy rówość sprzeczą 4 To ozacza, że układ ie posiada rozwiązań Dlatego wektora a ie moża wyrazić liiowo poprzez a, a 8 Ćwiczeia Udowodić, że układ wektorów {(,, ), (,, 4), (, 4, 5)} trójwymiarowej przestrzei arytmetyczej jest liiowo iezależy Niech S {a, a, a } układ wektorów pewej przestrzei wektorowej ad ciałem liczb wymierych Udowodić, że S jest liiowo iezależy wtedy i tylko wtedy, gdy układ Jest liiowo iezależy S {a, a + a, a + a + a }

Rozpatrzyć przestrzeń wektorową W wszystkich trójmiaów ze współczyikami rzeczywistymi, które mają pierwiastek x W { p(x) a*x + b*x + c a, b, c R, p() } Udowodić, że dowoly układ trzech wektorów w tej przestrzei jest liiowo zależy 4 Rozpatrzyć przestrzeń wektorową V jedorodych biarych form dwóch zmieych o współczyikach rzeczywistych: V {a*x + b*xy + c*y a, b, c R } Udowodić, że w tej przestrzei wektorowej moża wyróżić układ składający się z trzech wektorów liiowo iezależych Udowodić, że w tej przestrzei dowoly układ czterech wektorów jest liiowo zależy 9 Rówoważe układy wektorów OKREŚLENIE 4 Mówimy, że układ wektorów { a, a,, a } wyraża się liiowo poprzez układ wektorów { b, b,, } dowoly wektor pierwszego układu jest kombiacją liiową drugiego układu OKREŚLENIE 5 b m, jeśli Dwa układy wektorów azywa się rówoważymi, jeśli każdy z ich wyraża się liiowo poprzez drugi LEMAT Jeśli układ wektorów {,,, } wyraża się liiowo poprzez układ {,,, r } trzeci a a a wyraża się liiowo poprzez układ wektorów {,,, m } b b b, który c c c, to pierwszy układ wektorów wyraża się liiowo poprzez Wyprowadzeie lematu ozacza, że reprezetacja liiowa posiada własość przechodości Dowód Zgodie z warukiem lematu układ wektorów {,,, } { b, b,, b } To zaczy, że a b b b i βi + βi + + βim m a a a wyraża się liiowo poprzez układ, i,,, () Rzeczywiście, także b j γ j c + γ j c + + γ jr cr, j,,, m Dlatego, podstawiając do () zamiast wektorów b k ich wyrażeia poprzez wektory układu { c, c,, c r }, otrzymujemy: a i β i( γ c + γ c + + γ r c r ) + β i ( γ c + γ c + + γ r c r ) + + β im ( γ mc + γ m c + + γ m r c r ) ( βγ i + βγ i + + βimγm ) c+ ( βγ i + βγ i + + βimγm) c+ i,,, + ( βγ + βγ + + β γ ) c i r i r im mr r Otrzymae zależości ozaczają, że układ wektorów {,,, } {,,, } r c c c Lemat został udowodioy a a a wyraża się liiowo poprzez układ Z lematu wyika, że pojęcie rówoważości układów wektorów rówież posiada własość przechodiości Z określeia rówoważości układów wektorów wyika bezpośredio, że pojęcie to posiada rówież własość zwrotości i symetryczości

Przekształceia elemetare układów wektorów Niech będzie day układ wektorów (А): {,,, } a a a, > Będziemy a podstawie układu wektorów (А) tworzyć owe układy wektorów przy pomocy pewych przekształceń, które przyjęto azywać elemetarymi OKREŚLENIE 6 Przekształceiami elemetarymi układu wektorów (А) {,,, } a a a, G, azywa się astępujące działaia: ) Przestawieie wektorów a, a,, a (zmiaa umeracji wektorów) Przy pomocy LEMAT przekształceia układ wektorów { a, a,, a } przekształca się w układ {,,, } gdzie b i a, j,,, (jede z umerów, ie obowiązkowo rówy i) j b b b, ) Możeie wektora a i przez skalar λ F, λ Przy pomocy przekształceia układ wektorów (А) przekształca się w układ { a, λ a, a,, a } (wektor a A pomożoo przez skalar λ ) ) Możeie wektora a i przez liczbę λ, dodaie otrzymaego wektora do wektora a j, j, oraz zamiaa wektora a j a sumę wektorów Przy pomocy przekształceia układ wektorów (А) przekształca się w układ { a, a, a + λ a,, a } (wektor a A pomożoo przez λ, dodao otrzymay wektor do wektora a i zamieioo wektor a a sumę a + λ a ) Jeśli układ wektorów (В): {,,, } b b b otrzymao z układu (А): {,,, } a a a, przy pomocy dowolego przekształceia elemetarego, to te układy wektorów są rówoważe Dowód W przypadku przekształceia elemetarego dowód lematu jest oczywisty Jeżeli układ (В) otrzymao z układu (А) przy pomocy przekształceia, to bj λ ai, dla pewego j, λ Dla i j bi a + a + + ai++ a ; jeżeli i j, to bj a + a + + λ a j++ a W taki sposób, układ (В) wyraża się liiowo poprzez układ (А) I odwrotie, dla i j, ai bi ; jeśli i j, to aj λ bj ( λ ) Rzeczywiście, układ (А) rówież wyraża się liiowo poprzez (В) i to ozacza, że układy są rówoważe Niech teraz układ (В) otrzymao z (А) przy pomocy przekształceia (a przykład: ai bi, i ; b a + λa j j ) Oczywiście, że układ (В) wyraża się liiowo poprzez układ (А) Odwrotie, jak dla i, ai bi, to a b λaj b λ bj Stąd wyika, że układ (А) wyraża się liiowo poprzez (В) i w tym przypadku układy wektorów są rówoważe LEMAT Jeśli układ wektorów (А): { a, a,, a } jest liiowo iezależy, a układ wektorów (В): { b, b,, b } otrzymao z układu (А) w wyiku jedego z przekształceń elemetarych -, to układ wektorów (В) rówież jest liiowo iezależy Dowód W przypadku przekształceia dowód jest oczywisty

Niech (В) otrzymao z (А) przy pomocy przekształceia Załóżmy, że b j j + β β j j β λ a, λ Udowodimy zerową kombiację wektorów układu (В): b b + + b + + b Gdy a i b, i j, b λ a, to: i j j + j j β a β a + + ( β λ) a + + β a Z liiowej iezależości układu (А) wyika, że β β βjλ β Gdy λ, to β dla wszystkich i,,,, układ (В) jest liiowo iezależy j Niech układ (В) otrzymao z układu (А) przy pomocy przekształceia ; bj aj + λ ai, i j Poowie rozpatrzymy zerową kombiację liiową wektorów układu (В): β b + β b + + β b + + β b j j Dokoując podstawieia bj λ aj, i j, ( a ) otrzymamy: β a β a + + β ( a + λa ) + + β a lub β a + β a + + ( β + λβ ) ai + + β a Z + j j i liiowej iezależości układu (А) otrzymujemy, że β i j β β βi + λβj βj β W te sposób wszystkie β s, s i, a w szczególości β Gdy β λβ, to β i Zatem układ (В) jest liiowo iezależy Lemat udowodioo LEMAT 4 (Steiitz a) Jeśli układ wektorów (А), {,,, r } wektorów (В), {,,, s } i i + j a a a jest liiowo iezależy i wyraża się liiowo poprzez układ b b b, to r s Dowód Dowód przeprowadzimy idukcyjie zgodie z liczbą elemetów w układzie (А) Jeśli i, to lemat jest oczywisty, poieważ układ wektorów (В) ie może być pusty ( a i ) Przypuśćmy, że lemat został udowodioy dla i m i udowodimy go dla i m + Gdy układ (А) wyraża się liiowo poprzez układ (В), to ai αi b+ αib + + αisbs, i,,, m+ Na skutek iezależości liiowej wektorów układu (А), α oraz przyajmiej jedego ze współczyików α j Bez ograiczeia moża uważać, że α Rozpatrzmy układ wektorów (С), {,,,, c c c c }, gdzie c a r, cj aj + ( α j α ) a, j > W te sposób, układ (С) wyraża się liiowo poprzez układ (В): c α b + α b + + α s b s, cj γ jb+ γ jb + + γ jsbs, j >, gdzie γ ji α ji α jα iα, i,,, s Otrzymujemy z tego, że γ j α j α jαα α j α j To zaczy, że c α b + α b + + α s b s, cj γ jb + + γ jsbs, j > (4) Rozpatrzmy ciąg układów wektorów: (А)(С ),(С ),,(С s- ), (С)(С s ), (С t ){ c, c,, ct, at+,, as}, t,,, s Oczywiście, układ wektorów (С t ) otrzymao z układu (С t- ) poprzez zamiaę wektora a t a wektor c a αα a a αα c t t t t t To zaczy, układ wektorów (С t ) otrzymao z układu wektorów (С t- ) przy pomocy przekształceia elemetarego Wskutek lematu układ wektorów (С ) jest liiowo iezależy, poieważ układ (С )(А) jest liiowo iezależy zgodie z warukiem lematu Aalogiczie, stosując lemat, wykażemy kolejo iezależość liiową wektorów (С ), (С ),,(С s- ), (С s )(С)

Układ (D), {,,, r } c c c, jako podukład liiowo iezależego układu wektorów, sam będzie liiowo iezależy (wł układów liiowo iezależych) Z drugiej stroy, układ (D) wyraża się liiowo poprzez układ (F), {,,, s } b b b, który zawiera (s-) wektorów Gdy układ (D) zawiera (r-) wektor oraz jest liiowo iezależy, to zgodie z założeiem idukcji (r-) (s-), to zaczy r s Lemat udowodioo

Rozdział Baza i wymiar przestrzei wektorowej Rząd układu wektorów Jedym z podstawowych pojęć teorii przestrzei wektorowych jest pojęcie maksymalego liiowo iezależego podukładu układu wektorów OKREŚLENIE Niech day jest skończoy i ieskończoy podzbiór wektorów S V, gdzie V przestrzeń A a, a,, a, A S, azywa się maksymalym liiowo r wektorowa ad ciałem F Skończoy zbiór { } iezależym podukładem a zbiorze S, jeśli spełioe są astępujące waruki: ) Układ wektorów (А) jest liiowo iezależy; ) Jeśli do układu (А) dodać dowoly wektor S LEMAT b, to układ {,,, r, } a a a b będzie liiowo zależy b S Jeżeli А maksymaly liiowo iezależy podukład a zbiorze wektorów S, to dowoly wektor moża w jedyy sposób przedstawić w postaci kombiacji liiowej wektorów układu (А), {,,, } r A a a a Zgodie z określeiem maksymalego liiowo iezależego podukładu, układ wektorów {,,,, r } a a a b jest liiowo zależy To ozacza, że αa + αa+ + α rar + βb () przy czym, przyajmiej jede ze współczyików α, α,, α, β r ie rówa się zeru Udowodimy, że a + a+ + r a r i z r Gdy β, to wszystkie współczyiki w tym przypadku β Jeśli tak ie jest, to β, wtedy α α α iezależości liiowej układu (А) wyika, że α α α kombiacji liiowej w wyrażeiu () są rówe zeru, a to przeczy założeiu Zatem β, wtedy z rówości () otrzymamy: βb α a α a α a r r, lub a + ( α β ) a + + ( α r a r b ( α β ) β ), b γ a + γ a + + γ a gdzie γ α β i i (), Pierwsza część twierdzeia została udowodioa W celu udowodieia zasady zgodości,,, r przyajmiej dla, ale wyrażeia () ależy ustalić, czy jeżeli w układzie współczyików γ γ γ jedego λi γ i, to b λa + λa + + λ r a r Zatem iech a przykład: λ γ b λa + λa + + λ r a r Wtedy b+ ( b) γa+ γa+ + γrar + ( λaλa λrar) ( γ λ) a+ ( γ λ) a+ + ( γr λr) ar przy czym γ λ a, a,, a jest liiowo iezależy r To iemożliwe, gdy układ wektorów { } Otrzymaa sprzeczość wykazuje zgodość wyrażeia () Lemat został w pełi udowodioy Wiosek Jeśli S dowoly zbiór wektorów w przestrzei V ad ciałem F i А jego maksymaly liiowo iezależy podukład, to dowoly podzbiór T S wyraża się liiowo poprzez układ А Wiosek Jeśli А i В dwa maksymale liiowo iezależe podukłady wektorów a zbiorze S, to ilość wektorów układu А rówa jest ilości wektorów układu В r r

Ozaczymy przez m i ilość wektorów odpowiedio w układach А i В Na skutek wiosku, układ wektorów А wyraża się liiowo poprzez układ wektorów В Gdy А układ iezależy liiowo, to zgodie z lematem Steiitz a, m Zamieiwszy w tym wiosku miejscami układy А i В, otrzymamy, że m Więc, m W te sposób, ilość wektorów w dowolym maksymalie liiowo iezależym podukładzie ze zbioru S jest jeda i ta sama To potwierdza określeia, które przytoczoo poiżej OKREŚLENIE Przestrzeń wektorowa V ad ciałem F azywa się -wymiarową skończoą, jeśli istieje w iej maksymaly podukład liiowo iezależy W dalszej części, wszystkie rozpatrywae przestrzeie wektorowe będą uważae za skończoe - wymiarowe Z lematów 4 oraz wyika, że dowoly podukład wektorów skończoej -wymiarowej przestrzei wektorowej posiada maksymaly liiowo iezależy podukład OKREŚLENIE Rzędem zbioru S azywa się liczbę wektorów w dowolym maksymalym liiowo iezależym podukładzie ze zbioru S Baza i wymiar przestrzei wektorowej OKREŚLENIE 4 Bazą skończoej -wymiarowej przestrzei wektorowej V azywa się dowoly maksymaly liiowo iezależy podukład w przestrzei V OKREŚLENIE 5 Wymiarem skończoej -wymiarowej przestrzei wektorowej V azywa się liczbę wektorów w dowolej bazie tej przestrzei (to zaczy rząd zbioru wektorów V) Wymiar przestrzei wektorowej V będziemy ozaczać przez dim V, a rząd układu wektorów S przez r(s) LEMAT Jeśli układ wektorów S liiowo wyraża się poprzez układ wektorów a rs, to rząd układu a ij ie przewyższa rzędu a ij Ozaczymy przez А i А maksymale liiowo iezależe podukłady w układach S i S Poieważ układ S wyraża się poprzez S, to a skutek lematu, S liiowo wyraża się przez А Gdy A S, to liiowo iezależy układ wektorów А wyraża się liiowo poprzez układ А Na skutek lematu Steiitz a, ilość wektorów w układzie А (rząd układu S ) ie przewyższa ilości wektorów w układzie А (rząd układu S ) W taki sposób, rząd układu S ie jest wyższy od rzędu układu S Wiosek Rzędy układów wektorów rówoważych są rówe W związku z pojęciem maksymalego liiowo iezależego podukładu wektorów powstaje pytaie o praktyczym poszukiwaiu takiego podukładu dla daego zbioru wektorów W rozstrzygięciu tego pytaia może być pomocy astępujący lemat: LEMAT Jeśli A { a, a, a,, am } liiowo iezależy podukład wektorów w zbiorze S, to istieje maksymalie liiowo iezależy podukład В wektorów z S, który zawiera w sobie А Ozaczymy przez r rząd zbioru wektorów S i iech С dowoly maksymalie liiowo iezależy podukład z S Jeśli А układ liiowo iezależy, który wyraża się liiowo poprzez układ С, to m r Jeśli m r, to układ wektorów А maksymaly podukład liiowo iezależy w S, iaczej w S istiałby liiowo iezależy układ, który zawierałby m+ r + wektor, co jest iemożliwe (wiosek ) W takim razie

dopuścimy В А, i lemat jest udowodioy Jeżeli m < r, to układ А, a skutek wiosku ie może być maksymalym liiowo iezależym podukładem Dlatego istieje w S liiowo iezależy podukład A A, przy czym ilość wektorów w układzie А wyosi m+ Jeśli m+ r, to А maksymaly liiowo iezależy podukład, B A A, i twierdzeie lematu zostało udowodioe Sadząc w te sposób, otrzymamy szereg liiowo iezależych podukładów A A A A k, przy czym liczba wektorów w układzie А і wyosi m+ i Dla k r m otrzymamy maksymaly liiowo iezależy podukład Zakładając, że B, otrzymamy dowód lematu A r m Wiosek 4 Dowoly liiowo iezależy układ wektorów w skończoej -wymiarowej przestrzei wektorowej może być doday do bazy całej przestrzei Dalej będzie wymagay jeszcze jede lemat LEMAT 4 Niech S { a, a,, a } i T { b, b, b } dwa skończoe układy wektorów, które zawierają jedakową liczbę wektorów Jeżeli z dowolej zależości λ i ai wyika zależość λ i bi, to rt ( ) rs ( ) Przypuśćmy, że rząd układu wektorów Т wyosi k, k i, oraz { bs(), bs( ),, bs( k) } liiowo iezależy podukład układu Т; tutaj S odwzorowaie zbioru { } k Wykażemy, że S { as(), as(),, as( k) } i - maksymaly,,,,,,,k a zbiór { } jest także liiowo iezależym układem wektorów W tym celu trzeba przyrówać do zera wszystkie współczyiki w dowolej zerowej kombiacji liiowej wektorów układu S k Niech a s( i) i μ Wtedy λ, gdzie λ μ (), jeśli j s(), i λ j, jeśli s( i) j j a j j μ, і,,, k, poieważ { bs(), bs( ),, bs( k) } j s() i dla żadego і,,, k Zgodie z warukiem lematu λ, to zaczy bs( i) j s i j b j k i μ s( i) Stąd wyika, że s( i) układ wektorów liiowo iezależy Zatem, S () jest liiowo iezależy, S() S W taki sposób, rt () k rs ( ) rs () Co ależało udowodić OKREŚLENIE 6 Niech {,,, } V w bazie {,,, } a a a baza przestrzei wektorowej wymiaru ad ciałem F Współrzędymi wektora b a a a azywa się układ elemetów β, β,, β z ciała F takich, że b βb + βb + + β b a, a,, a są jedozaczie Zgodie z lematem, współrzęde wektora b w bazie { } określoe i odwrotie: wektor b jest określoy, jeżeli dae są jego współrzęde w jakiejś bazie Jeśli wektor b posiada współrzęde β, β,, β w daej bazie, to b będziemy zapisywać w postaci b ( β, β,, β ) LEMAT 5 Współrzęde sumy (różicy) dwóch wektorów a i b są rówe sumom (różicom) odpowiedich współrzędych tych wektorów; współrzęde iloczyu wektora a przez skalar λ są rówe iloczyowi odpowiedich współrzędych wektora a przez skalar λ

Iymi słowy, jeśli a ( α, α,, α), b ( β, β,, β ), to a± b ( α ± β, α ± β,, α ± β) λ a ( λα, λα,, λα ), Udowodimy, a przykład, że a± b ( α ± β, α ± β,, α ± β) Gdy a ( α, α,, α ), b ( β, β,, β ), to a αa+ αa + + αa ; dlatego: a+ b ( αa + αa + + αa) + ( βa + βa + + βa) ( α + β) a + ( α + β) a + + ( α + β) a Stąd otrzymujemy, że a+ b ( α + β, α + β,, α + β) Tutaj ai α ib + α ib + + α isb - baza przestrzei V s Ie zależości są do udowodieia w podoby sposób PRZYKŁAD Niech F dowole ciało i pewa liczba aturala Rozpatrzymy iloczy kartezjański F F F F, w którym jest czyików Elemetami zbioru F są zbiory skalarów ciała F; jeśli a F, to a ( α, α,, α ) W zbiorze F określimy strukturę przestrzei wektorowej ad ciałem F, W te sposób, jeśli a ( α, α,, α ), b ( β, β,, β ), to założymy: a+ b ( α + β, α + β,, α + β), λ a ( λ α, λ α,, λ α ) Elemet a+ b azywamy sumą elemetów a і b, а λa - iloczyem skalara λ i elemetu а Poprzez sprawdzeie bezpośredie moża się przekoać, że określoe w taki sposób działaia dodawaia i możeia przez skalar spełiają wszystkie aksjomaty przestrzei wektorowej Tak więc, F - przestrzeń wektorowa ad ciałem F Łatwo się rówież przekoać, że zbiór { e, e,, e }, gdzie e (,,,,), e (,,,,),, e (,,,,), jest bazą przestrzei F Tak więc, F - przestrzeń posiada wymiar Jeśli a ( α, α,, α ), to a α e + αe + + αe To zaczy, α, α,, α - współrzęde wektora a w daej bazie Odwzorowaia izomorficze przestrzei wektorowych Niech V przestrzeń wektorowa -wymiarowa a pewym ciele F i {,,, } a a a jej baza Ozaczymy odwzorowaie ϕ przestrzei V w F zgodie z astępującą zasadą: dla b V założymy ϕ( b) ( β, β,, β) F ; β, β,, β - współrzęde wektora b w bazie { a, a,, a } Z lematu 5 wyika, że ϕ( b+ c) ϕ( b) + ϕ( c), ϕ( λb) λϕ( b) Oprócz tego, oczywiste jest, że odwzorowaie ϕ jest bijekcyje OKREŚLENIE 7 Dwie przestrzeie wektorowe U i V a tym samym ciele F azywa się izomorficzymi, jeśli istieje odwzorowaie bijekcyje ϕ przestrzei U w przestrzeń V, które spełia waruki: ) ϕ( a+ b) ϕ( a) + ϕ( b) dla dowolych wektorów a U, b U, ) ϕ( λa) λϕ( a) dla dowolego a U i dowolego λ F Odwzorowaie ϕ azywa się izomorfizmem 4 Właściwości odwzorowaia izomorficzego ) ϕ( ) (tutaj jedakowym symbolem ozaczoe są: zerowy wektor przestrzei U i zerowy wektor przestrzei V) Rzeczywiście ϕ() ϕ( a) ϕ() a, tutaj а dowoly wektor z przestrzei U

) ϕα ( a+ βb) αϕ( a) + βϕ( b) Z waruku określeia przestrzei izomorficzych wyika, że ϕα ( a+ βb) αϕ( a) + βϕ( b) ; z waruku ϕ( αa) αϕ( a) і ϕβ ( b) βϕ( b) wymagaą własość, stąd otrzymujemy ) ϕα ( a + αa + + αa ) αϕ( a ) + αϕ( a ) + + αϕ( a ) Ta właściwość jest łatwa do wyprowadzeia metodą idukcji matematyczej z właściwości 4) Układ wektorów { ( a), ( a),, ( a )} tylko wtedy, gdy jest liiowo iezależy układ wektorów {,,, } Dowód ϕ ϕ ϕ przestrzei wektorowej V jest liiowo iezależy wtedy i Załóżmy a początku, że układ { ( a), ( a),, ( a )} układ wektorów {,,, } a a a w przestrzei U ϕ ϕ ϕ jest liiowo iezależy Musimy udowodić, że a a a jest rówież liiowo iezależy Załóżmy odwrotość Wtedy istieje układ skalarów α, α,, α rówy zero taki, że α a + α a + + α a Wtedy ϕ( αa + αa + + αa ) ϕ( ), z których przyajmiej jede ie jest Stosując własości i odwzorowań izomorficzych, otrzymujemy: αϕ( a ) + αϕ( a ) + + α ϕ( a ), co przeczy liiowej iezależości układu { ( a), ( a),, ( a )} pierwszej części twierdzeia Niech teraz day jest układ wektorów {,,, } wektorów { ( a), ( a),, ( a )} ϕ ϕ ϕ Otrzymaa sprzeczość dowodzi a a a liiowo iezależy Załóżmy, że układ ϕ ϕ ϕ jest liiowo iezależy Wtedy αϕ( a ) + αϕ( a ) + + αϕ( a ), przy czym ie wszystkie a i Zgodie z własością odwzorowań izomorficzych lewa część ostatiej rówości wyosi ( a a a ) ϕ Na skutek bijekcji odwzorowaia ϕ, ϕα α α + + +, a prawa część ( ) a+ a+ + a α α α {,,, }, co jest iemożliwe, gdyż zgodie z warukiem układ wektorów a a a jest liiowo iezależy Właściwość 4 została w pełi udowodioa TWIERDZENIE Warukiem koieczym i wystarczającym do tego, aby dwie przestrzeie wektorowe U i V a tym samym ciele F były izomorficze, jest to, by wymiary przestrzei U i V były jedakowe Waruek koieczy Załóżmy, że przestrzeie U i V są izomorficze oraz ϕ jest odwzorowaiem izomorficzym U a V Jeśli { e, e,, e } baza przestrzei U, to układ wektorów { ϕ ( a), ϕ ( a),, ϕ ( a )} w przestrzei V jest liiowo iezależy a skutek własości 4 Załóżmy, że te układ ie jest bazą przestrzei V Wtedy w przestrzei V istieje wektor y, taki, że układ wektorów { ϕ ( e), ϕ ( e),, ϕ ( e )} jest liiowo iezależy Na skutek suriekcji odwzorowaia ϕ, y ϕ ( a), dla pewego wektora a U W te sposób, układ ϕ( e), ϕ( e),, ϕ ( e ) jest liiowo iezależy Zgodie z warukiem 4, układ wektorów { } { e, e,,, e a } jest rówież liiowo iezależy Jest to iemożliwe, bowiem {,,, } przestrzei U W te sposób, układ wektorów { ( e), ( e),, ( e )} e e e jest bazą ϕ ϕ ϕ maksymaly liiowo iezależy układ wektorów przestrzei V, to zaczy jej baza Dlatego wymiary przestrzei U i V są jedakowe (obie wyoszą ) Waruek wystarczający

Załóżmy, że wymiary przestrzei U i V są jedakowe Niech {,,, } przestrzei U, а {,,, } e e e pewa baza f f f pewa baza przestrzei V Jeśli x - dowoly wektor przestrzei U, to x γe+ γe + + γ e Niech ϕ( x) γ f + γ f + + γ f, f V Tym samym określoo odwzorowaie ϕ przestrzei U w przestrzei V To zaczy, że odwzorowaie ϕ przekształca wektor x U, o współrzędych ( γ γ γ ) e e e w wektor y przestrzei V o tych samych,,, w bazie {,,, } współrzędych w bazie {,,, } f f f Z tej uwagi i z lematu 5 wyika, że ϕ( a+ b) ϕ( a) + ϕ( b), ϕλ ( a) λϕ( a) dla dowolych wektorów a U, b U odpowiedie współrzęde wektorów ϕ( a ) i ( ) wektorów a i b także są rówe i a i dowolego λ F Jeśli ϕ( a) ϕ( b), to ϕ b pokrywają się To ozacza, że odpowiedie współrzęde b W te sposób, odwzorowaie ϕ jest iiekcją Jeśli y jest dowolym wektorem przestrzei V o współrzędych ( λ, λ,, λ ) w bazie {,,, } gdzie x - wektor o współrzędych ( λ, λ,, λ ) w bazie {,,, } f f f, to y ( x) ϕ, e e e Zatem, odwzorowaie ϕ - surjekcja Biorąc pod uwagę powyższe, otrzymamy, że ϕ jest odwzorowaiem izomorficzym przestrzei U a przestrzeń V Twierdzeie zostało w pełi udowodioe Z tego twierdzeia łatwo wywieść, że relacja izomorfizmu przestrzei wektorowych jest zwrota, symetrycza i przechodia, to zaczy jest relacją rówoważą Z przykładu, rozpatrywaego a początku tego paragrafu, wyika, że przestrzeń wektorowa V o wymiarze ad ciałem F jest izomorficza F Jeśli FR, R ciało liczb rzeczywistych, to przestrzeń wektorowa R azywa się -wymiarową arytmetyczą przestrzeią wektorową W taki sposób, dowola - wymiarowa przestrzeń wektorowa ad ciałem liczb rzeczywistych R jest izomorfizmem arytmetyczej przestrzei -wymiarowej Jeśli odejdzie się od kokretej atury wektorów, z których składa się przestrzeń wektorowa V, a wziąć pod uwagę tylko te ich właściwości, które są związae z działaiami dodawaia wektorów i możeia wektorów przez skalar, to izomorficze przestrzeie wektorowe ie różią się Dlatego moża powiedzieć, że z dokładością do zaków, izomorficze przestrzeie wektorowe pokrywają się Uwaga Jeśli ciało F jest ciałem reszty pierścieia modułu liczb całkowitych PF ( ), to przestrzeń wektorowa F zawiera P elemetów Poieważ dowola -wymiarowa przestrzeń wektorowa U ad ciałem Z p jest izomorficza do przestrzei Z p, a odwzorowaie izomorficze ϕ przestrzei U a Z p jest bijekcyje, to przestrzeń U zawiera p Z p jest skończoa i składa się z elemetów elemetów Zatem, -wymiarowa przestrzeń wektorowa ad ciałem 5 Podprzestrzeie OKREŚLENIE 8 Niepusty zbiór W przestrzei wektorowej V ad ciałem F azywa się podprzestrzeią przestrzei V, jeśli W jest przestrzeią wektorową ad polem F względem działań dodawaia wektorów i możeia wektora przez skalar, określoych w przestrzei W TWIERDZENIE Warukiem koieczym i wystarczającym do tego, aby iepusty podzbiór W przestrzei wektorowej V ad ciałem F był podprzestrzeią przestrzei V jest to, by dla dowolych wektorów a W, b W i dowolego skalaru λ F wektory a+ b i λa ależały do W Waruek koieczy Z p

Jeśli W podprzestrzeń przestrzei V, to W razem z dowolymi dwoma wektorami a i b powia zawierać także wektor a+ b W rzeczy samej W, zgodie z określeiem, jest przestrzeią wektorową ad polem F, przy czym suma wektorów w przestrzei W pokrywa się z ich sumą w przestrzei V Zatem, a+ b W i λa W dla dowolego a W i λ F Waruek koieczy został dowiedzioy Waruek wystarczający Niech dla dowolych wektorów a W, b W ależą do W To zaczy, że w zbiorze W są określoe działaia dodawaia wektorów i możeia wektorów przez skalary ciała F Właściwości -8 tych działań z określeia przestrzei wektorowej są spełioe, gdyż są spełioe w całym zbiorze V, którego częścią jest W Twierdzeie zostało w pełi udowodioe OKREŚLENIE 9 Niech V przestrzeń wektorowa ad ciałem F i {,,, } przestrzei V Powłoką liiową układu wektorów {,,, } kombiacji liiowych wektorów tego układu Liiową powłokę wektorów {,,, } La (, a,, a ) LEMAT 6 i dowolego skalara λ F wektory a+ b i λa a a a - skończoy układ wektorów z a a a azywa się zbiór wszystkich możliwych a a a będziemy ozaczać symbolem { α a + α a + + α a,α i F, i,,, } Powłoka liiowa układu wektorów {,,, } a a a, a W maksymalego liiowo iezależego podukładu {,,, k } Oczywiście Lb (, b,, bk ) La (, a,, a ) i b b b tego układu, dlatego że {,,, k }, pokrywa się z powłoką liiową b b b { a, a,, a} drugiej stroy, dowoly wektor x L( a, a,, a ) jest kombiacją liiową wektorów a, a,, a, a każdy wektor a i, i,,,, jest kombiacją liiową wektorów b, b,, b (lemat ) Na skutek k x Lb (, b,, b k ) lematu, x jest kombiacją liiową b, b,, b, to zaczy k W te sposób Lb (, b,, bk ) L( a, a,, a ) Biorąc pod uwagę włączeie odwrote otrzymujemy, że: L( b, b,, bk ) L ( a, a,, a ) Lemat został udowodioy TWIERDZENIE Powłoka liiowa układu wektorów {,,, } podprzestrzeią przestrzei V Wówczas a a a przestrzei wektorowej V ad ciałem F jest Niech W L( a, a,, a ), x W, y W - dowole wektory z W i λ - dowoly skalar ciała F x m m α i a i, y i i m β ia i ; dlatego x + y ( α i + βi ) ai W i λ x λi ai W Na skutek twierdzeia, W L( a, a,, a ) jest podprzestrzeią przestrzei V Okazuje się, że dowola podprzestrzeń przestrzei wektorowej V może być przedstawioa jako powłoka liiowa pewego układu wektorów przestrzei V Istotie, iech W podprzestrzeń przestrzei V i e,,, e e - jej baza Wtedy jest oczywiste, że W L( e, e,, e ) { } Zauważmy jeszcze, że wymiar podprzestrzei W przestrzei wektorowej V ie przewyższa wymiaru V Wyika to z lematu 4 i m i Z

LEMAT 7 Jeśli U i W podprzestrzeie przestrzei wektorowej V, U W, oraz dimu dimw, to UW Jeżeli {,,, } e e e - baza przestrzei U, to a skutek rówości wymiaru podprzestrzei U i V, day układ wektorów jest bazą przestrzei W Dlatego W L( e, e,, e ) U, co ależało udowodić ZADANIE Wykorzystując otrzymae wyiki, obliczymy liczbę wszystkich możliwych baz w przestrzei V - wymiarowej ad ciałem Z p N skutek wiosku z lematu 5, każdy liiowo iezależy układ wektorów przestrzei V moża dodać do bazy całej przestrzei V Dlatego dowolą bazę w przestrzei V będziemy tworzyć w astępujący sposób: ajpierw bierzemy dowoly układ liiowo iezależy, który składa się z jedego wektora { a } Następie zajdujemy dowoly liiowo iezależy układ, który zawiera dwa wektory, z których jede wyosi a : { a, a } Następie tworzymy dowoly układ liiowo iezależy { a, a, a }, który składa się z trzech wektorów i zawiera poprzedi układ { a a }, itd Wektorem a może być dowoly iezerowy wektor przestrzei V Poieważ przestrzeń V zawiera p elemetów, to wektor a moża wybrać a p sposobów Zgodie z właściwością zależości liiowej, układ { a a }, jest liiowo iezależy wtedy i tylko wtedy, gdy a L( a ), to zaczy a V L( a ) Zbiór V L( a ) zawiera p p elemetów (jedowymiarowa podprzestrzeń La ( ) a, a mamy ( p )( p p) możliwości składa się z p elemetów) W te sposób, do wyboru układu { } Udowodimy przy pomocy idukcji według k, że liczba wszystkich możliwych liiowo iezależych układów,,, k k k k k a a a wyosi ( p )( p p)( p p )( p p ) Jeżeli jest to prawdą, to w liiowo k { } iezależym układzie {,,, k, k } V L a a a k a a a a + wektorem a k + może być dowoly wektor ze zbioru k (,,, ) Ostati zbiór zawiera p p elemetów Zatem, układ liiowo iezależy {,,, k k } bazy {,,, } a a a + moża wybrać a ( p )( p p)( p p )( p p k ) sposobów Dlatego do wyboru a a a przestrzei V istieje ( p )( p p)( p p )( p p ) możliwości W trakcie tworzeia otrzymao róże uporządkowae bazy przestrzei V Jeśli bazy, które składają się z tych samych wektorów, lub są uporządkowae w róży sposób, uważać za jedakowe, w całej przestrzei V - wymiarowej ad ciałem Z p istieje p p p p p p p ( )( )( )( )! różych baz ZADANIE Obliczymy ilość różych podprzestrzei k-wymiarowych w przestrzei wektorowej V -wymiarowej ad ciałem Z p Jak wcześiej podao, dowolą podprzestrzeią U k-wymiarową w przestrzei V jest powłoka liiowa liiowo iezależego układu wektorów {,,, k } poprzedim zadaiem istieje ( p )( p p)( p p )( p p k ) {,,, } k a a a : U L( a, a,, a k ) Zgodie z możliwości wyboru układu a a a Przy tym, jeśli L( b, b,, bk ) U, gdzie { b, b,, b k }- iezależy liiowo układ wektorów, to układ te jest bazą podprzestrzei U W te sposób liczba liiowo iezależych układów a,,, a a, których powłoki liiowe pokrywają się z jedą i tą samą podprzestrzeią wymiaru k, rówa k { } się liczbie uporządkowaych baz tej podprzestrzei, to zaczy zgodie z poprzedim zadaiem wyosi ( p k )( p k p)( p k p )( p k p k ) Zatem, ilość wszystkich możliwych podprzestrzei wymiaru k w -wymiarowej przestrzei wektorowej ad ciałem Z p wyosi:

k ( p )( p p)( p p )( p p ) k k k k k ( p )( p p)( p p )( p p ) k+ ( p )( p )( p ) k k ( p )( p )( p ) LEMAT 8 Przecięcie podprzestrzei U i W przestrzei wektorowej V ad ciałem F, rówież jest podprzestrzeią przestrzei V Niech T U B Zbiór Т jest iepusty, bowiem T Jeśli a T, b T - dwa dowole wektory ze zbioru Т, to a U, b U, a więc a + b U, dlatego, że U podprzestrzeń w przestrzei V Rzeczywiście rówież a+ b W A zatem, a+ b T U W Aalogiczie dowodzi się, że dla dowolego wektora a i dowolego skalara λ F, wektor λa F Zgodie z twierdzeiem, Т jest podprzestrzeią przestrzei wektorowej V Zauważmy, że połączeie podprzestrzei U i W przestrzei wektorowej V będzie podprzestrzeią wtedy i tylko wtedy, gdy jeda z ich jest zawarta w drugiej Waruek wystarczający tego twierdzeia jest oczywisty W celu udowodieia waruku koieczego zazaczmy, że jeśli U ie zawiera się w W I W ie zawiera się w U, to istieje wektor a U W i wektor b U W Wtedy a U W, b U W, ale a+ b U W Odpowiedikiem działań połączeia dla przestrzei wektorowej V jest działaie dodawaia podprzestrzei OKREŚLENIE Sumą podprzestrzei U i W przestrzei wektorowej V azywa się zbiór Е wszystkich możliwych typu u+ w, gdzie u U, w W Dla sumy podprzestrzei U i W będziemy używać symbolu U+W TWIERDZENIE 4 Suma podprzestrzei U i W przestrzei wektorowej V ad ciałem F jest podprzestrzeią przestrzei V Poieważ U W, to + U + W Niech a U + W, b U + W, wtedy a u + w, b u + w Dlatego a+ b ( u + w ) + ( u + w ) ( u + u ) + ( w + w ) U + W, poieważ u + u U, w + w W Aalogiczie dowodzi się, że dla dowolego skalaru λ F, λ U + W Na skutek twierdzeia, U+W podprzestrzeń przestrzei wektorowej V Metodą idukcji matematyczej moża obliczyć sumę dowolego skończoego zbioru podprzestrzei przestrzei wektorowej V Nie trudo przy tym udowodić, że działaie dodawaia podprzestrzei jest łącze, to zaczy ( U + U) + U U + ( U + U), gdzie U i - podprzestrzeń przestrzei wektorowej V, і,, TWIERDZENIE 5 Wymiar sumy dwóch podprzestrzei U i W przestrzei wektorowej rówa się sumie wymiarów podprzestrzei U i W mius wymiar przecięcia U W Niech T U W i iech {,,, k } bazę {,,, k } Niech {,,, k,,,, m} e e e baza podprzestrzei Т Z tego, że T U, wyika, że e e e moża włączyć do bazy podprzestrzei U e e e u u u - baza podprzestrzei U Dokładie tak samo moża

e e e w w w podprzestrzei W A zatem, dimu k + m, dimw k+ l, potraktować bazę {,,, k,,,, l} dimu W k W celu dowiedzeia twierdzeia ależy ustaowić, że dim( U+ W) k++ l m Ostatia rówość jest oczywista, jeśli bazą podprzestrzei U+W jest zbiór: {,,,,,,,,,,, k m l} e e e u u u w w w () Udowodimy to Na początku ustaowimy liiową iezależość układu () Niech: α e + α e + + α e + β u + β u + + β u + k k m m + γ w + γ w + + γ w l l Stąd: α e + α e + + α e + β u + β u + β u k k m m - γ w γ w γ w l l Wektor, który zajduje się w lewej części ierówości, ależy do U, a wektor z prawej części rówości ależy do W To zaczy, że oba te wektory ależą do T U W W te sposób, - γ w γ w γ w δ e + δ e + + δ e, e e e baza podprzestrzei Т poieważ {,,, k } l l k k δ e δ e δ e + γ w γ w γ w + + + + + + Z tego, że {,,, k,,,, l} Dlatego k k l l e e e w w w baza podprzestrzei W, otrzymujemy δ δ δk γ γ γl Stąd wyika, że + + + + + + + Poieważ {,,, k,,,, m} α e α e α e β u β u β u k k m m e e e u u u - baza podprzestrzei U, to α α αk β β βm Zatem, w dowolej zerowej kombiacji liiowej wektorów {,, k,,, m,,, l} e e u u w w wszystkie współczyiki rówają się zeru, to zaczy, że day układ wektorów jest liiowo iezależy Z drugiej stroy, dowoly wektor x U + W moża zapisać w postaci u+ w, gdzie u U, w W Z tego, że każdy z wektorów u i w wyraża się liiowo poprzez układ e, e,, e, u, u,, u, w, w,, w wyika, że przez te układ liiowo wyraża się także wektorów { k m l} wektor x Zatem day układ wektorów jest maksymalym liiowo iezależym w przestrzei U+W, to zaczy jest bazą przestrzei U+W OKREŚLENIE Suma podprzestrzei U i W przestrzei wektorowej V azywa się prostą, jeśli U W { } prostej sumy podprzestrzei U i W będziemy używać symbolu U W LEMAT 9 Jeśli S U W, to dim S dimu + dimw Dla Z tego, że U W {}, to dimu W, zgodie z twierdzeiem dim( U W ) dimu + dimw TWIERDZENIE 6 Warukiem koieczym i wystarczającym do tego, by suma podprzestrzei U i W przestrzei wektorowej V była prosta, jest to, by dowoly wektor x U + W moża było przedstawić w jedyy sposób w postaci x u+ w, gdzie u U, w W Waruek koieczy

Jeśli S U W Niech x S ; wtedy x u + w, gdzie u U, w W Załóżmy, że x u + w, gdzie u U, w W Stąd otrzymujemy: u + w u + w, lub u u w w U W ; W te sposób u u w w, a wobec tego u u ; w w Waruek koieczy został udowodioy Waruek wystarczający:, to U W {} Niech dowoly wektor x S U + W moża jedozaczie zapisać w postaci x u+ w, gdzie u U, w W Załóżmy, że a U W Wektor, który ależy do podprzestrzei SU+W moża przedstawić w postaci +, и a+ ( a), przy czym pierwsze składiki w obu rówościach ależą do podprzestrzei U, a drugie - podprzestrzei W Z jedozaczości przedstawieia wektora wyika, że a Twierdzeie udowodioo Pojęcie prostej sumy rozciąga się a sumę trzech i więcej podprzestrzei tak: suma podprzestrzei U, U,, U k przestrzei wektorowej V azywa się prostą, jeśli przecięcie każdej podprzestrzei U i z sumą iych podprzestrzei jest przestrzeią zerową { } Prostą sumę podprzestrzei U, U,, U k,tak jak wyżej, ozacza się poprzez U U U k Rozważając podobie jak w twierdzeiu 6, moża udowodić, że suma S U + U + + U k jest prostą, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor x S był przedstawioy jedozaczie w postaci: x u + u + + u k, ui U, і,,, k 6 Warstwy liiowe OKREŚLENIE Niech U podprzestrzeń przestrzei wektorowej V ad pewym ciałem P i x V Warstwą liiową w przestrzei V azywa się zbiór U+ x, który składa się ze wszystkich możliwych wektorów postaci u + x, u U ; U+ x { u + x u U} Warstwa reprezetuje sobą przesuięcie podprzestrzei U o wektor x Jeśli x U, to warstwa U+ x ie jest podprzestrzeią przestrzei wektorowej V, poieważ w tym przypadku U+ x Oczywiście, jeśli a U+ x, b U+ x, to a b U Oprócz tego, dowoly wektor u U moża przedstawić w postaci różicy dwóch wektorów a U+ x, b U+ x Rzeczywiście, u a b, gdzie a u+ x U+ x, b + x U+ x Stąd wyika, że jeśli dwie warstwy U+ x i W+ y przestrzei wektorowej V są rówe, czyli U+ x W+ y, to UW W te sposób, podprzestrzeń liiowa U, o której mówi się w zaczeiu warstwy liiowej, jest jedozaczie określoa tą warstwą I odwrotie, w miejsce wektora y, który określa warstwa U+ x, moża wziąć dowoly wektor tej warstwy W rzeczy samej, jeśli y U+ x, to y u + x, u U Wtedy u+ y u+ ( u + x) ( u+ u ) + x U+ x, lub U+ y U+ x Z drugiej stroy, jeśli z - dowoly wektor z U+ x, to z u + x, u U Dlatego z ( u u) + ( u + x) ( u u) + y U + y Zatem, U+ x U+ y, a więc U+ x U+ y

4 Macierze i działaia a ich Rozdział 4 Macierze Macierzą wymiaru m x będziemy azywać tabelę, która składa się z elemetów pewego ciała F i zawiera m wierszy i kolum: α α α m Skalary α α α m α α α ij F α m, i,, m, j,,, α F azywają się elemetami macierzy Każdy elemet macierzy zapisuje się przy ij pomocy dwóch ideksów, z których pierwszy wskazuje umer wiersza, w którym zajduje się day elemet, a drugi umer kolumy Oczywiście, wszystkie elemety daego wiersza macierzy posiadają jedakowy pierwszy ideks, a wszystkie elemety daej kolumy jedakowy drugi ideks Macierze będziemy ozaczać dużymi literami łacińskimi - А, В, С itd Będziemy mówić, że macierz А posiada rozmiar m x, jeśli А zawiera m wierszy, kolum W przypadku m macierz А azywa się prostokątą Jeśli m, to macierz А azywa się kwadratową stopia m (m liczba wierszy i kolum macierzy А) Jeśli zae są rozmiary macierzy, to macierz α α α α α α αm αm αm moża zapisać krótko w postaci А(α ij ) Macierze А i В jedakowego rozmiaru m x będziemy azywać rówymi, jeśli rówe istieją odpowiadające sobie elemety tych macierzy; w taki sposób, że: α α α β β β α α α А β β β, В αm αm αm βm βm βm i АВ, to α ij β ij dla dowolych i, j: i,,, m; j,,, OKREŚLENIE 4 Sumą dwóch macierzy А(α ij ) i В( β ij ) jedakowego rozmiaru m x azywa się macierz С(γ ij ) takiego samego rozmiaru m x, której każdy elemet jest rówy sumie odpowiedich elemetów daych macierzy: γ ij α ij + β ij, i,, m; j,,, Działaie dodawaia macierzy ozacza się symbolem + : СА+В Oczywiście, że działaie dodawaia macierzy posiada własości łączości i przemieości: (А+В)+СА+(В+С), А+ВВ+А poieważ te właściwości posiada działaie dodawaia elemetów ciała F Macierz rozmiaru m, której wszystkie elemety są rówe zeru, azywa się macierzą zerową: O

Względem działaia dodawaia macierzy macierz zerowa О jest eutrala, to zaczy dla dowolej macierzy А rozmiaru m sprawiedliwa jest rówość А+ОА Oprócz tego, jeśli ozaczy się przez (-А) macierz, której każdy elemet jest przeciwego zaku iż odpowiedi elemet macierzy А, to oczywiście А+(-А); -А(-α ij ) Macierz - А azywa się macierzą przeciwą do macierzy А Uwaga Działaie dodawaia macierzy różych wymiarów ie jest określoe OKREŚLENIE 4 Iloczyem macierzy А(α ij ) wymiaru m przez skalar λ P, azywa się macierz B wymiaru m, której elemety otrzymao z odpowiedich elemetów macierzy А pomożoych przez skalar λ : В( β ij ), gdzie β ij λ α ij, i,,, m; j,,, Z aalogiczych właściwości działań dodawaia i możeia ad ciałem F łatwo jest wyprowadzić astępujące właściwości działań a macierzach: λμ ( A) ( λμ) ( ) A; λ+ μ A λa+ μa ; λ( A+ B) λa+ λb ; 4 AA Z tych właściwości i przytoczoych wcześiej działań dodawaia macierzy wyika, że: Zbiór macierzy wymiaru m z elemetami ciała F odwzorowuje przestrzeń wektorową ad tym ciałem względem dodawaia macierzy i możeia macierzy przez skalary z ciała F ZADANIE 4 Niech М zbiór wszystkich macierzy wymiaru m ze współczyikami z ciała F Ozaczymy przez E ij, i,,, m; j,,, macierz, w której elemet, który stoi a przecięciu wiersza o umerze i oraz kolumy o umerze j wyosi, a wszystkie pozostałe elemety są rówe zero Wykazać, że zbiór М jest przestrzeią wektorową wymiaru m ad ciałem F, a zbiór macierzy { E ij }, i,,, m; j,,,, jest jego bazą OKREŚLENIE 4 β Niech А ( a, a, a k ) macierz wymiaru k (macierz-wierszowa) i В macierz wymiaru k βk (macierz-kolumowa) Możeiem macierzy А i В azywa się skalar γ, który jest rówy α β + α β + + α k β k α iβ i k i Zwróćmy uwagę, że możeie macierzy-wierszowej przez macierz-kolumową moża przeprowadzić tylko w tym przypadku, kiedy posiadają oe taką samą liczbę elemetów (k elemetów) OKREŚLENIE 44 Niech А(α ij ) macierz wymiaru m k, a В( β ij ) macierz wymiaru k Iloczyem macierzy А przez macierz В azywa się macierz СА В wymiaru m, w której elemet γ ij rówa się iloczyowi wiersza macierzy o umerze i przez kolumę macierzy В o umerze j: UWAGA γ ij α i β j + α i β j + α iβ j + + α ik β kj α ir β rj r k β

Iloczy macierzy А В określoo tylko w takim przypadku, gdy liczba kolum w lewym czyiku А rówa się liczbie wierszy w prawym czyiku В W tym przypadku liczba elemetów dowolego wiersza macierzy А rówa się liczbie elemetów dowolej kolumy macierzy В Z tej uwagi wyika, że jeśli m, to iloczy А В macierzy А wymiaru m k przez macierz В wymiaru k jest określoy, ale iloczy В А ie jest określoy (m ) Jeśli jedak m, ale m k, to określoe są oba iloczyy А В i В А, А В i В А macierze kwadratowe, przy czym macierz А В jest rzędu m, a macierz В А rzędu k Poieważ m k, to macierzy А В i В А porówywać ie wolo Pytaie o rówość А В i В А ie ma sesu Jak to jest przyjęte w tekstach matematyczych, zak możeia będziemy często opuszczać Rozpatrzymy w końcu przypadek, gdy mk, to zaczy А i В macierze kwadratowe rzędu m W tym przypadku АВ i ВА są określoe i obie posiadają rząd m Ale dla m> rówość АВВА w ogólym przypadku ie jest spełioa W rzeczy samej, jeśli A, B AB, BA, i АВ ВА A zatem, działaie możeia w zbiorze macierzy kwadratowych jedakowego wymiaru, jest ogólie biorąc ieprzemiee Zauważmy jeszcze jedą osobliwość operacji możeia macierzy, która demostruje różicę między ią a operacją możeia elemetów ciała, a szczególie: iloczy dwóch iezerowych macierzy może być macierzą zerową Iymi słowy, w zbiorze macierzy kwadratowych są dzieliki zera Zatem w zbiorze macierzy kwadratowych stopia m określoe są działaia dodawaia oraz możeia przez skalar ciała podstawowego, oraz możeia macierzy PRZYKŁAD Rozpatrzmy trzy macierze a ciele R: Wszystkie trzy macierze ie są zerowe, ale EE EE, EE E, EE E, E, E, E E, E E E Na rówi z daymi ieprzyjemymi własościami, to zaczy: ieprzemieością i występowaiem dzielików zera, działaie możeia macierzy posiada tak ważą właściwość, jak łączość działaia (gdy wszystkie działaia możeia są określoe): Udowodimy tę rówość o wymiarze l А(ВС)(АВ)С Niech А(α ij ) macierz o wymiarze m k, а В( β ij ) macierz o wymiarze k l i С( c ij ) macierz Niech p ij - dowoly elemet macierzy АВ o wymiarze m l; wtedy p ij l p is s k r α β ir rj Jeśli σ ij - dowoly elemet macierzy (АВ)С o wymiarze m, to σ ij γ ( α β ) γ l k k l α β γ ( β γ ) α ir rs sj rs sj ir s r r s k l k k ( β γ ) α τ α α τ μ rs sj ir rj ir ir rj ij r s r r sj l k s r ir rj sj

Tutaj τ l β γ rj rs sj s kolumy o umerze j Stąd wyika, że μ elemet macierzy ВС, który zajduje się a przecięciu wiersza o umerze r i k α τ ij ir rj r jest elemetem macierzy А(ВС) z i-ego wiersza oraz j-ej kolumy Z tego, że p ij μ ij dla i,,, m; j,,,, otrzymamy (АВ)СА(ВС), co było do udowodieia Dodawaie i możeie macierzy związae są z prawem rozdzielości: А(В+С)АВ+АСС; (А+В)САСС+ВС Ma się a uwadze to, że wszystkie pokazae w tych rówościach działaia są spełioe Obie rówości są spełioe jedakowo Udowodimy jedą z ich, a przykład pierwszą Niech А( a ij ) macierz wymiaru k m, а В( ij b ) i С( c ij ) macierze wymiaru m Wtedy, jeśli λ ij - dowoly elemet macierzy В+С, to λ ij b ij +c ij Niech α ij, β ij, γ ij - dowole elemety macierzy А(В+С), АВ, АСС odpowiedio Wtedy, z określeia iloczyu macierzy: α m a c γ ij ir rj r m m a λ ij ir rj r m ; β ij ir rj ; Poieważ λ ij b ij +c ij, to α a λ m a ( b + c ) ( a b + a c ) a b + a c β + ir rj rj ir rj ir rj ir rj r r r r m m ir rj ij ij r m a b ij ir rj r γ, a zatem, А(В+С)АВ+АСС Niech А macierz stopia, S + S + + S t, < S i <, i,,, t Rozbijemy macierz А a A A A t A A A t komórki: A, gdzie A ij macierz o rozmiarze S і S j ; oraz j,,, t Oczywiście At At Att A ii - macierz kwadratowa rzędu с Macierze A ij azywają się komórkami macierzy А, a sama macierz А - komórkową B B B t B B B t Niech В macierz rzędu i B - rozbicie macierzy В a komórki, która Bt Bt Btt ma te sam układ co rozbicie macierzy А, to zaczy komórka В ij ma rozmiar Si S j, i, j,,, t Oczywiście, dla dowolych i, j, k,,, t są określoe iloczyy komórek АВ Niech r, r S, r S + S, ri S + S + + S i,, rt S + S + + St LEMAT 4 Iloczy macierzy komórkowych АВ jest macierzą komórkową C C C t C C C t C Ct Ct Ctt gdzie C t A B km kj jm j, ; k, m,,, t

Niech А(α ij ), В( β ij ); rozbijemy macierz САВ a komórki C ij zgodie z takim układem, w którym zostaą rozbite a komórki czyiki А i В, a szczególie rozmiar komórki C ij rówa się S i S, i, j,,, t Niech C km - dowola komórka macierzy С oraz γ uv - jej dowoly elemet, u,,, S k, v,,, S m Poieważ S + S+ + Sk rk, to γ uv jest elemetem wiersza o umerze w rk + u Dokładie także γ uv zajduje się w kolumie macierzy С o umerze z rk + v To zaczy, że zgodie z określeiem iloczyu macierzy А i В, γ uv Ozaczymy przez γ uv p elemet j r p a b wj jz j r p + awj bjz r a b j wj jz r + a b wj j r +, p,,, t Wtedy γ uv γ uv p jz t ++ a b p r t t j r + wj jz (zt ), przy tym ietrudo zauważyć, że γ uv p jest elemetem macierzy A kp B pm, który zajduje się a przecięciu wiersza o umerze u, i kolumy o umerze v Na skutek dowolości ideksów u i v, γ uv t p γ uv p OKREŚLENIE 45, γ uv C km, otrzymujemy C km A B t p kp pm, co ależało udowodić u S k, v S m oraz relacji j i j Macierz kwadratowa D( d ij ) rzędu m azywa się diagoalą, jeśli d ij, і,,, m; j,,, m, Macierz diagoala D posiada astępującą postać: d d D d mm Wszystkie elemety macierzy diagoalej, które zajdują się poza przekątą są rówe zeru (przekątą główą azywa się przekątą macierzy kwadratowej, która łączy jej lewy góry wierzchołek z prawym dolym) Uwaga Oczywiście, w macierzy diagoalej iektóre elemety przekątej główej rówież mogą rówać się zero W szczególości, zerowa macierz kwadratowa (macierz, której wszystkie elemety są rówe zeru) rówież jest diagoala że Jeśli А(α ij ) macierz o wymiarze k m, to poprzez bezpośredie sprawdzeie moża upewić się, αd αd αmd d d md AD α α α α d α d α d mm mm k k k mm W te sposób, przy możeiu macierzy А o wymiarze k m z prawej stroy przez diagoalą macierz D rzędu d, wszystkie elemety j-ej kolumy macierzy А są możoe przez elemet d jj, j,,, m Aalogiczie, jeśli macierz В o rozmiarze m x pomoży się z lewej stroy przez macierz diagoalą D rzędu m, to wszystkie elemety r-go wiersza zostaą pomożoe przez d rr, r,, k OKREŚLENIE 46 Macierz diagoala S azywa się skalarą, jeśli wszystkie elemety jej przekątej główej są rówe

α S α α Przy możeiu macierzy А daego wymiaru a lewo i a prawo przez macierz skalarą S wszystkie elemety macierzy А są możoe przez skalar α: ASαA; SAαA Uwaga Ostatia rówość potwierdza azwę skalara dla macierzy S Macierze skalare w operacji możeia zachowują się jak skalary w operacji możeia przez skalar OKREŚLENIE 47 Macierz diagoala Е azywa się jedostkową, jeśli wszystkie elemety jej przekątej główej są rówe E Poieważ macierz jedostkowa jest skalarą i odpowiedi dla iej skalar α rówa się, to prawdziwa jest rówość ЕАА, ВЕВ (jeśli działaia możeia w daych rówościach są spełioe) W szczególości, jeśli Е jest rzędu m i А dowola macierz kwadratowa takiego samego rzędu, to АЕЕАА, tymi rówościami wyjaśioa jest azwa jedostkowa dla macierzy Е OKREŚLENIE 48 Macierz kwadratowa А azywa się macierzą, która posiada macierz odwrotą, jeśli istieje macierz kwadratowa В taka, że АВВАЕ Przy tym macierz В azywa się odwrotą do macierzy А Oczywiście, jeśli macierz В jest odwrota do macierzy А, to В także jest macierzą, która posiada odwrotą do iej macierz А Dlatego macierze А i В azywają się wzajemie odwrotymi LEMAT 4 Jeśli macierz А posiada macierz odwrotą В, to ta odwrota macierz jest jedya Niech В i С dwie macierze, które są odwrote do macierzy А Wtedy zgodie z określeiem ВААСЕ Dlatego (ВА)СЕСС Z drugiej stroy, (ВА)СВ(АС)ВЕВ Zatem: ВС PRZYKŁAD 4 Macierz diagoala d d D, d mm w której żade elemet przekątej główej ie rówa się zero, posiada macierz odwrotą Т, która ma postać:

d d T d mm Jest oczywistym, że zerowa macierz kwadratowa ie posiada macierzy odwrotej (podobie, jak elemet zerowy w polu ie posiada elemetu odwrotego) Ale także macierz zerowa może ie mieć macierzy odwrotej W sposób bezpośredi moża sprawdzić, że macierz diagoala rzędu m, m>, ie będzie posiadać macierzy odwrotej, jeśli przyajmiej jede elemet jej przekątej główej rówa się zero Koiecze i wystarczające waruki odwrotości macierzy kwadratowej zostaą podae późiej OKREŚLENIE 49 Macierz kwadratowa А(α ij ) o wymiarze m x m azywa się górą (dolą) macierzą trójkątą, jeśli α ij dla i>j (dla i<j), і,,, m; j,,, m W te sposób, jeżeli А jest górą macierzą trójkątą, to А ma postać: α α αm m A α α α mm Aalogiczie, jeśli В dola macierz trójkąta, to: β B β β βm βm βmm Oczywiście, że macierze diagoale i tylko oe, są zarówo macierzami trójkątymi górymi, jak i trójkątymi dolymi Wykażemy, że iloczy dowolej liczby macierzy trójkątych górych (dolych) także jest macierzą trójkątą górą (dolą) Wystarczy sprawdzić to dla przypadku dwóch czyików А i В Niech А(α ij ), В( β ij ) dwie góre macierze trójkąte rzędu m Zgodie z określeiem górej macierzy trójkątej dla i>j, α ij β ij Niech c ij - dowoly elemet macierzy АВ Wtedy c ij Niech i>j Jeśli i>r, to a ir і ab ir rj ; mimo że i<r, to r>i>j і wtedy b rj W te sposób, każdy składik w sumie m r ab ir rj m r ab ir rj jest rówy zeru dla i>j, to zaczy c ij dla i>j Zatem macierz АВ jest górą macierzą trójkątą Aalogiczie dowodzi się odpowiedie twierdzeie dla dolych macierzy trójkątych OKREŚLENIE 4 Niech macierz А( a ij ) posiada wymiar k x m Macierz В( b rs ) o wymiarze m x k azywa się traspoowaą względem macierzy А, jeśli b rs a, s,,, k, r,,, m Macierz, traspoowaą względem macierzy А ozacza się przez A t W taki sposób, jeśli α α A α k α α α k α m α m, to α km t A α α α m α α α m sr α k α k α km

Ma miejsce astępująca własość: (АВ) t В t A t, to zaczy macierz, traspoowaa iloczyu dwóch macierzy, rówa się iloczyowi w odwrotym porządku macierzy traspoowaych czyików Wykażemy tę własość Niech А( a ij ) jest macierzą o wymiarze k m, В( b rs ) macierzą o wymiarze m Jeśli c ij - dowoly elemet macierzy АВ, to c ij m r ab ir rj Niech A t ( u rs ), r,,, m; s,,, k; В t ( v rs ), r,,, ; s,,, m; u rs a sr, v rs b sr Jeżeli liczba wierszy macierzy В rówa się liczbie kolum macierzy А, to liczba kolum macierzy В t rówa się liczbie wierszy macierzy A t Zatem, iloczy В t A t został określoy i jeśli d ij jest dowolym elemetem tego iloczyu, to d ij m t vu it tj m ba t ti jt m a b t jt ti c ij Poieważ wymiary macierzy (АВ) t ( h ij ), h ij c ij oraz macierzy В t A t ( d ij ) są zgode, przy czym h ij c ij d ij, to rówość (АВ) t В t A t została udowodioa 4 Macierze elemetare W poprzedim rozdziale były omówioe macierze Е ij Przypomijmy ich określeie: Е ij to macierz dowolego wymiaru, w której elemet, który zajduje się a przecięciu wiersza o umerze і oraz kolumy o umerze j wyosi, a wszystkie pozostałe elemety są rówe zero Bezpośredio z określeia iloczyu macierzy otrzymujemy, że Symbolem jest ozaczoa macierz zerowa OKREŚLENIE 4, gdy j r E ij E (4) rs E is, gdy j r Macierz kwadratowa А stopia m azywa się elemetarą, jeśli АЕ+ λe ij, gdzie i m, < j < m, i j Będziemy ozaczać АЕ+ λe ij przez F (λ) ij Oczywiście, że dowola macierz elemetara jest albo górą, albo dolą macierzą trójkątą, w której wszystkie elemety główej przekątej rówają się TWIERDZENIE 4 (Podstawowa własość F (λ) ) ij Wyik możeia macierzy F (λ) z lewej przez dowolą macierz А (o odpowiedim wymiarze) jest przekształceiem elemetarym wierszy macierzy А: F Własość 4 ij ij ( λ ) A F ( λ)( A) Sformułujmy bez dowodów iektóre waże własości macierzy elemetarych: F ( λ) F ( μ) F ( λ + μ), w szczególości F ( λ) F ( μ) F ( μ) F ( λ) ij ij ij Własość jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 4 Własość 4 Macierz Fij( λ ) posiada macierz odwrotą Fij ( λ) Własość jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 4 Własość 4 Dla j k ij ij ij ij F ( λ) F ( μ) F ( λ) F ( μ) F ( μλ) ij ki ij ki kj ij

Własość jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 4 Własość 44 F ( μ) F ( λ) F ( μ) F ( λ) F ( μλ) Własość jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 4 Własość 45 ki F ( λ) F ( μ) F ( μλ) F ( μ) F ( λ) ; ij ki kj ki ij ij λ) Fki ( μ) Fki ( μ) Fij ( λ) Fkj ( ( μλ) F ; F ( μ) F ( λ) F ( μλ) F ( λ) F ( μ) ; ki ij kj F ( μ) F ( λ) F ( λ) F ( μ) F ( μλ), j k ki ij Własość jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 4 Własość 46 Własość jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 4 Własość 48 Jeśli D macierz diagoala, D DF ( μ) F ( μγ γ ) D ij ij j i ij ij ki ij ki kj ki ij m γ kekk, γ γ γ m k Własość jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 4 OKREŚLENIE 4 Ozaczmy przez E(i, j) macierz postaci: tu ma się a uwadze, i j, λ Własość 49 E E ii E Z określeia wyika, że L ji ( λ ) ( λ ) Jeśli i j, to L L Własość 4 ij ( ) ( ) m λ ij μ D k jj L ij ( λ ) E(, i j)+ λe λ E ; L ij γ k E kk, gdzie γ i λμ Macierz ormala L ij ( λ ) posiada macierz odwrotą L ij ( λ ) Ta własość jest astępstwem poprzediej Własość 4 Jeśli i j λ ( λ ), to F ij ( ) Własość 4 F F ij ( λ ) L ij ( ) F ij ( λ ) F ( λ ) L ij ( λ) F ij ( λ ) ji ji λ kj, j k, to F ( μ) D DF ( μγ γ ), ij ij i j Będziemy azywać ormalą macierz astępującej ij ji, γ j λ μ, γ k dla k i, k j Własość 4 Jeśli k j, to L ij ( λ) F ik ( μ) L ij ( λ ) F jk ( λ μ) L ij ( λ) F ki ( μ) L ij ( λ ) F ( λμ) kj ; Własość 44

Jeśli k i, i m, k j, j μ, to L ij ( λ) F km ( μ) L ij ( λ ) F km ( μ ) Własość 45 Własość 46 Jeśli D macierz diagoala, D Własość 47 Jeśli k j, to Własość 48 k L ij ( λ) F ij ( μ) L ij ( λ ) ( λ μ) m F ; L ij ( λ) F ji ( μ) L ij ( λ ) F ij ( λ μ) γ, γ γ γ k E kk m ji, to L ij ( λ) DD L ij ( λγ i γ j ) L ij ( λ) L ik ( μ ) L jk ( λ μ) L ij ( λ ); L ij ( λ) L ik ( μ ) L ik ( μ ) L ( λ μ) (4) Jeśli k j, to L ij ( λ) L ki ( μ ) L kj ( λμ) L ij ( λ ); L ij ( λ) L ki ( μ ) L ki ( μ) L kj ( λμ ) kj

Rozdział 5 Rząd macierzy 5 Wierszowy i kolumowy rząd macierzy Niech А macierz o wymiarze m o współczyikach z pewego ciała F Oczywiście, wiersze macierzy А moża rozpatrywać jako wektory przestrzei liiowej F Aalogiczie kolumy tej macierzy moża rozpatrywać jako wektory przestrzei F m Na przykład, jeśli: P, to jej wiersze moża rozpatrywać jako wektory (,,, ), (-,,, ) і (,,, ) w przestrzei R 4 Tak samo kolumy macierzy А są wektorami (, -, ), (,, ), (,, ), (,, ) w R Dlatego będziemy mówić o kombiacjach liiowych wierszy (kolum), ich zależości lub iezależości liiowej, itd OKREŚLENIE 5 Wierszowym rzędem macierzy А azywa się rząd jej układu wektorów-wierszy Aalogiczie określa się kolumowy rząd macierzy А jako rząd jej układu wektorów-kolum TWIERDZENIE 5 Kolumowy (wierszowy) rząd macierzy А ie zmieia się po pomożeiu tej macierzy z lewej i z prawej przez dowolą macierz Н daego wymiaru, która posiada macierz odwrotą Niech А( a ij ) macierz o wymiarze m Ozaczymy przez a a a,,, - jej wektory-kolumy: j a ( mj j j a a a,,, ), j,,, Rozpatrzymy zerową kombiację liiową wektorów a a a,,, : j j a j γ Dowola współrzęda wektora j j a j γ rówa się zero, to zaczy j j a j γ, і,,, m Otrzymae relacje moża zapisać w postaci macierzowej astępująco: A γ γ γ Pomożymy teraz z lewej otrzymaą rówość przez macierz Н rzędu m H A H γ γ γ Oczywiście, H Ozaczywszy iloczy НА przez В oraz stosując łączość iloczyu macierzy, otrzymamy: ( ) HA γ γ γ, B γ γ γ (5)

Liczba kolum w macierzy НАВ rówa się liczbie Ozaczymy przez b, b,, wektorykolumy macierzy В Relacja (5) ozacza, że γ W te sposób, jeśli pewa kombiacja liiowa j j b j wektorów-kolum macierzy А jest zerowa γ, to taka sama kombiacja liiowa wektorów-kolum j j a j macierzy В rówież jest zerowa γ Zgodie z lematem 4, kolumowy rząd macierzy В jest ie j j b j większy iż kolumowy rząd macierzy А Z drugiej stroy АН - В i zgodie z dowodem rząd kolumowy А jest ie większy iż В Zatem, kolumowe rzędy macierzy А i В pokrywają się A więc, rząd kolumowy ie zmieia się przy możeiu macierzy А z lewej przez macierz, która posiada macierz odwrotą Niech teraz САН, gdzie Н( h ij ) macierz rzędu m, która posiada macierz odwrotą Wtedy, jeśli c, c,, c - wektory-kolumy macierzy С, to ci m j h ji a j W taki sposób układ wektorów-kolum macierzy С wyraża się liiowo poprzez układ wektorów-kolum macierzy А Dlatego, zgodie z lematem, kolumowy rząd macierzy С jest ie większy od kolumowego rzędu macierzy А Z tego, że macierz Н posiada macierz odwrotą wyika, że АСН - i zgodie z dowodem kolumowy rząd macierzy А jest ie większy od kolumowego rzędu macierzy С Zatem, ich rzędy kolumowe są rówe Aalogiczie dowodzi się rówości rzędów wierszowych OKREŚLENIE 5 Macierzą stopiowaą będziemy azywać taką macierz А( a ij ) o wymiarze m x, która spełia astępujące waruki: Jeśli ai ai aik, ale a ik, to a lj dla wszystkich l > i і j k; Jeśli wiersz j macierzy А - zerowy, to wszystkie wiersze tej macierzy o umerach większych iż j, są także zerowe PRZYKŁAD 5 Stopiowaą będzie a przykład, macierz: 5 A Macierz zerową także będziemy azywać stopiowaą TWIERDZENIE 5 Rząd wierszowy macierzy stopiowaej jest rówy rzędowi kolumowemu i staowi liczbę iezerowych wierszy tej macierzy Niech А( a ij ) macierz klatkowa o wymiarze m i k liczba wierszy zerowych macierzy А, k m Jeśli k, to macierz А zerowa, a jej rzędy: wierszowy i kolumowy są rówe zero W tym przypadku twierdzeie jest prawdziwe Załóżmy, że k Poieważ układ liiowo iezależy wektorów ie zawiera wektora zerowego, to rząd wierszowy macierzy А ie jest większy od k Aby udowodić, że te rząd rówa się k, ustaowimy liiową iezależość pierwszych k wierszy macierzy А Ozaczymy te wiersze przez k, a ak Niech μ i a i i a,, Załóżmy, że s to taki umer, dla którego a s b, a i dla i<s Zgodie z określeiem macierzy stopiowaej: a js dla wszystkich j> Wyotujemy s-tą współrzędą

wektora μ i a i k k : i μ ia is μ a s, poieważ a js dla j> Z waruku a s otrzymujemy, że i μ Niech już udowodioo, że μ μ μl Założymy, że μ także wyosi zero Niech r, to taka liczba aturala, że a lr, ale a dla і<r, wtedy a ji dla wszystkich j>r, i r Dlatego r-ta współrzęda wektora k i μ i a i wyosi: i li k μ μ + μ a r + μ i a ir ia ir l i ia ir k i Pierwsza suma w prawej części otrzymaej relacji rówa się zero, poieważ μ i dla i<l; ostatia suma także rówa się zero, gdyż a ir dla i> Dlatego μ a r, i poieważ a lr, to μ l W taki sposób, założeie idukcji sprawdziło się i μ μ μk Zatem, układ pierwszych k wektorów-wierszy jest liiowo iezależy a kolumowy rząd macierzy А rówa się k W celu udowodieia tego, że kolumowy rząd macierzy А także rówa się k, rozpatrzymy macierz В, którą otrzymuje się z macierzy А poprzez przestawieie kolum; przy tym koluma macierzy А, która zawiera pierwszy zerowy elemet j-tego wiersza macierzy А, staje się j-tą kolumą macierzy В, j<k; pozostałe kolumy zajdują się w macierzy В po kolumie o umerze k w dowolym porządku A zatem, macierz В ma postać: b b b b b b b B bkk bk, tu b ii dla і,,, k Oczywiście, kolumowe rzędy macierzy А i В są rówe Jest jasym, że kolumy macierzy В wyrażają się liiowo poprzez układ wektorów { e e,, } podstawowe), gdzie e j - wektor w przestrzei, e k przestrzei wektorowej F (F ciało F, którego i-ta współrzęda rówa się Z lematu wyika, że kolumowy rząd macierzy В jest ie większy iż k W celu udowodieia tego, że kolumowy rząd tej macierzy rówa się k, ustaowimy liiową iezależość jej pierwszych k kolum Ozaczymy dae kolumy przez b, b,, i rozpatrzymy zerową kombiację liiową tych wektorów: λ b k Załóżmy, że udowodiliśmy, iż: λ i dla i>s, gdzie s k k i λ i b i : λ k i ib is s i λ + λ s b ss + λ i b is ib is rówa się zero, poieważ ss is k i s+ k i i b i Zapiszemy s-tą współrzędą wektora Pierwsza suma w prawej części otrzymaej relacji b dla i<s; ostatia suma także wyosi zero, poieważ λ i dla i>s Dlatego λ s b, i poieważ b ss, to λ s W te sposób, założeie idukcji jest prawidłowe i λ, λ,, λk Z pokazaych rozważań wyika, że kolumowy rząd macierzy В, a więc i macierzy А, jest rówy k Twierdzeie zostało udowodioe TWIERDZENIE 5 Dowolą macierz А przy pomocy pomożeia z lewej przez elemetare macierze F ij ( λ ) wymagaego wymiaru moża przekształcić w postać stopiowaą Dowód twierdzeia, w istocie, wykoao w rozdziale, w algorytmie rugowaia zmieych Wiosek 5 Wierszowe i kolumowe rzędy dowolej macierzy są rówe

Potwierdzeie wiosku wyika z 5, 5 і 5 OKREŚLENIE 5 Rzędem macierzy А azywa się jej rząd wierszowy (kolumowy) TWIERDZENIE 54 Jeśli А klatkowa macierz kwadratowa, to istieją takie macierze elemetare V, V,, V k, że iloczy AVV jest macierzą diagoalą V k Algorytm przekształceń elemetarych, wymagaych przy diagoalizacji macierzy został przedstawioy w rozdziale TWIERDZENIE 55 Rząd iloczyu macierzy jest ie większy od rzędu poszczególych czyików Wystarczy udowodić twierdzeie dla dwóch czyików Niech САВ, gdzie А( a ij ) macierz o wymiarze k x m, В( b ij ) macierz o wymiarze m x, i С( c ij ) macierz o wymiarze k x Zgodie z określeiem iloczyu macierzy, c ij m s ab is sj Jeśli ustalić ideks i-ty, ale zmieiać ideks j-ty, to skalary c ij będą współrzędymi wektora-wiersza macierzy С o umerze і Stąd wyika, że i-ty wiersz jest kombiacją liiową wierszy macierzy В, m c i s a is b s c i macierzy С і,,, k Zgodie z, rząd macierzy С ie przewyższa rzędu macierzy В Moża rówież udowodić, że kolumy macierzy С wyrażają się liiowo poprzez kolumy macierzy А, to zaczy, że rząd macierzy С ie przewyższa rzędu macierzy А Twierdzeie zostało udowodioe OKREŚLENIE 55 Macierz kwadratowa stopia azywa się ieosobliwą, jeśli jej rząd jest rówy TWIERDZENIE 56 Jeśli А jest ieosobliwą macierzą kwadratową, to istieją takie macierze elemetare UU U r, że UU U r А będzie diagoala Algorytmy przekształceia macierzy do stopiowaej oraz diagoalizacji macierzy, zostały pokazae w rozdziale OKREŚLENIE 56 Dowola macierz diagoala D, która została otrzymaa z macierzy А przez pomożeie macierzy elemetarej, azywa się postacią diagoalą macierzy А LEMAT 5 Jeśli macierz АU U U k, gdzie U i macierz elemetara, to А posiada macierz odwrotą, przy czym A WW W k, oraz W i U k+ i macierz elemetara Poprzez bezpośredie sprawdzeie moża się przekoać, że АW W W k Е, to zaczy macierz WW W k jest odwrota do macierzy А Zgodie z własością, macierz W i jest elemetarą і,,, k Lemat został dowiedzioy

TWIERDZENIE 57 Macierz kwadratowa А stopia posiada macierz odwrotą wtedy i tylko wtedy, gdy macierz А jest ieosobliwa Waruek koieczy Niech macierz А posiada macierz odwrotą Wtedy istieje taka macierz Х, że АХХАЕ Oczywiście rząd macierzy jedostkowej Е wyosi, rząd macierzy А ie przewyższa (w układzie wektorów wierszy macierzy А jest dokładie elemetów) Z drugiej stroy rząd macierzy Е, zgodie z twierdzeiem 55, ie przewyższa rzędu macierzy А Dlatego rząd macierzy А jest rówy oraz А jest ieosobliwa Waruek wystarczający Niech А macierz ieosobliwa Zgodie z twierdzeiem 5, VV V k АD, gdzie D macierz diagoala, w której wszystkie elemetów przekątej główej jest róże od zera (rząd macierzy А jest rówy ) W tym przypadku macierz D posiada macierz odwrotą Niech D macierz, odwrota do macierzy D Wtedy D VV V k АЕ Zatem macierz А posiada macierz odwrotą A DV V V Twierdzeie zostało udowodioe 5 Wyzaczik macierzy OKREŚLENIE 57 Permutacją (podstawieiem) liczb aturalych,,, azywa się tabelę postaci: gdzie i i i i k,, і j j ik dla j k (5) Liczbę azywa się stopiem permutacji (podstawieia) W te sposób, pierwszy wiersz permutacji zawiera wszystkie liczby aturale od do, w porządku rosącym, a drugi wiersz te same liczby, ale w iym porządku Każda permutacja określa odwzorowaie wzajemie jedozacze w sobie Obok termiu «podstawieie» będziemy używać termiu «przestawieie» (oba termiy ozaczają permutację przyp tłum) Tym samym podkreślamy, że drugi wiersz podstawieia (lub przestawieia) moża otrzymać poprzez przestawieie miejscami elemetów pierwszego wiersza O ile w permutacji stopia pierwszy wiersz zawsze jest taki sam, to moża zamiast zapisu (5) zastosować tylko zapis drugiego wiersza - i i i ) ( OKREŚLENIE 57 Permutację typu i j j i azywa się traspozycją (przestawieiem) elemetów (i iych) Traspozycja ozacza zamiaę miejscami dwóch elemetów Oczywiście, moża dokoać dowolego przestawieia, dokoując kolejo kilku traspozycji Nie będziemy tego udowadiać OKREŚLENIE 58 Permutacja i i i ) azywa się parzystą, jeśli moża jej dokoać przy pomocy parzystej liczby ( traspozycji Permutacja ( i i i) azywa się ieparzystą, jeśli moża jej dokoać przy pomocy ieparzystej liczby traspozycji UWAGA Ogólie rzecz ujmując, permutacji moża dokoać, dokoując traspozycji różymi sposobami Dlatego ależy udowodić, że określeie 58 jest poprawe Liczba traspozycji, przy pomocy których moża otrzymać daą permutację, jeśli ie udowodi się czegoś przeciwego, może różić się parami Jedak w teorii permutacji dowodzi się, że określeie parzystości permutacji jest poprawe Wprowadzimy teraz astępujące ozaczeia:

Dla dowolej permutacji i i i ) ozaczymy (, gdy permutacja ( i i i ) parzysta ; ε (5) i i i, gdy permutacja ( i i i ) ieparzyst a Zbiór wszystkich permutacji stopia ozaczymy przez S Nietrudo udowodić metodą dedukcji matematyczej, że liczba elemetów zbioru S rówa się! : S! Niech teraz A α ) macierz o wymiarze OKREŚLENIE 58 ( ij Wyzaczikiem macierzy А azywa się skalar A ε α α α (54) i i i i i ( i i i ) S i Podkreślmy, że wartość wyzaczika jest poprawa tylko dla macierzy kwadratowych Zwróćmy uwagę a lewą część wzoru (54) Wyzaczik macierzy A ozacza się przy pomocy prostego awiasu: A Używa się także symbolu: det(a) Wzór wyzaczika jest sumą, która zawiera! składików Każdy składik jest iloczyem elemetów macierzy А, przy czym każdy z elemetów pochodzi z własego wiersza i z własej kolumy W składiku α i α i α i elemet αi ależy do pierwszego wiersza, elemet αi ależy do drugiego wiersza, przy czym jego koluma ie jest kolumą pierwszego elemetu, elemet α i ależy do trzeciego wiersza, przy czym jego koluma ie jest kolumą ai pierwszego, ai drugiego elemetu, itd Na koiec, każdy składik zajduje się w sumie (54) ze zakiem plus lub mius Jeśli permutacja i i i ) jest parzysta, to składik α α α i i i ( zajdzie się w sumie ze zakiem plus, jeśli ieparzysta ze zakiem mius Rozpatrzymy jako przykład wzór wyzaczika macierzy А: α A α α α α α α α α α α α α α α α α α + + α α α α α α + α α α Aby określić zaki składików, rozpatrzymy! 6 permutacji ideksów (,, ): (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Permutacje (,, ), (,, ), (,, ) są parzyste Odpowiadające im składiki posiadają zak plus Permutacje (,, ), (,, ), (,, ) są ieparzyste Odpowiadające im składiki posiadają zak mius Zatem: det( A) αα α + αα α + αα α α α α α α α α α α Poieważ obliczaie parzystości daej permutacji jest iewygode, zastosujemy wygodiejsze ozaczeie wyzaczika OKREŚLENIE 59 Miorem rzędu k macierzy А azywa się wyzaczik macierzy В o wymiarze k k, który składa się z wyodrębioych k wierszy i kolum macierzy А, rozmieszczoych w takim samym porządku jak i w macierzy А Rozpatrzymy teraz miory rzędu -, które otrzymuje się z macierzy А poprzez wykluczeie pierwszego wiersza i j-tej kolumy А, dla wszystkich j od do Ozaczymy je przez A, A,, A Miory te będziemy azywać miorami pierwszego wiersza TWIERDZENIE 58

det( α α + + + j + A) A A ( ) ja j ( ) A W sumie (54) dla każdego elemetu -go wiersza α + + α (55) α j zgrupujemy wszystkie składiki, które α j zawiera możik Otrzymamy: Det A ) B j j j A, A,, A ( α Nietrudo zobaczyć, że sumy B j z dokładością do zaku są miorami j S podzbiory Aby uściślić zaki składików w sumie (55), rozpatrzymy zbiór wszystkich podstawień S, które zawierają wszystkie podstawieia postaci j, i i i ) dla j,, Zauważmy, że podstawieia z miorze ( j S S S S j S odpowiadają składikowi A jest określoy parzystością podstawieia i i ) ( ( j, i i i ) poprzez rugowaie ideksu j Wstawimy do podstawieia i i ) S Niech α j A j Z drugiej stroy, zak składika w i To podstawieie zostało otrzymae z ( ( i i j i i ideks j a j-te miejsce Poieważ j zajduje się teraz a swoim miejscu, parzystość podstawieia pokrywa się z ( i ) parzystością i i W te sposób przestawiliśmy ideks j z -go a j-te miejsce Poieważ moża to α j A j zrobić przy pomocy j- traspozycji, składiki wchodzą w skład sumy (55) z plusem, jeśli j jest parzyste lub z miusem, jeśli j- jest ieparzyste Twierdzeie zostało udowodioe ) 5 Wyzacziki i przekształceia elemetare Sformułujemy teraz kilka własości wyzaczików, które są bezpośredimi astępstwami określeia (58) Własość 5 t det( A ) det( A ) Nietrudo zauważyć, że wzór wyzaczika (54) ie zmiei się, jeśli traspouje się macierz А Uwagi Z własości 5 wyika, że w teorii wyzaczików wiersze i kolumy macierzy biorą udział w rówym stopiu Jeśli w pewym rzeczywistym stwierdzeiu o wyzacziku macierzy zamiei się słowo wiersz a koluma, to stwierdzeie to pozostaie prawdziwe Własość 5 Jeśli macierz А zawiera wiersz (kolumę) zerowy, to det( A) W tym przypadku każdy ze składików sumy (54) będzie miał w jedym z czyików Własość 5 Jeśli jede z wierszy (kolum) macierzy pomoży się przez skalar α, to wyzaczik tej macierzy zostaie pomożoy przez te skalar Dowód jest oczywisty Własość 54 Jeśli w macierzy są rówe wiersze (kolumy), to wyzaczik tej macierzy rówa się zero

Załóżmy, że w macierzy А są rówe j-ty i k-ty wiersze Rozpatrujemy składiki w określeiu 58: ε i i j k i α i α ji α j ki α k i ε i i k j i α i αki α k ji α j i i Poieważ zgodie z założeiem α α α α i ji j ki k i i ki α α α α α α k j ji ji j i ki k, iloczyy elemetów macierzy w tych składikach są rówe: Następie, przestawieie ideksów jedego ze składików i j moża otrzymać z przestawieia ideksów drugiego j i i j k i To zaczy, że i k j i - Zatem, rozpatrywae składiki możą się Na skutek dowolości rozpatrywaej pary, cała suma (54) rówa się zero Własość 55 Jeśli w macierzy zamiei się miejscami dwa wiersze (kolumy), to wyzaczik macierzy zmiei swój zak a przeciwy Dowód jest aalogiczy do poprzediego Własość 56 Stosując własość 55, moża uogólić wzór (55), rozkładając wyzaczik według miorów i-go wiersza: det( A) j ( ) i+ j α A ij ij (56) Dowód jest bezpośredim astępstwem twierdzeia 58 oraz własości 55 Własość 57 Jeśli a wierszach (kolumach) macierzy dokoa się przekształceia elemetarego F ij (λ), to wyzaczik macierzy ie zmiei się Zastosujemy wzór 56 do i-ego wiersza przekształcaej macierzy А ' det( A) ' det( A) k k ( ) ( ) i+ k i+ k ( α + λα ) A ik jk ik ( α + λα ) A i+ k i ( ) λα jk A ik λ ( ) k ik k jk ik + k i+ k ( ) αik k A ik + i+ k ( ) λαjka det(a ) + α A jk ik k λ i+ k ( ) λαjkaik k ' jedakowymi wierszami i-tym oraz j-tym Dlatego det( A ) det( A) OKREŚLENIE 5 A ' ij ik ;, poieważ suma ta jest wyzaczikiem macierzy z Wyzaczikiem algebraiczym elemetu macierzy kwadratowej A azywa się wyrażeie i+ j ( ) Aij Przy pomocy dopełień algebraiczych moża przekształcić wzór (56): det( A) j α ' ija ij Własość 58 Wyzaczik macierzy diagoalej rówa się iloczyowi jej elemetów diagoalych Dowód jest oczywisty Własość 59 αij (57) ε ε

Suma iloczyów elemetów dowolego wiersza (kolumy) macierzy А i dopełień algebraiczych elemetów drugiego wiersza (kolumy) rówa się zero α Rozpatrzymy sumę ir A ir Niech В macierz, która została otrzymaa z macierzy А poprzez r zmiaę wiersza o umerze j a wiersz o umerze i; ie wiersze macierzy А i В są takie same Wyzaczik macierzy В rówa się zero, bowiem wiersze i-ty i j-ty tej macierzy pokrywają się Z drugiej stroy, dopełieia algebraicze dla odpowiedich elemetów j-go wiersza macierzy А i В rówież są zgode Zgodie z określeiem 5 mamy r α (58) ir A jr Algorytm obliczaia wyzaczika macierzy Własości 5-57 określają algorytm obliczeia wyzaczika macierzy kwadratowej Jest to algorytm diagoalizacji macierzy Zauważmy, że potrzebuje o zaczie miejszych obliczeń, iż algorytm obliczaia zgodie z określeiem, to zaczy: ze wzoru (54) lub (55) TWIERDZENIE 59 Macierz kwadratowa jest ieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyzaczik jest róży od zera Waruek koieczy Jeśli А macierz kwadratowa stopia jest ieosobliwa, to zgodie z określeiem jej rząd (stopień) rówa się, a to zaczy, że wszystkie elemety diagoale w jej postaci diagoalej są róże od zera, poieważ postać diagoala jest macierzą stopiową Wobec tego wyzaczik macierzy A, rówież jest róży od zera Waruek wystarczający Jeśli wyzaczik macierzy kwadratowej А ie rówa się zero, to jej postać diagoala jest macierzą stopiową Poieważ wyzaczik macierzy А ie jest rówy zeru, to w jej postaci diagoalej ie ma wierszy zerowych Zatem jej rząd rówa się i zgodie z określeiem macierz А jest ieosobliwa Twierdzeie zostało udowodioe TWIERDZENIE 5 Wyzaczik iloczyu macierzy rówa się iloczyowi wyzaczików tych macierzy: det( AB ) det( A)*det( B) Dowód Wystarczy tę własość udowodić dla dwóch czyików А i В Jeśli jeda z macierzy jest osobliwa, a przykład А, to zgodie z twierdzeiem 45 osobliwa będzie także macierz АВ Dlatego AB, A B W tym przypadku daa własość jest prawdziwa Niech А i В macierze ieosobliwe Sprowadzimy macierz А poprzez przekształceia elemetare do postaci diagoalej d Kolejość przekształceń elemetarych określa taką macierz L, że LA d Rozpatrzymy macierz LAB Poieważ przekształceia elemetare ie zmieiają wyzaczika macierzy, AB L(AB) (LA)B) Poieważ macierz LA jest diagoala, wystarczy udowodić twierdzeie dla przypadku, gdy macierz А jest d b b b db db db d b b b db db db diagoala d b b b db db db Zgodie z własością 5 przy obliczaiu wyzaczika otrzymaej macierzy skalary wyieść poza wyzaczik jako czyiki: det( A B) d d det( B) det( A) det( B) Twierdzeie zostało udowodioe d,, d moża

Uwagi Wzór det( AB ) det( A)*det( B) jest tożsamością algebraiczą Zatem moża go udowodić porówując jego prawą i lewą części oraz rozpatrując je jako wielomiay ze współczyikami (współczyikami ieokreśloymi) TWIERDZENIE 5 α, ij β ij jako zmieymi Jeśli macierz А posiada macierz odwrotą, to wyzaczik macierzy A rówa się A Poieważ A АЕ і wyzaczik macierzy jedostkowej rówa się, to det( A) det( A ), stąd det( A ) det( A) Twierdzeie zostało udowodioe TWIERDZENIE 5 Rząd macierzy rówa się ajwiększemu z rzędów jej miorów, które ie są rówe zero Niech k rząd macierzy А o wymiarze m x ; k m, k Udowodimy, że dowoly mior macierzy А rzędu większego od k rówa się zero Niech s>k i В macierz o wymiarze s s, która składa się z iektórych s wierszy oraz s kolum macierzy А Poieważ s>k są wierszami macierzy А, z których składa się macierz В, to są liiowo zależe Wtedy oczywiście, wiersze samej macierzy В także są liiowo zależe, a jej wyzaczik rówa się zero Zatem, mior rzędu s>k rówa się zero Udowodimy teraz, że w macierzy А istieje mior rzędu k, który ie rówa się zero Poieważ rząd macierzy А rówa się k, to istieje k wierszy liiowo iezależych macierzy А Zestawimy z ich macierz A ; wymiar macierzy А rówa się k Oczywiście, rząd macierzy A także rówa się k Dlatego w macierzy A zajduje się k liiowo iezależych kolum Zestawimy z tych kolum macierz В o wymiarze k k Rząd macierzy В także wyosi k i zgodie z twierdzeiem 47, jej wyzaczik, który także jest miorem macierzy А k-go rzędu, ie rówa się zero Twierdzeie zostało udowodioe TWIERDZENIE 5 Jeśli А( a ij ) ieosobliwa macierz kwadratowa, A ij dopełieie algebraicze elemetu a ij, to macierz A ma postać: A A A A A A A A A A A (59) a ik k Jeśli A ( u ij ), A A ( t ij ), to zgodie z zasadą możeia macierzy t ij A jk A ; zgodie z (57), (58), t ij, gdy ij oraz t ij, gdy i j Przecież А A E Twierdzeie zostało udowodioe Algorytm obliczaia macierzy odwrotej a u ik kj k Twierdzeie 5 określa macierz odwrotą w postaci jawej, to zaczy określoą wzorem Tym iemiej zastosowaie tego wzoru, jako algorytmu obliczaia macierzy odwrotej ie jest racjoale, bowiem wymaga zaczących obliczeń Jak, praktyczie, wszystkie algorytmy tej książki, tak algorytm odwracaia jest w istocie, algorytmem diagoalizacji macierzy Wymaga zaczie miejszych obliczeń iż

algorytm obliczaia zgodie z określeiem, to zaczy według wzoru (59) W rozdziale podao przykład zastosowaia tego algorytmu Teraz ujmiemy go w postaci ogólej W celu obliczeia macierzy odwrotej do macierzy kwadratowej А, α α α α A α α α α α utworzymy rozszerzeie tej macierzy w postaci: α α α α α α α α α Macierz ta jest wyjściową dla algorytmu Poprzez przekształceia elemetare będziemy przekształcać podstawową (lewą) połowę tej macierzy w macierz jedostkową Jeśli proces diagoalizacji odbędzie się do końca, to w miejsce macierzy wejściowej otrzymamy macierz β β β β β β β β β Wyjście: β β β β β β A β β β W przeciwym przypadku macierz А ie ma macierzy odwrotej

Rozdział 6 Operatory liiowe Niech U skończoa -wymiarowa przestrzeń ad pewym ciałem F OKREŚLENIE 6 Operatorem liiowym, ustaowioym w przestrzei U, azywa się odwzorowaie ϕ przestrzei U w sobie, które spełia astępujące waruki: Dla dowolych wektorów a, a U, ϕ ( a + a ) ϕ ( a )+ϕ ( a ); Dla dowolego a U i dowolego λ F, ϕ ( λ a ) λ ϕ ( a ) PRZYKŁADY ) Niech U dowola przestrzeń wektorowa ad ciałem F i a F Niech ϕ ( u )α u dla dowolego u U ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U ) Niech U zbiór wielomiaów stopia ie wyższego iż ad ciałem liczb rzeczywistych R Niech ϕ ( f( x)) f ' ( x), gdzie f( x) U Z własości działań różiczkowaia wyika, że ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U Najprostsze właściwości operatorów liiowych Jeśli ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U, to ϕ ( ) Rzeczywiście, ϕ ( )ϕ ( a )ϕ ( a ) k ) ϕ ( au i i i k ) aϕ( u ) i i i Wyika bezpośredio z określeia operatora liiowego Własość ozacza, że odwzorowaie operatora liiowego w przestrzei U jest jedozaczie określoe jego odwzorowaiem w bazie przestrzei Co więcej, takie twierdzeie jest słusze TWIERDZENIE 6 Niech { e, e,, e } baza przestrzei wektorowej U ad ciałem F oraz { u, u,, u } dowoly układ wektorów tej przestrzei Wtedy istieje jedyy operator liiowy ϕ przestrzei U, dla którego ma miejsce rówość: ϕ ( e i ) u i, і,,, Niech x U, x dowoly wektor Wtedy x a i e i, założymy, że ϕ ( x ) au i i i i Bezpośredio sprawdza się, że odwzorowaie ϕ przestrzei wektorowej U w sobie odpowiada warukom i określeia wektora liiowego, przy czym ϕ ( e i ) u i, і,,, Zatem, ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U Operator U o daych własościach jest jedyy, co jest oczywiste OKREŚLENIE 6 Jądrem operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei U, azywa się zbiór wszystkich wektorów z U, z których każdy poprzez operator ϕ odwzorowuje się w wektor zerowy TWIERDZENIE 6 Jądro operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei U ad ciałem F, jest podprzestrzeią przestrzei U k k 57

Niech V jądro operatora liiowego ϕ Zgodie z własością, V, to zaczy V zbiór iepusty Jeśli u V, u V, α F, to ϕ ( u + u )ϕ ( u )+ϕ ( u ) ;ϕ (α u )α ϕ ( u ) α Zgodie z twierdzeiem, V podprzestrzeń przestrzei U OKREŚLENIE 6 Defektem operatora liiowego azywa się wymiar jądra tego operatora OKREŚLENIE 64 Obrazem operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei U ad ciałem F, azywa się zbiór S wektorów u U takich, że u ϕ ( a ), dla pewego a U Obraz operatora liiowego ϕ będziemy ozaczać przez Im ϕ {ϕ ( u ) u U } TWIERDZENIE 6 Obraz operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei U ad ciałem F jest podprzestrzeią przestrzei U Im iepusty Niech u Imϕ, u Imϕ, λ F Zgodie z określeiem obrazu operatora liiowego ϕ, w przestrzei U istieją takie wektory v, v, że u i ϕ ( v i ), і, Wtedy u + u ϕ ( v + v ) Imϕ, λ u λ ϕ ( v ) ϕ( λv) Imϕ Zgodie z twierdzeiem, Im ϕ jest podprzestrzeią przestrzei U Zgodie z własością 6 Imϕ, dlatego ϕ OKREŚLENIE 65 Wymiar obrazu operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei U, azywa się rzędem operatora ϕ TWIERDZENIE 64 Suma rzędu i defektu operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei U ad ciałem F, rówa się wymiarowi przestrzei U Niech V jądro operatora liiowego ϕ i { e, e,, e m } - baza przestrzei V; tutaj m defekt operatora liiowego ϕ, m, gdzie wymiar przestrzei U Zgodie z wioskiem 4, bazę podprzestrzei U moża dodać do bazy całej przestrzei U; iech { e, e,, e m f, f,, f m } baza przestrzei U Niech g i ϕ ( f i ), і,,, -m, i udowodimy, że { g, g,, g m }- baza podprzestrzei m i m γ i i m Im ϕ Niech γ i g i ; wtedy γϕ i ( f i ), lub ϕγ ( i f ) i m ϕ( γ i f ) Dlatego γ i i f i V, a zaczy γ i f i i i β e j j, lub j m f i + ( β j ) e j Tak jak{ e, e,, e m f, f,, f m } baza przestrzei U, to j wszystkie współczyiki w otrzymaej kombiacji liiowej rówają się zeru Na przykład, γ γ γ Dlatego układ wektorów { g, g,, g } m m jest liiowo iezależy Niech u Imϕ Wtedy u ϕ ( v ), dla pewego v U ; v λ j e j + α i f i Dlatego m u ϕ ( v )ϕ ( λ j e j + α i f i ) α i g i, poieważ ϕ ( λ j e j ) Zatem, _ maksymalie j m i m i m j m i m j m m i m m i i 58

liiowo iezależy układ wektorów r+m Twierdzeie udowodioe Im ϕ Dlatego rząd r operatora ϕ wyosi -m; r-m Stąd OKREŚLENIE 66 Niech ϕ, ϕ - operatory liiowe, które istieją w przestrzei U ad ciałem F Sumą ϕ +ϕ, różicą ϕ -ϕ, iloczyem λ ϕ przez skalar λ operatora ϕ oraz iloczyem ϕ ϕ operatorów ϕ i ϕ azywa się odwzorowaia przestrzei U w sobie, określoe zgodie ze wzorami dla dowolego u U : ( ϕ + ϕ )(u ) ϕ (u )+ ϕ ( u ); (ϕ -ϕ )( u )ϕ ( u )-ϕ ( u ); ( λ ϕ )( u ) λ ϕ ( u ); (ϕ ϕ )( u )ϕ (ϕ ( u )) TWIERDZENIE 65 Wszystkie odwzorowaia, dae w określeiu 66, są operatorami liiowymi, które istieją w przestrzei U ad ciałem F Udowodimy twierdzeie, a przykład: dla odwzorowaia ϕ ϕ ) Niech λ F, u, u U Wtedy (ϕ ϕ )( u + u )ϕ (ϕ ( u + u ))ϕ (ϕ ( u )+ϕ ( u )) ϕ (ϕ ( u ))+ϕ (ϕ ( u ))(ϕ ϕ )( u )+(ϕ ϕ )( u ) ) ϕ ϕ ( λ u )ϕ (ϕ ( λ u ))ϕ ( λ ϕ ( u )) λ ϕ (ϕ ( u )) λ (ϕ ϕ )( u ) Dlatego ϕ ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U ad ciałem F OKREŚLENIE 67 Niech { e, e,, e } baza przestrzei liiowej U, ϕ - operator liiowy, który istieje w tej przestrzei i ϕ ( e j ) α ij ei, j,,, j m a a a Macierz А( a ij ) a a a azywa się macierzą operatora liiowego ϕ, który istieje w a a a przestrzei U, w bazie { e, e,, e } Z określeia macierzy operatora liiowego ϕ w bazie { e, e,, e } wyika, że kolumy tej macierzy są współczyikami rozkładu wektorów ϕ( e ), ϕ( e ),, ϕ( e ) zgodie z bazą { e, e,, e } TWIERDZENIE 66 Jeśli A i macierz operatora liiowego ϕ, і,, który istieje w przestrzei U, w bazie { e, e,, e }, to macierzami operatorów liiowych ϕ +ϕ, ϕ -ϕ, λ ϕ, ϕ ϕ będą odpowiedio A + A, A - A, λ A, A A 59

Jeśli A ( λ ) macierz operatora liiowego ϕ, w bazie { e, e,, e }, to ij ϕ ( e j ) λ e ij i Symbolami będziemy to zapisywać astępująco: j (ϕ( e ), ϕ( e ),, ϕ( e ))(e, e,, e ) A Aalogiczie, (ϕ( e ), ϕ( e ),, ϕ( e ))(e, e,, e ) A Dlatego ((ϕ +ϕ )( e ),(ϕ +ϕ )( e ),, (ϕ +ϕ )( e )) (ϕ ( e )+ϕ ( e ),ϕ ( e )+ϕ ( e ),, ϕ ( e )+ϕ ( e )) (ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e ))+ +(ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e )) (e, e,, e ) A +(e, e,, e ) A (e, e,, e )( A + A ) Tutaj wykorzystae są własości działań a macierzach, które są zachowae także w przypadku, gdy elemetami macierzy-wiersza są wektory przestrzei U W rezultacie z otrzymaej rówości wyika, że A + A będzie macierzą operatora liiowego ϕ +ϕ Aalogiczie dowodzi się twierdzeia dla operatorów ϕ -ϕ i λ ϕ Rozpatrzmy teraz operatora ϕ ϕ Jeśli A ( λ ij ), A ( μ ij ), (ϕ ϕ )( e k )ϕ (ϕ ( e k ))ϕ ( μ ik ei ) μ ik ϕ( ei ) μ ik i j ik ji i j j j λ ji j e i μ λ e i j ik ji i ( μ λ ) e Jeśli В( β ij ) macierz operatora liiowego ϕ ϕ, to z otrzymaej rówości wyika, że β jk j μik λji Twierdzeie zostało udowodioe, to zaczy ВА А Wyika to z określeia iloczyu macierzy Rozwiążemy teraz astępujące zadaie: Niech { e, e,, e } baza przestrzei U, w której istieje operator liiowy ϕ Zae są współrzęde wektora u w tej bazie Należy zaleźć współrzęde wektora ϕ ( u ) w daej bazie Jeśli (λ, λ,, λ ) współrzęde wektora u w daej bazie, to u λ i e Symbolami moża to i zapisać tak: λ u (e, e,, e λ ) λ k Z własości 6 operatorów liiowych wyika, że: λ ϕ ( u ) λϕ i ( ei ) (ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e )) λ i λ k Niech А macierz operatora ϕ w tejże bazie { e, e,, e } Wtedy: to 6

λ λ ϕ ( u )(ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e )) λ (e, e,, e λ )А λ k λ k Stąd wyika, że współrzęda koluma wektora ϕ ( u ) w bazie { e, e,, e } jest iloczyem macierzy operatora ϕ i kolumy współrzędych wektora u w tej bazie TWIERDZENIE 67 Rząd operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei U, rówa się rzędowi macierzy tego operatora w dowolej bazie przestrzei U Niech { e, e,, e } - pewa baza przestrzei U, А macierz operatora ϕ w tej bazie Oczywiście {ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e )} układ tworzących przestrzei Im ϕ Dlatego poziom operatora ϕ jest rówy poziomowi układu wektorów {ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e )} Niech i λϕ( e ) i i ; wtedy: λ λ (ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e )) λ k λ λ lub (e, e,, e ) А λ k Poieważ { e, e,, } e, baza przestrzei U, to λ λ А λ k Jeśli { a, a,, a } układ wektorów-kolum macierzy А, to z otrzymaej rówości wyika, że λ i ai Oczywiście, że z drugiej współzależości wyika pierwsza Zgodie z lematem 4 i rzędy układów { a, a,, a } i {ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e )} są rówe Twierdzeie zostało udowodioe TWIERDZENIE 68 Niech U przestrzeń wektorowa ad ciałem F, ϕ - operator liiowy, który istieje w przestrzei U Następujące twierdzeia są rówoważe: Odwzorowaie ϕ jest iiekcyje; Defekt operatora ϕ jest rówy zeru; Rząd operatora ϕ rówa się wymiarowi przestrzei U; 4 Odwzorowaie ϕ jest sjurjekcyje 6

Jeśli ϕ odwzorowaie iiekcyje, to jądro ϕ składa się z jedego wektora zerowego Dlatego defekt operatora ϕ rówa się zero Zatem waruek pociąga za sobą waruek Jeśli spełioy jest waruek, to zgodie z twierdzeiem 64 rząd operatora ϕ rówa się wymiarowi przestrzei U, to zaczy z wyika Jeśli spełioy jest waruek, to Imϕ U, przy czym wymiary przestrzei są rówe Dlatego Im ϕ U oraz odwzorowaie ϕ - sjurjekcyje, to rząd operatora ϕ rówa się wymiarowi przestrzei U, to zaczy: defekt ϕ rówa się i odwzorowaie ϕ jest iiekcyje Zatem, z waruku 4 wyika waruek Twierdzeie zostało dowiedzioe Na koiec, wyjaśimy jeszcze jedo zagadieie Niech А macierz operatora liiowego ϕ w bazie { e, e,, e }, В macierz tego operatora w bazie { f, f,, f } W jaki sposób macierze А i В są ze sobą związae? tego, ϕ ( f i ) Niech f i λ ji e j j j, і,,, Jeżeli Т( λ ij ), to ( f f f,,, )(e, e,, e )Т Oprócz λϕ( e ), a więc, (ϕ ( f ),ϕ ( f ),,ϕ ( f ))(ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e ))Т Poieważ ji j { f, f,, f } liiowo iezależy układ wektorów, to Т macierz ieosobliwa, a więc posiada macierz odwrotą Dlatego (e, e,, e )( f, f,, f )T Zatem, (ϕ ( f ),ϕ ( f ),, ϕ ( f ))(ϕ ( e ),ϕ ( e ),, ϕ ( e ))Т (e, e,, e )АТ ( f, f,, f )T АТ ( f, f,, f )В Stąd (,,, )( f, f,, f )(T АТ-В) Poieważ { f, f,, f } baza przestrzei U, to T АТВ Macierz Т azywa się macierzą przejścia od bazy { e, e,, e } do bazy { f, f,, f } Macierz T azywa się macierzą przejścia od { e, e,, e } do { f, f,, f } WYPROWADZENIE: Macierz operatora liiowego ϕ w bazie { f, f,, f } rówa się iloczyowi macierzy przejścia od bazy { f, f,, f } do bazy { e, e,, e } przez macierz operatora ϕ w bazie { e, e,, e } i przez macierz przejścia od { e, e,, e } do { f, f,, f } OKREŚLENIE 68 Niech U przestrzeń wektorowa ad ciałem F, ϕ operator liiowy, który istieje w tej przestrzei Podprzestrzeń W U azywa się ϕ -iezmieą, jeśli ϕ ( u ) W, dla dowolego u W LEMAT 6 Jeśli W ϕ -iwariata podprzestrzeń przestrzei U i { e, e,, e f, f,, f } taka baza przestrzei U, że { e, e,, e } baza podprzestrzei W, to macierz operatora liiowego ϕ w daej A C bazie przestrzei U ma postać klatkową:, gdzie А macierz ograiczeia operatora ϕ w W B w bazie { e, e,, e } Lemat jest oczywisty LEMAT 6 Macierz А posiada postać klatkową: B B 6

Rozdział 7 Układy rówań liiowych W tym rozdziale powrócimy do rozpatrzeia układów rówań liiowych i metodach ich rozwiązywaia w systemie pojęć przestrzei wektorowych Układ rówań liiowych () może być zapisay w postaci macierzowej: A X B (7) a А a am a a a m a x b a, Х x, В b am x b m Przypomijmy, że macierz А azywa się macierzą podstawową układu, Х azywa się kolumą iezaych, a В kolumą wyrazów wolych Rozszerzoa macierz U ma postać a a am a a a m a a a m b b b m Przy pomocy termiów teorii macierzy sformułujemy kryterium rozwiązaia układów rówań liiowych TWIERDZENIE 7 (Kroeckera-Capelli ego) Warukiem koieczym i wystarczającym do tego, aby układ rówań liiowych miał rozwiązaie jest to, by rząd macierzy podstawowej tego układu rówał się rzędowi macierzy rozszerzoej o kolumę wyrazów wolych Waruek koieczy Niech układ rówań liiowych () jest rozwiązywaly Jeżeli (γ, γ,, γ ) jest jego rozwiązaiem, to aikγ k bi, і,,, m W postaci macierzowej moża to zapisać w postaci: k γ AGВ, gdzie G γ k Otrzymaa relacja ozacza, że koluma wyrazów wolych В wyraża się liiowo poprzez kolumy macierzy А Poieważ wszystkie kolumy macierzy А są kolumami macierzy U, to układy wektorów-kolum macierzy А i U są rówoważe Zatem rząd macierzy podstawowej А rówa się rzędowi macierzy rozszerzoej U Waruek dostateczy Załóżmy, że rzędy macierzy A i U są rówe To ozacza, że maksymaly liiowo iezależy układ wektorów-kolum macierzy А jest taki sam, jak i dla macierzy U Dlatego koluma wyrazów γ 6

wolych В jest kombiacją liiową kolum macierzy А Zatem istieją takie liczby γ, γ,, γ, że γ γ А В γ k W te sposób wektor (γ, γ,, γ ) F jest rozwiązaiem układu rówań liiowych () A zatem day układ jest rozwiązywaly Twierdzeie zostało udowodioe Zaim przystąpimy do badaia układu rówań liiowych (), rozpatrzymy ajpierw szczególy przypadek, gdy m, i macierz А jest ieosobliwa Z ieosobliwości macierzy А wyika, że jej rząd jest rówy, dlatego rząd macierzy rozszerzoej U także jest rówy, a day układ jest rozwiązywaly zgodie z twierdzeiem Kroeckera-Capelliego Pomożymy rówość (7) z lewej przez macierz A : A (АХ) A В lub ( A А)Х A В; to zaczy Х A В Z tej rówości wyika, że układ rówań liiowych posiada jedo rozwiązaie Zgodie z twierdzeiem 5: A A A T A A A A T A A C A, gdzie C A ( A ij ) AT AT ATT B Dlatego X A С i А В, і,,,, gdzie B i - macierz, otrzymaa z А poprzez zamiaę A kolumy współczyików przy zmieej i, a kolumę wyrazów wolych В Zatem, jeśli w układzie () m i macierz podstawowa jest rozwiązala, to układ rówań liiowych posiada jedo rozwiązaie, które zapisuje się w postaci wzorów: B x i i, і,, (7) A Wzory (7) azywa się wzorami Cramera Wzory te są iewygode do praktyczego rozwiązywaia układu rówań liiowych, ale mają zaczeie teoretycze W praktyce, w celu poszukiwaia rozwiązaia układu rówań liiowych używa się metody rugowaia zmieych, przedstawioej w rozdziale Metodę tę azywa się metodą Gaussa Rozpatrzymy układ, otrzymay z () poprzez wykluczeie zmieej x : ax + a x + + a x b ' ' ' a x + + a x b (7) ' ' ' a x + + a x b W postaci macierzowej wykluczeie zmieej x z -ej rówości moża realizować poprzez pomożeie rówości (7) z lewej przez macierz elemetarą F ( a a ) Jeśli a, to moża przestawić rówość, wziąwszy za pierwszą tę rówość, w której współczyik przy x ie rówa się zero Przy pomocy metody Gaussa rozwiązaie układu rówań liiowych z zmieymi sprowadza się do rozwiązaia tego układu z (-) zmieymi Przejdziemy do ogólego przypadku układu rówań liiowych (), to zaczy do przypadku, gdy m i - wole TWIERDZENIE 7 Zbiór rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych z zmieymi jest podprzestrzeią przestrzei liiowej F 64

Niech ( λ, λ,, λ ), ( μ μ μ,,, ) dwa rozwiązaia układu jedorodych rówań liiowych z macierzą podstawową А( a ij ), i,,, m, j,,, Zgodie z określeiem rozwiązaia rówaia mamy: λ μ λ А μ, и А λk μk λ + μ λ μ λ μ А λ + μ А λ + μ λ А μ + А + λ k + μ λ k μ k λk μk W te sposób, suma dwóch rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych poowie będzie rozwiązaiem tego układu Aalogiczie dowodzi się, że iloczy wektora rozwiązaia ( λ, λ,, λ ) przez skalar γ F także będzie rozwiązaiem daego jedorodego układu rówań liiowych Zgodie z twierdzeiem zbiór wszystkich rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych z zmieymi jest podprzestrzeią F Twierdzeie zostało udowodioe TWIERDZENIE 7 Wymiar przestrzei rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych rówa się -r, gdzie liczba zmieych, a r rząd macierzy podstawowej układu Niech А macierz podstawowa układu jedorodych rówań liiowych, r jej rząd Jeśli,,, ) rozwiązaie układu () to ma miejsce rówaie: ( λ λ λ λ λ λ А λ λk λk Niech { e (,,,), e (,,,),, e (,,,) } baza przestrzei wektorowej m F i ϕ operator liiowy, który istieje w tej przestrzei, przy czym macierz operatora ϕ w daej bazie rówa się А Ze związku (74) wyika, że każde rozwiązaie układu rówań liiowych () ależy do jądra operatora ϕ Zgodie z twierdzeiem 67 rząd operatora liiowego ϕ rówa się rzędowi macierzy А, to zaczy wyosi r Z drugiej stroy, zgodie z twierdzeiem 64, defekt operatora ϕ rówa się -r Potwierdzeie daego twierdzeia wyika z tego, że defekt operatora ϕ rówa się wymiarowi przestrzei rozwiązań układu () OKREŚLENIE 7 Fudametalym układem rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych azywa się bazę przestrzei rozwiązań tego układu Z poprzediego twierdzeia wyika, że fudametaly układ rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych zawiera -r rozwiązań, gdzie liczba zmieych, а r rząd podstawowej macierzy układu (74) 65

Zadaie fudametalego układu rozwiązań określa całą przestrzeń rozwiązań Dlatego zadaie wyszukaia zbioru wszystkich rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych sprowadza się do zalezieia fudametalego układu rozwiązań Krótko opiszemy proces zajdywaia fudametalego układu rozwiązań układu jedorodego АХ, w którym rząd А rówa się r ) Sprowadzamy macierz А do postaci stopiowaej przy pomocy przekształceń elemetarych, to zaczy poprzez pomożeie jej z lewej przez macierz U, która posiada macierz odwrotą: UAXU; (UA)X ) Macierz UA zawiera r wierszy zerowych Zatem układ (UA)X faktyczie zawiera r ietrywialych rówości Oprócz tego jest rówosily z daym układem АХ ) Macierz UA zawiera mior r-go rzędu, róży od zera Pozostawimy w lewych częściach rówości układu (UA)X tylko te zmiee, przy których współczyiki wchodzą w skład mioru r-go rzędu, który ie rówa się zero Ie (-r) zmiee przeiesiemy do prawej części rówości i azwiemy te zmiee wolymi 4) W otrzymaym układzie będziemy adawać (-r) wolym zmieym dowole wartości Poieważ macierz, która składa się ze współczyików przy r zmieych w lewej części, jest kwadratowa i ieosobliwa, to dla dowolych wartości wolych zmieych przekształcoy układ posiada jedo rozwiązaie 5) Fudametaly układ rozwiązań tworzymy w astępujący sposób: przypisując pierwszej ze zmieych wolych wartość, a iym wartości zerowe, otrzymujemy pierwsze fudametale rozwiązaie; potem wartość adajemy drugiej wolej zmieej, a pozostałym wartość zerową; to będzie drugie rozwiązaie fudametale, itd Poieważ wolych zmieych jest (-r), to w opisay sposób otrzymamy (-r) rozwiązań Moża łatwo ustaowić liiową zależość otrzymaego układu rozwiązań Niech teraz day jest iejedorody układ rówań liiowych АХВ () Układowi (7) przypiszemy odpowiedio jedorody układ rówań liiowych АХ (75) Przypomimy teraz twierdzeia 9, Z tych twierdzeń wyika, że dowole rozwiązaie układu rówań liiowych () może być otrzymae jako suma pewego zazaczoego rozwiązaia tego układu i dowolego rozwiązaia odpowiediego układu jedorodego (75) W taki sposób, zbiór rozwiązań układu iejedorodego (7) jest warstwą liiową 66

Rozdział8 Wektory włase operatora liiowego W rozdziale 6 Operatory liiowe został ustaowioy związek pomiędzy macierzami tego samego operatora liiowego, który istieje w przestrzei U ad ciałem F w różych bazach W związku z tym wyika problem zalezieia bazy przestrzei wektorowej U, w której macierz operatora liiowego ϕ miałaby ajprostszą postać W rozwiązaiu postawioego zadaia dużą rolę pełi pojęcie wektora własego OKREŚLENIE 8 Skalar λ F azywa się wartością własą operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei wektorowej U ad ciałem F, jeśli w przestrzei U istieje taki iezerowy wektor u, który ϕ ( u ) λ u W takim przypadku wektor u azywa się wektorem własym operatora liiowego ϕ, który ależy do wartości własej λ Zauważmy, że wektory włase operatora liiowego ϕ, to wektory iezerowe W celu zalezieia wektorów własych operatora liiowego ϕ zadamy w przestrzei U dowolą bazę { e, e,, e } Niech u (γ, γ,, γ ) wektor własy operatora ϕ, który ależy do wartości własej λ ; γ, γ,, γ współrzęde wektora u w daej bazie Wtedy ϕ ( u ) λ u ( λγ, λγ,, λγ ) Jeśli А macierz operatora liiowego ϕ w daej bazie, to λγ γ γ γ λγ γ А γ, lub λ Е γ А, λγ k γ k γ k γ k γ γ ( λ Е-А) γ k Poieważ wektor (γ, γ,, γ ) u, to rząd macierzy ( λ Е-А) jest miejszy iż A zatem, wyzaczik macierzy kwadratowej ( λ Е-А) rówa się zeru Niech x zmiea Rozpatrzmy macierz (хе-а) Nietrudo ustalić, że wyzaczikiem хе-а macierzy (хе-а) jest wielomia stopia zmieej х; f(x) хе-а Przecież wartość własa λ operatora ϕ jest pierwiastkiem rówaia f(x) Jeśli { f, f,, f } pewa ia baza przestrzei U i Т macierz przejścia z bazy { e, e,, e } do bazy { f, f,, f }, to macierz operatora liiowego ϕ w bazie { f, f,, f } rówa się T AT Dlatego: хе T AT T (хе)т T AT T (хе-а)т, gdyż macierz skalarów хе jest przestawiala z dowolą macierzą; a zatem, хе T АТ T (хе-а)т T хе-а Т хе-а f(x) Tu skorzystaliśmy z zasady obliczaia wyzaczika iloczyu macierzy Zatem udowodiliśmy, że wielomia f(x) хе-а, gdzie А macierz operatora ϕ w daej bazie, ie zależy od wyboru bazy OKREŚLENIE 8 Niech ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U ad ciałem F i А macierz tego operatora w dowolie wybraej bazie Wielomia f(x) хе-а azywa się wielomiaem 67

charakterystyczym operatora liiowego ϕ, a rówaie f(x) azywa się rówaiem charakterystyczym tego operatora Z podaych wyżej pojęć wyika, że wartości włase operatora liiowego ϕ są pierwiastkami jego rówaia charakterystyczego Z tego powodu azywa się je także liczbami charakterystyczymi operatora liiowego ϕ Algorytm obliczeia wektorów własych { Do zajdywaia współrzędych wektorów własych operatora liiowego ϕ w bazie e, e,, e } przestrzei U ależy: Zestawić rówaie charakterystycze f(x) operatora liiowego ϕ ; Zaleźć pierwiastki rówaia charakterystyczego, które ależy do ciała F; będą to wartości włase operatora liiowego ϕ ; Dla każdej wartości własej λ operatora ϕ zajdujemy współrzęde wektorów własych tego operatora, które ależą do wartości własej λ ; w tym celu ależy rozwiązać układ rówań (8) γ γ ( λ Е-А) (8) γ k gdzie А macierz operatora liiowego ϕ w wybraej bazie, (γ, γ,, γ ) wiersz współrzędych wektora własego w tej bazie Poieważ rząd macierzy λ Е-А jest miejszy iż, to układ (8) posiada iezerowe rozwiązaie W rzeczywistości wystarczy zaleźć fudametaly układ rozwiązań jedorodego układu rówań liiowych (8) 68

Rozdział 9 Macierz Jordaa Przystąpimy teraz do tworzeia ajprostszej formy macierzy operatora liiowego ϕ, który istieje w przestrzei wektorowej U ad ciałem F Załóżmy, że wszystkie pierwiastki rówaia charakterystyczego operatora liiowego ϕ ależą do ciała F TWIERDZENIE 9 (Hamiltoa-Cayley a) Jeśli f(x) wielomia charakterystyczy operatora liiowego ϕ, to f(ϕ ) Uwaga W rozdziale Operatory liiowe zostały określoe termiy: suma, różica, iloczy operatorów liiowych (a więc i potęgi aturale daego operatora liiowego) oraz iloczy operatora liiowego i skalara Dlatego wartość wielomiau zależy od operatora liiowego Oprócz tego, z własości k m m k m k łączości możeia odwzorowań wyika, że ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + Dlatego dla dowolych wielomiaów f(x) i g(x) ad ciałem F, f(x)g(x) g(x)f(x) Będziemy udowadiać twierdzeie idukcji, według wymiaru przestrzei U Jeśli wymiar U rówa się, to baza przestrzei U składa się z jedego wektora a Dlatego wielomia charakterystyczy f(ϕ ) operatora ϕ w tym przypadku rówa się x λ ; f(x) x λ A zatem: f(ϕ )ϕ λ ; f(ϕ )( a )(ϕ λ )( a )ϕ (a )- λ a λ a -λ a Poieważ operator liiowy f(ϕ ) przekształca w wektor zerowy wektor bazowy a, to f(ϕ ) Dla twierdzeie jest prawdziwe Załóżmy, że twierdzeie jest prawdziwe dla operatora, który istieje w przestrzei o wymiarze Niech teraz operator liiowy ϕ istieje w przestrzei U ad ciałem F, której wymiar wyosi (+) Niech λ dowoly pierwiastek wielomiau charakterystyczego operatora ϕ Zgodie z warukiem λ F Jak widać z poprzediego rozdziału w U istieje wektor własy a, który ależy do wartości własej λ ; ϕ ( a ) λ a Niech f(x) wielomia charakterystyczy operatora liiowego ϕ Wtedy f(x) ( x λ )g(х), gdzie g(х) wielomia stopia Załóżmy, że {, e,, e, a} e baza przestrzei U, która zawiera w sobie wektor własy a Na skutek lematu 6, macierz operatora ϕ posiada w tej bazie postać: B A μ μ λ Wtedy: f(х) xe-a xe B ( x λ ) хе-в μ - μ λ zgodie z własością wyzaczików Z drugiej stroy, f(x)( x λ )g(х); dlatego g(х) хе-в Niech VL( e, e,, e ), ozaczymy przez ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei V i w bazie { e, e,, e } posiada macierz В Zgodie z założeiem idukcji, g(ϕ ), poieważ g(х) хе-в wielomia charakterystyczy operatora ϕ Na skutek twierdzeia 85 macierz operatora g(ϕ ) w bazie { e, e,, e } rówa się g(в) Stąd zgodie z zasadą działaia a macierzach komórkowych otrzymamy: 69

g( B) g ( A) v v v + v v v + W te sposób, g(ϕ )( e i ) v i a, і,,, ; dlatego f(ϕ )( e i )(ϕ λ )g(ϕ )( e i )(ϕ λ )( v i a) v i (ϕ ( a)- λ ( a) v i ( λ a- λ a) Oprócz tego, oczywistym jest: f(ϕ )( a ) g(ϕ )(ϕ λ )( a ) Zatem f(ϕ ) wszystkie wektory bazowe przestrzei U odwzorowują wektor zerowy, to zaczy f(ϕ ) Założeie idukcji zostało potwierdzoe Twierdzeie zostało dowiedzioe Poieważ wszystkie pierwiastki wielomiau charakterystyczego operatora liiowego ϕ ależą do ciała F, to k f(x)( x ) S S S λ ( x λ ) ( x λk ) k, si Uwaga Twierdzeie Hamiltoa-Cayley a jest prawdziwe i w tym przypadku, gdy ie wszystkie pierwiastki wielomiau charakterystyczego operatora ϕ ależą do ciała F Poday wyżej dowód dla tego przypadku powiie zostać zmodyfikoway w astępujący sposób: ciało F ależy rozszerzyć a ciało К, przyłączając do iego wszystkie wartości włase operatora liiowego ϕ oraz uwzględiając, że operator ϕ istieje w przestrzei wektorowej W ad ciałem К, której baza pokrywa się z bazą daej przestrzei wektorowej V Korzystając z tego, że f(ϕ ) jako operator, który istieje w przestrzei W, rówa się A zatem: f(ϕ ) w przestrzei V, której elemety odwzorowują podzbiór zbioru W OKREŚLENIE 9 i Niech λ pierwiastek wielomiau charakterystyczego f(x) operatora liiowego ϕ, λ F Podprzestrzeią pierwiastkową operatora liiowego ϕ, który odpowiada pierwiastkowi λ, azywa k się zbiór V wszystkich wektorów a U takich, że ( ϕ λ ) ( a ) dla pewej liczby aturalej k Zbiór V jest podprzestrzeią przestrzei wektorowej U, co ietrudo dowieść przy pomocy twierdzeia, to potwierdza termi podprzestrzeń pierwiastkowa LEMAT 9 Jeśli ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U i h(x) dowoly wielomia, to Im( ( ϕ)) ϕ - iezmieiczą podprzestrzeią przestrzei U h jest Niech u Im( h( ϕ)) ; wtedy u h( ϕ ) (v ), v U Dlatego ϕ ( u )ϕ (h( ϕ ) (v )) h( ϕ ) х хϕ ( v ) Imϕ, co ależało udowodić LEMAT 9 Podprzestrzeie pierwiastkowe operatora liiowego ϕ są ϕ podprzestrzeiami iezmieiczymi Niech V podprzestrzeń pierwiastkowa operatora liiowego ϕ, odpowiadająca pierwiastkowi λ wielomiau charakterystyczego f(x) operatora ϕ Jeśli u V to 7

( ϕ λ E) m (ϕ ( u ))ϕ (( ϕ λ E) m ( u )), to zaczy ϕ ( u ) V, co ależało udowodić własej λ i Niech V i - podprzestrzeń pierwiastkowa operatora liiowego ϕ, który odpowiada wartości TWIERDZENIE 9 Przestrzeń wektorowa U ad ciałem F, w której istieje operator liiowy ϕ, rozkłada się a prostą sumę podprzestrzei pierwiastkowych operatora ϕ Niech f(x) ( x λ ) k i i S i wielomia charakterystyczy operatora liiowego ϕ Będziemy udowadiać twierdzeie idukcji według liczby k różych pierwiastków wielomiau f(x) Jeśli k, to a skutek twierdzeia Hamiltoa-Cayley a, cała przestrzeń U jest podprzestrzeią pierwiastkową, odpowiadającą jedemu pierwiastkowi f(x) Dlatego U jest prostą sumą jedego składika Załóżmy, że twierdzeie jest prawdziwe dla wartości k Udowodimy jego prawdziwość dla przypadku, kiedy liczba wartości własych rówa się k+ Niech S S S k S k + f(x)( x λ) ( x λ) ( x λk ) ( x λk + ) ; zaczymy przez g(х) wielomia S S S ( x λ) ( x λ ) ( x λk ) k S, a przez h(х) wielomia ( x k ) k + λ + Wtedy f(x) g(х)h(х); wskutek twierdzeia Hamiltoa-Cayley a f(ϕ ), to zaczy g(ϕ)h(ϕ) (9) Z drugiej stroy g(х) i h(х) wielomiay wzajemie proste Dlatego istieją wielomiay p(х) i r(х) takie, że p(х) g(х)+ h(х)r(х) Podstawiając do tej tożsamości operator ϕ zamiast х otrzymamy: p(ϕ ) g(ϕ )+ h(ϕ )r(ϕ ) e (9), Gdzie е operator tożsamościowy, który istieje w przestrzei U Niech V { g( ϕ )( u) u U }, W { h( ϕ )( u) u U } Poieważ V i W odwzorowia operatorów liiowych h(х) i g(х), to zgodie z twierdzeiem 6, V i W podprzestrzeie U Udowodimy, że V W {} (patrz: (9)) Rzeczywiście, x е x p(ϕ )g(ϕ ) x +h(ϕ )r(ϕ ) x p(ϕ )( )+r(ϕ )( ) Zatem, x и U W {} Oprócz tego, x е x p(ϕ )(g(ϕ )x )+r(ϕ )(h(ϕ )x )p(ϕ )v +r(ϕ )w, v V, w W Na skutek lematu 7, p(ϕ ) v v V,r(ϕ ) w w W Zatem, x V + W a poieważ U W {}, to U V W Jeśli v V, to v g(ϕ )(u), u U i a skutek (9), h(ϕ )g(ϕ )(u) h(ϕ )( v ) Z drugiej stroy, jeśli h(ϕ )( x ), to z relacji: x p(ϕ )g(ϕ )( x )+r(ϕ )h(ϕ )( x ) otrzymamy: x g(ϕ )(p(ϕ ) x ) V Zatem, V podprzestrzeń pierwiastkowa operatora ϕ, odpowiadająca pierwiastkowi λ k + Z drugiej stroy, W ϕ -podprzestrzeń iezmieicza (iwariata) Tak jak w dowodzie twierdzeia Hamiltoa-Cayley a, moża pokazać, że g(ϕ ) - wielomia charakterystyczy ograiczeia operatora ϕ w W Zgodie z założeiem idukcji W W W W k, gdzie W i podprzestrzeń pierwiastkowa operatora ϕ, odpowiadająca pierwiastkowi λ i ; i,,, k Wobec tego U V W W W k, co ależało udowodić Jeśli za bazę przestrzei U wziąć sumę baz podprzestrzei pierwiastkowych operatora ϕ, to w daej bazie będzie mieć postać komórkową: 7

A A A A k gdzie A i macierz ograiczeia operatora ϕ w podprzestrzei pierwiastkowej, odpowiadającej pierwiastkowi λ i ; и,,, k Dlatego zadaie zajdywaia bazy, w której macierz operatora liiowego ϕ posiadałaby prostszą postać, sprowadza się do aalogiczego zadaia dla podprzestrzei pierwiastkowych Zatem, iech U przestrzeń, ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U, przy czym wielomia charakterystyczy f(х) ( x ) λ Rozpatrzymy a początku przypadek, kiedy w przestrzei U istieje taki wektor u, który ( λe) i ϕ ( u) Niech u u, u i ( ϕ λe) ( u ), i,,, - Pokażemy, że { u, u,, u } baza przestrzei U W tym celu wystarczy ustaowić liiową iezależość daego i układu wektorów Niech α Na skutek twierdzeia Hamiltoa-Cayley a ( ϕ λe) ( u ) i u i Dlatego dla i> ( λe) ( u i ) + i ϕ ( λe) ( u ) ϕ Z drugiej stroy ϕ λe) ( u ) u zgodie z warukiem Stąd ( ϕ λe) ( α ) α u ; ( dlatego α Zatem: α ; stosując do tej relacji operator ( ϕ λ ) i iu u i i iu u i e, otrzymamy α Powtarzając te proces, będziemy mieli: α, α,, α Zatem: {, u,, u } baza przestrzei U W tej bazie macierz operatora ϕ ma postać: λ A λ λ λ λ u Macierz daej postaci azywa się klatką Jordaa Wykażemy teraz, że jeśli U podprzestrzeń pierwiastkowa operatora ϕ, to w ogólym przypadku macierz ϕ w pewej bazie ma postać: Jeśli B B B k gdzie B i - klatka Jordaa i,,, k Daa macierz azywa się jordaowską Zatem, iech ( ϕ λe) S, ( ϕ λ ) e S ; s< (przypadek s rozpatrzoy był powyżej) u U jest takim wektorem, który ( ϕ λe) S ( u ), to iech u i ( ϕ λe) i ( u ), i,,,s- Powyżej ustaowioo, że układ wektorów { u, u,, u s} jest liiowo iezależy 7

Niech VL { u, u,, u s} Oczywiście L ϕ - iezmieicza podprzestrzeń przestrzei U Niech W ϕ - iezmieicza podprzestrzeń w U o maksymalym wymiarze, która spełia waruek V W {} Wykażemy, że U V W W tym celu wystarczy ustaowić, że UV+W Jeśli to ie jest spełioe, to w U istieje taki wektor x, który x V + W, ale ( ϕ λe)( x) V + W Poieważ ( ϕ λe)( x) V + W, to ( ϕ λe )( x) v + l, v V, l W Mamy ( ϕ λe) S S (( ϕ λe)( x ) )( ϕ λe) ( x), ( e) s ϕ λ ( v + l) ( λe) S S ϕ ( l) +( ϕ λe) ( v) Poieważ V i W ϕ - iezmieicze podprzestrzeie oraz V W {}, to ( ϕ λe) S ( v), dlatego v γ i u i ; w te sposób s u i v ( ϕ λe ) ( γ i i ) ( λe)( v) s u i ϕ, gdzie v γ i i V Wobec tego ( ϕ λe)( x ) ( ϕ λe )( v) + l, lub ( ϕ λe)( x v ) W, ale ( x v ) V + W Rozpatrzymy podprzestrzeń TL( f,, f k x v ), gdzie f,, f } baza podprzestrzei W Oczywiście T, { k W, ale T W, bowiem ( x v ) W Z drugiej stroy ( ϕ λe)( x v ) W, to zaczy ϕ ( x v )- λ ( x v ) W T, lub ϕ ( x v ) T Oprócz tego: ϕ( f i ) W T, i,,, k wskutek ϕ - iezmieiczości podprzestrzei W Przecież Т także ϕ - podprzestrzeń iezmieicza oraz V {} s i T Rzeczywiście, jeśli g T V, to g α( x v ) + β k i i u i Współczyik α, w przeciwym razie ( x v ) V + W Poieważ α, to g V W {}, to zaczy g Zatem, Т ϕ - podprzestrzeń iezmieicza, T V {} i wymiar Т jest większy od wymiaru W Przeczy to wyborowi podprzestrzei W Zatem: U V W Poieważ wymiar W jest miejszy od wymiaru U, to zgodie z zasadami idukcji moża uważać, że w jakiejś bazie podprzestrzei W macierz ograiczeia operatora ϕ w W jest jordaowska Na skutek ϕ - iwariatości podprzestrzei V, macierz operatora ϕ w odpowiediej bazie przestrzei U także będzie jordaowską Będziemy azywać jordaowską także macierz postaci: A A A m gdzie A i klatka Jordaa, i,,, m; przy tym wartości włase, którym odpowiadają klatki A i mogą być róże TWIERDZENIE 9 Niech ϕ operator liiowy, który istieje w przestrzei U ad ciałem F, przy czym wszystkie pierwiastki wielomiau charakterystyczego operatora ϕ ależą do F; wtedy macierz operatora ϕ w odpowiediej bazie przestrzei U jest jordaowską W celu praktyczego zajdywaia macierzy jordaowskiej operatora liiowego ϕ moża postępować według astępującego schematu Ozaczymy przez d i defekt operatora liiowego ( ϕ λ e) i, gdzie λ daa wartość własa operatora ϕ W celu zalezieia defektu operatora 7

liiowego ależy z wymiaru przestrzei U odjąć rząd operatora, to zaczy rząd macierzy tego operatora w dowolej bazie Wtedy d ogóla liczba klatek Jordaa, które odpowiadają wartości własej λ ; ( d d ) liczba klatek o wymiarze większym iż, ( d i d i ) liczba klatek o wymiarze większym iż Poieważ przestrzeń U posiada wymiar skończoy, to dla pewego k, d k d k + Zatem klatki Jordaa, które odpowiadają wartości własej λ, posiadają maksymaly rozmiar k Klatek o takim rozmiarze mamy ( d k d k ) sztuk Klatek o rozmiarze (k-) będzie ( d k d k ) ( d k d k ) sztuk, itd Algorytm tworzeia postaci Jordaa macierzy operatora liiowego i przykład jego zastosowaia zostały podae w rozdziale 74

Rozdział Przestrzeie euklidesowe OKREŚLENIE Wektorową przestrzeią Euklidesa azywa się przestrzeń wektorową V ad ciałem liczb rzeczywistych R, dla której określoo odwzorowaie τ : V x V R, które posiada astępujące własości: τ (, aa) przy czym, jeśli a, toϕ( a ) > ; τ(,) ab τ(, ba) ; τ(, ab+ c) τ(,) ab + τ(,) ac ; abc,, V 4 τα ( a) ατ( a), α R, a V Liczbaτ( ab,) R azywa się iloczyem skalarym wektorów a i b Dla wygody τ( ab,) będziemy ozaczać przez a b Z własości i 4 iloczyu skalarego wyika, że a dla każdego k a V i a ( β i bi ) β i ( ab i i) i OKREŚLENIE k i Wektory a i b przestrzei euklidesowej V azywają się ortogoalymi, jeśli a b ; a i b azywają się także wzajemie ortogoalymi OKREŚLENIE Układ wektorów {,,, } a a a azywa się ortogoalym, jeśli dwa dowole wektory tego układu są wzajemie ortogoale Ortogoaly układ wektorów, który jest bazą przestrzei V, azywa się ortogoalą bazą tej przestrzei TWIERDZENIE Ortogoaly układ iezerowych wektorów przestrzei euklidesowej jest liiowo iezależy Niech {,,, m } a a a ortogoaly układ wektorów przestrzei euklidesowej V, a i, i,, k, m Niech α i ai ; wtedy a j a j ( α i ai i α, bowiem a j a j > To zaczy α α α j liiowo iezależy Twierdzeie zostało udowodioe TWIERDZENIE k i k ) α i a jai i α a a j j j, j,,, m Stąd m Układ wektorów {,,, m} a a a jest Każdy ortogoaly układ iezerowych wektorów przestrzei euklidesowej V może zostać uzupełioy do ortogoalej bazy tej przestrzei Niech wymiar przestrzei V i {,,, m } a a a ortogoaly układ wektorów iezerowych w V Jeśli m, to dowód jest oczywisty Jeśli m<, to udowodimy istieie ortogoalego układu wektorów iezerowych, który zawiera (m+) wektorów W rzeczy samej, o ile m<, to w przestrzei V istieje taki wektor b, że układ {,,, m, } a a a b jest liiowo iezależy Niech a m + b + λ i ai i dobierzemy współczyiki λ, λ,, λ m tak, aby układ { },,, m, m m i a a a a + był ortogoaly Jeśli 75

k m; j m m + λ i ai i λ k, k j, to a k a j zgodie z warukiem Niech jm+, wtedy a k a m+ a k (b ) λ k aka k + ak b, k m ak b, ( akak > ), k,,, m a a k k Przyrówując to wyrażeie do zera otrzymamy: Przy takim wyborze współczyików λ i układ wektorów {,,, m, m } ortogoaly Oprócz tego a m+, bowiem układ wektorów {,,, m, } iezależy {,,, m, m } a a a a + będzie a a a b jest liiowo a a a a + ortogoaly układ wektorów iezerowych Jeśli m, to twierdzeie jest udowodioe Jeśli jedak m+<, to kotyuujemy proces rozszerzeia ortogoalego układu wektorów iezerowych, dopóki ie otrzymamy bazy ortogoalej WNIOSEK Dowola przestrzeń euklidesowa V posiada bazę ortogoalą Niech a V, a dowoly wektor iezerowy Niech { a } początkowy układ wektorów iezerowych i uzupełimy go do bazy ortogoalej przestrzei V OKREŚLENIE 4 Niech М iepusty podzbiór wektorów przestrzei euklidesowej V Wektor a azywa się ortogoalym do zbioru М, jeśli a jest ortogoaly do każdego wektora zbioru М Wektor a jest ortogoaly do zbioru М i ozacza się jako: a М Przez М ozacza się zbiór wszystkich wektorów, ortogoalych do zbioru М Przy pomocy własości i 4 iloczyu skalarego łatwo dowieść domkięcia zbioru М względem dodawaia wektorów i możeia wektora przez skalar Zatem, a skutek twierdzeia, М podprzestrzeń przestrzei wektorowej V OKREŚLENIE 5 Niech W podprzestrzeń przestrzei euklidesowej V Podprzestrzeń М ortogoalym dopełieiem do przestrzei W TWIERDZENIE Jeśli W iezerowa podprzestrzeń przestrzei euklidesowej V, W Niech {,,, m } V, to V W W azywa się a a a ortogoala baza podprzestrzei W Na skutek twierdzeia, day układ wektorów moża uzupełić do ortogoalej bazy przestrzei V Niech { a, a,, am, am,, a} + ortogoala baza przestrzei V (m<) Łatwo udowodić, że W L( a m+, a,, a ) Wtedy V W W Twierdzeie zostało udowodioe OKREŚLENIE 6 Wartością bezwzględą wektora (ormą wektora) przestrzei euklidesowej azywa się pierwiastek kwadratowy ze skalarego kwadratu wektora Wartość bezwzględą wektora a ozacza się przez a Zgodie z określeiem a Jeśli a, to wektor a azywa się uormowaym TWIERDZENIE 4 Jeśli a i b wektory przestrzei euklidesowej oraz λ R to: a a 76

) a, ) λa λ a ; a wtedy i tylko wtedy, gdy a; ) ab a b (ierówość Cauchy-Buiakowskiego); 4) a+ b a + b (ierówość trójkąta) ) Oczywisty; ) λa ( λa)( λa) λ aa λ aa λ a ; ) Jeśli a lub b, to ierówość z puktu jest spełioa Niech a, b Wtedy dla dowolych α, β R, ( αa+ βb)( αa+ βb) ; stąd α aa+ αβab+ β bb Niech α b, β a ; wtedy a b + a bab + b a ; lub a b ( a b + a b) Poieważ a b>, to a b ab Otrzymaa ierówość jest spełioa dla dowolych wektorów iezerowych a i b Zamieimy w iej wektor a a (- a ) Poieważ - a a (pkt twierdzeia), to a b ab; dlatego ab a b a + b a + b a + b a + a b+ b a + a b + b 4) Poieważ a+ b > oraz ( a + b ) a + b >, to wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu części ierówości, otrzymamy: a+ b a + b OKREŚLENIE 7 Układ wektorów euklidesowej przestrzei wektorowej azywa się ortoormalym, jeśli przestrzeń jest ortogoala i każdy jej wektor jest uormoway Jeśli taki układ wektorów tworzy bazę przestrzei euklidesowej, to azywa się go ortoormalą bazą tej przestrzei TWIERDZENIE 5 W euklidesowej przestrzei wektorowej istieje baza ortoormala Na skutek twierdzeia, w euklidesowej przestrzei wektorowej istieje baza ortogoala { a, a, a,, a } Poieważ a i, to a i >, i,,, Oczywiście układ wektorów { e, e, e,, e }, gdzie e i a i, i,,, będzie ortoormalą bazą aszej przestrzei a i Algorytm ortogoalizacji układu wektorów i przykład jego zastosowaia został przedstawioy w rozdziale 77

Rozdział System Świat algebry liiowej W tym rozdziale przedstawimy krótkie wiadomości o środowisku programowym Świat algebry liiowej (ŚAL), przy pomocy którego czytelik może samodzielie badać algebrę liiową, w tym także rozwiązywać zadaia z tej dyscypliy Wiadomości ogóle Przezaczeie systemu Świat algebry liiowej Podstawowym przezaczeiem ŚAL jest zastosowaie w celu samodzielego opaowaia materiału kursu Algebra liiowa System daje możliwość użytkowikowi prowadzeia aktywej działalości praktyczej, która posiada cechy pozawczą, badawczą oraz stosować współczese techologie iformacyje jako arzędzie twórczego procesu pozaia Położeie systemu ŚAL: http://addressisotexist Struktura systemu ŚAL System ŚAL w swoim składzie posiada Miejsce pracy uczia oraz Miejsce pracy auczyciela Miejsce pracy uczia System ŚAL składa się z astępujących kompoetów: Stroa główa Składik te pozwala użytkowikowi: otrzymać potrzebą iformację o pracy z systemem, zarejestrować się a stroie szkoły w celu dalszej pracy i uruchomić system do pracy Podręczik Kompoet służący do przedstawieia użytkowikowi potrzebej pomocy teoretyczej Podręczik reprezetuje sobą strukturaly hipertekst z możliwością wsparcia przez techiki multimediale Źródłem zadań ŚAL jest Zbiór zadań składik systemu, w którym zajdują się zadaia System opiera się a wszstkich podstawowych typach zadań kursu algebry liiowej Każde z zadań Zbioru zadań moża eksportować do Środowiska rozwiązywaia zadań i rozwiązywać w tym środowisku Rozwiązae zadaia i zadaia, których rozwiązywaie jest już rozpoczęte, ale ie zakończoe, przechowywae są w Zeszycie użytkowika Środowisko rozwiązywaia zadań zuifikowae środowisko służące do rozwiązywaia i sprawdzaia poprawości rozwiązaia zadań Środowisko wspiera rozwiązywaie zadaia krok po kroku z możliwością sprawdzeia prawidłowości rozwiązaia a każdym kroku Ważą cechą jest możliwość wyjścia ze ślepego zaułka, kiedy użytkowik ie wie, co dalej robić W tym przypadku może się zwrócić o pomoc do Eksperta, który wykoa astępujący krok rozwiązaia Kiedy zadaie zostaie rozwiązae, środowisko iformuje o wyiku rozwiązaia zadaia i pokazuje kolejość kroków - przekształceń Dyskusje kompoet przezaczoy do ogólego omówieia pytań i problemów, które powstają w trakcie auczaia przedmiotu Statystyka składik służący do samokotroli użytkowików W postaci wykresu przedstawioa jest liczba rozwiązaych zadań, samodzielość rozwiązaia, liczba owych i sprawdzoych zadań Współdziałaie modułów ŚAL Z systemem auczaia a odległość mogą pracować tylko zarejestrowai użytkowicy Rejestracja odbywa się poprzez uprawioe do tego osoby tutorów lub admiistratorów stroy uczeli Aby się zarejestrować ależy przysłać zgłoszeie, w którym ależy podać swoje dae Następie studet otrzymuje idetyfikator persoaly (logi) oraz hasło Po otrzymaiu tych daych studet może korzystać z systemu Otrzymuje dostęp do materiału teoretyczego, zbioru zadań, dyskusji Otrzymuje własy zeszyt do przechowywaia zadań, które rozwiązuje oraz możliwość rozwiązywaia ich w środowisku rozwiązywaia zadań 78

Rozpoczyając pracę z systemem, użytkowik powiie wprowadzić aday mu logi i hasło w odpowiedie pola Jeśli wprowadzoe dae są ieprawdziwe, to użytkowik otrzymuje komuikat Dae ieprawidłowe Jeżeli dae są prawidłowe, studet otrzymuje dostęp do materiału teoretyczego, zbioru zadań i zeszytu, posiada możliwość posługiwaia się Środowiskiem rozwiązywaia zadań Aby zakończyć pracę z ależy acisąć przyciski Log off Po tym system bezpieczeństwa ziszczy iformację o użytkowiku, a dalszy dostęp do zasobów będzie iemożliwy Uwaga! Jeśli użytkowik ie będzie się łączył z serwerem w przeciągu miut, to system bezpieczeństwa dokoa automatyczego zakończeia pracy W celu kotyuowaia pracy ależy poowie wprowadzić logi i hasło Po tym, jak użytkowik wszedł do systemu, aciskając zakładkę Podręczik, posiada możliwość przejrzeia materiału teoretyczego, który jest mu potrzeby do rozwiązywaia zadań Tekst podręczika zawiera hiperliki, w te sposób auczeie się materiału jest dużo lżejsze Zazajomiwszy się z materiałem teoretyczym, użytkowik ma możliwość zajrzeia do zbioru zadań, aciskając a zakładkę Zbiór zadań W zbiorze zadań przechowywae są zadaia do rozwiązaia Wybrawszy sobie zadaie do rozwiązaia, użytkowik powiie acisąć a odsyłacz Dodaj do zeszytu Po tym waruki wybraych zadań automatyczie zostają przesłae do zeszytu Nacisąwszy a zakładkę Zeszyt, użytkowik otrzymuje dostęp do swojego zeszytu W zeszycie przechowywae są zadaia użytkowika, które są podzieloe a 5 rodzajów: owe zadaia (które jeszcze ie były rozwiązywae), ierozwiązae zadaia (zadaia, które użytkowik rozwiązywał, ale do końca ie rozwiązał), zadaia rozwiązywae iesamodzielie (rozwiązae zadaia, przy rozwiązaiu których użytkowik uciekał się do pomocy eksperta), samodzielie rozwiązae zadaia (rozwiązae zadaia, przy rozwiązywaiu których użytkowik ie korzystał z pomocy eksperta), sprawdzoe zadaia (rozwiązae zadaia, które auczyciel już sprawdził i postawił oceę) Naciskając a zakładkę Statystyka, moża sprawdzić stosuek tych zadań w procetach Użytkowik posiada możliwość usuięcia zadaia z zeszytu, aciskając a odsyłacz Usuń W celu rozwiązaia lub przejrzeia zadaia ależy acisąć a odsyłacz Załaduj do środowiska rozwiązaia, przy tym zadaie zostaie automatyczie załadowae do Środowiska rozwiązywaia zadań Naciskając a zakładkę Dyskusje, użytkowik posiada możliwość rozważeia pytań i problemów, wyikłych w trakcie pozaia przedmiotu Moża dodać owy temat dyskusji, aciskając a odsyłacz Dodaj owy temat Środowisko rozwiązywaia zadań Rozpatrzymy bardziej szczegółowo podstawowy składik systemu Środowisko rozwiązywaia zadań Środowisko posiada kilka obszarów pracy pasek arzędzi, pole przedstawieia waruku i wyików odpowiedzi, pole pracy, pole kometarza, pole wyboru macierzy aktywej, pole historii działań użytkowika 79

Pasek arzędzi Waruek i wyiki odpowiedzi Pole pracy Pole kometarza Pole wyboru macierzy aktywej Pole historii i działań użytkowika Proces rozwiązaia zadaia w Środowisku rozwiązaia zadaia reprezetuje sobą ciąg przekształceń (kroków) wejściowych obiektów matematyczych w taki sposób, aby otrzymać odpowiedź System poleceń Środowiska rozwiązywaia zadań Dokoywaie przekształceń macierzy Przekształceń elemetarych moża dokoać a wierszach macierzy Wykoaie przekształceia elemetarego ( α a+ b) : lewym przyciskiem myszy wyróżić wiersz b oraz acisąć prawy klawisz myszy W meu kotekstowym wybrać poleceie Wykoaj przekształceie elemetare Otworzy się oko wprowadzeia możika Wprowadzić możik oraz α acisąć OK Następie, przytrzymując myszką wiersz b, ależy przeciągąć go a wiersz a (wiersz, do którego dodaje się α a ) Zamiaa miejscami wierszy: aciskamy prawym przyciskiem myszy a wierszu, którego położeie chcemy zmieić oraz w meu kotekstowym wybieramy poleceie Zamień miejscami wiersze Potem, przytrzymując myszką pierwszy wiersz, przeciągamy go do wiersza, z którym chcemy go zamieić miejscami Zamiaa miejscami kolum: aciskamy prawym przyciskiem myszy a kolumie, położeie której chcemy zmieić oraz w meu kotekstowym wybieramy poleceie Zamień miejscami kolumy Następie, przytrzymując myszką pierwszą kolumę, przeciągamy ją do kolumy, z którą chcemy ją zamieić miejscami Możeie wiersza przez liczbę: wyróżiamy potrzeby wiersz lewym klawiszem myszy i aciskamy prawy klawisz myszy W meu kotekstowym wybieramy poleceie Pomóż wiersz przez liczbę Otworzy się oko wprowadzeia możika Należy wprowadzić możik i acisąć a ОК 8