wartość oczekiwana choinki

Plan seminarium cośo równaniu Schrödingera analityczne metody rozwiązywania algorytm & obliczenia Schrödinger w studni koniec choinka ortogonalna

Coś o równaniu Schrödingera Najogólniejszą postacią równania Schrödingera jest: 2 2 Ψ (,) rt+ Urt (,) Ψ (,) rt = i Ψ(,) rt 2m t Zakładamy: -niezależność od czasu -jeden wymiar choinka symetryczna

Coś o równaniu Schrödingera W rezultacie otrzymujemy stacjonarne, jednowymiarowe równanie Schrödingera: 2 2 d Ψ ( x) + U( x) Ψ ( x) = EΨ( x) 2mdx 2 Aby ułatwić rachunki zakładamy: = m = 1 choinka antysymetryczna

Coś o równaniu Schrödingera W ten sposób energię oraz odległość będziemy wyrażać za pomocą jednostek atomowych: hartree -energia: EH = 27, 212eV -odległość: ab = 0,529 10 10 m promień atomu Bohra choinka dyskretna

Coś o równaniu Schrödingera Ostatecznie mamy: 2 1 d Ψ ( x) + U( x) Ψ ( x) = EΨ( x) 2 dx 2 Możemy to równanie zapisać w postaci zagadnienia własnego: Ĥ Ψ = EΨ otoczenie choinki

Numeryczne metody rozwiązywania Znamy kilka metod analizy numerycznej zagadnienia własnego: wariacyjne elementów skończonych siatkowe: -strzałów - macierzowe baza otoczeń choinki

Numeryczne metody rozwiązywania Metody wariacyjna: n l= 1 () l Ψ ( x) = cφ ( x) l kombinacja liniowa n funkcji bazowych <Ψ Hˆ Ψ>= E <Ψ Ψ> choinka bezwzględna

Numeryczne metody rozwiązywania Wyliczamy energię: E i po prostych przekształceniach otrzymujemy jednorodny układ równań <Ψ Hˆ Ψ> = = <Ψ Ψ> n il, = 1 n i= 1 * i l i, l cch * i l i, l ccs choinka Sierpińskiego

Numeryczne metody rozwiązywania n ( H ES ) c = 0 il, il, l l = 1, 2,..., i= 1 n który ma niezerowe rozwiązanie dla wartości energii będących rozwiązaniami równania charakterystycznego: det{ Hˆ ESˆ } = 0 równanie choinki

Numeryczne metody rozwiązywania Metody elementów skończonych: Równanie Schrödingera całkujemy na skończonej liczbie pododcinków przedziału [A,B], a otrzymane rozwiązania zszywamy na granicach podprzedziałów np. metoda macierzy przejścia. iloczyn choinek jest choinką

Numeryczne metody rozwiązywania Metoda strzałów: Aproksymujemy 2-gą pochodną za pomocą różnic skończonych na siatce: B A x = A+ i i = 0,..., n+ 1 i n + 1 rzut choinki na prostą

Numeryczne metody rozwiązywania Formułujemy jednowymiarowe odwzorowania: Ψ = F ( Ψ,..., Ψ, C, P, E) i i 1 i m Ψ = F ( Ψ,..., Ψ, C, P, E) i i+ 1 i+ m szukana wartość własna C = ( C,..., C ) 1 1 P= ( P,..., P ) p c stałe i parametry modelu choinka jednostajna

Numeryczne metody rozwiązywania Schemat postępowania: tzw. strzał 1. próbny wybór wartości własnej: 2. obliczamy watości: i 1 2 n 1 n ( Ψ ) = ( Ψ, Ψ,..., Ψ, Ψ ) [ A, A+ D ] A i n n 1 2 1 ( Ψ ) = ( Ψ, Ψ,..., Ψ, Ψ ) [ B D ] B, B D B A A D B A B E = E 0 choinka niemal jednostajna

Numeryczne metody rozwiązywania 3. Sprawdzamy poprawność wyboru wartości E 0 własnej oraz otrzymanych wartości funkcji falowej za pomocą warunku zszycia w wybranym punkcie siatki. 4. Jeżeli warunek zszycia jest spełniony kończymy obliczenia. Jeżeli nie to E 0 bierzemy nowe. choinka zbieżna punktowo

Numeryczne metody rozwiązywania Metoda macierzowa: B A x = A+ i i = 0,..., n+ 1 i n + 1 d dx 2 2 ψ ψ ψ ( x ) 2 ( x ) + ( x ) ψ ( x= x ) i+ 1 i i 1 i 2 ( Δx) 1 ψ 2ψ + ψ i+ 1 i i 1 + V( x ) ψ = 2 2 Δ ( x) E ψ i i i choinka zespolona

Numeryczne metody rozwiązywania ψ( x= L) = ψ Zakładając: 0 = 0 ψ( x= L) = ψ N = 0 h1,1 h1,2 0 0 ψ1 ψ1 h1,2 h2,2 h 2,3 ψ2 ψ2 0 h3,2 h3,3 = E hn 2, N 1 ψ N 2 ψ N 2 0 hn 1, N 2 h N 1, N 1 ψ N 1 ψ N 1 1 hii, = + V( x ) 1,..., 1 2 i xi = L+Δ x i = N Δx ( ) 1 hii 2,..., 2, = h 1 i 1, i = i = N 2 Δx 2 ( ) Δ x = 2L N choinka sparametryzowana

Algorytm & obliczenia Kilka ważnych uwag: 1. Równa ilość punktów siatki w studniach; 2. Równomierne rozłożenie punktów siatki w przedziale; 3. Długi czas obliczeń; 4. Identyczne studnie; choinka trywialna

Algorytm & obliczenia Wszystkie obliczenia zostały wykonane dla studni o wymiarach: d c h = = = 11,9a 0, 2a 2E H B B całka z choinki

Schrödinger w studni E d h n Kalibracja: = n 2 2 π 2a 30 2 = 11,9a = B 20e E H [ E ] H E a 0,0348478 0,1393913 0,3136304 0,5575656 Enum Ea Enum 0,0345002 0,0003476 0,1381992 0,0011921 0,3109355 0,0026949 0,5525920 0,0049736 n = 641

Schrödinger w studni Wnikanie: 0,5E H 0,5E H 2E H 10E H 20E H

Schrödinger w studni Pojemność: 0,5E H 0, 25E H 0,5E H 1E H 2E H

Schrödinger w studni Potencjał 5-ciu studni:

Funkcja falowa: Schrödinger w studni

Schrödinger w studni Poziomy energetyczne: 0,5E H 0, 2a B 0,8a B

Schrödinger w studni Poziomy energetyczne:

Schrödinger w studni Poziomy energetyczne: choinka antysymetryczna

Funkcje falowe: Schrödinger w studni