MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 896-77X 3, s. 93-98, Gliwice 6 SAYSYCZNY OPIS PRZEPŁYWU AROROPOWEGO NA SFERZE ANDRZEJ ICHA Insyu Maemayki, Pomorska Akademia Pedagogiczna w Słupsku Sreszczenie. Praca doyczy wybranych aspeków opisu urbulencji w ramach eorii układów dynamicznych. Jako przykład zaprezenowano saysyczne ujęcie przepływu baroropowego na sferze. Wprowadzono definicję rozwiązania probabilisycznego dla równania przenoszenia wiru w akim przepływie. Wykorzysując sosowną nierówność energeyczną pokazano, że miara probabilisyczna zadana na zbiorze wszyskich warunków począkowych generuje miarę niezmienniczą skoncenrowaną na arakorze półgrupy operaorów związanych z ym równaniem.. WSĘP Najrudniejszy problem klasycznej fizyki, o podsawowym znaczeniu dla nauk echnicznych, wiąże się z maemaycznym opisem urbulennych przepływów cieczy i gazów. Na obecnym eapie rozwoju wiedzy powszechnie przyjmuje się, że urbulencję można opisać zagadnieniem począkowo-brzegowym Naviera-Sokesa (NSE). Należy przy ym zaznaczyć, że, w przeciwieńswie do dwuwymiarowych zagadnień przepływowych, problem isnienia, jednoznaczności i regularności rozwiązań NSE w przypadku 3 pozosaje owary. Osobną kwesią jes problem znalezienia jawnych (w ym saysycznych) rozwiązań układu NSE w celu analizy ważnych problemów inżynierskich i geofizycznych. Celem niniejszej pracy jes eoreyczny opis zjawiska urbulencji w ramach paradygmau NSE, przy wykorzysaniu meod eorii układów dynamicznych. Jako przykład rozważymy, pochodzący z geofizycznej hydrodynamiki, saysyczny opis przepływu baroropowego na sferze. Pokażemy, że sformułowanie problemu w języku rozwiązań saysycznych prowadzi do wniosku, że dowolna miara probabilisyczna zadana na zbiorze wszyskich możliwych warunków począkowych generuje miarę niezmienniczą skoncenrowaną na arakorze półgrupy operaorów związanej z równaniem przenoszenia wiru.
94 A. ICHA. UKŁADY DYNAMICZNE Rozważymy na wsępie pewne absrakcyjne zagadnienie Cauchy ego w przesrzeni anacha, posaci: du = G( u,), = [, ); u ( ) = u, () d gdzie u, a G jes (nieliniowym) operaorem określonym jako G : U a. Oznaczmy przez F : a ciągłą półgrupę ciągłych odwzorowań z w, zn. rodzinę przekszałceń przesrzeni w siebie, aką, że []:. F jes półgrupą, j. dla dowolnych s,u zachodzi związek F( Fu s ) = F+ su;. funkcja F ( u ) jes ciągła ze względu na parę uporządkowaną (,u),,u ; 3. F jes odwzorowaniem ożsamościowym, zn. Fu = u. Definicja. Parę {, F } nazywamy układem dynamicznym, a zbiór przesrzenią fazową ego układu. W szczególności, jeżeli = n oraz odwzorowanie G jes ciągłe i spełnia globalnie warunek Lipschiza, o z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązania dla problemu () wynika, że układ równań różniczkowych zwyczajnych ypu () definiuje ciągły układ dynamiczny F []. Spośród mnogości układów dynamicznych generowanych przez równania różniczkowe ypu () rozważmy układ związany z równaniami Naviera-Sokesa. Jak pokazał Leray, problem NSE można sformułować w posaci analogicznej do () zn. zapisać go w formie operaorowego równania ewolucyjnego dla pola prędkości u ()( x) = ux (, ) w pewnej przesrzeni funkcyjnej, czyli dla rodziny {() u [, )} [3]. Na fizycznym poziomie ścisłości rozważań zwykle przyjmujemy a priori, że zagadnienie NSE posiada jednoznaczne rozwiązanie: wedy u () = Fu na pewnym odcinku [, ] i operaor F = ϕ( u, ) charakeryzuje się własnościami grupowymi w sensie definicji (). Oznacza o, że półgrupa nieliniowych operaorów F opisuje ewolucję wszyskich przepływów cieczy w obszarze o zadanej geomerii i przy wszyskich możliwych warunkach począkowych. Jakościowa analiza problemu urbulencji sugeruje, że dynamika rozwinięego przepływu urbulennego powinna koncenrować się na pewnym niezmienniczym podzbiorze przesrzeni fazowej. W rakcie ewolucji układu, san począkowy opisywany miarą probabilisyczną zadaną na zbiorze wszyskich dopuszczalnych warunków począkowych powinien coraz mniej wpływać na san końcowy układu. W rezulacie w przesrzeni fazowej przepływu pojawia się pewien podzbiór scharakeryzowany miarą niezmienniczą (arakor), kóry całkowicie określa saysyczne własności urbulencji [4]. Z powyższych rozważań wynika, że podsawową rolę przy analizie geomerycznej srukury przesrzeni fazowej przepływu odgrywają obieky zwane arakorami układu dynamicznego oraz ich charakerysyki (srukura, miary probabilisyczne (nierównowagowe i niezmiennicze), ergodyczność ip.). Króko odniesiemy się do ych pojęć. Niech A, będą dwoma zbiorami zawarymi w przesrzeni fazowej, z normą i meryką generowaną przez normę, ρ(, ). Przez odległość (dis) dwóch zbiorów A, def
SAYSYCZNY OPIS PRZEPŁYWU AROROPOWEGO NA SFERZE 95 w przesrzeni rozumiemy liczbę: dis( A, ) = sup ρ( a, ), ρ( a, ) = inf ρ( ab, ) = inf a b. a A b b Definicja. Arakorem półgrupy operaorów F działającej w przesrzeni fazowej nazywamy zbiór zwary A aki, że:. F A = A,, (własność F -niezmienniczości);. limdis( F, A ) =, (własność przyciągania), gdzie jes ograniczonym zbiorem. ak więc, jeżeli san począkowy układu należy do arakora, u A, o układ dynamiczny ewoluuje wyłącznie na ym zbiorze. Jeżeli san począkowy u należy do pewnego ooczenia arakora, o rajekorie układu przy są przyciągane do ego zbioru [5]. Niech δ ( ) będzie σ -ciałem podzbiorów oraz niech + = x ; x }. Definicja 3. Miarą na σ -ciele δ ( ) nazywamy odwzorowanie µ : δ ( ) a! +, przy czym:. µ ( ) = ;. jeżeli Ai δ ( ), i =,, n,, oraz Ai Aj =, i j, o ( ) = µ U A i µ ( A i ). Definicja 4. Miarę µ na arakorze A nazywamy niezmienniczą, jeżeli E A, zachodzi równość: µ ( E) = µϕ ( ( E, )). Skonsruowanie akiej miary na arakorze jes bardzo złożonym zagadnieniem. Doyczy o m.in. układów dyssypaywnych (np. układu NSE), dla kórych w przesrzeni fazowej może wysępować więcej zbiorów przyciągających (arakorów) i w związku z ym, może isnieć więcej miar niezmienniczych skoncenrowanych na ych zbiorach. Nie jes np. oczywise, kórą z nich należałoby wybrać, gdyż saysyczne własności rozwiązań ϕ ( u, ) zależą, ogólnie mówiąc od ego do jakiego obszaru przyciągania należą warunki począkowe. Jednoznaczność miary uzyskujemy w przypadku ergodycznych układów dynamicznych. Definicja 5. Układ dynamiczny nazywamy ergodycznym (lub nierozkładalnym) względem miary µ, jeżeli żaden zbiór niezmienniczy układu (arakor) nie może być przedsawiony w posaci sumy dwóch niezmienniczych, nieprzecinających się zbiorów o miarach dodanich. Własności układów ergodycznych precyzuje nasępujące wierdzenie irkhoffa [6]: wierdzenie. Niech ϕ ( u, ) będzie ergodycznym układem dynamicznym a µ ( A ) niezmienniczą miarę probabilisyczną określoną na arakorze A ego układu. Wedy dla każdego E A ma miejsce równość: lim χe( ϕ ( u, )) d = µ ( E), gdzie χ E jes funkcją charakerysyczną zbioru E. Fizycznie oznacza o, że czas przebywania rajekorii (prawie) każdego punku ergodycznego układu dynamicznego na arakorze, jes proporcjonalny do miary ego arakora. i= i =
96 A. ICHA 3. RÓWNANIE PRZENOSZENIA WIRU Niech S % = S % ( λφ, ) będzie dwuwymiarową sferę o promieniu jednoskowym w przesrzeni 3!. Równania dynamiki cieczy baroropowej, zn. akiej, kórej gęsość jes ylko funkcją ciśnienia, uzyskujemy analizując układ równań Naviera-Sokesa w sferycznym układzie współrzędnych związanym z obracającym się ośrodkiem. Orzymamy [5]: u u + grad + u rou+ lk u+ ν rorou = grad p+ f, () divu = ; u = u ( a), a S%, = gdzie k jes jednoskowym wekorem normalnej zewnęrznej do sfery S %, l paramerem Coriolisa a f = f ( λφ, ) gęsością sił zewnęrznych. Rozważany przepływ jes dwuwymiarowy; zaem, wykorzysując równanie ciągłości, wprowadzamy poencjał ψ = ψ(, λφ, ) pola prędkości zgodnie z zależnością u = k gradψ. Uwzględniając powyższy fak w równaniu () orzymujemy: ψ + J( ψ, ψ + l) = ν ψ + ro f, ψ() = ψ, lub, wprowadzając pole wiru ω = ψ, równanie ω + J( ωω, + l) = ν ω+ f, f = ro f, ω = = ω, gdzie J (, ) jes jakobianem przekszałcenia w zmiennych ( λφ, ). Równanie (3) sanowi punk wyjścia dalszych rozważań. Analizowane zagadnienie rozparujemy w przesrzeni H( S) = { ω: ω L ( S), ωds = }, kórej elemenami są funkcje całkowalne z kwadraem spełniające warunek poencjalności. Normę w ej przesrzeni oznaczamy przez. Nasępnie, wprowadzimy rodzinę przesrzeni H α ( S) D( ( ) α/ ) =, α, gdzie jes operaorem Laplace a na sferze. Normy w ych α/ przesrzeniach określamy jako u = u = ( ) u. Zachodzi nasępujące wierdzenie [7]: α H α wierdzenie. Jeżeli ω H, f H, o isnieje jedyne rozwiązanie problemu (3), akie, że ω C( [,, ) H) L(, : H). W świele wierdzenia (), równanie (3) generuje pewien układ dynamiczny wyznaczony przez ciągłą półgrupą ciągłych operaorów S : ω a ω(), zn. ω() = Sω w przesrzeni H. Mnożąc równanie (3) przez ω, a nasępnie całkując po czasie orzymujemy nasępujące oszacowanie (nierówność energeyczną) ν S ω() + ωτ ( ) dτ f + ω. (4) (3) Załóżmy, że na przesrzeni H, kórej elemenami są określone w chwili począkowej pola ω zadana jes miara probabilisyczna µ ( E), E δ ( H), µ ( H) =.
SAYSYCZNY OPIS PRZEPŁYWU AROROPOWEGO NA SFERZE 97 Definicja 6. Saysycznym rozwiązaniem problemu (3) nazywamy rodzinę miar µ (, E) spełniającą warunek µ (, E) = µ ( S E) = µ ({ ω HS : ω E}), E δ ( H ). (5) Jeżeli µ (, E) = µ ( E),, o saysyczne rozwiązanie µ (, E) nazywamy sacjonarnym. Niech F : H będzie dowolnym, ciągłym funkcjonałem. Z definicji (6) wynika, że FS ( ωµ ) ( d ω ) = F( ωµ ) (, d ω ). (6) wierdzenie 3. Załóżmy, że całka ω µ ( dω) isnieje i jes skończona. Wedy, dla rozwiązania saysycznego µ (, E) ma miejsce nasępujące oszacowanie (nierówność energeyczna): / ω µ (, dω) + dτ ( ) ω µτ (, dω) f + ω µ ( dω). τ (7) Dowód. Wykorzysując nierówność (4), w kórej zasępujemy ω () przez Sω a nasępnie całkując po mierze µ ( dω) orzymujemy / + + τ Sω µ ( dω ) dτ ( ) Sω µ ( dω f ) ω µ ( dω ). (8) iorąc pod uwagę (6) uzyskujemy / d + d d f + d τ ω µ (, ω ) τ ( ) ω µτ (, ω) ω µ ( ω ). i osaecznie, zamieniając ω na ω, orzymujemy ezę.! Wprowadzimy eraz uśrednione miary µ ( E ) zgodnie z zależnością µ ( E) = µ (, Ed ), E δ( H). (9) wierdzenie 4. Rodzina miar (9) jes zbieżna słabo do sacjonarnej miary µ ˆ( E) niezmienniczej względem półgrupy operaorów S skoncenrowanej na arakorze A H ej półgrupy, przy czym µ ˆ ( E) =. Dowód. Wykorzysując nierówność energeyczną (7) mamy, z uwagi na (9) f / / d ( ) (, d ) ( ) ( d ) ( d ) c τ ω µτ ω = ω µ ω + ω µ ω ν (c =cons) i w rezulacie / ( ) ω µ ( dω ) c, >. ak więc, z ciągu miar probabilisycznych µ ( E), E σ ( H) można wybrać zbieżny słabo
98 A. ICHA podciąg µ ( E), aki, że µ ( E) ˆ( E). Niezmienniczość miary µ ˆ( E) n n µ n τ pokazujemy, zauważając, że F ( ω) µ ( dω) = F( Sτω) µ ˆ( dω), > i F : H. 4. UWAGI KOŃCOWE Zgodnie z wierdzeniem (4), dowolna miara probabilisyczna µ ( E) zadana na zbiorze wszyskich możliwych warunków począkowych, generuje miarę niezmienniczą µ ˆ( E) skoncenrowaną na arakorze półgrupy operaorów S związanych z równaniem (3). Jednakże, zagadnienie ergodyczności ej miary pozosaje problemem owarym. O wielkim znaczeniu problemayki zarysowanej w ej pracy, a związanej z równaniami Naviera-Sokesa, świadczy fak umieszczenia NSE na liście Millenium Prize Problems pod nazwą Navier- Sokes Exisence and Smoohness (hp://www.claymah.org.). Dodajmy jeszcze, że z uwagi na podsawowe rudności związane z analizą równań nieliniowych, wykorzysanie meod eorii układów dynamicznych odnosi się głównie do problemów fizycznych opisywanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. W zagadnieniach urbulencji en san rzeczy należy uważać za,,pierwsze przybliżenie. Podejście probabilisyczne sanowi właściwy kierunek analizy (zob. szerzej [8]), chociaż, jak doąd, nie znaleziono żadnego rozwiązania saysycznego w jawnej posaci dla konkrenego przepływu urbulennego. LIERAURA. Szlenk W.: Wsęp do eorii gładkich układów dynamicznych. Warszawa: PWN, 98.. Przeradzki.: eoria i prakyka równań różniczkowych zwyczajnych. Łódź: Wyd. Uniw. Łódz., 3. 3. Foias C., Manley I., Rosa R., emam R.: Navier-Sokes equaions and urbulence. Cambridge: Cambridge Universiy Press,. 4. Icha A.: Problemy eorii urbulencji. Rozpr. i Mon.. Sopo: IO PAN, 999. 5. Dymnikov W.P., Filaov A.N.: Usojčivos krupnomassabnych amosfernych processov. Leningrad: Gidromeeoizda, 99. 6. Fomin S.W., Kornfeld I.P., Sinaj J.G.: eoria ergodyczna. Warszawa: PWN, 987, (łum. z jęz. ros.). 7. Dymnikov W.P., Filaov A.N.: Vvedenie v maemaičeskuju eorju klimaa. Moskva: IVM RAN, 993. 8. Višik M.I., Fursikov A.W.: Maemaičeskie zadači saisičeskoj gidromechaniki. Moskva: Nauka, 98. SAISICAL APPROACH O AROROPIC FLOW ON SPHERE Summary. In his paper dynamical sysems approach is applied o descripion of seleced problems in urbulence heory. A noion of saisical soluion for ranspor voriciy equaion is inroduced. A suiable energeic inequaliy for his soluion is obained. Using his fac, i is shown ha an arbirary probablilisic measure, defined on he se of all iniial daa, generaed an invarian measure concenraed on he aracor of semi-group operaors associaed wih he ranspor voriciy equaion.