ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

Marian Gewert Zbigniew Skoczlas ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Teoria, przkład, zadania Wdanie szóste zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław

Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copright c 997 b Oficna Wdawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może bć powielan ani rozpowszechnian za pomocą urządzeń elektronicznch, mechanicznch, kopiującch, nagrwającch i innch. Ponadto utwór nie może bć umieszczan ani rozpowszechnian w postaci cfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnch, bez pisemnej zgod posiadacza praw autorskich. Składwkonanowsstemie L A TEX. ISBN 978 83 678 5 Wdanie VI zmienione, Wrocław Oficna Wdawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficna Wdawnicza ATUT 4

Spis treści Wstęp 7 Całki krzwoliniowe niezorientowane 9. Łukinapłaszczźnieiwprzestrzeni... 9. Całkikrzwolinioweniezorientowane... 7.3 Zastosowaniacałekkrzwoliniowchniezorientowanch... 5 Zadania... 39 Całki krzwoliniowe zorientowane 4. Całkikrzwoliniowezorientowane... 4. Niezależnośćcałkioddrogicałkowania... 57.3 TwierdzenieGreena... 65.4 Zastosowaniacałekkrzwoliniowchzorientowanch... 76 Zadania... 8 3 Całki powierzchniowe niezorientowane 85 3. Płat... 85 3. Całkipowierzchnioweniezorientowane... 93 3.3 Zastosowaniacałekpowierzchniowchniezorientowanch... 3 Zadania... 6 4 Całki powierzchniowe zorientowane i element analiz wektorowej 8 4. Całkipowierzchniowezorientowane... 8 4. TwierdzeniaGaussa OstrogradskiegoiStokesa... 34 4.3 Zastosowaniacałekpowierzchniowchzorientowanch... 47 Zadania... 5 Odpowiedzi 55 Bibliografia 6 Skorowidz 63 5

Wstęp Książka jest przeznaczona dla studentów uczelni technicznch. Mogą z niej korzstać także studenci wdziałów fizki i matematki uniwerstetów. W podręczniku omówiono zagadnienia dotczące całek krzwoliniowch i powierzchniowch, zorientowanch oraz niezorientowanch. Ponadto, przedstawiono ich zastosowania w fizce itechnice. Materiał teoretczn w podręczniku jest ilustrowan przkładami rozwiązanmi krok po kroku. Pozwalają one Cztelnikowi lepiej przswoić sobie materiał. Mogą one także służć, jako wzorzec prz rozwiązwaniu zadań. Zadania do samodzielnej prac znajdują się na końcu każdego rozdziału. Dodatkowo każd paragraf zakończono ćwiczeniami, które na bieżąco pomagają utrwalać przerabian materiał. Do wszstkich ćwiczeń i zadań podane są odpowiedzi. Ponadto podręcznik zawiera rsunki ilustrujące omawiane zagadnienia. Ułatwia to lepsze zrozumienie materiału. W obecnm wdaniu zmieniono układ i zakres materiału. Ponadto, dodano kilkadziesiąt nowch przkładów, zadań oraz rsunków. Jednocześnie poprawiono zauważone błęd i usterki. Autorz serdecznie dziękują Koleżankom i Kolegom z Insttutu Matematki i Informatki Politechniki Wrocławskiej za uwagi o wcześniejszch wdaniach. Szczególne podziękowania składam Pani dr Jolancie Długosz oraz Panom doc. dr. Sławomirowi Krzemińskiemu i prof. dr. hab. Januszowi Mierczńskiemu za wskazanie błędów w poprzednim wdaniu. Marian Gewert Insttut Matematki i Informatki Politechnika Wrocławska marian.gewert@pwr.wroc.pl www.im.pwr.wroc.pl/ gewert Zbigniew Skoczlas Insttut Matematki i Informatki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczlas@pwr.wroc.pl www.im.pwr.wroc.pl/ skoczlas 7

Całkikrzwoliniowe niezorientowane. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni Definicja.. (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Niech I będzie przedziałem. Funkcją wektorową jednej zmiennej na płaszczźnie lub wprzestrzeninazwamodpowiednioodwzorowanier:i R lubr:i R 3. Funkcje takie zapisujem w postaci r(t) ( (t),(t) ) lub r(t) ( (t),(t),z(t) ), gdziet I. r r(t) t I t Rs... Funkcja wektorowa jednej zmiennej na płaszczźnie z r t I t r(t) Rs... Funkcja wektorowa jednej zmiennej w przestrzeni 9

. Całki krzwoliniowe niezorientowane Mówim,żefunkcjawektorowarjestróżnowartościowa,gddladowolncht,t I prawdziwa jest implikacja t t r(t ) r(t ). Jeżelifunkcje,lub,,zsąciągłe,tomówim,żefunkcjarjestciągła.Gd funkcje,lub,,zmająpochodne,tomówim,żefunkcjarjestróżniczkowalna. Pochodną takiej funkcji określam wzorem: r (t)( (t), (t)) lubr (t)( (t), (t),z (t)). Jeżelidodatkowopochodne, lub,,z sąciągłe,tomówim,żefunkcjar jest różniczkowalna w sposób ciągł. a) r (t) b) z r (t) r(t) r(t) Rs..3. Pochodna funkcji wektorowej: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Definicja.. (łuk gładki, łuk kawałkami gładki) Zbiór na płaszczźnie lub w przestrzeni nazwam łukiem gładkim, jeżeli można wskazać funkcję wektorową r taką, że {r(t):t [α,β]}, prz czm funkcja r jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągł na przedziale[α,β],anaprzedziale(α,β)spełniawarunekr (t).funkcjęrnazwam parametrzacją łuku. a) b) z Rs..4. Łuk gładki: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni

.. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni Zbiór, któr można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, nazwam łukiem kawałkami gładkim. a) b) z Rs..5. Łuk kawałkami gładki: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Jeżeli parametrzacja r łuku spełnia równość r(α) r(β), to mówim, że łuk jest zamknięt. a) b) z Rs..6. Łuk zamknięt: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Uwaga. Łuk może mieć wiele parametrzacji. Wkres funkcji różniczkowalnch w sposób ciągł na przedziale domkniętm są łukami gładkimi na płaszczźnie. a) b) () () Rs..7.Łuk,którjestwkresemfunkcji:a)();b)()

. Całki krzwoliniowe niezorientowane Równania parametrczne ważniejszch łuków Odcinekopoczątkur ikońcur marównanieparametrczne: r(t)r +(r r )t, gdziet [,]. Napłaszczźniedlar (, ),r (, )równanietoprzjmujepostać: r(t)( +( )t, +( )t), gdziet [,], awprzestrzenidlar (,,z ),r (,,z ) postać r(t)( +( )t, +( )t,z +(z z )t), gdziet [,]. a) r (t) b) z r (t) (t)r r (t) Rs..8. Odcinek: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni OkrągośrodkuS(, )ipromieniur>marównanieparametrczne: r(t)( +Rcost, +Rsint), gdziet [,π]. ElipsaośrodkuS(, )ipółosiacha,b>marównanieparametrczne: r(t)( +acost, +bsint), gdziet [,π]. t π t π tπ R t tπ b a t t 3 π t 3 π Rs..9. Okrąg Rs... Elipsa Asteroida krzwa zakreślona przez punkt okręgu o promieniu R/4(R > ), toczącegosiębezpoślizgupowewnętrzejstronieokręguopromieniur marównanie parametrczne: r(t) ( Rcos 3 t,rsin 3 t ), gdziet [,π].

.. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni 3 Ckloida krzwa zakreślona przez punkt okręgu o promieniu R(R > ), toczącego się bez poślizgu po prostej ma równanie parametrczne: r(t)(r(t sint),r( cost)), gdziet [,π]. R R R Rs... Asteroida πr Rs... Ckloida πr Liniaśrubowaoskokuh,nawiniętanawalec + R,marównanieparametrczne: ( ) h r(t) Rcost,Rsint, π t, gdziet R. Jedenzwójliniiśrubowejotrzmam,gdt [,π]. z h R Rs..3. Linia śrubowa Definicja.3. (długość łuku) Długością l łuku nazwam kres górn długości łamanch wpisanch w ten łuk; l sup n N {P,P,...,P n} } P i P i+, { n gdzie P i P i+ oznaczadługośćodcinkap i P i+ dla i n. i

4. Całki krzwoliniowe niezorientowane a) P P P n b) z P P n P n P n P P Rs..4. Łamane wpisane w łuk: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Twierdzenie..(wzór na długość łuku) Niechr(t)(t [α,β])będzieparametrzacjąłukugładkiego.wtedjegodługośćl wraża się wzorem: l gdzie r oznaczadługośćwektorar. β α r (t) dt, Uwaga.Napłaszczźniedlałuku {( (t),(t) ) : t [α,β] } wzórprzjmujepostać: β l [ (t)] +[ (t)] dt, (.) α awprzestrzenidlałuku {( (t),(t),z(t) ) : t [α,β] } postać: l β α [ (t)] +[ (t)] +[z (t)] dt. (.) Jeżeliłukgładkijestwkresemfunkcji(),gdzie [a,b],tojegodługość wraża się wzorem: b l +[ ()] d. (.3) Podobnwzórmamdlałukóworównaniu(). Przkład. Obliczć długość łuku, jeżeli: a a) {( e t sint,e t cost ) :t [,π] } ; b) {( 3t,3t,t 3) :t [,] } ; [ π c): lnsin,gdzie 4 ],π ; d): (4 ) 4,gdzie [,4]. P

.. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni 5 Rozwiązanie. a)doobliczeniadługościłuku {( e t sint,e t cost ) :t [,π] } wkorzstamwzór(.). Mam l π π π π [(et sint) ] + [ (et cost) ] dt (e t sint+e t cost) +(e t cost e t sint) dt e t( sin t+sintcost+cos t ) +e t( cos t sintcost+sin t ) dt e t dt π Długośćłukujestrówna (e π ). e t dt [ e t] π (e π ). b)doobliczeniadługościłuku {( 3t,3t,t 3) :t [,] } wkorzstamwzór(.). Mam l 3 [(3t) ] + [ (3t ) ] + [ (t3 ) ] dt (3) +(6t) +(6t ) dt +4t +4t 4 dt3 Długość łuku jest równa 5. (+t ) dt3 c) W tm przkładzie wkorzstam wzór(.3). Mam l π + [ (lnsin) ] d ( +t ) dt3 [ t+ t3 3 ] 5. π 4 π π 4 + ( ) cos d sin π π 4 π d sin π 4 π sind sin π 4 sind cos cost, sinddt π 4, t π, t

6. Całki krzwoliniowe niezorientowane dt t dt t rozkładnaułamkiproste ( +t + ) dt [ ] ln +t ln t t ln+. Długośćłukujestrówna ln+. d)wtmprzkładziełukjestwkresemfunkcji(),gdziec d,więczastosujem wzór analogiczn do(.3): Mam l 4 + l d [( (4 ) 4 ) ] d c +[ ()] d. 4 4 + ( 3 4 ) d 4 9d 4 9u 9ddu, u4 4, u4 4 4 [ 4 udu u] 9 8 3 u 8 ( ). 4 7 Długośćłukujestrówna 8 7 ( ). Ćwiczenia... Wznaczć przedział, na którch podane funkcje wektorowe są różnowartościowe: a)r(t)(t, t ); b)r(t)(sint,cost); c)r(t) ( lnt,e t,t 3) ; d)r(t) ( t,t,cost ).. Obliczć pochodne funkcji wektorowch: a)r(t)(tsint,lnt),t>; b)r(t)(3 t, 4t),t R; c)r(t)(sint,cost),t [,π]; d)r(t) ( 3 t+,t ),t (, ); e)r(t)(+3t, +t,t),t R; f)r(t)(3t,3cost,sint),t [, ). 3. Naszkicować łuki o parametrzacjach: a)r(t)( 3t, 4t),t R; b)r(t)(sint,cost),t [,π]; c)r(t) ( t,t ),t [, ); d)r(t) ( e t,e t),t R;

.. Całki krzwoliniowe niezorientowane 7 e)r(t)(,cost,3sint),t [,π]; f)r(t)( 4t, t,t),t R; g)r(t)(cost,sint,t),t [, ); h)r(t) ( t,t,t ),t [,]. 4. Sprawdzić, któr z łuków jest gładki, a któr kawałkami gładki: a)r(t)( 3t,4t),t R; b)r(t) ( t 3,t 6),t R; c)r(t)( t,t),t R; d)r(t)(t sint, cost),t [,π]; e)r(t)(t, t,),t R; f)r(t)(cost,sint,t),t [,π]; ( g)r(t),t, t +t ),t R; h)r(t)(tsint,tcost,t),t [, ). 5. Obliczć długości łuków: a)+3t, +t,t [,]; b)sint,cost,t [,π]; c)t sint, cost,t [,π]; d)cos 3 t,sin 3 t,t [,π]; e)t,t,zt,t [,]; 6. Obliczć długości łuków, które są wkresami funkcji: a), [,]; b)ch, [,]; c), [,]; f)cost,sint,zt,t [,π] d), [,].. Całki krzwoliniowe niezorientowane Definicja.4. (całka krzwoliniowa niezorientowana) Niech będzie łukiem gładkim na płaszczźnie lub w przestrzeni. Wprowadzam oznaczenia: P podziałłukunałuki k ( k n); l k długośćłuku k ; δ(p)ma{ l k : k n} średnicapodziałup; A k punktpośrednipodziałuwbrannałuku k. a) z b) A A A n A n n n A n An n n A A Rs..5. Podział łuku : a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni

8. Całki krzwoliniowe niezorientowane Ponadto niech f będzie funkcją określoną na łuku. Całkę krzwoliniową niezorientowanązfunkcjifnałukudefiniujemwzorem: fdl lim δ(p) k n f(a k ) l k, o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależ od sposobu podziału łuku ani od sposobu wboru punktów pośrednich. Mówim wted, że funkcja f jest całkowalna na łuku. Uwaga. Zauważm, że dldługość(). Twierdzenie..(liniowość całki krzwoliniowej niezorientowanej) Jeżelifunkcjefigsącałkowalnenałukugładkim,to: (f+g)dl fdl + gdl; (cf)dlc fdl, gdziec R. Twierdzenie.3.(o zamianie całki krzwoliniowej na całkę pojednczą) Niechfbędziefunkcjąciągłąnałukugładkimoparametrzacjir(t)(t [α,β]). Wted β fdl f ( r(t) ) r (t) dt. Uwaga. Całka krzwoliniowa nie zależ od parametrzacji łuku. Dla łuku α {((t),(t)):t [α,β]} na płaszczźnie powższ wzór przjmuje postać: β f(,)dl f ( (t),(t) ) [ (t)] +[ (t)] dt, (.4) α adlałuku {( (t),(t),z(t) ) : t [α,β] } wprzestrzeni postać: β f(,,z)dl f ( (t),(t),z(t) ) [ (t)] +[ (t)] +[z (t)] dt. (.5) α

.. Całki krzwoliniowe niezorientowane 9 Jeżeliłukgładkijestwkresemfunkcji(),gdzie [a,b],to f(,)dl Podobnwzórmamdlałukuorównaniu(). b a f (,() ) +[ ()] d. (.6) Przkład. Obliczć całki krzwoliniowe z funkcji f po łuku, jeżeli: a)f(,)(+), okrągośrodkuwpunkcie(,)ipromieniu3; b)f(,), łukparaboli międzpunktami (, ),(,); c)f(,,z) z +, jedenzwójliniiśrubowejrcost,rsint,zrt (R>). Rozwiązanie. a)łukjestokręgiem,któregoparametrzacjamapostać:3cost,+3sint,gdzie t π. Do obliczenia całki wkorzstam wzór(.4). Mam (+)dl π 3cost(3cost++3sint) [(3cost) ] + [ (+3sint) ] dt π ( 9cos t+3cost+9costsint ) ( 3sint) +(3cost) dt π ( 7cos t+9cost+7costsint ) dt π π π 7 cos tdt+9 costdt+7 costsintdt 7 π (+cost)dt+9 π costdt+7 π wkorzstanowzor: sintdt cos t (+cost) sintsintcost

. Całki krzwoliniowe niezorientowane 7 π dt+7 π costdt+9 π costdt+7 π sintdt7π+++7π. b)łukmiędzpunktami (, ),(,)jestwkresemfunkcji ( ). Dla obliczenia całki wkorzstam wzór(.6). Mam +[ dl ( ) ] d ( ) + d + d +d t+ dtd, t3, t5 5 3 tdt [ t 5 3] 4 3 3 ( ) 5 5 3 3. 6 c) Jeden zwój linii śrubowej otrzmam, gd parametr t przebiega przedział[, π]. z Dla obliczenia całki wkorzstam wzór(.5). Mam z π + dl π R t R cos t+r sin t [(Rcost) ] +[(Rsint) ] +[(Rt) ] dt R t R ( cos t+sin t ) ( Rsint) +(Rcost) +R dt

.. Całki krzwoliniowe niezorientowane π R t R R dt R π t dt R [ t 3 3 ] π 8 π 3 R. 3 Definicja.5. (całka krzwoliniowa niezorientowana po łuku kawałkami gładkim) Niechbędziełukiemkawałkamigładkimzłożonmzłukówgładkich k ( k m), prz czm sąsiednie łuki stkają się tlko końcami, oraz niech f będzie funkcją całkowalnąnałukach k.całkękrzwoliniowąniezorientowanązfunkcjifnałuku definiujem wzorem: fdl fdl+ fdl+...+ fdl. (.7) m m Rs..6. Ilustracja do definicji całki krzwoliniowej niezorientowanej po łuku kawałkami gładkim Przkład. Obliczć całki krzwoliniowe z funkcji f po kawałkami gładkim łuku : a)f(,)(+), brzegćwiartkikoła + 4,, ; b)f(,,z)++z, brzegpowierzchniz +,,z ; c)f(,), składasięzodcinkałączącegopunkt(,),(,);fragmentu paraboli odpunktu(,)do(, )orazodcinkałączącegopunkt(, ), (, ). Rozwiązanie. a)brzegćwiartkikołaskładasięzłukówgładkich,, 3. 3

. Całki krzwoliniowe niezorientowane Korzstając z definicji wzór(.7), mam (+) dl (+) dl+ (+) dl+ (+) dl. 3 Równaniaparametrcznełuków,, 3mająpostać: :,t,gdzie t : cost,sint,gdzie π t π, 3: t,,gdzie t. Korzstając teraz ze wzoru(.4) otrzmam kolejno: (+) dl (+t) ( ) +(t ) dt t dt 8 3, π [(cost) (+) dl (cost+sint) ] [ ] + (sint) dt π π ( 4cos t+8costsint+4sin t ) ( sint) +(cost) dt π π π π 8 (+costsint)dt8 dt+8 sintdt π π π 8 π +8 4π, (+) dl (t+) (t ) +( ) dt t dt 8 3. 3 Ostatecznie (+) dl 8 3 +4π+8 3 4π+6 3. wkorzstano wzór: sintsintcost b)brzegpowierzchniokreślonejwzadaniuskładasięzłukówgładkich,, 3. z z z + 3

.. Całki krzwoliniowe niezorientowane 3 Korzstając z definicji wzór(.7), mam (++z)dl (++z)dl+ (++z)dl+ 3 (++z)dl. Łuk jestodcinkiemłączącmpunkt(,,),(,,).zatemmarównanieparametrczne: +t,,zt,gdzie t.zkoleiłuk jestodcinkiemłączącm punkt(,,),(,,),mawięcrównanieparametrczne:t,,z t,gdzie t.ostatniłuk 3jestpółokręgiemorównaniuparametrcznmcost,sint, z,gdzie t π.korzstającterazzewzoru(.5)otrzmamkolejno: (++z)dl (++z)dl 3 (++z)dl π π π (( +t)++t) [( +t) ] + +[(t) ] dt (t ) dt, (t++( t)) [(t) ] + +[( t) ] dt (cost+sint+) [(cost) ] +[(sint) ] + dt (cost+sint) ( sint) +(cost) dt (cost+sint)dt+. dt, Zatem (++z)dl+ ++. c)kawałkamigładkiłukskładasięzłuków,, 3. 3

4. Całki krzwoliniowe niezorientowane Korzstając z definicji wzór(.7), mam dl Równaniałuków,, 3mająpostać: dl+ dl+ :,gdzie, 3 dl. :,gdzie, 3:,gdzie. Łuki, sąwkresamifunkcji(),gdziec d,więczastosujemwzóranalogiczn do(.6): d f(,)dl f((),) +[ ()] d. Mam kolejno: dl c +[() ] d [ ] d 3, dl + [ ( ) ] d 3 +4 d. Ostatnia równość wnika z faktu, że przedział całkowania jest smetrczn względem, a funkcjapodcałkowa nieparzsta.doobliczeniacałkipołuku 3wkorzstamwzór(.6). Mam Ostatecznie 3 dl ( ) +[( ) ] d dl 3 ( ++ 3 ). [ ] d 3. Ćwiczenia... Sprawdzić stwierdzenie, że całka krzwoliniowa niezorientowana dl nie zależ od parametrzacji łuku, jeżeli jest ćwiartką okręgu opisaną równaniami: [ a)cost,sint,t, π ] [ ] π ; b)cost,sint,t, ;

.3. Zastosowania całek krzwoliniowch niezorientowanch 5 c)t, 4 t,t [,]; [ ] 3π d)cos( t),sin( t),t,π ; e) t 4t +t, +t,t [,].. Obliczć całki krzwoliniowe po wskazanch łukach: dl a), odcinekłączącpunkt(, ),(,); b) (+)dl, brzegtrójkątaowierzchołkach(,),(,),(,); c) dl, brzegkwadratu + ; d) + dl, okrąg + ; e) z dl, odcinekłączącpunkt(,,)i(,3,4); f) (++z)dl, brzegtrójkątaowierzchołkach(,,),(,,),(,,); g) + +z dl, okrąg + 4,z; h) z dl, okrągpowstałzprzecięciasfer + +z ipłaszczzn..3 Zastosowania całek krzwoliniowch niezorientowanch Pole powierzchni walcowej Niech Σ oznacza powierzchnię boczną walca o tworzącch przechodzącch przez łuk R,któresąograniczonezdołuizgórodpowiednioprzezwkresfunkcji ciągłchzd(,)izg(,).wtedpolespowierzchniσwrażasięwzorem: S (g(,) d(,))dl. (.8)