WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY

Transkrypt

1 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY

2 Marian Gewert Zbigniew Skoczlas WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY Teoria, przkład, zadania Wdanie trzecie poprawione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 0

3 Marian Gewert Insttut Matematki i Informatki Politechnika Wrocławska marian.gewert@ pwr.edu.pl gewert Zbigniew Skoczlas Insttut Matematki i Informatki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczlas@ pwr.edu.pl skoczlas Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copright c 009, 0, 0 b Oficna Wdawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może bć powielan ani rozpowszechnian za pomocą urządzeń elektronicznch, mechanicznch, kopiującch, nagrwającch i innch. Ponadto utwór nie może bć umieszczan ani rozpowszechnian w postaci cfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnch, bez pisemnej zgod posiadacza praw autorskich. Składwkonanowsstemie L A TEX. ISBN Wdanie III poprawione, Wrocław 0 Oficna Wdawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficna Wdawnicza ATUT

4 Spis treści Wstęp 7 Pojęcia wstępne 9. Elementlogikimatematcznej Elementteoriizbiorów.... Działaniaalgebraiczne Wartośćbezwzględna....5 DwumianNewtona Indukcjamatematczna Ciągartmetcznigeometrczn... Zadania... 7 Funkcje. Funkcje pojęciawstępne.... Funkcjeokresowe,parzsteinieparzste.... Funkcjemonotoniczne.... Złożeniefunkcji Funkcjeróżnowartościowe Funkcjeodwrotne Przekształcaniewkresówfunkcji... 9 Zadania... 5 Wielomian 5. Funkcjaliniowa Funkcjakwadratowa Równaniaoraznierównościlinioweikwadratowe Funkcjewielomianowe Równaniainierównościwielomianowe Równaniainierównościwmierne Zadania

5 Funkcje trgonometrczne 90. Miarałukowakąta Funkcjetrgonometrczne Własnościfunkcjitrgonometrcznch Wzorredukcjne Wzortrgonometrczne Wkresfunkcjitrgonometrcznch Równaniatrgonometrczne Nierównościtrgonometrczne... Zadania... 5 Funkcje potęgowe, wkładnicze i logartmiczne 5 5. Funkcjepotęgowe Równaniainierównościzpierwiastkami Funkcjewkładnicze Równaniainierównościwkładnicze Logartmiichwłasności Funkcjelogartmiczne Równaniainierównościlogartmiczne... 8 Zadania... 6 Geometria analitczna na płaszczźnie 6 6. Wektor Ilocznskalarn Równaniaprostej Wzajemnepołożeniaprostch Odległościpunktówiprostch Zadania... 6 Odpowiedzi i wskazówki 65 Skorowidz 7 6

6 Wstęp Niniejsz podręcznik jest przeznaczon dla studentów politechnik, którz zdawali maturę z matematki tlko na poziomie podstawowm. Ma im pomóc w uzupełnieniu wiadomości niezbędnch do studiowania matematki. Sądzim, że książka będzie przdatna także osobom rozpocznającm studia zaoczne po kilku latach od ukończenia szkoł średniej. W książce omawiam element logiki i teorii zbiorów, indukcję matematczną, ciągi artmetczne i geometrczne, funkcje i ich podstawowe własności. Ponadto, przedstawiam metod rozwiązwania równań i nierówności wielomianowch, trgonometrcznch, wkładniczch oraz logartmicznch. Szczególn nacisk kładziem na te fragment materiału, które sprawiają najwięcej trudności studentom w pierwszm semestrze. Podręcznik oprócz teorii zawiera dużą liczbę przkładów rozwiązanch krok po kroku oraz zadania przeznaczone do samodzielnej prac. Do wszstkich zadań podane są odpowiedzi. Zaletą opracowania jest duża liczba rsunków ułatwiającch zrozumienie materiału. Do obecnego wdania dodano kilka nowch przkładów i zadań. Ponadto poprawiono zauważone błęd i usterki. Dziękujem koleżankom i kolegom z Insttutu Matematki i Informatki Politechniki Wrocławskiej oraz naszm studentom za uwagi oraz wskazanie błędów. Marian Gewert Zbigniew Skoczlas 7

7 8 Oznaczenia W podręczniku stosujem następujące oznaczenia zbiorów liczbowch: N={,,,...} zbiórliczbnaturalnch, Z={0,±,±,...} zbiórliczbcałkowitch, { } p Q= q :p Z,q N zbiór liczb wmiernch, R zbiór liczb rzeczwistch.

8 Funkcjetrgonometrczne. Miara łukowa kąta Rozważm dowoln kąt oraz okrąg o środku w wierzchołku kątars.. Miarą łukową kąta nazwam stosunek długości l łuku okręgu, na którm opart jest kąt, do promienia r okręgu. r α l r r rad 57. Jednostką miar łukowej kąta jest radianrad. Jest to kąt opart na łuku okręgu odługościrównejpromieniowirs..jedenradiantowprzbliżeniu57..międz miarą stopniową i łukową kąta zachodzą zależności: α[rad]= α 80, α = α[rad] 80. Przkład. Kąt wrażone w stopniach zapisać w radianach: a5 ; b0 ; c6 ; d90 ; e5 ; f80. Rozwiązanie. Mam: a 5 80 = [rad]; b0 = d = [rad]; e5 80 = 5 Przkład. Kąt wrażone w radianach zapisać w stopniach: a0.; b 0 ; c 6 ; d; e ; f. 90 [rad]; c6 80 = 5 [rad]; [rad]; f80 = [rad].

9 .. Funkcje trgonometrczne 9 Rozwiązanie. Mam: a ; b = ; c =0 ; d 80 =80 ; e 80 =5 ; f 80 =95. Mówim, że kąt jest w położeniu standardowm, jeżeli jego wierzchołek leż w początku układu współrzędnch, a ramię początkowe na dodatniej części osi Ors.. miara dodatnia ramię końcowe ramię początkowe ramie końcowe ramię początkowe miara ujemna Kąt mierzone od osi O w kierunku przeciwnm do ruchu wskazówek zegara nazwam dodatnimi, a w kieruku zgodnm ujemnmi. Przkład kątów dodatnich i ujemnch pokazano poniżej Funkcjetrgonometrczne Przpomnijm definicje funkcji trgonometrcznch kąta ostrego w trójkącie prostokątnm: α przeciwprostokątna przprostokątna przległa przprostokątna przeciwległa sinα= przprostokątnaprzeciwległa przeciwprostokątna cosα= przprostokątnaprzległa przeciwprostokątna tgα= przprostokątnaprzeciwległa przprostokątna przległa ctgα= przprostokątnaprzległa przprostokątna przeciwległa

10 9. Funkcje trgonometrczne Wartości funkcji trgonometrcznch niektórch kątów α 0 6 sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα Definicje te rozszerzm na dowolne kąt skierowanerozwarte, ujemne. Niech α będzie dowolnm kątem skierowanm w położeniu standardowm w okręgu o promieniu r i niech, oznaczają współrzędne punktu przecięcia okręgu z ramieniem końcowm kątars.. 0, r α, r α α r, Funkcje trgonometrczne kąta α definiujem wzorami: sinα= r ; cosα= r ; tgα=, oile 0; ctgα=, oile 0. ZtwierdzeniaTalesa wnika,żewartościtchfunkcjiniezależąodpromieniar. Funkcje sin i cos są określone dla dowolnego kąta skierowanego α. Z definicji wnikają oczwiste nierówności: sinα, cosα. Natomiastfunkcjatgjestokreślonadla 0,tj,dlakątówα /+kk Z. Podobnie,funkcjactgjestokreślonadla 0,tj.dlakątówα kk Z. Przkład. Obliczć wartości funkcji trgonometrcznch: a sin ; bcos 5 6 ; ctg5 ; dctg 6 TaleszMiletu6p.n.e. 55p.n.e,matematk,fizk,filozofiastronomgrecki..

11 .. Własności funkcji trgonometrcznch 9 Rozwiązanie. Przjmujem r =. Wielkości, wznaczm korzstając z rsunku oraz wartości funkcji trgonometrcznch kąta ostrego. Mam kolejno: a b, 5 6, sin = r = =. cos5 6 = r = =. c d, 5 6, tg 5 = = =. ctg 6 = = =.. Własności funkcji trgonometrcznch Parzstość i nieparzstość Z określenia funkcji trgonometrcznch wnika, że funkcja cos jest parzsta, a pozostałe funkcje są nieparzsters.. Parzste Nieparzste cos α=cosα sin α = sinα tg α = tgα ctg α= ctgα r α α r, r,

12 9. Funkcje trgonometrczne Okresowość Oczwistm wnioskiem z definicji funkcji trgonometrczch jest ich okresowośćrs.. Przczmfunkcjesinicosmająokres,afunkcjetgictgokres., r α+ r, α α+ α r, Mam zatem: sinα+k=sinαk Z; cosα+k=cosαk Z; tgα+k=tgαk Z; ctgα+k=ctgαk Z. Ponadto, z okresowości funkcji trgonometrcznch i zależności przedstawionch na rsunkach poniżej wnikają użteczne relacje:, r β β α r, r α β, r, sinα=sinβ α=β+k lub α= β+kk Z. cosα=cosβ α=β+k lub α= β+kk Z. tgα=tgβ α=β+kk Z. ctgα=ctgβ α=β+kk Z. Relacje te wkorzstam prz rozwiązwaniu równań trgonometrcznch.

13 .. Wzor redukcjne 95 Monotoniczność Uzasadnim, że funkcje trgonometrczne są monotoniczne w przedziałach postaci k/,k+/k Z.Najpierwpokażem,żenaprzedziale0,/funkcje sin,tgsąrosnące,afunkcjecos,ctg malejące.niechα,βbędąkątamitakimi,że 0<α<β</rs.. r β α β, β r α, α Zrsunkuwnikająoczwistenierówności: α > β, α < β.stądotrzmam: sinα= α r < β r =sinβ, tgα= α α < β β =tgβ, cosα= α r > β r =cosβ, ctgα= α α > β β =ctgβ. Zatemnaprzedziale0,/funkcjesin,tgsąrosnące,afunkcjecos,ctgmalejące.Podobnie można uzasadnić monotoniczność funkcji trgonometrcznch w przedziałach: /,,, /,/,. Wniki tch rozważań podajem w tabelce: I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka 0<α< <α< <α< <α< sin rosnąca malejąca malejąca rosnąca cos malejąca malejąca rosnąca tg rosnąca rosnąca rosnąca rosnąca rosnąca ctg malejąca malejąca malejąca malejąca Z okresowości funkcji trgonometrcznch wnika ich monotoniczność na pozostałch przedziałachpostacik/,k+/k Z.. Wzorredukcjne Niech α będzie kątem skierowanm w położeniu standardowm w okręgu o promieniu r i niech, oznaczają współrzędne punktu przecięcia okręgu z ramieniem

14 96. Funkcje trgonometrczne końcowm kąta. Na podstawie współrzędnch, można ustalić znaki funkcji trgonometrcznch w poszczególnch ćwiartkach. Wniki tch rozważań poniżej: I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka 0<α< <α< <α< <α< r,, r α α α α, r r, >0,>0 <0,>0 <0,<0 >0,<0 sinα= r >0 sinα= r >0 sinα= r <0 sinα= r <0 cosα= r >0 cosα= r <0 cosα= r <0 cosα= r >0 tgα= >0 tgα= <0 tgα= >0 tgα= <0 ctgα= >0 ctgα= <0 ctgα= >0 ctgα= <0 Znaki funkcji trgonometrcznch można przedstawić krótko w tabeli: sin + cos tg ctg sin cos tg + ctg + sin + cos + tg + ctg + sin cos + tg ctg W zapamiętaniu znaków funkcji trgonometrcznch pomaga wierszk: W pierwszej ćwiartce wszstkie są dodatnie, w drugiej tlko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus. Podam teraz wzor redukcjne pozwalające zamienić funkcje trgonometrczne kąta n/±αnafunkcjekątaα.niechαbędziekątemostrmorazniechfoznaczafunk-

15 .. Wzor redukcjne 97 cję trgonometrczną. Przez co f oznaczam tzw. cofunkcję funkcji f, gdzie relacje funkcja cofunkcja są następujące: sin cos, tg ctg. Prawdziw jest następując ogóln wzór redukcjn { f n ε fα, gdnjestliczbąparzstą, ±α = ε cofα, gdnjestliczbąnieparzstą, przczmznakεprzjmujemz tabeliznaków funkcjif. Przkład. Korzstając ze wzorów redukcjnch podane wrażenia zapisać w postaci funkcji trgonometrcznch kąta ostrego α: a sin +α ; bcos α; ctg α ; dctg α. Rozwiązanie. akąt/+α= /+αnależdoiićwiartki,afunkcjasinprzjmujetamwartości dodatnie, więc ε jest +. Ponieważ n = jest liczbą nieparzstą, więc funkcję sin zamieniam nacofunkcję,tj.nacos.zatemzgodniezpodanmwzoremmamsin/+α=cosα. bkąt α= / αnależdoiićwiartki,afunkcjacosprzjmujetamwartości ujemne,więcεjest.ponieważn=jestliczbąparzstą,więcniezmieniamfunkcjicos. Zatemmamcos α= cosα. ckąt/ α= / αnależdoiiićwiartki,afunkcjatgprzjmujetamwartości dodatnie, więc ε jest +. Ponieważ n = jest liczbą nieparzstą, więc funkcję tg zamieniam nacofunkcję,tj.nactg.otrzmamwówczastg/ α=ctgα. dkąt α= / αnależdoivćwiartki,afunkcjactgprzjmujetamwartości ujemne,więcεjest.ponieważn=jestliczbąparzstą,więcniezmieniamfunkcjictg. Zatemmamctg α= ctgα. Przkład. Podane wrażenia zapisać w postaci funkcji trgonometrcznch kąta ostrego: asin ; bcos 7 5 ; ctg 65 ; dctg Rozwiązanie.Dlafunkcjisinicoskątnależprzedstawićwpostacin+β,gdzie0<β<, adlafunkcjitgictgwpostacin+β,gdzie0<β<.następnieskorzstaćzokresowości funkcji.wkolejnmkrokukątβtrzebaprzedstawićwpostacik /+α,gdzie0<α</, oraz wkorzstać wzor redukcjne. amam/= /+/.Zatemn=.Ponieważnjestliczbąnieparzstą,więc funkcję sin zamieniam na cofunkcję, tj. na cos. Ponieważ kąt / należ do II ćwiartki, gdzie funkcja sin przjmuje wartości dodatnieε jest +, więc sin/ = cos/. bmam7/5= +7/5.Zatemwobecparzstościiokresowościfunkcjicos mam cos 7 =cos =cos + 7 =cos

16 98. Funkcje trgonometrczne Teraz7/5= /+/5.Ponieważn=jestliczbąparzstą,więcfunkcjicosnie zamieniam.ponadtokąt /+/5należdoIIIćwiartki,wktórejcosprzjmuje wartości ujemne, więc cos + = cos 5 5. W konsekwencji cos 7 5 = cos 5. cmam 65/56= + /+5/56.Zatemwobecokresowościfunkcjitg mam tg =tg =tg Ponieważn=jestliczbąnieparzstą,więcfunkcjętgzamienimnacofunkcję,tj.nactg. Ponadtokąt/+5/56należdoIIćwiartki,wktórejfunkcjatgjestujemnaεjest, więc mam tg =tg = ctg dmam/7= +/7.Zatemwobecnieparzstościiokresowościfunkcjictg mam ctg = ctg 7 7 = ctg + = ctg Wzortrgonometrczne Niech α będzie dowolnm kątem skierowanm. Bezpośrednio z definicji wnika, że funkcje trgonometrczne spełniają tożsamości: tgα= sinα cosα, ctgα=cosα sinα, ctgα tgα=. Ponadto z twierdzenia Pitagorasa wnika tożsamość: sin α+cos α=. Wzór ten nazwam zwczajowo jednką trgonometrczną. Funkcje trgonometrczne sum i różnic kątów Przkład. Wprowadzić wzor: asinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ; bsinα β=sinαcosβ cosαsinβ. Rozwiązanie. apomsłdowodupochodziodchristopherabrueningsena.nawstępiezakładam,że kątα,βsądodatnieorazspełniająnierównośćα+β</.wzórnasinussumkątów wprowadzim korzstając z rsunku. ZobaczR.B.Nelsen,ProofswithoutwordsII,MAA,Washington000.

17 .5. Wzor trgonometrczne 99 C α β Zewzorunapoletrójkątamam A D B P ABC = AC CB sinα+β, P ADC = AC CD sinα, P DBC= DC CB sinβ. Stąd,wobecoczwistejrównościP ABC =P ADC +P DBC,otrzmamkolejno AC CB sinα+β= AC CD sinα+ DC CB sinβ, sinα+β= CD CB sinα+ DC AC sinβ. Ponieważ CD CB =cosβ oraz DC AC =cosα, więc ostatni wzór możem przepisać w postaci sinα+β=cosβsinα+cosαsinβ. Korzstając ze wzorów redukcjnch można pokazać, że otrzman wzór jest prawdziw dla dowolnch kątów. b Korzstając ze wzoru wprowadzonego w punkciea oraz parzstości funkcji cos i nieparzstości funkcji sin otrzmam sinα β=sinα+ β =sinαcos β+cosαsin β=sinαcosβ cosαsinβ. Korzstajac ze związków międz funkcjami trgonometrcznmi, wzorów na sinus i cosinus sum oraz różnic kątów można łatwo wprowadzić wzor na tangens i cotangens sum oraz różnic kątów: tgα+β= tgα+tgβ tgαtgβ, ctgα+β= ctgαctgβ ctgα+ctgβ, tgα tgβ tgα β= +tgαtgβ, ctgα β=ctgαctgβ+ ctgα ctgβ. Szczególnmi przpadkami wzorów na funkcje trgonometrczne sum kątów są wzor na funkcje trgonometrczne podwojonego kąta: sinα=sinαcosα, cosα=cos α sin α= sin α=cos α, tgα= tgα tg α, ctgα=ctg α ctgα.

18 00. Funkcje trgonometrczne Korzstając ze wzorów na funkcje trgonometrczne podwojonego kąta można z kolei wprowadzićwzorwrażającesinα,cosαoraztgαprzeztgα/: sinα= tg α tg α +, cosα= tg α tg α +tg α, tgα= tg α. Trz ostatnie wzor wkorzstujem w analizie matematcznej prz całkowaniu funkcji trgonometrcznch. Suma i różnica funkcji trgonometrcznch Przkład. Wprowadzić wzor: asinα+sinβ=sin α+β cos α β ; bsinα sinβ=sin α β cos α+β. Rozwiązanie. aprzjmijmα=a+borazβ=a b.wteda=α+β/,b=α β/.korzstając ze wzoru na sinus sum kątów otrzmam sinα+sinβ=sina+b+sina b =sinacosb+cosasinb+sinacosb cosasinb =sinacosb=sin α+β cos α β. b Korzstając ze wzoru wprowadzonego w punkciea oraz nieparzstości funkcji sin mam sinα sinβ=sinα+sin β=sin α+ β cos α β =sin α β cos α+β. Korzstajaczezwiązkówmiędzfunkcjamitg,ctgafunkcjamisinicosorazze wzorów na sinus i cosinus sum i różnic kątów można łatwo wprowadzić formuł na sumę i różnicę funkcji tangens i cotangens: tgα+tgβ= sinα+β cosαcosβ, ctgα+ctgβ= sinα+β sinαsinβ, tgα tgβ=sinα β cosαcosβ, ctgα ctgβ=sinα β sinαsinβ. Tożsamości trgonometrczne Przkład. Uzasadnić tożsamości: acosαtgα+ctgα= sinα ; c e sinα + +sinα = cos α ; bsinα+β sinα β =tgα+tgβ tgα tgβ ; d tgα+tgβ ctgα+ctgβ =tgαtgβ; cos α sin α =tgα+ctgαtgα ctgα; f cosα sinα =tg α+.

19 .6. Wkres funkcji trgonometrcznch 0 Rozwiązanie. W rozwiązaniach przez L oznaczam lewą stronę tożsamości, a przez P-prawą. Przjmujem, że kąt α należ do wspólnej dziedzin wszstkich funkcji wstępującch po obu stronach tożsamości. Nie podajem jednak zakresów kątów spełniającch te tożsamości. amam L=cosαtgα+ctgα =cosα sinα +cosα cosα α α+cos α cosα sinα =sinα+cos sinα =sin = sinα sinα =P. bkorzstajączezwiązkufunkcjitgisin,cosorazzewzorównasumęiróżnicęsinusów otrzmam P = tgα+tgβ tgα tgβ sinα cosα +sinβ sinαcosβ+cosαsinβ sinα+β cosβ cosαcosβ cosαcosβ = = = sinα cosα sinβ sinαcosβ cosαsinβ sinα β cosβ cosαcosβ cosαcosβ c Korzstając z jednki trgonometrcznej mam L= = sinα+β sinα β =L. sinα + +sinα =+sinα+ sinα = sinα+sinα sin α = cos α =P. dkorzstajączezwiązkówfunkcjitgictgzsinicosotrzmam P = tgα+tgβ ctgα+ctgβ = sinα cosα +sinβ cosβ = cosα sinα +cosβ sinβ sinαcosβ+cosαsinβ cosαcosβ sinαcosβ+cosαsinβ sinαsinβ = sinαsinβ cosαcosβ =tgαtgβ=l. ekorzstajączezwiązkówtgictgzfunkcjamisinicosoraz jednkitrgonometrcznej otrzmam P =tgα+ctgαtgα ctgα =tg α ctg α= sin α α α α cos α cos sin α = cos cos α sin sin α = cos α sin α =L. fkorzstajączewzorunatangenssumkątów,związkutgzfunkcjamisinicosoraz wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta otrzmam P =tg α+ tgα+tg = tgα tg = +tgα tgα = = + sinα cosα sinα cosα = cosα+sinα cosα sinα =cosα+sinαcosα sinα cosα sinαcosα sinα cos α sin α cos α sinαcosα+sin α = cosα sinα =L.

20 0. Funkcje trgonometrczne.6 Wkres funkcji trgonometrcznch Sinus Dziedziną funkcji sin jest R, a zbiorem wartości przedział[, ]. Sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowm oraz nieparzstą. Wkres funkcji = sin nazwam sinusoidąrs.. =sin 5 Cosinus Dziedziną funkcji cos jest R, a zbiorem wartości przedział[, ]. Cosinus jest funkcjąokresowąookresiepodstawowmorazparzstą.wkresfunkcji=cos nazwam cosinusoidąrs.. Cosinusoida jest przesuniętą sinusoidą. =cos 5 Tangens Dziedzinąfunkcjitgjest R,zwłączeniemliczb/+kk Z.Zbioremwartości funkcji tg jest R. Tangens jest funkcją okresową o okresie podstawowm oraz nieparzstą. Wkres funkcji = tg nazwam tangensoidąrs.. =tg 5

21 .6. Wkres funkcji trgonometrcznch 0 Cotangens Dziedzinąfunkcjictgjest R,zwłączeniemliczbkk Z.Zbioremwartości funkcji ctg jest R. Cotangens jest funkcją okresową o okresie podstawowm oraz nieparzstą. Wkres funkcji = ctg nazwam cotangensoidąrs.. =ctg 5 Przkład.Korzstajączwkresufunkcji=sinnaszkicowaćwprzedziale[,] wkres funkcji: a=sin; b=sin ; c=sin + ; d=+sin; e=sin ; f= sin. Rozwiązanie. awkresfunkcji=sinpowstałzwkresu=sinprzezdwukrotne ściśnięcie go w poziomie. bwkresfunkcji=sin/powstałzwkresu=sinprzezdwukrotne rozciągnięcie go w poziomie. a=sin b=sin cwkresfunkcji=sin+/otrzmam,jeżeliwkresfunkcji=sinprzesuniemwlewoo/. dwkresfunkcji=+sinotrzmam,jeżeliwkresfunkcji=sinprzesuniem wgóręo. e Wkres funkcji = sin otrzmam dwukrotne ściskając w poziomie część wkresufunkcji=sindla 0,anastępnieodbijającgosmetrczniewzględemosiO. fwkresfunkcji= sin otrzmamdwukrotne ściskając wpoziomewkresfunkcji=sin,anastępnieodbijającsmetrczniewzględemosiotlkotejegofragment, które leżał pod osia O.

22 0. Funkcje trgonometrczne c=sin+ d=sin+ e=sin f= sin.7 Równaniatrgonometrczne Równaniem trgonometrcznm nazwam równanie, w którm niewiadoma wstępuje tlko w wrażeniach będącch argumentami funkcji trgonometrcznch. Poniżej przkład równań trgonometrcznch: sin= ; cos = ; ctg+ tg =; sin = ; sin=cos. Rozwiązwanie równania rozpocznam od wpisania warunków wznaczającch jego dziedzinę. Podstawową metodą rozwiązwania równań trgonometrcznch jest sprowadzenie ich do równań podstawowch, tj. równań postaci: sin=a, cos=a, tg=a, ctg=a, gdziea R.Równaniasin=a,cos=amająrozwiązaniawteditlkowted,gd a,arównaniatg=a,ctg=a dladowolnchwartościa.dalejomówim postacie rozwiązań wszstkich tpów równań podstawowch. Równaniesin=a Niecha,ia 0.Rozwiązanierównaniasin=a,którenależdoprzedziału /,/,oznaczmprzez 0.Wówczas sin=a = 0 +k lub = 0 +kk Z. =sin a

23 .7. Równania trgonometrczne 05 Równaniecos=a Niecha,ia 0.Rozwiązanierównaniacos=a,którenależdoprzedziału 0,,oznaczmprzez 0.Wówczas cos=a = 0 +k lub = 0 +kk Z. a =cos Równanietg=a Niecha R.Rozwiązanierównaniatg=a,którenależdoprzedziału /,/, oznaczmprzez 0.Wówczas tg=a = 0 +kk Z. a =tg Równaniectg=a Niecha R.Rozwiązanierównaniactg=a,którenależdoprzedziału0,, oznaczmprzez 0.Wówczas ctg=a = 0 +kk Z. a =ctg

24 06. Funkcje trgonometrczne Przkład. Rozwiązać równania: asin= ; bcos= ; ctg= ; dctg=. Rozwiązanie. a Dziedziną równania jest R. Jednm rozwiązaniemrównaniasin= /wprzedziale /,/jest 0=/rs..Zatemrozwiązania równania są postaci: = +k, = +k= +kk Z. =sin Oczwiście otrzmane rozwiązania należą do dziedzin. b Dziedziną równania jest R. Jednm rozwiązaniemrównaniacos= /wprzedziale 0,jest 0=5/6rs..Zatemrozwiązania równania mają postać: = 5 6 +k, = 5 6 +kk Z. Oczwiście rozwiązanie te należą do dziedzin. 0 =cos 5 6 cdziedzinęrównaniaokreślawarunek /+kk Z.Jednmrozwiązaniem równaniatg= wprzedziale /,/jest 0= /rs.. =tg Zatemrozwiązaniarównaniatg= mająpostać: Rozwiązania te spełniają warunki dziedzin. = +kk Z. d Dziedzinę równania określa warunek kk Z. Jednm rozwiązaniem równania wprzedziale0,jest 0=pi/rs..

25 .7. Równania trgonometrczne 07 =ctg Zatem rozwiązania równania ctg = mają postać: Rozwiązania te spełniają warunki dziedzin. Przkład. Rozwiązać równania: = +kk Z. asin=sin ; bcos=cos ; ctg + =tg; dctg =ctg. Rozwiązanie. a Dziedziną równania jest R. Korzstając ze wzoru na rozwiązania równania podstawowegosin=a,otrzmam sin=sin = +klub= +k 5 =klub 7 =+k = 5 klub= kk Z. Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin równania. b Dziedziną równania jest R. Korzstając ze wzoru na rozwiązania równania podstawowegocos=aotrzmam cos=cos = +klub= +k 5=+klub = +k = 5 + klub= kk Z. 5 Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin równania. cwarunkiokreślającedziedzinęto+/ /+koraz /+lk,l Z. Pierwsz z warunków możem przepisać w postaci k/. Korzstając ze wzoru na

26 08. Funkcje trgonometrczne rozwiązania równania podstawowego tg = a, otrzmam tg + =tg + =+k Zatem rozwiązania równania mają postać = +k = +k k Z. = +k k Z. Łatwo sprawdzić, że rozwiązania należą do dziedzin równania. dwarunkiokreślającedziedzinęto / koraz lk,l Z.Możnaje ująćłączniewpostaci n/n Z.Korzstajączewzorunarozwiązaniarównania podstawowego ctg = a, otrzmam ctg =ctg =+k = +k = kk Z. Łatwo zauważć, że żadna z otrzmanch powżej liczb nie należ do dziedzin równania. Zatem równanie nie ma rozwiązań. Przkład. Rozwiązać równania: asin=cos; bcos + =sin ; ctg ctg =0; dctg tg + =0. Rozwiązanie. a Dziedziną równania jest R. Korzstając ze wzorów redukcjnch mam cos = sin/ +. Postępując dalej jak w poprzednim przkładzie, otrzmam sin=cos sin=sin + =+ +klub= + +k = +klub5= +k = +klub= 0 + kk Z. 5 Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin równania. b Dziedziną równania jest R. Korzstając z okresowości funkcji sin oraz ze wzorów redukcjnch mam sin =sin=cos. Postępując dalej jak w poprzednim przkładzie, mam cos + =sin cos + =cos + = +k lub+ = +k

27 .7. Równania trgonometrczne 09 = +klub = +k = + klub= kk Z. Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin równania. cdziedzinęrównaniaokreślająwarunki /+koraz / lk,l Z. Warunkitemożnaująćłączniewpostaci /+n/n Z.Korzstajączewzoru redukcjnego mam ctg =tg =tg. Postępując dalej jak w poprzednim przkładzie, mam tg ctg =0 tg=tg = +k = +k = +k k Z. Sprawdzim teraz, które rozwiązania należą do dziedzin. Powinien bć spełnion warunek /+n/.stądmam/+k/ /+n/,czlik n.zatemkniemoże bć liczbą całkowitą podzielną przez. Rozwiązanie równania ma więc postać / + k/, przczmk=m+lubk=m+m Z. ddziedzinęrównaniaokreślająwarunki / koraz+/ /+lk,l Z. Zatemmam /+koraz /6+lk,l Z.Korzstajączewzoruredukcjnego mam tg + =ctg + =ctg 6. Postępując dalej jak w poprzednim przkładzie, otrzmam ctg tg + =0 ctg =ctg 6 = 6 +k = +k = +k k Z. Wszstkie otrzmane rozwiązania należą do dziedzin równania. Przkład. Rozwiązać równania: acos +cos=0; bcos +cos=sin ; c sin=cos ; dcos = cos ; etg +tg=0; ftg ctg= ; gsin6 sin=sin sin; hcos+cos6=+cos8.

28 0. Funkcje trgonometrczne Rozwiązanie. a Dziedziną równania jest R. Mam cos +cos=0 coscos+=0 cos=0lubcos+=0 cos=0lub cos= = +klub= +klub= +k = +k lub= +klub= +kk Z. Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin równania. bdziedzinąrównaniajest R.Korzstajączewzorusin = cos,anastępnie podstawiająccos=t,gdzie t,otrzmam cos +cos=sin cos +cos= cos cos +cos =0 t +t =0. Równaniekwadratowet +t =0madwapierwiastkit=/,t=,którespełniają warunek t.zatem cos +cos =0 cos= lubcos= = +klub= +klub=+kk Z. Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin równania. cdziedzinąrównaniajest R.Korzstajączewzorucos = sin,anastępnie podstawiającsin=t,gdzie t,otrzmam sin=cos sin= sin sin sin+=0 t t+=0. Równaniekwadratowet t+=0majedenpierwiastkpodwójnt= /,któr spełniawarunek t.zatem sin sin+=0 sin= = +klub= +k = +klub= +kk Z. Zauważm, że otrzmane rozwiązania można zapisać w postaci: = +ll Z. Otrzmane rozwiązania należą do dziedzin równania.

29 .7. Równania trgonometrczne ddziedzinąrównaniajest R.Podstawiająccos =t,gdzie0 t,otrzmam cos = cos t = t t +t =0. Równaniekwadratowet +t =0madwapierwiastkit=,t=,przczmpierwsz znichodrzucam,gdżniespełniawarunku0 t.zatemmam cos = cos cos = cos= lub cos= = 6 +klub= 6 +klub = 5 6 +klub= 5 6 +kk Z. Zauważm, że otrzmane rozwiązania można zapisać w postaci: = 6 +k, = 6 +kk Z. Oczwiście otrzmane rozwiązania należą do dziedzin równania. edziedzinęrównaniaokreślawarunek /+k,czli /+k/k Z. Mam tg +tg=0 tgtg+=0 tg=0lub tg= =klub= +k =k lub= 8 +k k Z. Łatwo zauważć, że otrzmane rozwiązania należą do dziedzin. fdziedzinęrównaniawznaczająwarunki /+koraz lk,l Z.Korzstajączewzoructg=/tg,anastępniepodstawiająctg=t,otrzmam tg ctg= tg tg = t t = t t =0. Równaniekwadratowet / t =0madwapierwiastkit= /,t=.zatem mam tg tg = tg= lub tg= = 6 +klub= +kk Z. Zauważm, że otrzmane rozwiązania można zapisać w postaci = 6 +k k Z. Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin. g Dziedziną równania jest R. Korzstając ze wzoru sinα sinβ=sin α β cos α+β,

30 . Funkcje trgonometrczne mam sin6 sin=sin sin sincos5=sincos sincos5=sincos sincos5 cos=0 sin=0lub cos5=cos =klub5=+klub5= +k =klub=klub= k k Z. Otrzmane rozwiązania można zapisać krócej w postaci = k/k Z. Oczwiście należą one do dziedzin. h Dziedziną równania jest R. Korzstając ze wzoru cosα+cosβ=cos α+β cos α β oraz parzstości funkcji cos przekształcam lewą stronę równania do postaci cos+cos6=cos +6 cos 6 =coscos. Przekształcającterazprawąstronęrównaniazgodniezewzoremcosα=cos α,otrzmam +cos8=+cos =+cos =cos. Zatem cos+cos6=+cos8 coscos=cos Następnie korzstając ze wzoru oraz z nieparzstości funkcji sin mam cos cos= sin + Kontnuując dalej mam cosα cosβ= sin α+β coscos cos=0. sin sin α β coscos cos=0 cos sin sin=0 = sinsin =sinsin. cos=0lub sin=0lub sin=0 = +klub=klub=k = 8 +k lub=k lub=kk Z. Otrzmane powżej rozwiązania można zapisać krócej w postaci: = 8 +k, =k k Z. Oczwiście rozwiązania należą do dziedzin.

31 .8. Nierówności trgonometrczne.8 Nierównościtrgonometrczne Nierównościami trgonometrcznmi nazwam nierówności, w którch niewiadoma wstępuje tlko w wrażeniach będącch argumentami funkcji trgonometrcznch. Poniżej przkład nierówności trgonometrcznch: sin<; cos>sin; sin +cos 0; tg >0; ctg tg; tg +ctg. Rozwiązwanie nierówności rozpocznam od wznaczenia jej dziedzin. Nierówności trgonometrczne postaci: sin<a, sin>a, cos<a, cos>a, tg<a, tg>a, ctg<a, ctg>a, gdzie a R, nazwam podstawowmi. W nierównościach zamiast znaku ostrej nierówności<,>możewstępowaćznaksłabejnierówności,.poniżejomówim metod rozwiązwania podstawowch nierówności trgonometrcznch. Nierównościsin<a, sin>a Niecha,.Rozwiązanierównaniasin = a,którenależdoprzedziału /,/,oznaczmprzez 0 rs..wówczas sin<a 0 +k, 0 +k k Z. =sin a Podobnie jest dla nierówności skierowanej w stronę przeciwnąrs.: sin>a 0 +k, 0 +k k Z. =sin a Wzorteobejmujątakżegranicznewartościa,tj. oraz.jednakwtakimprzpadku wgodniej jest wkorzstać równoważności sin< sin oraz sin> sin.

32 . Funkcje trgonometrczne Nierównościcos<a, cos>a Niecha,.Rozwiązanierównaniacos=a,którenależdoprzedziału0,, oznaczmprzez 0 rs..wówczas cos<a 0 +k, 0 +k k Z. =cos a Podobnie jest dla nierówności skierowanej w stronę przeciwnąrs.: cos>a 0 +k, 0 +k k Z. =cos a Jak w poprzednim przpadku, wzor te obejmują także graniczne wartości a, tj. oraz. Jednak w takim przpadku wgodniej jest wkorzstać równoważności cos< cos oraz cos> cos. Nierównościtg<a, tg>a Niecha R.Rozwiązanierównaniatg=a,którenależdoprzedziału /,/, oznaczam 0 rs..wówczas tg<a +k, 0+k k Z. =tg a

33 .8. Nierówności trgonometrczne 5 Podobnie jest dla nierówności skierowanej w stronę przeciwnąrs.: tg>a 0 +k, +k k Z. =tg a Nierównościctg<a, ctg>a Niecha R.Rozwiązanierównaniactg=a,którenależdoprzedziału0,, oznaczam 0 rs..wówczas ctg<a 0 +k,+k k Z. =ctg a Podobnie jest dla nierówności skierowanej w stronę przeciwnąrs.: ctg>a k, 0 +k k Z. =ctg a

34 6. Funkcje trgonometrczne Jeżeliwnierównościachpodstawowchwstępująsmbole,,towrozwiązaniach, w przpadku funkcji sin i cos, przedział otwarte należ obustronnie domknąć, a w przpadku funkcji tg i ctg, domknąć z odpowiedniej stronpamiętając o dziedzinie. Przkład. Rozwiązać nierówności: asin> ; btg> ; ccos< ; dctg. Rozwiązanie. adziedzinąnierównościjest R.Wprzedziale /,/równaniesin=/ma rozwiązanie 0=/6.Zatem sin> 6 +k, 6 +k 6 +k,5 6 +k k Z =sin Rozwiązania są zawarte w dziedzinie. bdziedzinęnierównościokreślawarunek /+kk Z.Wprzedziale /,/ równanietg= marozwiązanie 0=/.Zatem tg> +k, +k k Z. =tg 7 5

35 .8. Nierówności trgonometrczne 7 Otrzmane rozwiązania są zawarte w dziedzinie. cdziedzinąnierównościjest R.Wprzedziale0,równaniecos= /marozwiązanie 0=/.Zatem cos< +k, +k +k,5 +k k Z. =cos Rozwiązania są zawarte w dziedzinie. ddziedzinęnierównościokreślawarunek kk Z.Wprzedziale0,równanie ctg=marozwiązanie 0=/. 0=/.Zatem [ ctg +k,+k k Z. =ctg Rozwiązania są zawarte w dziedzinie. Przkład. Rozwiązać nierówności we wskazanch przedziałach: asin >, [,]; btg 0,, ; ccos <, [0,]; dctg, 0,. Rozwiązanie. anierównośćsin >jestrównoważnaalternatwie: sin> lub sin<.

36 8. Funkcje trgonometrczne W przedziale[, ] rozwiązania tch nierówności wznaczam metodą graficznąrs.. = =sin =sin = Zatemdla [,]mam sin >,,,,. bnierównośćtg 0jestrównoważnakoniunkcji: tg i tg. W przedziale /, / rozwiązania tch nierówności wznaczam metodą graficznąrs.. =tg =tg 6 = = 6 Zatemdla /,/mam [ tg 0 6, ], 6 6,. 6 cnierównośćcos <jestrównoważnakoniunkcji: cos> i cos<. Rozwiązania tch nierówności w przedziale[0, ] wznaczam metodą graficznąrs =cos = = =cos 7

37 .8. Nierówności trgonometrczne 9 Zatemdla [0,]mam [ cos < 0, [ 0, ] 5, 5, ],7,7, 5,7. dnierównośćctg jestrównoważnaalternatwie: ctg lub ctg. W przedziale0, rozwiązania tch nierówności wznaczam metodą graficznąrs.. =ctg =ctg = 0 0 = Zatemdla 0,mam ctg 0, ] [, 0, ] [,. Przkład. Rozwiązać nierówności: asin< ; bcos + ; ctg ; d ctg 6 >. Rozwiązanie. a Dziedziną nierówności jest R. Podstawiam u =. Wted nierówność przjmie postać sinu< /.Ponieważrównaniesinu= /wprzedziale /,/marozwiązanie u 0= /,więc sinu< u u0+k,u0+k u +k, +k k Z. Wracając do zmiennej otrzmam u +k, +k +k, +k 8 +k, 8 +k k Z.

38 0. Funkcje trgonometrczne Rozwiązania są zawarte w dziedzinie. b Dziedziną nierówności jest R. Podstawiam u = + /. Wted nierówność przjmie postaćcosu /.Ponieważrównaniecosu=/wprzedziale0,marozwiązanie u 0=/,więc cosu [ u [ u0+k,u0+k] u ] +k, +k k Z. Wracając do zmiennej otrzmam u [ ] +k, +k Rozwiązania są zawarte w dziedzinie. + [ ] +k, +k [ ] +k, +k [ 7 +k, +k ] k Z. cdziedzinanierównościjestokreślonaprzezwarunki /6 /+k,czli /9+k/k Z.Podstawmu= /6.Wtednierównośćprzjmiepostaćtgu. Ponieważrównanietgu=wprzedziale /,/marozwiązanieu 0=/,więc tgu u ] +k,u0+k u ] +k, +k k Z. Wracając do zmiennej otrzmam u ] +k, +k ] 6 +k, +k ] + 6 +k, + 6 +k +k,5 +k ] 9 +k,5 6 +k Po uwzględnieniu dziedzin rozwiązania nierówności nie zmieniają się. ] k Z. ddziedzinanierównościjestokreślonaprzezwarunek/ k,czli /+k k Z. Zanim zaczniem rozwiązwać nierówność, dokonam jej uproszczenia. I tak, z nieparzstościfunkcjictgwnikarównośćctg/ = ctg /.Terazpodstawiamu= /.Wtednierównośćprzjmiepostaćctgu<.Ponieważrównanie ctgu= wprzedziale0,marozwiązanieu 0=5/6,więc ctgu< 5 u 6 +k,+k k Z. Wracając do zmiennej otrzmam 5 u 6 +k,+k 5 6 +k,+k k, ++k 7 6 +k, +k k Z.

39 .8. Nierówności trgonometrczne Po uwzględnieniu dziedzin rozwiązania nierówności nie zmieniają się. Przkład. Rozwiązać nierówności w dziedzinach lub wskazanch zbiorach: asin +sin<, [,]; ctg + < + tg,, bsin cos; ; dtg ctg. Rozwiązanie. Ogólna zasada rozwiązwania nierówności trgonometrcznch polega na takim ich przekształceniu, ab uzskać nierówności podstawowe. apodstawiamsin=t.wtedmam sin +sin< sin +sin <0 t +t <0. Równaniekwadratowet +t =0madwapierwiastkit=,t=/.Zatem t +t <0 t+ t <0 <t<. Wracając do zmiennej mam sin +sin <0 <sin<. Oczwiścienierówność <sinjestprawdziwadlakażdego R.Drugąnierówność sin < / rozwiążem graficznie w przedziale[, ]rs.. =sin = Zatemrozwiązaniemnierównościsin</wprzedziale[,]jestsuma[,/6 5/6, ], a w konsekwencji [ sin +sin<, 5 ] 6 6,. b Dziedziną jest R. Nierówność najprościej jest rozwiązć graficznie. Najpierw zrobim to w przedziale[0, ]rs.. =cos 5 =sin

40 . Funkcje trgonometrczne [ ] Stąd,5. Uwzględniając okresowość funkcji sin i cos otrzmam [ ] sin cos +k,5 +k k Z. Rozwiązania są zawarte w dziedzinie. cpodstawiamtg=u.otrzmamwówczas tg + < + tg tg + tg+ <0 u + u+ <0. Równaniekwadratoweu + u+ =0madwapierwiastkiu =,u =, zatem u + u+ <0 u u <0 <u<. Wracając do zmiennej mam <u< <tg<. Powższą nierówność podwójną rozwiążem graficznie w przedziale /, /rs.. =tg =tg = = Zatem tg tg>0, i,,. d Dziedzinę nierówności wznaczają warunki / /+k, / l k,l Z, co można ująć krótko n n Z. Tę nierówność najprościej jest rozwiązać graficznie. Ponieważ funkcje tg/ i ctg/ mają okres podstawow, więc w pierwszm kroku ograniczm siędoprzedziału[0,],copouwzględnieniudziedzindajezbiór0,, rs.. W zbiorze0,, nierówność tg/ ctg/jestprawdziwadla należącchdosum0,/,/. Następnie, uwzgledniając okresowość funkcji, otrzmam tg ctg k, ] +k =tg lub +k, ] +k k Z. =ctg

41 Zadania To rozwiązanie można zapisać w prostszej postaci k, ] +k k Z. Zadania str. 70. Kąt wrażone w stopniach zapisać w radianach: a0 ; b ; c5 ; d5 ; e50 ; f080.. Kąt wrażone w radianach zapisać w stopniach: a; b ; c7 ; d ; e5 6 ; f7.. Obliczć wartości funkcji trgonometrcznch: a sin 7 ; bcos ; ctg ; dctg. 6. Korzstając ze wzorów redukcjnch podane wrażenia zapisać w postaci funkcji trgonometrcznch kąta ostrego α: 5 a sin α ; bcos +α ; ctg α; dctg +α. 5. Podane wrażenia zapisać w postaci funkcji trgonometrcznch kąta ostrego: a sin ; bcos 9 ; ctg 95 ; dctg Wprowadzić wzor: acosα+β=cosαcosβ sinαsinβ; bcosα β=cosαcosβ+sinαsinβ. 7. Wprowadzić wzor: acosα+cosβ=cos α+β cos α β ; bcosα cosβ= sin α β 8. Uzasadnić tożsamości: a +tgα +ctgα =tgα; bsin α+cos α= sin α; ctgα+ctgα= sinα ; dctgα tgα=ctgα; e sinα+sin5α cosα+cos5α =tgα; ftgα = cosα sinα. sin α+β. 9. W przedziale[, ] naszkicować wkres funkcji: a=cos ; b=sin sin + ; c=+ctg ; d=tg+ tg ; e=sin+cos; f= tg ctg.

42 . Funkcje trgonometrczne 0. Rozwiązać równania: asin= ; bcos= ; ctg=; dctg=.. Rozwiązać równania: asin= sin; ctg =tg 6 ; dctg bcos =cos + ; + =ctg.. Rozwiązać równania: acos=sin =cos ; bsin 6 + ; cctg=tg; dtg + =ctg Rozwiązać równania: asin +cossin=0; bsin =cos; ccos= sin; dsin sin sin= ; etg tg+=0; ftg+tg=tg; gsin sin=sin; hcos5 cos=sin.. Rozwiązać nierówności: asin ; bcos ; ctg< ; dctg>. 5. Rozwiązać nierówności we wskazanch przedziałach: asin, [0,]; bcos, [,]; ctg >,, ; dctg <, 0,. 6. Rozwiązać nierówności: asin ; bcos 6 < ; ctg + > ; d ctg Rozwiązać nierówności w ich dziedzinach lub wskazanch zbiorach: acos sin [, ], ; bcos+sin ; cctg ctg <0; dtgtg,,.