TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba skorzystać z równań fizycznych (prawo Hooke a). Na powierzchni zewnętrznej panuje płaski stan naprężenia (wynika to z warunków brzegowych). W praktyce pomiarowej wyznaczamy stan odkształceń na podstawie kilku (przynajmniej trzech) zmierzonych odkształceń liniowych na wybranych kierunkach. Do wyznaczenia dwu odkształceń głównych i kąta potrzeba trzech pomiarów I, II, III odkształceń liniowych w różnych i ustalonych kierunkach. Kierunki te są zazwyczaj z góry ustalone w tzw. rozecie tensometrycznej, dla których to kątów wyprowadzone są wzory na odkształcenia główne i ich kierunki względem kierunków pomiarowych.
ROZETA Wzór transformacyjny: α α γ α α x1 x cos + y sin + xy sin cos Jeśli znamy,, x1 x y oraz α, to możemy wyznaczyć odkształcenie kątowe: xy γ xy x1 x cos α y sin α cosα sinα oraz kierunki główne tgθ x γ xy y 1, x + y x + y γ xy ± +
Przykład W punkcie ciała, w którym panuje płaski stan naprężenia (płaski w płaszczyźnie xyη ) zmierzono odkształcenia w trzech kierunkach. Znaleźć pełny tensor odkształceń w układzie xyz i naprężenia główne. Dane: x 4 10 10, y 4 5 10, 4 η 10, E 5 10 MPa, ν 0.3 Macierz przejścia z układu xyz do ξη z obrót o kąt 0 α 45. cosα sinα 0 Q sinα cosα 0 0 0 1
Prawo transformacji dla odkształceń: Q Q : ' ij ik jl kl Q Q + Q Q + Q Q + Q Q + Q Q + η ' 1 1 11 1 1 1 3 13 1 1 Q Q + Q Q + Q Q + Q Q 3 3 3 1 31 3 3 3 3 33 0.5 + 0.5 + 0 + 0.5 + 0.5 + 0 + 0 + 0 + 0 x xy xy y xy 0.5 x + y η 10 0.5 10 + 5 5.5 10 Płaski stan naprężenia w płaszczyźnie x,y czyli z 0 G + λ + + 0 z z x y z ( G ) 4 4 x + y λ x + y ν z 15 10 0.3 / 0.7 6.43 10 + λ ν 1 ν 4 4
Tensor odkształcenia w układzie xyz: T 10 5.5 0 5.5 5.0 0 10 0 0 6.43 4 Stałe materiałowe: E 5 G 1.538 10 MPa 1+ ν Eν 5 λ 1.154 10 MPa 1+ ν 1 ν Równania fizyczne: G + λ + + 11 11 11 33 G + λ + + 11 33 G + λ + + 1 G1 13 G13 G 33 33 11 33 3 3
Naprężenie styczne: τ xy G xy 84.6 MPa Naprężenie normalne: x + 5 4 1.538 10 10 10 98.9 5.7 MPa y z + 5 4 1.538 10 5 10 98.9 175.8 MPa 5 4 1.538 10 6.43 10 + 98.9 0 spr o.k. Tensor naprężeń w układzie xyz: T 5.7 84.6 0 84.6 175.8 0 MPa 0 0 0 Naprężenia główne: 1, 0.5 + ± + 4τ x y x y xy 1 307. MPa 11.3 MPa
Przykład Znaleźć wektor naprężeń przy przecięciu płaszczyzną o wektorze normalnym a ( 1 ) Znaleźć składową normalną i styczną tego wektora naprężeń. Dany stan naprężeń : T 1 4 4 3 7 7 1 p T v V a o gdzie: 1 + + 3 v 1 3 a a 3 3
1 1+ 4 + 3 3 3 13 3 1 4 + 3 + ( 7) 4 3 3 3 3 1 10 + ( 7) + 1 3 3 3 3 p V wektor naprężeń 1 p ( 13 8 0) 5 V v 9 3 o iloczyn skalarny (liczba) 5 9 10 V p V o v v 9 składowa normalna wektora naprężeń 10 9
13 + 5 44 3 9 9 τ 4 10 s pv V + 3 9 9 składowa styczna wektora naprężeń 10 + 10 0 3 9 9 Sprawdzenie: τ 1 n s ( 0 0 00) 0 81 + + o o.k.
Przykład Dla podanego tensora naprężeń znaleźć wartosci własne (naprężenia główne) i odpowiadające im wektory własne (kierunki główne) 1 0 T 1 0 3 0 0 xy T 1 1 11 + 11 1, ± + 1 1 3 1
Wektory własne: 1 3 (1) 1 3 0 v 1 (1) (1) T 1I v 1 3 0 v 0 (1) 0 0 3 v3 ( ) v + v 0 v v (1) (1) (1) (1) 1 1 + v v 0 v v (1) (1) (1) (1) 1 1 5v 0 v 0 (1) (1) 3 3 Przyjąć wartość jednej współrzędnej obliczyć pozostałe i z otrzymanego wektora utworzyć wersor (1) v ( 1 1 0) (1) 1 1 e 0
1 ( ) () 1 1 0 v 1 () () T I v 1 ( 1) 0 v 0 () 0 0 ( 1) v3 v + v 0 v v (1) (1) () () 1 1 v + v 0 v v (1) (1) () () 1 1 v 0 v 0 () () 3 3 () v 1 1 0 trójka prawoskrętna: () 1 1 e 0 (3) (1) () 1 1 1 1 e e e 0 0 0 0 1
Przykład Dane jest pole naprężeń : 11 4x1x 1 8 x1 Określić obciążenie brzegowe wywołujące ten stan naprężeń:
Brzeg AB: q α 0 AB,1 n AB α AB, 1 1 [ 0,4] AB,1 11 AB,1 1 AB, 1 x x 0 α + α 4x x 0 + 8 1 8 q α + α 8 0 + x 1 x AB, 1 AB,1 AB, 1 1 qab,1 ( A ) 8.0 qab, ( A ) 0 q B AB,1 8.0 q B AB, 4.0
Brzeg AC: q q α AC,1 1 n AC α AC, 0 1 0 x 0,3 α + α 4x x 1 + 8 0 0 AC,1 11 AC,1 1 AC, 1 x, [ ] x α + α 8 1 + 0 8 AC, 1 AC,1 AC, 1 qac,1 ( A ) 0 q C AC,1 0 qac, ( A ) 8 q C AC, 8
α BC,1 0.6 3 Brzeg BC: n BC α BC, 0.8 x1 [ 0,4] x x1 + 3 4 3 11 4x1x 4x1 x1 + 3 3x1 1x1 4 q α + α 3x 1x 0.6 + 8 0.8 1.8x 7.x + 6.4 BC,1 11 BC,1 1 BC, 1 1 1 1 q α + α 0.6 8 + 0.8 x 0.8 x + 4.8 BC, 1 BC,1 BC, 1 1 qbc,1 ( C ) 6.4 qbc, ( C ) 4.8 q B BC,1 6.4 q B BC, 8.0
Równowaga globalna: 1) q,1 0 v ) q v, 0 K K 3) Wybieramy punkt np. A r A q 0 gdzie: ( x, y ) A K r q ( qv,1, qv, )
B C C 4 3 4 AB BC AC q x dx + q x dx + q x dx 8 dx + 0 dx + 1.8x 7.x + 6.4 dx? 0,1 1 1,1 1 1,1 1 1 1 1 1 1 A B A 0 0 0 B C C 4 3 4 q x dx + q x dx + q x dx x dx + 8 dx + 0.8 x + 4.8 dx? 0 AB, 1 1 BC, 1 1 AC, 1 1 1 1 1 1 A B A 0 0 0..
TEST 1. Poniższy rysunek jest graficznym obrazem płaskiego stanu naprężeń. Uzupełnij macierz T oraz rysunek. Uzupełnienie macierzy 0 0 0 T 0 1 3 0 3 Uzupełnienie rysunku
. Dana jest macierz 0 T 0 0 4. Uzupełnij macierz i sporządź graficzny obraz na odpowiednio dobranej płaszczyźnie. Uzupełnienie macierzy T 0 0 0 0 0 4
3. Wyznacz wartości własne i określ kierunki główne: 4 xz T 1 4 3 4 0 4 4 0 0 0 4 T 0 4 0 4 0 0 11 + 33 11 33 1,3 ± + 13 (3) e 0 płaszczyzna prostopadła do wersora 3 (3) e
4. Wyznacz wartości własne i określ kierunki główne: 0 0 0 T 0 0 3 0 3 0 yz T 0 3 3 0 + 33 33,3 ± + 3 1 3 (1) e ( 1 0 0) 1 0 3 3 3 () e 0 (3) e 0
5. Wyznacz wartości maxymalnych naprężeń stycznych i podaj kierunki występowania: 0 0 T 0 4 0 0 0 6 6. Dana jest macierz: T 1 10 1 4. Oblicz odkształcenie liniowe włókna OP.
Zadanie Dany jest stan odkształceń w punkcie podany macierzą Podaj odkształcenie liniowe na kierunku ξ podanym na rysunku: T 3 10 3 4 4 Transformacja ξ kierunek nowego układu który powstaje ze starego po obrocie osi x o kąt α135 stopni. Macierz transformacji cosα sinα Q sinα cosα QQ T ξξ ξη cosα sinα xx xy cosα sinα ξη ηη sinα cosα xy yy sinα cosα
mnożenie macierzy od końca ξξ ξη 3 ξη ηη 3 4
Zadanie Równania równowagi na płaszczyźnie: x x y xy + + P x 0 ( x + + P1 x 11 1 1 0 ) xy x y + + P y 0 y 0 0 0?0 ( x + + P x 1 1 + + 4 + 4 + 0?0 0 )
Zadanie 0 + 0 + 7 x?0 nie mogą
Zadanie τ x xy + + P x 0 x y x y P x 0 + + 0 0 o.k. + + τ xy x y + + P y 0 y 10 x 10 P y 0 + + 10 + 10 + 10 0 o.k.
α v A, Statyczne warunki brzegowe: vi vj ij Na płaszczyźnie: qvx αvx x αvyτ xy q α +? 5 + 5 + 5 + qvy αvxτ xy αvy y 1 5 ( 10 ) + + +?
Zadanie Liczymy funkcje odkształceń: W punkcie A podstawiamy współrzędne punktu do powyższych funkcji (nie wolno podstawiać przed różniczkowaniem) ( x, x, x ) 1 1 3 ( x, x, x ) 3 1 3 (,, ) ( x1, x, x3 ) x1 (,, ) u x x x 1 1 3 u x x x x 3 1 3 3 (,, ) u x x x x 1 3
( x, x, x ) 1 1 3 ( x, x, x ) 1 1 3 ( x, x, x ) 1 1 3 Liczymy naprężenia: (,, ) (,, ) 1 u x x x u x x x + x1 x 1 u x, x, x u x, x, x + x1 x 1 u x, x, x u x, x, x + x1 x 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 Równania fizyczne: 11 G11 + λ ( 11 + + 33 ) G + λ ( 11 + + 33 ) G + λ ( + + ) 33 33 11 33 G 1 1 G 13 13 G 3 3
Stałe materiałowe dla ciała izotropowego są dwie niezależne np., E ν E lub : G, λ wyrażone przez te poprzednie G 1 ν 11 1 1 + + P1 0 + + P 0 x x x x 1 Fizyczne związki odwrotne: 1 λ 1+ ν ν + + E 1+ ν ν + + E 1+ ν ν + + E 1+ ν 1+ ν E E Eν + ( 1+ ν ) ( 1 ν ) 11 11 11 33 11 33 33 33 11 33 1+ ν E 1 1 13 13 3 3
ij Równania równowagi : + P 0 W przestrzeni: x j i 11 1 13 + + + P1 0 x1 x x3 1 3 + + + P 0 x1 x x3 13 3 33 + + + P3 0 x x x 1 3