1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic

1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 1 / 56

1 Motywacja 2 Formalne definicje 3 Granice(w tym jednostronne) funkcji elementarnych 4 Działania na rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 2 / 56

Granice - motywacja Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 3 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC(q) = 2q+1 q. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC(q) = 2q+1 q. Co oznacza analiza kosztu średniego przy dużej skali produkcji? Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC(q) = 2q+1. q Co oznacza analiza kosztu średniego przy dużej skali produkcji? Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach: q 1 10 100 1000 1000000 AC(q) 3 2,1 2,01 2,001 2,000001 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 4 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy 2... Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy 2......aczkolwiek nigdy nie jest dokładnie równy 2... Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że: Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy 2......aczkolwiek nigdy nie jest dokładnie równy 2...... jednak błąd przybliżenia AC przez 2 robi się coraz mniejszy, gdy q rośnie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 5 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 W takich okolicznościach tj. gdy zbliżając się do jakiegoś argumentu (w tym przypadku ), wartości funkcji zbliżają się do jakiejś ustalonej wartości (w tym przypadku 2) możemy powiedzieć, że ta wartość jest granicą funkcji w danym argumencie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 6 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 W takich okolicznościach tj. gdy zbliżając się do jakiegoś argumentu (w tym przypadku ), wartości funkcji zbliżają się do jakiejś ustalonej wartości (w tym przypadku 2) możemy powiedzieć, że ta wartość jest granicą funkcji w danym argumencie. Zapisujemy: lim AC(q) = 2. q Oznaczenie lim to skrót od łacińskiego słowa limes (granica). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 6 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 7 / 56

Granice - motywacja - przykład 1 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v, czyli C(q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Analogicznie rozumując, dochodzimy do wniosku, że: lim AC(q) = v, q a zatem, koszt średni wyprodukowania jednostki towaru przy dużej skali produkcji jest równy (w przybliżeniu) współczynnikowi proporcjonalności i praktycznie nie zależy od kosztów stałych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 7 / 56

Granice - motywacja - przykład 2 Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 8 / 56

Granice - motywacja - przykład 2 Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Najprościej można to zamodelować funkcją liniową v(q) = Aq + B. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 8 / 56

Granice - motywacja - przykład 2 Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Najprościej można to zamodelować funkcją liniową v(q) = Aq + B. Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv(q), gdzie v(q) = Aq + B, więc C(q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 8 / 56

Granice - motywacja - przykład 2 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv(q), gdzie v(q) = Aq + B, więc C(q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Wiemy, że: AC(q) = C(q) q = Aq + B + k q = v(q) + k q. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 9 / 56

Granice - motywacja - przykład 2 Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv(q), gdzie v(q) = Aq + B, więc C(q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC(q) = C(q) wyprodukowania jednostki towaru przy q bardzo dużej skali produkcji? Wiemy, że: AC(q) = C(q) q = Aq + B + k q = v(q) + k q. Jako, że q jest bardzo duże, otrzymamy, że k jest pomijalnie małe, q czyli A(q) v(q) - jak w poprzednim przykładzie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 9 / 56

Granice - motywacja - przykład 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 10 / 56

Granice - motywacja - przykład 2 W tym przykładzie AC nie dąży do żadnej liczby, a upodabnia się do pewnej prostej (w takiej sytuacji zwanej asymptotą - ale to pojęcie dokładniej omówimy w przyszłości). Koszt średni zmienia się w przybliżeniu liniowo. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 10 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 11 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Dotąd C(100) = 1800, więc AC = 18 < 20 = P - czyli średni koszt produkcji jest jak na razie mniejszy od ceny, więc produkcja jest opłacalna i byłaby opłacalna również po niewielkim zwiększeniu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 11 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Dotąd C(100) = 1800, więc AC = 18 < 20 = P - czyli średni koszt produkcji jest jak na razie mniejszy od ceny, więc produkcja jest opłacalna i byłaby opłacalna również po niewielkim zwiększeniu. Jednak pytanie jest nie o opłacalność całej produkcji, ale o opłacalność jej zwiększenia, więc musimy obliczyć średni koszt nie całej produkcji, a tylko produkcji nadwyżkowej ponad q 0 = 100, którą oznaczymy przez h. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 11 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Jeśli przez A(h) oznaczamy średni koszt dodatkowej produkcji, to otrzymamy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Jeśli przez A(h) oznaczamy średni koszt dodatkowej produkcji, to otrzymamy: A(h) = C(100 + h) C(100) h = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Jeśli przez A(h) oznaczamy średni koszt dodatkowej produkcji, to otrzymamy: A(h) = C(100 + h) C(100) h = = 1 h2 (1000 + 20h + + 300 + 3h + 500 1800). h 10 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 12 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Po skróceniu, zostanie nam: A(h) = 23 + h 10. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 13 / 56

Granice - motywacja - przykład 3 Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji) Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C(q) = 1 10 q2 + 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q 0 = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)? Po skróceniu, zostanie nam: A(h) = 23 + h 10. Stąd widać, że średni koszt produkcji każdej kolejnej jednostki towaru (tzw. koszt krańcowy) przekraczałby jej cenę, więc nie opłaca się zwiększać produkcji, nawet o niewiele. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 13 / 56

Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56

Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. Jaka jest wartość kosztu krańcowego dla małych h? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56

Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. Jaka jest wartość kosztu krańcowego dla małych h? h 1 0,1 0,01 0,000001 A(h) 23,1 23,01 23,001 23,0000001 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56

Koszt krańcowy A(h) = 23 + h 10. Jaka jest wartość kosztu krańcowego dla małych h? h 1 0,1 0,01 0,000001 A(h) 23,1 23,01 23,001 23,0000001 Zatem, analogicznie jak poprzednio, możemy powiedzieć, że graniczna wartość kosztu średniego dodatkowej produkcji wynosi 23, czyli: C(100 + h) C(100) lim A(h) = lim h 0 h 0 h = 23. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 14 / 56

Granica w punkcie - definicja Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się nimi zajmować w kontekście liczenia granic). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 15 / 56

Granica w punkcie - definicja Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się nimi zajmować w kontekście liczenia granic). Granica Granicą funkcji f w punkcie x 0 R nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim x x0 f (x). Potocznie mówimy, że w punkcie x 0 funkcja f dąży do g. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 15 / 56

Granica w punkcie - definicja Granica w punkcie Granicą funkcji f w punkcie x 0 R nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim x x0 f (x). Potocznie mówimy, że w punkcie x 0 funkcja f dąży do g. Idea tej definicji jest następująca: jeśli weźmiemy jakiś punkt x bardzo blisko punktu x 0 to wartość f (x) nie będzie daleko od g. Graficznie możemy zinterpretować, że w pobliżu x 0 wykres funkcji musi się zawierać w pewnym poziomym pasie otaczającym prostą y = g. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 16 / 56

Granica w punkcie - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w x 0 jest g. Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 17 / 56

Nieskończona granica w punkcie - definicja Nieskończona granica w punkcie Granicą funkcji f w punkcie x 0 R jest +, jeśli M δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ)f (x) > M. Potocznie mówimy, że w x 0 funkcja f dąży do + i zapisujemy lim x x0 f (x) = +. Nieskończona granica w punkcie Granicą funkcji f w punkcie x 0 R jest, jeśli M δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ)f (x) < M. Potocznie mówimy, że w x 0 funkcja f dąży do i zapisujemy lim x x0 f (x) =. Jak widać, definicje te są prawie analogiczne, dlatego rysunki będą tylko dla przypadku +. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 18 / 56

Nieskończona granica w punkcie - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w x 0 jest +. Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 19 / 56

Granica - idea Idea definicji granic nieskończonych (bądź w nieskończoności) jest podobna do skończonych (w punktach z R) z wyjątkiem tego, że pobliże nieskończoności nie jest małym przedziałem ograniczonym, lecz przedziałem nieograniczonym, zaczynającym się od jakiejś (dużej) wartości. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 20 / 56

Granica - idea Idea definicji granic nieskończonych (bądź w nieskończoności) jest podobna do skończonych (w punktach z R) z wyjątkiem tego, że pobliże nieskończoności nie jest małym przedziałem ograniczonym, lecz przedziałem nieograniczonym, zaczynającym się od jakiejś (dużej) wartości. Jeśli granicą ma być nieskończoność, wykres w pobliżu danego argumentu (lub nieskończoności) musi znajdować się powyżej pewnej prostej poziomej ( poniżej, w wypadku minus nieskończoności). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 20 / 56

Granica - idea Idea definicji granic nieskończonych (bądź w nieskończoności) jest podobna do skończonych (w punktach z R) z wyjątkiem tego, że pobliże nieskończoności nie jest małym przedziałem ograniczonym, lecz przedziałem nieograniczonym, zaczynającym się od jakiejś (dużej) wartości. Jeśli granicą ma być nieskończoność, wykres w pobliżu danego argumentu (lub nieskończoności) musi znajdować się powyżej pewnej prostej poziomej ( poniżej, w wypadku minus nieskończoności). Jeśli granicę liczymy w nieskończoności, wykres badamy na prawo pewnej prostej pionowej ( na lewo, w wypadku minus nieskończoności). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 20 / 56

Granica w nieskończoności - definicja Granica w nieskończoności Granicą funkcji f w + nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 M x>m f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim x f (x). Potocznie mówimy, że w nieskończoności funkcja f dąży do g. Granica w nieskończoności Granicą funkcji f w nazywamy liczbę g taką, że ɛ>0 M x<m f (x) g < ɛ. Oznaczamy ją przez lim f (x). x Potocznie mówimy, że w minus nieskończoności funkcja f dąży do g. Jak widać, definicje te są prawie analogiczne, dlatego rysunki będą tylko dla przypadku +. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 21 / 56

Granica w nieskończoności - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w + jest g. Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 22 / 56

Nieskończona granica w nieskończoności - definicja Zostały jeszcze cztery definicje nieskończonych granic w nieskończoności. Jako, że są prawie takie same (różnią się tylko znakiem i kierunkiem nierówności) zapiszę w nawiasach, co się może zmienić, gdy + zmienimy na Nieskończona granica w nieskończoności Granicą funkcji f w punkcie ( ) jest ( ), jeśli M m x>m(x<m) f (x) > M(f (x) < M). Potocznie mówimy, że w ( ) funkcja f dąży do ( ) i zapisujemy lim x f (x) = ± ( lim x f (x) = ± ). Rysunek będzie tylko dla przypadku granicy + w +. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 23 / 56

Nieskończona granica w nieskończoności - definicja Granicą funkcji o widocznym wykresie w + jest +. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 24 / 56

Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56

Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Ściśle, jest to zbiór, który matematycy nazywają otoczeniem. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56

Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Ściśle, jest to zbiór, który matematycy nazywają otoczeniem. Otoczenie Dla x 0 R otoczeniem będziemy nazywać odcinek (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) dla wybranego ɛ > 0. W rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych otoczeniem + jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z prawej strony (a, + ), a otoczeniem jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z lewej strony (, a). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56

Otoczenie - uściślenie Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu w pobliżu. Ściśle, jest to zbiór, który matematycy nazywają otoczeniem. Otoczenie Dla x 0 R otoczeniem będziemy nazywać odcinek (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) dla wybranego ɛ > 0. W rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych otoczeniem + jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z prawej strony (a, + ), a otoczeniem jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z lewej strony (, a). Analogicznie można definiować ideę otoczenia w R n, gdzie otoczeniem będzie kwadrat, sześcian itp. wokół danego punktu przestrzeni. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 25 / 56

Zunifikowana definicja otoczeniowa Dzięki definicji otoczenia, można wszystkie definicje granicy zawrzeć w jednej: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 26 / 56

Zunifikowana definicja otoczeniowa Dzięki definicji otoczenia, można wszystkie definicje granicy zawrzeć w jednej: Granica - definicja otoczeniowa Granicą funkcji f w x 0 R jest g R, jeśli dla dowolnego U - otoczenia g istnieje V - otoczenie x 0 takie że x V f (x) U. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 26 / 56

Granica jest jak matka Jednoznaczność granicy Granica (jeśli istnieje) może być tylko jedna tj. jeśli g 1 = lim x x0 f (x) i g 2 = lim x x0 f (x) (x 0, g 1, g 2 R), to g 1 = g 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 27 / 56

Granica jest jak matka Jednoznaczność granicy Granica (jeśli istnieje) może być tylko jedna tj. jeśli g 1 = lim x x0 f (x) i g 2 = lim x x0 f (x) (x 0, g 1, g 2 R), to g 1 = g 2. Zauważmy, że granica może nie istnieć (co za chwilę zbadamy na przykładzie)! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 27 / 56

Granica jest jak matka Jednoznaczność granicy Granica (jeśli istnieje) może być tylko jedna tj. jeśli g 1 = lim x x0 f (x) i g 2 = lim x x0 f (x) (x 0, g 1, g 2 R), to g 1 = g 2. Zauważmy, że granica może nie istnieć (co za chwilę zbadamy na przykładzie)! Teraz, kiedy już mamy intuicję, co oznacza granica, spróbujemy wykorzystać definicje do jej obliczania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 27 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x + 1 5 < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x + 1 5 < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ 2, 2 + ɛ 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x + 1 5 < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ, 2 + ɛ ). Zatem wystarczy wybrać δ = ɛ, by warunek z 2 2 2 definicji został spełniony. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x + 1 5 < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ, 2 + ɛ ). Zatem wystarczy wybrać δ = ɛ, by warunek z 2 2 2 definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy ɛ, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od ɛ (i zazwyczaj zależy). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 1 Ile wynosi lim x 2 2x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x 2 2x + 1 = 5. Niech f (x) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że ɛ>0 δ>0 x (2 δ,2+δ) f (x) 5 < ɛ. Zatem, ustalamy dowolne ɛ > 0. Chcemy, żeby f (x) 5 < ɛ, czyli 2x + 1 5 < ɛ, czyli 2x 4 < ɛ. Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x (2 ɛ, 2 + ɛ ). Zatem wystarczy wybrać δ = ɛ, by warunek z 2 2 2 definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy ɛ, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od ɛ (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 28 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje. Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Wskazówką jest to, że wszystkie liczby z przedziału [ 1, 1] mają równe szanse na bycie tą granicą, a jak wiemy, granica jest tylko jedna. Ale jak tego dowieść? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 29 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to: ɛ>0 M x>m sin x 1 < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to: ɛ>0 M x>m sin x 1 < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to: ɛ>0 M x>m sin x 1 < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 30 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: Zatem możemy wybrać ɛ = 1 2. ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem sin x 1 1 = ɛ. 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x 1 ɛ. Zatem możemy wybrać ɛ = 1. M teraz niech będzie dowolną liczbą. 2 Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem sin x 1 1 = ɛ. 2 Zatem 1 nie jest szukaną granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 31 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było: ɛ>0 M x>m sin x a < ɛ. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było: ɛ>0 M x>m sin x a < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Zadanie Udowodnić z definicji, że lim x sin x nie istnieje. Udowodnię teraz, że dla każdego a 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było: ɛ>0 M x>m sin x a < ɛ. Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 32 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b 2 > 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1π = 1, 2 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 Zatem żadne a 1 nie jest szukaną granicą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 Zatem żadne a 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Obliczanie granic z definicji - przykład 2 Mamy dowieść: ɛ>0 M x>m sin x a ɛ. Niech 1 a = b > 0. Możemy wybrać ɛ = b > 0. M teraz niech 2 będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > M i ustalam x = (2k + 1 )π > M. Oczywiście, 2 sin x = sin(2k + 1)π = sin 1 π = 1, a zatem 2 2 sin x a 1 a = b > b = ɛ. 2 Zatem żadne a 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +, ani - acz to jest bardzo proste do udowodnienia). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 33 / 56

Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Jeśli f jest dowolną z poznanych funkcji elementarnych (czyli wielomianowych i wielomianopodobnych, trygonometrycznych i cyklometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych) lub ich sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem oraz złożeniem i jeśli x 0 D f to lim x x0 f (x) = f (x 0 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 34 / 56

Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Jeśli f jest dowolną z poznanych funkcji elementarnych (czyli wielomianowych i wielomianopodobnych, trygonometrycznych i cyklometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych) lub ich sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem oraz złożeniem i jeśli x 0 D f to lim x x0 f (x) = f (x 0 ). W praktyce oznacza to, że jeśli w dowolnym momencie obliczania granicy takiej w miarę prostej funkcji, będziemy mogli podstawić x 0 do wzoru i uzyskać jakąś konkretną wartość, to ta wartość będzie granicą funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 34 / 56

Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Granica funkcji elementarnej w punkcie dziedziny Jeśli f jest dowolną z poznanych funkcji elementarnych (czyli wielomianowych i wielomianopodobnych, trygonometrycznych i cyklometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych) lub ich sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem oraz złożeniem i jeśli x 0 D f to lim x x0 f (x) = f (x 0 ). W praktyce oznacza to, że jeśli w dowolnym momencie obliczania granicy takiej w miarę prostej funkcji, będziemy mogli podstawić x 0 do wzoru i uzyskać jakąś konkretną wartość, to ta wartość będzie granicą funkcji. Dlatego najczęstszym problemem jest obliczanie granic tych funkcji na końcach tzw. przedziałów określoności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 34 / 56

Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56

Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Przykład log 2 [x(x 1)(x 2)(x + 1)(x + 2)]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56

Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Przykład log 2 [x(x 1)(x 2)(x + 1)(x + 2)]. Dziedziną tej funkcji jest ( 2, 1) (0, 1) (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56

Przedział określoności Przedział określoności Przedziałem określoności funkcji f nazywamy przedział zawarty w dziedzinie D f, taki, że żaden przedział zawierający go (i różny od niego) nie zawiera się w D f. Przykład log 2 [x(x 1)(x 2)(x + 1)(x + 2)]. Dziedziną tej funkcji jest ( 2, 1) (0, 1) (2, + ). Przedziałami określoności tej funkcji są ( 2, 1), (0, 1) i (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 35 / 56

Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56

Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56

Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Oczywiście, dla funkcji wielomianopodobnej granica w może nie istnieć, jeśli liczby ujemne nie należą do jej dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56

Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Oczywiście, dla funkcji wielomianopodobnej granica w może nie istnieć, jeśli liczby ujemne nie należą do jej dziedziny. Przykład f (x) = x 5 + 200x 4 + x 73. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56

Wielomiany i funkcje wielomianopodobne - granice W wypadku wielomianu lub funkcji wielomianopodobnej o dodatnich wykładnikach potęg, jedynym krańcem przedziału określoności, na którym możemy mieć problem z określeniem granicy jest ±. Granicą w ± jest zawsze (za wyjątkiem wielomianu stopnia zerowego, czyli funkcji stałej) ±. Znak granicy zależy od zachowania się na danym końcu dziedziny składnika zawierającego najwyższą potęgę. Oczywiście, dla funkcji wielomianopodobnej granica w może nie istnieć, jeśli liczby ujemne nie należą do jej dziedziny. Przykład f (x) = x 5 + 200x 4 + x 73. Jako, że f (x) jest wielomianem, obliczamy tylko granice w ±. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic 36 / 56