Wiold Orzeszo * ZASTOSOWANIE LOKALNEJ APROKSYMACJI WIELOMIANOWEJ DO PROGNOZOWANIA CHAOTYCZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Sreszczenie Teoria chaosu deerminisycznego sanowi alernaywne podejście do analizy procesów finansowych. Ze względu na swój złożony charaer, szeregi chaoyczne wydają się być losowe i w onsewencji nieprognozowalne. W isocie różnią się od szeregów prawdziwie losowych możliwością ich efeywnego prognozowania w róim horyzoncie czasowym. W pracy zaprezenowano loalną aprosymację wielomianową - meodę prognozowania chaoycznych szeregów czasowych. Celem przeprowadzonych badań była weryfiacja sueczności meody w oparciu o wygenerowane szeregi chaoyczne oraz jej apliacja do prognozowania ewolucji wybranych szeregów czasowych pochodzących z WGPW. Dodaowo, orzymane wynii wyorzysano do idenyfiacji chaosu na WGPW. Słowa luczowe: chaos deerminisyczny, chaoyczne szeregi czasowe, prognozowanie chaosu, loalna aprosymacja wielomianowa. 1. Wsęp Jedną z eorii sosowanych do opisu złożonej dynamii procesów finansowych jes eoria chaosu deerminisycznego. Chaoyczne szeregi czasowe cechują się sompliowanym, pozornie losowym przebiegiem oraz mogą posiadać ypowe dla szeregów finansowych własności j. heerosedasyczność wariancji warunowej i grube ogony rozładów (Hsieh 1991). Podsawową własnością szeregów chaoycznych, zasadniczo różniącą je od prawdziwie losowych, jes isnienie zależności deerminisycznych pomiędzy obserwacjami. Zależności e umożliwiają prognozowanie ich ewolucji w róim horyzoncie czasowym z bardzo dużą doładnością. W pracy zaprezenowano loalną aprosymację wielomianową - meodę prognozowania chaoycznych szeregów czasowych. Jej sueczność zweryfiowano w zasosowaniu do wygenerowanych znanych szeregów chaoycznych. Doonano próby róooresowego prognozowania ewolucji szeregów czasowych sóp zmian i poziomów indesu WIG oraz sóp zwrou wybranych papierów warościowych noowanych na WGPW. Dodaowo, orzymane wynii wyorzysano do idenyfiacji chaosu deerminisycznego w analizowanych szeregach. * mgr, asysen, Kaedra Eonomerii i Saysyi, Uniwersye Miołaja Kopernia w Toruniu. 1
. Loalna aprosymacja wielomianowa Podsawowym obieem analizy w eorii chaosu jes sysem dynamiczny, m przez óry rozumie się parę S, f, gdzie S R jes przesrzenią sanów, zaś f : S S odwzorowaniem definiującym jej dynamię. W sysemach z czasem ciągłym odwzorowanie f zwyle zapisane jes w posaci równania różniczowego zwyczajnego w posaci normalnej: ds f (s), d (.1) dla dowolnego s S, zaś w przypadu sysemu dynamicznego z czasem dysrenym przez zależność reurencyjną: s +1 = f ( s ), = 0,1,... (.) gdzie s, s +1 S są sanami sysemu odpowiednio w momencie i +1. Sysem ( S, f ) nazywa się chaoycznym, jeśli posiada dodani wyładni Lapunowa oraz jes dyssypaywny, zn. generuje araor (Lorenz 1989). Waruniem oniecznym chaoyczności sysemu jes nieliniowy charaer funcji f. Chaoyczne sysemy dynamiczne generują chaoyczne szeregi czasowe, órych złożona ewolucja wydaje się być zaprzeczeniem regularności i porządu. Klasyczne meody eonomeryczne j. analiza speralna i funcja auoorelacji nie są w sanie odróżnić ich od prawdziwie losowych. W isocie w szeregach chaoycznych olejne obserwacje powiązane są zależnościami deerminisycznymi, órych isnienie daje możliwość znalezienia meod bardzo doładnego ich prognozowania w róim horyzoncie czasowym. W dłuższym horyzoncie czasowym szeregi chaoyczne są nieprognozowalne. Powodem jes ich duża wrażliwość na zmianę warunów począowych, w wyniu órej błędy prognoz powięszają się w olejnych ieracjach w empie wyładniczym. Horyzon czasowy, dla órego możliwe jes efeywne prognozowanie zależy od wielu czynniów m.in. liczby obserwacji, wymiaru araora i wyładniów Lapunowa sysemu oraz poziomu załóceń losowych. Podsawą eoreyczną dla meod prognozowania ewolucji chaoycznych szeregów czasowych jes wierdzenia Taensa o zanurzaniu (Taens 1981, por. Jimenez, Moreno i Ruggeri 199), z órego wynia w szczególności, że dla m odpowiednio dużego m oraz dowolnych,t N isnieje funcja gt : R R, dla órej: m x g xˆ ) g ( x, x,..., x ). (.3) T T ( T lag ( m 1) lag ˆ lag ( m 1) lag m Wysępujące w wierdzeniu Taensa weory x ( x, x,..., x ) zbudowane z obserwacji szeregu ( x ) nazywane są m-hisoriami lub weorami opóźnień, liczba m wymiarem zanurzenia, zaś lag opóźnieniem czasowym. Należy liczyć się z faem, że g T może być bardzo sompliowaną nieliniową funcją, jednaże możliwe jes efeywne prognozowanie bez idenyfiacji jej wzoru analiycznego. Oazuje się bowiem, że zasąpienie we wzorze (.3) nieznanej funcji g pewną jej aprosymaną g ~ oreślonego ypu, T T
może dawać zadowalające wynii prognoz. W meodzie loalnej aprosymacji wielomianowej przyjmuje się za g ~ T m-wymiarową funcję wielomianową. Prognozowanie polega wówczas na wyznaczeniu warości ~ ~ ~ m x (,,..., ) ( ˆ N T gt xn xn lag xn ( m 1) lag gt xn ), (.4) gdzie T jes horyzonem prognozy. W niniejszej pracy rozważono dwa rodzaje wielomianów aprosymujących: 1. sopnia pierwszego (liniowa aprosymacja wielomianowa): g~ T ( x1, x,..., xm) 0 1x1 x... mxm (.5). sopnia drugiego (wadraowa aprosymacja wielomianowa): g ~ T ( x1, x,..., xm ) 0 1x1 x... m xm i, j xi x j (.6) 1 i j m W obu przypadach esymacja paramerów wielomianu g ~ T poprzedzona jes wyborem weorów opóźnień, najbliższych (w sensie usalonej m- m wymiarowej meryi) weorowi xˆ N. W oparciu o wyznaczonych najbliższych sąsiadów, przy użyciu meody najmniejszych wadraów, doonuje się esymacji współczynniów g ~ T. Przyjmowana a priori liczba może być mniejsza od liczby wszysich dosępnych m-hisorii, sąd nazwa aprosymacja loalna. Orzymane prognozy zależą zaem od sopnia wielomianu aprosymującego, liczby najbliższych sąsiadów oraz od wymiaru zanurzenia m i opóźnienia czasowego lag. 3. Wynii prognoz W niniejszej pracy zaprezenowano wynii prognozowania ewolucji wybranych szeregów dla horyzonu czasowego T=1, przy wyorzysaniu liniowej i wadraowej loalnej aprosymacji wielomianowej. Badaniu poddano nasępujące szeregi: 1. chaoyczne - generowane przez: 1. odwzorowanie Henona,. odwzorowanie logisyczne, 3. sysem Lorenza, 4. model Kaldora.. rzeczywise: 1. logarymiczne sopy zmian indesu WIG (dzienne i ygodniowe),. logarymiczne sopy zwrou acji: BRE, Opimusa i Żywca (obserwacje dzienne). Szeregi czasowe pochodzące z WGPW doyczą ursów zamnięcia z oresu 03.10.1994-0.08.001r. Szereg ygodniowych zmian indesu WIG zosał wyznaczony w oparciu o poziomy zamnięcia sesji poniedziałowych. W racie badania ażdy z analizowanych szeregów długości N zosał podzielony na dwie części, sładające się odpowiednio z N 1 i N obserwacji. Dla ażdej obserwacji z drugiej próbi xn 1 i (dla i=1,,, N ) wyznaczono prognozę ~ ~ m x g ( xˆ ) g~ ( x,..., x ). Pierwsza próba N1 i 1 N1 i 1 1 N1 i 1 N1 i 1 ( m 1) lag 3
m zosała wyorzysana do wyboru najbliższych sąsiadów weora xˆ N1 i 1 oraz do oszacowania współczynniów wielomianu ~g 1. Prognozy wyznaczono dla nasępujących warości paramerów: lag=1,, 5, m=1,,,15 (dla aprosymacji liniowej) i m=1,,3,4 (dla aprosymacji wadraowej) oraz dla wszysich poencjalnie możliwych m. W celu znalezienia najbliższych sąsiadów zasosowano meryę eulidesową. Do oceny doładności prognozy wyorzysano bezwzględny błąd predycji ex-pos zadany wzorem: 1 1 N N N 1 1 ~ x x N (3.1) oraz względny posaci (por. Farmer i Sidorowich 1987): ' 100%, (3.) x gdzie x jes odchyleniem sandardowym szeregu ( x ) dla =1,,, N 1. Orzymane rezulay zosały podsumowane w abelach 1-9 i dla porównania zesawione z wyniami prognozowania w oparciu o modele ARMA, uzupełnionymi w przypadu procesów giełdowych o model GARCH(1,1) dla resz. Odwzorowanie Henona Odwzorowanie Henona H : R R generuje dwuwymiarowy sysem chaoyczny (R, H), według nasępującej zależności: H ( x, y ) ( x 1, y 1) (1 1,4 x y ; 0,3x ). (3.3) Badaniu poddano szereg 1715 obserwacji ( x ) wygenerowanych dla x, y 0 0 = 0,9,0,9. Tabela 1. Najmniejsze błędy prognozy dla szeregu Henona przy N 1 =1650, N =65 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 10-5 0,004% m=4, lag=1, =7 Aprosymacja wadraowa 10-14 10-1 % m=, lag=1, =1568 ARMA 0,64 87,39% ARMA(,6) Odwzorowanie logisyczne Odwzorowanie logisyczne generuje jednowymiarowy sysem chaoyczny 0,1, f, gdzie f x ) x 4 x (1 x ). W badaniu rozważono szereg ( 1 sładający się z 1715 obserwacji wyznaczony dla x =0,7. 0 4
Tabela. Najmniejsze błędy prognozy dla odwzorowania logisycznego przy N 1 =1650, N =65 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 10-7 10-4 % m=, lag=1, =6 Aprosymacja wadraowa 10-14 10-1 % m=1, =167 ARMA 0,33 93,40% Biały szum Sysem Lorenza Sysem Lorenza jes ciągłym chaoycznym uładem dynamicznym, zdefiniowanym przez nasępujący uład równań różniczowych: dx 16 ( y x) d dy x z 45,9 x y d dz x y 4 z d (3.4) Badaniu poddano szereg posaci x x( 0,01), dla =0,1,,1714 wygenerowany przez sysem Lorenza przy zadanych warunach począowych x ( 0), y(0), z(0) 1,1,1. Tabela 3. Najmniejsze błędy prognozy dla szeregu Lorenza przy N 1 =1650, N =65 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 0,001 0,0093% m=14, lag=1, =30 Aprosymacja wadraowa 0,001 0,0087% m=4, lag=1, =0 ARMA 0,004 0,034% ARMA(5,4) Model Kaldora Prognozowaniu poddano szereg Y wygenerowany z maroeonomicznego modelu Kaldora: Y 1 K 1 Y K ( I ( Y, K ) S ( Y )) I ( Y, K ) K (3.5) po przyjęciu założeń, że oszczędności zależą liniowo od dochodu, zn. S ( Y ) s Y, zaś funcja inwesycji jes posaci: I c 1 dy e Y f a K g. (3.6) Udowodniono, że a dobrana funcja spełnia założenia modelu Kaldora oraz, że w zależności od warości paramerów może generować chaos (Lorenz 1989). W badaniu przyjęo nasępujące paramery prowadzące do ewolucji chaoycznej: 5
0, s=0,1, 0, 05, a=5, c=0, d=0,01, 0, 00001, e=0,05, f=80, g=4,5 oraz warości począowe Y 0 65, K0 65. Tabela 4. Najmniejsze błędy prognozy dla szeregu Kaldora przy N 1 =1650, N =65 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 0,07 0,7% m=, lag=1, =6 Aprosymacja wadraowa 0,01 0,03% m=, lag=1, =13 ARMA 15,00 57,59% ARMA(4,3) Logarymiczne sopy zmian WIG (1715 obserwacji dziennych) Tabela 5. Najmniejsze błędy prognozy dla dziennych sóp zmian WIG przy N 1 =1650, N =65 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 0,015 64,7% m=10, lag=3, =11 Aprosymacja wadraowa 0,015 64,93% m=, lag=3, =90 AR-GARCH 0,0130 67,35% AR(1)-GARCH(1,1) Logarymiczne sopy zmian WIG (338 obserwacji ygodniowych) Tabela 6. Najmniejsze błędy prognozy dla ygodniowych sóp zmian WIG przy N 1 =300, N =38 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 0,095 59,7% m=15, lag=5, =130 Aprosymacja wadraowa 0,099 60,00% m=3, lag=4, =6 AR-GARCH 0,0340 68,31% WN-GARCH(1,1) Logarymiczne sopy zwrou BRE (1715 obserwacji dziennych) Tabela 7. Najmniejsze błędy prognozy dla sóp zwrou BRE przy N 1 =1650, N =65 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 0,013 68,11% m=3, lag=3, =71 Aprosymacja wadraowa 0,0 71,01% m=4, lag=3, =477 AR-GARCH 0,037 75,64% WN GARCH(1,1) Logarymiczne sopy zwrou Opimusa (1715 obserwacji dziennych) Tabela 8. Najmniejsze błędy prognozy dla sóp zwrou Opimusa przy N 1 =1650, N =65 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 0,0361 90,55% m=1, lag=1, =107 Aprosymacja wadraowa 0,0380 95,03% m=4, lag=5, =306 AR-GARCH 0,0409 10,43% WN-GARCH(1,1) 6
Logarymiczne sopy zwrou Żywca (1709 obserwacji dziennych) Tabela 9. Najmniejsze błędy prognozy dla sóp zwrou Żywca przy N 1 =1645, N =64 Meoda Opymalne paramery Liniowa aprosymacja 0,016 43,8% m=, lag=, =49 Aprosymacja wadraowa 0,018 43,98% m=, lag=, =161 AR-GARCH 0,0163 56,10% AR(1)-GARCH(1,1) Zaprezenowane w abelach 1-4 wynii powierdzają, że loalna aprosymacja wielomianowa jes bardzo sueczną meodą prognozowania ewolucji chaoycznych szeregów czasowych. Orzymane dzięi niej prognozy są dużo doładniejsze od wyznaczonych w oparciu o modele ARMA. Doyczy o zarówno prosych sysemów j. generowanych przez odwzorowania Henona i logisyczne, ja i bardziej złożonych, do órych można zaliczyć model Kaldora oraz sysem Lorenza. Zauważalna jes wyższość aprosymacji wadraowej nad liniową. Bardzo duża doładność prognozy, jaą daje aprosymacja wadraowa w zasosowaniu do szeregów Henona i logisycznego wynia z fau, że oba odwzorowania są w isocie funcjami wielomianowymi sopnia drugiego (funcja logisyczna dla m=1, odwzorowanie Henona dla m=, lag=1). Orzymany jes więc w ych przypadach efeem niedoładności esymacji ich współczynniów. W zasosowaniu do szeregów czasowych sóp zwrou, oba wariany aprosymacji wielomianowej dają prognozy doładniejsze niż modele AR- GARCH (abele 5-9). Jednaże wynii e powinny być osrożnie inerpreowane. Należy bowiem podreślić, że porównywane procedury prognozowania przebiegały według innej filozofii: w modelowaniu AR-GARCH wyorzysany był model z wcześniej usalonymi warościami paramerów, zaś w meodzie aprosymacji wielomianowej zosało wyznaczonych wiele prognoz dla różnych warości paramerów, a dopiero spośród nich wybrana a najlepsza. 4. Idenyfiacja chaosu deerminisycznego Wynii prognozowania będące efeem zasosowania loalnej aprosymacji wielomianem sopnia pierwszego można wyorzysać do idenyfiacji chaosu deerminisycznego w szeregach czasowych. Ideą meody jes nieudowodniona formalnie hipoeza, że dla szeregów chaoycznych najdoładniejsza prognoza ma miejsce dla niewielich warości, czyli liczby najbliższych sąsiadów wyorzysanych do oszacowania współczynniów wielomianu aprosymującego. Orzymane duże warości mogą świadczyć o ym, że szereg jes realizacją liniowego procesu auoregresyjnego, zaś pośrednie sugerują porzebę rozważenia pewnego nieliniowego modelu sochasycznego (Casagli 199). Rysuni 1-4 przedsawiają zależność względnego błędu prognozy ' od warości dla szeregów chaoycznych. 7
Rys. 1. Odwzorowanie logisyczne (m=, lag=1): min =6 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 4 415 86 137 1648 Rys.. Odwzorowanie Henona (m=4, lag=1): min =7 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 6 416 86 136 1646 Rys. 3. Sysem Lorenza (m=14, lag=1): min =30 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,015 0,01 0,005 0 16 41 86 131 1636 8
Rys. 4. Model Kaldora (m=, lag=1): min =6 80 70 60 50 40 30 0 10 0 4 415 86 137 1648 Na rysunach 5-6 przedsawiona jes zależność błędu prognozy od warości dla szeregów poziomów indesu WIG i jego sóp zmian. Rys. 5. Szereg poziomów WIG (m=4, lag=5): min =50 5 4,9 4,8 4,7 4,6 4,5 4,4 4,3 6 413 80 17 1634 Rys. 6. Szereg sóp zmian WIG (m=10, lag=3): min =11 80 75 70 65 60 1 817 16 9
Zauważalna jes wyraźna różnica między wyresami orzymanymi dla szeregów WIG a przebadanymi szeregami chaoycznymi. Orzymane warości, órym odpowiadają najdoładniejsze prognozy sugerują, że szeregi e są raczej realizacjami pewnych nieliniowych procesów sochasycznych. Celem dalszej analizy (rysuni 7-10) jes próba odpowiedzi na pyanie, czy analizowane szeregi WIG mogą być realizacją chaosu deerminisycznego z szumem, óry jes przyładem nieliniowego procesu sochasycznego. W ym celu do szeregu wygenerowanego przez odwzorowanie logisyczne o odchyleniu sandardowym dodano sładni losowy o odchyleniu sandardowym równym x olejno 0% x, 50% x,100% x i 150% x. Rys. 7. Odwzorowanie logisyczne (m=, lag=1, 0% x ): min =51 105 95 85 75 65 55 45 35 4 415 86 137 1648 Rys. 8. Odwzorowanie logisyczne (m=, lag=1, 50% x ): min =51 105 100 95 90 85 80 75 4 415 86 137 1648 10
Rys. 9. Odwzorowanie logisyczne (m=, lag=1, 100% x ): min = 108 107 106 105 104 103 10 101 100 99 98 4 415 86 137 1648 Rys. 10. Odwzorowanie logisyczne (m=, lag=1, 150% x ): min =9 109 108 107 106 105 104 103 10 101 4 415 86 137 1648 Z powyższych wyresów wynia, że dodanie szumu losowego zwięsza błąd predycji oraz warość, dla órego wyznaczona prognoza jes najdoładniejsza. Zauważalne jes również, że szał wyresu oraz rozpięość błędów prognozy wyraźnie zależą od odchylenia sandardowego sładnia losowego. Rysune 11 ilusruje zależność błędu predycji od warości dla szumu losowego. 11
Rys. 11. Biały szum (m=, lag=1): min =19 108 107 106 105 104 103 10 101 100 99 4 415 86 137 1648 Ja widać isnieje podobieńswo między wyresami orzymanymi dla szeregów WIG (rys. 5-6) a chaosem deerminisycznym z silnym szumem (rys. 9-10) oraz szumem losowym (rys. 11). Pewną wsazówą umożliwiającą rozróżnienie ych warianów może być analiza rozpięości błędów prognoz dla poszczególnych szeregów. W ym celu dla ażdego szeregu wyznaczono względną różnicę R między najmniejszym błędem prognozy a średnim poziomem błędu, sosując formułę: Me( ') ' min R 100%, Me( ') gdzie Me ( ') oznacza medianę 1. W poniższej abeli zosały zaprezenowane orzymane rezulay: Tabela 10. Względne różnice R między najmniejszym i średnim błędem prognozy Szereg: R: Poziomy WIG 7,64% Logarymiczne sopy zmian WIG 4,73% Odwzorowanie logisyczne 99,9998% Odwzorowanie logisyczne z szumem 0% 40,91% Odwzorowanie logisyczne z szumem 50% 11,87% Odwzorowanie logisyczne z szumem 100% 4,4% Odwzorowanie logisyczne z szumem 150% 4,5% Biały szum 1,46% Wynii mogą sugerować, że szeregi WIG-u są bardziej zbliżone do chaosu deerminisycznego z szumem, niż do białego szumu. Jednaże powyższą analizę należy raować jao wsępną do dalszych badań. Niezbędne są dodaowe symulacje prowadzące do lepszego poznania meody, a w szczególności jej 1 Zasosowanie w badaniu średniej arymeycznej doprowadziłoby do znieszałcenia wyniów, ze względu na isnienie warości esremalnych (pojawiających się dla małych ). 1
działania w zasosowaniu do szeregów będących realizacjami różnych rodzajów procesów sochasycznych, np. ypowych dla danych finansowych modeli ARCH. 5. Zaończenie W niniejszej pracy zaprezenowano loalną aprosymację wielomianową meodę wyorzysywaną do róoerminowego prognozowania ewolucji chaoycznych szeregów czasowych. Jej sueczność zweryfiowano w zasosowaniu do szeregów wygenerowanych przez odwzorowanie Henona, funcję logisyczną, sysem Lorenza i maromodel Kaldora. Wynii badań powierdzają, że loalna aprosymacja wielomianowa w zasosowaniu do szeregów chaoycznych daje dużo doładniejsze prognozy niż modele ARMA. Najmniejsze błędy predycji orzymano sosując aprosymację wielomianem sopnia drugiego. Prezenowana meoda poencjalnie może być suecznym narzędziem prognozowania również innych rodzajów szeregów czasowych, gdyż nie odwołuje się do własności szczególnych dla chaosu deerminisycznego. Co więcej, w przypadu aprosymacji wielomianowej sopnia pierwszego, z góry wiadomo, że prawdziwa (nieliniowa) dynamia chaoycznego szeregu czasowego musi się różnić od rozważonej aprosymany. Mimo o, ja wyazują wynii badań, po przyjęciu odpowiednich paramerów m-hisorii, loalnie możliwe jes doładne prognozowanie dynamii sysemu w oparciu o zależności liniowe. Loalną aprosymację wielomianową zasosowano do prognozowania ewolucji szeregów czasowych indesu WIG, jego sóp zmian oraz sóp zwrou wybranych acji z oresu 03.10.1994-0.08.001r. Orzymane rezulay wsazują, że meoda może być ineresującą alernaywą dla prognozowania oparego o modele AR-GARCH. Dodaowo orzymane wynii wyorzysano do idenyfiacji chaosu deerminisycznego na WGPW. W świele przeprowadzonej analizy wydaje się wąpliwe, aby przebadane szeregi były deerminisyczne o dynamice chaoycznej. Nie można wyluczyć ewenualności, że są one realizacją chaosu deerminisycznego z szumem lub pewnego innego nieliniowego procesu sochasycznego. Lieraura 1. Badel A.E., Guégan D., Mercier L., Michel O. (1997), Comparison of Several Mehods o Predic Chaoic Time Series, IEEE-ICASSP'97, Munich (Germany).. Casdagli M. (1989), Nonlinear Predicion of Chaoic Time Series, Physica D 35, 335-356. 3. Casdagli M. (199), Chaos and Deerminisic versus Sochasic Non-linear Modelling, Journal of he Royal Saisical Sociey B, 54, no., 303-38. 4. Diebold F.X., Nason J.A. (1990), Nonparameric Exchange Rae Predicion?, Journal of Inernaional Economics 8, 315-33. 5. Farmer J.D., Sidorowich J.J. (1987), Predicing Chaoic Time Series, Physical Review Leers 59, 845-848. 13
6. Hsieh D.A. (1991), Chaos and Nonlinear Dynamics: Applicaion o Financial Mares, The Journal of Finance, vol. XLVI, no.5. 7. Jimenez J., Moreno J.A., Ruggeri G.J. (199), Forecasing on chaoic ime series: a local opimal linear-reconsrucion mehod, Physical Review A, vol. 45, no. 6, 3553-3558. 8. Lorenz H.-W. (1989), Nonlinear Dynamical Economics and Chaoic Moion, Springer Verlag Berlin Heidelberg. 9. Taens F. (1981), Deecing Srange Aracors in Turbulence, (D. Rand and L.Young, Eds), w: Dynamical Sysems and Turbulence, Springer-Verlag, 366-381. Wiold Orzeszo APPLICATION OF A LOCAL POLYNOMIAL APPROXIMATION TO CHAOTIC TIME SERIES PREDICTION Summary Chaos heory has become a new approach o financial processes analysis. Due o complicaed dynamics, chaoic ime series seem o be random and, in consequence, unpredicable. In fac, unlie ruly random processes, chaoic dynamics can be forecas very precisely in a shor run. In his paper, a local polynomial approximaion is presened. Is efficiency, as a mehod of building shor-erm predicors of chaoic ime series, has been examined. The presened mehod has been applied o forecasing soc prices and indices from he Warsaw Soc Exchange. Addiionally, obained resuls have been used o deec chaos in analyzed ime series. 14