Matematyka dla Biologów Warszawa, stycznia 04. Imię i nazwisko:... Egzamin test GRUPA A nr indeksu:... Przy każdym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy fałszywy (NIE). Za każde pytanie można otrzymać 0,, lub 7 punktów.. Jacek i Placek zaciągnęli w pewnym banku kredyty w tej samej wysokości 400 000 zł, o tym samym oprocentowaniu nominalnym oraz na ten sam okres 0 lat (60 miesięcy). Jacek zdecydował się spłacać kredyt w ratach równych, a Placek w ratach malejących. (a) Pierwsza rata Jacka jest wyższa niż Placka; (b) Suma wszystkich odsetek, które Placek zapłaci bankowi, będzie mniejsza od sumy odsetek, które zapłaci bankowi Jacek; (c) Jeśli oba kredyty zostałyby zaciągnięte na 000 000 zł lub więcej, to wówczas ostatnia rata zapłacona przez Placka byłaby wyższa niż ostatnia rata zapłacona przez Jacka.. Na rysunku przedstawiono wykres pochodnej f (x) pewnej funkcji f : (0,5, 6,5). Prawdą jest, że funkcja f (a) osiąga minimum lokalne dla x = 6; (b) osiąga maksimum lokalne dla x = 4; 4 5 (c) maleje na przedziale (, 6). 0,5 6 6,5. Rozstrzygnąć czy prawdziwe są następujące zdania. (a) lim n n(n + )(n + ) 6 n 6 = ; (b) Dana jest liczba rzeczywista a = 5, 5(55). Wówczas 9a = 50; (c) Funkcja f : jest ciągła. Jeśli f(0) = oraz f() = 5, to istnieje liczba c (0, ), taka że f(c) = π. 4. Rozstrzygnąć czy prawdziwe są następujące zdania (a) Odległość między punktami A = (, ) i B = (, ) jest taka sama w metryce euklidesowej i miejskiej; (b) Wykresem funkcji y = 5 x w skali log-log jest linia prosta; (c) Macierz A ma dwa wiersze i trzy kolumny, zaś macierz B ma pięć wierszy i dwie kolumny. Wówczas mnożenie macierzy A B jest wykonalne. 5. W wykopaliskach znaleziono fragment kości zwierzęcej zawierający 64% izotopu węgla 4 C w stosunku do jego stężenia w atmosferze. Metodą datowania izotopem węgla 4 C (czas połowicznego rozpadu izotopu węgla 4 C wynosi τ = 5700 lat, proszę także pamiętać, że 0,64 = 0 6 ) ln 0,64 (a) można ocenić wiek kości na około 5700 ln ; (b) można ocenić wiek kości na około 5700 ( 6 ln 0 ln (c) nie znając wielkości próbki nie da się ocenić wieku znaleziska. ) ;
6. Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji F (x). Rozważmy równanie różnicowe x n+ = F (x n ). Na podstawie rysunku możemy stwierdzić, że poniższe zdania są prawdziwe (a) Punkt x jest niestabilnym punktem stacjonarnym tego równania; (b) Jeżeli x > x, to x 04 > x; (c) Punkt x jest lokalnie asymptotycznie stabilnym punktem stacjonarnym tego równania. 7. Dana jest funkcja f(x) = x e x. Czy prawdą jest, że (a) f (x) = e x ; (b) funkcja f jest wklęsła dla wszystkich x ; (c) funkcja f ma maksimum w punkcie x =. 8. Dana jest funkcja f(x) = sin(x + ). (a) / / f(x)dx > 0; (b) Pole pod wykresem funkcji f na przedziale [ /, /(π/ )] wynosi /; (c) Funkcja pierwotna dla funkcji f(x) = sin(x + ) ma postać F (x) = cos(x + ) + C. 9. + = (a) ln e 4 ; (b) ( ) log 8; (c) i + 5. 0. Czy wykres przedstawiony na rysunku dobrze przybliża wykres funkcji, której wzór został napisany poniżej danego rysunku? 0 0 f(x) = (x ) f(x) = log (x + ) 0 f(x) = x (a) (b) (c)
. Na rysunku przestawiono wykres funkcji F (x) = (x )(x )(x 4). Rozważmy model zadany równaniem różniczkowym ẋ = F (x). (a) Jeśli x(0) (, 4), to wówczas rozwiązanie x(t) zbiega do ; (b) Punkt stacjonarny x = jest lokalnie asymptotycznie stabilny; (c) Równanie to ma trzy dodatnie punkty stacjonarne. F (x) 0 4 x. Niech ϕ : [0, ], ϕ (t) = ( 4t( t), t(t ) ) oraz ϕ : [0, ], ϕ (t) = ( 6t( t), t(t ) ) będą dwiema parametryzacjami tej samej krzywej przedstawionej na rysunku obok. (a) ϕ (/) odpowiada punktowi A; (b) W parametryzacjach ϕ i ϕ długości tej krzywej są sobie równe; (c) ϕ () = ϕ (). 0 A. Rozpatrzmy zdanie: Jeśli pada deszcz, to ubieram ciepła kurtkę lub biorę parasolkę. Zaprzeczeniem tego zdania jest (a) Pada deszcz i nie ubieram ciepłej kurtki lub nie biorę parasolki ; (b) Jeśli pada deszcz, to nie ubieram ciepłej kurtki i nie biorę parasolki ; (c) Pada deszcz i nie ubieram ciepłej kurtki i nie biorę parasolki. 4. Pochodne cząstkowe funkcji f(x, y, z) = x sin z e y (a) f f (, 0, 0) = ; (b) (, 0, 0) = ; (c) x z w punkcie (, 0, 0) są równe f (, 0, 0) =. y 5. Czy zaprzeczeniem zdania: Wszystkie koty sa czarne lub pręgowane jest zdanie: (a) Znam kota, który nie jest pręgowany ; (b) Pewien kot nie jest czarny, a jest biały ; (c) Pewien kot jest biały.
Grupa A
Matematyka dla Biologów Warszawa, stycznia 04. Imię i nazwisko:... Egzamin pytania nr indeksu:... GRUPA A Przy każdym z pytań wpisz odpowiedź oraz dodaj zwięzłe uzasadnienie podanej odpowiedzi. Uzasadnieniem może być powołanie się na odpowiednie twierdzenie lub fakt znany z ćwiczeń lub wykładu lub odpowiednie (krótkie) rachunki. Za każde pytanie można otrzymać od 0 do 0 punktów. Pytanie. W zbiorze A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8} wprowadzono relacj R w ten sposób,»e liczby a A i b A s w relacji R je±li b/a jest liczb caªkowit. Czy ta relacja jest relacj porz dku? Czy mo»na relacj R uzupeªni, tworz c relacj Q, w ten sposób by relacja Q byªa relacj porz dku liniowego? Je±li tak, to trzeba poda, które elementy zbioru A musz by ze sob w relacji Q (relacj mo»na narysowa ). Pytanie. Obliczy granic g = f : okre±lona wzorem jest ci gªa? n +. Dla jakiej warto±ci parametru a funkcja 6n + 4n + x + a x f(x) = x + g x < lim n +
Pytanie. Jaka jest najwi ksza warto± funkcji f(x) = 4 x4 x + 04 na przedziale [0, 5]? Pytanie 4. Jaka jest warto± ±rednia funkcji x na przedziale [, 4]? Pytanie 5. Ci gªy model logistyczny zadany jest równaniem ( N(t) = rn(t) N(t) K Wyja±ni jaka jest biologiczna interpretacja parametru K. Jak zachowuje si rozwi zanie tego równania je±li, z jaki± wzgl dów, N(0) > K? ).
. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE;. (a) TAK; (b) NIE; (c) TAK;. (a) TAK; (b) TAK; (c) TAK; 4. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 5. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 6. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK; 7. (a) NIE; (b) NIE; (c) NIE; 8. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 9. (a) TAK; (b) NIE; (c) TAK; 0. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK;. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK;. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK;. (a) NIE; (b) NIE; (c) TAK; 4. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 5. (a) NIE; (b) NIE; (c) NIE; Odpowiedzi Grupa A Grupa A