Egzamin test. Matematyka dla Biologów Warszawa, 1 lutego GRUPA A

Transkrypt

1 Matematyka dla Biologów Warszawa, 1 lutego Imię i nazwisko:... Egzamin test GRUPA A nr indeksu:... Przy każdym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy fałszywy (NIE). Za każde pytanie można otrzymać 0, 1, 2 lub 7 punktów. 1. Rozważmy punkt regulaminu Zabrania się ściągania i korzystania z kalkulatorów (a) Czy można ściągać bez korzystania z kalkulatora?; (b) Czy zaprzeczeniem tego zdania jest Wolno ściągać i korzystać z kalkulatorów? ; (c) Czy zdanie Wolno ściągać i korzystać z kalkulatorów pozwala na korzystanie z kalkulatora bez ściągania?. 2. Funkcja f : [0, 7] jest ciągła. Stąd wynika, że (a) funkcja f jest rosnąca; (b) funkcja f przyjmuje swoją najmniejszą wartość w pewnym punkcie x 0 [0, 7]; (c) jeśli f(0) = 1 oraz f(5) = 2, to f(x) ma miejsce zerowe na przedziale (0, 5) (czyli istnieje x 0 (0, 5), takie że f(x 0 ) = 0). 3. Czy prawdziwe są równości: 0,45(45) = ( 7) lim n +2 n +e n n = 1 lim ln n = 1 n 7 n +3 n 3n 4 +3n 27 3 (a) (b) (c) 4. Zdanie Każda potwora znajdzie swojego amatora jest zaprzeczeniem zdania (a) Nie każda potwora znajdzie swojego amatora; (b) Pewna potwora nie znajdzie swego amatora; (c) Nie każda potwora nie znajdzie swojego amatora. 5. Zdecydować, czy poniższe zdania są prawdziwe: (a) Aby wyłożyć kafelkami podłogę o wymiarach 300 cm na 24 dm musimy kupić co najmniej 9,6 m 2 kafelków; (b) Na pewnym odcinku drogi obowiązuje ograniczenie prędkości do 120 km/h. Kierowca, który jedzie samochodem z prędkością 33 m/s nie przekracza dozwolonej szybkości; (c) Odległość między punktami x = (1, 2) i y = (0, 1) jest większa w metryce Euklidesowej niż w odległość między tymi punktami w metryce miejskiej. 6. Funkcja f : [0, 2] jest dana wzorem f(x) = sin(πx) + 3x x 2. Wówczas (a) funkcja f jest wklęsła dla x [0, 1]; (b) funkcja f maleje dla wszystkich x [0, 2]; (c) f (x) = cos(πx) + 3 2x. 1

2 7. Rozstrzygnąć, czy następujące zdania są prawdziwe: (a) Gradient funkcji f(x, y) = x + xy jest równy [1, x]; (b) Funkcja f jest dodatnia i rosnąca, a zatem f jest rosnąca i wypukła; (c) Funkcja f(x) = e x jest rosnąca. 8. Czy poniższe zdania są prawdziwe: (a) Relacji zdefiniowana za pomocą grafu po prawej stronie jest relacją porządku; (b) Spełniona jest równość log 3 2 = log9 2; (c) Spełniona jest równość i 13 = i. 9. Czy podane zdania są prawdziwe: (a) Długość krzywej zależy od jej parametryzacji; (b) Krzywa o parametryzacji [cos t, sin t, 2] to helisa (linia śrubowa); (c) Krzywa von Kocha jest ograniczona i ma skończoną długość. 10. Na rysunku po prawej stronie przedstawiono wykres pochodnej f (x) pewnej funkcji f(x). Na podstawie tego wykresu można wywnioskować następujące własności funkcji f(x): (a) Funkcja f jest funkcją wklęsłą w otoczeniu punktu x = 2; (b) Prawdziwa jest równość f(2) = 0; (c) Funkcja f posiada minimum lokalne w x = 2. 2 x f (x) 11. Jacek i Placek kupili dwa bliźniacze mieszkania. Obaj zaciągnęli kredyt w dokładnie tej samej wysokości i w tym samym banku i o takim samym (niezerowym) oprocentowaniu nominalnym. Jacek wybrał spłatę w ratach malejących, Placek w ratach równych. Oboje będą spłacali swoje kredyty, w ratach miesięcznych, przez 240 miesięcy. Zakładając, że zarówno Jacek jak i Placek będą spłacali kredyty terminowo a oprocentowanie i inne warunki umów nie ulegną zmianie, rozstrzygnąć czy następujące zdania są prawdziwe: (a) Jacek zapłaci większą pierwszą ratę kredytu niż Placek; (b) W 12 roku spłaty kredytów, raty Jacka będą wyższe niż raty Placka; (c) Aby stwierdzić czy 200 rata Jacka będzie wyższa od 3 raty Placka musimy znać oprocentowanie kredytu. 12. Rozwój pewniej populacji opisany jest równaniem logistycznym ( Ṅ(t) = 2N(t) 1 N(t) 4 gdzie N(t) oznacza zagęszczenie tej populacji w osobnikach na hektar. Początkowe zagęszczenie populacji wynosi N(0) = 1 osobnik na hektar. Wówczas (a) wykresem zagęszczenia tej populacji w czasie jest krzywa logistyczna; (b) dla dużych czasów zagęszczenie tej populacji będzie bliskie 1/4; (c) istnieje pewna chwila czas t 1, w której zagęszczenie populacji osiągnie wartość 10 osobników na hektar (czyli N(t 1 ) = 10). 2 ),

3 13. Niech f(x) = sin x + 1. Wówczas (a) f(x)dx = cos( 1) cos(1) + 2; (b) funkcją pierwotną dla funkcji f(x) jest funkcja F (x) = cos x + x ; (c) 1 1 f(x)dx = W wykopaliskach znaleziono fragment kości zwierzęcej zawierający 80% izotopu węgla 14 C w stosunku do jego stężenia w atmosferze. Metodą datowania izotopem węgla 14 C (czas połowicznego rozpadu izotopu węgla 14 C wynosi τ = 5700 lat) ln 0,8 (a) można ocenić wiek kości na około 5700 ln 2 ; ln 2 (b) można ocenić wiek kości na około 5700 ln 0,8 ; (c) nie znając wielkości próbki nie da się ocenić wieku znaleziska. 15. Niech x(t) oznacza zagęszczenie populacji A, zaś y(t) zagęszczenie populacji B. Przyjmijmy, że oddziaływania między tymi populacjami można opisać za pomocą następującego układu równań różniczkowych { ẋ(t) = r1 x(t) a 1 x 2 (t) + b 1 x(t)y(t) ẏ(t) = r 2 y(t) a 2 y 2 ( ) (t) + b 2 x(t)y(t). Na rysunku obok prawidłowo naszkicowano portret fazowy układu ( ) w przypadku gdy a 1 a 2 > b 1 b 2. Izokliny zaznaczono pogrubionymi liniami (osie układu także są izoklinami). Prawdziwe będą następujące stwierdzenia: (a) Model ( ) opisuje dwie populacje konkurujące ze sobą (czyli obecność osobników z populacji A jest niekorzystna dla populacji B i na odwrót); (b) Z portretu fazowego można wywnioskować, że punkt stacjonarny (x, y ) jest niestabilny; (c) Punkt (0, 0) jest niestabilnym punktem stacjonarnym układu ( ). y y r 2 a 2 r 1 a 1 x x 3

4 Grupa A

5 Matematyka dla Biologów Warszawa, 1 lutego Imię i nazwisko:... Egzamin pytania nr indeksu:... GRUPA A Przy każdym z pytań wpisz odpowiedź oraz dodaj zwięzłe uzasadnienie podanej odpowiedzi. Uzasadnieniem może być powołanie się na odpowiednie twierdzenie lub fakt znany z ćwiczeń lub wykładu lub odpowiednie (krótkie) rachunki. Za każde pytanie można otrzymać od 0 do 10 punktów. Pytanie 1. Podejrzewamy,»e zale»no± mi dzy cech A i cech B jest wykªadnicza, czyli y = b a x, gdzie x oznacza wielko± cechy A, y wielko± cechy B, za a i b s nieznanymi staªymi. W jakich wspóªrz dnych nale»y przedstawi na wykresie wyniki pomiarów cechy A i B, aby wspóªczynniki a i b mo»na byªo wyznaczy przy pomocy metody regresji liniowej (czyli metody najmniejszych kwadratów)? Odpowied¹ uzasadni. Pytanie 2. Wyznaczy tak liczb rzeczywista a, by funkcja f(x) = dla wszystkich x. 2x + a x 2 4 x + 2 x 2 x > 2 byªa ci gªa 1

6 Pytanie 3. Jaka jest najmniejsza warto± funkcji f(x) = x3 3 x2 2x+12 na przedziale x [0, 3]? 2 Pytanie 4. Jakie jest pole gury zawartej pomi dzy wykresem funkcji f(x) = x 3 +1, osi odci tych oraz prostymi x = 0 i x = 3? Pytanie 5. Zag szczenie pewnej populacji zostaªo opisane nast puj cym równaniem rekurencyjnym: x n+1 = 2 3 x n + 1, gdzie x n oznacza zag szczenie osobników tej populacji na jednostk powierzchni w sezonie n. Jak b dzie si zmieniaªo zag szczenie tej populacji w kolejnych sezonach, je±li na pocz tku zag szczenie wynosi pewne x 0 (0, 1)? Uzasadnieniem odpowiedzi mo»e by odpowiedni rysunek lub odpowiednie rachunki. 2

7 1. (a) NIE; (b) NIE; (c) NIE; 2. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK; 3. (a) NIE; (b) NIE; (c) TAK; 4. (a) TAK; (b) TAK; (c) NIE; 5. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 6. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 7. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK; 8. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 9. (a) NIE; (b) NIE; (c) NIE; 10. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 11. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 12. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 13. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK; 14. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 15. (a) NIE; (b) NIE; (c) TAK; Odpowiedzi Grupa A 3

8 Odpowiedzi grupa A Pytanie 1. Wyniki pomiarów nale»y przedstawi we wspóªrz dnych póª-logarytmicznych, gdy» w tych wspóªrz dnych wykres funkcji wykªadniczej jest lini prost. Pytanie 2. natomiast a = 0, bo: x 2 4 lim x 2 + x + 2 = lim (x 2)(x + 2) x 2 + x + 2 lim x 2 (2x + a) = 4 + a. = lim x 2 +(x 2) = 4, Pytanie 3. f(2) = = Uzasadnienie: f (x) = x 2 x 2 = (x + 1)(x 2). St d wnioskujemy,»e f (x) < 0 dla x [0, 2) oraz f (x) > 0 dla x (2, 3) a to oznacza,»e najmniejsza warto± funkcji f na przedziale [0, 3] jest przyjmowana w punkcie x = 2. Pytanie , bo pole pod wykresem funkcji jest równe caªce oznaczonej czyli Pole = 3 0 ( 1 (x 3 + 1)dx = 4 x4 + x) 3 0 = == = Pytanie 5. Zag szczenie populacji b dzie si zbli»aªo do punktu stacjonarnego x = 3 oscyluj c: je±li warto± x n b dzie mniejsza ni» 3, to x 5 n+1 b dzie wi ksza od 3. Zachowanie to mo»na 5 5 zilustrowa przy pomocy metody paj czynowej: y y = x y = 2 3 x + 1 x 0 x 2 x 4 x 5 x 3 x 1 x 4