Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste i zespolone) 1. ILOCZYN SKALARNY Definicja. Iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej V nad cia lem R (lub C) to funkcja, : V V C spe lniaj aca warunki: 1) x,x 0, x,x = 0 x = 0 2) x,y = y,x 3) x,y +z = x,y + x,z 4) αx,y = α x,y Iloczyn skalarny zadaje normȩ wzorem x = x,x. Istotnie, widać natychmiast warunek na zero oraz jednorodność. Podaddytywność wyniknie z nier. Schwarza: Twierdzenie (Nierówność Schwarza) x,y x y Dowód: Jeśli y = 0 to nierówność jest trywialna. W innym wypadku, k ladziemy t = x,y y 2. Wtedy 0 x ty,x ty = x,x x,ty ty,x + ty,ty = x 2 t x,y t x,y + t 2 y 2 = x 2 2 x,y 2 y 2 co po uproszczeniu i pomnożeniu przez y 2 daje tezȩ. Teraz możemy wykazać podaddytywność normy: x+y 2 = x 2 + x,y + y,x + y 2 = x 2 +2Re( x,y )+ y 2 + x,y 2 y 2, x 2 +2 x,y + y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. Definicje. Przestrzeń unitarna to przestrzeń z iloczynem skalarnym i zadan a przezeń norm a. Przestrzeń Hilberta to przestrzeń unitarna zupe lna. Fakt. Mamy ci ag lość iloczynu skalarnego(jako funkcji dwóch zmiennych) w normie: x n x,y n y = x n,y n x,y.
2 Dowód: Mamy: x n,y n x,y = x n,y n x n,y + x n,y x,y = x n,y n y + x n x,y x n y n y + x n x y x 0+0 y = 0, gdzie ostatnia nierówność wynika z nierówności Schwarza, a zbieżność x n x wynika z ci ag lości normy. Fakt. (Nierówność równoleg loboku) Norma zadana przez iloczyn skalarny spe lnia nastȩpuj acy warunek: x+y 2 + x y 2 = 2 x 2 +2 y 2 (Interpretacja: suma kwadratów przek atnych równoleg loboku jest równa sumie kwadratów jego boków.) Dowód: Trzeba napisać kwadraty norm jako iloczyny skalarne, po lewej stronie wymnożyć i skrócić. Twierdzenie. Jeśli norma w jakiejś przestrzeni unormowanej spe lnia warunek równoleg loboku, to istnieje tam iloczyn skalarny zgodny z t a norm a. Dowód: Iloczyn skalarny wprowadzamy wzorem: Re( x,y ) = 1 2 ( x+y 2 x 2 y 2 ) Im( x,y ) = 1 2i ( x iy 2 x 2 y 2 ) Sprawdzenie aksjomatów iloczynu skalarnego na ćwiczeniach. 2. ORTOGONALNOŚĆ. Definicja. Powiemy, że dwa wektory s a ortogonalne jeśli ich iloczyn skalarny jest zero: x y x,y = 0. Uwaga: Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora. Ortogonalność parami elementów dowolnego zbioru nie zawieraj acego zera implikuje niezależność tego zbioru (ale nie odwrotnie). 3. RZUT ORTOGONALNY. Niech A V bȩdzie podzbiorem przestrzeni unitarnej i niech x V. Powiemy, że x jest ortogonalny do A, co zapiszemy x A jeśli x y dla każdego y A. Z liniowości i ci ag lości iloczynu skalarnego wynika, że wtedy również x Lin(A). Niech teraz W oznacza domkniȩt a podprzestrzeń przestrzeni unitarnej V i niech x V. Definicja. Rzutem ortogonalnym x na W nazywamy wektor x W W spe lniaj acy (x x W ) W.
Rzut ortogonalny, o ile istnieje, jest jednoznaczny: gdyby x w 1 W i x w 2 W, gdzie w 1,w 2 W, to x w 1 x+w 2 = w 1 w 2 W, a to oznacza, że w 1 w 2 jest ortogonalny sam do siebie, co z kolei oznacza, że jest to wektor zerowy. Jeśli x W, to oczywiście x W = x. Później wykażemy, że w przestrzeni Hilberta rzut ortogonalny dowolnego wektora na dowoln a podprzestrzeń domkniȩt a istnieje. Najpierw zajmiemy siȩ przypadkiem, gdy W = Lin{x 1,...,x n }, gdzie x 1,...x n s a parami ortogonalne i unormowane. Zauważmy, że w takim przypadku każdy wektor w W, zapisuje siȩ jednoznacznie jako w = n a ix i. I wtedy jego norma wylicza siȩ nastȩpuj aco: w 2 = w,w = a i x i, a j x j = czyli j=1 (Jest to Twierdzenie Pitagorasa.) a i ā j x i,x j = i,j=1 w = n a i 2. a i ā i x i,x i = a i 2, Zbadamy teraz rzut ortogonalny na tak a przestrzeń W. Mianowicie, wtedy, dla dowolnego x V mamy x W = x,x i x i. Faktycznie, x W W oraz niech y W, y = n α ix i. Obliczmy n x x W,y = x, α i x i x,x i x i, α i x i = ᾱ i x,x i x,x i ᾱ i 1 = 0. Liczby x,x i nazywamy wspó lczynnikami Fouriera dla x wzglȩdem uk ladu ortonormalnego {x 1,...,x n }. Fakt 1.(Nierówność Bessela w wymiarze skończonym) Suma kwadratów wspó lczynników Fouriera x nie przekracza x 2. 3 Dowód: Faktycznie x 2 = x,x = x x W +x W,x x W +x W = x x W 2 +0+0+ x W 2 x W 2 = x,x i 2.
4 Niech teraz {x 1,x 2,...} bȩdzie ci agiem elementów unormowanych i parami ortogonalnych. z powyższego lematu wynika natychmiast, że ci ag x,x i jest sumowalny z kwadratem i suma kwadratów nie przekracza kwadratu normy x. Fakt 2. Jeśli teraz mamy ci ag liczb α i sumowalny z kwadratem, to ci ag sum skończonych n α ix i jest podstawowy w normie. Dowód: Faktycznie, kwadrat normy różnicy miȩdzy n-t a a m-t a tak a sum a wynosi m i=n+1 α 2 i, a to jest dowolnie ma le jeśli n i m s a dostatecznie duże. Fakt 3. Kwadrat normy elementu bȩd acego granic a takiego szeregu (o ile istnieje) jest równy sumie kwadratów wspó lczynników. Dowód: Faktycznie, kwadrat normy sumy skończonej jest równy odpowiedniej sumie skończonej kwadratów liczb α i a norma jest ci ag la, wiȩc w granicy otrzymamy ż adan a równość. Twierdzenie. Niech V bȩdzie przestrzeni a Hilberta i niech {x 1,x 2...} bȩdzie uk ladem ortonormalnym. Niech W = Lin({x 1,x 2...}). Wtedy rzut ortogonalny dowolnego elementu x V na W wyraża siȩ wzorem x W = x,x n x n. n=1 Kwadratnormyx W wynosi n x,x n 2 inieprzekracza x 2. (Ostatnianierówność nosi nazwȩ nierówności Bessela.) Dowód: ZFaktu1wynika,żeszeregwspó lczynnikówfouriera x,x n jestsumowalny z kwadratem i suma tego szeregu nie przekracza kwadratu normy x. Dalej, z Faktu 2 i zupe lności wynika, że szereg w definicji x W jest zbieżny, czyli element x W jest poprawnie zdefiniowany. Sprawdzimy, że jest on rzutem ortogonalnym x na przestrzeń domkniȩt a W. Po pierwsze, należy on do tej przestrzeni. Dalej, dla dowolnie ustalonego n 0 obliczmy x x W,x n0 = x x,x n x n,x n0 = x,x n0 x,x n x n,x n0 = n=1 n=1 x,x n0 x,x n0 x n0,x n0 = 0. Zatem x x W {x 1,x 2,...}, a to implikuje, że x x W W. Wzór na normȩ x W wynika z Faktu 3, a oszacowanie z pierwszego zdania dowodu. UWAGA: Jeśli ci ag {x i } rozpina ca l a przestrzeń V (w sensie domkniecia), to oczywiście x W = x i wtedy mamy wzór (*) x = n x,x n x n oraz x 2 = n x,x n 2.
5 Równość ta nosi nazwȩ tożsamości Parsevala. Wynika z tego, że w przestrzeni Hilberta każdy przeliczalny uk lad ortonormalny liniowo gȩsty {x n } jest baz a topologiczn a. Powyższa reprezentacja x w tej bazie nazywa siȩ też rozwiniȩciem x w szereg Fouriera wzglȩdem bazy {x n }. 4. ORTOGONALIZACJA GRAMMA SCHMIDTA Twierdzenie. Niech {y 1,y 2...} bȩdzie ci agiem liniowo niezależnym w przestrzeni unitarnej. Wtedy istnieje ci ag ortonormalny {x 1,x 2,...} taki, że dla każdego n, Lin{y 1,...,y n } = Lin{x 1,...,x n }(wszczególnościlin{y 1,y 2...} = Lin{x 1,x 2...}). Dowód: Zauważmy, że ci ag {y n } jako niezależny nie zawiera zera. Zatem można dzielić przez y n. Krok 1. x 1 = y1 y 1. Krokn+1. Za lóżmy,żeskonstruowaliśmyuk ladortonormalnyx 1,...,x n oż adanych w lasnościach (rozpinanie tych samych przestrzeni przez pocz atkowe kawa lki ci agu, codlay 1,...,y n ). Mamywskazaćx n+1 tak,abylin{y 1,...,y n+1 } = Lin{x 1,...,x n+1 }. Definiujemy x n+1 = y n+1 (y n+1 ) W y n+1 (y n+1 ) W, gdzie W = Lin{y 1,...,y n }(= Lin{x 1,...,x n } z za lożenia indukcyjnego). W mianowniku nie wystȩpuje zero, gdyż y n+1 jest niezależny od {y 1,...,y n }, zatem nie należy do W, st ad (y n+1 ) W y n+1. Zdefiniowany wektor ma wiȩc normȩ 1, jest ortogonalny do W, a wiȩc do wszystkich x 1,...x n. Z wektorów x 1,...,x n+1 można uzyskać y n+1 jako kombinajcȩ liniow a (najpierw można uzyskać (y n+1 ) W bo ten należy do W, a potem dodaj ac do x n+1 pomnożony przez mianownik z powyższej definicji odtworzymy y n+1.) Zatem y n+1 Lin{x 1,...,x n+1 } (no i oczywiście x n+1 Lin{y 1,...,y n+1 }), co wobec równości przestrzeni rozpiȩtych przez wektory do numeru n daje równość przestrzeni rozpiȩtych przez wektory do numeru n+1. 5. ISTNIENIE BAZY ORTONORMALNEJ W OŚRODKOWEJ PRZESTRZENI HILBERTA. Twierdzenie. W przestrzeni Hilberta istnieje maksymalny zbiór ortonormalny B. Mamy wtedy Lin(B) = V. W przypadku ośrodkowym zbiór B jest co najwyżej przeliczalny (czyli wtedy jest on baz a topologiczn a). Dowód: Rozpatrzmy rodzinȩ zbiorów ortonormalnych (nie koniecznie przeliczalnych) uporz adkowan a rosn aco przez inkluzjȩ. Latwo widać, że suma tej rodziny jest też zbiorem ortonormalnym. Zatem wśród zbiorów ortonormalnych każdy lańcuch ma kres górny. Z lematu Kuratowskiego Zorna wynika istnienie maksymalnego zbioru ortonormalnego B. Zauważmy, że odleg lość dwóch wektorów ortonormalnych zawsze wynosi 2, zatem każdy uk lad ortonormalny jest zbiorem 2-rozdzielonym. W przypadku ośrodkowym zbiór rozdzielony (z jak aś sta l a) może być co najwyżej przeliczalny.
6 Teraz pokażemy, że B rozpina ca l a przestrzeń. Jeśli istnieje x nie należ acy do W = Lin(B), to rzutujemy go na W i wtedy x x W. Zatem 0 x x W W. Wtedy B { x xw x x W } jest zbiorem ortonormalnym wiȩkszym do B, co przeczy maksymalności. Zwerbalizujmy jeszcze raz co zosta lo pokazane: W każdej ośrodkowej przestrzeni Hilberta istnieje ortonormalna baza topologiczna. Nazywamy j a po prostu baz a przetrzeni Hilberta. Każdy element rozwija siȩ w szereg Fouriera i ma normȩ jak we wzorach (*). Jeśli zostanie czas: Przyk lady: R n, l 2, L 2 ([0,2π]), L 2 (R). Przypomnieć ośrodkowość. Zatem każda z nich ma bazȩ ortonormaln a. Wskazać te latwe bazy. Pokazać, że {1,cosnx,sinnx} jest baz a w L 2 ([0,2π]) ortogonaln a (trzeba j a jeszcze unormować). W tym celu trzeba skorzystać z Tw. Weierstrassa (zob. Musielak, str. 73 Tw. 9.6), z tego że jednostajna zbieżność implikuje w L 2, i z tego, że f. ci ag le leż a gȩsto. Ortogonalność wynika ze wzorów na górze str. 74. W L 2 (R) baz a jest na przyk lad suma baz na odcinkach [2kπ,(2 + 1)kπ] (przed lużonych zerowo na ca le R). 7. Izomorfizm przestrzeni Banacha, izomorfizm unitarny. Twierdzenie. Każde dwie ośrodkowe przesterznie Hilberta s a unitarnie izomorficzne.