CZASOPISMO T MIESIĘCZNIK POŚWIĘCONY ZAGADNIENIOM TECHNIKI I ARCHITEKTURY Kraków Wrzesień Paździerik 1947 Nr. 8 10 70-LECIE KRAKOWSKIEGO TOW. TECHNICZNEGO 60-LECIE CZASOPISMA TECHNICZNEGO" MIEJSKA KOLEJ ELEKTRYCZ W KRAKOWIE UL. ŚW. WAWRZYŃCA 13/15 NR TELEFONU 593-75/76 SKRYTKA POCZTOWA NR 751 RACHUNKI BIEŻĄCE: BANK HANDLOWY ODDZIAŁ KRAKÓW K. K. O. MIASTA KRAKOWA NR 50130 I N S P E K C J A (OBOK POCZTY GL) NR TELEFONU 507-60 R E M I Z A N A R Y D L Ó W C E NR TELEFONU 557-45 M-19778
Nr 9 10 CZASOPISMO TECHNICZNE 159 Iż. Dr. WITOLD NOWACKI DRGANIA POPRZECZNE I WYBOCZENIE UKŁADU RAMOWEGO JAKO PROBLEM ŁĄCZNY A) W mechaice ciał doskoale sztywych stosuje się zazwyczaj miarą dyamiczą do określeia stopia stateczości układu. Wychylając ciało z położeia rówowagi badamy czy układ wraca do położeia rówowagi w sposób powoly czy szybki. Przy zaczym stopiu stateczości układu otrzymamy zaczą częstotliwość drgań; dla zmiejszającego się stopia stateczości częstość drgań maleje dążąc ze zbliżeiem się do graicy stateczości do zera. Okres drgań własych względie częstotliwość drgań staowi tu dyamiczą miarę iestateczości. Dyamiczą miarę iestateczości rozszerzoo 1 a ciała sprężyste. Proste doświadczeie wykoae przez A. Sommerfelda*) i poparte rozważaiem teoretyczym stwierdza że smukły pręt pioowy wprowadzoy w drgaia poprzecze drga 2 większą częstotliwością w położeiu (rys. la) iż w położeiu jak a rys. lb. W pierwszym położeiu ciężar własy pręta wywołuje w pręcie aprężeia ściskające a przy wy- <*) chyleiu pręta z położeia rówowagi momet sił ciężkości II przeciwstawia się mometowi sprowadzającemu pręt do położeia rówowagi. W drugim położeiu ciężar własy wywołuje rozciągaie a momety I i II działają w tym samym kieruku. Jeżeli w położeiu pierwszym pręta a szalce S położymy ciężarki to ze wzrostem obciążeia częstotliwość drgań własych stopiowo zmiejszy się. Dla częstotliwości co > 0 obciążeie i ciężar własy pręta zdążają do obciążeia krytyczego pręta a wyboczeie. Belka w dwóch puktach podparta swobodie ściskaa siłą podłużą i wprowadzoa w drgaia poprzecze zmieia częstotliwość drgań własych w zależości od wielkości siły podłużej według wzoru : to. *) A. Sommerfelcl: Eie eiufache Vorrichtus; zur Veraschaulichug des Kickyorgag-es". Z. V. D. J. 1905. Str. 1320. I. gdzie co Q jest częstotliwością drgań własych przy braku siły podłużej (S = 0) 2 jr "k = -ffr- jest częstotliwością drgań własych O k przy S I 0 " \1 jest siłą krytyczą wyboczeia. Z rówaia (a) wysuć moża astępujące wioski: a) Częstotliwość drgań własych OJ^ zmiejsza się ze wzrastającą siłą podłużą i dla S» Sk dąży do zera. b) Częstotliwość drgań własych wzrasta ze wzrostem siły rozciągającej S. c) W wypadku drgań wymuszoych astępuje ze wzrostem tu zmiejszeie siły krytyczej pręta. Powyższe twierdzeie zawdzięczamy L. Eulerowi. Związek (a) staowi dyamiczą miarę wyboczeia. Z pewym przybliżeiem związek te będzie słuszy dla prętów o zmieym przekroju i odmieych rodzajach utwierdzeia końców pręta. Z miary dyamiczej wyboczeia korzysta się praktyczie przy określaiu sił krytyczych dla wież masztów gdzie a modelu lub w aturze określeie okresu drgań własych ie astręcza większych trudości; trudość staowi określeie sztywości a zgiaie układu (odpowiedik EJ dla pręta). Poiżej zajmiemy się układami ramowymi ieprzesuwymi o prętach drgających poprzeczie i jedocześie ściskaych lub rozciągaych. B) Rozważmy dowoly płaski ieprzesuwy układ ramowy składający się z prętów prostych. Niech siły działają jedyie w węzłach wywołując w prętach w staie statyczym wyłączie siły podłuże. Przekroje prętów iech będą tak dobrae że wyboczeie astąpić może jedyie w płaszczyźie układu ramowego. Zakładamy ieściśliwość prętów pomijając wpływ sił podłużych a odkształceie układu i pomijając wpływ drgań podłużych prętów. Zakładamy dalej że wszelkie założeia teorii wyboczeia jak i drgań własych są spełioe a problem zacieśioy do obszaru odkształceń sprężystych. Ze względu a ieraz bardzo wysoką statyczą iewyzaczalość układu ramowego stosujemy metodę odkształceń przyjmując kąty obrotu węzłów jako wielkości adliczbowe geometrycze. Jeżeli układ ramowy wychylimy z położeia rówowagi i w sposób agły usuiemy przyczyę wychyleia układ wykoywać zaczie poprzecze drgaia swobode. Jeśli pomiąć wpływ tłumieia
160 CZASOPISMO TECHNICZNE Nr 9 10 zewętrzego i wewętrzego to drgaia te ie Mj = zaikają ai ie zmiejszają swych aplitud.. r / o\ " J_ / o\ Z układu ramowego wyodrębijmy pręt J-K. M K = m [s (a p) c Pj + c (a p) cp K ] Na końcach pręta wykoujących drgaia włase gdzie : (3) powstają momety o amplitudach Mj MK oraz 2 2 kąty obrotu o amplitudach cpj cpu. fet j3) = c Rówaie różiczkowe problemu brzmi: EJ ṯfiy (i) Cos 8 si e e cos e Si 8 Si8sis(S 2 -s 2 )-28e(CosScosE 1) rys. 2. u. = masa pręta a jedostkę długości. Zakładając: y (x t) = y (x) si co t przy arazie iezaej postaci drgań y (x) i częstotliwości drgań '.o = -=- przekształcamy cząstkowe rówaie różiczkowe (1) a zwyczaje rówaie różiczkowe Ozaczając dla skróceia: EJ' EJ 2 " 4 i r ' 2 (1') otrzymamy całkę ogólą rówaia (1') w postaci: y(s) = Cj Cos 85 + C 2 Si S + C 3 si ss + +- u 4 cos 85 Z waruków brzegowych: Mj 5 = 0: y(0) = 0 y"(0) = EJ I 2 ' J x T EJ I 2 (Z) wyzaczymy stałe C 4 jako fukcje mometów przy węzłowych Mj MK. Jeżeli tak określoe stałe C y C 4 wstawimy do zależości y'(0) = /l; 9j y'(l) = 9 /l K i POwyższe rówaia rozwiążemy względem M i M K dojdziemy do astępujących rówań: e Si 5 8 si Si 8 si e (5 2 - e 2 ) - 2 8 e (Cos 8 cos e 2 EJ m = 1 S = 0 otrzy- W wypadku szczególym a = 0 mamy: gdzie: Ł 2 Si j3 si p 1 Cos p cos p ' Cos si /? Si js cos (9 1 -C os; cos/? 1) (3a) W wypadku a =/ 0 /? = 0 rówaie (3) przechodzi a: gdzie: M. =! m [c (a) <pj 4- s(a)cp K ] M K = m[s(a)cpj H- c (a) cp K ]. a ' 2 sia a cos oc 2 (1 cos a) a si cc a cc sia 2 2 (1 cos a) a si a " <3b) Wreszcie dla a * 0 /3 > 0 przechodzimy z problemu dyamiczego a problem statyczy: c (a $-> 2 s(a//)->l. Mj = m (2 rpj + cp K ); M K = m (<Pj + 2 cp K ) (3c) Jeżeli p. w węźle J istieje przegub to Mj = 0. Elimiując z pierwszego i drugiego rówaia (3) wielkość f p uzyskamy: gdzie: M = 0; M K = m^(cc /5) cp K (4) ć (a /]) = ii^-. 5 C t g 8i e c t g W wypadku siły rozciągającej ależy w rówaiu (4) w miejsce cc wstawić a y 1 co w kosekwecji prowadzi do zamiay S a e w tych rówaiach. C) Rama ieprzesuwa o r węzłach wolych jest układem r-krotie geometryczie iewyzaczalym. Odpowiedią ilość rówań warukowych
Nr 9 10 CZASOPISMO TECHNICZNE 161 otrzymamy ze zrówoważeia węzłów (sprowadzając w myśl zasady d'alemberta zag-adieie dyamicze do statyczego). Suma amplitud mometów przywęzłowych dowolego węzła a ramy wia być dla każdej chwili t ~ t 0 rówą zeru. Przy r węzłach układu ramowego otrzymamy r rówań typu Z Mai «= Mab + Mac - Mad + Mae =- 0 (5) Po wprowadzeiu do wielkości Mai związków (3 4) uzyskamy układ r rówań liiowych wzglę- Jeżeli w węźle a działa momet Msi«'t wywołujący drgaia wymuszoe układu przy stałej częstotliwości w to zrówoważeie węzła a daje: (Mab + Mac + Mad) si c t = M si a' t Przy stałym co a tym samym przy stałym (i moża wyzaczyć siłę krytyczą S wywołującą ziszczeie układu. W tym wypadku przy cp a > co otrzymamy jako waruek wyboczeia D tt - 2 c (/?) + c (a /J) = 0 /} - cost. (II) Rówaie (II) określi zmiaę siły krytyczej SK w zależości od zmieiającej się częstotliwości drgań własych. Dla a = 0 Dg = 3 c (/?) = 0 rówaie warukowe drgań własyi h bez udziału siły podłużej. Dla /? = 0 D a --= 4 + c(cc) = 0 otrzymujemy rówaie warukowe wyboczeia układu. Zrówoważeie węzłów 1 i 2 układu ramowego rys. 5 daje układ dwóch rówań: +c(a/?)]<p 2 = 0. dem <p i jedorodych. Układ jedorodych rówań warukowych będzie tylko wtedy iesprzeczym (pomiąwszy rozwiązaie trywiale cp 0) gdy wyzaczik układu rówań D (a /?) będzie rówy zeru. Waruek D (a fj) daje rówaie przestępe o oo ilości pierwiastków /5. Najmiejszy z ich określi podstawową częstotliwość drgań własych. I tak dla układu ramowego (rys. 4) zrówoważeie węzła daje łl Mab + Mac + Mad - 0 Mab = mc(/3) cp a ; J.l. Mad = mc(a Wyzaczik układu przy postać: CL 0Lu d Mac - mc(/?)(p m a Ilu. rys. 4. - cost. przyjmie 0 - o (i) Rówaie (1) określi zmiaę częstotliwości drgań własych wywołaą siłą S. rys. 5. Rozwiązaie wyzaczika układu rówań prowadzi do dwóch rówań warukowych: s(/3) + c(cc 9) = 0 itf) + c(o/!) = 0 (III) Pierwsze rówaie przedstawia arytmetyczą (tp i =*(p 2 ) drugie symetryczą postać wygięcia układu ramowego. Wypadek ji = 0 daje c (a) + 3 = 0 W wypadku a = 0 otrzymamy c (a) + 1 = 0. 3 c OS) + s (/3) = 0 Dla większej ilości węzłów układu ramowego wyzaczeie pierwiastków D («fj) = 0 astręcza zacze trudości rachukowe. W tym wypadku duże usługi może oddać algorytm Gauss'a.
162 CZASOPISMO TECHNICZNE Nr 9 10 Wyzaczik układu rówań liiowych jedorodych : "-I a k! cp. = 0 (k = 12 ) (IV) /i = 1 moża przedstawić w postaci: \ ' r / ^ 22 33 * a * ' k gdzie a k k~ 1} (a ft) jest współczyikiem przy 'p K w pierwszym rówaiu (k ~ l)-szej elimiacji. Przy zadaym p. a cost. przyjmujemy za /? koleje wartości otrzymując coraz to ie układy rówań (IV) a po wykoaiu elimiacji coraz to owe wartości D (a /3) ze wzoru (V). Rówaie (V) przedstawia krzywą której pierwiastki dają koleje wartości P x /J 2... W wypadku regularych układów ramowych zacze uproszczeie otrzymamy stosując rówaia różicowe. I tak dla ramy ciągłej rys. 6. zrówoważeie węzła x daje : ivl x x - 1 ^ lvl x x + 1 -r J I X( x U albo: cp x _x s (/3) +?K[2 c (/O + c (a p) k] + gdzie k = m 0 m 7AY/////. 4 i 4- m - ~ fhi\ A ' * V s rys.6. Ł-H 1 f gięcia dającą ajmiejsze pierwiastki rówaia (VIII) uzyskamy jedyie dla j = 1. W tym wypadku: 2 s (/?) cos = kc (a /3) + 2 c (j8). Rówaie to przy fi cost. daje ieskończoą ilość pierwiastków ci przy a cost. ieskończoą ilość pierwiastków /?. Najmiejszy z pierwiastków cc określi ajmiejsza wartość siły krytyczej przy drgaiach wymuszoych częstotliwością tu ajmiejszy z pierwiastków /S częstotliwość drgań podstawowych przy działaiu siły podłużej. Dla - dla cc. 0 s (/?) = -is- + i = --o p =0 kc(a) + 2 =0. o00 Rozważmy jeszcze regularą ramę piętrową (rys. 7) o jedakowych geometryczych i sprężystych właściwościach słupów i rygli. Niech układ ramowy podlega drgaiom wymuszoym spowodowaym mometem M si co działającym w węźle x y. Zrówoważeie węzła x y daje rówaie warukowe: (M x + 1 + Mx X - \ + My y - r I + My y _ 1 ) SmCD = -Msiu> ( 6 ) Rygle ramy dozają drgań poprzeczych bez udziału sił podłużych. Wstawiając do rówaia (6) wielkości mometów przywęzłowych według wzorów (3) i (3a) otrzymamy rówaie: k(s?x y + 1 S 0? x -i y + s? M.i)= < 6a > m 0 Rozwiązaiem tego rówaia różicowego będzie: <p x = A cos ax + B si ax (VII) Wstawiając <p do waruków brzegowych zadaia : x = 0 cp Q = 0 x = 9 = 0 uzyskamy : A = 0 si a -= 0? x = B si j i- i-012. Wstawiając 'f x z rówaia (VII) do rówaia (VI) otrzymamy astępujące rówaie warukowe problemu: 2 [ s 0?) cos j + c OS)] - - kc (a 3) (VIII) Z wartości j = 0 1 2 wstawiamy do rówaia (VIII) wielkość j = 1 gdyż j =0 j = przeczy założeiom a możliwą postać wym r rys.7. m sia)
Nr 9-10 CZASOPISMO TECHNICZNE 163 m m 0 s o s o (A>) i c = c(a /?) 1/ my = EJ 0 ' ^" _S_ EJ c o *" Co (A>)' s = s(ct/s) Dla pozostałych węzłów otrzymamy jedorode rówaia typu (6a). Jeżeli przy drgaiach wymuszoych okres drgań wymuszoych pokrywa się z okresem drgań. własych lub też przy braku mometu wymuszającego drgaia wymuszoe zależy am a określeiu okresu drgań własych wyzaczik układu rówań gatukowych wypisaych dla wszystkich węzłów wolych wiie być rówy zeru. Wyliczeie wyzaczika układu rówań jedorodych omiiemy traktując układ rówań: Ej s<>?* +1. y + 2 c 0 'f y + s 0?x -1 y + + k (?y + i.x s + 2 c <p xy + s <p _i) = 0 y x =012 y = 012' p. (7) jako cząstkowe rówaie różicowe drugiego rzędu. Przedstawiając 'f xy jako iloczy dwóch fukcji X i Y y z których pierwsza zależa jest od x druga od y ( f f xy = X x Y y ) sprowadzamy rówaie różicowe cząstkowe do układu dwóch rówań różicowych zwyczajych: gdzie (2 -SŁ - _i =0; X jest wielkością stałą. Rozwiązaiem rówań (8) będzie: rówaia (9) do rówań (8) otrzy- Wstawiając mamy : Xx = A cos ax + B si ax; Y y = C cos bx + B si bx X do- 2cosa + (2-^-- )=0; V s 0 s 0 / i * W 2cosb + (2 H =-1 == 0. V s sk/ Elimiując z ostatich rówań wielkość chodzimy do astępującej zależości: s 0 cos a + ks cos b = (c 0 + kc) (11) Ograiczymy się do ramy utwierdzoej całkowicie wzdłuż koturów. Otrzymamy w tym wypadku proste waruki brzegowe: x =0 X o = 0; y= 0 i= X = 0; y=p Y o = 0 Y p =0. Wprowadzeie tych jedorodych waruków brzegowych do rówaia (9) daje: A - O j C = O j B si a = O ; D si bp = O albo a= (i = 0 1 2 ) p). Przy tak określoych wartościach a i b rówaie (11) brzmi: s 0 cos "- + k scos = (C o - kc) (12) p Rówaie (12) jest rówaiem warukowym problemu. Rozważmy jeszcze które?. wielkości i j wchodzą w rachubę. Kąt obrotu 'fy jest iloczyem fukcji X x i Y y. 9i y = Xi Y y = B D si x si - v. p - Wielkości i=0 i= j=0 j=p odpadają gdyż sprowadzają f^y do zera dla każdego x i y co przeczy założeiom. Z pozostałych wartości i j w rachubę wchodzą jedyie wartości i = 1 oraz j = p 1 gdyż jedyie dla tych wartości węzły fali pokrywają się z węzłami układu ramowego. Otrzymujemy zatem przy i = 1; j p 1 astępujące rówaie warukowe: S cos + ks cos = c 0 T kc (13) p Rozważmy wypadki szczególe a) /? = 0. Problem wyboczeia ramy s 0 = 1 c 0-2 cos 1- ks (a) cos = 2 + kc (a) (a) p Rówaie (a) daje <x> ilość pierwiastków ci;. Najmiejszy z ich określi Ok mi ^i i 2 Dla = p oraz k = 1 wyliczoo << dla wzrastającej ilości przęseł (rys. 8) -cos [l + i(«)l-2 + c («)...»- J.- 628 o- r 5324 7 7 O 2 5-4- 3-2- 4- i rys.3. (b)
164 CZASOPISMO TECHNICZNE Nr 9-10 b) W wypadku a ~ O w wypadku drgań własych bez udziału siły osiowej przy k =* 1 = P " Po i P > otrzymamy z rówaia (13): cos = s(0) Si/3 Cos /3 si /J Si/3 cos/3 si/3 Z rówaia (c) wyliczoe ajmiejsze pierwiastki j3\ przy wzrastającej liczbie przęseł aiesioo a rys. 9. Wartości p'i maleją asymptotyczie do wartości tt. Dla»> oo u) t "W"!/ otrzy- (c) mujemy częstotliwość drgań własych taką jak dla belki w dwóch puktach swobodie podpartej. Wpływ utwierdzeia bardzo silie maleje ze wzrostem ilości przęseł. Rozważmy jeszcze wypadek sił rozciągających S. Dla k = oo i J o 0 otrzymamy belkę ciągłą 01 p. Rówaie (13) uprości się w tym wypadku do prostej postaci: cos P c (a /?) EJ u. = s a 3.14 Dla ieskończoej ilości przęseł p mamy: c (a /)') = s (cc ji) albo : otrzy- rys.9. e si \t Cos s + 1 8 1 + cos 8 Si 6 (d) Z przeliczeń wyika że ze wzrostem S wzrasta częstotliwość cu.