Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Transkrypt

1 Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33

2 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Testy statystyczne powtórzenie ze Statystyki 4 Dobór postaci funkcyjnej 5 Zadania (2) Ekonometria 2 / 33

3 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania 3 Ocena istotno±ci zmiennych 4 Dobór postaci funkcyjnej 5 Zadania (2) Ekonometria 3 / 33

4 Problemy Dopasowanie do danych (2) Ekonometria 4 / 33

5 Problemy Istotno± zmiennej obja±niaj cej (2) Ekonometria 5 / 33

6 Problemy Dobór postaci funkcyjnej (2) Ekonometria 6 / 33

8 R-kwadrat Zadanie 2a (model cen wina) 1 Oce«jako± modelu cen wina pod k tem dopasowania tego do danych 2 Zinterpretuj wspóªczynnik determinacji (2) Ekonometria 8 / 33

9 R-kwadrat Wspóªczynnik dopasowania R-kwadrat (1) R 2 [0; 1] to udziaª zmienno±ci y t obja±nionej przez model w caªkowitej zmienno±ci y t : N (y i ȳ) 2 = N (ŷ i ȳ) 2 + N (y i ŷ i ) 2 R 2 = i=1 i=1 i=1 N (ŷ i ȳ) 2 i=1 N (y i ȳ) 2 i=1 (2) Ekonometria 9 / 33

10 R-kwadrat Wspóªczynnik dopasowania R-kwadrat (2) Im wy»szy, tym model lepiej dopasowany do danych (precyzyjniej: tym wy»szy udziaª wariancji obja±nionej przez model w caªkowitej wariancji zmiennej zale»nej) Interpretacja: w modelu obja±niono 296% wariancji zmiennej zale»nej (2) Ekonometria 10 / 33

11 Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne Zadanie 2b (model cen wina) 1 Oszacuj dwa modele obja±niaj ce ceny wina: 1 peªny (jak dotychczas) 2 taki, w którym usuni ta zostaªa zmienna zbiory_temp? 2 Porównaj oba modele przy u»yciu nast puj cych kryteriów: 1 wspóªczynnik determinacji 2 skorygowany wspóªczynnik determinacji 3 kryterium informacyjne Akaike, Schwarza i Hannana-Quinna 3 Czy mo»na u»ywaj c kryteriów (2a)-(2c) porówna model oszacowany w punkcie (1a) z modelem 1 o takim samym zestawie zmiennych obja±niaj cych, ale o zmiennej obja±nianej ln (cena)? 2 o takim samym zestawie zmiennych obja±niaj cych i takiej samej zmiennej obja±nianej, ale oszacowany na podstawie zakresu próby ? (2) Ekonometria 11 / 33

12 Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne Skorygowany R-kwadrat R k ( 2 = }{{} R 2 ) 1 R 2 N (k + 1) dopasowanie }{{} kara za nadmiar parametrów Im wy»szy, tym model lepiej dopasowany do danych przy uwzgl dnieniu faktu,»e nadmierna parametryzacja prowadzi do zawy»enia tego dopasowania Mo»e przyj warto±ci < 0 (2) Ekonometria 12 / 33

13 Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne Kryteria informacyjne k liczba szacowanych parametrów, T liczba obserwacji: AIC = ln 1 N SIC (BIC) = ln 1 N N ˆε 2 2k i + N N ˆε 2 i + i=1 i=1 HQC = ln 1 N ˆε 2 i N i=1 }{{} przy gorszym dopasowaniu + k ln(n) n 2k ln [ln (N)] N }{{} przy nadmiarze zmiennych Idea podobna do skorygowanego R-kwadrat Sªu» do porównywania konkurencyjnych modeli im ni»sze warto±ci odpowiednich kryteriów, tym lepiej (2) Ekonometria 13 / 33

14 Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne Zadanie (2) Ekonometria 14 / 33

15 Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne Niescentrowany R-kwadrat Je»eli w modelu nie ma staªej, nie mo»emy wªa±ciwie interpretowa R-kwadrat i obliczamy wspóªczynnik wedªug wzoru: N ˆε 2 RN 2 = 1 i i=1 N i=1 y 2 i (2) Ekonometria 15 / 33

17 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Zadanie 2c (model cen wina) 1 Oblicz i zinterpretuj ±rednie wzgl dne bª dy szacunku dla zmiennych: rocznik i zbiory_opad 2 Oce«istotno± ka»dej ze zmiennych obja±niaj cych w modelu 3 Czy caªy zaproponowany zestaw zmiennych obja±niaj cych mo»na oceni jako przydatny, w kontek±cie obja±niania cen wina? 4 Czy wspóªczynnik determinacji R-kwadrat jest istotnie wy»szy od zera? 5 Czy mo»na pomin blok zmiennych zwi zanych z warunkami atmosferycznymi w okresie zbiorów (zbiory_opad, zbiory_temp)? (2) Ekonometria 17 / 33

18 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Macierz wariancji-kowariancji oszacowa«(k x k) ˆβ to estymator prawdziwej warto±ci parametru β; jest funkcj losowo dobranej próby próby, a wi c i warto±ci ˆβ mog by ró»ne (zmienna losowa) estymator jako zmienna losowa ma wariancj ˆβ = ˆβ 0 ˆβ 1 ˆβ 2 Var ˆβ = ˆβ ( k ) var ˆβ 0 cov ˆβ 0, ˆβ 1 ( cov ˆβ0, ˆβ ) 2 cov ˆβ 0, ˆβ 1 var ˆβ 1 ( cov ˆβ1, ˆβ ) 2 cov ˆβ 0, ˆβ 2 cov ˆβ 1, ˆβ 2 var ˆβ 2 var ˆβ k (2) Ekonometria 18 / 33

21 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Precyzja szacunku parametrów Wariancja skªadnika losowego (skalar): ˆσ 2 = 1 N (k+1) T ε 2 t t=1 zmiennych w modelu nie licz c staªej, N wielko± próby) Wariancja estymatora KMNK (macierz): Var ˆβ = ˆσ 2 ( X T X ) 1 [di,j ] (k+1) (k+1) (k liczba Bª dy szacunku parametrów: s ˆβ0 = d 1,1 s ˆβ1 = d 2,2 s ˆβ2 = d 3,3 (ang standard errors, SE) Obliczanie bª du szacunku 1 oszacuj warto±ci parametrów, 2 oblicz warto±ci skªadnika losowego, 3 oszacuj wariancj skªadnika losowego, 4 oblicz macierz wariancji estymatora KMNK, 5 oblicz bª d szacunku poszczególnych parametrów jako pierwiastek z jej diagonalnych elementów (2) Ekonometria 19 / 33

22 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Wzgl dny bª d szacunku parametru s( ˆβ i) ˆβ i o ile % warto±ci oszacowania mo»emy si przeci tnie myli, szacuj c dany parametr? (2) Ekonometria 20 / 33

23 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Testy istotno±ci zmiennych Test t-studenta H 0 : β i = 0, tzn i-ta zmienna obja±niaj ca nie wywiera istotnego wpªywu na zmienn obja±nian y H 1 : β i 0, tzn i-ta zmienna obja±niaj ca wywiera istotny wpªyw na zmienn obja±nian y Statystyka testowa: t = ˆβ i s( ˆβ ma rozkªad t (N k 1) 1) p-value<α odrzucamy H 0 p-value>α nie odrzucamy H 0 przy czym standardowo przyjmuje si α = 0, 01 albo α = 0, 05 albo α = 0, 1 (2) Ekonometria 21 / 33

24 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Zadanie ŷ t = 53, 8 + 5, 4x 1t + 6, 0x 2t t=1,2,, 14 (2) Ekonometria 22 / 33

25 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Zbiór wszystkich zmiennych: uogólniony test Walda Uogólniony test Walda H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0, tzn»adna zmienna obja±niaj ca nie wywiera istotnego wpªywu na zmienn obja±nian y H 1 : i β i 0, przynajmniej 1 zmienna obja±niaj ca wywiera istotny wpªyw na zmienn obja±nian y R Statystyka testowa: F = 2 /k (1 R 2 ma rozkªad )/(N k 1) F (k, N k 1) (2) Ekonometria 23 / 33

26 redni wzgl dny bª d szacunku, testy t, testy F Test pomini tych/zb dnych zmiennych Test pomini tych/zb dnych zmiennych H 0 : β k h, β k = 0 w modelu sªusznie nie uwzlg dniono zmiennych x k h, x k H 1 : ww zmienne powinny zosta uwzgl dnione w modelu Wariant testu Walda! Tutaj w hipotezie zerowej nie wszystkie, a jedynie wybrane wspóªczynniki przyrównane do zera; reszta wykonywana tak samo Gretl: w oknie modelu wybieramy Testy Test pomini tych zmiennych (2) Ekonometria 24 / 33

27 Testy statystyczne powtórzenie ze Statystyki Testy statystyczne: H 0 i H 1 testy statystyczne sªu» do werykacji rozmaitych hipotez zwi zanych z ocen jako±ci modelu ekonometrycznego hipoteza zerowa: H 0 : x = m hipoteza alternatywna dwustronna:h 1 : x m jednostronna:h 1 : x > m (2) Ekonometria 25 / 33

28 Testy statystyczne powtórzenie ze Statystyki Testy statystyczne: bª dy mo»liwe dwa rodzaje bª dów: bª d I rodzaju: odrzucenie prawdziwej hipotezy zerowej bª d II rodzaju: nieodrzucenie faªszywej hipotezy zerowej testujemy przy zaªo»eniu prawdziwo±ci H 0 ; niektóre testy s sªabe (niska moc testu), co oznacza,»e trudno im odrzuci hipotez zerow i prawdopodobie«stwo bª du II rodzaju jest wysokie dlatego mo»liwe 2 decyzje: odrzucamy H 0 nie odrzucamy H 0 (a nie: przyjmujemy H 0!), tzn próba statystyczna nie zawiera wystarczaj cych dowodów na to,»e zaªo»enie o prawdziwo±ci H 0 byªo bª dne (2) Ekonometria 26 / 33

31 Testy statystyczne powtórzenie ze Statystyki Testy statystyczne: decyzja trade-o mi dzy bª dem I i II rodzaju w praktyce: wybieramy maksymalne dopuszczalne prawdopodobie«stwo bª du I rodzaju: poziom istotno±ci (signicance level) α =0,10 α =0,05 α =0,01 porównujemy go z empirycznym poziomem istotno±ci (p-value) p > α: nie odrzucamy H 0 p < α: odrzucamy H 0 (2) Ekonometria 27 / 33

35 Test RESET Zadanie 2d (model cen wina) 1 Zwerykuj hipotez o poprawnej specykacji modelu cen wina 2 Czy wynik testu RESET zale»y od jego wariantu? (2) Ekonometria 29 / 33

36 Test RESET Test RESET Test RESET H 0 : brak pomini tych zmiennych, poprawna posta funkcyjna, wªa±ciwa specykacja dynamiczna H 1 : niewªa±ciwa specykacja Uwzgl dnione pot gi warto±ci teoretycznych w regresji testowej (powinny okaza si nieistotne!): 1 ŷ 2 np 2 ŷ 2 ŷ 3 3 ŷ 2 ŷ 3 ŷ 4 Gretl: w oknie modelu wybieramy Testy - Test specykacji Ramsey's RESET (2) Ekonometria 30 / 33

38 Zadania przekrojowe Zadanie E1 (2) Ekonometria 32 / 33

39 Zadania przekrojowe Dodatkowe zadania 21, 22, 24, 25, 212, 213 (2) Ekonometria 33 / 33