Fizyka fazy skondensowanej

Transkrypt

1 Fizy fzy sodesowej Wyłd 30 godzi Ćwiczei 30 godzi Lbotoium 30 godzi Mi Gzd, poój 7d Gmch Główy Fizy fzy sodesowej Dlczego jest to jciewsz dziedzi wiedzy? 1

2 Pogm wyłdu 1.Wstęp. Pzypomieie podstw (3h).. Półpzewodii (5h) 3. Zjwis ottowe (4h). 4.Zjwis tspotu (5h) 5. Ndpzewodictwo (5h). 6. Włściwości dieletycze i optycze (6h). 7. Włściwości mgetycze (h). Zliczeie pzedmiotu Wuiem zliczei pzedmiotu jest zliczeie żdego jego słdi. Końcow oce twozo jest jo śedi wżo: Zliczeie ćwiczeń (30%) Zliczeie lbotoium (30%) Egzmi (40%) UWAGA: Wue pzystąpiei do zeowego temiu egzmiu: zliczeie piewszego olowium ćwiczeich; Ie temiy: wue zliczeie ćwiczeń chuowych;

3 Nietóe ifomcje, de, ysui dotyczące zjęć i wyłdu są umieszczoe stoie Pzypomieie podstw Czyli wszysto, o czym złdm, że jest chociż tochę ze. 3

4 Klsyficj mteiłów pod względem stutuy Cił ystlicze: Cząsteczi, tomy lub joy są ozmieszczoe w sposób upoządowy. Pzyłdy: dimet, sól, cuie, metle, pise, mteiły, dzięi tóym dził ompute,... Cił moficze: Cząsteczi, tomy lub joy NIE są ozmieszczoe w sposób upoządowy. Pzyłdy: gum, szło. Stutu mteiłów ystliczych Stutuę ystliczą moż pzedstwić jo powtzjące się w pzestzei, idetycze były geometycze KOMÓRKI ELEMENTARNE (lub PRYMITYWNE) Wystczy, ztem, opisć sztłt i wielość tylo jedej tiej omói oz podć, jie tomy się w iej zjdują i gdzie dołdie są. 4

5 J zdefiiowć omóę Żeby opisć omóę tzeb podć wetoy,b i c, tóych zbudow jest d omó Iymi słowy tzeb podć pmety omói: długości wędzi omói (, b i c), oz ąty pomiędzy osimi (α, β i γ). Ksztłty możliwych omóe elemetych Wszystie możliwości:

6 Komói elemete egule pymityw Simple Cubic (P) Body-Ceteed Cubic (I) Wewętzie cetow (bcc) Fce-Ceteed Cubic (F) Ścieie cetow (fcc) c c Simple Tetgol (P) Body-Ceteed Tetgol (I) Tetgole: pymityw i wewętzie cetow Komói elemete c c c b b 10º Rombowe Bse-Ceteed Othohombic (C) Fce-Ceteed Othohombic (F) Hexgol (H) hesgol c c b Simple Othohombic (P) b Body-Ceteed Othohombic (I) α α α Rhombohedl (R) omboedycz 6

7 Komói elemete c β b Simple Moocliic (P) jedosośe β c b Bse-Ceteed Moocliic (C) β c α Ticliic (P) tójsoś γ b Był zbudow wetoch pymitywych: omó pymityw Wetoy twozące sieć Bvis go: wetoy pymitywe Puty twozące sieć Bvis go: węzły sieci 7

8 Sieć Bvis go Stutu ysztłu Bz Sieć odwot Sieć odwot jest to zbió tich wetoów g że spełio jest zleżość: g T π gdzie T jest dowolym wetoem tslcji jest liczbą cłowitą. Sieć odwot to zbió wetoów flowych dl tóych odpowiedie fle płsie mją oesowość sieci ystliczej 8

9 Zbió wetoów postci: Sieć odwot * π b c ( b c) c b* π g h l ( h * + b * + lc *) ( b c) b c* π ( b c) gdzie h i l są liczbmi cłowitymi * b* c* są wetomi pymitywymi sieci odwotej Komo pymityw sieci odwotej tzw I stef Billoui Pzepis: Połączyć dy węzeł z sąsiedimi i wyzczyć płszczyzy symetle. Płszczyzy te utwozą omóę pymitywą 9

10 Komó pymityw Wige-Seitz W tójwymiowej pzestzei jest tochę tudiej: Dgi sieci ystliczej Us Totl umbe of mode N Logitudil Bch Tsvese Bch Podłuże ustycze π π 1 N π G Popzecze ustycze: 10

11 Dgi sieci ystliczej Związi dyspesyje Si 1. Fooy N spzężoych oscyltoów N iezleżych dgń omlych ω 1 ω ω 3 ω 4. mody omle : fl foo : cząst (qusicząst) dgi omle : weto flowy foo pħ (pęd) 11

12 Fooy H Eψ P i ψ ω + ω K m Kx ψ Eψ m x - ilość fooów o częstości ω odpowid mplitudzie dgń Pojemość ciepl ~3N B ~T 3 T/Θ 1

13 Model Eistei Dgi sieci: 3N iezleżych oscyltoów o tej smej częstotliwości ħω 1 3 3N Model Eistei U Nh ν exp ( / ) ( T ) hν T 1 C V du dt C T 3N wysoiet ( B T>>hν): V ( ) B isie T ( B T<<hν): ( T ) exp ( T ) C V Z młe ciepło włściwe w isich tempetuch 13

14 Model Debye Związe dyspesyjy j dl ośod ν ciągłego: Gęstość stów (pzy uwzględieiu tzech możliwych polyzcji) πν G ( ) 3 G ( ν ) π g ( ) 6 3 6π c s c s π dg ( ν ) ν d ν 1 πν Istieje gó gic częstotliwości (λ odległość międzytomow), tzw. częstość Debye ν D, 3 c s ν D g ( ν ) 3 dν 3 ν c π D s / 3 Model Debye W gicy isich tempetu: C du dt 16 π 5 h 5 4 B 3 3 c s T 3 Wysoie tempetuy: U ν D ν ν U 0 + A dν U 0 + ν 0 3N B T 14

15 Tempetu Debye 4 1π T C NB 5 ΘD 3 Θ D hc s B 3 4π 1 / 3 Jest związ z częstością Debye 1/ 3 ν D, 3 ν D cs BTD hν D 4π Im wyższ pędość dźwięu i gęstość joów tym wyższ tempetu Debye Fooowe pzewodictwo cieple 1 κl Clv gll 3 1 Clv gτ l 3 Reguł Mtthiesse 1 1 l l l defet 1 + l gice 1 + l fooy Mechizmy ozpszi fooów Rozpszie gicch międzyziowych i gicch póbi N defetch N fooch 15

16 Kietic Theoy 1 l l 1 l defect + l l 1 Decesig Boudy Septio 1 3 boudy C l v s l 1 + l l phoo Specific Het, C (J/m -K) C l C 3η B J m 3 K Dimod C T 3 θ D 1860 K Tempetue, T (K) 10 T 4 l l l Icesig Defect Cocettio Icesig Defect Cocettio Phoo Boudy Defect Sctteig Tempetue, T/θ D T l Boudy d Defect Phoo Sctteig Tempetue, T/θ D 3 κ 3 16

17 Eletoy w ciele stłym Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Wui bzegowe, gęstość stów Rozłd Femiego-Dic Kosewecje peiodyczości sieci ystliczej Pzybliżeie eletoów silie związych Psm eegetycze Teoi psmow PASMOWA TEORIA CIAŁA STAŁEGO, teoi tłumcząc włściwości eletoowe cił stłych; opie się złożeiu, że podczs powstwi stutuy ystliczej cił stłego dozwoloe dl eletoów poziomy eegetycze swobodych tomów ozszczepiją się twoząc psm poziomów bliso leżących; 17

18 Złożei Rdzeie tomowe uwżmy z ieuchome (pzybliżeie dibtycze, B.-O.); Kysztł jest iesończoy i idely; Eletoy ie oddziłują ze sobą (pzybliżeie eletoów iezleżych) i wystczy wyzczyć poziomy eegetycze jedego eletou zmiętego w objętości V, stępie zpełić te poziomy wszystimi eletomi (pzybliżeie jedoeletoowe); Potecjł wytwzy pzez sieć ystliczą: cost 0 (pzybliżeie eletoów swobodych) Jest słby (młe peiodycze zbuzeie pzybliżeie eletoów pwie swobodych); Jest sily (pzybliżeie eletoów silie związych); GAZ ELEKTRONÓW SWOBODNYCH W STANIE PODSTAWOWYM (O K) 18

19 Pzybliżeie eletoów swobodych Złożei: Eletoy mogą się cłowicie swobodie pouszć wewątz metlu. Dołdiej: N eletoów zjduje się w objętości V (jczęściej pzyjmuje się, że ozwżmy sześci o wędzi L) Złożeie popzedie cłowicie igouje obecość joów. Jedyy objw obecości joów to, że eletoy ie mogą opuścić metlu (studi potecjłu). Pzybliżeie eletoów swobodych Rozwżmy 1 eleto w studi potecjłu o szeoości L (pzypde 1D), wewątz tóej eegi potecjl 0 19

20 Pzybliżeie eletoów swobodych Eleto może się swobodie pouszć, czyli moż go opisć z pomocą fucji flowej tiej j dl fli płsiej: Ψ(, t) Asi( ωt) W pzypdu jedowymiowym (wzdłuż osi x): Ψ( x, t) Asi( x ωt) Pzybliżeie eletoów swobodych J zpisć mtemtyczie ft, że eleto ie ucieie z metlu? Zpisuje się to z pomocą wuów bzegowych. 0

21 Wui bzegowe Gdy ozwżmy cząstę w studi potecjłu, zzwyczj pzyjmujemy tie WB, że fucj flow bzegch studi jest ów zeu. E,Ψ Ψ( L) Ψ(0) 0 x Powdzi to do ozwiązń typu fli stojącej. Peiodycze wui bzegowe W ciele stłym eleto też jest w studi potecjłu, le tego typu WB są iewygode: ozwżie zjwis tspotu z pomocą fl stojących jest łopotliwe. Dltego stosuje się tzw. peiodycze wui bzegowe (wui bzegowe Bo-Km): Ψ( x + L, y + L, z+ L) Ψ( x, y, z) 1

22 Peiodycze wui bzegowe W ciele stłym stosuje się tzw. peiodycze wui bzegowe (wui bzegowe Bo-Km): ),, ( ),, ( z y x L z L y L x Ψ Ψ ; ; ; z y x L z z L y y L x x π π π Peiodycze wui bzegowe W 1D moż je sobie wyobzić: ) ( ) ( x L x Ψ + Ψ

23 Peiodycze wui bzegowe W 1-wymiowym pzypdu ysztłu o długości L: Ψ( x + L) Ψ( x) Fucj flow m postć fli płsiej, ztem otzymujemy wue: Ψ( x + L) Asi( ( x + L) ωt) Ψ( x) Asi( x ωt) si( L) 1 x π L swtowe wtości weto flowego Peiodycze wui bzegowe W 3-wymiowym pzypdu ysztłu o objętości L 3 : Ψ( x + L, y + L, z+ L) Ψ( x, y, z) Fucj flow m ówież postć fli płsiej, ztem otzymujemy wue: x x π π L y y L z ; ; z π ; L 3

24 Pzyłdowe ozwiązie -i Schödige z peiodyczymi wumi bzegowymi 1D 3D ; ; ; L z z L y y L x x π π π L x x π Ψ E Ψ E Pzyłdowe ozwiązie -i Schödige z peiodyczymi wumi bzegowymi ( ) ) si( ), ( L L x m E t x L L t x π π ω π h Ψ ( ) 3/,, ) )si( )si( si( ), ( z y x L z z L y y L x x z y x m E t z L t y L t x L L t + + Ψ h π π π ω π ω π ω π 1D 3D Jede st mogą obsdzić dw eletoy o m s ±1/

25 St podstwowy gzu eletoow swobodych (T 0K) Mmy N eletoów. Zjmują oe wszystie sty od jiższego do jwyższego. Eegi Femiego: eegi jwyższego obsdzoego stu; Powiezchi Femiego: powiezchi (w pzestzei ) oddzieljąc sty obsdzoe od pustych; Weto flowy Femiego (pomień uli Femiego); Pzybliżeie eletoów swobodych 3 N ρ F V 3π E() Sty puste Poziom Femiego E F 3 / π π ( ) si( x y π Ψ )si( )si( z x y z) L L L L,, x π x L y π y L z π z L h E ( x + y + z ) m Sty zjęte F 0 Femi Wvevecto x z Kul Femiego o pomieiu F y 5

26 Powiezchi Femiego w zeczywistych metlch St podstwowy gzu eletoów swobodych (T 0K) Mmy N eletoów. Zjąc N, moż obliczyć E F, F i ie włściwości gzu eletoowego. Ale sty są swtowe, co ozcz, że by obliczyć coolwie leżłoby sumowć po wszystich stch. Aby uiąć sum i zstąpić je cłmi wpowdz się GĘSTOŚĆ STANÓW. 6

27 Gęstość stów W ysztle 1D o N tomch i długości L: x x π π x L N x π/l x Różic między dwom jbliższymi wetomi flowymi wyosi π/l, co ozcz, że: N jede weto flowy w 1D pzypd odcie π/l; π π x x x L N π π y y y L N π π z z z L N Gęstość stów Alogiczie, w dwu- i tójwymiowych ysztłch o ozmich LxL i LxLxL, jede weto flowy pzypd: w D: wdt (π/l)x(π/l) w 3D: sześci (π/l)x(π/l)x(π/l) 7

28 Gęstość stów w pzestzei : Gęstość stów Ilość stów pzypdjących jedostową objętość pzestzei wetoów flowych; G ( ) dn d Ω V 4π 3 3 * m G( E ) 4 V E h π 1/ Zleżość gęstości stów od eegii we wszystich tzech pzypdch: 1, i 3 D: Gęstość stów 8

29 Gęstość stów w zeczywistym metlu Mg V D ( ) m 1/ 3 4π D( E) 4 V E h π Gęstość stów, eegi Femiego,.. Zjąc pojęcie gęstości stów, moż powiązć podstwowe włściwości metli z eegią Femiego, wetoem flowym Femiego, pędością eletoów poziomie Femiego itd.. 3 E F h 3 3 * π N m V 9

30 Wtości E F h 3 3 * π N m V Pzyłd: oblicz eegię Femiego, tempetuę Femiego, weto flowy Femiego oz pędość eletoów poziomie Femiego w miedzi, wiedząc że: Kżdy tom miedzi dje 1 eleto wlecyjy do psm pzewodictw; Miedź ystlizuje w stutuze fcc, o pmetze omói Å Gęstość miedzi wyosi ρ 8.94 x 10 3 g/m 3, Zestwieie włściwości gzu eletoowego dl ietóych metli: cm F cm v F cm/s ε F ev T F ε F / Li N K Rb Cs Cu Ag Au

31 GAZ ELEKTRONÓW SWOBODNYCH POWYŻEJ ZERA BEZWZGLĘDNEGO. Fucj ozłdu Femiego-Dic T0K T>0K 1 f ( E ) 0 dl dl E E F E > EF f ( E, T ) 1 E E F T e

32 T>0K Fucj ozłdu Femiego-Dic 1 0 K E F/ B K FERMI FUNCTION f(e) K K 1 f ( E E F ) exp[0] E/ B (KELVIN) 1 f( E EF + T) 7% 1 e f ( E EF + 3T ) 5 % 3 e f ( E EF + 5T ) 1% 5 e + 1 Tempetu powoduje zmię obsdzei stów w pzedzile ilu T woół eegii Femiego Eegi Femiego metlu bdzo słbo zleży od tempetuy π T µ E F 1 1 EF Śedi eegi eletou w metlu w pśmie pzewodictw: 3 E el E F 5 Eel 3 5π T E F EF 3

33 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Potecjł wytwzy pzez sieć ystliczą moż ttowć jo młe peiodycze zbuzeie. Ciło stłe jest studią potecjłu o modulowym die. Kosewecj peiodyczości sieci: twiedzeie Bloch F. Bloch udowodił, że ozwiązie -i Schödige w peiodyczym potecjle musi być postci: i ψ () u () e Fucj o peiodyczości sieci ystliczej Fl płs I postć twiedzei Bloch: i T ψ ( + T) e ψ () u ( x) u + e g g igx 33

34 Kosewecj peiodyczości sieci: iejedozczość weto flowego eletou Z peiodyczości sieci i twiedzei Bloch wyi iejedozczość weto flowego eletou ψ ) ψ () ( + G Wyi stąd ówież, że eegi eletou jest fucją oesową z oesem ówym wetoom sieci odwotej E ( + G) E ( ) Kosewecj peiodyczości sieci: stefy Billoui Niejedozczość weto flowego eletou ozcz, że wystczy ozwżć I stefę Billoui. Wetoy flowe gicy stefy Billoui spełiją wui: 1 G gic 1 1 G G G 34

35 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych I potecjł wytwzy pzez joy, i fucj flow eletou mją peiodyczość sieci ystliczej, ztem moż je ozwiąć w szeeg (z pomocą wetoów sieci odwotej, G): U ( x) V g V g g, V V o g e igx 0 ψ () u u ( x) () e u + g i g e igx Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Te wyżei wstwi się do -i Schodige i cłuje po cłej objętości. W pzypdu eletoów o młych wetoch flowych moż zstosowć chue zbuzeń dl stów iezdegeeowych. W ezultcie, otzymuje się iewielą, stł popwę w stosuu do pzybliżei eletoów swobodych. Tz. sieć ystlicz słbo wpływ eletoy o wetoch flowych z dl od gicy stefy Billoui. 35

36 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Podstwijąc te wyżei do -i Schodige i cłując po cłej objętości mmy: h m ( g ) u+ g + Vg Gu+ G E u+ g + G W pzypdu eletoów o młych wetoch flowych moż zstosowć chue zbuzeń dl stów iezdegeeowych. h m Pzybliżeie eletoów pwie swobodych ( g ) u+ g + Vg Gu+ G E u+ g + G chue zbuzeń dl stów iezdegeeowych: V λv, E u u (0) E + λu (1) (0) + λe + λ u () (1) + λ E (), (0) h E, u m (0) 1 V i e 36

37 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W ezultcie otzymujemy: (0) (1) Vgu u + g (0) (0) E E + g (1) E 0 () E G VG (0) (0) E E + G Niewiel, stł popw w stosuu do pzybliżei eletoów swobodych. Tz. sieć ystlicz słbo wpływ eletoy o wetoch flowych z dl od gicy stefy Billoui. Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W pzypdu eletoów o wetoch flowych blisich gicy i stefy Billoui ie moż zstosowć chuu zbuzeń. Rozwiązuje się -ie Schodige bioąc w ozwiięciu fucji flowej tylo dw domiujące wyzy (G0 i GG 1 ). To zczy, że z -i Schodige otzymujemy ułd ówń: h u + V u + E ( ) G1 G1 dl g 0: m dl g G h 1 ( + G 1 ) u+ G1 + VG1u Eu+ G1 m u 37

38 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W ezultcie otzymujemy: h E ( ) ± VG1, m pzy czym sozystlismy z zlezosci spelioej dl wetoow flowych gicy stefy Billoui : ( + G) Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W pzypdu eletoów o wetoch flowych blisich gicy i stefy Billoui ie moż zstosowć chuu zbuzeń. Jedą z (poglądowych) metod jest ozwiązie -ie Schodige bioąc w ozwiięciu fucji flowej tylo dw domiujące wyzy (G0 i GG 1 ). W ezultcie, otzymuje się h E ± m ( ), V G 1 38

39 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych SŁABY POTENCJAŁ OKRESOWY WPŁYWA NA ENERGIE TYLKO TYCH ELEKTRONÓW, KTÓRYCH WEKTORY FALOWE ZBLIŻONE SĄ DO GRANICY STREFY BRILLOUINA FALA O NIEKTÓRYCH DŁUGOŚCIACH FALI NIE MOŻE ROZCHODZIĆ SIĘ W OŚRODKU PERIODYCZNYM: ULEGA ODBICIOM BRAGGA Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Swobode eletoy ie oddziłują z siecią ż ich weto flowy stje się poówywly z 1/. Wtedy ulegją odbiciu Bgg. Fle pdjąc i odbit itefeują twoząc fle stojące o tej smej eegii ietyczej le óżej eegii cłowitej. e ix e ix ( ) : si x e ix + e ix ( ) : cos x 39

40 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W zleżości od tego gdzie są węzły i stzłi fli stojącej, mmy wyższą i iższą eegię eletou. Pzybliżeie eletoów pwie swobodych W zleżości od tego gdzie są węzły i stzłi fli stojącej, mmy wyższą i iższą eegię eletou. 40

41 Pzybliżeie eletoów pwie swobodych Ozcz to, że gicy stefy Billoui powstją psm eegii wzboioych. Nie wszystie eletoy są pwie swobode 41

42 Pzybliżeie eletoów silie związych W pzypdu cił stłych słdjących się z tomów lub joów o zmiętych powłoch, w pzypdu eletoów dzei tomowych oz ysztłów owlecyjych pzybliżeie eletoów pwie swobodych jest ieodpowiedie. Pzybliżeie eletoów silie związych W tym pzybliżeiu "wyobżmy sobie" j fucje flowe tomów lub joów oddziłują ze sobą gdy zbliżmy je do siebie. Np. tomy wodou: 4

43 Rozwżmy ciło stłe (1 piewiste) o jedym tomie w omóce elemetej. Złdmy, że żdy tom m 1 obitl wlecyjy φ(). Fucję Bloch cłego ysztłu pzyjmujemy jo ombicję liiową wszystich obitli: Pzybliżeie eletoów silie związych ) ( ) ( 1 m m ir R e N m v Ψ φ Wtość oczeiw eegii: ( ) ) ( ) ( 1 m m R R i R H R e N H m φ φ Pzyjmując, że jest duże tylo dl m lub dl jbliższych sąsidów, i pzyjmując stępujące ozczei: Pzybliżeie eletoów silie związych Otzymujemy: ( ) R i e E γ α ) ( ) ( m R H R φ φ pozostlych dl R H R ssidow dl R H R R H R m m 0, ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( φ φ γ φ φ α φ φ Gdzie sumowie pzebieg po jbliższych sąsidch

44 Pzybliżeie eletoów silie związych Pzyłd: dwuwymiow sieć wdtow (o stłej sieci ): R (0, ), (0, -), (, 0), (-, 0) E α γ i e ( R ) Pzybliżeie eletoów silie związych Pzyłd: dwuwymiow sieć wdtow (o stłej sieci ): R (0, ), (0, -), (, 0), (-, 0) E α γ (cos cos ) x + Eegi eletou zmiei się w zesie od -α 4γ do -α +4γ : PASMO y 44

45 Pzybliżeie esz: powiezchie izoeegetycze E α γ (cos cos ) x + Gdy x, y 0 (do psm, śode stefy Billoui): Gdy x, y π/ (wiezchołe psm, ożii stefy Billoui): Gdy ozwżmy eletoy w śodu psm, czyli gdy E -α y Pzybliżeie esz: powiezchie izoeegetycze E α γ (cos cos ) x + Gdy x, y 0 (do psm, śode stefy Billoui): E Gdy x, y π/ (wiezchołe psm, ożii stefy Billoui): E 4 x y π π α + γ γ + I die, i wiezchołu psm powiezchie izoeegetycze są sfeycze, związe dyspesyjy jest ti j dl eletoów pwie swobodych. y ( ) α 4γ + γ x + y 45

46 Pzybliżeie eletoów silie związych E α γ (cos cos ) x + Gdy ozwżmy eletoy w śodu psm, czyli gdy E -α y Rozwiązi są postci: (cos + cos ) 0 x x π y y powiezchie izoeegetycze są liimi postymi. Pzybliżeie eletoów silie związych Ztem, wyi w D: 46

47 Metody obliczi stutuy psmowej Obliczei stutuy psmowej w zeczywistych ciłch stłych są dość sompliowe. Piewszy o to wybó odpowiediego potecjłu opisującego oddziływi. Wybó potecjłu; Rozwiązie ówi (ówń) z wybym potecjłem; Otzymie smouzgodioych ozwiązń lbo itecyjie, lbo iymi mtemtyczymi metodmi. Metody obliczi stutuy psmowej Metod omóow (jstsz) Metod omóow Wige - Seitz poleg tym, że woół żdego węzł sieci ystliczej buduje się omóę elemetą o sztłcie wielościu, odzwieciedljącego symetię tej sieci (omó Wige - Seitz). Potecjł wewątz tej omói pzybliż się pzez potecjł sfeyczie symetyczy i poszuuje się fucji flowej będącej ozwiąziem ówi Schödige z tim potecjłem. Jo wui bzegowe pzyjmuje się wue Bloch dl fucji i dl jej pochodej w ieuu omlym do ściy omói. Fizy metli, Michł Sobńsi, AGH 47

48 Metody obliczi stutuy psmowej Metod omóow (c.d.) Tie wui bzegowe są spełioe tylo w sończoej ilości putów, podto otzym fucj flow ie m symetii potecjłu. Wige i Seitz zobili dlsze pzybliżeie zstępując omóę elemetą ulą o pomieiu 0 t dobą, by jej objętość był ów objętości dej omói. Wui bzegowe spowdzją się wtedy do zii pochodej w pucje 0, tj. bzegu sfey, zpewijąc sfeyczą symetię ozwiązi. Fizy metli, Michł Sobńsi, AGH Metody obliczi stutuy psmowej Metod omóow (c.d.) Ulepszeiem metody omóowej jest zstosowie tzw. potecjłu miseczowego (muffi - ti potetil, MT). Jest o sfeyczie symetyczy wewątz pewej uli o pomieiu 0, otczjącej dy put sieciowy, stły zewątz. Z eguły pzyjmuje się tę wtość stłą ówą zeu, pomień 0 ti, by ule ie łdły się. Fizy metli, Michł Sobńsi, AGH 48

49 Metody obliczi stutuy psmowej - Metod fl płsich: - Z potecjł pzyjmuje się supepozycję potecjłów tomów swobodych, fucj flow jest sumą zomlizowych fl płsich. Metod jest słbo zbież i zostł już zzuco. Metody obliczi stutuy psmowej Metod zotogolizowych fl płsich (OPW) Ulepszo metod PW: wyozystuje się ie tyle fle płsie, co fle płsie otogolizowe względem fucji flowych eletoów dzei. Metod stowzyszoych fl płsich (APW) Fucję flową w obszze międzywęzłowym pzyjmuje się jo ombicję liiową sończoej liczby fl płsich, w obszch dzei tomowych jo fucję bdziej oscylcyją, podobą do fucji tomowych. Fucj jest ciągł pzy pzejściu między obszmi. Wyozystuje się potecjł MT. 49

50 Metody obliczi stutuy psmowej Metod fucji Gee (Koigi, Koh, Rostoe KKR): Kozyst się z cłowej postci -i Sch. Ψ ( ) i z potecjłu MT G ( ') U( ') Ψ ( ') d' ik ' e GE ( ') 4π ' E Doświdczle metody wyzczi stutuy eletoowej: fotoemisj 50

51 Doświdczle metody wyzczi stutuy eletoowej: fotoemisj Zsd zchowi eegii E B hν - E i - Φ Zsd zchowi pędu K + G Wielości miezoe E i, θ, φ Wielości pożąde E B, Fotoemisj Obecie stosuje się pomieiowie sychotoowe oz wielo-łową ejestcję, dzięi czemu zczie wzosł ozdzielczość eegetycz i ątow dwiej tez E (mev) θ 0. F. Reiet et l., PRB 63 (001) 51

52 Fotoemisj Silve Coppe F. Bumbege F. Reiet et l., PRB 63, 64, (001) Kosewecje istiei psm eegetyczych 5

53 Ms efetyw Ms efetyw eletou w pśmie o dym związu dyspesyjym E(). m * h xy E / x y Dl eletoów swobodych: E 1 mv 1 p m h m m * m Ms efetyw zleży od zywizy psm; Eletoy wiezchołu psm wlecyjego mją ujeme msy efetywe; W ogólości, m * zleży od ieuu: jest tesoem; Ms efetyw 53

54 Ms efetyw Uzsdić, w tóych psmch (psmo ysowe liią ciągłą czy pzeywą) będzie więsz, w tóych miejsz ms efetyw. Rozwżmy psmo wlecyje cłowicie zpełioe Pojęcie dziuy Cłowity pąd N eletoów w cłowicie wypełioym psmie: N J ( q) v i 0 i 54

55 Pojęcie dziuy Psmo wlecyje, cłowicie zpełioe. Poze są sty eletoowe j ty z wetoem flowym j i j z pzeciwie sieowym wetoem flowym - j. Gdy usuiemy eleto j ty wówczs uch eletou j ie jest sompesowy. Pojęcie dziuy Ztem, cłowity pąd, gdy buje j tego eletou N J ( q) v i ( q)v j qv j i WYNIK: ŁADUNEK DODATNI PORUSZA SIĘ Z PRĘDKOŚCIĄ v j 55

56 Pojęcie dziuy Zmist ozwżć dużą liczbę eletoów w iecłowicie wypełioym pśmie wlecyjym (cząste o ujemym łduu i ujemej msie efetywej), ozwżmy młą liczbę dziu (cząste o dodtim łduu i dodtiej msie efetywej). Stutuy psmowe: pzyłdy 56

57 Metle, półpzewodii, izoltoy Metle mją swobode eletoy i częściowo zpełioe psmo wlecyje (). Półmetle mją jwyższe psmo zpełioe. To psmo łd się stępe, wyższe psmo (b). Np. se, bizmut, tymo, Izoltoy mją zpełioe psmo wlecyje i puste psmo pzewodictw ozdzieloe szeoą pzewą eegetyczą ( >4eV), (c ). Półpzewodii mją stutuę psmową j izoltoy, le węższą pzewę eegetyczą. Metle jedowtościowe: p. sód Sfeycze powiezchie izoeegetycze 57

58 Metle dwuwtościowe: p. Mg Psmo pzewodictw Nie m pzewy Psmo wlecyje 115 Metle pzejściowe: p. Cu Nłdją się siebie psm eletoów 4s i 3d. Pwie sfeycze powiezchie izoeegetycze. 58

59 Półmetle Cięższe piewisti olumy V ułdu oesowego: As, Sb i Bi są półmetlmi. Pzez półmetl ozumiemy metl o bdzo młej (w poówiu z typowymi metlmi) gęstości stów powiezchi Femiego. Spośód piewistów ułdu oesowego półmetlem jest podto gfit, jpowszechiejsz odmi węgl. Półmetlicze pzewodictwo wuuje szeeg zstosowń tego mteiłu (opoii węglowe, eletody do bteii glwiczych i pieców łuowych, szczoti do siliów i pądic). Bizmut Cystl dt Fomul sum Bi Cystl system tigol Spce goup R -3 m (o. 166) Uit cell dimesios 4.546() Å c 11.86(6)Å Cell volume 1.30(17) Å 3 Z6 Desity, mesued g/cm 3 59

60 b c Bizmut: omó elemet Bizmut: stutu psmow Stutu psmow Bi podob jest do półpzewodi o sośej pzewie eegetyczej, dl tóego wiezchołe psm wlecyjego zjduje się 3 mev wyżej od d psm pzewodictw. W osewecji powstją "ieszeie" eletoowe i dziuowe o ocetcji ówej e h cm - 3, czyli o. 0,001 eletou tom. 60

61 Piewisti IV-wtościowe Kofigucj eletoow Si 1s s p 6 3s 3p 61