Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

Transkrypt

1 Komisa Egzaminacyna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowane:... Czas egzaminu: 100 minut 1

2 1. Na rynku dostępna est amerykańska koszykowa opca kupna o okresie wygaśnięcia 3 lata, wystawiona na koszyk złożony z walorów S i, i = 1,2,3 z wagami w i 0, i = 1,2,3 gdzie w i 3 oznacza wagę waloru i, zatem: i=1 w i = 1. Początkowe (w chwili zero wagi walorów w koszyku, ich ceny i odchylenia standardowe tych cen są dane: Walor Wagi w chwili zero Cena waloru w chwili zero Odchylenie standardowe ceny waloru w chwili zero S 1 45% % S 2 20% % S 3 35% % Cena wykonania opci est równa początkowe cenie koszyka. Ponadto wiadomo, że w całym okresie życia opci ceny walorów są ze sobą skorelowane według następuące macierzy korelaci: Corr(S i, S S 1 S 2 S 3 S S S Wiadomo również, że wypadkowa cena koszyka walorów S 1, S 2, S 3 rośnie bądź spada w każdym roku (w odniesieniu do wartości z poprzedniego roku o stały procent równy początkowemu odchyleniu standardowemu ceny koszyka. W chwili zero cena koszyka est równa swoe wartości początkowe. Przymuąc założenia braku arbitrażu, rynku zupełnego i doskonałego oraz stałą roczną wolną od ryzyka stopę procentową 5.5% (kapitalizaca dyskretna poda cenę amerykańskie koszykowe opci kupna w chwili zero (poda nabliższą wartość: A B C 1.7 D 1.4 E Wskazówka Opca koszykowa (basket option ak sugerue e nazwa, est kontraktem, który służy zabezpieczeniu całego koszyka walorów, tzn. specyficznego portfela instrumentów. Opca ta dae nabywcy prawo do kupna bądź sprzedaży określone ilości akci kilku spółek lub kilku indeksów różnych rynków giełdowych (instrumentem bazowym est koszyk walorów. 2

3 2. W danym momencie t 0 i przy założone roczne stopie procentowe r 0 > 0 zakład ubezpieczeń przymue strategię zabezpieczaącą spełniaącą trzy warunki: 1 dopasowanie obecne wartości zobowiązań V L r 0, t 0 do wartości godziwe aktywów V A r 0, t 0 kryących te zobowiązania: V A r 0, t 0 = V L r 0, t 0 oraz 2 utrzymanie takie same wrażliwości aktywów i zobowiązań względem wahań stopy procentowe, oraz 3 zapewnienie, że dla wahań stopy procentowe w granicach r 0 +/- 100 p.p. wartość zobowiązań przewyższy wartość aktywów kryących te zobowiązania, tzn.: max V A r, t 0 V L r, t 0 = 0 r r 0 1%,r 0 +1% Zakład ubezpieczeń stosue powyższą strategię w odniesieniu do zobowiązania wynikaącego z dwóch rent pewnych płacących PLN na koniec każdego roku i wygasaących odpowiednio po 5, 10 latach. Aktywami zakupionymi w celu pokrycia tego zobowiązania są dwie obligace zero-kuponowe o nominałach: X 1 oraz X 2 i okresach do wygaśnięcia t 1 oraz t 2, odpowiednio. Które z poniższych parametrów pozwalaą zrealizować założenia strategii zabezpieczaące przy stałe stopie procentowe r 0 = 7% (kapitalizaca dyskretna: A t 1 = 5 ; t 2 = 10 ; X 1 = 234 PLN ; X 2 = 8 32 PLN B t 1 = 3 ; t 2 = 7 ; X 1 = 11 PLN ; X 2 = 5 25 PLN C t 1 = 7 ; t 2 = ; X 1 = PLN ; X 2 = 020 PLN D t 1 = ; t 2 = 10; X 1 = PLN ; X 2 = PLN E t 1 = 5 ; t 2 = 8 ; X 1 = PLN ; X 2 = PLN 3

4 3. Pożyczka o wartości nominalne K będzie spłacana rocznymi równymi ratami o wartości R, płatnymi na koniec roku, przy czym ostatnia rata kończąca spłatę pożyczki, o wartości nie większe niż R, zostanie wpłacona rok po ostatnie regularne płatności równe R. Przy spłacie pożyczki używane są dwie roczne stopy procentowe i =5% i = 4% (tzw. step-rates. Stopa i stosowana est do obliczania odsetek w przypadku podstawowe części pożyczki o wartości 1000, natomiast stopę używamy w odniesieniu do te części niespłaconego kapitału, która stanowi nadwyżkę ponad W schemacie tym zakłada się, że napierw spłacana est ta część pożyczki, która przewyższa podstawowy Wiadomo, że pierwszy raz wartość niespłaconego kapitału będzie niższa od 1000 po zapłaceniu 20 raty i będzie wynosić Ponadto wiadomo, że kapitał aki zostanie spłacony w 8 racie wynosi Oblicz ile wynosi iloraz R/K. Poda nabliższą wartość. A 0.05 B 0.07 C 0.0 D E

5 4. Kredyt w wartości nominalne 1000, zaciągnięty na okres lat, est spłacany w równych ratach o wartości na koniec każdego roku. Oprocentowanie kredytu wynosi: 7% w roku 1 i 4, 5% w roku 3 i oraz X w roku 2 i 5 Oblicz wartość X. Poda nabliższą wartość. A 2.5% B 3.0% C 3.5% D 4.0% E 4.5% 5

6 5. Dany est nieskończony ciąg rent wieczystych wypłacanych w następuący sposób: k-ta płatność n-te renty (n=1,2,3... ma wysokość k*(k+1, dla k=1,2,3... a pierwsza płatność n-te renty następue na koniec roku n. Wyznacz duration ciągu płatności rent dla roczne efektywne stopy dyskontowe i=10%. Odpowiedź (poda nabliższą wartość. A 38 B 3 C 40 D 41 E 42 Wskazówka m =1 2 = m m + 1 (2m + 1 Dla 0 < < 1 mamy: k=0 k=0 k=0 k 2 k k 3 k k 4 k = = =

7 . Cena europeskie opci sprzedaży o terminie realizaci T = 1 rok, wynosi P = 0.71 w chwili 0. Aktualna (w chwili 0 cena akci nie płacące dywidendy wynosi S 0 = 40, zaś cena wykonania K = 35. Roczna ciągła stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi = 5%. Wyznacz wartość roczne opci kupna C dla tego samego instrumentu podstawowego z ceną wykonania K przy założeniu braku arbitrażu. Odpowiedź (poda nabliższą wartość. A 7.4 B 7. C 7.8 D 8.0 E 8.2 7

8 7. Zasady spłacania pożyczki o wartości nominalne K, są następuące: 15 rat płaconych w odstępach rocznych, pierwsza rata zostanie zapłacona półtora roku od daty otrzymania pożyczki, pierwszych rat spełnia warunek, iż każda est o 10% większa od poprzednie (oczywiście oprócz pierwsze raty, pozostałe raty spełniaą warunek, iż każda rata est o 1 większa od poprzednie (dotyczy to również 7 raty, stopa oprocentowania w okresie pierwszych.5 lat wynosi i, w pozostałym okresie stopa est równa. Wskaż, który z poniższych wzorów wyraża wielkość pierwsze raty. A K (1 i, (1,1* i (1 i 1 1,1* i a 5 1,1 (1 B (1 i K (1 i, (1,1* i i 0,1 a 1 5 1,1 (1 C (1 i K (1 i,5 1 (1,1* i i 0,1 10 1,1 a,5 (1 D (1 i K (1 i, (1,1* i 1 1,1* i a 1,1,5 1 (1 E K (1 i (1 i, (1,1* i i 0,1 a 1 5 1,1 (1 8

9 8. Rozważmy następuący model wyceny obligaci, w którym: dostępne są 4 obligace zerokuponowe o nominale 1 wygasaące w chwilach 1, 2, 3 i 4, odpowiednio; ceny tych obligaci w chwili 0 wynoszą odpowiednio: P 0,1 = 0., P 0,2 = 0.81, P 0,3 = 0.72, P 0,4 = 0.51 (gdzie P 0, T oznacza cenę w chwili 0 obligaci wygasaące w momencie T. Wiadomo, że w chwili 1 wystąpi eden z 3 możliwych stanów rynku: ω 1, ω 2, ω 3. Ceny obligaci w chwili 1, w każdym ze stanów dane są w tabeli: ω 1 ω 2 ω 13 P 1, P 1, P 1,4 x Żadne transakce nie są możliwe pomiędzy chwilami 0 i 1. Wyznaczyć wartość x, przy które model ten est wolny od arbitrażu wynosi (poda nabliższą wartość: A B 0.72 C D E 0.450

10 . Rozważmy następuący, dyskretny model struktury terminowe stóp procentowych: W chwili t = 0 krzywa stóp procentowych zadana est funkcą: r 0, T = 4%, T = 1, 2, 3,, gdzie r 0, T oznacza T-letnią stopę spot w uęciu rocznym w chwili 0. W chwilach t = 1, 2, 3, krzywa stóp procentowych r(t, T zadana est funkcą: r t, T = 4% + X, T = 1, 2, 3,, gdzie X est zmienną losową o rozkładzie ednostanym na przedziale [ 4%, 4%]. Funkca r(t, T oznacza T-letnią stopę spot w uęciu rocznym w chwili t. W chwili t = 0 emitowana est obligaca zerokuponowa o nominale 1 000, zapadaąca w chwili t = 3. Niech P(t oznacza cenę te obligaci w chwili t. Ceny obligaci w chwilach t = 0, t = 1, i t = 2 wyznaczone przy pomocy opisanego modelu stopy procentowe wynoszą (podać nabliższą odpowiedź: A P 0 = 88.00, P 1 = 25.3, P 2 = 2.01 B P 0 = 73.83, P 1 = 25.3, P 2 = 2.01 C P 0 = 88.00, P 1 = 24.5, P 2 = 1.54 D P 0 = 73.83, P 1 = 24.5, P 2 = 1.54 E P 0 = 88.00, P 1 = 25.3, P 2 =

11 10. Dwie osoby zaciągnęły w te same chwili kredyty hipoteczne w kwocie spłacane w okresie 40 lat, rocznymi ratami w równe wysokości, płatnymi na koniec każdego roku. Osoba A spłaca kredyt przy oprocentowaniu 7%, a osoba B 8%. Warunki kredytu musiały zostać zmienione po zapłaceniu 15 raty. Nowe stopy oprocentowania dla osób A i B wynoszą odpowiednio 8% i %. Według tych stóp zostały wyliczone nowe raty spłaty kredytu w ednakowe wysokości, płatne na koniec każdego roku, przez pozostały okres 25 lat. Niestety po zapłaceniu 30 raty, na początku 31 roku okresu spłacania kredytu, warunki kredytu znowu musiały być renegocowane. Osoba A dokończy spłacać kredyt przy stopie procentowe 11%, a osoba B przy stopie 10%. Nowe raty będą ednakowe wysokości i tak ak poprzednio będą płatne na koniec każdego roku. Oblicz różnicę sumy rat zapłaconych przez osobę B i osobę A (raty B raty A w okresie od początku 11 roku (uż po zapłaceniu 10 raty do końca 35 roku (włącznie z 35 ratą okresu spłacania kredytu. Poda nabliższą wartość. A B C D E

12 Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Matematyka finansowa Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadanie nr Odpowiedź Punktaca 1 C 2 B 3 B 4 D 5 D A 7 E 8 D A 10 D * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisa Egzaminacyna. 12