Liniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki

Transkrypt

1 Liniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki ograniczające są funkcjami liniowymi ekonomiczne wykorzystanie Programowania Liniowego do opisu sytuacji decyzyjnej i znalezienia decyzji optymalnej (najlepszej). 1. Rodzaje LZD: Optymalnego asortymentu produkcji Diety Transportowe Mieszanki Rozkroju (wyboru odpowiedniego procesu technologicznego) Przydziału (alokacji szeroko pojętych zasobów) Optymalnego rozłoŝenie w czasie inne 2. UłoŜenie LZD: przełoŝenie sytuacji decyzyjnej na język matematyczny (budowa modelu matematycznego): Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Określenie postaci funkcji celu (funkcji kryterium) Sformułowanie warunków ograniczających Ustalenie warunków znakowych i/lub innych warunków nałoŝonych na zmienne decyzyjne (np. całkowitoliczbowości albo binarności) Rozwiązanie dopuszczalne (decyzja dopuszczalna): taka wartość zmiennej decyzyjnej, która spełnia wszystkie warunki ograniczające. Rozwiązania dopuszczalne tworzą ZRD (zbiór rozwiązań dopuszczalnych) Rozwiązanie optymalne: x * - takie rozwiązanie dopuszczalne, dla którego funkcja celu osiąga wartość najkorzystniejszą (najwyŝszą/najniŝszą w danym ZRD) LZD z dwoma zmiennymi moŝemy rozwiązać graficznie. KaŜdy punkt płaszczyzny jest rozwiązaniem - odczytujemy je jako współrzędne tego punktu. Spośród wszystkich punktów płaszczyzny tylko niektóre są rozwiązaniami dopuszczalnymi (czyli takimi, które bierzemy pod uwagę jako moŝliwe rozwiązania problemu) - muszą spełniać wszystkie warunki ograniczające zadania. Najlepszym rozwiązaniem z spośród dopuszczalnych jest to o najkorzystniejszej wartości funkcji celu. 3. Rozwiązanie LZD metodą graficzną: Rysujemy osie układu współrzędnych i opisujemy je (oś pozioma x 1, oś pionowa x 2 ) Obliczenie punktów przecięcia linii stanowiących warunki ograniczające z osiami i narysowanie tych linii (oznaczamy kaŝdą linię i rysujemy zwrot nierówności) Znalezienie zbioru rozwiązań dopuszczalnych (część wspólna wszystkich ograniczeń) Określenie nachylenia wszystkich prostych (dla ax 1 +bx 2 =c nachylenie prostej wynosi a/b) Rysujemy na wykresie choć jedną izolinię/izokwantę obrazującą graficznie funkcję celu. Dla funkcji celu w postaci c 1 x 1 +c 2 x 2 kaŝda izokwanta przecina osie układu współrzędnych w takich punktach, Ŝe stosunek odległości przecięcia z osią x 2 (pionową) od początku układu współrzędnych do odległości przecięcia z osią x 1 (poziomą) od początku układu współrzędnych ma się jak c 1 /c 2, czyli przykładowo jedna z izokwant przecina oś pionową x 2 w punkcie c 1 a oś poziomą x 1 w punkcie c 2 (moŝemy brać równieŝ krotności). Ilustrują to dwa poniŝsze przykłady, gdzie zaznaczono kilka izokwant, spośród których pogrubiona została narysowana zgodnie z powyŝszymi zasadami:

2

3 Dla sprawdzenia czy dobrze narysowaliśmy izokwantę moŝemy narysować takŝe gradient, do którego izokwanty są prostopadłe. Jest to szczególnie przydatne, gdy przy którejś z wag funkcji celu stoi znak minus. Gradient jest to wektor wskazujący na kierunek wzrostu wartości fc. Jego początek leŝy w początku układu współrzędnych, a współrzędne końca gradientu to (c 1,c 2 ) lub ich krotności (uwaga moŝna powiedzieć, Ŝe występuje tu pewna zamiana parametrów niŝ przy rysowaniu izokwanty). Ilustrują to poniŝsze przykłady, gdzie zaznaczono izokwanty, oraz narysowano takŝe gradient:

4 Określenie punktu styczności najwyŝej/najniŝej połoŝonej izokwanty z wierzchołkiem zbioru rozwiązań dopuszczalnych (moŝe to być takŝe krawędź w przypadku takiego samego nachylenia izokwanty i któregoś warunku ograniczających) - narysowaną izokwantę przesuwamy równolegle do miejsca w którym posiada jeszcze jakiś punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych - jest to rozwiązanie optymalne (x*). W

5 celu znalezienia współrzędnych punktu optymalnego (czyli liczbowego rozwiązania optymalnego) musimy rozwiązać układ równań złoŝony z równań dwóch prostych, których przecięciem jest punkt optymalny. Punkty na danej izokwancie odpowiadają tej samej wartości funkcji celu, a izokwanty odpowiadające róŝnym wartościom funkcji celu są do siebie równoległe. JeŜeli chcemy "przejść" na izokwantę o wyŝszej wartości funkcji celu to "przeskakujemy" zgodnie z kierunkiem wskazanym przez gradient.. JeŜeli LZD ma rozwiązanie(a) dopuszczalne to rozwiązanie optymalne znajduje się w punkcie, w którym izokwanta dla najkorzystniejszej wartości funkcji celu jest styczna do ZRD. Na podstawie stosownych twierdzeń wiemy, Ŝe rozwiązanie zadania znajduje się w wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych (podstawa metody SIMPLEX) 4. Ilość rozwiązań dopuszczalnych: Brak zadanie sprzeczne, brak części wspólnej dla ograniczeń Jedno np. gdy zadanie ma dwa warunki ograniczające będące równościami - jedyne rozwiązanie dopuszczalne znajduje się w punkcie ich przecięcia się Nieskończenie wiele (odcinek albo obszar) 5. Ilość rozwiązań optymalnych: Jedno (wierzchołek) Nieskończenie wiele (krawędź) Brak rozwiązania (brak części wspólnej dla wszystkich ograniczeń) zadanie sprzeczne Brak (skończonego) rozwiązania (np. przy funkcji celu na max brak ograniczenia od góry)

6 6. Analiza wraŝliwości / analiza postoptymalizacyjna (dla danego parametru) zakładając niezmienność pozostałych parametrów określamy jak zmieni się rozwiązanie optymalne LZD przy róŝnych wartościach danego parametru. Analizę wraŝliwości przeprowadzamy dla: Wag funkcji celu - zmiana którejś z wag powoduje zmianę nachylenia izokwant, które wynosi c 1 /c 2. Jeśli c 1 wzrośnie/spadnie to rośnie/maleje nachylenie izokwant, jeśli c 2 wzrośnie/spadnie to maleje/rośnie nachylenie izokwant. Większe nachylenie oznacza, Ŝe izokwanty są strome, mniejsze to inaczej łagodniejsze nachylenie. Wartości ograniczeń (prawych stron) - jeśli wartość prawej strony rośnie, to warunek przesuwa się do góry (w prawo), jeśli maleje to warunek przemieszcza się w dół (w lewo).