KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ
|
|
- Roman Socha
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inż. Krzyszof Paorski 1. WłaściwoW ciwości saysyczne świała a ermicznego ( losowego( losowego ) A. Naęż ężenie (inensywność ść) ) promieniowania B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy C. Koherencja przesrzenna 2. Inerferencja w świele częś ęściowo koherennym A. Inerferencja dwóch wiązek częś ęściowo koherennych B. Inerferencja a koherencja czasowa C. Inerferencja a koherencja przesrzenna
2 Właściwości saysyczne świała ermicznego Promieniowanie zdecydowanej większości źródeł świała odbywa się na drodze emisji sponanicznej. Aomy lub cząseczki wzbudzane do wyższych sanów energeycznych przez akywację ermiczną, elekryczną ip. przypadkowo i niezależnie powracają do sanu podsawowego i emiują świało. Promieniowanie będące sumą licznych, niezależnych procesów nazywane jes promieniowaniem (świałem) ermicznym. Konrasowo różnym od promieniowania ermicznego jes sosunkowo dobrze uporządkowane promieniowanie wymuszone, emiowane przez laser. Dowolną falę opyczną opisuje funkcja falowa u(r,) = Re{U(r,r)}, gdzie U(r,) oznacza zespoloną funkcję falową. Przykładowo, U(r,) = U(r) exp(-i2πν) dla świała monochromaycznego, lub eż U(r,) może być sumą podobnych funkcji dla wielu częsoliwości wysępujących w świele polichromaycznym. Dla świała ermicznego, obydwie funkcje u(r,) i U(r,) są funkcjami losowymi, kóre można charakeryzować pewnymi średnimi saysycznymi. A. Naężenie (inensywność) świała Naężenie (inensywność) świała koherennego (parz poprzednie części wykładu) jes równe kwadraowi modułu zespolonej funkcji falowej,. (1) W przypadku świała ermicznego U(r,) jes losową funkcja czasu i położenia. Inensywność jes również opisana funkcją losową. Inensywność średnią można zdefiniować jako (2) gdzie < > oznacza uśrednianie wielu warości funkcji losowej dla różnych warości czasu i położenia. Warość I(r,) nazywamy inensywnością (w domyśle uśrednioną), a U(r,) 2 jes inensywnością chwilową (losową). Dla świała monochromaycznego i źródła punkowego operacja uśredniania nie jes konieczna, wszyskie realizacje (dla każdej chwili) dają en sam wynik. Średnia inensywność może nie zależeć od czasu lub być funkcją czasu. W pierwszym przypadku fala opyczna jes saysycznie sacjonarna (średnia nie zależy od czasu). Inensywność chwilowa U(r,) 2 zmienia się losowo w czasie, ale warość średnia I(r) pozosaje bez zmian. Jes ona ylko funkcją odległości od źródła. Naomias losowa inensywność U(r,) 2 zmienia się w czasie i przesrzeni.
3 a) b) IU(r,)I 2 I(r,) IU(r,)I 2 I(r,) Rys. 1. Fala saysycznie sacjonarna ma niezmienną w czasie średnią warość inensywności; b) zmienna w czasie inensywność fali saysycznie niesacjonarnej. Przypadek a) odpowiada świału lampy żarowej ze sabilizowanym zasilaniem prądowym. Przypadek b) ilusruje zasilanie impulsem elekrycznym. Operację saycznego uśredniania realizuje się zazwyczaj przez uśrednianie w czasie znacznie dłuższym od czasu pojedynczej realizacji, zn. (3) B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy Rozważmy zmiany sacjonarnego świała w funkcji czasu dla usalonego położenia r. Sacjonarna, losowa funkcja U(r,) ma sałą inensywność I(r) = < U(r,) 2 >. Dla uproszczenia, opuśćmy zależność od r (r jes usalone), a więc U(r,) = U() i I(r) = I. Losowe zmiany U() charakeryzuje saysyczna średnia nazywana funkcją auokorelacji. Funkcja a opisuje zakres, w kórym funkcja falowa zmienia się zgodnie (unisono) w dwóch oddzielnych chwilach czasowych, a więc usanawia skalę czasu procesu, kóra kwi u podsaw generacji funkcji falowej. Funkcja czasowej koherencji Funkcja auokorelacji sacjonarnej, zespolonej, losowej funkcji U() sanowi średnią iloczynu U*() i U( + τ) w funkcji opóźnienia czasowego lub (4)
4 Rozważmy przypadek < U() > = 0. Faza fazora U() może przyjmować każdą warość między 0 i 2π, parz rysunek niżej. Faza iloczynu, czyli ką między fazorami U() i U( + τ), może Im{U()} przyjąć dowolną warość, a więc funkcja auokorelacji Γ (τ) (warość średnia) zeruje się. W innym przypadku, jeśli dla danego opóźnienia czasowego τ funkcje U() i U(+τ) są skorelowane, o faza iloczynu U*()U(+τ) przyjmuje uprzywilejowaną warość i średnia Γ(τ) 0. W eorii koherencji pól opycznych funkcja auokorelacji nazywana jes funkcją korelacji czasowej. Można ławo wykazać, że Γ(τ) posiada symerię hermiowską Γ(-τ) =Γ*(τ), oraz Re{U()} że inensywność I, dana wzorem (2), jes równa Γ(τ) jeśli τ = 0, I = Γ( 0) (5) Zmiany fazora U() w czasie, gdy jego argumen przyjmuje warości w przedziale 0,2π. Średnie warości części rzeczywisej i urojonej są równe zero, a więc <U()> = 0. Sopień koherencji czasowej Funkcja auokorelacji Γ(τ) zawiera informację o inensywności I = Γ(0) i sopniu korelacji (koherencji) świała (saysycznie sacjonarnego). Miarą koherencji niezależną od inensywności jes unormowana funkcja auokorelacji * Γ ( ) ( τ) U ( ) U( + τ) γ τ = = * Γ( 0) U () U() nazywana zespolonym sopniem koherencji czasowej, kórej warość bezwzględna nie może przekroczyć jedności (7) Warość γ(τ) jes miarą sopnia korelacji między U() i U(+τ). Jeśli świało jes monochromayczne i pochodzi ze źródła punkowego, zn. U() = A exp(-i2πν 0 ), gdzie A oznacza sałą, wedy z wzoru (6) orzymuje się (8) czyli γ(τ) = 1 dla wszyskich warości τ. Zmieniające się warości U() i U( + τ) są całkowicie skorelowane dla wszyskich opóźnień τ. Zazwyczaj warość γ(τ) zmniejsza się od maksymalnej warości γ(0) = 1 ze wzrosem τ. Dla odpowiednio dużego opóźnienia τ zmiany sają się całkowicie nieskorelowane. (6)
5 Czas koherencji Jeśli warość γ(τ) zmniejsza się monoonicznie z opóźnieniem czasowym τ, o dla pewnego przyjęego spadku zespolonego sopnia koherencji do warości, np. równej ½ lub 1/e, warość opóźnienia nazywa się czasem koherencji (parz rysunek niżej). Dla τ < flukuacje pozosają silnie skorelowane, podczas gdy dla τ > są słabo skorelowane. W ogólności jes szerokością funkcji γ(τ). Częso do zdefiniowania czasu koherencji sosuje się wzór. (9) Czas koherencji świała monochromaycznego jes nieskończenie długi gdyż γ(τ) = 1. a) u() γ(τ) 1 b) u() γ(τ) 1 0 τ 0 τ Przykłady funkcji falowej, sopnia koherencji γ(τ) i czasu koherencji dla pola opycznego o krókim (a) i długim (b) czasie koherencji. Ampliuda i faza funkcji zmieniają się losowo ze sałymi czasowymi równymi, w przybliżeniu, czasowi koherencji. W obydwu przypadkach czas koherencji jes większy od czasu rwania pojedynczego cyklu. W zakresie czasu koherencji fala jes raczej przewidywalna i może być przybliżona sinusoidą. W czasie krószym od czasu koherencji nie jes możliwe przewidzenie ampliudy i fazy fali.
6 Świało jes koherenne jeśli odległość c jes znacznie większa od wszyskich różnic dróg opycznych wysępujących w układzie. Odległość (10) nazywa się długością koherencji promieniowania. Gęsość widmowa mocy W celu wyznaczenia średniego rozkładu widmowego świała ermicznego oblicza się ransformaę Fouriera losowej zespolonej funkcji falowej U(). Energia składowej zespolonej funkcji falowej dla usalonego o częsoliwości ν jes równa Średnia energia w zakresie częsoliwości od ν do ν + dν wynosi < V(ν) 2 >, a więc < V(ν) 2 > reprezenuje gęsość spekralną energii promieniowania (na jednoskową powierzchnię i jednoskowy przyros częsoliwości). Przyjęo, że zespolona funkcja falowa U() spełnia warunek V(ν) = 0 dla ujemnych warości ν. Rozważmy eraz gęsość spekralną mocy. Gęsość spekralna energii w przedziale czasu T jes równa < V T ( ν) 2 >, gdzie (11) Gęsość spekralna mocy o gęsość spekralna energii na jednoskowy przedział czasowy, zn. (1/T) < V T (ν) 2 >. Rozszerzając przedział czasu T do nieskończoności, T = orzymujemy Funkcja G(ν) nosi nazwę gęsości spekralnej mocy. Ma ona niezerowe warości ylko dla dodanich częsoliwości. Ponieważ U() zdefiniowano ak, że U() 2 reprezenuje moc na jednoskową powierzchnię lub inensywność (W/cm 2 ), o G(ν) dν reprezenuje średnią moc na jednoskową powierzchnię niesioną przez częsoliwości w zakresie od ν do dν. Tak więc G(ν) odpowiada gęsości spekralnej inensywności (W/cm 2 -Hz), częso mówi się o gęsości spekralnej. Całkowia inensywność średnia wynosi (13) Funkcja auokorelacji Γ(τ) i gęsość spekralna G(ν) powiązane są przekszałceniem Fouriera (14) Związek en znany jes pod nazwą wierdzenia Wienera-Chinczyna. (12)
7 Szerokość spekralna Szerokość spekralna lub szerokość linii promieniowania o szerokość Δν gęsości widmowej G(ν). Z uwagi na związek między G(ν) i Γ(τ) poprzez przekszałcenie Fouriera, szerokości ych funkcji są odwronie proporcjonalne. Źródło świała o szerokim widmie ma króki czas koherencji i odwronie, parz rysunek poniżej. u() γ(τ) G(ν) Δν τ ν u( u() ) γ(τ) γ(τ) G(ν) Δν τ ν Dwie fale losowe, odpowiadające im moduły zespolonego sopnia koherencji czasowej i gęsości spekralne (widmowe). W szczególnym przypadku promieniowania monochromaycznego mamy Γ(τ) = Iexp(-i2πν 0 τ), czyli G(ν) = I δ (ν - ν 0 ) zawiera ylko jedną częsoliwość ν 0. W ym przypadku = i Δν = 0. Czas koherencji źródła można zwiększyć sosując filr spekralny, ale odbywa się o koszem sray energii. Isnieje wiele definicji szerokości widmowej. Najczęściej spoykana o zw. szerokość połówkowa G(ν), czyli Δν 0.5. Związek między czasem koherencji a szerokością widmową zależy od profilu rozkładu widmowego.
8 Związek między szerokością widmową i czasem koherencji Rozkład gęsości widmowej Szerokość widmowa Δν 0.5 Prosokąny Wg funkcji Lorenza Gaussowski 1/ 1/π 0.32/ (2ln2/π) 1/2 / 0.66/ Inną wygodną definicję szerokości spekralnej przedsawia wzór z kórego wynika związek (16) niezależnie od profilu rozkładu gęsości widmowej. Jeśli G(ν) ma rozkład prosokąny w zakresie częsoliwości od ν 0 B/2 do ν 0 + B/2, wedy ze wzoru (15) orzymujemy Δν c = B. Dwie definicje szerokości widmowej Δν c i Δν 0.5 Δνróżnią się współczynnikiem mieszczącym się w zakresie od 1/π 0.32 do 1. (15) Przykładowe warości szerokości widmowej, czasu koherencji i długości koherencji dla kilku źródeł świała (w próżni) Źródło Δν c (Hz) = 1/Δν c l c = c c Promieniowanie słoneczne (λ 0 = μm) 3.75 x fs 800 nm Dioda elekroluminescencyjna (λ 0 = 1 μm, Δλ 0 = 50 nm) 1.5 x fs 20 μm Niskociśnieniowa lampa sodowa 5 x ps 600 μm Wielomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1.5 x ns 20 cm Jednomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1 x μs 300 m
9 Przykład: Fala zawierająca losową sekwencję falek Świało emiowane przez źródło niekoherenne można zamodelować w posaci sekwencji falek emiowanych losowo w skali czasu. Każda falka jes emiowana przez inny aom. Załóżmy falkę w posaci zanikającej wykładniczo sinusoidy, zn. U p () = A p exp(-/ ) exp(-i2πν 0 ), 0 U p () = 0 < 0 u() γ(τ) 0 τ Świało złożone z ciągu falek emiowanych w losowych odsępach czasu charakeryzuje czas koherencji równy czasowi rwania pojedynczej falki. Czasy emisji są całkowicie niezależne, losowo niezależne warości fazy emisji są zaware w A p. Wyznaczając charakerysyczne paramery średnie orzymujemy, że zespolony sopień koherencji jes równy γ(τ) = exp(- τ / )exp(-i2πν 0 τ). Gęsość spekralna mocy ma rozkład według funkcji Lorenza, G(ν) = (Δν/2π)/[(ν - ν 0 ) 2 + (Δν/2) 2 ], gdzie Δν = 1/π. W ym przypadku czas koherencji jes dokładnie równy czasowi rwania pojedynczej falki.
10 C. Koherencja przesrzenna Funkcja wzajemnej koherencji Przesrzenne i czasowe flukuacje losowego zaburzenia U(r, ) dobrze opisuje również funkcja korelacji wzajemnej U(r 1, ) i U(r 2, ) w położeniach r 1 i r 2 Γ(r 1, τ) = < U*(r 1, ) U(r 2, + τ) >. (17) Funkcja a nosi nazwę funkcji koherencji wzajemnej. Jej unormowana posać (18) nosi nazwę zespolonego sopnia koherencji. Gdy dwa punky pokrywają się, zn. r 1 = r 2 = r, wzory (17) i (18) doyczą wedy funkcji koherencji czasowej i zespolonego sopnia koherencji czasowej dla położenia r. Dodakowo, gdy τ = 0 mamy I(r) = Γ(r, r, 0). Zespolony sopień koherencji przyjmujący warości w zakresie 0 γ(r 1, τ) 1 (19) jes miarą sopnia korelacji między flukuacjami w punkach r 1 i r 2 opóźnionymi o τ. Przypadki szczególne: moduł zespolonego sopnia koherencji równy 0 i 1. Zależność zespolonego sopnia γ(r 1, τ) od opóźnienia czasowego i odległości między położeniami r 1 i r 2 charakeryzuje koherencję czasową i przesrzenną promieniowania. Dwa przykłady ej zależności pokazano na rysunkach poniżej.
11 a) b) γ(r 1,r 2,τ γ(r 1,r 2,τ r 1 - r 2 r 1 - r 2 τ τ Dwa przykłady γ(r 1, τ) w funkcji odległości r 1 r 2 i opóźnienia czasowego τ. W przypadku a) maksymalna korelacja dla danego r 1 r 2 wysępuje dla τ = 0. W przypadku b) maksimum korelacji wysępuje dla r 1 r 2 = cτ. Inensywność wzajemna (naężenie wzajemne) Przesrzenną spójność promieniowania ocenia się badając zależność funkcji koherencji wzajemnej dla usalonej warości opóźnienia czasowego τ, zazwyczaj τ = 0 (parz rys. (a) powyżej). Funkcja wzajemnej koherencji dla τ = 0, Γ(r 1, 0) = < U*(r 1, ) U(r 2, ) > nosi nazwę funkcji wzajemnej inensywności (naężenia wzajemnego) i jes oznaczana, dla prosoy, jako Γ(r 1 ). Gdy różnice dróg opycznych w układzie są << l c = c, promieniowanie jes czasowo w pełni koherenne i funkcja koherencji wzajemnej jes harmoniczną funkcją czasu Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), (20) gdzie ν 0 oznacza średnią częsoliwość. Przypadek oświelenia quasi-monochromaycznego, funkcja wzajemnej inensywności Γ(r 1 ) opisuje w pełni koherencję przesrzenną.
12 Zespolony sopień koherencji γ(r 1, 0) zapisuje się, podobnie, jako γ(r 1 ). Sanowi on unormowaną posać inensywności wzajemnej. γ(r 1 ) przyjmuje warości od 0 do 1 i sanowi miarę sopnia koherencji przesrzennej (gdy τ = 0). Obszar koherencji Przesrzenną koherencję świała quasi-monochormaycznego, w pewnej płaszczyźnie, w pobliżu położenia danego wekorem r 2, opisuje γ(r 1 ) będący funkcją odległości r 1 r 2. Obszar w ooczeniu r 2 zakreślany przez wekor r 1, dla kórego sopień koherencji jes większy od pewnej przyjęej warości (np. ½ lub 1/e) nazywany jes obszarem koherencji. γ(r 1 ) γ(r 1 ) (21) O r 1 r 2 r 1 1 r 1 A 2 c O A c Dwa przykłady unormowanej warości wzajemnego naężenia w funkcji r 1 w pobliżu usalonego punku r 2. Obszar koherencji a wymiary poprzeczne układu opycznego. Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jes większy od średnicy źrenicy układu opycznego, a więc γ(r 1, r 2 ) 1 dla wszyskich punków źrenicy, promieniowanie można uważać za całkowicie koherenne ( nieograniczony obszar koherencji). Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jes mniejszy od rozdzielczości układu opycznego, o wedy można zapisać γ(r 1 ) = 0 prakycznie dla wszyskich r 1 r 2. W ym przypadku mamy do czynienia z oświeleniem niekoherennym.
13 Wzajemna gęsość widmowa (mocy) Naężenie wzajemne Γ(r 1 ) sanowiące szczególny przypadek funkcji koherencji wzajemnej Γ(r 1, τ) dla τ = 0 jes dobrą miarą opisu koherencji przesrzennej świała quasi-monochromaycznego. Inne przydane podejście bazuje na opisie koherencji przesrzennej w domenie częsoliwości analizuje się korelację przesrzenną dla danej częsoliwości. Funkcja wzajemnej gęsości widmowej jes zdefiniowana jako przekszałcenie Fouriera funkcji wzajemnej koherencji Γ(r 1, τ) względem τ G ( r,r, ν) = Γ( r,r, τ) exp( i2 π ν τ) dτ. Gdy r 1 = r 2 = r, funkcja wzajemnej gęsości widmowej saje się funkcją widmowej gęsości mocy G(ν) dla położenia r, parz wzór (14). Unormowaną posać wzajemnej gęsości widmowej, zespolony sopień koherencji widmowej, opisuje wzór ( r,r, ν) g = 1 2 G( r1,r2, ν) (,r, ν) G( r,r, ν) 1 [ G ]2 Warość zespolonego sopnia koherencji widmowej zawiera się w przedziale od 0 do 1. Sanowi on miarę sopnia koherencji przesrzennej między r 1 i r 2 dla częsoliwości ν. W eorii koherencji wiele problemów zdecydowanie upraszcza się, gdy zespolony sopień koherencji promieniowania można przedsawić jako iloczyn dwóch czynników: jednego zależnego ylko od zmiennych przesrzennych, drugiego zależnego ylko od opóźnienia czasowego. Taką funkcję koherencji określa się jako redukowalną. Właściwość ę można wyrazić również w równoważny sposób w dziedzinie widmowej, gdzie definiuje się ją jako wzajemną czysość widmową. Możemy zapisać eraz G(r 1, ν) = Γ(r 1 ) g(ν). Analogicznie, funkcję koherencji wzajemnej musimy eraz zapisać w posaci Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) γ(τ), gdzie γ(τ) sanowi odwroną ransformaę Fouriera g(ν). Jeśli przy rozdziale właściwości przesrzennych i widmowych przyjęo g(ν)dν = 1, wedy Γ(r 1 ) = Γ(r 1, 0), a więc Γ(r 1 ) odpowiada inensywności wzajemnej. Czyse widmowo świało ma dwie ważne właściwości: Dla pojedynczego położenia r, mamy G(r, r, ν) = Γ(r, r) g(ν) = I(r) g(ν). Widmo ma en sam rozkład dla wszyskich położeń. W przypadku obrazowania przez układ opyczny, obraz ma wszędzie ę samą barwę, przy zmiennym rozkładzie naężenia w obrazie. (22) (23)
14 Unormowana wzajemna gęsość widmowa mocy g(r 1, ν) = Γ(r 1 ) / [Γ(r 1, r 1 ) Γ(r 2 )] 1/2 = γ(r 1 ) (24) nie zależy od częsoliwości ν. Unormowana inensywność wzajemna γ(r 1 ) opisuje koherencję przesrzenną dla wszyskich częsoliwości. 2. Inerferencja w świele częś ęściowo koherennym Inerferencja wiązek częściowo koherennych widmowo i przesrzennie Dwa częściowo koherenne zaburzenia U 1 i U 2, w wyniku inerferencji, dają rozkład inensywności I = < U 1 + U 2 2 >=< U 1 2 > + < U 2 2 > + <U 1 * U 2 > + < U 1 U 2 * > = I 1 + I 2 + Γ 12 + Γ 12* = I 1 + I Re{Γ 12 } skąd = I 1 + I (I 1 I 2 ) 1/2 Re{ γ 12 }, (25) I = I 1 + I (I 1 I 2 ) 1/2 γ 12 cosϕ, (26) gdzie ϕ = arg {γ 12 } jes fazą γ 12. Osani wyraz po prawej sronie opisuje inerferencję wiązek. Dwa szczególne przypadki o γ 12 = exp(iϕ) i γ 12 = 1, czyli oświelenie w pełni koherenne, oraz γ 12 = 0, I = I 1 + I 2, czyli oświelenie w pełni niekoherenne (brak inerferencji). Konras prążków inerferencyjnych, definiowany ogólnie znanym wzorem C = (I max I min ) / (I max + I min ), w rozważanym przypadku jes równy Konras prążków jes więc proporcjonalny do modułu unormowanej funkcji inensywności wzajemnej, j. γ 12. Gdy I 1 = I 2 mamy C = γ 12. (28) (27)
15 Inerferencja a koherencja czasowa Rozważmy inerferencję częściowo koherennego zaburzenia U() o zespolonym sopniu koherencji czasowej γ(τ) = < U*() U( + τ) > / I 0 z własną repliką przesunięą w czasie o τ, zn. U( + τ). Z wzoru (26), podsawiając U 1 = U(), U 2 ( + τ), I 1 = I 2 = I 0, γ 12 = < U * () U( + τ)> / I 0 = γ(τ), orzymuje się I = 2 I 0 [ 1 + Re {γ(τ)} ] = 2 I 0 [ 1 + γ(τ) cosϕ(τ) ], (29) gdzie ϕ(τ) = arg{γ(τ)}. Wynik inerferencji w rozważanym przypadku zależy od zespolonego sopnia koherencji czasowej. I/2I 0 U d 1 d γ(τ) 1 U 1 +U r=2(d 2 -d 1 )/c I Schema inerferomeru Michelsona (Twymana-Greena) do pomiaru sopnia koherencji czasowej wiązki o płaskim czole falowym. Rozważmy wiązkę o płaskim czole falowym o zespolonym sopniu koherencji równym γ(τ) = γ a (τ) exp(-i2πν 0 τ). Szerokość spekralna promieniowania wynosi Δν c = 1/, gdzie jes szerokością γ a (τ) i jednocześnie czasem koherencji. Z osaniego wzoru orzymujemy I = 2 I 0 { 1 + γ a (τ) cos[2πν 0 τ + ϕ a (τ)]}, (30) gdzie ϕ a (τ) = arg{γ a (τ)}. Zakładając Δν c << ν 0, funkcje γ a (τ) i ϕ a (τ) zmieniają się bardzo wolno w odniesieniu do okresu 1/ν 0, gdyż Δν c = 1/ << ν 0. Konras inerferogramu w pobliżu danej warości opóźnienia τ wynosi C = γ(τ) = γ a (τ). Dla τ = 0 osiąga maksymalną warość równą jedności i zeruje się dla τ >>, zn. gdy różnica dróg opycznych jes znacznie większa od długości koherencji l c = c.
16 Sopień koherencji czasowej wiązki γ(τ) można wyznaczyć mierząc konras prążków ineferencyjnych w funkcji opóźnienia. Ineresujący wynik orzymuje się zapisując wzór (29) posługując się widmową gęsością mocy. Korzysając ze związku, poprzez przekszałcenie Fouriera, między Γ(τ) i G(ν) i zważywszy, że funkcja G(ν) jes funkcją rzeczywisą oraz 0 G(ν) dν = I 0, orzymuje się I = 2 0 G(ν) [ 1 + cos(2πντ) ] dν. (31) Osani wzór można inerpreować jako ważoną superpozycję inerferogramów wywarzanych przez każdą monochromayczną długość fali. Każda długość fali (częsoliwość) wywarza inerferogram o okresie 1/ν i jednoskowym konraście. Z powodu różnych okresów dla różnych częsoliwości w wyniku superpozycji orzymuje się inerferogram o obniżonym konraście. Posać wzoru (31) sugeruje meodę wyznaczania gęsości widmowej G(ν) źródła poprzez pomiar rozkładu inensywności inerferogramu I w funkcji τ, a nasępnie obliczenie ransformay Fouriera. Meoda a znana jes pod nazwą spekroskopii fourierowskiej. Inerferencja a koherencja przesrzenna Efek koherencji przesrzennej na obraz inerferencyjny najlepiej ilusruje sławne doświadczenie Younga (inerferomer Younga, z podziałem czoła falowego, omówiono w poprzedniej części wykładu doyczącej różnych ypów inerferomerów). λ/θ I/2I 0 2a θ=2a/d z 2 λ/θ x 1 γ(r 1 ) d Doświadczenie Younga. Unormowane wzajemne naężenie między oworkami jes równe γ(r 1 ). Założono równe inensywności zaburzeń wychodzących z oworków. 0 0 x
17 W parabolicznym przybliżeniu Fresnela dwie inerferujące wiązki o sferycznych czołach falowych (i równych inensywnościach) można zapisać w posaci (32a) U 2 ( r,) αu r 2, r r c 2 U r 2 d +, ( x a) c 2 /2d (32b) Unormowana funkcja korelacji między ymi wiązkami w punkcie r wynosi gdzie γ 12 = < U 1* (r, ) U 2 (r, ) > / I 0 = γ (r 1, τ x ), (33) jes różnicą opóźnień czasowych między dwiema falami. Podsawiając (33) do (26) orzymuje się rozkład inensywności I I(x) w posaci I(x) = 2 I 0 [1 + γ(r 1, τ x ) cosϕ x ], (35) gdzie ϕ x = arg{γ(r 1, τ)}. Wzór en opisuje rozkład inensywności prążków inerferencyjnych w płaszczyźnie obserwacji w funkcji modułu i fazy zespolonego sopnia koherencji przy opóźnieniu czasowym τ x = θx/c. Promieniowanie quasi-mochromayczne Jeśli eraz możemy zapisać γ(r 1, τ) γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), o osanie równanie upraszcza się do posaci (34) I(x) = 2 I 0 [ 1 + C cos{2π(θx/λ) + ϕ} ], (36) gdzie λ = c/ν 0, C = γ(r 1 ), τ x = θx/c, ϕ = arg{γ(r 1 )}. Okres prążków o sinusoidalnym rozkładzie inensywności wynosi λ/θ. Konras prążków C jes eraz deerminowany przez sopień koherencji przesrzennej między zaburzeniami emiowanymi przez dwa oworki. Położenie prążków wzdłuż osi x zależy od fazy ϕ.
18 Inerferencja w przypadku źródła o skończonych wymiarach poprzecznych Jeśli oworki w ekranie oświela quasi-monochromayczna fala płaska propagująca się wzdłuż osi z, zn. U(r, ) = exp(ikz) exp(-i2πν 0 ), o wedy γ(r 1 ) = 1 i arg{γ(r 1 )} = 0. Jedno z maksimów inensywności prążków o jednoskowym konraście pokrywa się z x = 0. W przypadku wiązki propagującej się pod małym kąem θ x względem osi z, zn. U(r, ) exp[i(kz + kθ x x)] exp(-i2πν 0 ), wedy γ(r 1 ) = exp(ikθ x 2a). Pochylenie wiązki oświelającej oworki prowadzi do zmiany fazy ϕ = kθ x 2a = 2πθ x 2a/λ i poprzecznego przesuwu prążków o część okresu (2aθ x /λ). Gdy ϕ = 2π, przesunięcie poprzeczne jes równe okresowi prążków. Jeśli wiązka oświelająca będzie zbiorem niekoherennych względem siebie fal płaskich, ze źródła widzianego pod kąem θ s z płaszczyzny ekranu z oworkami, wedy przesunięcie fazowe będzie wysępowało w zakresie (+/-)2π(θ s /2)2a/λ = (+/-) 2πθ s a/λ i obraz w płaszczyźnie obserwacji będzie sanowił superpozycję wielu rozkładów sinusoidalnych wzajemnie przesunięych. Gdy θ s = λ/2a faza ϕ zmienia się w zakresie (+/-)π i wysarcza o do spadku konrasu do zera. Odległość ρ c λ/θ s (37) jes miarą odległości (dlugości lub odcinka ) koherencji w płaszczyźnie ekranu z oworkami. Przyjmijmy, że ką pod kórym widać słońce wynosi 0.5 o. Wedy odległość koherencji dla danej długości fali jes równa ρ c λ/θ s 115 λ. Dla λ = 0.5 μm mamy ρ c 57.5 μm. Bardziej ścisłe rozważania dyfrakcyjne (parz kolejna część wykładu doycząca obrazowania w oświeleniu niekoherennym) definiują odległość koherencji ρ c dla kołowego źródła o jednorodnym rozkładzie inensywności jako równą ρ c = 1.22λ/θ s. Wpływ szerokości spekralnej na obraz prążkowy w doświadczeniu Younga Przyjmijmy Δν c << ν 0. Zespolony sopień koherencji ma eraz posać γ(r 1, τ) = γ a (r 1,τ) exp(-i2πν 0 τ), (38) gdzie γ a (r 1, τ) oznacza wolno zmienną funkcję względem τ (w sosunku do okresu 1/ν 0 ). Podsawiając (38) do (35) orzymujemy I(x) = 2 I 0 [ 1 + C x cos {2π(θx/λ śr ) + ϕ x } ], (39) gdzie C x = γ a (r 1,τ x ), ϕ x = arg{γ a (r 1, τ x )}, τ x = θx/c, i λ śr = c/ν 0.
19 Okres prążków inerferencyjnych wynosi eraz λ śr /θ. Ich konras C x i faza ϕ x, proporcjonalne do modułu i fazy zespolonego sopnia koherencji, zmieniają się z opóźnieniem czasowym τ x = θx/c. Jeśli γ a (r 1, τ) = 1 dla τ = 0, sopień koherencji zmniejsza się ze wzrosem τ i zeruje się dla τ >> ; konras C x = 1 dla x = 0 i zmniejsza się ze współrzędną x, zeruje się dla x >> x c = c /θ. Prążki są widzialne w zakresie x c = l c / θ, (40) gdzie l c = c jes długością (drogą) koherencji, a θ jes kąem pod kórym widać oworki. I/2I 0 x c = lc θ 2 2a θ Płaszczyzna obserwacji 1 d Ekran 0 0 x Wiązka padająca Konras prążków inerferencyjnych dla współrzędnej x jes równy sopniowi koherencji w płaszczyźnie ekranu z oworkami dla opóźnienia czasowego τ x = θx/c. W przypadku pełnej koherencji przesrzennej liczba obserwowanych prążków jes równa x c / (λ śr /θ) = l c /λ śr = c /λ śr = ν 0 /Δν c. Jes więc ona równa ilorazowi długości koherencji l c i średniej długości fali λ śr, lub ilorazowi średniej częsoliwości ν 0 i spekralnej szerokości linii widmowej Δν c. Jeśli γ(r 1, 0) < 1, zn., źródło nie jes przesrzennie koherenne, konras prążków będzie szybciej zanikał i liczba obserwowanych prążków będzie mniejsza.
KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ
KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof 1. WłaściwoW ciwości statystyczne światła a termicznego ( losowego( losowego ) A. NatęŜ ęŝenie (intensywność
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoBADANIE INTERFEROMETRU YOUNGA
Celem ćwiczenia jest: BADANIE INTERFEROMETRU YOUNGA 1. poznanie podstawowych właściwości interferometru z podziałem czoła fali w oświetleniu monochromatycznym i świetle białym, 2. demonstracja możliwości
Bardziej szczegółowoWłasności światła laserowego
Własności światła laserowego Cechy światła laserowego: rozbieżność (równoległość) wiązki, pasmo spektralne, gęstość mocy oraz spójność (koherencja). Równoległość wiązki Dyfrakcyjną rozbieżność kątową awkącie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne spektrum
Fale elekroagneyczne spekru w próżni wszyskie fale e- rozchodzą się z prędkością c 3. 8 /s Jaes Clerk Mawell (w połowie XIX w.) wykazał, że świało jes falą elekroagneyczną rozprzesrzeniającą się falą ziennego
Bardziej szczegółowoODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM
ODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu jest model matematyczny procesu formowania obrazu przez pojedynczy układ optyczny w oświetleniu
Bardziej szczegółowoĘŚCIOWO KOHERENTNYM. τ), gdzie Γ(r 1. oznacza centralną częstotliwość promieniowania quasi-monochromatycznego.
OBRAZOWANIE W OŚWIETLENIU CZĘŚ ĘŚCIOWO KOHERENTNYM 1. Propagacja światła a częś ęściowo koherentnego prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof PoniŜej zajmiemy się propagacją promieniowania quasi-monochromatycznego,
Bardziej szczegółowoRys. 1 Interferencja dwóch fal sferycznych w punkcie P.
Ćwiczenie 4 Doświadczenie interferencyjne Younga Wprowadzenie teoretyczne Charakterystyczną cechą fal jest ich zdolność do interferencji. Światło jako fala elektromagnetyczna również może interferować.
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoPOMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU
Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów
Bardziej szczegółowoPonadto, jeśli fala charakteryzuje się sferycznym czołem falowym, powyższy wzór można zapisać w następujący sposób:
Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym Spis treści 1 Powtórka z fizyki Zjawisko Interferencji 1.1 Koherencja czasowa i przestrzenna 1.2 Droga i czas koherencji 2 Lasery 2.1 Emisja Spontaniczna 2.2
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL
ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL X L Rys. 1 Schemat układu doświadczalnego. Fala elektromagnetyczna (światło, mikrofale) po przejściu przez dwie blisko położone (odległe o d) szczeliny
Bardziej szczegółowoK gęstość widmowa (spektralna) energii: 12 Classical theory (5000 K) 10 Rozbieżność w obszarze krótkich fal (katastrofa w nadfiolecie)
Opyka kwanowa wprowadzenie Króka (pre-)hisoria foonu (9-93) Począki modelu foonowego Własności świała i jego oddziaływania z maerią, niedające się opisać w ramach fizyki klasycznej Deekcja pojedynczych
Bardziej szczegółowoSzeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:
Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający
Bardziej szczegółowoSformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część I Napięcie, naężenie i moc prądu elekrycznego Sygnały elekryczne i ich klasyfikacja Rodzaje układów elekronicznych Janusz Brzychczyk IF UJ Elekronika Dziedzina nauki i echniki
Bardziej szczegółowoPROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE
PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu są podstawowe transformacje fazowe
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoWykład 17: Optyka falowa cz.1.
Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza
Bardziej szczegółowoGŁÓWNE CECHY ŚWIATŁA LASEROWEGO
GŁÓWNE CECHY ŚWIATŁA LASEROWEGO Światło może być rozumiane jako: Strumień fotonów o energii E Fala elektromagnetyczna. = hν i pędzie p h = = hν c Najprostszym przypadkiem fali elektromagnetycznej jest
Bardziej szczegółowoRejestracja i rekonstrukcja fal optycznych. Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie.
HOLOGRAFIA prof dr hab inŝ Krzysztof Patorski Krzysztof Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie a) Laser b) odniesienia
Bardziej szczegółowoRys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów
Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich
Bardziej szczegółowoGłównie występuje w ośrodkach gazowych i ciekłych.
W/g ermodynamiki - ciepło jes jednym ze sposobów ransporu energii do/z bila, zysy przepływ ciepła może wysąpić jedynie w ciałach sałych pozosających w spoczynku. Proces wymiany ciepla: przejmowanie ciepła
Bardziej szczegółowo4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
Bardziej szczegółowoLaboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 3. Pomiar drgao przy pomocy interferometru Michelsona
Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 3. Pomiar drgao przy pomocy interferometru Michelsona Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WET, Politechnika Gdaoska Gdańsk 006 1. Wstęp Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoWykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska
Bardziej szczegółowoPomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła
Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoGWIEZDNE INTERFEROMETRY MICHELSONA I ANDERSONA
GWIEZNE INTERFEROMETRY MICHELSONA I ANERSONA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zestawienie i demonstracja modelu gwiezdnego interferometru Andersona oraz laboratoryjny pomiar wymiaru sztucznej gwiazdy.
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej
Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej Wprowadzenie Światło widzialne jest to promieniowanie elektromagnetyczne (zaburzenie poła elektromagnetycznego rozchodzące
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) i E E E i r r = = = = = θ θ ρ ν φ ε ρ α * 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER
CHARATERYSTYA WIĄZI GENEROWANEJ PRZEZ LASER ształt wiązki lasera i jej widmo są rezultatem interferencji promieniowania we wnęce rezonansowej. W wyniku tego procesu powstają charakterystyczne rozkłady
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Doświadczenie interferencyjne Younga. Rys. 1
Ćwiczenie 4 Doświadczenie interferencyjne Younga Wprowadzenie teoretyczne Charakterystyczną cechą fal jest ich zdolność do interferencji. Światło jako fala elektromagnetyczna również może interferować.
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. Wstęp E B H J D
Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( 0 8854 10 1 As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( 0 4 10 7 Vs/Am),
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoZjawisko interferencji fal
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowoOscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.
Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali
Bardziej szczegółowoSygnały zmienne w czasie
Sygnały zmienne w czasie a) b) c) A = A = a A = f(+) d) e) A d = A = A sinω / -A -A ys.. odzaje sygnałów: a)sały, b)zmienny, c)okresowy, d)przemienny, e)sinusoidalny Sygnały zmienne okresowe i ich charakerysyczne
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Temat: Interferometr Michelsona 7.. Cel i zakres ćwiczenia 7 INTERFEROMETR MICHELSONA Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z budową i
Bardziej szczegółowoLaseryimpulsowe-cotojest?
Laseryimpulsowe-coojes? Pior Migdał marca5 Laseryciągłe Prawie każdy widział laser, choćby w posaci breloczka z odpowiednią diodą LED. Co jes charakerysyczne dla promienia emiowanego z akiego urządzenia?
Bardziej szczegółowoMetody Optyczne w Technice. Wykład 5 Interferometria laserowa
Metody Optyczne w Technice Wykład 5 nterferometria laserowa Promieniowanie laserowe Wiązka monochromatyczna Duża koherencja przestrzenna i czasowa Niewielka rozbieżność wiązki Duża moc Największa możliwa
Bardziej szczegółowoLaboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej
Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej 1. Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 2006 1. Wstęp Pomiar profilu wiązki
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR
LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje
Bardziej szczegółowoOPTYKA FALOWA. W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę
OPTYKA FALOWA W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę falową. W roku 8 Thomas Young wykonał doświadczenie, które pozwoliło wyznaczyć długość fali światła.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD
1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD Celem ćwiczenia jes poznanie własności dynamicznych diod półprzewodnikowych. Obejmuje ono zbadanie sanów przejściowych podczas procesu przełączania
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej
CHEMI KWTOW CHEMI KWTOW Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 8. Optyka falowa
Wykład FIZYKA II 8. Optyka falowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka.html
Bardziej szczegółowoWyznaczanie parametro w wiązki gaussowskiej
Wyznaczanie parametro w wiązki gaussowskiej Spis treści 1. Wstęp... 1 2. Definicja wiązki gaussowskiej... 2 3. Parametry określające wiązkę gaussowską... 4 4. Transformacja wiązki gaussowskiej przez soczewki...
Bardziej szczegółowoVII.5. Eksperyment Michelsona-Morleya.
Janusz. Kępka Ruch absoluny i względny VII.5. Eksperymen Michelsona-Morleya. Zauważmy że pomiar ruchu absolunego jakiegokolwiek obieku maerialnego z założenia musi odnosić się do prędkości fali świelnej
Bardziej szczegółowoFizyka elektryczność i magnetyzm
Fizyka elektryczność i magnetyzm W5 5. Wybrane zagadnienia z optyki 5.1. Światło jako część widma fal elektromagnetycznych. Fale elektromagnetyczne, które współczesny człowiek potrafi wytwarzać, i wykorzystywać
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
INSTTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WDZIAŁ INŻNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORJNA Tema ćwiczenia: WZNACZANIE WSPÓŁCZNNIKA PRZEWODZENIA CIEPŁA CIAŁ STAŁCH METODĄ STANU UPORZĄDKOWANEGO
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY CHEMII KWANTOWEJ. Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej
PODSTWY CHEMII KWTOWEJ Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:
Bardziej szczegółowoKatedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI
ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PROSTOWNIKI DO UŻYTKU
Bardziej szczegółowoOscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] -częstotliwość.
Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali
Bardziej szczegółowoZjawisko interferencji fal
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoZjawisko interferencji fal
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.
ĆWICZENIE BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH Wahadło sprzężone Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k Rys Na wahadło działa siła będąca składową
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie i kompresja danych
Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja
Bardziej szczegółowoDr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska
Podstawy fizyki Wykład 11 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 3, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 2003. K.Sierański, K.Jezierski,
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Bardziej szczegółowoBADANIE I ACHROMATYZACJA PRĄŻKÓW INTERFERENCYJNYCH TWORZONYCH ZA POMOCĄ ZWIERCIADŁA LLOYDA
BADANIE I ACHROMATYZACJA PRĄŻKÓW INTERFERENCYJNYCH TWORZONYCH ZA POMOCĄ ZWIERCIADŁA LLOYDA Celem ćwiczenia jest: 1. demonstracja dużej liczby prążków w interferometrze Lloyda z oświetleniem monochromatycznym,
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz
Bardziej szczegółowoPromieniowanie synchrotronowe i jego zastosowania
Universias Jagellonica Cracoviensis Promieniowanie synchroronowe i jego zasosowania Wykład II J.J. Kołodziej Pokój: G--11, IFUJ Łojasiewicza 11 Tel.+1 664 4838 jj.kolodziej@uj.edu.pl Wykłady na WFAiS,
Bardziej szczegółowoWykład 6. Badanie dynamiki zjawisk
Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ
1100-4BW1, rok akademicki 018/19 WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ dr hab. Rafał Kasztelanic Wykład 4 Przestrzeń swobodna jako filtr częstości przestrzennych Załóżmy, że znamy rozkład pola na fale monochromatyczne
Bardziej szczegółowo( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym
ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami
Bardziej szczegółowo= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin
Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta θ. Szczelinę dzielimy na N odcinków i
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoOptyka klasyczna. Optyka kwantowa wprowadzenie. Światło fala elektromagnetyczna. Optyka falowa. Klasyczny obraz światła
Opyka kwanowa wprowadzenie Opyka klasyczna Klasyczny obraz świała Opyka geomeryczna Począki modelu foonowego Opyka falowa (fizyczna) Deekcja pojedynczych foonów Świało jako fala elekromagneyczna O czym
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 12, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 1, 3.03.01 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek rnest Grodner Wykład 11 - przypomnienie superpozycja
Bardziej szczegółowoLepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii
Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).
Bardziej szczegółowoInterferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego.
Ćwiczenie 6 Interferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego. Interferometr Macha-Zehndera Interferometr Macha-Zehndera jest często wykorzystywany
Bardziej szczegółowocx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.
Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku
Bardziej szczegółowoAnalityczne reprezentacje sygnałów ciągłych
Analiyczne reprezenacje sygnałów ciągłych Przedsawienie sygnału w posaci analiycznej: umożliwia uproszczenie i unifiację meod analizy, pozwala na prosszą inerpreację nieórych jego cech fizycznych. W eorii
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 11, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 11, 19.03.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 10 - przypomnienie
Bardziej szczegółowoWykład III. Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela
Wykład III Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela Interferencja fal płaskich Na kliszy fotograficznej, leżącej na płaszczyźnie z=0 rejestrujemy interferencję dwóch fal płaskich, o tej
Bardziej szczegółowoG:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\FRAUN1.doc. "Drgania i fale" ii rok FizykaBC. Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: ia λ
Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: U iω t [ e ] ( t) Re U ( ) ;. c t U ( ; t) oraz [ + ] U ( ) k. U ia s ( ) A e ik r ( rs + r ) cos( n, ) cos( n, s ) ds s r. Dyfrakcja Fresnela (a) a dyfrakcja Fraunhofera
Bardziej szczegółowoMikroskop teoria Abbego
Zastosujmy teorię dyfrakcji do opisu sposobu powstawania obrazu w mikroskopie: Oświetlacz typu Köhlera tworzy równoległą wiązkę światła, padającą na obserwowany obiekt (płaszczyzna 0 ); Pole widzenia ograniczone
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
Bardziej szczegółowoPrzemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
Bardziej szczegółowo