KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ"

Transkrypt

1 KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inż. Krzyszof Paorski 1. WłaściwoW ciwości saysyczne świała a ermicznego ( losowego( losowego ) A. Naęż ężenie (inensywność ść) ) promieniowania B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy C. Koherencja przesrzenna 2. Inerferencja w świele częś ęściowo koherennym A. Inerferencja dwóch wiązek częś ęściowo koherennych B. Inerferencja a koherencja czasowa C. Inerferencja a koherencja przesrzenna

2 Właściwości saysyczne świała ermicznego Promieniowanie zdecydowanej większości źródeł świała odbywa się na drodze emisji sponanicznej. Aomy lub cząseczki wzbudzane do wyższych sanów energeycznych przez akywację ermiczną, elekryczną ip. przypadkowo i niezależnie powracają do sanu podsawowego i emiują świało. Promieniowanie będące sumą licznych, niezależnych procesów nazywane jes promieniowaniem (świałem) ermicznym. Konrasowo różnym od promieniowania ermicznego jes sosunkowo dobrze uporządkowane promieniowanie wymuszone, emiowane przez laser. Dowolną falę opyczną opisuje funkcja falowa u(r,) = Re{U(r,r)}, gdzie U(r,) oznacza zespoloną funkcję falową. Przykładowo, U(r,) = U(r) exp(-i2πν) dla świała monochromaycznego, lub eż U(r,) może być sumą podobnych funkcji dla wielu częsoliwości wysępujących w świele polichromaycznym. Dla świała ermicznego, obydwie funkcje u(r,) i U(r,) są funkcjami losowymi, kóre można charakeryzować pewnymi średnimi saysycznymi. A. Naężenie (inensywność) świała Naężenie (inensywność) świała koherennego (parz poprzednie części wykładu) jes równe kwadraowi modułu zespolonej funkcji falowej,. (1) W przypadku świała ermicznego U(r,) jes losową funkcja czasu i położenia. Inensywność jes również opisana funkcją losową. Inensywność średnią można zdefiniować jako (2) gdzie < > oznacza uśrednianie wielu warości funkcji losowej dla różnych warości czasu i położenia. Warość I(r,) nazywamy inensywnością (w domyśle uśrednioną), a U(r,) 2 jes inensywnością chwilową (losową). Dla świała monochromaycznego i źródła punkowego operacja uśredniania nie jes konieczna, wszyskie realizacje (dla każdej chwili) dają en sam wynik. Średnia inensywność może nie zależeć od czasu lub być funkcją czasu. W pierwszym przypadku fala opyczna jes saysycznie sacjonarna (średnia nie zależy od czasu). Inensywność chwilowa U(r,) 2 zmienia się losowo w czasie, ale warość średnia I(r) pozosaje bez zmian. Jes ona ylko funkcją odległości od źródła. Naomias losowa inensywność U(r,) 2 zmienia się w czasie i przesrzeni.

3 a) b) IU(r,)I 2 I(r,) IU(r,)I 2 I(r,) Rys. 1. Fala saysycznie sacjonarna ma niezmienną w czasie średnią warość inensywności; b) zmienna w czasie inensywność fali saysycznie niesacjonarnej. Przypadek a) odpowiada świału lampy żarowej ze sabilizowanym zasilaniem prądowym. Przypadek b) ilusruje zasilanie impulsem elekrycznym. Operację saycznego uśredniania realizuje się zazwyczaj przez uśrednianie w czasie znacznie dłuższym od czasu pojedynczej realizacji, zn. (3) B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy Rozważmy zmiany sacjonarnego świała w funkcji czasu dla usalonego położenia r. Sacjonarna, losowa funkcja U(r,) ma sałą inensywność I(r) = < U(r,) 2 >. Dla uproszczenia, opuśćmy zależność od r (r jes usalone), a więc U(r,) = U() i I(r) = I. Losowe zmiany U() charakeryzuje saysyczna średnia nazywana funkcją auokorelacji. Funkcja a opisuje zakres, w kórym funkcja falowa zmienia się zgodnie (unisono) w dwóch oddzielnych chwilach czasowych, a więc usanawia skalę czasu procesu, kóra kwi u podsaw generacji funkcji falowej. Funkcja czasowej koherencji Funkcja auokorelacji sacjonarnej, zespolonej, losowej funkcji U() sanowi średnią iloczynu U*() i U( + τ) w funkcji opóźnienia czasowego lub (4)

4 Rozważmy przypadek < U() > = 0. Faza fazora U() może przyjmować każdą warość między 0 i 2π, parz rysunek niżej. Faza iloczynu, czyli ką między fazorami U() i U( + τ), może Im{U()} przyjąć dowolną warość, a więc funkcja auokorelacji Γ (τ) (warość średnia) zeruje się. W innym przypadku, jeśli dla danego opóźnienia czasowego τ funkcje U() i U(+τ) są skorelowane, o faza iloczynu U*()U(+τ) przyjmuje uprzywilejowaną warość i średnia Γ(τ) 0. W eorii koherencji pól opycznych funkcja auokorelacji nazywana jes funkcją korelacji czasowej. Można ławo wykazać, że Γ(τ) posiada symerię hermiowską Γ(-τ) =Γ*(τ), oraz Re{U()} że inensywność I, dana wzorem (2), jes równa Γ(τ) jeśli τ = 0, I = Γ( 0) (5) Zmiany fazora U() w czasie, gdy jego argumen przyjmuje warości w przedziale 0,2π. Średnie warości części rzeczywisej i urojonej są równe zero, a więc <U()> = 0. Sopień koherencji czasowej Funkcja auokorelacji Γ(τ) zawiera informację o inensywności I = Γ(0) i sopniu korelacji (koherencji) świała (saysycznie sacjonarnego). Miarą koherencji niezależną od inensywności jes unormowana funkcja auokorelacji * Γ ( ) ( τ) U ( ) U( + τ) γ τ = = * Γ( 0) U () U() nazywana zespolonym sopniem koherencji czasowej, kórej warość bezwzględna nie może przekroczyć jedności (7) Warość γ(τ) jes miarą sopnia korelacji między U() i U(+τ). Jeśli świało jes monochromayczne i pochodzi ze źródła punkowego, zn. U() = A exp(-i2πν 0 ), gdzie A oznacza sałą, wedy z wzoru (6) orzymuje się (8) czyli γ(τ) = 1 dla wszyskich warości τ. Zmieniające się warości U() i U( + τ) są całkowicie skorelowane dla wszyskich opóźnień τ. Zazwyczaj warość γ(τ) zmniejsza się od maksymalnej warości γ(0) = 1 ze wzrosem τ. Dla odpowiednio dużego opóźnienia τ zmiany sają się całkowicie nieskorelowane. (6)

5 Czas koherencji Jeśli warość γ(τ) zmniejsza się monoonicznie z opóźnieniem czasowym τ, o dla pewnego przyjęego spadku zespolonego sopnia koherencji do warości, np. równej ½ lub 1/e, warość opóźnienia nazywa się czasem koherencji (parz rysunek niżej). Dla τ < flukuacje pozosają silnie skorelowane, podczas gdy dla τ > są słabo skorelowane. W ogólności jes szerokością funkcji γ(τ). Częso do zdefiniowania czasu koherencji sosuje się wzór. (9) Czas koherencji świała monochromaycznego jes nieskończenie długi gdyż γ(τ) = 1. a) u() γ(τ) 1 b) u() γ(τ) 1 0 τ 0 τ Przykłady funkcji falowej, sopnia koherencji γ(τ) i czasu koherencji dla pola opycznego o krókim (a) i długim (b) czasie koherencji. Ampliuda i faza funkcji zmieniają się losowo ze sałymi czasowymi równymi, w przybliżeniu, czasowi koherencji. W obydwu przypadkach czas koherencji jes większy od czasu rwania pojedynczego cyklu. W zakresie czasu koherencji fala jes raczej przewidywalna i może być przybliżona sinusoidą. W czasie krószym od czasu koherencji nie jes możliwe przewidzenie ampliudy i fazy fali.

6 Świało jes koherenne jeśli odległość c jes znacznie większa od wszyskich różnic dróg opycznych wysępujących w układzie. Odległość (10) nazywa się długością koherencji promieniowania. Gęsość widmowa mocy W celu wyznaczenia średniego rozkładu widmowego świała ermicznego oblicza się ransformaę Fouriera losowej zespolonej funkcji falowej U(). Energia składowej zespolonej funkcji falowej dla usalonego o częsoliwości ν jes równa Średnia energia w zakresie częsoliwości od ν do ν + dν wynosi < V(ν) 2 >, a więc < V(ν) 2 > reprezenuje gęsość spekralną energii promieniowania (na jednoskową powierzchnię i jednoskowy przyros częsoliwości). Przyjęo, że zespolona funkcja falowa U() spełnia warunek V(ν) = 0 dla ujemnych warości ν. Rozważmy eraz gęsość spekralną mocy. Gęsość spekralna energii w przedziale czasu T jes równa < V T ( ν) 2 >, gdzie (11) Gęsość spekralna mocy o gęsość spekralna energii na jednoskowy przedział czasowy, zn. (1/T) < V T (ν) 2 >. Rozszerzając przedział czasu T do nieskończoności, T = orzymujemy Funkcja G(ν) nosi nazwę gęsości spekralnej mocy. Ma ona niezerowe warości ylko dla dodanich częsoliwości. Ponieważ U() zdefiniowano ak, że U() 2 reprezenuje moc na jednoskową powierzchnię lub inensywność (W/cm 2 ), o G(ν) dν reprezenuje średnią moc na jednoskową powierzchnię niesioną przez częsoliwości w zakresie od ν do dν. Tak więc G(ν) odpowiada gęsości spekralnej inensywności (W/cm 2 -Hz), częso mówi się o gęsości spekralnej. Całkowia inensywność średnia wynosi (13) Funkcja auokorelacji Γ(τ) i gęsość spekralna G(ν) powiązane są przekszałceniem Fouriera (14) Związek en znany jes pod nazwą wierdzenia Wienera-Chinczyna. (12)

7 Szerokość spekralna Szerokość spekralna lub szerokość linii promieniowania o szerokość Δν gęsości widmowej G(ν). Z uwagi na związek między G(ν) i Γ(τ) poprzez przekszałcenie Fouriera, szerokości ych funkcji są odwronie proporcjonalne. Źródło świała o szerokim widmie ma króki czas koherencji i odwronie, parz rysunek poniżej. u() γ(τ) G(ν) Δν τ ν u( u() ) γ(τ) γ(τ) G(ν) Δν τ ν Dwie fale losowe, odpowiadające im moduły zespolonego sopnia koherencji czasowej i gęsości spekralne (widmowe). W szczególnym przypadku promieniowania monochromaycznego mamy Γ(τ) = Iexp(-i2πν 0 τ), czyli G(ν) = I δ (ν - ν 0 ) zawiera ylko jedną częsoliwość ν 0. W ym przypadku = i Δν = 0. Czas koherencji źródła można zwiększyć sosując filr spekralny, ale odbywa się o koszem sray energii. Isnieje wiele definicji szerokości widmowej. Najczęściej spoykana o zw. szerokość połówkowa G(ν), czyli Δν 0.5. Związek między czasem koherencji a szerokością widmową zależy od profilu rozkładu widmowego.

8 Związek między szerokością widmową i czasem koherencji Rozkład gęsości widmowej Szerokość widmowa Δν 0.5 Prosokąny Wg funkcji Lorenza Gaussowski 1/ 1/π 0.32/ (2ln2/π) 1/2 / 0.66/ Inną wygodną definicję szerokości spekralnej przedsawia wzór z kórego wynika związek (16) niezależnie od profilu rozkładu gęsości widmowej. Jeśli G(ν) ma rozkład prosokąny w zakresie częsoliwości od ν 0 B/2 do ν 0 + B/2, wedy ze wzoru (15) orzymujemy Δν c = B. Dwie definicje szerokości widmowej Δν c i Δν 0.5 Δνróżnią się współczynnikiem mieszczącym się w zakresie od 1/π 0.32 do 1. (15) Przykładowe warości szerokości widmowej, czasu koherencji i długości koherencji dla kilku źródeł świała (w próżni) Źródło Δν c (Hz) = 1/Δν c l c = c c Promieniowanie słoneczne (λ 0 = μm) 3.75 x fs 800 nm Dioda elekroluminescencyjna (λ 0 = 1 μm, Δλ 0 = 50 nm) 1.5 x fs 20 μm Niskociśnieniowa lampa sodowa 5 x ps 600 μm Wielomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1.5 x ns 20 cm Jednomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1 x μs 300 m

9 Przykład: Fala zawierająca losową sekwencję falek Świało emiowane przez źródło niekoherenne można zamodelować w posaci sekwencji falek emiowanych losowo w skali czasu. Każda falka jes emiowana przez inny aom. Załóżmy falkę w posaci zanikającej wykładniczo sinusoidy, zn. U p () = A p exp(-/ ) exp(-i2πν 0 ), 0 U p () = 0 < 0 u() γ(τ) 0 τ Świało złożone z ciągu falek emiowanych w losowych odsępach czasu charakeryzuje czas koherencji równy czasowi rwania pojedynczej falki. Czasy emisji są całkowicie niezależne, losowo niezależne warości fazy emisji są zaware w A p. Wyznaczając charakerysyczne paramery średnie orzymujemy, że zespolony sopień koherencji jes równy γ(τ) = exp(- τ / )exp(-i2πν 0 τ). Gęsość spekralna mocy ma rozkład według funkcji Lorenza, G(ν) = (Δν/2π)/[(ν - ν 0 ) 2 + (Δν/2) 2 ], gdzie Δν = 1/π. W ym przypadku czas koherencji jes dokładnie równy czasowi rwania pojedynczej falki.

10 C. Koherencja przesrzenna Funkcja wzajemnej koherencji Przesrzenne i czasowe flukuacje losowego zaburzenia U(r, ) dobrze opisuje również funkcja korelacji wzajemnej U(r 1, ) i U(r 2, ) w położeniach r 1 i r 2 Γ(r 1, τ) = < U*(r 1, ) U(r 2, + τ) >. (17) Funkcja a nosi nazwę funkcji koherencji wzajemnej. Jej unormowana posać (18) nosi nazwę zespolonego sopnia koherencji. Gdy dwa punky pokrywają się, zn. r 1 = r 2 = r, wzory (17) i (18) doyczą wedy funkcji koherencji czasowej i zespolonego sopnia koherencji czasowej dla położenia r. Dodakowo, gdy τ = 0 mamy I(r) = Γ(r, r, 0). Zespolony sopień koherencji przyjmujący warości w zakresie 0 γ(r 1, τ) 1 (19) jes miarą sopnia korelacji między flukuacjami w punkach r 1 i r 2 opóźnionymi o τ. Przypadki szczególne: moduł zespolonego sopnia koherencji równy 0 i 1. Zależność zespolonego sopnia γ(r 1, τ) od opóźnienia czasowego i odległości między położeniami r 1 i r 2 charakeryzuje koherencję czasową i przesrzenną promieniowania. Dwa przykłady ej zależności pokazano na rysunkach poniżej.

11 a) b) γ(r 1,r 2,τ γ(r 1,r 2,τ r 1 - r 2 r 1 - r 2 τ τ Dwa przykłady γ(r 1, τ) w funkcji odległości r 1 r 2 i opóźnienia czasowego τ. W przypadku a) maksymalna korelacja dla danego r 1 r 2 wysępuje dla τ = 0. W przypadku b) maksimum korelacji wysępuje dla r 1 r 2 = cτ. Inensywność wzajemna (naężenie wzajemne) Przesrzenną spójność promieniowania ocenia się badając zależność funkcji koherencji wzajemnej dla usalonej warości opóźnienia czasowego τ, zazwyczaj τ = 0 (parz rys. (a) powyżej). Funkcja wzajemnej koherencji dla τ = 0, Γ(r 1, 0) = < U*(r 1, ) U(r 2, ) > nosi nazwę funkcji wzajemnej inensywności (naężenia wzajemnego) i jes oznaczana, dla prosoy, jako Γ(r 1 ). Gdy różnice dróg opycznych w układzie są << l c = c, promieniowanie jes czasowo w pełni koherenne i funkcja koherencji wzajemnej jes harmoniczną funkcją czasu Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), (20) gdzie ν 0 oznacza średnią częsoliwość. Przypadek oświelenia quasi-monochromaycznego, funkcja wzajemnej inensywności Γ(r 1 ) opisuje w pełni koherencję przesrzenną.

12 Zespolony sopień koherencji γ(r 1, 0) zapisuje się, podobnie, jako γ(r 1 ). Sanowi on unormowaną posać inensywności wzajemnej. γ(r 1 ) przyjmuje warości od 0 do 1 i sanowi miarę sopnia koherencji przesrzennej (gdy τ = 0). Obszar koherencji Przesrzenną koherencję świała quasi-monochormaycznego, w pewnej płaszczyźnie, w pobliżu położenia danego wekorem r 2, opisuje γ(r 1 ) będący funkcją odległości r 1 r 2. Obszar w ooczeniu r 2 zakreślany przez wekor r 1, dla kórego sopień koherencji jes większy od pewnej przyjęej warości (np. ½ lub 1/e) nazywany jes obszarem koherencji. γ(r 1 ) γ(r 1 ) (21) O r 1 r 2 r 1 1 r 1 A 2 c O A c Dwa przykłady unormowanej warości wzajemnego naężenia w funkcji r 1 w pobliżu usalonego punku r 2. Obszar koherencji a wymiary poprzeczne układu opycznego. Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jes większy od średnicy źrenicy układu opycznego, a więc γ(r 1, r 2 ) 1 dla wszyskich punków źrenicy, promieniowanie można uważać za całkowicie koherenne ( nieograniczony obszar koherencji). Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jes mniejszy od rozdzielczości układu opycznego, o wedy można zapisać γ(r 1 ) = 0 prakycznie dla wszyskich r 1 r 2. W ym przypadku mamy do czynienia z oświeleniem niekoherennym.

13 Wzajemna gęsość widmowa (mocy) Naężenie wzajemne Γ(r 1 ) sanowiące szczególny przypadek funkcji koherencji wzajemnej Γ(r 1, τ) dla τ = 0 jes dobrą miarą opisu koherencji przesrzennej świała quasi-monochromaycznego. Inne przydane podejście bazuje na opisie koherencji przesrzennej w domenie częsoliwości analizuje się korelację przesrzenną dla danej częsoliwości. Funkcja wzajemnej gęsości widmowej jes zdefiniowana jako przekszałcenie Fouriera funkcji wzajemnej koherencji Γ(r 1, τ) względem τ G ( r,r, ν) = Γ( r,r, τ) exp( i2 π ν τ) dτ. Gdy r 1 = r 2 = r, funkcja wzajemnej gęsości widmowej saje się funkcją widmowej gęsości mocy G(ν) dla położenia r, parz wzór (14). Unormowaną posać wzajemnej gęsości widmowej, zespolony sopień koherencji widmowej, opisuje wzór ( r,r, ν) g = 1 2 G( r1,r2, ν) (,r, ν) G( r,r, ν) 1 [ G ]2 Warość zespolonego sopnia koherencji widmowej zawiera się w przedziale od 0 do 1. Sanowi on miarę sopnia koherencji przesrzennej między r 1 i r 2 dla częsoliwości ν. W eorii koherencji wiele problemów zdecydowanie upraszcza się, gdy zespolony sopień koherencji promieniowania można przedsawić jako iloczyn dwóch czynników: jednego zależnego ylko od zmiennych przesrzennych, drugiego zależnego ylko od opóźnienia czasowego. Taką funkcję koherencji określa się jako redukowalną. Właściwość ę można wyrazić również w równoważny sposób w dziedzinie widmowej, gdzie definiuje się ją jako wzajemną czysość widmową. Możemy zapisać eraz G(r 1, ν) = Γ(r 1 ) g(ν). Analogicznie, funkcję koherencji wzajemnej musimy eraz zapisać w posaci Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) γ(τ), gdzie γ(τ) sanowi odwroną ransformaę Fouriera g(ν). Jeśli przy rozdziale właściwości przesrzennych i widmowych przyjęo g(ν)dν = 1, wedy Γ(r 1 ) = Γ(r 1, 0), a więc Γ(r 1 ) odpowiada inensywności wzajemnej. Czyse widmowo świało ma dwie ważne właściwości: Dla pojedynczego położenia r, mamy G(r, r, ν) = Γ(r, r) g(ν) = I(r) g(ν). Widmo ma en sam rozkład dla wszyskich położeń. W przypadku obrazowania przez układ opyczny, obraz ma wszędzie ę samą barwę, przy zmiennym rozkładzie naężenia w obrazie. (22) (23)

14 Unormowana wzajemna gęsość widmowa mocy g(r 1, ν) = Γ(r 1 ) / [Γ(r 1, r 1 ) Γ(r 2 )] 1/2 = γ(r 1 ) (24) nie zależy od częsoliwości ν. Unormowana inensywność wzajemna γ(r 1 ) opisuje koherencję przesrzenną dla wszyskich częsoliwości. 2. Inerferencja w świele częś ęściowo koherennym Inerferencja wiązek częściowo koherennych widmowo i przesrzennie Dwa częściowo koherenne zaburzenia U 1 i U 2, w wyniku inerferencji, dają rozkład inensywności I = < U 1 + U 2 2 >=< U 1 2 > + < U 2 2 > + <U 1 * U 2 > + < U 1 U 2 * > = I 1 + I 2 + Γ 12 + Γ 12* = I 1 + I Re{Γ 12 } skąd = I 1 + I (I 1 I 2 ) 1/2 Re{ γ 12 }, (25) I = I 1 + I (I 1 I 2 ) 1/2 γ 12 cosϕ, (26) gdzie ϕ = arg {γ 12 } jes fazą γ 12. Osani wyraz po prawej sronie opisuje inerferencję wiązek. Dwa szczególne przypadki o γ 12 = exp(iϕ) i γ 12 = 1, czyli oświelenie w pełni koherenne, oraz γ 12 = 0, I = I 1 + I 2, czyli oświelenie w pełni niekoherenne (brak inerferencji). Konras prążków inerferencyjnych, definiowany ogólnie znanym wzorem C = (I max I min ) / (I max + I min ), w rozważanym przypadku jes równy Konras prążków jes więc proporcjonalny do modułu unormowanej funkcji inensywności wzajemnej, j. γ 12. Gdy I 1 = I 2 mamy C = γ 12. (28) (27)

15 Inerferencja a koherencja czasowa Rozważmy inerferencję częściowo koherennego zaburzenia U() o zespolonym sopniu koherencji czasowej γ(τ) = < U*() U( + τ) > / I 0 z własną repliką przesunięą w czasie o τ, zn. U( + τ). Z wzoru (26), podsawiając U 1 = U(), U 2 ( + τ), I 1 = I 2 = I 0, γ 12 = < U * () U( + τ)> / I 0 = γ(τ), orzymuje się I = 2 I 0 [ 1 + Re {γ(τ)} ] = 2 I 0 [ 1 + γ(τ) cosϕ(τ) ], (29) gdzie ϕ(τ) = arg{γ(τ)}. Wynik inerferencji w rozważanym przypadku zależy od zespolonego sopnia koherencji czasowej. I/2I 0 U d 1 d γ(τ) 1 U 1 +U r=2(d 2 -d 1 )/c I Schema inerferomeru Michelsona (Twymana-Greena) do pomiaru sopnia koherencji czasowej wiązki o płaskim czole falowym. Rozważmy wiązkę o płaskim czole falowym o zespolonym sopniu koherencji równym γ(τ) = γ a (τ) exp(-i2πν 0 τ). Szerokość spekralna promieniowania wynosi Δν c = 1/, gdzie jes szerokością γ a (τ) i jednocześnie czasem koherencji. Z osaniego wzoru orzymujemy I = 2 I 0 { 1 + γ a (τ) cos[2πν 0 τ + ϕ a (τ)]}, (30) gdzie ϕ a (τ) = arg{γ a (τ)}. Zakładając Δν c << ν 0, funkcje γ a (τ) i ϕ a (τ) zmieniają się bardzo wolno w odniesieniu do okresu 1/ν 0, gdyż Δν c = 1/ << ν 0. Konras inerferogramu w pobliżu danej warości opóźnienia τ wynosi C = γ(τ) = γ a (τ). Dla τ = 0 osiąga maksymalną warość równą jedności i zeruje się dla τ >>, zn. gdy różnica dróg opycznych jes znacznie większa od długości koherencji l c = c.

16 Sopień koherencji czasowej wiązki γ(τ) można wyznaczyć mierząc konras prążków ineferencyjnych w funkcji opóźnienia. Ineresujący wynik orzymuje się zapisując wzór (29) posługując się widmową gęsością mocy. Korzysając ze związku, poprzez przekszałcenie Fouriera, między Γ(τ) i G(ν) i zważywszy, że funkcja G(ν) jes funkcją rzeczywisą oraz 0 G(ν) dν = I 0, orzymuje się I = 2 0 G(ν) [ 1 + cos(2πντ) ] dν. (31) Osani wzór można inerpreować jako ważoną superpozycję inerferogramów wywarzanych przez każdą monochromayczną długość fali. Każda długość fali (częsoliwość) wywarza inerferogram o okresie 1/ν i jednoskowym konraście. Z powodu różnych okresów dla różnych częsoliwości w wyniku superpozycji orzymuje się inerferogram o obniżonym konraście. Posać wzoru (31) sugeruje meodę wyznaczania gęsości widmowej G(ν) źródła poprzez pomiar rozkładu inensywności inerferogramu I w funkcji τ, a nasępnie obliczenie ransformay Fouriera. Meoda a znana jes pod nazwą spekroskopii fourierowskiej. Inerferencja a koherencja przesrzenna Efek koherencji przesrzennej na obraz inerferencyjny najlepiej ilusruje sławne doświadczenie Younga (inerferomer Younga, z podziałem czoła falowego, omówiono w poprzedniej części wykładu doyczącej różnych ypów inerferomerów). λ/θ I/2I 0 2a θ=2a/d z 2 λ/θ x 1 γ(r 1 ) d Doświadczenie Younga. Unormowane wzajemne naężenie między oworkami jes równe γ(r 1 ). Założono równe inensywności zaburzeń wychodzących z oworków. 0 0 x

17 W parabolicznym przybliżeniu Fresnela dwie inerferujące wiązki o sferycznych czołach falowych (i równych inensywnościach) można zapisać w posaci (32a) U 2 ( r,) αu r 2, r r c 2 U r 2 d +, ( x a) c 2 /2d (32b) Unormowana funkcja korelacji między ymi wiązkami w punkcie r wynosi gdzie γ 12 = < U 1* (r, ) U 2 (r, ) > / I 0 = γ (r 1, τ x ), (33) jes różnicą opóźnień czasowych między dwiema falami. Podsawiając (33) do (26) orzymuje się rozkład inensywności I I(x) w posaci I(x) = 2 I 0 [1 + γ(r 1, τ x ) cosϕ x ], (35) gdzie ϕ x = arg{γ(r 1, τ)}. Wzór en opisuje rozkład inensywności prążków inerferencyjnych w płaszczyźnie obserwacji w funkcji modułu i fazy zespolonego sopnia koherencji przy opóźnieniu czasowym τ x = θx/c. Promieniowanie quasi-mochromayczne Jeśli eraz możemy zapisać γ(r 1, τ) γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), o osanie równanie upraszcza się do posaci (34) I(x) = 2 I 0 [ 1 + C cos{2π(θx/λ) + ϕ} ], (36) gdzie λ = c/ν 0, C = γ(r 1 ), τ x = θx/c, ϕ = arg{γ(r 1 )}. Okres prążków o sinusoidalnym rozkładzie inensywności wynosi λ/θ. Konras prążków C jes eraz deerminowany przez sopień koherencji przesrzennej między zaburzeniami emiowanymi przez dwa oworki. Położenie prążków wzdłuż osi x zależy od fazy ϕ.

18 Inerferencja w przypadku źródła o skończonych wymiarach poprzecznych Jeśli oworki w ekranie oświela quasi-monochromayczna fala płaska propagująca się wzdłuż osi z, zn. U(r, ) = exp(ikz) exp(-i2πν 0 ), o wedy γ(r 1 ) = 1 i arg{γ(r 1 )} = 0. Jedno z maksimów inensywności prążków o jednoskowym konraście pokrywa się z x = 0. W przypadku wiązki propagującej się pod małym kąem θ x względem osi z, zn. U(r, ) exp[i(kz + kθ x x)] exp(-i2πν 0 ), wedy γ(r 1 ) = exp(ikθ x 2a). Pochylenie wiązki oświelającej oworki prowadzi do zmiany fazy ϕ = kθ x 2a = 2πθ x 2a/λ i poprzecznego przesuwu prążków o część okresu (2aθ x /λ). Gdy ϕ = 2π, przesunięcie poprzeczne jes równe okresowi prążków. Jeśli wiązka oświelająca będzie zbiorem niekoherennych względem siebie fal płaskich, ze źródła widzianego pod kąem θ s z płaszczyzny ekranu z oworkami, wedy przesunięcie fazowe będzie wysępowało w zakresie (+/-)2π(θ s /2)2a/λ = (+/-) 2πθ s a/λ i obraz w płaszczyźnie obserwacji będzie sanowił superpozycję wielu rozkładów sinusoidalnych wzajemnie przesunięych. Gdy θ s = λ/2a faza ϕ zmienia się w zakresie (+/-)π i wysarcza o do spadku konrasu do zera. Odległość ρ c λ/θ s (37) jes miarą odległości (dlugości lub odcinka ) koherencji w płaszczyźnie ekranu z oworkami. Przyjmijmy, że ką pod kórym widać słońce wynosi 0.5 o. Wedy odległość koherencji dla danej długości fali jes równa ρ c λ/θ s 115 λ. Dla λ = 0.5 μm mamy ρ c 57.5 μm. Bardziej ścisłe rozważania dyfrakcyjne (parz kolejna część wykładu doycząca obrazowania w oświeleniu niekoherennym) definiują odległość koherencji ρ c dla kołowego źródła o jednorodnym rozkładzie inensywności jako równą ρ c = 1.22λ/θ s. Wpływ szerokości spekralnej na obraz prążkowy w doświadczeniu Younga Przyjmijmy Δν c << ν 0. Zespolony sopień koherencji ma eraz posać γ(r 1, τ) = γ a (r 1,τ) exp(-i2πν 0 τ), (38) gdzie γ a (r 1, τ) oznacza wolno zmienną funkcję względem τ (w sosunku do okresu 1/ν 0 ). Podsawiając (38) do (35) orzymujemy I(x) = 2 I 0 [ 1 + C x cos {2π(θx/λ śr ) + ϕ x } ], (39) gdzie C x = γ a (r 1,τ x ), ϕ x = arg{γ a (r 1, τ x )}, τ x = θx/c, i λ śr = c/ν 0.

19 Okres prążków inerferencyjnych wynosi eraz λ śr /θ. Ich konras C x i faza ϕ x, proporcjonalne do modułu i fazy zespolonego sopnia koherencji, zmieniają się z opóźnieniem czasowym τ x = θx/c. Jeśli γ a (r 1, τ) = 1 dla τ = 0, sopień koherencji zmniejsza się ze wzrosem τ i zeruje się dla τ >> ; konras C x = 1 dla x = 0 i zmniejsza się ze współrzędną x, zeruje się dla x >> x c = c /θ. Prążki są widzialne w zakresie x c = l c / θ, (40) gdzie l c = c jes długością (drogą) koherencji, a θ jes kąem pod kórym widać oworki. I/2I 0 x c = lc θ 2 2a θ Płaszczyzna obserwacji 1 d Ekran 0 0 x Wiązka padająca Konras prążków inerferencyjnych dla współrzędnej x jes równy sopniowi koherencji w płaszczyźnie ekranu z oworkami dla opóźnienia czasowego τ x = θx/c. W przypadku pełnej koherencji przesrzennej liczba obserwowanych prążków jes równa x c / (λ śr /θ) = l c /λ śr = c /λ śr = ν 0 /Δν c. Jes więc ona równa ilorazowi długości koherencji l c i średniej długości fali λ śr, lub ilorazowi średniej częsoliwości ν 0 i spekralnej szerokości linii widmowej Δν c. Jeśli γ(r 1, 0) < 1, zn., źródło nie jes przesrzennie koherenne, konras prążków będzie szybciej zanikał i liczba obserwowanych prążków będzie mniejsza.

KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ

KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof 1. WłaściwoW ciwości statystyczne światła a termicznego ( losowego( losowego ) A. NatęŜ ęŝenie (intensywność

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1) Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

BADANIE INTERFEROMETRU YOUNGA

BADANIE INTERFEROMETRU YOUNGA Celem ćwiczenia jest: BADANIE INTERFEROMETRU YOUNGA 1. poznanie podstawowych właściwości interferometru z podziałem czoła fali w oświetleniu monochromatycznym i świetle białym, 2. demonstracja możliwości

Bardziej szczegółowo

Własności światła laserowego

Własności światła laserowego Własności światła laserowego Cechy światła laserowego: rozbieżność (równoległość) wiązki, pasmo spektralne, gęstość mocy oraz spójność (koherencja). Równoległość wiązki Dyfrakcyjną rozbieżność kątową awkącie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione

WYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy

Bardziej szczegółowo

Fale elektromagnetyczne spektrum

Fale elektromagnetyczne spektrum Fale elekroagneyczne spekru w próżni wszyskie fale e- rozchodzą się z prędkością c 3. 8 /s Jaes Clerk Mawell (w połowie XIX w.) wykazał, że świało jes falą elekroagneyczną rozprzesrzeniającą się falą ziennego

Bardziej szczegółowo

ODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM

ODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM ODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu jest model matematyczny procesu formowania obrazu przez pojedynczy układ optyczny w oświetleniu

Bardziej szczegółowo

ĘŚCIOWO KOHERENTNYM. τ), gdzie Γ(r 1. oznacza centralną częstotliwość promieniowania quasi-monochromatycznego.

ĘŚCIOWO KOHERENTNYM. τ), gdzie Γ(r 1. oznacza centralną częstotliwość promieniowania quasi-monochromatycznego. OBRAZOWANIE W OŚWIETLENIU CZĘŚ ĘŚCIOWO KOHERENTNYM 1. Propagacja światła a częś ęściowo koherentnego prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof PoniŜej zajmiemy się propagacją promieniowania quasi-monochromatycznego,

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Interferencja dwóch fal sferycznych w punkcie P.

Rys. 1 Interferencja dwóch fal sferycznych w punkcie P. Ćwiczenie 4 Doświadczenie interferencyjne Younga Wprowadzenie teoretyczne Charakterystyczną cechą fal jest ich zdolność do interferencji. Światło jako fala elektromagnetyczna również może interferować.

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów

Bardziej szczegółowo

Ponadto, jeśli fala charakteryzuje się sferycznym czołem falowym, powyższy wzór można zapisać w następujący sposób:

Ponadto, jeśli fala charakteryzuje się sferycznym czołem falowym, powyższy wzór można zapisać w następujący sposób: Zastosowanie laserów w Obrazowaniu Medycznym Spis treści 1 Powtórka z fizyki Zjawisko Interferencji 1.1 Koherencja czasowa i przestrzenna 1.2 Droga i czas koherencji 2 Lasery 2.1 Emisja Spontaniczna 2.2

Bardziej szczegółowo

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera. 7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( ) Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL

ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL X L Rys. 1 Schemat układu doświadczalnego. Fala elektromagnetyczna (światło, mikrofale) po przejściu przez dwie blisko położone (odległe o d) szczeliny

Bardziej szczegółowo

K gęstość widmowa (spektralna) energii: 12 Classical theory (5000 K) 10 Rozbieżność w obszarze krótkich fal (katastrofa w nadfiolecie)

K gęstość widmowa (spektralna) energii: 12 Classical theory (5000 K) 10 Rozbieżność w obszarze krótkich fal (katastrofa w nadfiolecie) Opyka kwanowa wprowadzenie Króka (pre-)hisoria foonu (9-93) Począki modelu foonowego Własności świała i jego oddziaływania z maerią, niedające się opisać w ramach fizyki klasycznej Deekcja pojedynczych

Bardziej szczegółowo

Szeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:

Szeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności: Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający

Bardziej szczegółowo

Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato

Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

WSTĘP DO ELEKTRONIKI WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część I Napięcie, naężenie i moc prądu elekrycznego Sygnały elekryczne i ich klasyfikacja Rodzaje układów elekronicznych Janusz Brzychczyk IF UJ Elekronika Dziedzina nauki i echniki

Bardziej szczegółowo

PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE

PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE PROPAGACJA PROMIENIOWANIA PRZEZ UKŁAD OPTYCZNY W UJĘCIU FALOWYM. TRANSFORMACJE FAZOWE I SYGNAŁOWE prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu są podstawowe transformacje fazowe

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /

Bardziej szczegółowo

1 Płaska fala elektromagnetyczna

1 Płaska fala elektromagnetyczna 1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 17: Optyka falowa cz.1.

Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNE CECHY ŚWIATŁA LASEROWEGO

GŁÓWNE CECHY ŚWIATŁA LASEROWEGO GŁÓWNE CECHY ŚWIATŁA LASEROWEGO Światło może być rozumiane jako: Strumień fotonów o energii E Fala elektromagnetyczna. = hν i pędzie p h = = hν c Najprostszym przypadkiem fali elektromagnetycznej jest

Bardziej szczegółowo

Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych. Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie.

Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych. Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie. HOLOGRAFIA prof dr hab inŝ Krzysztof Patorski Krzysztof Rejestracja i rekonstrukcja fal optycznych Hologram zawiera pełny zapis informacji o fali optycznej jej amplitudzie i fazie a) Laser b) odniesienia

Bardziej szczegółowo

Rys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów

Rys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich

Bardziej szczegółowo

Głównie występuje w ośrodkach gazowych i ciekłych.

Głównie występuje w ośrodkach gazowych i ciekłych. W/g ermodynamiki - ciepło jes jednym ze sposobów ransporu energii do/z bila, zysy przepływ ciepła może wysąpić jedynie w ciałach sałych pozosających w spoczynku. Proces wymiany ciepla: przejmowanie ciepła

Bardziej szczegółowo

4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego

4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego 4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W

Bardziej szczegółowo

Laboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 3. Pomiar drgao przy pomocy interferometru Michelsona

Laboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 3. Pomiar drgao przy pomocy interferometru Michelsona Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 3. Pomiar drgao przy pomocy interferometru Michelsona Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WET, Politechnika Gdaoska Gdańsk 006 1. Wstęp Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Moment pędu fali elektromagnetycznej

Moment pędu fali elektromagnetycznej napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska

Bardziej szczegółowo

Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła

Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych Pomiar drogi koherencji wybranych źródeł światła Instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne

Bardziej szczegółowo

GWIEZDNE INTERFEROMETRY MICHELSONA I ANDERSONA

GWIEZDNE INTERFEROMETRY MICHELSONA I ANDERSONA GWIEZNE INTERFEROMETRY MICHELSONA I ANERSONA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zestawienie i demonstracja modelu gwiezdnego interferometru Andersona oraz laboratoryjny pomiar wymiaru sztucznej gwiazdy.

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( τ) ( t) = 0

( ) ( ) ( τ) ( t) = 0 Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej

Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej Wprowadzenie Światło widzialne jest to promieniowanie elektromagnetyczne (zaburzenie poła elektromagnetycznego rozchodzące

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) i E E E i r r = = = = = θ θ ρ ν φ ε ρ α * 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER

CHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER CHARATERYSTYA WIĄZI GENEROWANEJ PRZEZ LASER ształt wiązki lasera i jej widmo są rezultatem interferencji promieniowania we wnęce rezonansowej. W wyniku tego procesu powstają charakterystyczne rozkłady

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Doświadczenie interferencyjne Younga. Rys. 1

Ćwiczenie 4. Doświadczenie interferencyjne Younga. Rys. 1 Ćwiczenie 4 Doświadczenie interferencyjne Younga Wprowadzenie teoretyczne Charakterystyczną cechą fal jest ich zdolność do interferencji. Światło jako fala elektromagnetyczna również może interferować.

Bardziej szczegółowo

Równania Maxwella. Wstęp E B H J D

Równania Maxwella. Wstęp E B H J D Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( 0 8854 10 1 As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( 0 4 10 7 Vs/Am),

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI

DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej

Bardziej szczegółowo

Zjawisko interferencji fal

Zjawisko interferencji fal Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,

Bardziej szczegółowo

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość. Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali

Bardziej szczegółowo

Sygnały zmienne w czasie

Sygnały zmienne w czasie Sygnały zmienne w czasie a) b) c) A = A = a A = f(+) d) e) A d = A = A sinω / -A -A ys.. odzaje sygnałów: a)sały, b)zmienny, c)okresowy, d)przemienny, e)sinusoidalny Sygnały zmienne okresowe i ich charakerysyczne

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu

Bardziej szczegółowo

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Temat: Interferometr Michelsona 7.. Cel i zakres ćwiczenia 7 INTERFEROMETR MICHELSONA Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z budową i

Bardziej szczegółowo

Laseryimpulsowe-cotojest?

Laseryimpulsowe-cotojest? Laseryimpulsowe-coojes? Pior Migdał marca5 Laseryciągłe Prawie każdy widział laser, choćby w posaci breloczka z odpowiednią diodą LED. Co jes charakerysyczne dla promienia emiowanego z akiego urządzenia?

Bardziej szczegółowo

Metody Optyczne w Technice. Wykład 5 Interferometria laserowa

Metody Optyczne w Technice. Wykład 5 Interferometria laserowa Metody Optyczne w Technice Wykład 5 nterferometria laserowa Promieniowanie laserowe Wiązka monochromatyczna Duża koherencja przestrzenna i czasowa Niewielka rozbieżność wiązki Duża moc Największa możliwa

Bardziej szczegółowo

Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej

Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej 1. Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 2006 1. Wstęp Pomiar profilu wiązki

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

OPTYKA FALOWA. W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę

OPTYKA FALOWA. W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę OPTYKA FALOWA W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę falową. W roku 8 Thomas Young wykonał doświadczenie, które pozwoliło wyznaczyć długość fali światła.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD

Ćwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD Celem ćwiczenia jes poznanie własności dynamicznych diod półprzewodnikowych. Obejmuje ono zbadanie sanów przejściowych podczas procesu przełączania

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej

CHEMIA KWANTOWA Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej CHEMI KWTOW CHEMI KWTOW Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA II. 8. Optyka falowa

Wykład FIZYKA II. 8. Optyka falowa Wykład FIZYKA II 8. Optyka falowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka.html

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie parametro w wiązki gaussowskiej

Wyznaczanie parametro w wiązki gaussowskiej Wyznaczanie parametro w wiązki gaussowskiej Spis treści 1. Wstęp... 1 2. Definicja wiązki gaussowskiej... 2 3. Parametry określające wiązkę gaussowską... 4 4. Transformacja wiązki gaussowskiej przez soczewki...

Bardziej szczegółowo

VII.5. Eksperyment Michelsona-Morleya.

VII.5. Eksperyment Michelsona-Morleya. Janusz. Kępka Ruch absoluny i względny VII.5. Eksperymen Michelsona-Morleya. Zauważmy że pomiar ruchu absolunego jakiegokolwiek obieku maerialnego z założenia musi odnosić się do prędkości fali świelnej

Bardziej szczegółowo

Fizyka elektryczność i magnetyzm

Fizyka elektryczność i magnetyzm Fizyka elektryczność i magnetyzm W5 5. Wybrane zagadnienia z optyki 5.1. Światło jako część widma fal elektromagnetycznych. Fale elektromagnetyczne, które współczesny człowiek potrafi wytwarzać, i wykorzystywać

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WDZIAŁ INŻNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORJNA Tema ćwiczenia: WZNACZANIE WSPÓŁCZNNIKA PRZEWODZENIA CIEPŁA CIAŁ STAŁCH METODĄ STANU UPORZĄDKOWANEGO

Bardziej szczegółowo

C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:

C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się: Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY CHEMII KWANTOWEJ. Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej

PODSTAWY CHEMII KWANTOWEJ. Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej PODSTWY CHEMII KWTOWEJ Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:

Bardziej szczegółowo

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PROSTOWNIKI DO UŻYTKU

Bardziej szczegółowo

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] -częstotliwość.

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] -częstotliwość. Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali

Bardziej szczegółowo

Zjawisko interferencji fal

Zjawisko interferencji fal Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

Zjawisko interferencji fal

Zjawisko interferencji fal Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.

ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH. ĆWICZENIE BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH Wahadło sprzężone Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k Rys Na wahadło działa siła będąca składową

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska

Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Podstawy fizyki Wykład 11 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 3, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 2003. K.Sierański, K.Jezierski,

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej

LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody

Bardziej szczegółowo

BADANIE I ACHROMATYZACJA PRĄŻKÓW INTERFERENCYJNYCH TWORZONYCH ZA POMOCĄ ZWIERCIADŁA LLOYDA

BADANIE I ACHROMATYZACJA PRĄŻKÓW INTERFERENCYJNYCH TWORZONYCH ZA POMOCĄ ZWIERCIADŁA LLOYDA BADANIE I ACHROMATYZACJA PRĄŻKÓW INTERFERENCYJNYCH TWORZONYCH ZA POMOCĄ ZWIERCIADŁA LLOYDA Celem ćwiczenia jest: 1. demonstracja dużej liczby prążków w interferometrze Lloyda z oświetleniem monochromatycznym,

Bardziej szczegółowo

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie synchrotronowe i jego zastosowania

Promieniowanie synchrotronowe i jego zastosowania Universias Jagellonica Cracoviensis Promieniowanie synchroronowe i jego zasosowania Wykład II J.J. Kołodziej Pokój: G--11, IFUJ Łojasiewicza 11 Tel.+1 664 4838 jj.kolodziej@uj.edu.pl Wykłady na WFAiS,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ 1100-4BW1, rok akademicki 018/19 WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ dr hab. Rafał Kasztelanic Wykład 4 Przestrzeń swobodna jako filtr częstości przestrzennych Załóżmy, że znamy rozkład pola na fale monochromatyczne

Bardziej szczegółowo

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: = ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami

Bardziej szczegółowo

= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin

= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta θ. Szczelinę dzielimy na N odcinków i

Bardziej szczegółowo

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Drgania i fale II rok Fizyk BC 00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem

Bardziej szczegółowo

Optyka klasyczna. Optyka kwantowa wprowadzenie. Światło fala elektromagnetyczna. Optyka falowa. Klasyczny obraz światła

Optyka klasyczna. Optyka kwantowa wprowadzenie. Światło fala elektromagnetyczna. Optyka falowa. Klasyczny obraz światła Opyka kwanowa wprowadzenie Opyka klasyczna Klasyczny obraz świała Opyka geomeryczna Począki modelu foonowego Opyka falowa (fizyczna) Deekcja pojedynczych foonów Świało jako fala elekromagneyczna O czym

Bardziej szczegółowo

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 12, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 12, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 1, 3.03.01 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek rnest Grodner Wykład 11 - przypomnienie superpozycja

Bardziej szczegółowo

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).

Bardziej szczegółowo

Interferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego.

Interferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego. Ćwiczenie 6 Interferometr Macha-Zehndera. Zapis sinusoidalnej siatki dyfrakcyjnej i pomiar jej okresu przestrzennego. Interferometr Macha-Zehndera Interferometr Macha-Zehndera jest często wykorzystywany

Bardziej szczegółowo

cx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.

cx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało. Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku

Bardziej szczegółowo

Analityczne reprezentacje sygnałów ciągłych

Analityczne reprezentacje sygnałów ciągłych Analiyczne reprezenacje sygnałów ciągłych Przedsawienie sygnału w posaci analiycznej: umożliwia uproszczenie i unifiację meod analizy, pozwala na prosszą inerpreację nieórych jego cech fizycznych. W eorii

Bardziej szczegółowo

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 11, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 11, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 11, 19.03.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 10 - przypomnienie

Bardziej szczegółowo

Wykład III. Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela

Wykład III. Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela Wykład III Interferencja fal świetlnych i zasada Huygensa-Fresnela Interferencja fal płaskich Na kliszy fotograficznej, leżącej na płaszczyźnie z=0 rejestrujemy interferencję dwóch fal płaskich, o tej

Bardziej szczegółowo

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\FRAUN1.doc. "Drgania i fale" ii rok FizykaBC. Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: ia λ

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\FRAUN1.doc. Drgania i fale ii rok FizykaBC. Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: ia λ Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: U iω t [ e ] ( t) Re U ( ) ;. c t U ( ; t) oraz [ + ] U ( ) k. U ia s ( ) A e ik r ( rs + r ) cos( n, ) cos( n, s ) ds s r. Dyfrakcja Fresnela (a) a dyfrakcja Fraunhofera

Bardziej szczegółowo

Mikroskop teoria Abbego

Mikroskop teoria Abbego Zastosujmy teorię dyfrakcji do opisu sposobu powstawania obrazu w mikroskopie: Oświetlacz typu Köhlera tworzy równoległą wiązkę światła, padającą na obserwowany obiekt (płaszczyzna 0 ); Pole widzenia ograniczone

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:

Bardziej szczegółowo

Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia

Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia 1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że

Bardziej szczegółowo