Zadania z mechaniki teoretycznej

Transkrypt

1 Zadania z echaniki teoretycznej 1. Znaeźć trajektorię ruchu cząstki o asie i energii E w pou o potencjae [1]: V(r) = α r Założyć przypadek, kiedy energia całkowita E < 0 (stan związany).. Cienki prostoiniowy jednorodny pręt o długości i asie obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół nieruchoego punktu A, zakreśając w trakcie ruchu powierzchnię boczną stożka. Obiczyć kąt odchyenia φ pręta od pionu oraz siłę reakcji w punkcie A [1]. A φ g 3. Dwa jednorodne prostoiniowe pręty o długościach a i b są sztywno połączone tak, że tworzą ze sobą kąt prosty, którego wierzchołek A jest przyocowany na zawiasach do pionowego wału. Wał obraca się ze stałą prędkością kątową ω. Znaeźć zaeżność poiędzy ω i kąte φ jaki tworzy pręt o długości a z pione [1]. ω a φ A b 4. Rozwiązać równanie ruchu da jednorodnego waca o proieniu a i asie, toczącego się bez pośizgu po wewnętrznej stronie powierzchni wacowej o proieniu R w pou siły ciężkości [1]: 1

2 R a 5. Punkt porusza się na płaszczyźnie po eipsie: ( x ) ( y ) + = 1 a b z przyśpieszenie równoegły do osi y. Znaeźć wartość przyśpieszenia jako funkcję y []. 6. Punkt porusza się na płaszczyźnie po trajektorii zadanej we współrzędnych biegunowych: r = a exp (kϕ) ze stałą prędkością poową σ = 1 r v. Znaeźć prędkość punktu v (t) []. 7. Punkt porusza się na płaszczyźnie po kardioidzie o równaniu we współrzędnych biegunowych: r = a cos ϕ ze stałą co do wartości prędkością. Znaeźć prędkość i przyśpieszenie jako funkcje r []. 8. Punkt ateriany porusza się w pou siły o potencjae: V(r) = α r 6 Przy założeniu, że całkowita energia E = 0 okreśić trajektorię ruchu []. 9. Dwa punkty ateriane o asach 1 i połączone są nicią o długości. Punkt 1 oże poruszać się po pozioej płaszczyźnie. Przez otwór w tej płaszczyźnie przechodzi nić do drugiego punktu, który oże poruszać się w pionie, w pou siły ciężkości. Znaeźć ruch układu []. 1

3 10. Ruch punktu aterianego o asie w pou siły ciężkości ograniczony jest do pewnej krzywej na pionowej płaszczyźnie. Płaszczyzna obraca się w pionie z prędkością kątową ω. Znaeźć kształt krzywej, jeśi a ona tę własność, że każdy jej punkt jest położenie równowagi da asy []. 11. Punkt ateriany w pou siły ciężkości porusza się po powierzchni waca, którego oś jest nachyona pod kąte α do pionu. Obiczyć siłę reakcji jako funkcję położenia punktu []. 1. Na jedny końcu nici o długości przerzuconej przez boczek (asa boczka do zaniedbania) zawieszona jest asa 1. Na drugi końcu nici wspina się do góry asa (na przykład ałpa) ze stałą prędkością v 0 wzgęde nici. Rozwiązać równania ruchu []. 13. Dwa punkty ateriane o asach 1 i są połączone nieważki pręte o długości. Mogą się one poruszać po dwóch iniach pod kąte prosty i pod kątai 45 do pionu. Rozwiązać równanie ruchu w pou siły ciężkości [] Masa 1 podwieszona na pionowej sprężynie o współczynniku sprężystości k jest jednocześnie punkte zaczepienia wahadła ateatycznego o asie i długości. Rozwiązać równania ruchu []. 15. Jednorodny pręt o długości jedny końce opiera się o pionową, a drugi o pozioą gładką płaszczyznę. W chwii początkowej pręt spoczywa nieruchoo pod kąte α do pionu. Sprawdzając znak siły reakcji pokazać, że jego koniec oderwie się od pionowej płaszczyzny gdy kąt odchyenia od pionu ϕ(t) spełni warunek []: cos ϕ = 3 cos α 16. Dwa punkty o asach połączone są nieważki pręte o długości. Środek pręta oże się poruszać się po okręgu o proieniu a. Ruch układu jest ograniczony do płaszczyzny która zawiera okrąg. Napisać równania ruchu układu. 17. Jednorodny okrąg o proieniu r i asie stacza się bez pośizgu pod wpływe siły ciężkości po powierzchni cyindra o proieniu R. W który punkcie okrąg oderwie się od cyindra? Zbadać znak siły reakcji więzów [3]. 3

4 18. Napisać równania Lagrange a da wahadła zożonego z pręta o długości i asie na końcu którego przyczepiony jest na zawiasie dysk o asie M i proieniu R [3]., R,M 19. Koło o proieniu R i asie stacza się bez pośizgu po płaszczyźnie nachyonej do poziou pod kąte α. Płaszczyzna w której eży koło jest pionowa, ae koło oże dowonie obracać się wokół osi. Rozwiązać równania Lagrange a pierwszego rodzaju. 0. Drzwi są wykonane w postaci cienkiej płyty o wyiarach 90 c. Jeśi otworzyć je pod kąte 90 i puścić to zakną się sae po upływie 3 sekund. Zakładając, że nie a tarcia w zawiasach pod jaki kąte zawiasy są odchyone od pionu? [3] 1. Wyznaczyć ruch układu złożonego z punktu aterianego o asie połączonego z dwiea sprężynai [4]: k k. Punkt porusza się po eipsoidzie: x a + y b + z c = 1 bez działania żadnych sił zewnętrznych. Wykazać przy poocy równań Lagrange a pierwszego rodzaju, że wartość jego prędkości jest stała [5]. 4

5 3. Jednorodny krążek o proieniu R i asie M oże obracać się dookoła swojej osi. Do obwodu krążka przyczepiono punkt ateriany o asie na nici o długości. Napisać równania ruchu układu [5]. R M 4. Na gładkiej pozioej płaszczyźnie znajdują się dwa punkty ateriane o asach 1 i połączone nierozciągiwą nicią o długości. Wyznaczyć równania ruchu tych punktów jeśi nić przechodzi bez tarcia przez stały punkt A na płaszczyźnie ruchu. Obiczyć napięcie nici i siłę reakcji w punkcie A [5]. 5. Po dwóch równych, gładkich, pozioych okręgach o proieniu r, o środkach położonych na wspónej prostej pionowej w odegłości d, poruszają się dwa punkty ateriane 1 i pod wpływe siły przyciągającej wprost proporcjonanej do odegłości tych punktów od siebie. Wyznaczyć ruch tych punktów [5]. 1 d r r 6. Pręt o asie i długości 1 zawieszono na końcach dwóch nici o długości każda. Przy ały wychyeniu pręta dookoła jego środka z położenia równowagi wykonuje on drgania haroniczne o okresie T. Wyznaczyć oent bezwładności pręta dookoła osi przechodzącej przez jego środek [5]. 5

6 7. Na bok o asie 1 i proieniu r nawinięto sznur o asie i długości. Do drugiego końca sznura przyocowano asę 3. Na początku układ jest nieruchoy, a długość swobodnie zwisającej części sznura wynosi 0. Zbadać ruch układu [5]. r 0 8. Obiczyć energię kinetyczną jednorodnego pręta o długości, którego jeden koniec porusza się bez tarcia po osi pionowej, a drugi koniec porusza się bez tarcia po płaszczyźnie pozioej. Wyznaczyc oent pędu pręta wzgęde osi pionowej [5]. 9. Sprawdzić ortogonaność, wyznaczyć składowe prędkości i przyśpieszenia we współrzędnych toroidanych (r, φ, ψ): x = (a + r cos φ) cos ψ y = (a + r cos φ) sin ψ z = r sin φ gdzie a = const. Narysować inie współrzędnych r = const, φ = const i ψ = const [6]. 30. Sprawdzić ortogonaność, wyznaczyć składowe prędkości i przyśpieszenia w spłaszczonych współrzędnych sferodianych (ψ, θ, λ): x = c cosh ψ cos θ cos λ y = c cosh ψ cos θ sin λ z = c sinh ψ sin θ gdzie c = const. Narysować inie współrzędnych ψ = const, θ = const i λ = const [6]. 31. Sprawdzić ortogonaność, wyznaczyć składowe prędkości i przyśpieszenia we współrzędnych paraboicznych (η, ξ, φ): x = 1 (ξ η ) y = ξη cos φ z = ξη sin φ Narysować inie współrzędnych ξ = const, η = const i φ = const [6]. 6

7 3. Znaeźć siłę uogónioną Q da układu złożonego z pręta o długości i asie oraz sprężyny o stałej sprężystości k i długości 0 w stanie nienaprężony. Jako współrzędną uogónioną przyjąć kąt φ odchyenia pręta od pionu [7]. φ 33. Dwa punkty ateriane o asach 1 i połączone są sztywny pręte o długości. Zakładając, że układ porusza się w pionowej płaszczyźnie pod wpływe siły ciężkości znaeźć siły uogónione, przyjując jako współrzędne uogónione współrzędne biegunowe (r, ϕ) da położenia środka pręta i kąt ψ jaki tworzy pręt z kierunkie pionowy jako trzecią współrzędną [7]. 34. Układ złożony jest z dwóch boczków o asach, M i proieniach r, R oraz z trzech ciężarków o asach 1,, 3. Wyznaczyć przyśpieszenia ciężarków [7]. M,R,r Wyznaczyć równania ruchu da układu dwóch wahadeł ateatycznych o asach 1, i długościach 1, przy dodatkowy warunku ograniczający ruch końca drugiego wahadła do pionowej osi [7]. 7

8 36. Wyznaczyć równania ruchu da układu dwóch prętów o asie i długości oraz waca o proieniu R i asie M. Waec oże toczyć się bez pośizgu po pozioej płaszczyźnie [7]. M,R φ,, 37. Punkt ateriany o asie porusza się pod wpływe siły ciężkości po okręgu o proieniu r. Płaszczyzna w której eży okrąg jest nachyona do pionu pod kąte α. Wyznaczyć ruch punktu i siłę reakcji więzów [8]. 38. Punkt ateriany o asie znajduje się na pozioej płaszczyźnie, która wykonuje drgania wokół pionowej osi o częstości ω. Maksyany kąt wychyenia wynosi φ 0. Rozwiązać równania ruchu punktu i znaeźć siłę reakcji więzów [8]. 39. Znaeźć częstość drgań pręta o długości i asie śizgającego się po wewnętrznej powierzchni okręgu o proieniu R w pou siły ciężkości [8]. g 8

9 40. Znaeźć zaeżność od czasu współrzędnych cząstki poruszającej się w pou newtonowski: V(x, y, z) = α r da przypadku całkowitej energii E = 0 (ruch paraboiczny) [9]. 41. Obiczyć okres jednowyiarowego ruchu cząstki o asie i energii E w pou o potencjae [1]: V(x) = V 0 ctgh αx V 0 < E < V 0 4. Napisać równanie ruchu da ałych drgań wahadła ateatycznego o asie i długości, którego punkt zawieszenia porusza się w płaszczyźnie pionowej zgodnie z równanie [1]: z = a cos ωt 43. Wahadło składa się ze sztywnego pręta o długości, na końcu którego zaczepiona jest punktowa asa. Do pręta są przyocowane w odegłości a od punktu zawieszenia dwie sprężyny o współczynnikach sprężystości k. Znaeźć częstości ałych drgań układu. Masę pręta zaniedbać [1]. a 44. Ciało o asie M, połączone jest ze sprężyną o współczynniku sprężystości k, której drugi koniec jest sztywno uocowany. Może ono poruszać się bez tarcia po pozioej płaszczyźnie. Do ciała tego przyczepione jest wahadło ateatyczne o asie i długości. Znaeźć funkcję Lagrange a układu. Obiczyć częstości ałych drgań i drgania norane układu [1]. M 9

10 45. Obiczyć nawiasy Poissona z kartezjańskich składowych pędu i oentu pędu [1]: 46. Wykazać, że nawias Poissona: {p i, J k } i, k = x, y, z { f, J z } = 0 gdzie f jest dowoną funkcją położenia r i pędu p cząstki [1]. 47. Wykazać, że nawias Poissona: { A, J z } = ez A gdzie A jest dowoną wektorową funkcją położenia i pędu cząstki [1]. 48. Punkt ateriany porusza się w pou siły o potencjae: V(x) = Znaeźć okres ruchu periodycznego []. k 0 x x < 0 1 kx x > Połowa cyindra o proieniu r i asie wykonuje ałe drgania wokół położenia równowagi. Znaeźć okres drgań []. g 50. Pokazać, że da dowonej funkcji f (q, p, t) zachodzą równości: []: f p = {q, f } f q = {p, f } 51. Wyznaczyć przekształcenie kanoniczne da funkcji tworzącej: Φ(q, P, t) = qp + (q P)t Sprawdzić bezpośredni rachunkie, że w nowych ziennych równania Haitona zachowują swoją postać []. 10

11 5. Da haitonianu układu o dwóch stopniach swobody: H = 1 [p 1 + p + q 1 + (q 1 q ) + q ] znaeźć współczynniki a 1 i a funkcji tworzącej: Φ(q 1, q, Q 1, Q ) = a 1 (q 1 + q ) ctg Q 1 + a (q 1 q ) ctg Q da której przekształcenie kanoniczne sprowadza haitonian do postaci []: H = P 1 + 3P Napisać równania Haitona w nowych współrzędnych i rozwiązać je. 53. Cząstka znajduje się w jednowyiarowy potencjae: V(x) = Fx Z punktu x = 0 do punktu x = a przeieszcza się w czasie t 0. Zakładając, że ruch układu a postać: x(t) = c + bt + at znaeźć wartości współczynników a, b, c da których działanie S będzie iniane [3]. 54. Punkt zawieszenia wahadła ateatycznego o asie i długości oże poruszać się po pionowej paraboi z = ax. Rozwiązać równania Haitona [3]. 55. Pokazać, że obrót o dowony kąt w płaszczyźnie fazowej (q, p) jest przekształcenie kanoniczny [3]. 56. Sprawdzić kanoniczność przekształcenia [3]: Q = n ( 1 sin p) P q = q ctg p 57. Sprawdzić kanoniczność przekształcenia: Q = arctg αq p P = αq ( p ) 1 + α q gdzie α jest stałą [3]. 11

12 58. Znaeźć funkcję tworzącą da przekształcenia: Q = n(1 + q cos p) P = (1 + q cos p) q sin p 59. Przy jaki warunku na stałe α i β poniższa transforacja jest kanoniczna: Q = αp q P = βq Zastosować ją do haitonianu oscyatora haronicznego [3]. 60. Pokazać, że da haitonianu: wiekość H = p 1 q jest stałą ruchu [3]. pq Ht 61. Znaeźć transforację kanoniczną która poniższy haitonian sprowadzi do postaci takiej jak da oscyatora haronicznego [3]: H = 1 q + p q 4 6. Znaeźć nawias Poissona da dużej półosi eipsy a i jej iośrodu e w zagadnieniu Kepera [3]. 63. Pokazać przy użyciu równania Heisenberga (nawiasu Poissone a z haitoniane), że da oscyatora haronicznego następująca wiekość jest stałą ruchu [3]: 64. Cząstka znajduje się w potencjae: n(p + iωq) iωt V(x) = F x Stosując zienne kąt działanie obiczyć okres ruchu periodycznego [3]. 1

13 65. Cząstka znajduje się w potencjae: V(x) = a sin ( x x 0 ) Stosując zienne kąt działanie obiczyć okres ruchu periodycznego [3]. 66. Rozwiązać równanie Haitona-Jacobiego da rzutu ukośnego w jednorodny pou grawitacyjny [3]. 67. Wyznaczyć częstość ałych drgań cząstki w pou o potencjae [4]: V(x) = V cos(αx) Fx 68. Wyznaczyć funkcję Haitona oscyatora anharonicznego o funkcji Lagrange a [4]: 69. Rozwiązać równania Haiktona gdy [4]: 70. Obiczyć nawiasy Poissona [4]: L = ẋ ω x αx 3 + βxẋ ( ) H(x, p) = p + ω 0 x p + λ + ω 0 x { Ai, A j } i, j = 1,, 3, 4 da A 1 = 1 4 (x + p x y p y) A = 1 (xy + p x p y ) A 3 = 1 (xp y yp x ) A 4 = x + y + p x + p y 71. Wyznaczyć funkcję tworzącą w postaci Ψ(p, Q) która prowadzi do tego saego przekształcenia kanonicznego co funkcja tworząca F(q, P) = q e P [4]. 7. W przekształceniu kanoniczny okreśony funkcją tworzącą: Φ(x, P) = xp + ax 3 P + bxp 3 dobrać paraetry a i b w taki sposób, żeby ałe drgania oscyatora anharonicznego: 13

14 H = p + ω 0 x + βx 4 w nowych ziennych (Q, P) sprowadzały się do drgań haronicznych. W nowej funkcji Haitona poinąć wyrazy drugiego rzędu wzgęde βq ω [4]. 73. Rozwiązać równanie Haitona-Jacobiego da cząstki w potencjae [4]: V(x) = Fx 74. Za poocą nawiasów Poissona pokazać, że da haitonianiu postaci: funkcja: H(q 1, q, p 1, p ) = q 1 p 1 q p aq 1 + bq jest stałą ruchu [6]. 75. Dany jest haitonian postaci: f = p bq q 1 Sprawdzić kanoniczność przekształcenia: H(q, p, t) = pq3 t Q = 1 q + n(tpq3 ) P = pq 3 (1 + t e 1/q ) Pokazać, że w nowych współrzędnych H (Q, P, t) = 0 i na tej podstawie wyznaczyć zaeżność q(t). 76. Punkt ateriany o asie porusza się w pou siły ciężkości po powierzchni pionowego stożka o kącie rozwarcia α. Zapisać haitonian we współrzędnych sferycznych i rozwiązać równania ruchu [6]. 14

15 α 77. Obiczyć zienną działania J = pdq da przypadku ruchu punktu aterianego o asie po eipsie (energia E < 0) w potencjae newtonowski [8]: V(x, y, z) = α r 78. Znaeźć energię kinetyczną stożka o asie, wysokości h i kącie rozwarcia α toczącego się bez pośizgu po pozioej płaszczyźnie przy założeniu, że jego koniec jest nieruchoy [9]. φ α h 79. Dwie asy 1 i połączone są nieważki pręte o długości. Obie asy znajdują się w pou siły centranej o potencjae V(r) = α/r. Obiczyć siły uogónione. [10] 80. Punkt ateriany porusza się w pou siły o potencjae: V(r) = α r + β r Znaeźć równanie toru ruchu tego punktu we współrzęednych biegunowych, w przypadku stanu związanego E < 0. [11] 81. Punkt ateriany porusza się w pou siły o potencjae: V(r) = 1 kr Znaeźć równanie toru ruchu tego punktu we współrzęednych biegunowych, w przypadku stanu związanego E < 0. [11] 15

16 8. Znaeźć przyśpieszenia as 1 i korzystając z zasady d Aeberta. Boczki są nieważkie. [11] Punkt ateriany oże poruszać się po pionowej paraboi o równaniu z = ax, w pou siły ciężkości. Rozwiązać równanie ruchu [11]. 84. Punkt zaczepienia wahadła ateatycznego porusza się w pionie według zadanej funkcji czasu z = z(t). Rozwiązać równanie Lagrange a drugiego rodzaju [11]. 85. Pokazać, że funkcja Lagrange a punktu aterianego: L = 1 ( ẋ + ẏ + ż ) + q B (ẋ y x ẏ) opisuje ruch cząstki o ładunku q w pou agnetyczny o indukcji B skierowany wzdłuż osi z [11]. 86. Narysować trajektorie da różnych wartości energii na płaszczyźnie fazowej (x, p) da punktu aterianego poruszającego się w potencjae [11]: V(x) = 1 kx k x4 a 87. Haitonian cząstki w pou siły centranej wynosi: Obiczyć następujące nawiasy Poissone a: H = 1 ( ) p x + p y + pz α r {R x, H}, {R y, H}, {R x, J z }, {R y, L z }, {R x, R y } gdzie J z jest z-ową składową oentu pędu, a R jest wektore Runge-Lenza: R = p J α e r 16

17 88. Dwie asy 1 i są połączone sprężyną o współczynniku sprężystości k. Mogą się one poruszać po dwóch iniach prostych prostopadłych. Jedna z nich znajduje się w pionie. Rozwiązać równania Lagrange a [1]. 1 k g 89. Dwie asy 1 i są połączone sprężyną o współczynniku sprężystości k. Mogą one poruszać się po obwodzie pozioego okręgu. Rozwiązać równia Lagrange a [1]. 90. Dwa jednakowe dyski o asie i proieniu r ogą toczyć się bez pośizgu. Są one połączone sprężynai o współczynniku spręzystości k według rysunku. Rozwiązać rówania Lagrange a [1]. k k k 91. Masa M oże poruszać się bez pośizgu po pozioej płasczyźnie. Do asy M przyczepiono wahadło ateatyczne o asie i długości. Rozwiązać rówania Lagrange a [1]. M 9. Dysk o asie M i proieniu r oże toczyć się bez pośizgu po pozioej płaszczyźnie. Przyczepiono do niego sprężynę o współczynniku sprężystości k i wahadło ateatyczne o długości i asie. Rozwiązać rówania Lagrange a [1]. 17

18 k M 93. We wnętrzu pustego cyindra o asie M i proieniu R oże toczyć się bze pośizgu waec o proieniu r i asie. Cyinder zawieszony jest na zawiasie i oże się wahać. Rozwiązać rówania Lagrange a [1]. r R 94. Wyznaczyć częstości ałych drgań odwróconego wahadła podwójnego przedstawionego na rysunku, wokół stabinego położenia równowagi [1]. k k 95. Wyznaczyć ałe drgania wokół położenia równowagi da punktu aterianego ogącego poruszać się w pou siły ciężkości po powierzchni zadanej równanie : z = 4x + xy + y 96. Wyznaczyć częstości drgań wokół położenia równowagi da układu trzech wahadeł ateatycznych połączonych sprężynai o sprężystości k. Sprężyny są zaczepione w połowie długości wahadeł [1]. 18

19 k k 97. Dwie asy połączone sprężyną o sprężystości k ogą śizgać się po pozioy pręcie, który obraca się wokół pionowej osi z prędkością kątową ω. Rozwiązać równania Haitona [1]. ω k 98. Haitonian układu o dwóch stopniach swobody q 1, q dany jest wzore: gdzie α = const. Wykazać, że H = 1 ( p 1 q4 1 + p q 1 αq ) 1 gdzie A, B, C = const [13]. q 1 = A cos q + B sin q + C 99. Rozważyć ruch w ustaonej pionowej płaszczyźnie pręta o asie i długości którego koniec podwieszony jest na nierozciągiwej nici o długości L [13] Jednorodny pręt eży na gładkiej pozioej płaszczyźnie. Jego końce połączone są nierozciągiwyi nići ze stałyi punktai na płaszczyźnie. W stanie równowagi pręt i obie nici eżą wzdłuż jednej prostej. Rozważyć ałe poprzeczne drgania pręta. [13] Literatura [1] L. Grieczko, W. Sugakow, O. Toasiewicz, A. Fiedorcienko, Zadania z fizyki teoretycznej 19

20 [] I. Oьhovski,. Pavenko, L. Kuzьenkov, Zadaqi po teoretiqesko ehanike d fizikov [3] H. Godstein, C. Pooe, J. Safko, Cassica Mechanics [4] G. Kotkin, W. Serbo, Zbiór zadań z echaniki kasycznej [5] E. Karaśkiewicz, Zbiór zadań z echaniki teoretycznej [6] E. Po hova, Sbornik zadaq po anaitiqesko ehanike [7] N. Butenin, Vvedenie v anaitiqesku ehaniku [8] I. Oьhovski, Kurs teoretiqesko ehaniki d fizikov [9] L. Landau, E. Lifxic, Mehanika [10] M.F. Barinova, M. F. Goubeva, Zadaqi i upraжneni po kassiqesko i ehanike [11] M.G. Cakin, Lagrangian and Haitonian Mechanics [1] E.S. P tnicki i, Sbornik zadaq po anaitiqesko i ehanike [13] D. ter Haar, Eeents of Haitonian Mechanics 0