W latach dr Lesław Turkiewicz był zastępcą redaktora Zeszytów Naukowych AGH serii Elektryfikacja i mechanizacja górnictwa i hutnictwa.

Transkrypt

1 Dna 9 lstopada 2000 roku, na cmentarzu Rakowckm w Krakowe, pożegnano na zawsze dr. nż. Lesława Turkewcza, adunkta w Zakładze Elektrotechnk, Wydzału Elektrotechnk, Automatyk, Informatyk Elektronk Akadem Górnczo-Hutnczej. Lesław Turkewcz urodzł sę 9 lutego 939 roku w Nowym Sączu, w rodzne nauczycelskej, która wkrótce po wojne osedlła sę w Krakowe. Tu ukończył szkołę podstawową (952), lceum m. B. Nowodworskego (956) oraz studa z zakresu elektrotechnk w Akadem Górnczo-Hutnczej (962). W okrese lcealnym wykazywał wszechstronne uzdolnena: humanstyczne, zanteresowane lteraturą, kulturą klasyczną, teatrem muzyką, jak równeż zdolnośc do nauk ścsłych. Po ukończenu studów podjął pracę w Katedrze Elektrotechnk Ogólnej, kerowanej przez prof. Stansława Kurzawę. Znalazł tu okazję do rozwnęca wykorzystana swego talentu matematycznego. W przepsowym termne obronł z wyróżnenem pracę doktorską pt. Parobegunnkowa reprezentacja obwodów elektrycznych (97), za którą otrzymał ówczesną Nagrodę Mnstra. Bardzo twórczą pracę naukową główne badana teoretyczne cechującą sę ścsłoścą, logką prostotą myśl, uzupełnał pracą dydaktyczną, w której Jego rzetelność a także wymagana, jak równeż sprawedlwe oceny, były prawe przysłowowe. Był za to welokrotne nagradzany przez zwerzchnków wyróżnany przez studentów. W prowadzonym przez Nego studenckm kole naukowym zdobywało dośwadczene welu obecnych pracownków Wydzału. Wśród współpracownków z Zakładu Elektrotechnk ceszył sę dużym szacunkem autorytetem. Bez przesady można powedzeć, że był sumenem tego Zakładu. W każdej trudnej sytuacj czekano na Jego zdane, chocaż często ne bez obawy. Wedzano bowem, że ocena sytuacj, którą przedstaw będze trafna sprawedlwa, ale ne zawsze łatwa do przyjęca: że czasem będze sę trzeba przyznać do błędu lub zmenć swoje postępowane, a jeżel ne to pozostane żyć z poczucem wny. W latach dr Lesław Turkewcz był zastępcą redaktora Zeszytów Naukowych AGH ser Elektryfkacja mechanzacja górnctwa hutnctwa. Pozanaukowe zamłowana realzował w pełn w życu rodznnym. W roku 964 zawarł zwązek małżeńsk z Danutą Lenart (wówczas studentką UJ, obecne doktor nauk fzycznych). Ne meć lecz być wdzeć, słyszeć przeżywać było zasadą postępowana w Jego rodzne. Stąd lczne wyceczk w dolnk w góry, podpatrywane przyrody, zwedzane mejsc hstorycznych, rozmowy ze spotykanym ludźm patrotyczne wychowywane dzec. Przedwczesna śmerć syna Mchała (980) spowodowała ogromną zmanę w życu śp. Lesława. Odkładając na bok osobstą karerę naukową pośwęcł sę dydaktyce pracy społecznej. Angażował sę w organzowane Soldarnośc w AGH oraz w budowę koścoła tworzene paraf na swom osedlu. Żył wtedy w znacznej merze dla nnych: chorych, starszych cerpących. Powrotem do szkolnej dzałalnośc lterackej stały sę Jego feletony systematyczne publkowane w BIP-e sygnowane skromne lterą /L/. Przez prawe 5 lat, odnosząc sę do aktualnych wydarzeń, nawązywał do hstor, wydobywał z nej dobre wzorce, a Czytelnkow zostawał zawsze prawo do osobstej oceny ( trwana w błędze). Postępująca choroba coraz bardzej ogranczała Jego dzałalność, do końca jednak, z pomocą Żony studentów, na wózku nwaldzkm zjawał sę, by odbyć zajęca dydaktyczne. Dr nż. Lesław Turkewcz zmarł 5 lstopada 2000 r. opracowano na podstawe materałów BIP AGH, 2000

2 Wstęp Opracowane pt. Elementy Teor Obwodów Materały do Wykładu stanową notatk, przygotowane przez naszego przedwcześne zmarłego Śp. Kolegę Przyjacela dr. nż. Leszka Turkewcza do wykładu z Teor Obwodów dla studentów Wydzału Elektrotechnk, Automatyk, Informatyk Elektronk AGH. Jest to opracowane nezwykle cenne, dlatego ne dokonywalśmy w nm żadnych zman uzupełneń. Trzeba jednak pamętać, że wyśwetlanym na ekrane w trakce wykładu notatkom, towarzyszył komentarz ch Autora, pełen pasj, refleksj głębokch przemyśleń. Tego wszystkego nkt z nas ne jest w stane uzupełnć. Dlatego czytelnk często będze zmuszony sam poszukwać uzasadnena dla takego a ne nnego postępowana Autora przy analzowanu konkretnych obwodów elektrycznych. Jesteśmy przekonan, że trud ten opłac sę z całą pewnoścą da satysfakcję zmagającemu sę z tajnkam teor obwodów przyszłemu nżynerow elektrykow. Natomast tym, którzy trudow temu ne podołają pownen uśwadomć, że ch wedza elektryczna wymaga znaczących uzupełneń. Publkacją tego opracowana pragnemy jako Koledzy Przyjacele złożyć hołd Śp. dr. nż. Leszkow Turkewczow. Pamęć o Jego nezwykłej osobowośc pasj jako nżynera, pracownka naukowego, a może nade wszystko humansty pozostane na zawsze w naszych sercach. Pamętamy Jego zmagana z neuleczalną chorobą, pamętamy Jego uśmech poczuce humoru, pamętamy Jego troskę o każdego znajdującego sę w potrzebe, pamętamy Jego zaangażowane w nauczane studentów (często nestety źle rozumane), którym bez reszty pośwęcł swoje życe. Chcelbyśmy aby publkacja ta zameszczona na stronach Internetu, przyblżała pamęć o tej Nezwykłej Postac obecnym przyszłym studentom absolwentom Naszego Wydzału. W menu Pracownków Zakładu Elektrotechnk Prof. Stansław Mtkowsk Kraków, 0 lutego 2002 roku

3 dr nż. Lesław Turkewcz Elementy teor obwodów Materały do wykładu

4 Sps treśc Obwód elektryczny jego aksjomatyka Prąd napęce Elementy obwodu elektrycznego Gałęze obwodu jego struktura geometryczna, prawa Krchhoffa Moc Tor dług jednorodny z wymuszenem stałym Przykłady analzy obwodów rezystancyjnych ze źródłam sterowanym Elementy geometr obwodu Dwe metody analzy obwodu motywacja Twerdzene o źródle zastępczym (Thévenna Nortona) Inne zastosowane twerdzeń

5 Obwód elektryczny jego aksjomatyka W realnych urządzenach elektrycznych (ścślej elektroenergetycznych) dokonują sę przemany energ (jej form parametrów) generatory, slnk, urządzena grzewcze, transformatory td. U podstaw dzałana tych urządzeń tkwą zjawska opsane równanam pola elektromagnetycznego (z nezbędnym uproszczenam). Modelowane (reprezentacja) polowych zjawsk energetycznych zastosowane obwodów elektrycznych. Defncja. Obwód elektryczny jest modelem realnego układu (urządzena) elektrycznego (elektromechancznego), który reprezentuje zjawska energetyczne układu, z mnejszą lub wększą dokładnoścą. Założena upraszczające: lnowość (spełnene zasady superpozycj), stacjonarność (parametry układu ne zależą od czasu), zanedbane emsj fal elektromagnetycznych obwody SLS. Rozpatruje sę równeż: obwody nelnowe, obwody o parametrach rozłożonych (przecweństwo skuponych ), na przykład tor dług, obwody nestacjonarne (na przykład parametry zmenają sę w czase perodyczne). Równana obwodów elektrycznych są na ogół prostsze od równań pola, ale mają motywację polową. Nekoneczne badany (rozwązywany) obwód mus być modelem stnejącego, realnego układu analza teoretyczna bez wymogów aplkacyjnych. 3

6 Prąd napęce Prąd przewodzena (środowsko przewodzące), parametr γ [ Sm ] S S b S γ ds αds J n γ 0 = 0 J 0 = 0 ds b Ē, J E [ V/m ] wektor natężena pola elektrycznego (podtrzymywanego przez źródło) J [ A/m 2] wektor gęstośc prądu J = γe [ A ] df = S (lokalne prawo Ohma) J ds strumeń wektora J przez płat S J ds = J cos α ds ds wzdłuż normalnej n (do S), zwrot określa orentacja S płat na dowolnej, nekoneczne płaskej powerzchn przekroju poprzecznego (ogranczony brzegem przewodnka) S nny płat S b powerzchna brzegu Dygresja S J ds = J ds b = 0 S b J ds + S S S J ds (oczywste, dowolność wyboru S) J ds + S b J ds b = Φ Σ J dσ = 0 Σ = S S S b powerzchna zamknęta dσ wektorowy element powerzchn Σ (w każdym punkce wzdłuż normalnej zewnętrznej do Σ) 4

7 Prąd przesunęca (środowsko delektryczne), parametr ε [ Fm ] Q, Q + dq Q, (Q + dq) dq ε S B B 2 dq D S S 2 Q = Q(t) D = D(t) = εe(t) [ As/m 2] D wektor ndukcj elektrycznej układ pojemnoścowy (B B 2 bryły przewodzące) pole elektryczne zmenne w czase, lecz quas-stacjonarne, podtrzymywane przez źródło zmennego w czase napęca. Przez dowolny przekrój poprzeczny przewodów doprowadzających w elementarnym czase dt przepływa elementarny ładunek dq prąd przewodzena = dq dt, przy czym dq zmena ładunek zgromadzony na B B 2 : dq = dq. Prąd przesunęca (sztuczny) df = dq dt = uzupełna prąd przewodzena, płynący do B od B 2 (zakładając, że dq = dq > 0). Poneważ ładunk +Q Q rozkładają sę odpowedno na powerzchnach brył B B 2 z gęstoścam σ [ As/m 2 ] oraz σ 2 (sgn σ 2 = sgn σ ) oraz zachodz: D = n σ (na S, n wektor jednostkowy wzdłuż normalnej zewnętrznej do s ) D 2 = analogczne, otrzymujemy: dq dt = d τ ds = dt s d dt ( n τ ) ( n ds ), (przy czym n ds = ds ). s 5

8 Ostateczne, = s δd δt ds = s J ds (oczywste), a zatem, na powerzchn bryły B (od strony zewnętrznej) gęstość prądu przesunęca J [ As/m 2 ] wynos δd δt analogczne na powerzchn bryły B 2. Cągłość prądu przesunęca w całym obszarze delektryka będze zapewnona, gdy na dowolnej powerzchn S (rysunek) J = δd δt, a węc = S δd δt ds, gdze ds wektorowy element powerzchn S. Dygresja W przypadku nedealnego środowska delektrycznego /ε, γ/ wystąp zarówno prąd przewodzena jak przesunęca, a jego gęstość wypadkowa: J w = J + J = γe + ε δe δt. Wypływ pełnego (wypadkowego) prądu przez powerzchnę zamknętą Σ jest równy zero: ( ) J + J ds = 0 warunek cągłośc pełnego prądu, czyl Σ Σ Tym samym J ds = J ds = dq Σ dt dt J ds = dq Σ Oczywstym jest, że wypływ prądu przewodzena z obszaru ogranczonego powerzchną Σ może dokonać sę jedyne kosztem ubytku dq ładunku zawartego w tym obszarze. 6

9 Napęce Welkość ta dotyczy pary punktów A B w obszarze pola elektrycznego (stacjonarnego lub quas-stacjonarnego), zarówno w środowsku delektrycznym jak przewodzącym. E E dl β L L B u = u AB = E dl [ V ] = ϕ a ϕ b A (całka lnowa wzdłuż dowolnego łuku L); ϕ A,B potencjały E dl = E cos β dl Dygresja Poneważ wybór łuku mędzy A B w polu stacjonarnym (potencjalnym) jest dowolny, B B u = u ; A L E dl = A L E dl K E dl = 0 (warunek bezwrowośc) gdze K = L L pętla (kontur). 7

10 Elementy obwodu elektrycznego W ujęcu grafcznym, obwód elektryczny można dentyfkować ze zborem połączonych ze sobą elementów (w najprostszej wersj dwukońcówkowych), aktywnych pasywnych. W ujęcu ścśle analtycznym, obwód jako model można by dentyfkować z układem równań, opsujących wszystke powązana (węzy) welkośc charakteryzujących ten model. Obydwa ujęca muszą być równoważne, czyl modelow grafcznemu można przypsać model analtyczny na odwrót. O le jednoznaczność modelu analtycznego jest bezdyskusyjna, o tyle przyporządkowane obwodu grafcznego układow równań może być na ogół dokonane na wele sposobów. Elementy aktywne to nezależne źródła napęca prądu (reprezentują urządzena zaslające), lub źródła sterowane (występują z reguły w modelach obektów elektroncznych). Elementy pasywne (R, L, C) symbolzują odpowedno: rozpraszane energ, czyl przemanę energ elektrycznej na ceplną (lub mechanczną), gromadzene (konserwację) energ w polu magnetycznym układu, gromadzene energ w polu elektrycznym. Równana defncyjne (a zarazem funkcjonowane elementów) stanową po prostu zależnośc napęcowo-prądowe u() lub/ prądowo-napęcowe (u), umotywowane opsem adekwatnych zjawsk fzycznych. Defncje parametrów R, L, C angażują jednak welkośc polowe (na przykład E, J) oraz stałe materałowe (γ, ε, µ). Ścsłość opsu elementów wymaga orentacj napęć prądów (względem końcówek). W praktyce stosuje sę tak zwane strzałk zwrotu, które wskazują albo hpotetyczny kerunek ruchu ładunków dodatnch (zwrot prądu), albo końcówkę o hpotetyczne wyższym potencjale (zwrot napęca). Jeśl badana, zastrzałkowana welkość okaże sę dodatna, to przyjęta a pror strzałka wskazuje zwrot rzeczywsty ( na odwrót). 8

11 Przykład u(t) (t) = A sn ωt, A > 0 a (t) element b u(t) = B cos ωt, B > 0 Prąd (ładunk dodatne) płyne od a do b (jak wskazuje strzałka), gdy (t) > 0, czyl w przedzałach czasu (0, 2 T), (T, 3 2T) td., a w pozostałych przedzałach od b do a, T = 2π ω. Analogczne, ϕ a > ϕ b w przedzałach (0, 4 T), ( 3 4T, T) td., w których cos ωt > 0. Przy okazj zauważmy, że zależność u() mus być: u(t) = const d, const > 0. dt Źródła nezależne symbole grafczne: ) (u) 2) u j a e e b a j () b Źródłom przypsujemy wyjątkowo oznaczena: e [ V ] napęce źródłowe j [ A ] prąd źródłowy (zamast u, ). ) 2) u(t) = e(t) (t) = j(t); u f ( e ) f (u j ) własnośc defncyjne Jak wdać, stotą defncj jest negacja zależnośc napęca źródłowego od prądu e źródła oraz zależnośc prądu źródłowego od napęca u j. Napęce źródłowe e(t) oraz prąd źródłowy j(t), są zadanym a pror funkcjam czasu, w szczególnośc stałym. 9

12 Ilustracje e u j e e j j odbornk u odbornk u = j, ( f (e) ) u = e, ( u f (j) ) u j = u e e = + j Źródła sterowane = u u 2 µu u = 0 u 2 ϱ u 2 = µu a) źródło napęca sterowane napęcowo, u napęce sterujące u 2 = ρ b) źródło napęca sterowane prądowo, prąd sterujący = u u 2 γu u = 0 u 2 α 2 = γ u c) źródło prądu sterowane napęcowo, u napęce sterujące 2 = α d) źródło prądu sterowane prądowo, prąd sterujący µ, ρ [ V/V ], γ [ A/V ], α stałe, współczynnk sterowana 0

13 Przykłady obwodów sprzecznych j 2 j u = 0 odbornk odbornk µu = 0 ϱ Oporność (przewodność), element R(G) Parametr zwany opornoścą dotyczy ogranczonego obszaru środowska przewodzącego, którego otoczene stanow środowsko neprzewodzące (γ 0 = 0). W najprostszym najbardzej typowym przypadku mówmy o opornośc fragmentu przewodnka wodącego prąd, zawartego mędzy dwoma płatam ekwpotencjalnym. U = U AB = ϕ ϕ 2 ϕ ϕ 2 A E, J ds γ 0 = 0 S S B środowsko lnowe γ = 0 S 2 S, S 2 płaty ekwpotencjalne (powerzchn ekwpotencjalnych) w obszarze przewodnka A S, B S 2 u = S B A E dl γe ds df = const = R [ Ω ], G = [ ] S R (u = var. = var.) wybór S dowolny (wykazać!)

14 Przykład: oporność słabo przewodzącej zolacj ln współosowej (kabla) założena: l r 2, przewód wewnętrzny (żyła) oraz powłoka dealne przewodnk płaty ekwpotencjalne (powerzchne walcowe) u = const γ ϕ ϕ 2 r r 2 S r l Prąd (od żyły do powłok), = S Jds = 2πlr J(r) }{{} S E(r) = r J(r) γ = r 2πlγr, r wektor jednostkowy Przyjmujemy dla prostoty: dl = r dr, a zatem u = r 2 (r r = ) Ostateczne r E(r) rdr = R z = u = ln r 2 r 2πlγ = const r 2 dr 2πlγ r = r 2πlγ lnr 2 r (Gdy r r 2, to R z ; gdy l, R z ) element R u(t) u(t) = R(t), R > 0 (t) R /G/ (t) = Gu(t), G = R > 0 u > 0 (prąd płyne od płata o wyższym potencjale do płata o nższym potencjale) 2

15 Uwaga Element R może być zastosowany w modelu grafcznym (obwodze) ne tylko jako reprezentant opornośc konkretnego obektu dwukońcówkowego (rezystora, uzwojena tp.), ale równeż w symbolcznym charakterze. Przykładowo, tak zwany schemat zastępczy transformatora (obwód elektryczny) zawera element R Fe, który symbolzuje tak zwane straty w rdzenu ferromagnetycznym, czyl zjawsko rozpraszana energ, jeśl transformator jest zaslany napęcem snusodalne zmennym. Równeż obcążene (mechanczne) slnka ndukcyjnego reprezentuje w schemace zastępczym element R, zależny od poślzgu, a tym samym od prędkośc obrotowej. 3

16 Gałęze obwodu jego struktura geometryczna, prawa Krchhoffa W obwodze elektrycznym można wyodrębnć ne tylko pojedyncze elementy, ale równeż pewne zbory elementów, zwane gałęzam, połączonym ze sobą w punktach zwanych węzłam. Jeśl dla pewnego dwukońcówkowego zboru elementów znana jest zależność u() lub (u), to zbór ten można potraktować jako gałąź (w szczególnośc pojedynczy element pasywny lub aktywny). Przykłady u e R a) u = e + R, ( = G(u + e) ) j G b) = j + Gu, ( u = R( j) ) u u e c) u = e, u f () R j Strukturę geometryczną obwodu reprezentuje tak zwany graf obwodu /G/, w którym każdą gałąź symbolzuje odcnek (łuk). Konturem /K/ nazywamy zbór gałęz obwodu (lub podgraf jego grafu), który tworzy zamknętą drogę, z zastrzeżenem, że każdy węzeł wzdłuż nej należy do dwu gałęz (węzły drugego rzędu) Przykładowo: K = {, 3, 6}, K 2 = {5, 4, 6}, K 3 = {, 2, 4, 6} Jak wdać, w każdym z tych trzech konturów występuje gałąź (własna), która do pozostałych ne należy: 3, 5, 2 odpowedno. Jest to z pewnoścą warunek wystarczający, by zbór konturów K, K 2, K 3 można uznać za nezależny. 4

17 Uwaga e 2 R 2 R 3 u 2 u j3 u 4 u 3 j 3 a 2 P 2 3 R e 5 R 6 j 4 6 P 4 K d b K 2 5 c 6 j 6 rys. rys. 2 Zbór {, 2, 4, 6, 5} ne jest konturem, gdyż węzeł c w tym podgrafe jest węzłem trzecego rzędu. Pękem /P/ nazywamy mnmalny zbór gałęz (podgraf), który ma tę własność, że ch odcęce wytwarza dwa rozłączne podgrafy G G 2 : G G 2 =, (G G 2 ) P = G. Pęk nazywamy węzłowym, jeśl zbór G lub zbór G 2 jest zborem pustym (G = lub G 2 = ). Pęk można wyznaczyć przecnając jednokrotne nektóre gałęze obwodu (grafu) krzywą zamknętą (pętlą) na rysunku lna przerywana zelonego koloru. Przykładowo: P = {, 2, 4, 6}; P 2 = {, 2, 3}; (G = {5}, G 2 = {3}) (G =, G 2 = {6, 5, 4}) Uwaga Zbór {, 2, 3, 4} ne jest pękem, bo ne jest mnmalny. Napęcowe prawo Krchhoffa /NPK/ odnos sę do dowolnego konturu. Prądowe prawo Krchhoffa /PPK/ dotyczy dowolnego pęku. Sformułowane PPK NPK wymaga orentacj gałęz. Należy równeż zorentować kontury (przyjąć kerunk obegu drog zamknętej) oraz pęk strzałk skerowane na zewnątrz lub do wnętrza obszarów ogranczonych pętlam. 5

18 Przyjmując k, ν, µ jako odpowedno wskaźnk gałęz, pęków konturów, k =, 2,..., g (lczba gałęz obwodu), prawa Krchhoffa można zapsać w postac: PPK (dla P ν ): NPK (dla K µ ): g α νk k = 0, α νk = ± lub 0 k= g β µk u k = 0, β µk = ± lub 0 k= α νk 0 gdy gałąź k P ν, w przecwnym raze zero β µk 0 gdy gałąź k K m u, w przecwnym raze zero Znak współczynnków kombnacj lnowych zależą oczywśce od orentacj gałęz względem orentacj pęków konturów, do których te gałęze należą. Mnożąc dowolne równane przez zmenamy znak wszystkch współczynnków kombnacj, co jest równoważne zmane orentacj pęku lub konturu. Przykładowo, dla zboru gałęz {, 2, 4, 6}, który jest zarazem pękem konturem, przy zaznaczonej na rys. orentacj pęku P dla prawoskrętnego obegu konturu zachodz: NPK: u u 2 + u 4 + u 6 = 0 PPK: 2 + j 4 6 = 0 Uwaga Specyfka rozpatrywanego obwodu umożlwa jego rozwązane (oblczene neznanych prądów lub/ napęć gałęzowych na podstawe następujących, prostych równań: 6 = j 3 + j 4 } = 2 + j 3 e u u 2 + e R ( 2 + j 3 ) R e 5 = 0 /NPK dla {, 2, 5}/ 5 2 = e + e 5 R j 3, = e + e 5 + R 2 j 3 R + R 2 R + R 2 5 = 2 + j 4 R6 = 6 j 6 = j 3 + j 4 j 6 Ponadto: u 6 = R 6 R6 = R 6 (j 3 + j 4 j 6 ) u 4 = e 5 u 6 = e 5 + R 6 (j 6 j 3 j 4 ) u j3 = u 3 R 3j3 = u 4 R 2 2 = u 4 R 2 2 u j3 = e 5 + R 6 (j 2 j 3 j 4 ) R 2(e + e 5 R j3 ) R + R 2 6

19 Komentarz Pomjając szczegóły wywodów można stwerdzć, że prawa Krchhoffa mają naturalną motywację polową, przynajmnej dla obwodów rezystancyjnych (elementy R źródła): PPK wynka z warunku cągłośc prądu, Σ J dσ = 0, NPK z warunku bezwrowośc, K E dl = 0. Można wykazać, że maksymalna lczba nezależnych równań PPK wynos d = w, maksymalna lczba nezależnych równań NPK wynos a = g d = g w +, gdze w lczba węzłów rozpatrywanego obwodu. W powyższym przykładze: g = 6, w = 4 d = 3, a = 3 (trzy nezależne pęk trzy nezależne kontury). 7

20 Moc Moc, czyl szybkość zman energ jest welkoścą przypsaną dowolnemu elementow, lub dowolnej gałęz obwodu elektrycznego: p k (t) = dw k dt = u k (t) k (t) [ W ] = { uk ( k ) k u k k (u k ) Welkość tak określona może być zarówno: mocą energ poberanej przez gałąź (mocą poberaną), gdy zwroty napęca prądu są przecwne ( orentacja odbornkowa ), jak mocą energ oddawanej (mocą oddawaną), gdy zwroty są zgodne ( orentacja nadajnkowa ). u u p = p pob = u(t)(t) p = p odd = u (t)(t) p (t) = p(t) p odd = u = (e R) = e R 2 = p pob, p pob = R 2 e e R u Źródłom napęca prądu przypsujemy zazwyczaj moce oddawane; p e = e e, p j = u j j u j e e j Elementom pasywnym przypsujemy moce poberane, dla R: R /G/ u 8

21 p R = u = R 2 = Gu 2 = p pob p R (t) 0 rozpraszane energ Uwaga Jeśl obwód zawera węcej nż jedno źródło, każda z mocy może być dodatna lub ujemna (nterpretacja oczywsta). Twerdzene. Można wykazać, że suma mocy oddawanej przez źródła jest równa sume mocy poberanych przez elementy pasywne. Dowód Dowód opera sę wyłączne na prawach Krchhoffa, czyl zależnośc u k ( k ) lub k (u k ) mogą być dowolne (na przykład nelnowe). Przykład e u e 2 u 2 j u j 2 (oddawane) p e + p j = e e + u j j = = e + u 2 ( 2 ) = = (u 2 + u ) + u 2 2 u 2 = = u + u 2 2 = p + p 2 (poberane) Energa (oddawana lub poberana): w przedzale czasu (t, t 2 ), t 2 > t t 2 t t 2 p(t)dt = e(t) e (t) lub u j (t)j(t)dt t t t W = t 2 t 2 t 2 u(t)(t)dt = R 2 (t)dt = G u 2 (t)dt /R/ t jak wdać, W R > 0. t t 2 9

22 w przedzale czasu (0, t), t > 0 t W R (0, t) = R t 2 (τ)dτ = G u 2 (τ)dτ funkcja rosnąca, bo jej pochodna (moc) > Nech (t) = 2e t 4 (< 0) t W R (0, t) = R 0 t (2e τ 4) 2 dτ = R 0 (4e 2τ 6e τ + 6)dτ =... = R(6t 8 + 2e 2t + 6e t ) 6t 8, W R (0, 0) = 0 Przykład: analza obwodu rezystancyjnego e u 3 P R 3 4 u R u 2 R 2 R 4 u 4 u j j K K 2 P 2 Według PPK NPK ułożymy nezbędne równana, oblczymy nektóre prądy gałęzowe oraz moce oddawane przez źródła. A. Poneważ d = w = 3 = 2, możemy ułożyć tylko dwa nezależne równana PPK (dla P 2 P 3 ), przy czym jeden z pęcu prądów gałęzowych (g = 5) jest dany (j) P 2 : P 3 : j = 0 2 = 4 + j 4 3 j = 0 3 = 4 j () Z kole, układamy dwa równana NPK (dla K K 3 ), z zastosowanem zależnośc u() oraz uwzględnając zwązk (). Newadomym w równanach NPK będą węc prądy gałęzowe, 4 : K : R + R 2 ( 4 + j) e = 0 K 3 : R 3 ( 4 j) + R 4 4 R 2 ( 4 + j) = 0 Przyjmujemy parametry: R = 3Ω, R 2 = 6Ω, R 3 = 4Ω, R 4 = 8Ω po uporządkowanu otrzymujemy: } = e 6j = 0j 20

23 Rozwązane równań (w postac macerzowej): [ ] [ ] 9 6 [ ] e 6j = = j, 62 3, 6 Ostateczne: [ ] [ 7 = e 8 2 j ] 4 2 e j e =, u j = u 4 = R 4 4 = 40 7 j e Przyjmując e = 42V, j = 7A mamy: e = = 0 [ ] A 3 u 4 = u j = = 40 [ V ] 2 Moce oddawane przez źródła wynoszą: p e = e e = = 40 [ W ] p j = u j j = 40 7 = 280 [ W ] [ ] e 6j 0j Uwaga Łatwo zauważyć, że welkośc e oraz u j są kombnacjam lnowym wymuszeń e oraz j o współczynnkach: G ab, H oraz R cd, H : e = G ab e + H j; G ab = 7 S, H = 8 [ ] A/A 2 u j = R cd j + H e; R cd = 24 7 Ω, H = 8 [ ] V/V = H(!) 2 gdze: G ab konduktancja zastępcza od strony końcówek a, b po upasywnenu obwodu (j przerwa) R cd rezystancja zastępcza od strony końcówek c, d po upasywnenu obwodu (e zwarce) H H transmtancje (prąd/prąd napęce/napęce) Ilustracja e a c e b element R d j u j G ab R cd 2

24 e = (e) e + (j) e u j = u (j) j p e = e (e) e p j = ju (j) j + u j (e) + e (j) e + ju (e) j Twerdzene e (j) e + ju (e) j = 0 = G ab e 2 + e (j) e = R bc j 2 + ju (e) j B. Alternatywne, jako newadome można przyjąć napęca gałęzowe u u 4, wykorzystując dwa nezależne równana NPK (a = g w + = = 2): K : u + u 2 e = 0 u = e u 2 K 2 : u 2 u 3 u 4 = 0 u 4 = u 2 u 3 W równanach PPK (dla pęków P 2 P 3 ) zapsujemy prądy gałęzowe, wyrażone od razu w funkcj napęć u 2 u 3 : P 2 : G (e u 2 ) + G 2 u 2 + G 4 (u 2 u 3 ) j = 0 P 3 : G 4 (u 2 u 3 ) G 3 u 3 j = 0 / /; G k = R k Po uporządkowanu zmane znaków w drugm równanu otrzymujemy: [ ] [ ] G + G 2 + G 4 G 4 u2 = G 4 G 3 + G 4 u 3 [ ] j + G e j G + G 2 + G 4 = = 5 8 S, G 3 + G 4 = = 3 8 S, j + G e = = 2A ] ( ) [ ] 5 [ ] 2 = u }{{} [ u2 =4 = 8 4 [ ] [ ] [ ] = = Dla porównana rezultatów w punktach A B oblczymy napęca u 2 u 3 mając dane prądy: = 0 3 A, 4 = 5 A (pkt. A): u 2 = e R = 42 0 = 32 [ V ] ( u 3 = R 3 3 = R 3 u ) ( 2 0 = 4 R ) = 8 [ V ] 22

25 Tor dług jednorodny z wymuszenem stałym Dotychczas rozpatrywano tylko obwody rezystancyjne z parametram skuponym. Obecne najprostszy przykład obwodu z parametram rozłożonym. W jego opse pojawa sę jedna zmenna, określająca położene (x), a zatem: = (x), u = u(x). Nezależność wymuszena od czasu (napęce źródłowe ε [ V ] = const lub prąd źródłowy j = const) skutkuje tym, że równeż odpowedź = (x) oraz u = u(x) ne jest funkcją czasu. W rzeczywstośc, w modelach toru długego muszą wystąpć zarówno jednostkowe parametry rezystancyjne: R 0 [ Ω/m ] G0 [ S/m ], jak równeż parametr ndukcyjny L0 [ H/m ] pojemnoścowy C 0 [ F/m ], jednak w przypadku wymuszena stałego w stane ustalonym ne odgrywają one żadnej rol. Można je wyelmnować z modelu, pozostaje węc: (x) (x + dx) R 0 dx [Ω] R 0 dx j E G 0 dx [S] u(x) G 0 dx u(x + dx) R ab 0 x x + dx l X segment elementarny R 0 dx elementarna oporność wzdłużna (dot. obydwu przewodnków ln 2-przewodowej) G 0 dx elementarna przewodność poprzeczna (dotyczy nedoskonałej zolacj medzy przewodam) (x) (x + dx) R 0 dx u(x) G 0 dx u(x + dx) (x) (x + dx) 23

26 NPK: PPK: u(x) u(x + dx) = (R 0 dx)(x) (x) (x + dx) = (G 0 dx) u(x + dx) }{{} : dx =u(x) du dx = R 0 d dx = G 0u d dx d2 u dx = R d 2 0 dx = R 0G 0 u df R0 G 0 = p [ m ] d 2 u dx 2 p2 u = 0 Analogczne, na skutek symetr równań: d 2 dx 2 p2 = 0 Równane charakterystyczne w obydwu przypadkach: λ 2 p 2 = 0 λ,2 = ±p = ± R 0 G 0, a zatem u(x) = B e px + B 2 e px (x) = A e px + A 2 e px = R o Oznaczając p R o = G o R o = ρ, ρ = R o G o [ Ω ] otrzymujemy (x) = B ρ e px B 2 ρ epx d dx [B e px + B 2 e px ] Stałe B B 2 wynkają z warunków brzegowych (na początku ln na jej końcu, czyl dla x = 0 oraz x = l). W szczególnośc dla ln zwartej (u(l) = 0 R ab = 0): x = 0 B + B 2 = u(0) = E x = l B e pl + B 2 e pl = u(l) = 0 [ B ] = B 2 [ ] [ ] ε e pl e pl = 0 [ E e pl ] e pl e pl e pl 24

27 A zatem, prąd na początku ln zwartej (x = 0): (0) = ρ (B B 2 ) = E ρ e pl + e pl = E chpl e pl e pl ρ shpl Jak wdać, oporność wejścowa ln zwartej wynos R z = u(0) (0) = E (0) = ρthpl = Ro th ( R o G o l ) G o Podobne, można pokazać, że oporność wejścowa ln neobcążonej ((l) = 0 R ob = ) wynos: R o = ρ thpl ( gdy l 0) W ogólnym przypadku (lna obcążona) stałe B B 2 spełnają warunk: u(0) = E B + B 2 = E u(l) = R ob (l) B e pl + B 2 e +pl = R ob ρ ( B e pl B 2 e pl) Po oblczenu B B 2 otrzymujemy zależnośc u(x) oraz (x), a także oporność wejścową ln obcążonej. Problem (praca kontrolna) /R 0, G 0 / (x) E u(x) j x = 0 x = l Rozkłady napęca u(x) oraz prądu (x) wzdłuż toru opsują take same równana, stałe B B 2 lczymy na podstawe warunków brzegowych: u(0) = B + B 2 = E (l) = B ρ e pl B 2 ρ epl = j Temat: Na podstawe rozkładów u(x), (x) zbadać moc rozpraszaną w ln oraz moce oddawane przez źródła E j. 25

28 Przykłady analzy obwodów rezystancyjnych ze źródłam sterowanym Do zboru newadomych należy zakwalfkować welkośc sterujące (prądy lub/ napęca). Układamy nezbędne równana PPK NPK, a po ch rozwązanu lczymy pożądaną odpowedź obwodu. Uwaga Aby rozwązane było nezerowe, obwód mus zawerać co najmnej jedno źródło nezależne. Przykład. a 2 u R u u 2 R 2 ϱ 3 j R 3 u 3 u 4 R 4 b 3 4 R = R 2 = R 3 = 2Ω R 4 = 4Ω ρ, j dane ρ 6V/A Oblczyć u PPK: 2 = j ; 4 = j 3 NPK: R R 2 (j ) + ρ 3 = 0 = R 2 j ρ 3 R +R 2 R 3 3 ρ 3 R 4 (j 3 ) = 0 3 = = 2 6ρ 24 4ρ j = 6 3ρ 2 2ρ j R 4 j R 3 +R 4 ρ = 4 6 ρ j 26

29 u = R + R 3 3 = ( 6 3ρ 6 ρ + ) 8 4 3ρ 6 ρ j = 6 ρ j = R ab j R ab = 3ρ 4 ρ 6 Jak wdać, R ab < 0 dla ρ ( 4 3, 6) V/A. Przykład 2. a γu 4 = γr R u u 2 R 2 ϱ 3 e P R 3 u 3 u 4 R 4 b 3 4 R = R 2 = R 3 = 2Ω R 4 = 4Ω e, ρ, γ dane NPK: R ρ 3 R 3 3 = 0 3 = R 4 R 3 ρ 4 R ρ 3 + R = e PPK (blans prądów pęku P): γr 4 4 = 0 Po prostych przekształcenach mamy: ( R 4 = 3 + ( γr 4 ) 4 = R 3 ρ + γr 4 4 ( R 4 + ρr 4 R 3 ρ + R ) R 4 R 3 ρ + R γr 4 R 4 = e ) 27

30 Jak wdać, parametr R 2 ne wpływa na wynk, 4 f (R 2 ) ( 4 + 4ρ 2 ρ + 8 ) 2 ρ + 2 8γ 4 = e = ( ) 20 2ρ 2 ρ 8γ 4 4 = 2 ρ 20 2ρ 8γ(2 ρ) e = = ( + R 4 R 3 ρ ) 4 = 6 ρ 2 ρ 4 Ostateczne, = 6 ρ 20 2ρ + 8γ(ρ 2) e; G ab = 6 ρ 20 2ρ + 8γ(ρ 2) Praca kontrolna Obwód, jak w przykładze 2., lecz zaslany prądem źródłowym j (zamast e). Oblczyć R ab porównać z wyznaczoną odwrotnoścą konduktancj G ab. 28

31 Elementy geometr obwodu Badane struktury geometrycznej obwodu (grafu) wraz z jej opsem algebracznym umożlwa ustalene lczby jakośc nezależnych równań PPK NPK. Na wstępe, oprócz poznanych już konturu pęku wprowadzmy pojęca drzewa /D/ antydrzewa /A/, odnoszące sę zarazem do grafu obwodu. Drzewem grafu G nazywamy maksymalny podgraf grafu, ne zawerający konturów. Antydrzewo jest dopełnenem drzewa, A = G D (D A = G). b b b a c a 2 3 c a c 6 d d rys. rys. 2 rys. 3 {, 3} an {, 2} ne są drzewam, gdyż ne są to podgrafy maksymalne Twerdzene. Dowolne drzewo grafu G zawera wszystke węzły, a lczba jego konarów (gałęz drzewa) wynos: d = w, gdze w lczba węzłów grafu G. Odcnając kolejno konary skrajne otrzymujemy w końcu pojedynczą gałąź z dwoma węzłam. Poneważ przy każdym odcęcu lczba gałęz oraz lczba węzłów maleje o, zachodz: d = w 2 d = w, (c.b.d.u.) Tym samym, lczba strun (gałęz antydrzewa) wynos a = g d = g w +, g lczba gałęz grafu. Dowolna struna s µ antydrzewa wraz z nektórym (w szczególnośc z wszystkm) konaram drzewa tworzy jeden kontur, K µ {s µ D}, zwany konturem podstawowym. b b a K c a 4 2 P 2 3 c d d 6 6 rys. 4 rys. 5 29

32 I analogczne: Dowolny konar k ν drzewa wraz z nektórym (w szczególnośc z wszystkm strunam antydrzewa tworzy jeden pęk P ν {k ν A}, zwany pękem podstawowym. K 6 = {6,, 2, 5} = {6 D } K 4 = {4,, 2} {4 D } P 2 = {2, 3, 4, 6} = {2 A } P 3 = {3,, 2} {3 A 4 }, A 4 = {, 2, 6} Twerdzene 2. Dowolny kontur K ma co najmnej jedną gałąź wspólną z dowolnym antydrzewem A, K A. (W przecwnym raze K D = G A, wbrew defncj drzewa.) I analogczne, Twerdzene 3. Dowolny pęk P ma co najmnej jedną gałąź wspólną z dowolnym drzewem D, P D. (W przecwnym raze P A = G D, co zaprzecza warunkow P ν {k ν A} A P ν.) Twerdzene 4. Dowolny kontur K dowolny pęk P mają parzystą lczbę (w tym zero) gałęz wspólnych, n = 2m. (Uzasadnene według rysunków.) K 2 K K 3 3 P 4 G G 2 G P 4 G G 2 K P = {2, 3}; n = 2 K 2 P = ; n 2 = 0 K 3 P = {, 2, 3, 4}; n 3 = 4 Równana PPK dla pęków podstawowych (w lczbe d = w ) stanową zbór równań nezależnych (każde z nch zawera prąd konara k ν, który wyznacza pęk P n u ne występuje w pozostałych pękach). Równana NPK dla konturów podstawowych (w lczbe a = g w + ) stanową zbór równań nezależnych (w każdym z nch napęce struny), która wyznacza odpowedn kontur, K µ 30

33 Równana PPK NPK: g α νk k = 0; k= ν =, 2,..., d; g β µk u k = 0 k= µ =, 2,..., a można zapsać w postac macerzowej: A = 0; Bu = 0 2 =. g ; u = u u 2. u g ; dxg A ={α νk } ±ν 0 ; axg B ={β µk } ±ν 0 Jeśl konarom wybranego drzewa przyporządkujemy wskaźnk:, 2,..., d, zaś strunom antydrzewa wskaźnk: d +, d + 2,..., d + a = g, a ponadto przyjmemy orentację pęków (konturów) zgodną z orentacją konarów (strun), jak na rysunkach 5 4, to w macerzach A B wystąpą podmacerze jednostkowe, odpowedno: 0 α = , a =... 0 a oprócz nch podmacerze P/dxa/ Q/axd/. P reprezentuje obecność strun w pękach podstawowych, wyznaczonych przez odpowedne konary, Q obecność konarów w konturach podstawowych, wyznaczonych przez odpowedne struny. A = [ d P] konary struny B = [Q a ] konary struny K K 4 5 P P 5 2 K P 3 3

34 Drzewo zaznaczono lną grubą A = 0 0 = [ 3 P] macerz ncydencyjna pęków podstawowych B = = [Q s] 0 0 macerz ncydencyjna konturów podstawowych Jak łatwo zauważyć, Q = P t ( t transpozycja), co można wykazać dla dowolnego grafu. Tak węc, współczynnk w równanach NPK dla zboru konturów podstawowych można łatwo powązać ze współczynnkam równań PPK dla zboru pęków podstawowych ( na odwrót). Tym samym loczyn macerzy AB t jest macerzą zerową: [ ] Q AB t t = [ d P] = Q t + P = 0 /dxa/ () a Powyższa własność (AB t = 0 lub BA t = 0) dotyczy ne tylko macerzy ncydencyjnych pęków konturów podstawowych, lecz równeż macerzy dla dowolnego zboru pęków konturów, A = {a νk } ν=,2...,n ; B = {b µk } µ=,2,...,m, k =, 2,..., g zorentowanych. Oznaczając AB t df = C = {C νµ }, zauważmy że C νµ jest loczynem skalarnym wektorów werszowych A nu oraz B µ, których składowym są odpowedno elementy a νk oraz b µk, k =, 2,..., g (transpozycja macerzy B). Jak wadomo, gałęze wspólne pęku P ν oraz konturu K µ tworzą m par, m = 0,, 2,... Łatwo zauważyć, że zgodnośc orentacj każdej pary gałęz z orentacją pęku towarzyszy nezgodność orentacj tej pary z orentacją konturu ( na odwrót), czyl: a νk b µk + a νk2 b µk2 = (±)(±) + (±)(±) = 0, gdze parę tworzą gałęze k k 2. Przykładowo dla pęku P df = P konturu K 3, które przedstawa rys. 7, zachodz: c 3 = g a k b 3k = [(+)(+) + (+)( )] + [( )( ) + (+)( )] = ( ) + ( ) = 0 }{{}}{{} para,2 para 3,4 k= 32

35 Dwe metody analzy obwodu motywacja ) Ze względu na podzał macerzy A B na dwe podmacerze, odpowadające konarom ( d Q) oraz strunom (P a ) musmy wyodrębnć zbór prądów konarowych (wektor D ) oraz prądów strunowych (wektor A ). Analogczne zbór napęć konarowych (wektor u D ) strunowych (wektor u A ). W zwązku z tym, prawa Krchhoffa przyjmują postać: [ ] D PPK: A = [ d P] = 0 (2) [ A ] ud NPK: Bu = [Q a ] = 0 (3) u A Po rozwnęcu (2) (3) wdać, że prądy konarowe (napęca strunowe) są kombnacjam lnowym prądów strunowych (napęć konarowych): D = P A = Q t A u A = Qu D = P t u D (4) (5) Tym samym, rozwązane obwodu sprowadza sę do oblczena prądów strunowych (jeśl jako newadome przyjmemy prądy gałęzowe) lub napęć konarowych (jeśl jako newadome przyjmemy napęca gałęzowe). W wynku elmnacj D pozostaje do rozwązana układ a = g w + równań w metodze prądów strunowych, w wynku elmnacj u A układ d = w równań w metodze napęć konarowych. Oczywste jest, że w obydwu metodach wykorzystujemy zarówno równana NPK jak PPK, a ponadto zależnośc napęcowo-prądowe w metodze prądów strunowych lub prądowo-napęcowe w metodze napęć konarowych. 2) Równana PPK NPK oraz własność () skutkują odpowedno wnoskam: = B t A /g / /g a/; /a / (6) u = A t u D /g / /g d/; /d / (7) które można uznać za alternatywne formy PPK NPK. 3) Przyjmujemy, że dowolna gałąź obwodu (wskaźnk k =, 2,..., g) oprócz elementu R k (G k ) może zawerać źródło napęca e k oraz źródło prądu j k rysunek. Zakładamy przecwne orentacje prądu gałęzowego k oraz napęca gałęzowego u k, a także typowe orentacje e k j k. Te ostatne można uznać za odpowadające rzeczywstośc, jeśl doberzemy właścwy znak napęca lub/ prądu źródłowego. 33

36 u k k k R k (G k ) j k e k u k Oznaczena pomocncze: e k = e k R k j k j k = j k G k e k u k ( k ) : u k = u k e k = R k k e k = R k ( k + j k ) e k = R k k (e k R k j k ) u k = R k k e k k (u k ) : k = k j k = G k u k j k = G k (u k + e k ) j k = G k u k (j k G k e k ) k = G k u k j k W postac macerzowej: u = R e, gdze e = e Rj = Gu j, gdze j = j Ge (8) (9) R = dag{r, R 2,..., R g }; G = dag{g, G 2,..., G g } e = [e, e 2,..., e g ] t ; j = [j, j 2,..., j g ] t 4) Uwzględnając kolejno (3), (8) (6) otrzymujemy: Bu = B(R e) = BRB t A Be = 0 czyl R p A = e p metoda prądów strun. (0) gdze: R p = BRB t () e p = B(e Rj) (2) 5) Uwzględnając kolejno (2), (9) (7), otrzymujemy A = A(Gu j) = AGA t u D Aj = 0 34

37 czyl G p u D = j p metoda napęć konarowych (3) gdze: G p = AGA t (4) j p = Aj = A(j Ge) (5) R p macerz rezystancyjna konturów podstawowych G p macerz konduktancyjna pęków podstawowych e p zmodyfkowany wektor napęć źródłowych w konturach podstawowych j p zmodyfkowany wektor prądów źródłowych w pękach podstawowych 35

38 Dyskusja ) W metodze prądów strunowych (0): R k <, węc ne dopuszcza sę rozwarca. Tym samym, źródła prądu j k ne można uznać za gałąź. Ne stnałaby wówczas zależność napęcowo-prądowa u k ( k ), czyl u k ( j k ). Dopuszczalny jest element R k jako gałąź (e k = 0, j k = 0, u k = R k k ), a w szczególnośc zwarce (R k = 0, e k = 0, j k = 0), a także element e k (R k = 0, j k = 0). 2) W metodze napęć konarowych (3): G k <, a węc ne dopuszcza sę zwarca. Tym samym, źródła napęca e k ne można uznać za gałąź. Ne stnałaby wówczas zależność prądowo-napęcowa k (u k ), czyl k ( e k ). Dopuszczalny jest element G k (gdy e k = 0 j k = 0), a w szczególnośc rozwarce (G k = 0), jak równeż element j k (gdy G k = 0, e k = 0). 3) Macerze R p G p są symetryczne: R p t = (BRB t ) t = (B t ) t R t B t = BRB t = R p (R G jako macerze dagonalne są oczywśce symetryczne). 4) Wyrażena R k j k oraz G k e k oznaczają równoważne źródła napęca prądu: R k k j k R k e k k u k uk G k G k e k k j k k uk u k k (u k ) jednakowe, u k ( k ) jednakowe. 5) Składowe wektorów Be oraz Aj stanową sumy algebraczne napęć źródłowych w odpowednch konturach podstawowych oraz prądów źródłowych w odpowednch pękach podstawowych. Można sę przekonać, że ze znakam plus wystąpą te napęca źródłowe (prądy źródłowe), których orentacje są zgodne z orentacją konturu (pęku). Orentacje konturu (pęku) dentyfkujemy z orentacją odpowednego prądu strunowego (napęca konarowego). 36

39 Powyższe dotyczy zarazem równoważnych źródeł napęca równoważnych źródeł prądu. Znak mnus na odwrót. 7) Analogczne algorytmy można sformułować dla elementów macerzy G p (kontury zastępujemy pękam, struny konaram na odwrót). G p = {g j },j=,2,...,d ; g j = A G(A j ) t = g a k a jk G k k= Gałęzam wspólnym pęków P P j są te struny, które należą do obydwu pęków podstawowych, lub (co jest równoważne) wyznaczają kontury, do których należą konary pęków P P j. Ustalając znak elementów G j wygodnej jest rozważyć orentacje konarów w tych konturach, nż badać orentacje pęków. Znak plus kładzemy, gdy orentacje konarów są zgodne, mnus gdy są nezgodne. s 2 s 3 P n k s 4 k n s P k j P j g j = g j = (G s2 + G s3 + G s ) g jj = G j + G s2 + G s3 + G s4 + G s g jn = g nj = +(G s2 + G s3 + G s4 ) 37

40 Przykład. R R 3 e j e 2 j 4 R 4 R 5 R u 5 u 6 R 7 7 K 6 K K 7 7 Tylko jedna gałąź obwodu zawera komplet elementów: {R, e, j }. Przyjmujemy parametry: R = R 3 = R 4 = 3Ω, R 5 = R 6 = R 7 = 6Ω, e = 4V, e 2 = 6V, j = j 4 = 2A w myśl algorytmu (0) (2) układamy wprost równana obwodu, opsujące wektor prądów strunowych A = [ 5, 6, 7 ] t : R 5 + R 0 R 0 R 6 + R 3 + R 4 R 3 + R 4 R R 3 + R 4 R 7 + R + R 3 + R e 2 e + R j = e 2 + R 4 j 4 e R j + R 4 j 4 cr = 0 4 lub po uproszczenu 38

41 = 4 3 0, = det R p = 44 Dopełnena algebraczne: = 6, 2 = 2 = 2, 3 = 3 = 4, 22 = 4, 23 = 32 = 6, 33 = 2. Wektor prądów strunowych: A = R p e p = = Aby sprawdzć otrzymane rezultaty zastosujemy metodę napęć konarowych w wersj skróconej. Na wstępe, gałąź {R, e, j } redukujemy do pary elementów: G = R = 3 s, j = j G e = 2 3 A. Dwukońcówkowy zbór elementów (dwójnk) {R 3, R 4, j 4 } zastępujemy równoważną gałęzą {R 3 + R 4, R 4 j 4 } = {6Ω, 6V}. Aby unknąć wprowadzana dodatkowej newadomej e2 pomjamy pęk wyznaczony przez konar e 2 układamy tylko dwa nezbędne równana PPK dla pęków podstawowych, jak na rysunku. 2 3 A 6V e 2 P s 6 s 3 s 6 v v s 6 P s

42 P : 3 v + 6 (v v 2 ) + 6 (v e 2 ) = 2 3 P : 6 (v 2 v ) + 6 (v 2 6) + 6 (v 2 e 2 ) = 0 e 2 = 6V 2 3 v 6 v 2 = = 5/3 6 6 v + 2 v 2 = 2 [ v ] [ ] 4 = v 2 3 [ ] 0 = 2 [ ] = [ 42 ] 58 5 = 6 (v e 2 ) = 6 6 = 6 (v 2 e 2 ) = 6 7 = 6 (v 2 v ) = = 2 33 = 4 33 = 8 33 (jak wyżej) 40

43 Przykład 2. j e 3 P 2 u 3 R R 3 j 2 P 4 u 2 u R 4 R 5 P 3 R 6 6 Zgodne z algorytmem metody napęć konarowych (3) (5) możemy zapsać od razu uporządkowany układ równań z newadomym u 2, u 3, u 4 składowym wektora u D : G + G 5 + G 6 G 5 + G 6 (G + G 6 ) G 5 + G 6 G 3 + G 5 + G 6 G 6 (G + G 6 ) G 6 G 4 + G + G 6 u 2 u 3 u 4 j 2 j = G 3 e 3 j Zakładając parametry: R = 3Ω, R 3 = 4Ω, R 4 = R 5 = R 6 = 6Ω, j = A, j 2 = 2A, e 3 = 8V mamy: = u 2 u 3 u = 2 32 u 2 u 3 u 4 = u 2 u 3 u 4 = = =

44 Uwaga Zastępując symetryczny trójkąt {R 4, R 5, R 6 } = {6, 6, 6} Ω równoważną gwazdą {R λ, R λ, R λ }, gdze R λ = 3 R = 2Ω, otrzymujemy prostszy obwód: 3V u 2 2A 8V v 5Ω 2Ω 6Ω Dla jedynej newadomej v: 5 (v 3) + (v 8) + 2 = v = = 2 30 v = 2 Zastosowana transfguracja zachowuje wartość prądów e, e3, a także napęce źródła prądu (u 2 ). u 2 = R λ j 2 v = 2j 2 v = = 46 [ ] V (jak wyżej) Prądy w gałęzach trójkąta (obwód orygnalny) 5, 6, 4 wynkają z oblczonych już napęć u 2, u 3, u 4 : 4 = G 4 u 4 = 6 58 = 29 [ ] A 33 5 = G 5 (u 3 + u 2 ) = 2(4 + 23) 6 6 = G 6 (u 4 u 2 u 3 ) = 6 = 37 [ ] A 33 2( ) = 8 [ ] A 33 42

45 Na konec, zostane zlustrowana skrócona metoda prądów strunowych 2 równana (dla konturów K K 6 ); 2 = j 2 = 2 A. K : 3 + 4( 2) + 6( 6 2) + 6( 6 ) = 3 8 K 6 : ( 6 ) + 6( 6 + 2) = 0 / : = = 2 [ ] = 6 [ ] [ 5 2 ] = 33 [ ] 3 2 = [ ] Ω 4Ω 3V K 8V u 4 j 2 4 6Ω K 6 6Ω 6Ω 6 = 33 Ponadto: 4 = 6 = = u 4 = 6 4 = 58 (jak wyżej) 43

46 Twerdzene o źródle zastępczym (Thévenna Nortona) Jak już wspomnano (przykład, str. 3?) dwójnkow (aktywnemu), który zawera elementy R źródła nezależne, można przyporządkować równoważną gałąź 2-elementową (e, R), przy czym pojęce równoważnośc należy rozumeć jako dentyczność zależnośc u() lub (u) dwójnka gałęz. W konkretnych, prostych przypadkach zbadane zależnośc u() lub (u) ne przysparza trudnośc. Dla dowolnego, rezystancyjnego dwójnka aktywnego zachodz, przy zgodnej orentacj napęca prądu: u = const [ V ] const2 [ Ω ] = c c 2. Jak wdać, c = u =0 = u o, c 2 = u c =0 = R ab (a, b końcówk dwójnka). Napęce dwójnka w stane bezprądowym (zwane napęcem jałowym) u 0 jest kombnacją lnową napęć prądów źródłowych dwójnka, a węc jest to welkość o charakterze źródłowym, u o = e. Jeśl wszystke źródła nezależne zostaną upasywnone (zwarca zamast źródeł napęca rozwarca w mejsce źródeł prądu), wówczas u o = 0 gałąź równoważna zawera tylko element R = R ab. Przykłady R a a j 2 e 3 u R = R ab u R 2 R 3 e 2 e = u 0 b b Dwójnk aktywny: u = R R 3 ( + j 2 ) + e 3 + e 2 = (R + R 3 ) + (e 3 + e 2 R 3 j 2 ) Gałąź: u = e R ab e = u o = e 3 + e 2 R 3 j 2 ; R ab = R + R 3 44

47 Zrozumałe jest, że R 2 ne ma wpływu na R ab, an na u o. e R R 2 e 2 2 j 2 b G 3 a j 3 u j = z b G ab a u () u = e 2 e R R 2 ( + j 2 ) = e 2 e R + R 2 (2) = G 3 u + j 3 ( (u) = j 3 + e ) ( ) 2 e R 2 j 2 G 3 + u R + R 2 R + R 2 R + R 2 }{{}}{{} j= 2 G ab R 2 R + R 2 j 2 = z G ab u R + R 2 u Jak wdać, zależność (u) dwójnka ma analogczną postać: = const [ A ] const2 [ S ] u = u=0 G ab u = z G ab u, z prąd zwarca G ab = R ab = u z = 0 (napęca prądy źródłowe, upasywnone) Porównując obydwe zależnośc, /j, G/ : u = G ab ( z ) = R ab z R ab = u o R ab /e, R/ : u o = R ab z u = u o R ab 45

48 Ilustrację grafczną zależnośc u() zarazem (u) dwójnka aktywnego w przypadku zgodnych orentacj u oraz przedstawa rysunek: u u 0 α β z u = u o R ab ; tg α = mr ab ( = z G ab u) ; tg β = ng ab Reasumując, twerdzene o źródle zastępczym można sformułować następująco: Dowolny, rezystancyjny dwójnk aktywny (końcówk a, b), dla którego stneje zależność u() (zależność (u)) jest równoważny: gałęz 2-elementowej /e, R/, gdze e = u o = u =0, R = Rab rezystancja dwójnka po upasywnenu źródeł (tw. Thévenna). gałęz 2-elementowej /j, G/, gdze j = z = u=0, G = G ab = /R ab konduktancja dwójnka po upasywnenu źródeł (tw. Nortona). Zastosowane W obwodze można wyodrębnć dowolną gałąź G k (końcówk a, b) potraktować obwód jako jej połączene z (dwukońcówkową) resztą obwodu dwójnkem D k. Dwójnkow D k można przyporządkować równoważną gałąź (2-elementową) /e, R/ lub /j, G/; e = u o, j = z. Otrzymujemy uproszczony obwód {/e, R/ G k } lub /j, G/ G k }, zawerający tylko dwe gałęze, który łatwo rozwązać (oblczyć prąd k lub/ napęce u k ). a k D k u k G k b obwód aktywny 46

49 a k e a k R u k G k j G u k G k b b Uwaga Nc ne sto na przeszkodze, by twerdzene zastosować dwukrotne: dla dwójnka D k oraz gałęz G k. Przykład R = 4Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 8Ω, R 4 = 2Ω, R 5 = 6Ω, j = 3A, e 2 = 2A: a 3 u 3 a R 3 R 4 R 3 R 4 R 5 e 2 u 0 R R 2 j b R R 2 u j b Po odcęcu gałęz G = {R 5, e 2 } lczymy u o oraz R ab (j rozwarce) u o R 3 + R 4 R + R 2 = u u 3 = R R 3 3 = R j R 3 j = R + R 2 + R 3 + R 4 R + R 2 + R 3 + R 4 ( = ) j = 8 = 24 8 j = 4 3 j = 4 [ V ] R ab = (R + R 3 )(R 2 + R 4 ) R + R 3 + R 2 + R 4 = = 4Ω 47

50 Obwód uproszczony (Thévenn) a R = R ab e 2 e = u 0 R 5 b = e e 2 R ab + R 5 = uo e 2 R ab + R 5 = =, 6A Dla sprawdzena wynku posłużymy sę tradycyjną metodą prądów strunowych. D = {R, R 2, R 3 }; A = {j, /e 2, R 5 /, R 4 } a 4 4 R 4 b j j { R5 + R 3 ( + 4 ) + R ( + 4 j ) = e 2 R R 2 ( 4 j ) + R ( 4 + j ) + R 3 ( 4 + ) = 0 Po podstawenu parametrów: [ ] [ ] [ ] = : [ ] [ ] 3 2 [ ] 0 = = [ ] [ ] = 8 5 =, 6A (jak wyżej) 48

51 Zastosowane twerdzena Nortona sprowadza sę do oblczena prądu zwarca z oraz konduktancj G ab dwójnka, którego źródła zostały upasywnone. Obwód uproszczony zawera równeż dwe gałęze: gałąź równoważną dwójnkow D k, /j, G ab /, j = z oraz gałąź G k. a k z D k G k b Przykładowo, dla rozpatrywanego obwodu, oblczene prądu zwarca jest jeszcze łatwejsze, nż napęca jałowego. a a R 3 R 4 e 2 z R R 2 2 b j R ab /G ab / R 5 j b ( z R 4 R 3 2 = 2 = j j = 3 R 2 + R 4 R + R ) = 2 = A = j 2 G ab = = R ab 4 S metoda superpozycj: = j (j) + (e2) R ab e 2 = j = 4 R ab + R 5 R ab + R =, 6A (jak wyżej) Jak wdzmy zastosowane twerdzena Thévenna lub Nortona daje efektywne analzy obwodu. 49

52 Inne zastosowane twerdzeń Bardzo naturalnym jest wykorzystane twerdzena o źródle zastępczym (w obydwu wersjach) w obwodze, który zawera pojedynczy element jakoścowo nny, nż pozostałe (konserwatywny, nelnowy, nestacjonarny). Element ten można wyodrębnć (gałąź G k ), natomast pozostałym elementom (dwójnk D k ) przyporządkować gałąź równoważną /e, R ab / lub /j, G ab / jak na rysunku. a u L u b a a = f (u) e = u 0 j = z G ab u R R = R ab G b b L d dt + R ab = u o ; f (u) + G ab u = z Odkładając na późnej analzę obwodu z pojedynczym elementem konserwatywnym, rozważymy przypadek elementu nelnowego, o charakterystyce: = f (u); f funkcja jednoznaczna, na przykład: = { 0 dla u 0 γu 2 dla u > 0 W myśl PPK zachodz: + 6 = j = z γu 2 + G ab u z = 0 u = ( ) G ab ) + G 2ab 2γ + 4γz > 0 Druge rozwązane, u 2 = 2γ ( G ab ) < 0 należy odrzucć. 50

53 Ilustracja grafczna rozwązana: G + G + G z u u Badając odpowedź (prąd napęce) elementu nelnowego o charakterystyce (u) = A( e αu ), A > 0, α > 0 posłużymy sę na odmanę twerdzenem Thévenna metodą grafczną. Wprawdze dana zależność (u) można przekształcć do postac: u() = α ln A A, ale zastosowane metody grafcznej tego ne wymaga. Wystarczy znterpretować wykres zależnośc (u) jako wykres u(). Zachodz: R ab + u() = u o f () = u o R = u() Rozwązane stanową współrzędne /U, I/ punktu przecęca prostej f () oraz charakterystyk u(). z u() I f () U u 0 u 5

54 Addytywność mocy (twerdzena Tallegena) Suma mocy poberanych (lub oddawanych) przez wszystke gałęze obwodu równa sę zero: g u k k = u T = (B T u D ) T A T A = u T D BAT A = 0 k= Odnosząc sę do schematu dowolnej, k-tej gałęz, mamy: u k k = u k ( k j k) = u k k P j n odd = (u k e k) k P j k odd = P Rk pob P ek odd P jn odd g u k k = 0 = k= g P Rk g P ek g P jk g k= P pob R k = g k= P odd e k + g k= P odd j k Przykład R u u u 2 R 2 j e 2 = 2 = u 2 = u 2 = u P R + P R2 = u + u 2 2 = (u + e ) + u 2 2 = e + u ( 2 + j ) +u 2 2 = }{{} = e u 2 2 u 2 j + u 2 2 = e + u j = P e + P j (c.b.d.o) 52

55 Twerdzene o wzajemnośc (odwracalnośc) a) Rozpatrujemy parę obwodów rezystancyjnych, każdy z jednym źródłem napęca. Gałąź (lub gałąź 2 ) ze źródłem napęca e oraz gałąź 2 (lub gałąź ) z badanym prądem 2 (prądem ) traktujemy jako wyodrębnone z obwodu e 3 3 e 2 2 a a 2 obwód 2 obwód 2 2 Zawsze możlwy jest tak wybór drzewa D, aby gałęze, 2 były strunam antydrzewa A = G D. Odpowedź obwodu 2, badana metodą prądów strunowych: R p e 0 2. = 0.. a 0 A = R P e P, = e, = det R P, 2 = 2e Analogczne, odpowedź obwodu 2: A = R P 0 e 0,.. = 2e = 2, bo 2= 2 0 Tak węc, symetra macerzy R P, dentycznej dla obydwu obwodów skutkuje równoścą prądów oraz 2. 53

56 Warto zastosować przekształcene macerzy R P /a a/ w macerz r = [ ] r r 2 ; r r 2 r 2 = r 2, 22 która wąże bezpośredno prądy, 2 z napęcem źródłowym e (obwód 2): [ ] [ ] [ ] r r 2 e = r r 2 A = [ α β ], α = 3 ] 4, β = 2., [ podobne wektor napęć źródłowych: e 0 [ ] eα e P = = oraz macerz R P na cztery odpowedne blok macerzowe: R P = a [ ] rα r αβ, otrzymujemy r βα r β [ ] [ ] [ rα r αβ α eα = R βα r β β 0 ], r βα = r T αβ Po elmnacj β (druge równane): β = r β r βα α podstawenu do perwszego, otrzymujemy ( ) [ ] [ ] [ ] rα r αβ r e β rt αβ = = r Poszukwana macerz r /2 2/ jest symetryczna, co łatwo sprawdzć, lcząc t T = r T α r αβ (r β )T r T αβ = r. Korzyść wynkająca z redukcj stopna (drug zamast a-tego) jest oczywsta. Aby skonstruować r należy jednak odwrócć macerz r β /(a 2) (a 2)/. 54

57 Rezystancja zastępcza dwójnka Opsaną metodą redukcj stopna macerzy można wykorzystać równeż do oblczena rezystancj zastępczej dwójnka o złożonej strukturze (obwód 2). Należy wyodrębnć element R macerzy R P potraktować go jako macerz jednoelementową, r α = [R ]. Wówczas α = [ ] =, a r β ma wymary /a / /a /. Tak węc, rezystancja zastępcza dwójnka z końcówkam /, / wynos: R = R r β r β r β T, r β wersz m. R P bez R : r β = [R 2, R 3,..., R a ] Alternatywne, rezystancja (konduktancja) zastępcza wynka wprost z zależnośc (e), zawartej w równanu metody prądów strunowych: R = e (e) = e e =, gdze G = = det T P dopełnene algebraczne elementu /, /. Z konecznoścą oblczena wyznacznka stopna a wąże sę wększa ucążlwość tej metody w porównanu z procedurą redukcj stopna macerzy R P. Sformułowana dualne Zarówno stwerdzene o wzajemnośc, jak technk oblczana konduktancj (rezystancj) zastępczej mają swoje analogczne (dualne) odpowednk, które operają sę na metodze napęć konarowych. 2 2 u 3 u 3 j u 4 u u 2 u 4 u u 2 j u d u d 2 obwód 2 obwód

58 [ ] [ ] [ ] g g 2 u j = g 22 u 2 0 g 2 u = u 2 [ ] [ g g 2 u ] [ ] 0 = g 2 g 22 j u 2 g = g α g αβ g β gt αβ = gt dwójnk: [ ] [ ] u j g = u 2 0 G = R = j u (j) = j j =, = det G P lub: (G g β g β gt β )u = j G = G g β g β gt β Przykłady 5 2 R 5 R e R 3 R 2 2 R R 4 56

59 K = {, 3, 4, e}, K 2 = {R 2 }, K 5 = {R 5, R 2, R 3, R }, K 6 = {R 6, R 4, R 3 } R + R 3 + R 4 0 (R + R 3 ) (R 3 + R 4 ) 0 R 2 R 2 0 (R + R 3 ) R 2 R 5 + R 2 + R 3 + R R 3 (R 3 + R 4 ) 0 R 3 R 6 + R 3 + R 4 Przyjmujemy R k = k [ Ω ] e = [ ] 8 0 r = r α r αβ r β rt αβ = 0 2 = 34 [ ] 8 0 [ [ ] [ ] [ ] e = ; det r β = 34 r β = 34 [ ] [ ] [ ] = [ ] e = [ 3 ] ] = dwójnk /, / ze zwartym końcówkam 2, 2 [ ] R r αβ r T = αβ r β 4 2 3, r β = = r αβ r β r T αβ = [ ] r β 4 = = R = R r αβ r β r T αβ = = Praca kontrolna = 3, 48Ω Zastępując źródło napęca e przez źródło prądu j stosując metodę napęć konarowych, oblczyć napęce źródła u j, a następne rezystancje dwójnka /, /, przy zwartych końcówkach