Elementy teorii obwodów

Transkrypt

1 dr nż. Lesław Turkewcz Elementy teor owodów Materały do wykładu

2 Sps treśc Owód elektryczny jego aksjomatyka Prąd napęce Elementy owodu elektrycznego Gałęze owodu jego struktura geometryczna, prawa Krchhoffa Moc Tor dług jednorodny z wymuszenem stałym Przykłady analzy owodów rezystancyjnych ze źródłam sterowanym Elementy geometr owodu Dwe metody analzy owodu motywacja Twerdzene o źródle zastępczym (Thévenna Nortona) Inne zastosowane twerdzeń

3 Owód elektryczny jego aksjomatyka W realnych urządzenach elektrycznych (ścślej elektroenergetycznych) dokonują sę przemany energ (jej form parametrów) generatory, slnk, urządzena grzewcze, transformatory td. U podstaw dzałana tych urządzeń tkwą zjawska opsane równanam pola elektromagnetycznego (z nezędnym uproszczenam). Modelowane (reprezentacja) polowych zjawsk energetycznych zastosowane owodów elektrycznych. Defncja. Owód elektryczny jest modelem realnego układu (urządzena) elektrycznego (elektromechancznego), który reprezentuje zjawska energetyczne układu, z mnejszą lu wększą dokładnoścą. Założena upraszczające: lnowość (spełnene zasady superpozycj), stacjonarność (parametry układu ne zależą od czasu), zanedane emsj fal elektromagnetycznych owody SLS. Rozpatruje sę równeż: owody nelnowe, owody o parametrach rozłożonych (przecweństwo skuponych ), na przykład tor dług, owody nestacjonarne (na przykład parametry zmenają sę w czase perodyczne). Równana owodów elektrycznych są na ogół prostsze od równań pola, ale mają motywację polową. Nekoneczne adany (rozwązywany) owód mus yć modelem stnejącego, realnego układu analza teoretyczna ez wymogów aplkacyjnych. 3

4 Prąd napęce Prąd przewodzena (środowsko przewodzące), parametr γ [ Sm ] S S S γ ds αds J n γ 0 = 0 J 0 = 0 ds Ē, J E [ V/m ] wektor natężena pola elektrycznego (podtrzymywanego przez źródło) J [ A/m 2] wektor gęstośc prądu J = γe [ A ] df = S (lokalne prawo Ohma) J ds strumeń wektora J przez płat S J ds = J cos α ds ds wzdłuż normalnej n (do S), zwrot określa orentacja S płat na dowolnej, nekoneczne płaskej powerzchn przekroju poprzecznego (ogranczony rzegem przewodnka) S nny płat S powerzchna rzegu Dygresja S J ds = J ds = 0 S J ds + S S S J ds (oczywste, dowolność wyoru S) J ds + S J ds = Φ Σ J dσ = 0 Σ = S S S powerzchna zamknęta dσ wektorowy element powerzchn Σ (w każdym punkce wzdłuż normalnej zewnętrznej do Σ) 4

5 Prąd przesunęca (środowsko delektryczne), parametr ε [ Fm ] Q, Q + dq Q, (Q + dq) dq ε S B B 2 dq D S S 2 Q = Q(t) D = D(t) = εe(t) [ As/m 2] D wektor ndukcj elektrycznej układ pojemnoścowy (B B 2 ryły przewodzące) pole elektryczne zmenne w czase, lecz quas-stacjonarne, podtrzymywane przez źródło zmennego w czase napęca. Przez dowolny przekrój poprzeczny przewodów doprowadzających w elementarnym czase dt przepływa elementarny ładunek dq prąd przewodzena = dq dt, przy czym dq zmena ładunek zgromadzony na B B 2 : dq = dq. Prąd przesunęca (sztuczny) df = dq dt = uzupełna prąd przewodzena, płynący do B od B 2 (zakładając, że dq = dq > 0). Poneważ ładunk +Q Q rozkładają sę odpowedno na powerzchnach rył B B 2 z gęstoścam σ [ As/m 2 ] oraz σ 2 (sgn σ 2 = sgn σ ) oraz zachodz: D = n σ (na S, n wektor jednostkowy wzdłuż normalnej zewnętrznej do s ) D 2 = analogczne, otrzymujemy: dq dt = d τ ds = dt s d dt ( n τ ) ( n ds ), (przy czym n ds = ds ). s 5

6 Ostateczne, = s δd δt ds = s J ds (oczywste), a zatem, na powerzchn ryły B (od strony zewnętrznej) gęstość prądu przesunęca J [ As/m 2 ] wynos δd δt analogczne na powerzchn ryły B 2. Cągłość prądu przesunęca w całym oszarze delektryka ędze zapewnona, gdy na dowolnej powerzchn S (rysunek) J = δd δt, a węc = S δd δt ds, gdze ds wektorowy element powerzchn S. Dygresja W przypadku nedealnego środowska delektrycznego /ε, γ/ wystąp zarówno prąd przewodzena jak przesunęca, a jego gęstość wypadkowa: J w = J + J = γe + ε δe δt. Wypływ pełnego (wypadkowego) prądu przez powerzchnę zamknętą Σ jest równy zero: ( ) J + J ds = 0 warunek cągłośc pełnego prądu, czyl Σ Σ Tym samym J ds = J ds = dq Σ dt dt J ds = dq Σ Oczywstym jest, że wypływ prądu przewodzena z oszaru ogranczonego powerzchną Σ może dokonać sę jedyne kosztem uytku dq ładunku zawartego w tym oszarze. 6

7 Napęce Welkość ta dotyczy pary punktów A B w oszarze pola elektrycznego (stacjonarnego lu quas-stacjonarnego), zarówno w środowsku delektrycznym jak przewodzącym. E E dl β L L B u = u AB = E dl [ V ] = ϕ a ϕ A (całka lnowa wzdłuż dowolnego łuku L); ϕ A,B potencjały E dl = E cos β dl Dygresja Poneważ wyór łuku mędzy A B w polu stacjonarnym (potencjalnym) jest dowolny, B B u = u ; A L E dl = A L E dl K E dl = 0 (warunek ezwrowośc) gdze K = L L pętla (kontur). 7

8 Elementy owodu elektrycznego W ujęcu grafcznym, owód elektryczny można dentyfkować ze zorem połączonych ze soą elementów (w najprostszej wersj dwukońcówkowych), aktywnych pasywnych. W ujęcu ścśle analtycznym, owód jako model można y dentyfkować z układem równań, opsujących wszystke powązana (węzy) welkośc charakteryzujących ten model. Oydwa ujęca muszą yć równoważne, czyl modelow grafcznemu można przypsać model analtyczny na odwrót. O le jednoznaczność modelu analtycznego jest ezdyskusyjna, o tyle przyporządkowane owodu grafcznego układow równań może yć na ogół dokonane na wele sposoów. Elementy aktywne to nezależne źródła napęca prądu (reprezentują urządzena zaslające), lu źródła sterowane (występują z reguły w modelach oektów elektroncznych). Elementy pasywne (R, L, C) symolzują odpowedno: rozpraszane energ, czyl przemanę energ elektrycznej na ceplną (lu mechanczną), gromadzene (konserwację) energ w polu magnetycznym układu, gromadzene energ w polu elektrycznym. Równana defncyjne (a zarazem funkcjonowane elementów) stanową po prostu zależnośc napęcowo-prądowe u() lu/ prądowo-napęcowe (u), umotywowane opsem adekwatnych zjawsk fzycznych. Defncje parametrów R, L, C angażują jednak welkośc polowe (na przykład E, J) oraz stałe materałowe (γ, ε, µ). Ścsłość opsu elementów wymaga orentacj napęć prądów (względem końcówek). W praktyce stosuje sę tak zwane strzałk zwrotu, które wskazują alo hpotetyczny kerunek ruchu ładunków dodatnch (zwrot prądu), alo końcówkę o hpotetyczne wyższym potencjale (zwrot napęca). Jeśl adana, zastrzałkowana welkość okaże sę dodatna, to przyjęta a pror strzałka wskazuje zwrot rzeczywsty ( na odwrót). 8

9 Przykład u(t) (t) = A sn ωt, A > 0 a (t) element u(t) = B cos ωt, B > 0 Prąd (ładunk dodatne) płyne od a do (jak wskazuje strzałka), gdy (t) > 0, czyl w przedzałach czasu (0, 2 T), (T, 3 2T) td., a w pozostałych przedzałach od do a, T = 2π ω. Analogczne, ϕ a > ϕ w przedzałach (0, 4 T), ( 3 4T, T) td., w których cos ωt > 0. Przy okazj zauważmy, że zależność u() mus yć: u(t) = const d, const > 0. dt Źródła nezależne symole grafczne: ) (u) 2) u j a e e a j () Źródłom przypsujemy wyjątkowo oznaczena: e [ V ] napęce źródłowe j [ A ] prąd źródłowy (zamast u, ). ) 2) u(t) = e(t) (t) = j(t); u f ( e ) f (u j ) własnośc defncyjne Jak wdać, stotą defncj jest negacja zależnośc napęca źródłowego od prądu e źródła oraz zależnośc prądu źródłowego od napęca u j. Napęce źródłowe e(t) oraz prąd źródłowy j(t), są zadanym a pror funkcjam czasu, w szczególnośc stałym. 9

10 Ilustracje e u j e e j j odornk u odornk u = j, ( f (e) ) u = e, ( u f (j) ) u j = u e e = + j Źródła sterowane = u u 2 µu u = 0 u 2 ϱ u 2 = µu a) źródło napęca sterowane napęcowo, u napęce sterujące u 2 = ρ ) źródło napęca sterowane prądowo, prąd sterujący = u u 2 γu u = 0 u 2 α 2 = γ u c) źródło prądu sterowane napęcowo, u napęce sterujące 2 = α d) źródło prądu sterowane prądowo, prąd sterujący µ, ρ [ V/V ], γ [ A/V ], α stałe, współczynnk sterowana 0

11 Przykłady owodów sprzecznych j 2 j u = 0 odornk odornk µu = 0 ϱ Oporność (przewodność), element R(G) Parametr zwany opornoścą dotyczy ogranczonego oszaru środowska przewodzącego, którego otoczene stanow środowsko neprzewodzące (γ 0 = 0). W najprostszym najardzej typowym przypadku mówmy o opornośc fragmentu przewodnka wodącego prąd, zawartego mędzy dwoma płatam ekwpotencjalnym. U = U AB = ϕ ϕ 2 ϕ ϕ 2 A E, J ds γ 0 = 0 S S B środowsko lnowe γ = 0 S 2 S, S 2 płaty ekwpotencjalne (powerzchn ekwpotencjalnych) w oszarze przewodnka A S, B S 2 u = S B A E dl γe ds df = const = R [ Ω ], G = [ ] S R (u = var. = var.) wyór S dowolny (wykazać!)

12 Przykład: oporność słao przewodzącej zolacj ln współosowej (kala) założena: l r 2, przewód wewnętrzny (żyła) oraz powłoka dealne przewodnk płaty ekwpotencjalne (powerzchne walcowe) u = const γ ϕ ϕ 2 r r 2 S r l Prąd (od żyły do powłok), = S Jds = 2πlr J(r) }{{} S E(r) = r J(r) γ = r 2πlγr, r wektor jednostkowy Przyjmujemy dla prostoty: dl = r dr, a zatem u = r 2 (r r = ) Ostateczne r E(r) rdr = R z = u = ln r 2 r 2πlγ = const r 2 dr 2πlγ r = r 2πlγ lnr 2 r (Gdy r r 2, to R z ; gdy l, R z ) element R u(t) u(t) = R(t), R > 0 (t) R /G/ (t) = Gu(t), G = R > 0 u > 0 (prąd płyne od płata o wyższym potencjale do płata o nższym potencjale) 2

13 Uwaga Element R może yć zastosowany w modelu grafcznym (owodze) ne tylko jako reprezentant opornośc konkretnego oektu dwukońcówkowego (rezystora, uzwojena tp.), ale równeż w symolcznym charakterze. Przykładowo, tak zwany schemat zastępczy transformatora (owód elektryczny) zawera element R Fe, który symolzuje tak zwane straty w rdzenu ferromagnetycznym, czyl zjawsko rozpraszana energ, jeśl transformator jest zaslany napęcem snusodalne zmennym. Równeż ocążene (mechanczne) slnka ndukcyjnego reprezentuje w schemace zastępczym element R, zależny od poślzgu, a tym samym od prędkośc orotowej. 3

14 Gałęze owodu jego struktura geometryczna, prawa Krchhoffa W owodze elektrycznym można wyodręnć ne tylko pojedyncze elementy, ale równeż pewne zory elementów, zwane gałęzam, połączonym ze soą w punktach zwanych węzłam. Jeśl dla pewnego dwukońcówkowego zoru elementów znana jest zależność u() lu (u), to zór ten można potraktować jako gałąź (w szczególnośc pojedynczy element pasywny lu aktywny). Przykłady u e R a) u = e + R, ( = G(u + e) ) j G ) = j + Gu, ( u = R( j) ) u u e c) u = e, u f () R j Strukturę geometryczną owodu reprezentuje tak zwany graf owodu /G/, w którym każdą gałąź symolzuje odcnek (łuk). Konturem /K/ nazywamy zór gałęz owodu (lu podgraf jego grafu), który tworzy zamknętą drogę, z zastrzeżenem, że każdy węzeł wzdłuż nej należy do dwu gałęz (węzły drugego rzędu) Przykładowo: K = {, 3, 6}, K 2 = {5, 4, 6}, K 3 = {, 2, 4, 6} Jak wdać, w każdym z tych trzech konturów występuje gałąź (własna), która do pozostałych ne należy: 3, 5, 2 odpowedno. Jest to z pewnoścą warunek wystarczający, y zór konturów K, K 2, K 3 można uznać za nezależny. 4

15 Uwaga e 2 R 2 R 3 u 2 u j3 u 4 u 3 j 3 a 2 P 2 3 R e 5 R 6 j 4 6 P 4 K d K 2 5 c 6 j 6 rys. rys. 2 Zór {, 2, 4, 6, 5} ne jest konturem, gdyż węzeł c w tym podgrafe jest węzłem trzecego rzędu. Pękem /P/ nazywamy mnmalny zór gałęz (podgraf), który ma tę własność, że ch odcęce wytwarza dwa rozłączne podgrafy G G 2 : G G 2 =, (G G 2 ) P = G. Pęk nazywamy węzłowym, jeśl zór G lu zór G 2 jest zorem pustym (G = lu G 2 = ). Pęk można wyznaczyć przecnając jednokrotne nektóre gałęze owodu (grafu) krzywą zamknętą (pętlą) na rysunku lna przerywana zelonego koloru. Przykładowo: P = {, 2, 4, 6}; P 2 = {, 2, 3}; (G = {5}, G 2 = {3}) (G =, G 2 = {6, 5, 4}) Uwaga Zór {, 2, 3, 4} ne jest pękem, o ne jest mnmalny. Napęcowe prawo Krchhoffa /NPK/ odnos sę do dowolnego konturu. Prądowe prawo Krchhoffa /PPK/ dotyczy dowolnego pęku. Sformułowane PPK NPK wymaga orentacj gałęz. Należy równeż zorentować kontury (przyjąć kerunk oegu drog zamknętej) oraz pęk strzałk skerowane na zewnątrz lu do wnętrza oszarów ogranczonych pętlam. 5

16 Przyjmując k, ν, µ jako odpowedno wskaźnk gałęz, pęków konturów, k =, 2,..., g (lcza gałęz owodu), prawa Krchhoffa można zapsać w postac: PPK (dla P ν ): NPK (dla K µ ): g α νk k = 0, α νk = ± lu 0 k= g β µk u k = 0, β µk = ± lu 0 k= α νk 0 gdy gałąź k P ν, w przecwnym raze zero β µk 0 gdy gałąź k K m u, w przecwnym raze zero Znak współczynnków komnacj lnowych zależą oczywśce od orentacj gałęz względem orentacj pęków konturów, do których te gałęze należą. Mnożąc dowolne równane przez zmenamy znak wszystkch współczynnków komnacj, co jest równoważne zmane orentacj pęku lu konturu. Przykładowo, dla zoru gałęz {, 2, 4, 6}, który jest zarazem pękem konturem, przy zaznaczonej na rys. orentacj pęku P dla prawoskrętnego oegu konturu zachodz: NPK: u u 2 + u 4 + u 6 = 0 PPK: 2 + j 4 6 = 0 Uwaga Specyfka rozpatrywanego owodu umożlwa jego rozwązane (olczene neznanych prądów lu/ napęć gałęzowych na podstawe następujących, prostych równań: 6 = j 3 + j 4 } = 2 + j 3 e u u 2 + e R ( 2 + j 3 ) R e 5 = 0 /NPK dla {, 2, 5}/ 5 2 = e + e 5 R j 3, = e + e 5 + R 2 j 3 R + R 2 R + R 2 5 = 2 + j 4 R6 = 6 j 6 = j 3 + j 4 j 6 Ponadto: u 6 = R 6 R6 = R 6 (j 3 + j 4 j 6 ) u 4 = e 5 u 6 = e 5 + R 6 (j 6 j 3 j 4 ) u j3 = u 3 R 3j3 = u 4 R 2 2 = u 4 R 2 2 u j3 = e 5 + R 6 (j 2 j 3 j 4 ) R 2(e + e 5 R j3 ) R + R 2 6

17 Komentarz Pomjając szczegóły wywodów można stwerdzć, że prawa Krchhoffa mają naturalną motywację polową, przynajmnej dla owodów rezystancyjnych (elementy R źródła): PPK wynka z warunku cągłośc prądu, Σ J dσ = 0, NPK z warunku ezwrowośc, K E dl = 0. Można wykazać, że maksymalna lcza nezależnych równań PPK wynos d = w, maksymalna lcza nezależnych równań NPK wynos a = g d = g w +, gdze w lcza węzłów rozpatrywanego owodu. W powyższym przykładze: g = 6, w = 4 d = 3, a = 3 (trzy nezależne pęk trzy nezależne kontury). 7

18 Moc Moc, czyl szykość zman energ jest welkoścą przypsaną dowolnemu elementow, lu dowolnej gałęz owodu elektrycznego: p k (t) = dw k dt = u k (t) k (t) [ W ] = { uk ( k ) k u k k (u k ) Welkość tak określona może yć zarówno: mocą energ poeranej przez gałąź (mocą poeraną), gdy zwroty napęca prądu są przecwne ( orentacja odornkowa ), jak mocą energ oddawanej (mocą oddawaną), gdy zwroty są zgodne ( orentacja nadajnkowa ). u u p = p po = u(t)(t) p = p odd = u (t)(t) p (t) = p(t) p odd = u = (e R) = e R 2 = p po, p po = R 2 e e R u Źródłom napęca prądu przypsujemy zazwyczaj moce oddawane; p e = e e, p j = u j j u j e e j Elementom pasywnym przypsujemy moce poerane, dla R: R /G/ u 8

19 p R = u = R 2 = Gu 2 = p po p R (t) 0 rozpraszane energ Uwaga Jeśl owód zawera węcej nż jedno źródło, każda z mocy może yć dodatna lu ujemna (nterpretacja oczywsta). Twerdzene. Można wykazać, że suma mocy oddawanej przez źródła jest równa sume mocy poeranych przez elementy pasywne. Dowód Dowód opera sę wyłączne na prawach Krchhoffa, czyl zależnośc u k ( k ) lu k (u k ) mogą yć dowolne (na przykład nelnowe). Przykład e u e 2 u 2 j u j 2 (oddawane) p e + p j = e e + u j j = = e + u 2 ( 2 ) = = (u 2 + u ) + u 2 2 u 2 = = u + u 2 2 = p + p 2 (poerane) Energa (oddawana lu poerana): w przedzale czasu (t, t 2 ), t 2 > t t 2 t t 2 p(t)dt = e(t) e (t) lu u j (t)j(t)dt t t t W = t 2 t 2 t 2 u(t)(t)dt = R 2 (t)dt = G u 2 (t)dt /R/ t jak wdać, W R > 0. t t 2 9

20 w przedzale czasu (0, t), t > 0 t W R (0, t) = R t 2 (τ)dτ = G u 2 (τ)dτ funkcja rosnąca, o jej pochodna (moc) > Nech (t) = 2e t 4 (< 0) t W R (0, t) = R 0 t (2e τ 4) 2 dτ = R 0 (4e 2τ 6e τ + 6)dτ =... = R(6t 8 + 2e 2t + 6e t ) 6t 8, W R (0, 0) = 0 Przykład: analza owodu rezystancyjnego e u 3 P R 3 4 u R u 2 R 2 R 4 u 4 u j j K K 2 P 2 Według PPK NPK ułożymy nezędne równana, olczymy nektóre prądy gałęzowe oraz moce oddawane przez źródła. A. Poneważ d = w = 3 = 2, możemy ułożyć tylko dwa nezależne równana PPK (dla P 2 P 3 ), przy czym jeden z pęcu prądów gałęzowych (g = 5) jest dany (j) P 2 : P 3 : j = 0 2 = 4 + j 4 3 j = 0 3 = 4 j () Z kole, układamy dwa równana NPK (dla K K 3 ), z zastosowanem zależnośc u() oraz uwzględnając zwązk (). Newadomym w równanach NPK ędą węc prądy gałęzowe, 4 : K : R + R 2 ( 4 + j) e = 0 K 3 : R 3 ( 4 j) + R 4 4 R 2 ( 4 + j) = 0 Przyjmujemy parametry: R = 3Ω, R 2 = 6Ω, R 3 = 4Ω, R 4 = 8Ω po uporządkowanu otrzymujemy: } = e 6j = 0j 20

21 Rozwązane równań (w postac macerzowej): [ ] [ ] 9 6 [ ] e 6j = = j, 62 3, 6 Ostateczne: [ ] [ 7 = e 8 2 j ] 4 2 e j e =, u j = u 4 = R 4 4 = 40 7 j e Przyjmując e = 42V, j = 7A mamy: e = = 0 [ ] A 3 u 4 = u j = = 40 [ V ] 2 Moce oddawane przez źródła wynoszą: p e = e e = = 40 [ W ] p j = u j j = 40 7 = 280 [ W ] [ ] e 6j 0j Uwaga Łatwo zauważyć, że welkośc e oraz u j są komnacjam lnowym wymuszeń e oraz j o współczynnkach: G a, H oraz R cd, H : e = G a e + H j; G a = 7 S, H = 8 [ ] A/A 2 u j = R cd j + H e; R cd = 24 7 Ω, H = 8 [ ] V/V = H(!) 2 gdze: G a konduktancja zastępcza od strony końcówek a, po upasywnenu owodu (j przerwa) R cd rezystancja zastępcza od strony końcówek c, d po upasywnenu owodu (e zwarce) H H transmtancje (prąd/prąd napęce/napęce) Ilustracja e a c e element R d j u j G a R cd 2

22 e = (e) e + (j) e u j = u (j) j p e = e (e) e p j = ju (j) j + u j (e) + e (j) e + ju (e) j Twerdzene e (j) e + ju (e) j = 0 = G a e 2 + e (j) e = R c j 2 + ju (e) j B. Alternatywne, jako newadome można przyjąć napęca gałęzowe u u 4, wykorzystując dwa nezależne równana NPK (a = g w + = = 2): K : u + u 2 e = 0 u = e u 2 K 2 : u 2 u 3 u 4 = 0 u 4 = u 2 u 3 W równanach PPK (dla pęków P 2 P 3 ) zapsujemy prądy gałęzowe, wyrażone od razu w funkcj napęć u 2 u 3 : P 2 : G (e u 2 ) + G 2 u 2 + G 4 (u 2 u 3 ) j = 0 P 3 : G 4 (u 2 u 3 ) G 3 u 3 j = 0 / /; G k = R k Po uporządkowanu zmane znaków w drugm równanu otrzymujemy: [ ] [ ] G + G 2 + G 4 G 4 u2 = G 4 G 3 + G 4 u 3 [ ] j + G e j G + G 2 + G 4 = = 5 8 S, G 3 + G 4 = = 3 8 S, j + G e = = 2A ] ( ) [ ] 5 [ ] 2 = u }{{} [ u2 =4 = 8 4 [ ] [ ] [ ] = = Dla porównana rezultatów w punktach A B olczymy napęca u 2 u 3 mając dane prądy: = 0 3 A, 4 = 5 A (pkt. A): u 2 = e R = 42 0 = 32 [ V ] ( u 3 = R 3 3 = R 3 u ) ( 2 0 = 4 R ) = 8 [ V ] 22

23 Tor dług jednorodny z wymuszenem stałym Dotychczas rozpatrywano tylko owody rezystancyjne z parametram skuponym. Oecne najprostszy przykład owodu z parametram rozłożonym. W jego opse pojawa sę jedna zmenna, określająca położene (x), a zatem: = (x), u = u(x). Nezależność wymuszena od czasu (napęce źródłowe ε [ V ] = const lu prąd źródłowy j = const) skutkuje tym, że równeż odpowedź = (x) oraz u = u(x) ne jest funkcją czasu. W rzeczywstośc, w modelach toru długego muszą wystąpć zarówno jednostkowe parametry rezystancyjne: R 0 [ Ω/m ] G0 [ S/m ], jak równeż parametr ndukcyjny L0 [ H/m ] pojemnoścowy C 0 [ F/m ], jednak w przypadku wymuszena stałego w stane ustalonym ne odgrywają one żadnej rol. Można je wyelmnować z modelu, pozostaje węc: (x) (x + dx) R 0 dx [Ω] R 0 dx j E G 0 dx [S] u(x) G 0 dx u(x + dx) R a 0 x x + dx l X segment elementarny R 0 dx elementarna oporność wzdłużna (dot. oydwu przewodnków ln 2-przewodowej) G 0 dx elementarna przewodność poprzeczna (dotyczy nedoskonałej zolacj medzy przewodam) (x) (x + dx) R 0 dx u(x) G 0 dx u(x + dx) (x) (x + dx) 23

24 NPK: PPK: u(x) u(x + dx) = (R 0 dx)(x) (x) (x + dx) = (G 0 dx) u(x + dx) }{{} : dx =u(x) du dx = R 0 d dx = G 0u d dx d2 u dx = R d 2 0 dx = R 0G 0 u df R0 G 0 = p [ m ] d 2 u dx 2 p2 u = 0 Analogczne, na skutek symetr równań: d 2 dx 2 p2 = 0 Równane charakterystyczne w oydwu przypadkach: λ 2 p 2 = 0 λ,2 = ±p = ± R 0 G 0, a zatem u(x) = B e px + B 2 e px (x) = A e px + A 2 e px = R o Oznaczając p R o = G o R o = ρ, ρ = R o G o [ Ω ] otrzymujemy (x) = B ρ e px B 2 ρ epx d dx [B e px + B 2 e px ] Stałe B B 2 wynkają z warunków rzegowych (na początku ln na jej końcu, czyl dla x = 0 oraz x = l). W szczególnośc dla ln zwartej (u(l) = 0 R a = 0): x = 0 B + B 2 = u(0) = E x = l B e pl + B 2 e pl = u(l) = 0 [ B ] = B 2 [ ] [ ] ε e pl e pl = 0 [ E e pl ] e pl e pl e pl 24

25 A zatem, prąd na początku ln zwartej (x = 0): (0) = ρ (B B 2 ) = E ρ e pl + e pl = E chpl e pl e pl ρ shpl Jak wdać, oporność wejścowa ln zwartej wynos R z = u(0) (0) = E (0) = ρthpl = Ro th ( R o G o l ) G o Podone, można pokazać, że oporność wejścowa ln neocążonej ((l) = 0 R o = ) wynos: R o = ρ thpl ( gdy l 0) W ogólnym przypadku (lna ocążona) stałe B B 2 spełnają warunk: u(0) = E B + B 2 = E u(l) = R o (l) B e pl + B 2 e +pl = R o ρ ( B e pl B 2 e pl) Po olczenu B B 2 otrzymujemy zależnośc u(x) oraz (x), a także oporność wejścową ln ocążonej. Prolem (praca kontrolna) /R 0, G 0 / (x) E u(x) j x = 0 x = l Rozkłady napęca u(x) oraz prądu (x) wzdłuż toru opsują take same równana, stałe B B 2 lczymy na podstawe warunków rzegowych: u(0) = B + B 2 = E (l) = B ρ e pl B 2 ρ epl = j Temat: Na podstawe rozkładów u(x), (x) zadać moc rozpraszaną w ln oraz moce oddawane przez źródła E j. 25

26 Przykłady analzy owodów rezystancyjnych ze źródłam sterowanym Do zoru newadomych należy zakwalfkować welkośc sterujące (prądy lu/ napęca). Układamy nezędne równana PPK NPK, a po ch rozwązanu lczymy pożądaną odpowedź owodu. Uwaga Ay rozwązane yło nezerowe, owód mus zawerać co najmnej jedno źródło nezależne. Przykład. a 2 u R u u 2 R 2 ϱ 3 j R 3 u 3 u 4 R R = R 2 = R 3 = 2Ω R 4 = 4Ω ρ, j dane ρ 6V/A Olczyć u PPK: 2 = j ; 4 = j 3 NPK: R R 2 (j ) + ρ 3 = 0 = R 2 j ρ 3 R +R 2 R 3 3 ρ 3 R 4 (j 3 ) = 0 3 = = 2 6ρ 24 4ρ j = 6 3ρ 2 2ρ j R 4 j R 3 +R 4 ρ = 4 6 ρ j 26

27 u = R + R 3 3 = ( 6 3ρ 6 ρ + ) 8 4 3ρ 6 ρ j = 6 ρ j = R a j R a = 3ρ 4 ρ 6 Jak wdać, R a < 0 dla ρ ( 4 3, 6) V/A. Przykład 2. a γu 4 = γr R u u 2 R 2 ϱ 3 e P R 3 u 3 u 4 R R = R 2 = R 3 = 2Ω R 4 = 4Ω e, ρ, γ dane NPK: R ρ 3 R 3 3 = 0 3 = R 4 R 3 ρ 4 R ρ 3 + R = e PPK (lans prądów pęku P): γr 4 4 = 0 Po prostych przekształcenach mamy: ( R 4 = 3 + ( γr 4 ) 4 = R 3 ρ + γr 4 4 ( R 4 + ρr 4 R 3 ρ + R ) R 4 R 3 ρ + R γr 4 R 4 = e ) 27

28 Jak wdać, parametr R 2 ne wpływa na wynk, 4 f (R 2 ) ( 4 + 4ρ 2 ρ + 8 ) 2 ρ + 2 8γ 4 = e = ( ) 20 2ρ 2 ρ 8γ 4 4 = 2 ρ 20 2ρ 8γ(2 ρ) e = = ( + R 4 R 3 ρ ) 4 = 6 ρ 2 ρ 4 Ostateczne, = 6 ρ 20 2ρ + 8γ(ρ 2) e; G a = 6 ρ 20 2ρ + 8γ(ρ 2) Praca kontrolna Owód, jak w przykładze 2., lecz zaslany prądem źródłowym j (zamast e). Olczyć R a porównać z wyznaczoną odwrotnoścą konduktancj G a. 28

29 Elementy geometr owodu Badane struktury geometrycznej owodu (grafu) wraz z jej opsem algeracznym umożlwa ustalene lczy jakośc nezależnych równań PPK NPK. Na wstępe, oprócz poznanych już konturu pęku wprowadzmy pojęca drzewa /D/ antydrzewa /A/, odnoszące sę zarazem do grafu owodu. Drzewem grafu G nazywamy maksymalny podgraf grafu, ne zawerający konturów. Antydrzewo jest dopełnenem drzewa, A = G D (D A = G). a c a 2 3 c a c 6 d d rys. rys. 2 rys. 3 {, 3} an {, 2} ne są drzewam, gdyż ne są to podgrafy maksymalne Twerdzene. Dowolne drzewo grafu G zawera wszystke węzły, a lcza jego konarów (gałęz drzewa) wynos: d = w, gdze w lcza węzłów grafu G. Odcnając kolejno konary skrajne otrzymujemy w końcu pojedynczą gałąź z dwoma węzłam. Poneważ przy każdym odcęcu lcza gałęz oraz lcza węzłów maleje o, zachodz: d = w 2 d = w, (c..d.u.) Tym samym, lcza strun (gałęz antydrzewa) wynos a = g d = g w +, g lcza gałęz grafu. Dowolna struna s µ antydrzewa wraz z nektórym (w szczególnośc z wszystkm) konaram drzewa tworzy jeden kontur, K µ {s µ D}, zwany konturem podstawowym. a K c a 4 2 P 2 3 c d d 6 6 rys. 4 rys. 5 29

30 I analogczne: Dowolny konar k ν drzewa wraz z nektórym (w szczególnośc z wszystkm strunam antydrzewa tworzy jeden pęk P ν {k ν A}, zwany pękem podstawowym. K 6 = {6,, 2, 5} = {6 D } K 4 = {4,, 2} {4 D } P 2 = {2, 3, 4, 6} = {2 A } P 3 = {3,, 2} {3 A 4 }, A 4 = {, 2, 6} Twerdzene 2. Dowolny kontur K ma co najmnej jedną gałąź wspólną z dowolnym antydrzewem A, K A. (W przecwnym raze K D = G A, wrew defncj drzewa.) I analogczne, Twerdzene 3. Dowolny pęk P ma co najmnej jedną gałąź wspólną z dowolnym drzewem D, P D. (W przecwnym raze P A = G D, co zaprzecza warunkow P ν {k ν A} A P ν.) Twerdzene 4. Dowolny kontur K dowolny pęk P mają parzystą lczę (w tym zero) gałęz wspólnych, n = 2m. (Uzasadnene według rysunków.) K 2 K K 3 3 P 4 G G 2 G P 4 G G 2 K P = {2, 3}; n = 2 K 2 P = ; n 2 = 0 K 3 P = {, 2, 3, 4}; n 3 = 4 Równana PPK dla pęków podstawowych (w lcze d = w ) stanową zór równań nezależnych (każde z nch zawera prąd konara k ν, który wyznacza pęk P n u ne występuje w pozostałych pękach). Równana NPK dla konturów podstawowych (w lcze a = g w + ) stanową zór równań nezależnych (w każdym z nch napęce struny), która wyznacza odpowedn kontur, K µ 30

31 Równana PPK NPK: g α νk k = 0; k= ν =, 2,..., d; g β µk u k = 0 k= µ =, 2,..., a można zapsać w postac macerzowej: A = 0; Bu = 0 2 =. g ; u = u u 2. u g ; dxg A ={α νk } ±ν 0 ; axg B ={β µk } ±ν 0 Jeśl konarom wyranego drzewa przyporządkujemy wskaźnk:, 2,..., d, zaś strunom antydrzewa wskaźnk: d +, d + 2,..., d + a = g, a ponadto przyjmemy orentację pęków (konturów) zgodną z orentacją konarów (strun), jak na rysunkach 5 4, to w macerzach A B wystąpą podmacerze jednostkowe, odpowedno: 0 α = , a =... 0 a oprócz nch podmacerze P/dxa/ Q/axd/. P reprezentuje oecność strun w pękach podstawowych, wyznaczonych przez odpowedne konary, Q oecność konarów w konturach podstawowych, wyznaczonych przez odpowedne struny. A = [ d P] konary struny B = [Q a ] konary struny K K 4 5 P P 5 2 K P 3 3

32 Drzewo zaznaczono lną gruą A = 0 0 = [ 3 P] macerz ncydencyjna pęków podstawowych B = = [Q s] 0 0 macerz ncydencyjna konturów podstawowych Jak łatwo zauważyć, Q = P t ( t transpozycja), co można wykazać dla dowolnego grafu. Tak węc, współczynnk w równanach NPK dla zoru konturów podstawowych można łatwo powązać ze współczynnkam równań PPK dla zoru pęków podstawowych ( na odwrót). Tym samym loczyn macerzy AB t jest macerzą zerową: [ ] Q AB t t = [ d P] = Q t + P = 0 /dxa/ () a Powyższa własność (AB t = 0 lu BA t = 0) dotyczy ne tylko macerzy ncydencyjnych pęków konturów podstawowych, lecz równeż macerzy dla dowolnego zoru pęków konturów, A = {a νk } ν=,2...,n ; B = { µk } µ=,2,...,m, k =, 2,..., g zorentowanych. Oznaczając AB t df = C = {C νµ }, zauważmy że C νµ jest loczynem skalarnym wektorów werszowych A nu oraz B µ, których składowym są odpowedno elementy a νk oraz µk, k =, 2,..., g (transpozycja macerzy B). Jak wadomo, gałęze wspólne pęku P ν oraz konturu K µ tworzą m par, m = 0,, 2,... Łatwo zauważyć, że zgodnośc orentacj każdej pary gałęz z orentacją pęku towarzyszy nezgodność orentacj tej pary z orentacją konturu ( na odwrót), czyl: a νk µk + a νk2 µk2 = (±)(±) + (±)(±) = 0, gdze parę tworzą gałęze k k 2. Przykładowo dla pęku P df = P konturu K 3, które przedstawa rys. 7, zachodz: c 3 = g a k 3k = [(+)(+) + (+)( )] + [( )( ) + (+)( )] = ( ) + ( ) = 0 }{{}}{{} para,2 para 3,4 k= 32

33 Dwe metody analzy owodu motywacja ) Ze względu na podzał macerzy A B na dwe podmacerze, odpowadające konarom ( d Q) oraz strunom (P a ) musmy wyodręnć zór prądów konarowych (wektor D ) oraz prądów strunowych (wektor A ). Analogczne zór napęć konarowych (wektor u D ) strunowych (wektor u A ). W zwązku z tym, prawa Krchhoffa przyjmują postać: [ ] D PPK: A = [ d P] = 0 (2) [ A ] ud NPK: Bu = [Q a ] = 0 (3) u A Po rozwnęcu (2) (3) wdać, że prądy konarowe (napęca strunowe) są komnacjam lnowym prądów strunowych (napęć konarowych): D = P A = Q t A u A = Qu D = P t u D (4) (5) Tym samym, rozwązane owodu sprowadza sę do olczena prądów strunowych (jeśl jako newadome przyjmemy prądy gałęzowe) lu napęć konarowych (jeśl jako newadome przyjmemy napęca gałęzowe). W wynku elmnacj D pozostaje do rozwązana układ a = g w + równań w metodze prądów strunowych, w wynku elmnacj u A układ d = w równań w metodze napęć konarowych. Oczywste jest, że w oydwu metodach wykorzystujemy zarówno równana NPK jak PPK, a ponadto zależnośc napęcowo-prądowe w metodze prądów strunowych lu prądowo-napęcowe w metodze napęć konarowych. 2) Równana PPK NPK oraz własność () skutkują odpowedno wnoskam: = B t A /g / /g a/; /a / (6) u = A t u D /g / /g d/; /d / (7) które można uznać za alternatywne formy PPK NPK. 3) Przyjmujemy, że dowolna gałąź owodu (wskaźnk k =, 2,..., g) oprócz elementu R k (G k ) może zawerać źródło napęca e k oraz źródło prądu j k rysunek. Zakładamy przecwne orentacje prądu gałęzowego k oraz napęca gałęzowego u k, a także typowe orentacje e k j k. Te ostatne można uznać za odpowadające rzeczywstośc, jeśl doerzemy właścwy znak napęca lu/ prądu źródłowego. 33

34 u k k k R k (G k ) j k e k u k Oznaczena pomocncze: e k = e k R k j k j k = j k G k e k u k ( k ) : u k = u k e k = R k k e k = R k ( k + j k ) e k = R k k (e k R k j k ) u k = R k k e k k (u k ) : k = k j k = G k u k j k = G k (u k + e k ) j k = G k u k (j k G k e k ) k = G k u k j k W postac macerzowej: u = R e, gdze e = e Rj = Gu j, gdze j = j Ge (8) (9) R = dag{r, R 2,..., R g }; G = dag{g, G 2,..., G g } e = [e, e 2,..., e g ] t ; j = [j, j 2,..., j g ] t 4) Uwzględnając kolejno (3), (8) (6) otrzymujemy: Bu = B(R e) = BRB t A Be = 0 czyl R p A = e p metoda prądów strun. (0) gdze: R p = BRB t () e p = B(e Rj) (2) 5) Uwzględnając kolejno (2), (9) (7), otrzymujemy A = A(Gu j) = AGA t u D Aj = 0 34

35 czyl G p u D = j p metoda napęć konarowych (3) gdze: G p = AGA t (4) j p = Aj = A(j Ge) (5) R p macerz rezystancyjna konturów podstawowych G p macerz konduktancyjna pęków podstawowych e p zmodyfkowany wektor napęć źródłowych w konturach podstawowych j p zmodyfkowany wektor prądów źródłowych w pękach podstawowych 35

36 Dyskusja ) W metodze prądów strunowych (0): R k <, węc ne dopuszcza sę rozwarca. Tym samym, źródła prądu j k ne można uznać za gałąź. Ne stnałay wówczas zależność napęcowo-prądowa u k ( k ), czyl u k ( j k ). Dopuszczalny jest element R k jako gałąź (e k = 0, j k = 0, u k = R k k ), a w szczególnośc zwarce (R k = 0, e k = 0, j k = 0), a także element e k (R k = 0, j k = 0). 2) W metodze napęć konarowych (3): G k <, a węc ne dopuszcza sę zwarca. Tym samym, źródła napęca e k ne można uznać za gałąź. Ne stnałay wówczas zależność prądowo-napęcowa k (u k ), czyl k ( e k ). Dopuszczalny jest element G k (gdy e k = 0 j k = 0), a w szczególnośc rozwarce (G k = 0), jak równeż element j k (gdy G k = 0, e k = 0). 3) Macerze R p G p są symetryczne: R p t = (BRB t ) t = (B t ) t R t B t = BRB t = R p (R G jako macerze dagonalne są oczywśce symetryczne). 4) Wyrażena R k j k oraz G k e k oznaczają równoważne źródła napęca prądu: R k k j k R k e k k u k uk G k G k e k k j k k uk u k k (u k ) jednakowe, u k ( k ) jednakowe. 5) Składowe wektorów Be oraz Aj stanową sumy algeraczne napęć źródłowych w odpowednch konturach podstawowych oraz prądów źródłowych w odpowednch pękach podstawowych. Można sę przekonać, że ze znakam plus wystąpą te napęca źródłowe (prądy źródłowe), których orentacje są zgodne z orentacją konturu (pęku). Orentacje konturu (pęku) dentyfkujemy z orentacją odpowednego prądu strunowego (napęca konarowego). 36

37 Powyższe dotyczy zarazem równoważnych źródeł napęca równoważnych źródeł prądu. Znak mnus na odwrót. 7) Analogczne algorytmy można sformułować dla elementów macerzy G p (kontury zastępujemy pękam, struny konaram na odwrót). G p = {g j },j=,2,...,d ; g j = A G(A j ) t = g a k a jk G k k= Gałęzam wspólnym pęków P P j są te struny, które należą do oydwu pęków podstawowych, lu (co jest równoważne) wyznaczają kontury, do których należą konary pęków P P j. Ustalając znak elementów G j wygodnej jest rozważyć orentacje konarów w tych konturach, nż adać orentacje pęków. Znak plus kładzemy, gdy orentacje konarów są zgodne, mnus gdy są nezgodne. s 2 s 3 P n k s 4 k n s P k j P j g j = g j = (G s2 + G s3 + G s ) g jj = G j + G s2 + G s3 + G s4 + G s g jn = g nj = +(G s2 + G s3 + G s4 ) 37

38 Przykład. R R 3 e j e 2 j 4 R 4 R 5 R u 5 u 6 R 7 7 K 6 K K 7 7 Tylko jedna gałąź owodu zawera komplet elementów: {R, e, j }. Przyjmujemy parametry: R = R 3 = R 4 = 3Ω, R 5 = R 6 = R 7 = 6Ω, e = 4V, e 2 = 6V, j = j 4 = 2A w myśl algorytmu (0) (2) układamy wprost równana owodu, opsujące wektor prądów strunowych A = [ 5, 6, 7 ] t : R 5 + R 0 R 0 R 6 + R 3 + R 4 R 3 + R 4 R R 3 + R 4 R 7 + R + R 3 + R e 2 e + R j = e 2 + R 4 j 4 e R j + R 4 j 4 cr = 0 4 lu po uproszczenu 38

39 = 4 3 0, = det R p = 44 Dopełnena algeraczne: = 6, 2 = 2 = 2, 3 = 3 = 4, 22 = 4, 23 = 32 = 6, 33 = 2. Wektor prądów strunowych: A = R p e p = = Ay sprawdzć otrzymane rezultaty zastosujemy metodę napęć konarowych w wersj skróconej. Na wstępe, gałąź {R, e, j } redukujemy do pary elementów: G = R = 3 s, j = j G e = 2 3 A. Dwukońcówkowy zór elementów (dwójnk) {R 3, R 4, j 4 } zastępujemy równoważną gałęzą {R 3 + R 4, R 4 j 4 } = {6Ω, 6V}. Ay unknąć wprowadzana dodatkowej newadomej e2 pomjamy pęk wyznaczony przez konar e 2 układamy tylko dwa nezędne równana PPK dla pęków podstawowych, jak na rysunku. 2 3 A 6V e 2 P s 6 s 3 s 6 v v s 6 P s

40 P : 3 v + 6 (v v 2 ) + 6 (v e 2 ) = 2 3 P : 6 (v 2 v ) + 6 (v 2 6) + 6 (v 2 e 2 ) = 0 e 2 = 6V 2 3 v 6 v 2 = = 5/3 6 6 v + 2 v 2 = 2 [ v ] [ ] 4 = v 2 3 [ ] 0 = 2 [ ] = [ 42 ] 58 5 = 6 (v e 2 ) = 6 6 = 6 (v 2 e 2 ) = 6 7 = 6 (v 2 v ) = = 2 33 = 4 33 = 8 33 (jak wyżej) 40

41 Przykład 2. j e 3 P 2 u 3 R R 3 j 2 P 4 u 2 u R 4 R 5 P 3 R 6 6 Zgodne z algorytmem metody napęć konarowych (3) (5) możemy zapsać od razu uporządkowany układ równań z newadomym u 2, u 3, u 4 składowym wektora u D : G + G 5 + G 6 G 5 + G 6 (G + G 6 ) G 5 + G 6 G 3 + G 5 + G 6 G 6 (G + G 6 ) G 6 G 4 + G + G 6 u 2 u 3 u 4 j 2 j = G 3 e 3 j Zakładając parametry: R = 3Ω, R 3 = 4Ω, R 4 = R 5 = R 6 = 6Ω, j = A, j 2 = 2A, e 3 = 8V mamy: = u 2 u 3 u = 2 32 u 2 u 3 u 4 = u 2 u 3 u 4 = = =

42 Uwaga Zastępując symetryczny trójkąt {R 4, R 5, R 6 } = {6, 6, 6} Ω równoważną gwazdą {R λ, R λ, R λ }, gdze R λ = 3 R = 2Ω, otrzymujemy prostszy owód: 3V u 2 2A 8V v 5Ω 2Ω 6Ω Dla jedynej newadomej v: 5 (v 3) + (v 8) + 2 = v = = 2 30 v = 2 Zastosowana transfguracja zachowuje wartość prądów e, e3, a także napęce źródła prądu (u 2 ). u 2 = R λ j 2 v = 2j 2 v = = 46 [ ] V (jak wyżej) Prądy w gałęzach trójkąta (owód orygnalny) 5, 6, 4 wynkają z olczonych już napęć u 2, u 3, u 4 : 4 = G 4 u 4 = 6 58 = 29 [ ] A 33 5 = G 5 (u 3 + u 2 ) = 2(4 + 23) 6 6 = G 6 (u 4 u 2 u 3 ) = 6 = 37 [ ] A 33 2( ) = 8 [ ] A 33 42

43 Na konec, zostane zlustrowana skrócona metoda prądów strunowych 2 równana (dla konturów K K 6 ); 2 = j 2 = 2 A. K : 3 + 4( 2) + 6( 6 2) + 6( 6 ) = 3 8 K 6 : ( 6 ) + 6( 6 + 2) = 0 / : = = 2 [ ] = 6 [ ] [ 5 2 ] = 33 [ ] 3 2 = [ ] Ω 4Ω 3V K 8V u 4 j 2 4 6Ω K 6 6Ω 6Ω 6 = 33 Ponadto: 4 = 6 = = u 4 = 6 4 = 58 (jak wyżej) 43

44 Twerdzene o źródle zastępczym (Thévenna Nortona) Jak już wspomnano (przykład, str. 3?) dwójnkow (aktywnemu), który zawera elementy R źródła nezależne, można przyporządkować równoważną gałąź 2-elementową (e, R), przy czym pojęce równoważnośc należy rozumeć jako dentyczność zależnośc u() lu (u) dwójnka gałęz. W konkretnych, prostych przypadkach zadane zależnośc u() lu (u) ne przysparza trudnośc. Dla dowolnego, rezystancyjnego dwójnka aktywnego zachodz, przy zgodnej orentacj napęca prądu: u = const [ V ] const2 [ Ω ] = c c 2. Jak wdać, c = u =0 = u o, c 2 = u c =0 = R a (a, końcówk dwójnka). Napęce dwójnka w stane ezprądowym (zwane napęcem jałowym) u 0 jest komnacją lnową napęć prądów źródłowych dwójnka, a węc jest to welkość o charakterze źródłowym, u o = e. Jeśl wszystke źródła nezależne zostaną upasywnone (zwarca zamast źródeł napęca rozwarca w mejsce źródeł prądu), wówczas u o = 0 gałąź równoważna zawera tylko element R = R a. Przykłady R a a j 2 e 3 u R = R a u R 2 R 3 e 2 e = u 0 Dwójnk aktywny: u = R R 3 ( + j 2 ) + e 3 + e 2 = (R + R 3 ) + (e 3 + e 2 R 3 j 2 ) Gałąź: u = e R a e = u o = e 3 + e 2 R 3 j 2 ; R a = R + R 3 44

45 Zrozumałe jest, że R 2 ne ma wpływu na R a, an na u o. e R R 2 e 2 2 j 2 G 3 a j 3 u j = z G a a u () u = e 2 e R R 2 ( + j 2 ) = e 2 e R + R 2 (2) = G 3 u + j 3 ( (u) = j 3 + e ) ( ) 2 e R 2 j 2 G 3 + u R + R 2 R + R 2 R + R 2 }{{}}{{} j= 2 G a R 2 R + R 2 j 2 = z G a u R + R 2 u Jak wdać, zależność (u) dwójnka ma analogczną postać: = const [ A ] const2 [ S ] u = u=0 G a u = z G a u, z prąd zwarca G a = R a = u z = 0 (napęca prądy źródłowe, upasywnone) Porównując oydwe zależnośc, /j, G/ : u = G a ( z ) = R a z R a = u o R a /e, R/ : u o = R a z u = u o R a 45

46 Ilustrację grafczną zależnośc u() zarazem (u) dwójnka aktywnego w przypadku zgodnych orentacj u oraz przedstawa rysunek: u u 0 α β z u = u o R a ; tg α = mr a ( = z G a u) ; tg β = ng a Reasumując, twerdzene o źródle zastępczym można sformułować następująco: Dowolny, rezystancyjny dwójnk aktywny (końcówk a, ), dla którego stneje zależność u() (zależność (u)) jest równoważny: gałęz 2-elementowej /e, R/, gdze e = u o = u =0, R = Ra rezystancja dwójnka po upasywnenu źródeł (tw. Thévenna). gałęz 2-elementowej /j, G/, gdze j = z = u=0, G = G a = /R a konduktancja dwójnka po upasywnenu źródeł (tw. Nortona). Zastosowane W owodze można wyodręnć dowolną gałąź G k (końcówk a, ) potraktować owód jako jej połączene z (dwukońcówkową) resztą owodu dwójnkem D k. Dwójnkow D k można przyporządkować równoważną gałąź (2-elementową) /e, R/ lu /j, G/; e = u o, j = z. Otrzymujemy uproszczony owód {/e, R/ G k } lu /j, G/ G k }, zawerający tylko dwe gałęze, który łatwo rozwązać (olczyć prąd k lu/ napęce u k ). a k D k u k G k owód aktywny 46

47 a k e a k R u k G k j G u k G k Uwaga Nc ne sto na przeszkodze, y twerdzene zastosować dwukrotne: dla dwójnka D k oraz gałęz G k. Przykład R = 4Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 8Ω, R 4 = 2Ω, R 5 = 6Ω, j = 3A, e 2 = 2A: a 3 u 3 a R 3 R 4 R 3 R 4 R 5 e 2 u 0 R R 2 j R R 2 u j Po odcęcu gałęz G = {R 5, e 2 } lczymy u o oraz R a (j rozwarce) u o R 3 + R 4 R + R 2 = u u 3 = R R 3 3 = R j R 3 j = R + R 2 + R 3 + R 4 R + R 2 + R 3 + R 4 ( = ) j = 8 = 24 8 j = 4 3 j = 4 [ V ] R a = (R + R 3 )(R 2 + R 4 ) R + R 3 + R 2 + R 4 = = 4Ω 47

48 Owód uproszczony (Thévenn) a R = R a e 2 e = u 0 R 5 = e e 2 R a + R 5 = uo e 2 R a + R 5 = =, 6A Dla sprawdzena wynku posłużymy sę tradycyjną metodą prądów strunowych. D = {R, R 2, R 3 }; A = {j, /e 2, R 5 /, R 4 } a 4 4 R 4 j j { R5 + R 3 ( + 4 ) + R ( + 4 j ) = e 2 R R 2 ( 4 j ) + R ( 4 + j ) + R 3 ( 4 + ) = 0 Po podstawenu parametrów: [ ] [ ] [ ] = : [ ] [ ] 3 2 [ ] 0 = = [ ] [ ] = 8 5 =, 6A (jak wyżej) 48

49 Zastosowane twerdzena Nortona sprowadza sę do olczena prądu zwarca z oraz konduktancj G a dwójnka, którego źródła zostały upasywnone. Owód uproszczony zawera równeż dwe gałęze: gałąź równoważną dwójnkow D k, /j, G a /, j = z oraz gałąź G k. a k z D k G k Przykładowo, dla rozpatrywanego owodu, olczene prądu zwarca jest jeszcze łatwejsze, nż napęca jałowego. a a R 3 R 4 e 2 z R R 2 2 j R a /G a / R 5 j ( z R 4 R 3 2 = 2 = j j = 3 R 2 + R 4 R + R ) = 2 = A = j 2 G a = = R a 4 S metoda superpozycj: = j (j) + (e2) R a e 2 = j = 4 R a + R 5 R a + R =, 6A (jak wyżej) Jak wdzmy zastosowane twerdzena Thévenna lu Nortona daje efektywne analzy owodu. 49

50 Inne zastosowane twerdzeń Bardzo naturalnym jest wykorzystane twerdzena o źródle zastępczym (w oydwu wersjach) w owodze, który zawera pojedynczy element jakoścowo nny, nż pozostałe (konserwatywny, nelnowy, nestacjonarny). Element ten można wyodręnć (gałąź G k ), natomast pozostałym elementom (dwójnk D k ) przyporządkować gałąź równoważną /e, R a / lu /j, G a / jak na rysunku. a u L u a a = f (u) e = u 0 j = z G a u R R = R a G L d dt + R a = u o ; f (u) + G a u = z Odkładając na późnej analzę owodu z pojedynczym elementem konserwatywnym, rozważymy przypadek elementu nelnowego, o charakterystyce: = f (u); f funkcja jednoznaczna, na przykład: = { 0 dla u 0 γu 2 dla u > 0 W myśl PPK zachodz: + 6 = j = z γu 2 + G a u z = 0 u = ( ) G a ) + G 2a 2γ + 4γz > 0 Druge rozwązane, u 2 = 2γ ( G a ) < 0 należy odrzucć. 50

51 Ilustracja grafczna rozwązana: G + G + G z u u Badając odpowedź (prąd napęce) elementu nelnowego o charakterystyce (u) = A( e αu ), A > 0, α > 0 posłużymy sę na odmanę twerdzenem Thévenna metodą grafczną. Wprawdze dana zależność (u) można przekształcć do postac: u() = α ln A A, ale zastosowane metody grafcznej tego ne wymaga. Wystarczy znterpretować wykres zależnośc (u) jako wykres u(). Zachodz: R a + u() = u o f () = u o R = u() Rozwązane stanową współrzędne /U, I/ punktu przecęca prostej f () oraz charakterystyk u(). z u() I f () U u 0 u 5

52 Addytywność mocy (twerdzena Tallegena) Suma mocy poeranych (lu oddawanych) przez wszystke gałęze owodu równa sę zero: g u k k = u T = (B T u D ) T A T A = u T D BAT A = 0 k= Odnosząc sę do schematu dowolnej, k-tej gałęz, mamy: u k k = u k ( k j k) = u k k P j n odd = (u k e k) k P j k odd = P Rk po P ek odd P jn odd g u k k = 0 = k= g P Rk g P ek g P jk g k= P po R k = g k= P odd e k + g k= P odd j k Przykład R u u u 2 R 2 j e 2 = 2 = u 2 = u 2 = u P R + P R2 = u + u 2 2 = (u + e ) + u 2 2 = e + u ( 2 + j ) +u 2 2 = }{{} = e u 2 2 u 2 j + u 2 2 = e + u j = P e + P j (c..d.o) 52

53 Twerdzene o wzajemnośc (odwracalnośc) a) Rozpatrujemy parę owodów rezystancyjnych, każdy z jednym źródłem napęca. Gałąź (lu gałąź 2 ) ze źródłem napęca e oraz gałąź 2 (lu gałąź ) z adanym prądem 2 (prądem ) traktujemy jako wyodręnone z owodu e 3 3 e 2 2 a a 2 owód 2 owód 2 2 Zawsze możlwy jest tak wyór drzewa D, ay gałęze, 2 yły strunam antydrzewa A = G D. Odpowedź owodu 2, adana metodą prądów strunowych: R p e 0 2. = 0.. a 0 A = R P e P, = e, = det R P, 2 = 2e Analogczne, odpowedź owodu 2: A = R P 0 e 0,.. = 2e = 2, o 2= 2 0 Tak węc, symetra macerzy R P, dentycznej dla oydwu owodów skutkuje równoścą prądów oraz 2. 53

54 Warto zastosować przekształcene macerzy R P /a a/ w macerz r = [ ] r r 2 ; r r 2 r 2 = r 2, 22 która wąże ezpośredno prądy, 2 z napęcem źródłowym e (owód 2): [ ] [ ] [ ] r r 2 e = r r 2 A = [ α β ], α = 3 ] 4, β = 2., [ podone wektor napęć źródłowych: e 0 [ ] eα e P = = oraz macerz R P na cztery odpowedne lok macerzowe: R P = a [ ] rα r αβ, otrzymujemy r βα r β [ ] [ ] [ rα r αβ α eα = R βα r β β 0 ], r βα = r T αβ Po elmnacj β (druge równane): β = r β r βα α podstawenu do perwszego, otrzymujemy ( ) [ ] [ ] [ ] rα r αβ r e β rt αβ = = r Poszukwana macerz r /2 2/ jest symetryczna, co łatwo sprawdzć, lcząc t T = r T α r αβ (r β )T r T αβ = r. Korzyść wynkająca z redukcj stopna (drug zamast a-tego) jest oczywsta. Ay skonstruować r należy jednak odwrócć macerz r β /(a 2) (a 2)/. 54

55 Rezystancja zastępcza dwójnka Opsaną metodą redukcj stopna macerzy można wykorzystać równeż do olczena rezystancj zastępczej dwójnka o złożonej strukturze (owód 2). Należy wyodręnć element R macerzy R P potraktować go jako macerz jednoelementową, r α = [R ]. Wówczas α = [ ] =, a r β ma wymary /a / /a /. Tak węc, rezystancja zastępcza dwójnka z końcówkam /, / wynos: R = R r β r β r β T, r β wersz m. R P ez R : r β = [R 2, R 3,..., R a ] Alternatywne, rezystancja (konduktancja) zastępcza wynka wprost z zależnośc (e), zawartej w równanu metody prądów strunowych: R = e (e) = e e =, gdze G = = det T P dopełnene algeraczne elementu /, /. Z konecznoścą olczena wyznacznka stopna a wąże sę wększa ucążlwość tej metody w porównanu z procedurą redukcj stopna macerzy R P. Sformułowana dualne Zarówno stwerdzene o wzajemnośc, jak technk olczana konduktancj (rezystancj) zastępczej mają swoje analogczne (dualne) odpowednk, które operają sę na metodze napęć konarowych. 2 2 u 3 u 3 j u 4 u u 2 u 4 u u 2 j u d u d 2 owód 2 owód

56 [ ] [ ] [ ] g g 2 u j = g 22 u 2 0 g 2 u = u 2 [ ] [ g g 2 u ] [ ] 0 = g 2 g 22 j u 2 g = g α g αβ g β gt αβ = gt dwójnk: [ ] [ ] u j g = u 2 0 G = R = j u (j) = j j =, = det G P lu: (G g β g β gt β )u = j G = G g β g β gt β Przykłady 5 2 R 5 R e R 3 R 2 2 R R 4 56

57 K = {, 3, 4, e}, K 2 = {R 2 }, K 5 = {R 5, R 2, R 3, R }, K 6 = {R 6, R 4, R 3 } R + R 3 + R 4 0 (R + R 3 ) (R 3 + R 4 ) 0 R 2 R 2 0 (R + R 3 ) R 2 R 5 + R 2 + R 3 + R R 3 (R 3 + R 4 ) 0 R 3 R 6 + R 3 + R 4 Przyjmujemy R k = k [ Ω ] e = [ ] 8 0 r = r α r αβ r β rt αβ = 0 2 = 34 [ ] 8 0 [ [ ] [ ] [ ] e = ; det r β = 34 r β = 34 [ ] [ ] [ ] = [ ] e = [ 3 ] ] = dwójnk /, / ze zwartym końcówkam 2, 2 [ ] R r αβ r T = αβ r β 4 2 3, r β = = r αβ r β r T αβ = [ ] r β 4 = = R = R r αβ r β r T αβ = = Praca kontrolna = 3, 48Ω Zastępując źródło napęca e przez źródło prądu j stosując metodę napęć konarowych, olczyć napęce źródła u j, a następne rezystancje dwójnka /, /, przy zwartych końcówkach