9. METODY SIECIOWE (ALGORYTMICZNE) ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH

Transkrypt

1 OBWOD SGNAŁ 9. METOD SECOWE (ALGORTMCZNE) ANALZ OBWODÓW LNOWCH 9.. WPROWADZENE ANALZA OBWODÓW Jeżeli przy badaniu obwodu elektrycznego dane są parametry elementów i schemat obwodu, a poszukiwane są napięcia i prądy w różnych częściach obwodu, to takie zagadnienie jest przedmiotem analizy obwodów. ELEMENT TEOR GRAFÓW Grafem sieci (strukturą topologiczną obwodu) nazywamy zbiór punktów reprezentujący węzły obwodu i zbiór linii ciągłych obrazujących gałęzie obwodu. Drzewem grafu nazywamy podgraf danego grafu złożony z minimalnej liczby dowolnie wybranych gałęzi grafu łączących wszystkie węzły. a b d Sieć elektryczna c gałęzie dopełniające a drzewo grafu b d Graf sieci c Gałęzie grafu tworzące drzewo grafu nazywamy konarami (gałęziami drzewa). Pozostałe gałęzie grafu nazywamy gałęziami dopełniającymi (łączącymi, zamykającymi, cięciwami, strunami). Każdy graf składający się z w węzłów i g gałęzi zawiera: g d konarów gdzie: g d w g Z gałęzi dopełniających gdzie: g Z g g d g w mszulim@wat.edu.pl /7

2 OBWOD SGNAŁ Mówimy, że gałąź jest incydentna z węzłem, jeżeli węzeł jest jednym z punktów końcowych gałęzi. Dla dowolnej sieci można podać graf, w którym zachowana zostaje wyłącznie struktura geometryczna sieci (każdej gałęzi grafu przypisuje się numer lub symbol identyfikujący ją z gałęzią sieci). Tak otrzymany graf jest grafem niezorientowanym. Jeśli każdej gałęzi przypiszemy dodatkowo orientację orientacja gałęzi jest wybierana dowolnie i odpowiada dodatniej polaryzacji napięcia gałęziowego lub kierunkowi przepływu prądu to otrzymujemy graf zorientowany (skierowany). b b a c a c 6 d 6 d Graf niezorientowany Graf zorientowany Z każdą gałęzią związana jest para (u, i) napięcia i prądu, zatem dla g gałęzi liczba zmiennych sieci g Ponieważ dla każdej pary (u, i) istnieją proste związki pozwalające na określenie jednej wielkości przy znajomości drugiej, to liczba poszukiwanych zmiennych sieci g mszulim@wat.edu.pl /7

3 OBWOD SGNAŁ Dysponując układem g równań, wiążących prądy gałęziowe lub wiążących napięcia gałęziowe możemy dokonać analizy sieci. Pytanie: Czy wszystkie równania są niezależne? Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci g prądów gałęziowych Wszystkie prądy dzielimy na dwie grupy: prądy w konarach (gałęziach drzewa) i prądy w gałęziach dopełniających. suwając z grafu gałęzie dopełniające powodujemy rozwarcie wszystkich oczek w rezultacie uniemożliwiony zostaje przepływ prądu w sieci. Prądy we wszystkich gałęziach stają się równe zeru. A zatem sprowadzenie do zera prądów w gałęziach dopełniających powoduje zerowanie wszystkich pozostałych prądów. Stąd wniosek, że prądy gałęzi drzewa są funkcjami (są zależne od) prądów gałęzi dopełniających. Czyli:. liczba niezależnych prądów gałęziowych określona jest liczbą gałęzi dopełniających g Z,. liczba gałęzi dopełniających określa liczbę oczek niezależnych n g Z g w n (9.) Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci g napięć gałęziowych Przez wybór drzewa dokonuje się podziału na napięcia na konarach (gałęziach drzewa) i gałęziach dopełniających. Ponieważ konary łączą parami wszystkie węzły, to gdy napięcia na konarach będą zerami, to potencjały wszystkich węzłów staną się jednakowe i równe zeru A zatem sprowadzenie do zera napięć na gałęziach drzewa, zeruje wszystkie napięcia gałęziowe. Stąd wniosek, że napięcia na gałęziach dopełniających są funkcjami (są zależne od) napięć na gałęziach drzewa. Czyli:. liczba niezależnych napięć gałęziowych określona jest liczbą konarów (gałęzi drzewa) g d,. liczba konarów określa liczbę węzłów niezależnych m g d w m (9.) mszulim@wat.edu.pl /7

4 OBWOD SGNAŁ METODA PRAW KRCHHOFFA (KLASCZNA) Niech dane będą napięcia źródłowe i rezystancje, poszukujemy natomiast prądów. R R Dane : V, 6 6V R R R R 6 Ω; R R Ω. R R R 6 R 6 Należy:. ustalić liczbę gałęzi i węzłów; liczba gałęzi g 6, liczba węzłów w b. nanieść prądy w gałęziach (przyjmując ich zwroty zupełnie dowolnie); R R R. wyeliminować dowolnie jeden z węzłów obwodu (np. węzeł d) a dla pozostałych ułożyć równania na podstawie PPK: a R 6 6 d R 6 R c - dla węzła a : 6 - dla węzła b : - dla węzła c : 6 mszulim@wat.edu.pl /7

5 OBWOD SGNAŁ. określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie; n g-w 6- R R R. dokonać wyboru oczek niezależnych i zaznaczyć dodatni zwrot ich obiegu (kierunek sumowania); R R 6. dla wybranych oczek ułożyć równania na podstawie NPK: 6 6 R 6 dla oczka: R R R R R R dla oczka: R R R R R R mszulim@wat.edu.pl /7

6 OBWOD SGNAŁ dla oczka: R R 6 6 R 6 6 R R R rozwiązując układ równań wyznaczyć poszukiwane wielkości dla węzła a : 6 dla węzła b : dla węzła c : 6 dla oczka : dla oczka : dla oczka : mszulim@wat.edu.pl 6 /7

7 OBWOD SGNAŁ 9.. METODA PRĄDÓW OCZKOWCH (OCZKOWA) Metoda ta należy do grupy metod algorytmicznych, tzn. poddaje się pewnemu przepisowi postępowania. W metodzie oczkowej poszukujemy prądów gałęziowych. Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmonicznego metodą oczkową jest następujący, należy: ) zamienić wszystkie rzeczywiste źródła prądu występujące w obwodzie na równoważne źródła napięcia; ) określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie: np-q {p-gałęzie, q-węzły}; ) dokonać wyboru i oznaczenia oczek niezależnych; ) ustalić zwroty prądów oczkowych; ) dla każdego oczka niezależnego ułożyć równanie bilansu napięć; gdzie: Z Z k l l k Z k Z l l k k k n Z k l l ' l E k k - impedancja własna oczka k, równa sumie impedancji wszystkich gałęzi występujących wzdłuż oczka k; - impedancja wzajemna, równa impedancji gałęzi l k k l wspólnej dla oczek k i l, wzięta ze znakiem minus jeżeli prądy oczkowe w tej gałęzi mają zwroty przeciwne; k k l ' - prąd oczkowy w oczku l; E - napięcie źródłowe w postaci symbolicznej, oczka k określone sumą algebraiczną wszystkich symbolicznych napięć źródłowych w gałęziach należących do oczka k; napięcie źródłowe gałęziowe przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego napięcia źródłowego jest zgodny ze zwrotem prądu oczkowego, natomiast ze znakiem minus, jeżeli zwrot napięcia źródłowego i zwrot prądu oczkowego są przeciwne. 6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową; 7) ustalić zwroty prądów gałęziowych a następnie obliczyć ich wartości. mszulim@wat.edu.pl 7 /7

8 OBWOD SGNAŁ PRZKŁAD 9. Procedurę postępowania w metodzie oczkowej (dla obwodu prądu sinusoidalnego) zilustrujemy dla przykładowej sieci. Z Z Z ) zamienić wszystkie rzeczywiste źródła prądu występujące w obwodzie na równoważne źródła napięcia; Z Z nie dotyczy 6 Z 6 ) określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie; z zależności (9.): n g-w 6- {g-gałęzie, w-węzły}; ) dokonać wyboru i oznaczenia oczek niezależnych; ) ustalić zwroty prądów oczkowych; Przyjmujemy w wybranych oczkach istnienie umownych prądów oczkowych o dowolnych zwrotach. ) dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć (NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe; mszulim@wat.edu.pl 8 /7

9 OBWOD SGNAŁ Z Z Z Z Z 6 Z 6 Dla oczka: ( Z Z Z ) Z Z Dla oczka: Z ( Z Z Z ) Z Dla oczka: Z Z ( Z Z 6 Z ) 6 6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową; Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy napisać: Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 6 Z 6 Ogólnie, postać macierzy jest następująca: Z X (9.) Macierz impedancji oczkowych Z jest macierzą kwadratową, symetryczną i nieosobliwą (det ). mszulim@wat.edu.pl 9 /7

10 OBWOD SGNAŁ Z kk (def.) impedancja własna oczka k jest to suma impedancji występujących w danym oczku (ze znakiem plus). Z kk Z kl (def.) impedancja wzajemna, równa sumie impedancji występujących gałęzi wspólnej dla oczek k i l, wzięta ze znakiem minus jeżeli prądy oczkowe w tej gałęzi mają zwroty przeciwne; > Z kl Z lk Macierz X jest macierzą kolumnową prądów oczkowych. Macierz jest macierzą kolumnową napięć źródłowych w kolejnych oczkach, napięcie źródłowe oczka k określone jest sumą algebraiczną wszystkich symbolicznych napięć źródłowych w gałęziach należących do oczka k ; napięcie źródłowe gałęziowe przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego napięcia źródłowego jest zgodny ze zwrotem prądu oczkowego, natomiast ze znakiem minus, jeżeli zwrot napięcia źródłowego i zwrot prądu oczkowego są przeciwne. Rozwiązanie układu równań: Mnożymy lewostronnie równanie 9. przez macierz odwrotną Z - ponieważ Z - Z, otrzymujemy ostatecznie znajdując tym samym prądy oczkowe. Z - Z - Z X (9.) X Z - (9.) mszulim@wat.edu.pl /7

11 OBWOD SGNAŁ 7) ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości. Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym DOPERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów gałęziowych. Sposób Prądy w gałęziach zewnętrznych oczek określone są przez prądy oczkowe (obwodowe) tych oczek z odpowiednim znakiem. W naszym przykładzie Prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch lub więcej oczek są sumą algebraiczną prądów tych oczek, czyli: Sposób Prądy gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą incydencji prądowej. Macierz prądów gałęziowych g wyznaczamy w oparciu o macierz prądów oczkowych X korzystając z macierzy łączącej prądowej α : g α X (9.6) mszulim@wat.edu.pl /7

12 OBWOD SGNAŁ Elementy macierzy łączącej prądowej α przyjmują wartość, - lub α gk jeśli gałąź g jest incydentna z oczkiem k (tzn. należy do oczka k ) oraz zgodnie z nim skierowana - j.w., lecz skierowana przeciwnie jeśli gałąź g nie jest incydentna z oczkiem k W naszym przykładzie α numer oczka 6 6 numer gałęzi 6 mszulim@wat.edu.pl /7

13 OBWOD SGNAŁ PRZKŁAD 9. Obliczyć wartości prądów w gałęziach obwodu dane: E jv R Ω, R Ω X ωl Ω, X ωl Ω, X /ωc Ω, E R L R C L Ad.) układamy równanie bilansu napięć dla każdego oczka niezależnego [ R j( X X )] ' ( jx ) ( jx ) ' [ R j( X X )] ' E ' ( j) j ' j ' ' ' j Ad.6) dokonujemy rozwiązania układu równań metodą wyznaczników j j W G 77 j j j j W W j j j j mszulim@wat.edu.pl /7

14 OBWOD SGNAŁ W ' W G j 77 j j 77 j j 77 ( 77 j) j77 6, j,,6 e o j79 W ' W G 77 j 77 j ( 77 j) j7 6, j,6,7 e o j Ad.7) mając ustalone zwroty prądów gałęziowych - obliczamy ich wartości R L R E C L ' ; ' ; ' ' (, j,) (, j,6), e,8 j π arctg,869, e o j7,,869 j,8 mszulim@wat.edu.pl /7

15 OBWOD SGNAŁ PRZKŁAD 9. Procedurę postępowania w metodzie oczkowej (dla obwodu prądu stałego) zilustrujemy dla przykładowej sieci. Dane : V, 6 6V R R R R 6 Ω; R R Ω. R R ) zamienić wszystkie rzeczywiste źródła prądu występujące w obwodzie na równoważne źródła napięcia; nie dotyczy R R R 6 R 6 ) określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie; z zależności (.): n g-w 6- {g-gałęzie, w-węzły}; ) dokonać wyboru i oznaczenia oczek niezależnych; ) ustalić zwroty prądów oczkowych; Przyjmujemy w wybranych oczkach istnienie umownych prądów oczkowych o dowolnych zwrotach. ) dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć (NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe; mszulim@wat.edu.pl /7

16 OBWOD SGNAŁ R R R R R 6 R 6 Dla oczka: ( R R R ) R R Dla oczka: R ( R R R ) R Dla oczka: R R ( R R6 R ) 6 6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową; Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy napisać: R R R R R R R R R R R R R R 6 R 6 Ogólnie, postać macierzy jest następująca: R X Rozwiązanie układu równań: X R - mszulim@wat.edu.pl 6 /7

17 OBWOD SGNAŁ Macierz rezystancji oczkowych R 8 8 stąd R -,9,9,,9,9,,,, natomiast 6 Zatem macierz prądów oczkowych: X, czyli prądy oczkowe:,a, A, A 7) ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości. Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym DOPERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów gałęziowych. mszulim@wat.edu.pl 7 /7

18 OBWOD SGNAŁ 6 6 Sposób Prądy w gałęziach zewnętrznych oczek określone są przez prądy oczkowe (obwodowe) tych oczek z odpowiednim znakiem:, 6 Prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch lub więcej oczek są sumą algebraiczną prądów tych oczek: - - -, -, Sposób Macierz prądów gałęziowych g wyznaczamy w oparciu o macierz prądów oczkowych X korzystając z macierzy łączącej prądowej α : g α X,,,, mszulim@wat.edu.pl 8 /7

19 OBWOD SGNAŁ 9.. METODA NAPĘĆ WĘZŁOWCH (WĘZŁOWA) Metoda ta także należy do grupy metod algorytmicznych. W metodzie węzłowej poszukujemy napięć gałęziowych. Przebieg postępowania przy rozwiązywaniu obwodu prądu harmonicznego metodą węzłową jest następujący, należy: ) zamienić wszystkie rzeczywiste źródła napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu; ) określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie: m w- {w-węzły}; ) dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych; ) ustalić zwroty napięć węzłowych; ) dla każdego węzła niezależnego ułożyć równanie bilansu prądów; gdzie: k l l k k k m k l l' l z k - admitancja własna węzła k, równa sumie admitancji gałęzi dołączonych do węzła k; k l l k l k - admitancja wzajemna węzłów k i l, równa sumie k l admitancji wszystkich gałęzi łączących k-ty węzeł z l-tym, wzięta ze znakiem minus; l ' - napięcie zespolone węzła l, określone względem węzła odniesienia; z k - wypadkowy prąd źródłowy węzła k w postaci symbolicznej, równy sumie algebraicznej wszystkich symbolicznych prądów źródłowych w gałęziach należących do k-tego węzła; prąd źródłowy gałęziowy przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli zwrot tego prądu źródłowego jest do węzła k, a ze znakiem minus w przypadku przeciwnym. 6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową; 7) ustalić zwroty prądów gałęziowych a następnie obliczyć ich wartości. mszulim@wat.edu.pl 9 /7

20 OBWOD SGNAŁ Procedurę postępowania w metodzie węzłowej (dla obwodu prądu sinusoidalnego) zilustrujemy dla przykładowej sieci. Z Z Z Z Należy: ) zamienić wszystkie źródła napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu; nie dotyczy ) określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie; z zależności (8.): m w- - {w-węzły}; mszulim@wat.edu.pl /7

21 OBWOD SGNAŁ ) dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych; m niezależnymi węzłami są węzły a, b, c natomiast w-ty węzeł oznaczony jako d jest węzłem odniesienia; Z Z a b c Z Z ) ustalić zwroty napięć węzłowych; d Przyjmujemy istnienie napięć międzywęzłowych (pomiędzy węzłami niezależnymi a, b,c a uziemionym węzłem odniesienia d) o zwrotach do węzłów niezależnych. a b c b a c d mszulim@wat.edu.pl /7

22 OBWOD SGNAŁ /7 ) dla każdego niezależnego węzła ułożyć równanie bilansu prądów (PPK) uwzględniając tylko napięcia węzłowe; a b c z a b c z z z Dla węzła a: ( ) z z c b a Dla węzła b: ( ) z z c b a Dla węzła c: ( ) z z c b a 6) dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową; Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, piszemy: z z z z z z c b a Ogólnie, postać macierzy jest następująca: X Z (9.7) po przekształceniach X - Z (9.8)

23 OBWOD SGNAŁ 7) ustalić zwroty napięć gałęziowych i obliczyć ich wartości. z z a b c z a b z c Sposób Jeżeli gałąź łączy węzeł odniesienia z węzłem niezależnym, wówczas napięcie gałęziowe równe jest liczbowo napięciu węzłowemu (z odpowiednim znakiem). Czyli: a c b Natomiast napięcie na gałęzi łączącej węzły niezależne jest równe algebraicznej sumie napięć węzłowych tych węzłów. Otrzymamy więc: a - b b - c mszulim@wat.edu.pl /7

24 OBWOD SGNAŁ Sposób Napięcia gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą incydencji napięciowej. Macierz napięć gałęziowych g wyznaczamy w oparciu o macierz napięć węzłowych X korzystając z macierzy łączącej napięciowej β : g β X (9.9) Elementy macierzy łączącej napięciowej β przyjmują wartość, - lub β gk jeśli gałąź g jest incydentna z węzłem k (tzn. węzeł k jest końcówką gałęzi g ) oraz grot napięcia w gałęzi g jest zwrócony do węzła k. - j.w., lecz napięcie ma zwrot przeciwny jeśli gałąź g nie jest incydentna z węzłem k a b c numer gałęzi węzeł a b c WAGA: Znajomość napięć gałęziowych pozwala na wyznaczenie prądów gałęziowych mszulim@wat.edu.pl /7

25 OBWOD SGNAŁ Przykład 9.: Stosując metodę węzłową, obliczyć wartości prądów w gałęziach obwodu. E L R C E Dane: E jv, E 6e j 6 V, f Hz, R Ω, L,796 H, C 9, μf ROZWĄZANE: ) zamiana wszystkich rzeczywistych źródeł napięcia występujące w obwodzie na równoważne źródła prądu; Z Z Z E E Z Z Z jx L e jωl j9 [ ] Ω E j e Z R j 6 E 6 e [ Ω ] [ V ] j j9 [ V ] jb L j j ω L j9 j,, e E E,, Z z / Z / R, j E 6 e z E R, e j6, [ S] e [ S] 6 j,6 j [ A] [ A] Z jx C e j ωc j9 [ ] Ω j, jb jωc C, e j9 [ S] j, mszulim@wat.edu.pl /7

26 OBWOD SGNAŁ ) określenie liczby m niezależnych węzłów w obwodzie; z zależności 9.: m w- {w-węzły}; ) wybór i oznaczenie węzła niezależnego; niezależnym węzłem jest węzeł V natomiast węzeł oznaczony jako O jest węzłem odniesienia; ) ustalenie zwrotu napięcia węzłowego; Z V V Z O ) ułożenie dla niezależnego węzła równania bilansu prądów (PPK) uwzględniającego tylko napięcie węzłowe ( ) z z V 6) rozwiązanie równania (wyznaczenie V ) V z z,68 e,9 e j, j, 9, e (, j,6), j,, j6,6 9,8, j,, j7,7 [ V ] j,6 j, 7) ustalenie zwrotów napięć gałęziowych i obliczenie ich wartości. Z V V Z V V V mszulim@wat.edu.pl 6 /7

27 OBWOD SGNAŁ 8) ustalenie zwrotów prądów gałęziowych i obliczenie ich wartości; WAGA: rozpatruje się sieć zawierającą źródła napięciowe! Z Z Z V E E Z V V 9, e j6,6, e j9,8 e j6,6, j,88 [ A] Z E L V L E V L L Z V E czyli: Z E stąd: V E V V Z 8 ( E ), j, [ A],,9 j,8 j,9 (, j,88) [ A] mszulim@wat.edu.pl 7 /7