OPTYMALIZACJA W ZADANIACH LOGISTYKI ANALITYCZNEJ

Transkrypt

1 Igor AREFYEV Akademia Morska w Szczeciie Wydział Iżyieryjo-Ekoomiczy Trasportu, Istytut Iżyierii Trasportu Zakład Techologii Trasportu Zitegrowaego i Ochroy Środowiska , Szczeci, ul. Heryka Pobożego 11 i.arefyev@am.szczeci.pl OPTYMALIZACJA W ZADANIACH LOGISTYKI ANALITYCZNEJ Streszczeie: Obiektem logistyki aalityczej (ekoometrii logistyki) jest opracowaie metod i środków modelowaia, poszukiwaie i zajdowaie optymalych rozwiązań w zakresie zarządzaia systemami logistyczymi. Pojęcie jakości decyzji charakteryzuje się zasadą optymalości. Kształtowaie praktyczych metod optymalizacji modelów logistyczych wyika z dwóch podstawowych tez: 1. zadaie optymalizacji może być przedstawioe w formie pewego kryterium efektywości, 2. osiągięte wielkości takiego kryterium są ograiczoe do zbioru dopuszczalych rozwiązań, co istotie wpływa a uzyskaie wysokiego rezultatu w określeiu tej efektywości tej wydajości. Niiejsze opracowaie poświęcoe jest poszukiwaiu rozwiązaia daej sprzeczości. Słowa kluczowe: logistyka, model, optymalizacja, kryterium, efektywość. WSTĘP Problem wyboru optymalego rozwiązaia logistyki ogólie sprowadza się do trzech podstawowych postulatów [3]: zajdowaie klasy A wariatów działań (plaów, progozowaia i i.), których wybór powiie być oparty a przeprowadzeiu badaia lub aalizy; wybór zbioru S staów waruków zewętrzych (wariatów kompleksu zadań), z których jede może pojawić się w procesie realizacji wybraego rozwiązaia; określeie wskaźika efektywości działaia (fukcja docelowa) u u ( A, S) =, którego wielkość zależy od wybraego rozwiązaia A A i stau S S. Jeśli przyjmiemy, że wskaźik efektywości odpowiada wybraemu celowi zachowaia systemu logistyczego, to logiczym jest przyjęcie fukcji docelowej za «model» celu [1,3]. 1. ZADANIE OPTYMALIZACYJNE Aby poprawie określić zadaie optymalizacji i wybrać metody matematycze jego rozwiązaia, ależy: zbudować model matematyczy, opisujący wewętrzą strukturę badaego systemu logistyczego; wybrać i uzasadić kryterium optymalizowae; 43

2 zaleźć i formalie określić ograiczeia i związki, właściwe dla rozpatrywaego systemu (obiektu logistyczego). Zadaie optymalizacji przy takim podejściu może być sformułowae w astępujący sposób. Niech sta obiektu określay jest w każdym odciku czasu przez liczby ( x 1, x2,..., x ), które są fazowymi współrzędymi systemu. Współrzęde fazowe to jest ta miimala liczba parametrów, z pomocą której opisyway jest sta badaego systemu. Współrzęde fazowe staowią uogólieie pojęcia współrzędych geometryczych. Dlatego sta systemu moża przedstawiać w postaci puktu z tymi współrzędymi w pewej warukowej przestrzei fazowej. Ruch obiektu w przestrzei fazowej ie odbywa się samorzutie, moża im zarządzać. W tym celu obiekt wyposażoy jest w «orgay admiistracji», których położeie określae jest w każdym odciku czasu r liczbami u 1, u2,..., u r zarządzającymi parametrami. Między współrzędymi fazowymi, zarządzającymi parametrami i zmieą iezależą (czas) istieją związki, które matematyczie wyrażae są przez rówaia w przyjętej formie: różiczkowe, algebraicze i i. Zazwyczaj parametry zarządzające, a w poszczególych przypadkach rówież pewe współrzęde fazowe ie mogą osiągać dowolych wartości. Dlatego praktyczie zawsze wyodrębiaa jest przestrzeń parametrów zarządzających (tzw. przestrzeń zarządzaia), określae są ograiczeia dla współrzędych fazowych [3]. A więc zadaie optymalizacji w zakresie modelu logistyczego polega a tym, żeby według początkowego stau fazowego systemu zaleźć takie systemy zarządzaia, które maksymalizują kryterium. W pewych przypadkach zgodie z warukami zadaia mogą rówież być opisae wielkości skończoe szeregu współrzędych fazowych. W zależości od rodzaju ograiczeń, formy modelu matematyczego opisującego strukturę wewętrzą obiektu i rodzaju kryterium optymalizowaego stosuje się róże metody optymalizacji. Poieważ forma matematyczego modelu systemu logistyczego wywiera decydujący wpływ a wybór metody optymalizacji, to zadaia optymalizacji ależy podzielić a dwie grupy [2]: 1. Zadaia optymalizacji parametrów i charakterystyk systemów logistyczych (obiektów, procesów), których model matematyczy zawiera w sobie system rówań różiczkowych. Określają oe pochode współrzędych fazowych przez same współrzęde fazowe i parametry zarządzające: xɺ i = fi ( x1, xi, ; u1, u j, ur ; t) ; (1) i = 1,2,..., ; j = 1,2,..., r, gdzie: x i współrzęde fazowe obiektu; u j oddziaływaia zarządzające; oraz rówaia opisujące wielostopiowe procesy dyskrete: ( ) ( 1) x = T x, u, = 1,2,..., N ( ), gdzie: T operator przekształceia, ogólie zależy od ; Zadaia optymalizacji parametrów i charakterystyk systemu logistyczego (obiektu, procesu), których model matematyczy uwzględia istieie związków między parametrami zarządzającymi i współrzędymi fazowymi w postaci stosuków skończoych (rówań algebraiczych, tabel, wykresów itp.) ϕ x u, c, c,.... (3) k ( ) 0 i, j 1 2 = (2) 44

3 Druga grupa zadań ie jest łatwiejsza mimo wydającej się prostoty związków między parametrami zarządzającymi i współrzędymi fazowymi. Chodzi o to, że w tej grupie występuje dostateczie złożoa struktura w postaci optymalizowaych kryteriów (fukcji docelowych). To uzasadioe jest astępującymi okoliczościami: większość elemetarych procesów i zjawisk, z których składa się schemat logistyczy z atury swojej zawiera w sobie elemet przypadku (stochastyczość). A więc, ich rezultaty są rówież przypadkowe. Dlatego uwzględieie stochastyczości procesu już samo z siebie zaczie komplikuje rozwiązaie zadaia. Oprócz tego, wybór kryterium do drugiej grupy zadań jest dostateczie złożoym problemem, zazwyczaj wymagającym oddzielego badaia [2,3]. Wobec kryterium (fukcji docelowej, wskaźikowi wydajości) systemu logistyczego wysuwa się szereg sprzeczych wymagań. Z jedej stroy powio być reprezetatywe, krytycze wobec badaych parametrów, w sposób istoty podlegać przekształceiu przy stosukowo małej zmiaie badaych parametrów i adekwatie oceiać podstawowe zadaie optymalizacji. Z drugiej stroy powio być w miarę możliwości ieskomplikowae i przedstawioe we wzorze obliczeiowym. Dostateczie często w drugiej grupie zadań za optymaly uważa się taki wyik, który zapewia wykoaie postawioego zadaia przy miimum materialych akładów (proste postawieie) i takie rozwiązaie, które wskazuje a maksimum efektywości (wykoaie maksimum zadań) przy stałych materialych akładach (odwrote postawieie). Stąd bardziej ogólą formą kryterium przy prostym postawieiu zadaia będzie wartość oczekiwaa materialych akładów przy zadaej efektywości. W przypadku odwrotego postawieia zadaia bardziej ogólą formą kryterium będzie wskaźik wydajości przy zadaych materialych akładach. Wiadomo, że metody optymalizacji moża podzielić a dwie grupy: aalitycze i umerycze. W celu wykorzystaia metod aalityczych jest iezbęde, aby wzór obliczeiowy kryterium, ograiczeia i związki między współrzędymi, parametrami zarządzającymi i zmieą iezależą, jak rówież waruki początkowe i końcowe były przedstawioe w postaci fukcji, powiy być chociaż raz różiczkowale i posiadać skończoą liczbę puktów ieciągłości. W przypadku korzystaia z metod aalityczych moża łatwiej zaleźć rozwiązaie spełiające koiecze waruki istieia ekstremum, ale zaczie trudiejsze jest sprawdzeie ich wystarczalości. W celu wykorzystaia metod obliczeiowych ależy zać możliwy obszar zmiay parametrów zarządzających. Metody obliczeiowe formalie mogą być stosowae w każdym przypadku, jedak ich możliwości ograiczoe są przez pracochłoość obliczeń. W przypadku zastosowaia tych metod uzasadioe jest poszukiwaie globalego, a ie lokalego ekstremum. Rozwiązaie zadań optymalizacyjych logistyki dostateczie często związae jest z koieczością poszukiwaia takich wielkości zmieych iezależych x 1, x2,...,, dla których pewa fukcja tych zmieych f ( x1, x2,..., x ) osiąga maksimum lub miimum (ekstremum). W celu zalezieia ekstremum fukcji f ( x1, x2,..., x ) ależy wyzaczyć pierwiastki układu rówań: ( x, x,..., x ) f ( x, x,..., x ) f x 1 x2 (4) f ( x,..., ) 1 = 0, i = 1,. 45

4 Pukt, w którym fukcja posiada wszystkie pochode cząstkowe ze zmieymi iezależymi rówymi zeru osi azwę puktu stacjoarego. Jedocześie w systemach logistyczych pukt stacjoary ie zawsze staowi lokale ekstremum, a iektóre pukty (stacjoare) występują a przykład w postaci puktów siodłowych [1,3]. Fukcja ciągła f ( x1, x2,..., x ) od zmieych iezależych x 1, x2,..., osiąga maksimum lub miimum wewątrz zamkiętego obszaru tylko przy takich wielkościach zmieych x i, dla których pochodych cząstkowych (4) jedocześie przekształca się w zero (pukt stacjoary) albo jeda lub kilka takich pochodych przestają istieć (ieciągłość). Następie, gdy wyzaczoe są pukty stacjoare lub pukty ieciągłości, pozostaje zbadać czy są wśród ich pukty ekstremale. Odpowiedzieć a to pytaie moża za pomocą kilku metod [2]. Dla fukcji jedej zmieej badae jest zachowaie drugi pochodej w pukcie stacjoarym. Istieją rówież metody aalitycze dla fukcji dwóch zmieych. Waruki aalitycze istieia ekstremum dla fukcji wielu zmieych są złożoe, dlatego w przypadku budowy modelu logistyczego szeroko stosowaa jest metoda polegająca a bezpośredim porówaiu wielkości fukcji w puktach stacjoarych z jej wielkościami w puktach ieciągłości i ich okolicach. Ekstrema mogą zaleźć się także a graicy zamkiętego obszaru określoości fukcji. Jeśli zadaie logistycze jest - wymiarowe, to poszukiwaie ekstremum a graicy prowadzi do jedego lub kilku zadań miimum w przestrzeiach wymiarów 1, 2,...,1. Jedak w przypadku dużej liczby zmieych to zadaie staje się praktyczie ie do rozwiązaia. Rozwiązaie takiego zadaia jest możliwe tylko w warukach przejścia do metod programowaia ieliiowego. Dostateczie często, szczególie w drugiej grupie zadań, zmieych x 1, x2,..., podporządkowae są dodatkowym warukom ( x1, x2,..., ) ( x, x,..., x ) q1 q ( ) qm x1, x2,..., = 0. W tym przypadku liczba iezależych zmieych skraca się do ( m). A jeśli > m, to istieje jeda lub więcej zmieych iezależych, w stosuku do których moża poszukiwać ekstremum fukcji y = f ( x1, x2,..., x ) przy dodatkowych warukach m (związkach) wzoru (5). W ajprostszych zadaiach efektywą może być metoda podstawiaia. Podstawiaie polega a rozwiązaiu m rówań (5) w stosuku do m z zmieych i sprowadzeia rozpatrywaego zadaia ekstremalego do owego ekstremalego zadaia dla fukcji zmieych od ( m) ( x x ) y = f,..., 1, 2 x m (6) Jedak metoda podstawiaia okazuje się iedostatecza, poieważ układ m rówań ie może być rozwiązay w zależości od m zmieych. W tym przypadku ależy zastosować metodę możików Lagrage a. Wymagaych waruków stacjoarości fukcji (5) 46

5 ( x x ) y = f 1, 2,..., x z warukami dodatkowymi (5) moża poszukiwać przy pomocy sporządzeia rozszerzoej fukcji m 1,... 1 j j 1 j= 1 ( x x ) f ( x,..., x ) + q ( x x ) F = λ,..., (7) Wtedy propoowae zadaie zostaie sprowadzoe do zadaia bez waruków dodatkowych. Parametry λ j ( j =1,..., m) odoszą się do możików Lagrage a. Przy rozwiązywaiu takiego rodzaju zadaia oe powiy być usuięte przy pomocy rozszerzeia waruków dodatkowych (5). 2. WNIOSKI Wyikiem przedstawioego w artykule materiału są astępujące wioski: określoe są ogóle zadaia logistyki aalityczej staowiących ogół modelów opisujących strukturę wewętrzą systemu logistyczego optymalizującego kryterium, formalie określoych ograiczeń i związków daego systemu; przedstawioo dwie grupy zadań optymalizacji systemów logistyczych (procesów) jako szeregu zadań optymalizacji parametrów i charakterystyk poprzez pochode współrzędych fazowych i optymalizowae kryteria zachowaia obiektu logistyczego; określoo wymagaia dla kryterium zachowaia systemu logistyczego jako istotie zmieiający się wskaźik przy małej zmiaie parametrów samego obiektu; uzasadioo racjoalość stosowaia możików Lagrage a przy iezadowalających rozwiązaiach optymalizacji zadań logistyki aalityczej przy pomocy metody podstawiaia. BIBLIOGRAFIA [1] Аrefyev I. Modelowie węzła trasportowego z termialami, Warszawa, AN Polski, «Logistic systems» 2005, s [2] Арефьев И.Б., Мартыщенко Л.А. Теория управления. Спб., СЗТУ, s. [3] Аrefyev I., Martyszczeko L. Logistyka aalitycza: metody i zadaia «Trasport XXI cetury» Warszawa: ANP, s OPTIMIZATION PROBLEMS IN ANALYTICAL LOGISTICS Abstract: The object of aalysis of logistics (logistics ecoometrics) is to develop methods ad modelig tools for fidig optimal solutios for maagemet logistics systems. Represetatio of the quality of solutios is characterized by optimality priciple. Formatio practical optimizatio methods logistic models derived from two fudametal poits: i the preview, optimizatio problem ca be expressed i the form of a efficiecy criterio, Secod-accessible value of this criterio is limited to the set of admissible decisios that sigificatly affect receivig a high result i the determiatio this effectiveess. Fid a solutio to this cotradictio is devoted to this work. Key words: logistics, model, optimizatio criterio, th. 47