Słownik pojęć matematycznych

Transkrypt

1 Słownik pojęć matematycznych Aksjomat (postulat) W systemie matematycznym lub logicznym jest to warunek początkowy lub założenie, które przyjmujemy jako prawdziwe bez dowodu i z którego można wyprowadzić inne założenia lub twierdzenia. Na bazie aksjomatów formułuje się i dowodzi inne twierdzenia danej teorii. Przykładem aksjomatu w geometrii euklidesowej jest np.: "Przez dwa różne punkty przechodzi tylko jedna prosta". Algebra Dział matematyki, w którym symbole są używane do reprezentowania liczb lub zmiennych biorących udział w operacjach arytmetycznych. Z początku algebra była teorią rozwiązywania równań, przede wszystkim pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych. W XCI w. rozpoczęto badania równań trzeciego i czwartego stopnia. Dopiero na przełomie XIX i XX w. algebra przekształciła się z nauki o równaniach i wielomianach o współczynnikach liczbowych w algebrę zajmującą się abstrakcyjnie działaniami na elementach zbiorów dowolnej natury. Przedmiotem badań współczesnej algebry są grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe, przestrzenie wektorowe i inne. Słowo algebra pochodzi od wyrazu "al-dźabar" zawartego w tytule dzieła arabskiego uczonego Al-Chwarizmiego. Algorytm metoda postępowania zawierająca zbiór poleceń ze wskazaniem kolejności ich wykonania. Rozwój informatyki spowodował, że algorytmy stały się jej podstawowym pojęciem. W zastosowaniu do komputerów przez algorytmy rozumiemy wykonanie skończonej liczby działań w ściśle określonym porządku na zadanym, skończonym zbiorze danych początkowych. Działania te prowadzą do uzyskania skończonego zbioru wyników końcowych. Od algorytmu wymaga się, aby był efektywny, tzn. aby wszystkie operacje algorytmu były wystarczająco proste do realizacji i możliwe do wykonania w określonym, skończonym czasie, w którym istnieje jeszcze sens praktycznego wykorzystania rozwiązania. Alternatywa Symbol. W logice relacja lub pomiędzy dwoma zdaniami logicznymi lub funktorami zdaniotwórczymi. Alternatywę traktujemy jako "jedno lub drugie lub oba". Dla dwóch zdań logicznych p i q zdanie p q jest fałszem tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są fałszem, w innym przypadku jest ono prawdą. Analiza matematyczna Dział matematyki związany z procesem granicznym oraz pojęciem zbieżności. Zawiera rachunek różniczkowy i całkowy, teorię szeregów nieskończonych oraz funkcji analitycznych. Tradycyjnie zawiera też badanie funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej związane z rachunkiem różniczkowym lub całkowym. Arytmetyka Nauka dotycząca umiejętności niezbędnych do wykorzystania liczb w przypadku rozwiązywania problemów str. 1

2 zawierających informacje liczbowe. Zawiera ona również zrozumienie struktury systemu liczb oraz umiejętność przekształcania liczb z jednej formy na drugą. Asymptota Linia prosta, do której krzywa zbliża się na nieskończenie małą odległość, gdy punkt oddala się w nieskończoność po gałęzi krzywej. Bajt Podział słowa w komputerze, który określa liczbę bitów użytych do reprezentowania pojedynczej litery, liczby lub innego znaku. W wielu komputerach bajt składa się ze stałej liczby bitów. Bryła obrotowa Bryła generowana przez obracającą się figurę płaską, względem prostej nazywanej osią obrotu. Brzeg figury Zbiór wszystkich punktów brzegowych danej figury geometrycznej, tzn. takich punktów, że w każdym otoczeniu każdego z nich znajdują się zarówno punkty należące, jak i punkty nie należące do tej figury. Cal Symbol: in lub ". Jednostka długości równa jednej dwunastej stopy. Jest ona równa 0,0254 m. Całkowanie Proces ciągłego sumowania zmian funkcji f(x) w przedziale określonym dla zmiennej x. Jest to proces odwrotny do wyznaczania pochodnej funkcji i jego wynik nosi nazwę całki funkcji f(x) względem zmiennej x. Ciąg Uporządkowany zbiór liczb. Każdy jego element możemy zapisać jako funkcję algebraiczną położenia tego elementu w danym ciągu. Ciąg skończony ma skończoną ilość wyrazów. Ciąg arytmetyczny Ciąg w którym różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a wyrazem poprzednim jest stała. Różnica pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu r = a n+1 - a n jest nazywana różnicą ciągu arytmetycznego. Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu ma postać: a n = a 1 + (n-1)r, gdzie a 1 jest pierwszym wyrazem ciągu, a r jest jego różnicą. Ciąg geometryczny Ciąg, w którym stosunek każdego wyrazu do wyrazu poprzedniego jest stały. Stosunek ten nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy przez q. Ogólny wyraz ciągu geometrycznego dany jest wzorem a n = a 1 q n-1. Cięciwa Odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu. str. 2

3 Czworokąt Wielokąt o czterech bokach. Czworościan Wielościan ograniczony czterema trójkątnymi ścianami. Deltoid Czworokąt wypukły, mający dwie pary boków przyległych o równej długości. Dwa kąty przeciwległe deltoidu są równe. Jego przekątne są wzajemnie prostopadłe, a krótsza z nich jest dzielona na połowy przez dłuższą. Pole deltoidu równe jest połowie iloczynu długości przekątnych. Dedukcja Ciąg logicznych kroków, których wynik jest osiągany dokładnie ze zbioru warunków początkowych (założeń). Dowód Logiczne rozumowanie pokazujące, że zdanie, twierdzenie lub wzór matematyczny jest prawdziwy. Dowód składa się ze zbioru podstawowych założeń zwanych aksjomatami lub przesłanek, które są połączone zgodnie z prawami logiki, w celu wywiedzenia dowodzonego wyrażenia lub wniosku. Dowód nie wprost Sposób dowodzenia twierdzeń, polegający na zaprzeczeniu tezy i pokazaniu, że prowadzi to do sprzeczności. Dowód wprost Argumentacja logiczna, w której twierdzenie lub zdanie logiczne udowadniane jest jako wynik ciągu kolejnych kroków wywodzących z początkowych założeń, które znamy lub zakładamy, że są prawdziwe. Diagram Venna Diagram używany do pokazania związków pomiędzy zbiorami. Przestrzeń (uniwersum) E jest przedstawiana jako prostokąt. W jego wnętrzu inne zbiory przedstawiane są jako koła. Dwumian Wyrażenie algebraiczne z dwoma zmiennymi. Dziedzina Zbiór liczb lub wielkości, dla których pewne działanie jest wykonalne. W algebrze dziedziną funkcji f(x) jest zbiór tych wartości, które może przyjmować zmienna niezależna x. Elipsa Krzywa stożkowa, której mimośród jest zawarty w przedziale (0; 1). Pole elipsy o półosi wielkiej a i półosi małej b dane jest wzorem πab. Figura Każdy zbiór punktów przestrzeni geometrycznej, taki jak: punkt, prosta, krzywa, płaszczyzna itp. Okrąg, kwadrat, trójkąt są figurami płaskimi. Sfera, sześcian, stożek są figurami przestrzennymi - bryłami. str. 3

4 Foremny Mający wszystkie ściany lub boki o tych samych wymiarach i kształtach. Forma zdaniowa W logice formalnej - wyrażenie, które zawiera jedną lub więcej zmiennych. Funkcja Funkcją nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi jednego zbioru przypisuje dokładnie jeden element drugiego zbioru. Funkcje często definiujemy jako relację między elementami dwóch zbiorów. Każdemu elementowi jednego zbioru, zwanego dziedziną, odpowiada dokładnie jeden element drugiego zbioru, zwanego przeciwdziedziną. Funkcja ciągła Funkcja, która nie ma nagłych zmian w wartościach, jeśli zmienna stale wzrasta lub maleje. Geometria Dział matematyki zajmujący się zbiorami punktów, prostych, płaszczyzn, krzywych, powierzchni i brył (ogólnie: figurami), ich związkami, własnościami, przekształceniami figur i miarą określoną w zbiorze figur. Geometria analityczna (geometria w układzie współrzędnych) - Użycie układu współrzędnych i metod algebraicznych geometrii. W zwykłym układzie kartezjańskim punkt jest reprezentowany przez zbiór liczb, a krzywą opisuje równanie zbioru punktów. Przy takim opisie geometryczne własności krzywych i figur mogą być badane za pomocą algebry lub rachunku różniczkowego i całkowego. Geometria euklidesowa System geometryczny opisany przez greckiego matematyka Euklidesa (ok p.n.e.) w dziele Elementy geometrii. Podstawy geometrii Euklidesowej tworzy zbiór definicji i aksjomatów. Przy użyciu pojęć podstawowych (pierwotnych), definicji i aksjomatów można wyprowadzać dedukcyjnie i dowodzić olbrzymią liczbę twierdzeń geometrycznych. Od czasów Euklidesa system jego twierdzeń i definicji został przeformowany, jednak nadal jest podstawowym systemem geometrycznym. Geometria nieeuklidesowa System geometryczny, w którym nie zachodzi postulat równoległości Euklidesa. Postulat ten można wyrazić w następującej formie: Przez każdy punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej. W początkach XIX w. pokazano, że można stworzyć spójną teorię geometryczną niezawierającą postulatu równoległości. Można wyróżnić dwa typy geometrii nieeuklidesowej. Geometria Eliptyczna nie ma postulatu równoległości. Przykładem takiej geometrii opisującej własności prostych, figur, kątów itp., jest geometria na powierzchni sfery, gdzie proste są częściami kół wielkich(tzn. kół mających ten sam środek, co sfera). Innym rodzajem geometrii nieeuklidesowej jest geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego) - tutaj można wyznaczyć nieskończenie wiele prostych równoległych przechodzących przez dany punkt. Powyższe rodzaje geometrii nie bazują na doświadczeniu - tzn. pomiarach odległości, kątów itp. Są to całkowite abstrakcje systemy geometryczne, których podstawą są pewne założenia (takie, jak aksjomaty Euklidesa). str. 4

5 Geometria przestrzenna (stereometria) - Nauka o figurach geometrycznych w przestrzeni trójwymiarowej. Graf Rysunek pokazujący związki między liczbami lub wielkościami. Wykresy na ogół rysuje się w kartezjańskim układzie współrzędnych. Rozróżnić różne typy grafów i wykresów. Takie, jak graf kołowy czy słupkowy, służą do reprezentowania pewnych informacji w formie łatwej do zauważenia i zrozumienia. W teorii grafów jest to sieć wierzchołków i łączonych je linii. Graniastosłup Wielościan mający dwie równoległe ściany nazywane podstawami, które są wielokątami wypukłymi. Pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi, są równoległobokami utworzonymi przez odcinki łączące wierzchołki przeciwległych podstaw. Jeżeli ściany boczne graniastosłupa są prostokątami, graniastosłup nazywamy prostym. W przeciwnym wypadku graniastosłup jest pochyły. Graniastosłup trójkątny ma trójkąty w podstawach i trzy ściany boczne. Graniastosłup czworokątny ma czworokąty w podstawach i cztery ściany boczne. Sześcian jest szczególnym wypadkiem takiego graniastosłupa. Granica Na ogół oznacza wartość, którą osiąga funkcja, gdy jej zmienna niezależna zmierza do pewnej określonej wartości. Pojęcie granicy jest pojęciem podstawowym w analizie matematycznym. Istnieje kilka przykładów użycia granicy. 1. Granica funkcji jest wartością, do której zmierza funkcja, gdy jej zmienna niezależna zmierza do pewnej określonej wartości lub do nieskończoności. Granicę zapisujemy symbolicznie lim. Granicą ciągu zbieżnego jest granica n-tego wyrazu ciągu, przy n zmierzającym do nieskończoności. Granicą zbieżnego szeregu jest granica sumy n początkowych wyrazów, przy n zmierzającym do nieskończoności. Całka oznaczona jest granicą skończonej sumy wyrazów postaci ydx, gdy dx zmierza do zera. Hiperbola Stożkowa o mimośrodzie większym od 1. Hiperbola ma dwie gałęzie i dwie osie symetrii. Oś przechodząca przez ogniska przecina hiperbolę w wierzchołkach. Odcinek łączący te wierzchołki nazywamy osią rzeczywistą, natomiast osią urojoną hiperboli nazywamy odcinek leżący na osi OY, będący wysokością prostokąta o wierzchołkach leżących na asymptotach hiperboli, którego jeden z boków ma długość osi rzeczywistej. W kartezjańskim układzie współrzędnych x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 jest równaniem hiperboli o środku w punkcie (0, 0) i osi rzeczywistej równej 2a, a osi urojonej równej 2b. Hiperbolę, dla której a i b są równe, nazywamy równoosiową. Jeśli hiperbolę równoosiową obrócimy w ten sposób, że asymptotami staną się osie OX i OY, to tej równanie ma postać xy = k, gdzie k jest stałą. Iloczyn Wynik mnożenia. Wynik otrzymany przez mnożenie kilku liczb, wektorów, macierzy itp. Iloczyn kartezjański Jest to zbiór uporządkowanych par (x, y), gdzie x A i y B. AXB = {(x, y): x A y B }. Kąt Każda z dwóch części płaszczyzny ograniczonych dwiema półprostymi o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi. str. 5

6 Lemat Twierdzenie dowodzone, by móc je wykorzystać w dowodzie innego twierdzenia. Liczba Jedno z podstawowych pojęć matematyki, które kształtowało się i rozwijało wraz z rozwoje Macierz Uporządkowana prostokątna dwuwymiarowa tablica wielkości z pewnego zbioru wartości. Używa się ich do przedstawiania zależności między pewnymi wielkościami. Następnik W logice jest to druga część zdania warunkowego - zdanie logiczne, które wynika z innego. Obraz Wynik przekształcenia geometrycznego lub odwzorowania. Obraz zbioru dla funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja przyjmuje dla argumentów branych z danego zbioru. Objętość Symbol: V. Miara ilości przestrzeni zajętej przez bryłę lub ograniczonej przez zamkniętą powierzchnię. Jednostką objętości w układzie SI jest metr sześcienny (m 3 ). Parabola Krzywa stożkowa utworzona przez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do tworzącej stożka. Krzywa ta jest symetryczna względem osi przechodzącej przez punkt (ognisko paraboli) i prostopadłej do prostej (zwanej kierownicą paraboli). Rachunek różniczkowy i całkowy Dział matematyki zajmujący się różniczkowaniem i całkowaniem funkcji. Traktując zmiany ciągłe tak, jakby były złożone z nieskończenie małych zmian składowych. Rachunek całkowy jest procesem odwrotnym, polega na znalezieniu końcowego rezultatu znanych zmian ciągłych. Radian Symbol: rad. Jednostka układu SI służąca do mierzenia kąta płaskiego. Jest to kąt środkowy okręgu ograniczony łukiem równym długości promienia tego okręgu. Sfera Zbiór punktów w przestrzeni, leżących w stałej odległości, równej promieniowi r, od ustalonego punktu, będącego jej środkiem. Sfera powstaje, gdy okrąg obracamy dookoła osi, która jest jedną z jego średnic. W kartezjańskim układzie współrzędnych równanie sfery o promieniu r i środku w początku układzie współrzędnych jest następujące: x 2 + y 2 +z 2 = r 2. Średnica Najdłuższa cięciwa okręgu (koła). str. 6

7 SPIS POJĘĆ MATEMATYCZNYCH Aksjomat... 1 Algebra... 1 Algorytm... 1 Alternatywa... 1 Analiza matematyczna... 1 Arytmetyka... 1 Asymptota... 2 Bajt... 2 Bryła obrotowa... 2 Brzeg figury... 2 Cal... 2 Całkowanie... 2 Ciąg... 2 Ciąg arytmetyczny... 2 Ciąg geometryczny... 2 Cięciwa... 2 Czworokąt... 3 Czworościan... 3 Deltoid... 3 Dedukcja... 3 Dowód... 3 Dowód nie wprost... 3 Dowód wprost... 3 Diagram Venna... 3 Dwumian... 3 Dziedzina... 3 Elipsa... 3 Figura... 3 Foremny... 4 Forma zdaniowa... 4 Funkcja... 4 str. 7

8 Funkcja ciągła... 4 Geometria... 4 Geometria analityczna... 4 Geometria euklidesowa... 4 Geometria nieeuklidesowa... 4 Geometria przestrzenna... 5 Graf... 5 Graniastosłup... 5 Granica... 5 Hiperbola... 5 Iloczyn... 5 Iloczyn kartezjański... 5 Kąt... 5 Lemat... 6 Liczba... 6 Macierz... 6 Następnik... 6 Obraz... 6 Objętość... 6 Parabola... 6 Rachunek różniczkowy i całkowy... 6 Radian... 6 Sfera... 8 Średnica... 8 str. 8