1. SIŁY PRZEKROJOWE W PŁASKICH UKŁADACH PRĘTOWYCH

Transkrypt

1 J. Wyrwał Wykłady z mechaniki materiałów 1. SIŁY RZEKROJOWE W ŁSKIH UKŁDH RĘOWYH 1.1. Zasada zesztywnienia rzy wyznaczaniu sił biernych (reakcji pdpór) i sił przekrjwych przyjmuje się załżenie upraszczające zwane zasadą zesztywnienia. Zgdnie z tą zasadą siły działające na niedkształcny układ prętwy nie zmieniają swjej inii działania p jeg dkształceniu. Znaczy t że w biczeniach statycznych układ prętwy traktujemy jak niedkształcany (sztywny). 1.. Rdzaje pdpór i reakcje pdprwe Każda knstrukcja płączna jest z pdłżem ub inną knstrukcją za pmcą więzów zwanych pdprami. Rzróżniamy następujące rdzaje pdpór: przegubw-przesuwna (ruchma) w przypadku której występuje tyk jedna reakcja V (rys. 1a); pdpra ta pzwaa na przesunięcie w kierunku pzimym i brót wkół punktu pdparcia przegubw-nieprzesuwna (stała) w przypadku której występują dwie reakcje: H i V (rys. 1b); pdpra ta pzwaa na brót wkół punktu pdparcia sztywna (utwierdzenie) w przypadku której występują trzy reakcje: H V i (rys. 1c). Rzadziej sptykane są pdpry: Rys. 1 sztywna z mżiwścią przesuwu pzimeg w przypadku której występują dwie reakcje: V i (rys a); pdpra ta pzwaa na przesunięcie w kierunku pzimym sztywna z mżiwścią przesuwu pinweg w przypadku której występują dwie reakcje: H i (rys. b); pdpra ta pzwaa na przesunięcie w kierunku pinwym. Rys.

2 Reakcje pdprwe (siły) H V raz wyznaczamy z równań równwagi które w przypadku płaskieg układu prętweg kiedy t sie wszystkich prętów i przyłżne d nich bciążenia eżą w jednej płaszczyźnie mgą być wykrzystane w trzech następujących wariantach: suma rzutów wszystkich sił na sie O i Oz układu dniesienia raz suma mmentów tych sił wzgędem dwneg punktu są równe zeru X Z ; (1) suma rzutów wszystkich sił na ś O układu dniesienia raz suma mmentów tych sił wzgędem dwóch dwnych punktów i nie eżących na prstej prstpadłej d tej si są równe zeru X ; () suma mmentów wszystkich sił wzgędem trzech dwnych punktów eżących na jednej prstej jest równa zeru. i nie. () W przypadku eementów knstrukcji płącznych ze sbą przegubem suma mmentów wszystkich sił działających p jednej strnie przegubu wzgędem teg przegubu jest równa zeru. Dateg każdy przegub dstarcza jedneg ddatkweg równania równwagi. Jeśi iczba niewiadmych reakcji jest równa iczbie równań równwagi t układ prętwy nazywamy statycznie wyznaczanym. Gdy iczba niewiadmych reakcji jest większa d iczby równań równwag t taki układ nazywamy statycznie niewyznaczanym; w takim przypadku nie mżemy z równań równwagi wyznaczyć reakcji pdprwych. Jeśi natmiast iczba reakcji jest mniejsza d iczby równań równwagi t układ jest chwiejny. W ceu sprawneg wyznaczania reakcji pdprwych mżemy wykrzystać następujące wskazówki: 1. Gdy nie wiemy jaki zwrt ma reakcja pdprwa t przyjmujemy g dwnie. Jeśi z biczeń wyniknie że reakcja ma znak ujemny t na rysunku zmieniamy jej zwrt na przeciwny. zwaa t uniknąć pmyłek przy biczaniu kejnych reakcji i kreśaniu znaku sił przekrjwych.. Równania równwagi pwinny (w miarę mżiwści) zawierać tyk jedną niewiadmą. Unikniemy w ten spsób rzwiązywania układów równań.. Wartści bicznych reakcji nansimy na rysunek. Ułatwia t biczanie kejnych reakcji i wyznaczanie wartści sił przekrjwych. 1.. Siły przekrjwe Na każdą knstrukcję działa bciążenie zewnętrzne czynne które mże być przyłżne d jej pwierzchni w pstaci siły skupinej [N] (rys. 1a) mmentu skupineg (pary sił) [Nm] (rys. b) raz bciążenia ciągłeg [N/m] (rys. c) któreg przypadkiem

3 szczegónym jest bciążenie równmiernie rzłżne [/m] (rys. d). Obciążenie t jest równważne przez bciążenie zewnętrzne bierne czyi reakcje pdprwe. Rys. Rzpatrzmy pręt będący w równwadze na który działa pewien układ sił zewnętrznych czynnych i biernych. Siły te wywłują w pręcie siły wewnętrzne będące skutkiem wzajemnych ddziaływań mechanicznych między cząsteczkami (atmami) z których zbudwany jest pręt. rzetnijmy myśw rzważany pręt na dwie części płaszczyzną prstpadłą d jeg si pdłużnej (rys 4a). by również każda z dciętych części pręta była w równwadze musimy zastąpić wzajemne ddziaływania między cząsteczkami eżącymi p bu strnach płaszczyzny przecięcia siłami wewnętrznymi występującymi na pwierzchni przekrju każdej z części pręta (rys. 4b). żna łatw wykazać że układ sił zewnętrznych przyłżnych d części pierwszej pręta jest równważny układwi sił wewnętrznych przyłżnych d jeg części drugiej natmiast układ sił zewnętrznych przyłżnych d części drugiej pręta jest równważny układwi sił wewnętrznych przyłżnych d jeg części pierwszej. hciaż siły wewnętrzne równważą przyłżne d każdej z części pręta siły zewnętrzne t ich wartść iczbwa i rzkład na pwierzchni przekrju są nieznane. Dateg ddziaływanie układu sił zewnętrznych przyłżnych d pierwszej z dciętych części pręta na pwierzchnię przekrju części drugiej czyi występujące na tej części siły wewnętrzne sprwadzamy (redukujemy) d układu składająceg się z siły (wektra główneg) W i mmentu (mmentu główneg) (rys. 4c). Rys. 4 Wektr W jest sumą gemetryczną wszystkich sił działających na pierwszą z dciętych części pręta przyłżną (zaczepiną) w śrdku ciężkści przekrju części drugiej pręta natmiast wektr sumą gemetryczną mmentów tych sił wzgędem teg sameg śrdka ciężkści. nieważ wyznaczne w ten spsób siła W i mment przypisane przekrjwi pręta nazywamy je siłami przekrjwymi. są

4 Naeży pdkreśić że zgdnie z zasadą akcji i reakcji (III zasadą dynamiki NEWON) siły przekrjwe działające na pierwszą z dciętych części pręta mają tę samą wartść i kierunek jak siły przekrjwe działające na jeg część drugą ecz przeciwny zwrt (rys. 4c). Wprwadzając prstkątny prawskrętny układ dniesienia yz pczątku w śrdku ciężkści przekrju pręta gdzie sie y raz z eżą w płaszczyźnie przekrju natmiast ś pkrywa się z sią pdłużną pręta (rys. 5a) rzkładamy siłę W na składwe W N Wy y raz Wz z (rys. 5b) natmiast mment na składwe s y raz z (rys. 5c). Składwe te nazywamy dpwiedni: N siłą pdłużną y raz z siłami pprzecznymi s mmentem skręcającym natmiast y raz z mmentami zginającymi. Rys. 5 W przypadku płaskieg układu prętweg sie wszystkich prętów i przyłżne d nich bciążenia eżą w jednej płaszczyźnie. Jeśi przyjmiemy że płaszczyzną tą jest z t w takim przypadku wektr W eży w tej płaszczyźnie natmiast wektr jest d niej prstpadły (rys. 6a); zatem raz i w przekrju pręta występują y tyk trzy siły przekrjwe a mianwicie: siła pdłużna N siła pprzeczna mment zginający y (rys. 6b). s z z raz Rys. 6

5 Z pwyższych rzważań wynika że wyznaczanie sił przekrjwych w pręcie pega na sprwadzeniu (zredukwaniu) układu sił zewnętrznych działających p jednej strnie przekrju pręta d jeg śrdka ciężkści przy czym wykrzystujemy w tym ceu następujące definicje sił przekrjwych: N w przekrju pręta nazywamy agebraiczną sumę rzutów wszystkich sił działających p jednej strnie przekrju na ś pdłużną pręta w tym przekrju. Siłą pdłużną (siwą nrmaną) ( ) w przekrju pręta nazywamy agebraiczną sumę rzutów wszystkich sił działających p jednej strnie przekrju na ś prstpadłą d si pdłużnej pręta w tym przekrju. Siłą pprzeczną (tnącą ścinającą) ( ) w przekrju pręta nazywamy agebraiczną sumę mmentów wszystkich sił działających p jednej strnie przekrju wzgędem śrdka ciężkści teg przekrju. mentem zginającym ( ) Naeży pdkreśić że siły przekrjwe w płaskim układzie prętwym mżemy wyznaczyć z układu sił zewnętrznych działających bądź p ewej bądź też p prawej strnie rzpatrywaneg przekrju. Umiejętnść wyznaczania sił przekrjwych jest jedną z najważniejszych umiejętnści inżyniera natmiast zagadnienie pwiązania sił przekrjwych z siłami wewnętrznymi w przekrju pręta jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki materiałów i będzie przedmitem kejnych wykładów Znakwanie sił przekrjwych Wprwadzając wyróżnine włókna pręta zwane spdami które na rysunku zaznaczamy inią przerywaną równegłą d si pręta kreśamy strny przekrju pprzeczneg ( znacza ewą natmiast prawą strną przekrju). W przypadku beek spdami są zazwyczaj ich włókna dne. W takim układzie dniesienia przyjmujemy następującą knwencję znakwania sił przekrjwych (rys. 7a). Rys. 7 Siła pdłużna jest ddatnia gdy pwduje rzciąganie pręta.

6 Siła pprzeczna jest ddatnia gdy działając na eement pręta wycięty dwma przekrjami (przekrjem rzpatrywanym i sąsiednim) dąży d brócenia wycięteg eementu zgdnie z ruchem wskazówek zegara. ment zginający jest ddatni gdy pwduje rzciąganie spdów pręta. Siły przekrjwe zwrtach przeciwnych d wyżej wymieninych są ujemne. Siły przekrjwe są z definicji funkcjami płżenia przekrju na si pdłużnej pręta czyi funkcjami zmiennej. Ddatnie rzędne sił pdłużnych i pprzecznych dkładamy pwyżej si O zaś mmentów zginających pniżej (rys. 7b) przy czym mmenty zginające dkładamy zawsze p strnie włókien rzciąganych Zaeżnści między bciążeniem siłą pdłużną siłą pprzeczną i mmentem zginającym Rzważmy wycięty z pręta eement różniczkwy (rys. 8) gdzie q ( ) jest ciągłym bciążeniem pinwym natmiast p ( ) ciągłym bciążeniem pzimym. Rys. 8 Równania równwagi pwyższeg eementu mają pstać X N p d N dn p d dn (4) Z q d d q d d (5) d d d O ( d ) d d d d d d (6) W statnim równaniu pminięt składnik wyższeg rzędu. 1 d d jak wiekść nieskńczenie małą Dzieąc pwyższe równania strnami przez d trzymujemy

7 dn d ( ) d d ( ) ( ) ( ) p (7) ( ) q (8) d ( ) (9) d Różniczkując (9) wzgędem zmiennej raz wykrzystując (8) trzymujemy jeszcze jedną ważną zaeżnść d d ( ) d ( ) d q ( ) (1) Z zaeżnści (7)-(9) wynikają ważne wniski ułatwiające wyznaczanie sił przekrjwych: 1. W przedziae charakterystycznym w którym bciążenie ( ) pdłużna jest funkcją stałą. ( ) N( ) cnst. p. W przedziae charakterystycznym w którym bciążenie ( ) rzłżne siła pdłużna jest funkcją iniwą. ( ) cnst. N( ) f iniwa p.. W przedziae charakterystycznym w którym bciążenie ( ) p jest równe zeru siła p jest równmiernie q jest równe zeru siła pprzeczna jest funkcją stałą zaś mment zginający funkcją iniwą. ( ) ( ) cnst. ( ) f iniwa q. 4. W przedziae charakterystycznym w którym bciążenie ( ) q jest równmiernie rzłżne siła pprzeczna jest funkcją iniwą zaś mment zginający funkcją kwadratwą. ( ) cnst. ( ) f. iniwa ( ) f kwadratwa q. 5. W punkcie przedziału charakterystyczneg w którym siła pprzeczna zmienia znak (równa się zeru) mment zginający siąga wartść ekstremaną (maksymaną bądź minimaną w zaeżnści d znaku drugiej pchdnej). ( ) ( ) ekstr

8 1.6. unkty i przedziały charakterystyczne rzed przystąpieniem d wyznaczania sił przekrjwych naeży w układzie prętwym kreśić punkty i przedziały charakterystyczne. unktami charakterystycznymi nazywamy: pczątek i kniec pręta punkty pdparcia pręta punkty przyłżenia sił i mmentów skupinych pczątek i kniec bciążenia ciągłeg miejsca zmiany gemetrii pręta. rzedziałem charakterystycznym nazywamy dcinek pręta zawarty między dwma kejnymi punktami charakterystycznymi. W każdym przedziae charakterystycznym funkcje sił przekrjwych maja inną pstać Wyznaczanie sił przekrjwych Siły przekrjwe wyznaczamy kierując się pniższymi wskazówkami które ułatwiają sprządzenie ich wykresów: 1. Wartść siły pprzecznej wystarczy biczyć w kejnych punktach charakterystycznych (nie ma ptrzeby wyznaczania jej funkcji w kejnych przedziałach charakterystycznych).. W punkcie przyłżenia siły skupinej siła pprzeczna jest funkcją nieciągłą. Zatem biczamy jej wartść z ewej i prawej strny teg punktu zaś na wykresie sił pprzecznych wystąpi w tym miejscu skk wartści funkcji równy wartści przyłżnej siły.. Wartść mmentu zginająceg biczamy w kejnych punktach charakterystycznych (nie ma ptrzeby wyznaczania jeg funkcji w kejnych przedziałach charakterystycznych). Wyjątkiem jest przedział w którym mment zginający siąga ekstremum. 4. W punkcie przyłżenia mmentu skupineg mment zginający jest funkcją nieciągłą. Zatem biczamy jeg wartść z ewej i prawej strny teg punktu zaś na wykresie mmentów zginających wystąpi w tym miejscu skk wartści funkcji równy wartści przyłżneg mmentu skupineg. rzykład 1. Wyznaczyć reakcje raz sprządzić wykresy sił przekrjwych w przypadku beki schemacie statycznym bciążeniu i przekrju jak na rys 1.1. Dane: q Szukane: H V V N Rys 1.1

9 Rzwiązanie: Krk 1. Wyznaczamy reakcje pdprwe Nansimy spdy punkty charakterystyczne i reakcje pdprwe (rys. 1.) i wypisujemy równania równwagi. H X H V V Na rys. 1.a zmieniamy zwrt reakcji V na przeciwny V V Rys 1. Sprawdzenie Y Krk. Wyznaczamy siły przekrjwe Siła pdłużna ( ) N W rzważanym przypadku jest równa zeru (rys. 1.b). Siła pprzeczna ( ) Wykres siły pprzecznej w funkcji płżenia przedstawia rys. 1.c. Z wykresu teg wynika że wewnątrz przedziału charakterystyczneg siła pprzeczna zmienia znak. nieważ w punkcie zmiany znaku siły pprzecznej mment zginający siąga maksimum kane musimy zatem wyznaczyć płżenie teg punktu. żna t uczynić dwma spsbami: biczając wartść siły pprzecznej w tym punkcie i przyrównując ja d zera:

10 ( ) 5. z prprcji (rys. 1.c):.5 ment zginający ( ) ma D D Wykres mmentu zginająceg w funkcji płżenia przedstawia rys. 1.d. Rys 1. rzykład. Wyznaczyć reakcje raz sprządzić wykresy sił przekrjwych w przypadku ramy schemacie statycznym bciążeniu i przekrju jak na rys.1. Dane: q Szukane: N V V H

11 Rys.1 Rzwiązanie: Krk 1. Wyznaczamy reakcje pdprwe Nansimy spdy punkty charakterystyczne i reakcje pdprwe (rys..) i wypisujemy równania równwagi. Rys. Obiczne wartści reakcji pdprwych nansimy na rys... Na rys.. zmieniamy zwrt reakcji H H H na przeciwny 4 Na rys.. zmieniamy zwrt reakcji D H H H na przeciwny V 4 V

12 Rys. Sprawdzenie 4 Y X Krk. Wyznaczamy siły przekrjwe Siła pdłużna ( ) N E E N N N Wykres siły pdłużnej w funkcji płżenia przedstawia rys..4a. Siła pprzeczna ( ) Wykres siły pprzecznej w funkcji płżenia przedstawia rys..4b. Z wykresu teg wynika że wewnątrz przedziału charakterystyczneg siła pprzeczna zmienia znak. nieważ w punkcie zmiany znaku siły pprzecznej mment zginający siąga maksimum kane musimy zatem wyznaczyć płżenie teg punktu. żna t uczynić dwma spsbami: biczając wartść siły pprzecznej w tym punkcie i przyrównując ją d zera: ( ) z prprcji (rys..4b):

13 ment zginający ( ) ( ) ma E D D D Wykres mmentu zginająceg w funkcji płżenia przedstawia rys..4c. Rys..4 Zagadnienia na egzamin 1. Zdefiniwać siły przekrjwe raz pdać zasady ich znakwania Zdefiniwać punkty i przedziały charakterystyczne raz mówić spsób wyznaczania sił przekrjwych.. Wyprwadzić związki różniczkwe między bciążeniem q siłą pprzeczną i mmentem zginającym raz pdać i mówić wniski z nich wynikające.